ESTADSTICA APLICADA A LA INGENIERA

ESTADSTICA APLICADA A LA INGENIERAPRUEBA DE HIPOTESIS

Una prueba de hiptesis es cualquier afirmacin acerca de una poblacin y/o Sus parmetros. Consiste en contrastar dos hiptesis estadsticas. Tal contraste involucra la toma de decisin acerca de las hiptesis. La decisin consiste en rechazar o no una hiptesis en favor de la otra.

KASSANDRA MARGARITA GMEZ RODRGUEZ[Seleccionar fecha]

PROFESOR: EDGAR MATA ORTIZ

INTRODUCCINLas hiptesis constituyen instrumentos muy poderosos para el avance del conocimiento, puesto que aunque sean formuladas por el hombre, pueden ser sometidas a prueba y demostrarse como probablemente correctas o incorrectas sin que interfieran los valores y las creencias del individuo.En realidad no podemos probar que una hiptesis sea verdadera o falsa, sino argumentar que de acuerdo con ciertos datos obtenidos en una investigacin particular, fue apoyada o no. Desde el punto de vista tcnico no se acepta una hiptesis a travs de un estudio, sino que se aporta evidencia en su favor o en su contra. Desde luego, cuantas ms investigaciones apoyen una hiptesis, ms credibilidad tendr sta; y por supuesto, es vlida para el contexto (lugar, tiempo y sujetos u objetos) en el cual se comprob. Al menos lo es probabilsticamente.Una hiptesis estadstica se denota por H y son dos:

- Ho: hiptesis nula- H1: hiptesis alternativa

Partes de una hiptesis

- La hiptesis nula HoSe refiere siempre a un valor especifico del parmetro de la poblacin, no a una estadstica de muestra. La letra H significa hiptesis y el subndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un no en la hiptesis nula que indica que no hay cambio Podemos rechazar o aceptar Ho.Por lo tanto la hiptesis nula es una afirmacin que no se rechaza a menos que los datos muestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hiptesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parmetro.

- La hiptesis alternativa H1Es cualquier hiptesis que difiera de la hiptesis nula. Es una afirmacin que se acepta si los datos muestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hiptesis nula es falsa. Se le conoce tambin como la hiptesis de investigacin. El planteamiento de la hiptesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parmetro.2. Nivel de significanciaProbabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega , tambin es denominada como nivel de riesgo, este trmino es ms adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hiptesis nula, cuando en realidad es verdadera.La distribucin de muestreo de la estadstica de prueba se divide en dos regiones, una regin de rechazo (conocida comoregin crtica)y una regin de no rechazo(aceptacin). Si la estadstica de prueba cae dentro de la regin de aceptacin, no se puede rechazar la hiptesis nula. Estos valores no son tan improbables de presentarse si la hiptesis nula es falsa. El valor crtico separa la regin de no rechazo de la de rechazo.

PRUEBA DE HIPOTESIS

Z de 1MUESTRA:Z de 1 muestra calcula un intervalo de confianza o realiza una prueba de hiptesis de la media cuando la desviacin estndar de la poblacin, s, es conocida. Este procedimiento se basa en una distribucin normal, de manera que para las muestras pequeas, este procedimiento funciona mejor si sus datos fueron extrados de una distribucin normal o una distribucin cercana a normal. A partir del Teorema del lmite central, usted puede utilizar este procedimiento si tiene una muestra grande, sustituyendo la desviacin estndar de la muestra por s. Una regla de oro comn consiste en considerar que las muestras con un tamao de 30 o ms son muestras grandes. Muchos analistas eligen el procedimiento t y no el procedimiento Z cuando s es desconocida.Utilice Z de 1 muestra para calcular un intervalo de confianza o realizar una prueba de hiptesis de la media cuando no se conoce s. Para una prueba Z de una muestra de dos colas, las hiptesis son:H0 : m = m 0 versus H1: m m0Donde m es la media de la poblacin y m 0 es la media de la poblacin hipottica.

REVISIN GENERALUtilice Z de 1 muestra para calcular un intervalo de confianza o realizar una prueba de hiptesis de la media cuando no se conoce . Para una prueba Z de una muestra de dos colas, las hiptesis son:H0 : = 0 versus H1: 0Donde es la media de la poblacin y 0 es la media de la poblacin hipottica.

Elementos del cuadro de dilogoMuestras en columnas: Elija esta opcin si ha ingresado datos sin procesar en columnas. Ingrese las columnas que contienen los datos de muestra.Datos resumidos: Elija esta opcin si tiene valores de resumen para el tamao de la muestra y la media.Tamao de la muestra: Ingrese el valor para el tamao de la muestra .Media: Ingrese el valor para la media de la muestra.Desviacin estndar: Ingrese el valor de la desviacin estndar de poblacin.Realizar prueba de hiptesis: Marque esta opcin para realizar una prueba de hiptesis.Media hipottica: Ingrese la media de la prueba 0.

