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MAYO 2009 PROPUESTA PARA EL TRABAJO DE INVESTIGACION TUTELADA PROGRAMA DOCTORAL GIS UPSAM Fernando Alfredo Manzano Aybar
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MAYO 2009
PROPUESTA PARA EL TRABAJO DE
INVESTIGACION TUTELADA PROGRAMA DOCTORAL GIS UPSAM
Fernando Alfredo Manzano Aybar
BIENIO 2007 - 2009
PREPARADO POR
Ing. Fernando A. Manzano A.
Matrícula: 079084 (Expediente)
Para Optar por el Diploma de Estudios Avanzados (DEA)
EN SISTEMAS DE INFORMACION GEOGRAFICOS (GIS)
TEMA:
PROPUESTA DE ALGORITMOS BASADOS EN TOPOLOGIA NO DIFUSA
PARA EL TRATAMIMENTO DE IMÁGENES, RECONOCIMIENTO DE PATRONES
Y CONTORNOS EN LAS IMÁGENES DE TELEDETECCION PASIVA Y ACTIVA E
IMÁGENES MÉDICAS
Mayo 2009
CONTENIDO
Contenido ...................................................................................................................3
Dedicatorias ...............................................................................................................4
Agradecimientos ........................................................................................................5
Acrónimos ..................................................................................................................6
I. INTRODUCCIÓN AL TRABAJO ..............................................................................7
II. DEFINICIONES Y CONCEPTOS. Glosario de Términos .................................... 21
III. DEMOSTRACIONES IMPORTANTES ................................................................. 46
IV. PROPUESTAS DE ALGORITMOS ...................................................................... 57
V. MODELIZACION EN MATLAB. pruebas ............................................................. 63
VI. CONCLUSIONES y LECCIONES (Sobre…)....................................................... 70
VII. LINEAS ACTUALES Y FUTURAS ..................................................................... 71
VIII. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 81
IX. ANEXOS .............................................................................................................. 83
DEDICATORIAS
Al final de un trabajo de investigación y desarrollo como el presente, me ha dado cuenta de varias cosas:
No fue lo que pensé al principio, que iba a ser.
De lo poco que se del tema a pesar de los profundos pensamientos que surgen durante el proceso.
De lo mucho que me falta por estudiar y comprender en el área.
De lo débil que a veces fui cuando las cosas no salieron como debían o más bien quería.
Al final de varios largos meses, de unificar conocimientos, buscar otros, completar aquellos y
replantear los otros, dentro de un escenario de sueño inadecuado, y de mucho sacrificio personal y
familiar, llegué inevitablemente a la conclusión de que no hubiera podido llegar a donde llegué sin el
apoyo de muchísimas personas. Es por eso que deseo dedicar este trabajo a aquellos que han sido los
pilares del mismo:
A Dios, mi Señor, Rey y Padre no engendrado, Verdadera Esencia, Fuente de luz y Creador de
todas las cosas. Después de todo lo que me has dado en este proceso, me atrevo aún a pedirte
que los resultados de este humilde y, pobre de mi parte esfuerzo, puedan un día materializarse en
mayor bienestar para el ser humano. A Ti la Gloria.
A mi esposa Sandra quien supo entender la importancia de este trabajo y me alentó en los
momentos de debilidad y de oscuridad.
A mis hijos Mabel, Ramiro Alfredo y Giancarlo, porque ustedes son el motivo por el que
deseo ser, cada vez más, una mejor persona.
A mis segundos hijos Roger y Anyelina Mariel, como muestra de que siempre se puede
cuando el esfuerzo es sincero.
A mis profesores de segundo año:
AGRADECIMIENTOS
En este camino hubo momentos de mucha luz y de mucha oscuridad, de mucha calma y de fuertes
tempestades.
Gracias de Corazón a todos aquellos que de una forma u otra, sabiéndolo o sin saber, me ayudaron a
continuar:
∞ Por supuesto a Dios (י ה ו ה) por sobre todas las cosas.
∞ A mi padre Ramiro A. Manzano Bonilla (fallecido) por haber sembrado en mí el amor por las
ciencias.