EJEMPLO:Las mediciones se tomaron en nueve artefactos. Usted sabe que la distribucin de las mediciones histricamente ha estado cerca de una distribucin normal con s = 0.2. Puesto que usted conoce el valor de s y desea probar si la media de poblacin es 5 y obtener un intervalo de confianza de 90% para la media, usted utiliza el procedimiento Z.1Abra la hoja de trabajo EJA_ESTAD.MTW.2Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > Z de 1 muestra.3En Muestras en columnas, ingrese Valores.4En Desviacin estndar, ingrese 0.2.5Marque Realizar prueba de hiptesis. En Media hipottica, ingrese 5.6Haga clic en Opciones. En Nivel de confianza, ingrese 90. Haga clic en Aceptar.7Haga clic en Grficas. Marque Grfica de valores individuales. Haga clic en Aceptar en cada cuadro de dilogo.Z de una muestra: ValoresPrueba de mu = 5 vs. no = 5La desviacin estndar supuesta = 0.2 Error estndar de laVariable N Media Desv.Est. Media IC de 90% Z PValores 9 4.7889 0.2472 0.0667 (4.6792, 4.8985) -3.17 0.002

Salida de la ventana Grfica

Interpretacin de los resultadosLa estadstica de prueba, Z, para probar si la media de poblacin es igual a 5 es -3.17. El valor p, o la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera, es 0.002. Esto se denomina un nivel de significancia obtenido, valor p o a obtenido de la prueba. Debido a que el valor p de 0.002 es ms pequeo que los niveles a comnmente elegidos, existe evidencia significativa de que m no es igual a 5, de manera que usted puede rechazar H0 en favor de que el valor de m no es 5.Una prueba de hiptesis en a = 0.1 tambin puede realizarse al observar una grfica de valores individuales. El valor hipottico se ubica fuera del intervalo de confianza de 90% para la media de poblacin (4.6792, 4.8985) y de este modo puede rechazar la hiptesis nula.

2.-Las estaturas de 1000 estudiantes estn distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamao 25 sin reemplazo de esta poblacin, determine:a. El nmero de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centmetros.b. El nmero de medias muestrales que caen por debajo de 172 centmetros.

Solucin:Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendr que agregar el factor de correccin. Se proceder a calcular el denominador de Z para slo sustituirlo en cada inciso.a)

(0.7607)(200)=152 medias muestrales

b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

t de 1 muestra

Revisin general Realiza una prueba t de una muestra o intervalo de confianza t para la media.Utilice t de 1 muestra para calcular un intervalo de confianza y realice una prueba de hiptesis de la media cuando no se conoce la desviacin estndar de la poblacin, s. Para una t de una muestra con dos colas,H0: m = m0 versus H1: m m0donde m es la media de la poblacin y m 0 es la media de la poblacin hipottica.Elementos del cuadro de dilogoMuestras en columnas: Elija esta opcin si ha ingresado datos sin procesar en columnas. Ingrese las columnas que contienen los datos de muestra.Datos resumidos: Elija si tiene valores de resumen para el tamao de la muestra, media y desviacin estndar.Tamao de la muestra: Ingrese el valor para el tamao de la muestra .Media: Ingrese el valor para la media de la muestra.Desviacin estndar: Ingrese el valor para la desviacin estndar de la muestra.Realizar prueba de hiptesis: Marque esta opcin para realizar una prueba de hiptesis.Media hipottica: Ingrese la media de la prueba 0.

EJEMPLOLas mediciones se tomaron en nueve artefactos. Usted sabe que la distribucin de las mediciones de los artefactos histricamente ha estado cerca de una distribucin normal, pero supongamos que usted no conoce . Para probar si la media de poblacin es 5 y para obtener un intervalo de confianza de 90% para la media, usted utiliza un procedimiento t.1Abra la hoja de trabajo EJA_ESTAD.MTW.2Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > t de 1 muestra.3En Muestras en columnas, ingrese Valores.4Marque Realizar prueba de hiptesis. En Media hipottica, ingrese 5.5Haga clic en Opciones. En Nivel de confianza, ingrese 90. Haga clic en Aceptar en cada cuadro de dilogo.Salida de la ventana SesinTdeunamuestra:ValoresPruebademu=5vs.no=5

Error estndar delaVariableNMediaDesv.Est.mediaICde90%TP

Valores94.78890.24720.0824(4.6357,4.9421)-2.560.034

Interpretacin de los resultadosLa estadstica de prueba, T, para H0: = 5 se calcula como 2.56.El valor p de esta prueba, o la probabilidad de obtener ms valores extremos de la estadstica de prueba en virtud de las probabilidades si la hiptesis nula fuera verdadera, es de 0.034. Esto se denomina nivel de significancia obtenido o valor p. Por lo tanto, rechace H0 si su nivel a aceptable es mayor que el valor p o 0.034.Un intervalo de confianza de 90% para la media de poblacin, , es (4.6357,4.9421). Este intervalo es ligeramente ms amplio que el intervalo Z correspondiente que se muestra en Ejemplo de Z de 1 muestra.

2.- Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reaccin adversa a l, ms an, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reaccin. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporcin de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reaccin adversa, exceda el 4%.a. Resolverlo mediante la aproximacin de la normal a la binomialb. Resolverlo con la distribucin muestral de proporciones

Datos:n=150 personasp=0.03x= (0.04)(150) = 6 personasp(x>6) = ?Media = np= (150)(0.03)= 4.5

p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150 personas, mas de 6 presentarn una reaccin adversa.a. Distribucin Muestral de ProporcionesDatos:n=150 personasP=0.03p= 0.04p(p>0.04) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretacin es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporcin mayor de 0.04 presentando una reaccin adversa.

3.- El rector de una universidad pblica afirma que el 15% de los estudiantes de la universidad que el dirige est en contra de una ley que actualmente se discute en el congreso y que supuestamente afecta a la comunidad universitaria. El representante de los estudiantes, considera que dicha proporcin es mayor y para comprobarlo toma una muestra de 100 estudiantes seleccionados aleatoriamente y encuentra que el 23% estn en desacuerdo con dicho proyecto de ley. Se pide comprobar si el rector tiene o no la razn con un nivel de significacin del 5%.No se sabe si la poblacin est normalmente distribuida, pero n=100>30, por lo cual segn el teorema central del lmite, las proporciones muestrales se distribuirn aproximadamente como una distribucin normal.Hiptesis nula e hiptesis alternativa: H0: P = 0.15, Ha: P > 0.15. La prueba es unilateral a la derecha, puesto que el representante de los estudiantes, piensa que la proporcin es superior a la afirmada por el seor rector.Nivel de significacin: = 0.05

Criterio de decisin: Como la proporcin muestral se distribuye normalmente y la prueba es unilateral a la derecha, entonces, segn la tabla el valor de z es: +1.64. Por lo tanto, el criterio de decisin ser el siguiente: Si el valor de Z calculado es mayor que +1.64, se rechaza la hiptesis nula de que la proporcin es del 15%.Clculo del estadstico sobre el cual se basar la decisin: n=100, p=0.23, q=0.77. Segn la frmula 6.13 de la pgina 171 para Z, en la distribucin en el muestreo de la proporcin, el correspondiente valor de z ser:

Tomar la decisin: Como el valor de Z calculado (+2.24) se encuentra en la zona de rechazo, entonces, con un nivel de significacin del 5%, debemos rechazar la hiptesis nula de que la proporcin de estudiantes en contra de la ley es del 15% y por consiguiente debemos aceptar la hiptesis del representante estudiantil de que dicha proporcin es mayor.

t de 2 muestrasRealiza una prueba t de 2 muestras independientes y genera un intervalo de confianza.Cuando tenga muestras dependientes, utilice Estadsticas > Estadsticas bsicas > t pareada.Utilice t de 2 muestras para realizar una prueba de hiptesis y calcular un intervalo de confianza o la diferencia entre dos medias de poblacin cuando las desviaciones estndar de las poblaciones, s, sean desconocidas. Para una prueba t de 2 muestras con dos colasH0: m1 - m 2 = d 0versusH1: m 1 - m2 d 0donde m1 y m 2 son las medias de poblacin y d 0 es la diferencia hipottica entre las dos medias de poblacin.Para calcular un prueba t y un intervalo de confianza de la media1Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > t de 1 muestra.2En Muestras en columnas, ingrese las columnas que contienen las muestras.3Si lo desea, utilice cualquier opcin del cuadro de dilogo y luego haga clic en Aceptar.

Elementos del cuadro de dilogoMuestras en una columna: Elija esta opcin si los datos de la muestra se encuentran en una columna individual, diferenciados por los valores de subndice (cdigos de grupo) en una segunda columna.Muestras: Ingrese la columna que contiene los datos.Subndices: Ingrese la columna que contiene los subndices de la muestra.Muestras en diferentes columnas: Elija esta opcin si los datos de las dos muestras estn en columnas separadas.Primero: Ingrese la columna que contiene una muestra.Segundo: Ingrese la columna que contiene la otra muestra.Datos resumidos (diferencias): Elija esta opcin si tiene valores de resumen para el tamao de la muestra, media y desviacin estndar para cada muestra.NombreTamao de la muestra: Ingrese el valor para el tamao de la muestra.Media: Ingrese el valor de la media.Desviacin estndar: Ingrese el valor de la desviacin estndar.SegundoTamao de la muestra: Ingrese el valor del tamao de la muestra.Media: Ingrese el valor de la media.Desviacin estndar: Ingrese el valor de la desviacin estndar.Asumir varianzas iguales: Marque esta opcin para presuponer que las poblaciones tienen varianzas iguales. La opcin predeterminada es presuponer varianzas desiguales. Vase Varianzas iguales o desiguales.