∞ A Don Miguel Cocco Guerrero, Director General de Aduanas (Fallecido 20 Mayo 2009),
pues en el momento más difícil para una persona, sin mediar cuestionamiento me brindó el
apoyo material y la tranquilidad mental para proseguir con este estudio y completarlo, antes que
abandonarlo.
∞ A mis compañeros de Maestrías y Doctorado, por servirme de estímulo.
∞ A mis compañeros de trabajo de la DGA, de alguna manera sin saberlo dieron buenas ideas
para este proyecto.
∞ A la Universidad UNAPEC quien me brindara su apoyo para recorrer este trayecto de 2 años y
meses.
∞ Gracias especiales a mi familia toda, esposa, hermanos y hermanas, hijos e hijas, por estar
ahí.
ACRÓNIMOS
2D, 3D – Nomenclatura usada para denotar 2 y 3 dimensiones (Imagen y volumen)
DFT – Discrete Fourier Transform
DTFT - Discrete Time Fourier Transform
FT – Fourier Transform
FFT – Fast Fourier Transform
MATLAB – Matrix Laboratory (Software Simulador basado en cálculos matriciales)
Mb, Mbyte – Megabytes (Medida de Almacenamiento de memoria Millones de Caracteres)
MHz – Mega Hertz (medida de frecuencia en millones de oscilaciones por segundo)
PSD – Power Spectral Density
RMN – Resonancia Magnética Nuclear
SA – Spectral Analysis
TAC – Tomografía Axial Computarizada
TEP , PET – Tomografía de Emisión Positrónica, Positronic Emission Tomography
UML – Unified Modeling Language
I. INTRODUCCIÓN AL TRABAJO
1.1 PREAMBULO
El procesamiento digital de imágenes, de cualquier fuente que las produzca, plantea la realización
intensa de cálculos computacionales clásicamente basados en diferentes modalidades de los algoritmos
de la Transformada de Fourier (Fourier Transform ó FT). Los más conocidos son DFT-Discrete Fourier
Transform, Fast Fourier Transform y DTFT – Discrete Time Fourier Transform. Para señales
unidimensionales, la FFT mejora notablemente el rendimiento, en comparación con DFT, reduciendo la
proporcionalidad del número de operaciones versus el número de muestras, entre ambos algoritmos,
desde ser proporcional a – para la DFT, hasta ser proporcional a , como puede
verse en la Fig.1. A pesar de este hecho, para imágenes (señales Bidimensionales), significa que aún el
cálculo de la FFT plantea un proporcionalidad
Fig.1. Resultados comparativos del Esfuerzo de cálculo entre DFT y FFT.
Nota: Para señales Bidimensionales la DFT plantea una proporcionalidad , ya que la Transformada
debe tomarse en dos dimensiones
En este tenor, adquiere sentido encontrar nuevas alternativas de cálculo para el procesamiento de
imágenes, basados en los conceptos de la topología matemática, toda vez que cualquier imagen en la
pantalla del computador se ve como como una porción rectangular de hasta que la magnificamos
ampliamente, cuando entonces se revela a si misma como un arreglo rectangular o hexagonal de puntos
(pixels- unidad mas pequeña de visualización controlada por el computador).
En este enfoque veremos los subespacios de arreglos o matrices rectangulares, como productos
cartesianos de dos conjuntos ordenados. Cuando una pelicula es digitalizada, el tiempo es discretizado
también, resultando en una serie finita de Vistas bidimensiobales, que conforman un sólido en .
Como los subespacios y los cocientes de los espacios topológicos finitos, que representan esta
situaciones son requeridos en el abordaje del problema, en tal caso un entendimiento de los espacios
topológicos finitos también lo es. Por tanto incluiremos tópicos de una teoría que estudia los espacios
localmente finitos o ESPACIOS DE ALEXANDROFF. [KOV-KOPP].
Dado que el trabajo presente se plantea un estudio comparativo de métodos para el procesamiento de imágenes,
seguiremos para su desarrollo la siguiente línea de pensamiento y ejecución:
En el Cápitulo I: Introducción al Trabajo. Hacemos un Repaso Breve de las características de
carga de cálculo para los Algortimos DFT, DTFT y FFT. Este repaso está siendo realizado a partir de
este inciso y se detalla en más profundidad en los ANEXOS al final de este trabajo. No nos adentramos
en las sustentaciones matemáticas que avalan las expresiones de los diferentes tipos de transformadas de
Fourier mencionadas en este documento. Solo nos enfocamos, en las que permiten evaluar la carga
algorítmica de cada una de las formulaciones de dichas transformadas. El propósito de este punto es
mostrar el grado de complejidad computacional en los algoritmos de las mismas.