Ejemplo de una t de 2 muestras con las Muestras en una columnaSe llev a cabo un estudio para evaluar la efectividad de dos dispositivos para mejorar la eficiencia de sistemas de calefaccin domsticos a gas. El consumo de energa en las viviendas se midi despus de la instalacin de uno de los dos dispositivos. Los dos dispositivos eran: un regulador elctrico (Regulador=1) y un regulador de activacin trmica (Regulador=2). Los datos de consumo de energa (BTU.Con) se apilan en una columna y una columna de agrupacin (Regulador) contiene identificadores o subndices para denotar la poblacin. Supongamos que realiz una prueba de varianza y no encontr evidencia de que las varianzas no sean iguales (vase Ejemplo de 2 varianzas). Ahora, usted desea comparar la efectividad de estos dos dispositivos al determinar si existe o no evidencia de que la diferencia entre los dispositivos es diferente de cero.1Abra la hoja de trabajo HORNO.MTW.2Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > t de 2 muestras.3Elija Muestras en una columna.4En Muestras, ingrese 'BTU.Con'.5 En Subndices, ingrese Regulador.6Marque la opcin Asumir varianzas iguales. Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana SesinPruebaTeICdedosmuestras:BTU.Con,ReguladorTdedosmuestrasparaBTU.Con

ErrorestndardelaReguladorNMediaDesv.Est.media1409.913.020.4825010.142.770.39

Diferencia=mu(1)-mu(2)Estimadodeladiferencia:-0.235ICde95%paraladiferencia:(-1.450,0.980)PruebaTdediferencia=0(vs.no=):ValorT=-0.38ValorP=0.701GL=88AmbosutilizanDesv.Est.agrupada=2.8818

Interpretacin de los resultadosMinitab muestra una tabla de los tamaos de muestras, las medias de muestras, las desviaciones estndar y los errores estndar de las dos muestras.Debido a que anteriormente no se encontr evidencia de que las varianzas sean desiguales, decidimos utilizar la desviacin estndar agrupada al elegir Asumir varianzas iguales. La desviacin estndar agrupada, 2.8818, se utiliza para calcular la estadstica de prueba y los intervalos de confianza .Una segunda tabla ofrece un nivel de confianza para la diferencia en las medias de poblaciones. Para este ejemplo, un intervalo de confianza de 95% es (1.450, 0.980), el cual incluye cero, lo que sugiere que no existe diferencia. El siguiente es el resultado de la prueba de hiptesis . La estadstica de prueba es 0.38, con un valor p de 0.701 y 88 grados de libertad .Debido a que el valor p es mayor que los niveles a normalmente elegidos, no existe evidencia de que haya diferencia en uso de energa cuando se utiliza un regulador elctrico versus un regulador de activacin trmica.

2.- Una compaa de transportes requiere comprar un gran lote de buses para el transporte urbano con el fin de reemplazar su parque automotor y para tal fin desea comprobar la afirmacin hecha por el proveedor de la marca B, en el sentido de que la marca A es menos ahorradora de combustible. Para tal fin la empresa toma una muestra aleatoria de 35 vehculos marca A y encuentra que la misma tiene un promedio en el rendimiento de 18 kilmetros/galn con una desviacin estndar de 8 kilmetros/galn, mientras que una muestra de 32 vehculos marca B presenta un promedio de 22 kilmetros/galn con desviacin estndar de 3 kilmetros /galn. Qu decisin debe tomar el gerente de la compaa con un nivel de significacin del 5%?

Hiptesis nula e hiptesis alternativa: H0: A=0 B = 0 , Ha: A - B 0. La prueba es unilateral a la izquierda.

2) Nivel de significacin: =0.053) Criterio de decisin: Como las diferencias de medias muestrales se distribuyen normalmente,entonces, segn las tablas, el valor de Z es: -1.64. Por lo tanto, el criterio de decisin ser el siguiente:Si el valor de Z calculado es menor que 1.64 se rechaza la hiptesis nula de que el rendimiento en ambas marcas es igual.

Clculo del estadstico sobre el cual se basar la decisin: nA=35, A =18, SA=8, nB=32, B =22,SB=3. Segn la frmula 6.8 de la pgina 168 sobre la distribucin en el muestreo de la diferencia de medias, el correspondiente valor de Z ser:

Tomar la decisin: Como el valor de Z calculado (-2.75) se encuentra en la zona de rechazo,entonces, con un nivel de significacin del 5%, debemos rechazar la hiptesis nula de que el ahorro en ambas marcas es igual y en stas condiciones debemos aceptar la hiptesis alternativa de que la marca A es menos ahorradora de combustible que la marca B.Nota: Observemos que como no conocamos las desviaciones estndar poblacionales para el clculo de z, pudimos reemplazar a stas por las desviaciones estndar muestrales, puesto que ambos tamaos de muestra son mayores que 30.

t pareadaRealiza una prueba t pareada . Este procedimiento es apropiado para poner a prueba la diferencia media entre observaciones pareadas cuando las diferencias pareadas siguen una distribucin normal.Utilice el comando t pareada para calcular un intervalo de confianza y realizar una prueba de hiptesis de la diferencia media entre las observaciones pareadas de la poblacin. Una prueba t pareada crea correspondencia en pares de respuestas que son dependientes o estn relacionadas. Esta correspondencia permite explicar la variabilidad entre los pares que por lo general produce un trmino de error ms pequeo y, de esta manera, se aumenta la sensibilidad de la prueba de hiptesis o intervalo de confianza.Como ejemplos tpicos de datos pareados figuran las mediciones hechas en gemelos o mediciones del tipo "antes y despus". Para una prueba t pareada:H0: d = 0versusH1: d 0Donde d es la media de la poblacin de las diferencias y 0 es la media hipottica de las diferencias.Cuando las muestras se extraen de manera independiente de dos poblaciones, utilice Estadsticas > Estadsticas bsicas > t de 2 muestras.Elementos del cuadro de dilogoMuestra en columnas: Elija esta opcin si ha ingresado datos sin procesar en dos columnas.Primera muestra: Ingrese la columna que contiene la primera muestraSegunda muestra: Ingrese la columna que contiene la segunda muestraDatos resumidos (diferencias): Elija si tiene valores de resumen para el tamao de la muestra , media y desviacin estndar de la media.Tamao de muestra: Ingrese el valor del tamao de la muestra.Media: Ingrese el valor de la media.Desviacin estndar: Ingrese el valor de la desviacin estndar.

Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > t pareada.2En Primera muestra, ingrese la columna que contiene la primera muestra.3En Segunda muestra, ingrese la columna que contiene la segunda muestra.4Si lo desea, utilice cualquiera de las opciones del cuadro de dilogo y haga clic en Aceptar.Ejemplo de t pareadaUna empresa fabricante de zapatos desea comparar dos materiales, A y B, para utilizar en las suelas de los zapatos para nios varones. En este ejemplo, cada uno de diez nios en un estudio us un par especial de zapatos con la suela de un zapato hecha con el material A y con la suela del otro zapato hecha con el material B. El tipo de suela fue asignado de forma aleatoria para explicar las diferencias sistemticas en el desgaste entre el pie izquierdo y el derecho. Despus de tres meses, los zapatos se miden para su uso.Para estos datos, usted utilizara un diseo pareado en vez de un diseo no pareado. Un procedimiento t pareado probablemente tendra un trmino de error ms pequeo que el que correspondera a un procedimiento no pareado porque ste elimina la variabilidad causada por diferencias entre los pares. Por ejemplo, es posible que uno de los nios viva en la ciudad y camine sobre pavimento la mayor parte del da, mientras que otro nio pudiera vivir en el campo y pasar gran parte del da sobre superficies no pavimentadas.1Abra la hoja de trabajo EJA_ESTAD.MTW.2Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > t pareada.3Elija Muestras en columnas.4 En Primera muestra, ingrese Mat-A. En Segunda muestra, ingrese Mat-B. Haga clic en Aceptar.

Salida de la ventana SesinICyPruebaTpareada:Mat-A,Mat-B

TpareadaparaMat-A-Mat-B Error estndar delaNMediaDesv.Est.mediaMat-A1010.6302.4510.775Mat-B1011.0402.5180.796Diferencia10-0.4100.3870.122

ICde95%paraladiferenciamedia::(-0.687,-0.133)Pruebatdediferenciamedia=0(vs.no=0):ValorT=-3.35ValorP=0.009