Cápitulo II: Definiciones y Conceptos. Introducción de los Términos, definiciones y conceptos
básicos de la Topología General. En vista de que estamos partiendo de la observación directa de que
una imagen de computadora se ve como como una porción rectangular de hasta que la magnificamos
ampliamente, cuando entonces se revela a si misma como un arreglo rectangular o hexagonal de puntos
(pixels- unidad mas pequeña de visualización controlada por el computador), entonces en este
Cápitulo II, de este documento, como parte de los fundamentos definitorios de los conceptos por aplicar,
damos una lista, lo más completa posible, de los términos y definiciones usados a lo largo del texto.
Especial atención dedicamos a los avances recientes en algunas aplicaciones de Topología General en el
estudio de las propiedades de los espacios digitales.
En el Capítulo III: Demostraciones importantes, hacemos una exposicion de algunos teoremas,
corolarios con sus respectivas demostraciones. Estos nos permitirán usar algunas propiedades de los
espacios digitales para implementar variedades de algortimos que mejoran sustancialmente la carga
computacional del proceso.
En el Capítulo IV: Propuestas de Algoritmos, se exponen los códigos (Pseudocódigo), con la idea de
explicar las mejoras que se obtienen al compararlas con las características de los algoritmos clásicos
basados en Transformadas de Fourier.
En el Capítulo V: Modelización en MATLAB. Pruebas: Se presentan los resultados de las corridas de
los algoritmos tanto de la FFT como de los basados en topología y son analizados a la luz de los tiempos
de ejecución que reporta el motor (Engine) de MATLAB
En el Capítulo VI: Conclusiones. Se resumen los resultados de este trabajo de investigación y
desarrollo, se exponen las dificultades a salvar por todo aquel que desee seguir esta línea de trabajo o las
líneas futuras derivadas de ella.
En el Cápitulo VII: Líneas Actuales y Futuras. Se enumeran los estudios actuales y recientes en esta
área del conocimiento. Así mismo se da una lista de los planteamientos a futuro que este tema propone
para aquellos que deseen seguir los caminos del procesamiento digital de imágenes.
El Capítulo VIII: Bibliografía. Contiene una relación de toda la bibliografía, artículos y referencias de
internet consultadas y de las cuales se hace uso extensivo a lo largo del trabajo. Vale decir que usamos la
Notación Bibliográfica [Autor] ó [Autor-Autor], para referirnos a un texto en específico
El Cápitulo IX: ANEXOS. Se detallan para referencia del lector, algunos tópicos sobre las
transformadas de Fourier y su sustentación matemática. Se incluyen además los resultados de las corridas
y tiempos de proceso, para los modelos en MATLAB, por un lado para un escenario de Análisis
Espectral de una señal unidimensional con dos armónicos y ruido añadido y por otro los resultados
de las corridas y tiempos de proceso de dos algoritmos topológicos de detección de bordes en
imágenes de alta resolución.
1.2 MARCO TEORICO
En este numeral del Cápitulo I, incluiremos solo los temas relacionados con la carga computacional de las
Transformadas de Fourier, ya que el marco teórico referente a la Topología General será tratado en detalle en los
Cápitulos II y III. Recordamos que la sustentación matemática de las Transformadas, será tratada con mayor
rigor en los ANEXOS al final del trabajo.
Por el momento, aquí daremos una vista rápida a las expresiones matemáticas analíticas de la Trasnformada de
Fourier (FT) y de las 3 transformadas mencionadas anteriormente.