Interpretacin de los resultadosEl intervalo de confianza para la media de la diferencia entre los dos materiales no incluye cero, lo cual sugiere una diferencia entre ellos. El valor p pequeo (p = 0.009) tambin sugiere que los datos no concuerdan con H0: d = 0, es decir, los dos materiales no tienen el mismo rendimiento. Especficamente, el Material B (media = 11.04) tuvo mejor rendimiento que el Material A (media = 10.63) en lo que respecta a desgaste a lo largo del perodo de prueba de tres meses.Compare los resultados del procedimiento pareado con los resultados del no pareado, prueba t de dos muestras (Estadsticas > Estadsticas bsicas > t de 2 muestras). Los resultados del procedimiento pareado nos inducen a creer que los datos no concuerdan con H0 (t = 3.35; p = 0.009). Sin embargo, los resultados del procedimiento no pareado (no se muestran) son totalmente diferentes. Una prueba t no pareada produce un valor t de 0.37, y un valor p de 0.72. Con base en estos resultados, no sera posible rechazar la hiptesis nula y podramos concluir que no existe diferencia en el rendimiento de los dos materiales.En el procedimiento no pareado, la gran cantidad de varianza en el desgaste de los zapatos entre los nios (el desgaste promedio para un nio fue de 6.50 y para otro de 14.25) oculta la diferencia, hasta cierto punto menos drstica, en el desgaste entre los zapatos izquierdo y derecho (la diferencia ms grande entre zapatos fue de 1.10). Esta es la razn por la cual un diseo experimental pareado y un anlisis subsiguiente con una prueba t pareada, cuando corresponda, es con frecuencia mucho ms potente que un enfoque no pareado.

1 Proporcin

Realiza una prueba de una proporcin binomial.Utilice 1 Proporcin para calcular un intervalo de confianza y realizar una prueba de hiptesis de la proporcin . Por ejemplo, una fbrica de repuestos para vehculos afirma que menos del 2% de sus bujas son defectuosas. Usted podra tomar una muestra aleatoria de las bujas y determinar si la proporcin defectuosa real coincide o no con la afirmacin. Para una prueba de dos colas de una proporcin:H0: p = p0 versus H1: p p0donde p es la proporcin de poblacin y p0 es el valor hipottico.Para comparar dos proporciones, utilice Estadsticas > Estadsticas bsicas > 2 proporciones.Elementos del cuadro de dilogoMuestras en columnas: Elija esta opcin si usted tiene datos en las columnas, luego, ingrese las columnas que contienen los datos de muestra. Cada celda de estas columnas debe tener uno de dos valores posibles y corresponder a un elemento o sujeto. Los valores posibles en las columnas deben ser idnticos si usted ingresa columnas mltiples.Datos resumidos: Elija esta opcin si tiene valores de resumen para los nmeros de ensayos y eventos.Nmero de eventos: Ingrese el nmero de eventos observados. Si usted ingresa ms de un valor; el valor entero que ingrese en Nmero de ensayos se aplicar a todos.Nmero de ensayos: Ingrese un valores individuales para el nmero de ensayos.Realizar prueba de hiptesis: Marque esta opcin para realizar la prueba de hiptesis de que la proporcin de poblacin es igual a un valor especificado.Proporcin hipottica: Ingrese el valor de la proporcin para la hiptesis nula de la prueba.

Procedimiento:Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > 1 Proporcin.2Realice uno de los siguientes procedimientos:Si tiene datos sin procesar, elija Muestras en columnas, e ingrese las columnas que contienen los datos sin procesar.Si tiene datos resumidos:1Elija Datos resumidos.2En Nmero de ensayos, ingrese un valor entero numrico simple para el nmero de ensayos. Con frecuencia, el nmero de ensayos ser su tamao de muestra..3En Nmero de eventos, ingrese uno o ms valores enteros numricos como el nmero observado de eventos.3Si lo desea, utilice cualquiera de las opciones del cuadro de dilogo y haga clic en Aceptar.

1.- A una fiscal de condado le gustara postularse para la fiscala del estado. Ella decide que renunciar a su cargo en la oficina del condado y postularse para la fiscala del estado si ms del 65% de los miembros de su partido la respaldan. Usted necesita probar H0: p = .65 versus H1: p > .65Como su director de campaa, usted recopil informacin de 950 miembros del partido seleccionados de manera aleatoria y observa que 560 miembros del partido apoyan a la candidata. Una prueba de proporcin se realiz para determinar si la proporcin de los partidarios era o no mayor que la proporcin requerida de 0.65. Adems, se construy un lmite de confianza del 95% para determinar el lmite inferior para la proporcin de partidarios.1Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > 1 Proporcin.2Elija Datos resumidos.3En Nmero de eventos, ingrese 560. En Nmero de ensayos, ingrese 950.4Marque Realizar prueba de hiptesis. En Proporcin hipottica, ingrese 0.65.5 Haga clic en Opciones. En Hiptesis alterna, elija Mayor que. Haga clic en Aceptar en cada cuadro de dilogo.Salida de la ventana SesinPruebaeICparaunaproporcinPruebadep=0.65vs.p>0.6595%LmiteValorPMuestra XN Muestrap inferior exacto1 5 60 9500.5894740.5625151.000

Interpretacin de los resultadosEl valor p de 1.0 sugiere que los datos son consistentes con la hiptesis nula (H0: p = 0.65), es decir, la proporcin de los miembros del partido que apoyan a la candidata no es mayor que la proporcin requerida de 0.65. Como su director de campaa, usted le aconsejara no postularse para la fiscala del estado.

2.- El rector de una universidad pblica afirma que el 15% de los estudiantes de la universidad que el dirige est en contra de una ley que actualmente se discute en el congreso y que supuestamente afecta a la comunidad universitaria. El representante de los estudiantes, considera que dicha proporcin es mayor y para comprobarlo toma una muestra de 100 estudiantes seleccionados aleatoriamente y encuentra que el 23% estn en desacuerdo con dicho proyecto de ley. Se pide comprobar si el rector tiene o no la razn con un nivel de significacin del 5%.H0: P=0.15, Ha: P> 0.15Nivel de significacin: = 0.05Clculo del estadstico sobre el cual se basar la decisin: n=100, p=0.23, q=0.77. Segn la frmula 6.13 de la pgina 171 para Z, en la distribucin en el muestreo de la proporcin, el correspondiente valor de z ser:

Tomar la decisin: Como el valor de Z calculado (+2.24) se encuentra en la zona de rechazo, entonces, con un nivel de significacin del 5%, debemos rechazar la hiptesis nula de que la proporcin de estudiantes en contra de la ley es del 15% y por consiguiente debemos aceptar la hiptesis del representante estudiantil de que dicha proporcin es mayor.

2 proporciones

Revisin generalRealiza una prueba de dos proporciones binomiales .Utilice el comando 2 proporciones para calcular un intervalo de confianza y realizar una prueba de hiptesis de la diferencia entre dos proporciones. Minitab ofrece dos pruebas de hiptesis para la diferencia entre dos proporciones: La prueba exacta de Fisher y una prueba basada en una aproximacin normal. La prueba de aproximacin normal puede ser inexacta para muestras en las cuales el nmero de eventos de cada muestra es menor que cinco o si la diferencia entre el nmero de ensayos y eventos de cada muestra es menor que cinco. La prueba exacta de Fisher es exacta para todos los tamaos de muestra , pero slo se puede calcular cuando la hiptesis nula establece que las proporciones de poblacin son iguales. En otras palabras, Minitab slo realiza la prueba exacta de Fisher cuando usted especifica una diferencia de la prueba de cero en el cuadro de dilogo secundario Opciones.Por ejemplo, supongamos que usted desea saber si la proporcin de consumidores que responden a una encuesta pudiera incrementarse al ofrecer un incentivo tal como una muestra del producto. Usted puede incluir la muestra del producto en la mitad de sus correos y determinar si obtiene ms repuestas del grupo que recibi la muestra que del grupo que no la recibi. Para una prueba de dos colas de dos proporciones:H0: p1 - p2 = p0 versus H1: p1 - p2 p0Cuando p1 y p2 son las proporciones de eventos en las poblaciones 1 y 2, respectivamente, y p0 es la diferencia hipottica entre las dos proporciones.Para probar una proporcin utilice Estadsticas > Estadsticas bsicas > 2 Proporciones.

Elementos del cuadro de dilogoMuestras en una columna: Elija esta opcin si ha ingresado datos sin procesar en una columna individual con una segunda columna de subndices que identifican la muestra.Muestras: Ingrese la columna que contiene los datos sin procesar.Subndices: Ingrese la columna que contiene los subndices de la muestra.Muestras en diferentes columnas: Elija esta opcin si introdujo datos sin procesar en las columnas individuales para cada muestra.Primero: Ingrese la columna que contiene los datos sin procesar para la primera muestra.Segundo: Ingrese la columna que contiene los datos sin procesar para la segunda muestra.Datos resumidos: Elija esta opcin si tiene valores de resumen para los nmeros de ensayos y eventos.NombreEventos: Ingrese el nmero de eventos en la primera muestra.Ensayos: Ingrese el nmero de ensayos en la primera muestra.SegundoEventos: Ingrese el nmero de eventos en la segunda muestra.Ensayos: Ingrese el nmero de ensayos en la segunda muestra.