1.2.1 Expresiones para las Transformadas de Fourier
FT-Fourier Transform (analítica). Generalización de la Serie Compleja de Fourier. en la que se
reeamplaza por , la sumatoria por el Integral, con y , obteniendo las
expresiones más abajo:
DFT-Discrete Fourier Transform. La transformada de Fourier discreta, designada con frecuencia por la
abreviatura DFT (del inglés discrete Fourier transform), y a la que en ocasiones se denomina
transformada de Fourier finita, es una transformada de Fourier ampliamente empleada en tratamiento de
señales y en campos afines para analizar las frecuencias presentes en una señal muestreada, resolver
ecuaciones diferenciales parciales y realizar otras operaciones, como convoluciones. La transformada de
Fourier discreta puede calcularse de modo muy eficiente mediante el algoritmo FFT.
La secuencia de n números complejos x0, ..., xn-1 se transforma en la secuencia de n números complejos
f0, ..., fn-1 mediante dicha transformada según la fórmula
DTFT- Discrete Time Fourier Transform.
Para implementar la dtft usaremos el texto dtft.m, en MATLAB, que se lista a continuación:
En la función anterior se realizó un desplazamiento (fftshift) en frecuencias con objeto de que los
resultados de se den en el intervalo
FFT
Como puede verse facilmente , de las 4 expresiones de estas transformadas, solo el procesamiento para
calcular los coeficientes para señales unidimensionales, plantea esfuerzos de cálculo (Cantidad de
operaciones) proporcionales a , para la DFT y la DTFT, mientras que para la FFT la proporcionalidad
es a .
Si estuviésemos procesando una Imagen (Señal bidimensional), el esfuerzo de cáculo sería proporcional a
, para la DFT y DTFT, mientras que para la FFT, la prorpocionalidad sería de nuevo de
En el Capítulo IX. ANEXO, en la sección dedicada a los Algoritmos de la DFT, DTFT y FFT al final de
este trabajo, podemos apreciar en las líneas de codigo, que el ciclo de ejecución del algoritmo
representado en esa seccion del programa, plantea una repetición de veces las instrucciones de
multiplicacion y sumatorias contenidas en dichas lineas.
En tal caso queda claramente comprobada la carga algorítmica que representa en función del número de
muestras.
Ahora bien, algunas de las aplicaciones de la FT para procesos unidimiensionales son:
Análisis de Distorsión Armónica
Análisis de Vibraciones y Firma Mecánica
Estimaciones de la respuesta en Frecuencia (Funciones de transferencia de los Filtros)
Convolucion de Señales
Correlación de Señales
Análisis Espectral de Potencia
Entre otras
Entre las aplicaciones de la FT en procesos u objetos bidimensioanales están entre otros:
La restauracion de Imágenes degradadas linealmente
Convolución y Deconvolución iterativa
o Una imagen degradada puede ser representada como
o Donde:
– es la imagen degradada,
– la imagen prístina sin distorsión,
– Una función Kernel, usualmente desconocida
– Un ruido aleatorio
o El asunto estriba en aplicar la FT en cualquiera de sus variantes en las dos dimensiones
de la Imagen, determinar el espectro frecuencial y discriminar el ruido para filtarlo y
luego aplicar el método iterativo, el de Wiener(Cálculo Estocástico) o el de los Mínimos
Cuadrados para realizar la mejor aproximación posible a la función
CONCLUSION 1.2
COMO CONCLUSION DE ESTE NUMERAL NOS QUEDA QUE EN CUALQUIER CASO, EL
CALCULO DE LAS TRANSFORMADAS, EN CUALQUIERA DE LAS APLICACIONES
MENCIONADAS ANTERIORMENTE IMPLICA UNA CARGA COMPUTACIONAL DE ORDEN
ELEVADO y NO LINEAL CON RELACION AL NUMERO DE MUESTRAS QUE ESTEMOS
PROCESANDO
1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
Segmentación de la Imagen
Una de las principales etapas del análisis de imagen y del reconocimiento, es la segmentación de la
imagen en regiones y el cómputo de varias propiedades de las relaciones entre estas regiones. Sin
embargo, las regiones no siempre son “duramente” definidas; a veces es más apropiado mirarlas como
subconjuntos difusos de la imagen.
En esencia, la segmentación consiste en hallar la estructura interna del conjunto de descripciones de los
objetos (píxeles) en el espacio de representación (imagen). Esta estructura interna evidentemente
depende, en una primera instancia, de la selección de los píxeles y de la forma en que éstos se comparan,
es decir, del concepto de similaridad que se utilice y de la forma en que este se emplee.