Para calcular un intervalo de confianza de prueba para la diferencia en proporciones1Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > 2 Proporciones.2Realice uno de los siguientes procedimientos:Si sus datos sin procesar estn apilados en una columna individual:1Elija Muestras en una columna.2En Muestras, ingrese la columna que contenga los datos sin procesar.3En Subndices, ingrese la columna que contiene los cdigos de grupo o poblacin.Si sus datos sin procesar no estn apilados, es decir, cada muestra se encuentra en una columna separada:1Elija Muestras en diferentes columnas.2En Primera, ingrese la columna que contiene la primera muestra.3En Segunda, ingrese la columna que contiene la otra muestra.Si tiene datos resumidos:1Elija Datos resumidos.2En Primera muestra, ingrese los valores numricos en Ensayos y en Eventos.3En Segunda muestra, ingrese los valores numricos en Ensayos y en Eventos.3Si lo desea, utilice cualquiera de las opciones del cuadro de dilogo y haga clic en Aceptar.

EJEMPLO:1.- Como gerente de compras de su corporacin, usted debe autorizar la adquisicin de veinte mquinas fotocopiadoras nuevas. Despus de comparar numerosas marcas en trminos de precio, calidad de la copia, garanta y funciones, usted ha reducido sus opciones a dos: Marca X y Marca Y. Usted decide que el factor determinante ser la confiabilidad de las marcas definida por la proporcin de servicio requerido dentro de un ao a partir de la compra.Debido a que su corporacin ya utiliza ambas marcas, usted pudo obtener informacin acerca del historial de servicio de 50 mquinas de cada marca seleccionadas aleatoriamente. Los registros indican que seis mquinas de la Marca X y ocho de la Marca Y requirieron servicio. Utilice esta informacin para orientar su eleccin de la marca a comprar.1Elija Estadsticas > Estadsticas bsicas > 2 Proporciones.2Elija Datos resumidos.3En Primera muestra, en Eventos, ingrese 44. En Ensayos, ingrese 50.4En Segunda muestra, en Eventos, ingrese 42. En Ensayos, ingrese 50. Haga clic en Aceptar.Salida de la ventana SesinPruebaeICparadosproporcionesMuestraXNMuestrap144500.880000242500.840000Diferencia=p(1)-p(2)Estimadodeladiferencia:0.04ICde95%paraladiferencia:(-0.0957903,0.175790)Pruebaparaladiferencia=0vs.no=0:Z=0.58ValorP=0.564PruebaexactadeFisher:ValorP=0.774

Interpretacin de los resultadosEn este ejemplo, la prueba de aproximacin normal es vlida porque, para ambas muestras, el nmero de eventos es mayor que cuatro y la diferencia entre los nmeros de ensayos y eventos es mayor que cuatro. La prueba de aproximacin normal indica un valor p de 0.564, y la prueba exacta de Fisher seala un valor p de 0.774. Ambos valores p son mayores que los niveles a comnmente elegidos. Por lo tanto, los datos concuerdan con la hiptesis nula de que las proporciones de poblacin son iguales. En otras palabras, la proporcin de mquinas fotocopiadoras que necesitaron servicio en el primer ao no difiere dependiendo de la marca. Como gerente de compras, usted debe hallar un criterio diferente para orientar su decisin sobre cul marca comprar.Debido a que la aproximacin normal es vlida, usted puede sacar la misma conclusin del intervalo de confianza de 95%. Debido a que cero se ubica en el intervalo de confianza de (0.0957903 a 0.175790) usted puede concluir que los datos coinciden con la hiptesis nula. Si considera que el intervalo de confianza es demasiado amplio y no provee informacin precisa con respecto al valor de p1 p2, es recomendable que recolecte ms datos con el fin de obtener un mejor estimado de la diferencia.Una compaa asegura que el mercado para su producto X tiene una aceptacin de iguales proporciones en la ciudad A que en la ciudad B. Un especialista en mercado pone en duda dicha afirmacin y para tal fin tom una muestra aleatoria de 500 amas de casa en la ciudad A y encontr que el 59.6% de las mismas prefera el artculo X. Por otra parte tom una muestra aleatoria de 300 amas de casa en la ciudad B y encontr que el 50% de las mismas preferan el artculo X. Existe una diferencia real entre las dos ciudades? Nivel de significacin 5%pero n1=500>30 y n2=300>30, por lo cual segn el teorema central del lmite, las diferencias de las proporciones muestrales se distribuirn aproximadamente como una distribucin normal.Hiptesis nula e hiptesis alternativa: H0: PA=PB, Ha: PAPB. La prueba es bilateral, puesto que el especialista en mercado no est afirmando que ciudad tiene ms proporcin que la otra.Nivel de significacin: =0. 05z es: 96.1 . Por lo tanto, el criterio dedecisin ser el siguiente: Si el valor de Z calculado es mayor que +1.96 menor que 1.96, se rechaza la hiptesis nula de que la proporcin es idntica en ambas ciudades.

Clculo del estadstico sobre el cual se basar la decisin: n1=500, p1=0.596, n2=300, p2 =0.50. Segn la frmula 6.14 de la pgina 174 en la distribucin en el muestreo de la diferencia de proporciones, el correspondiente valor de z ser: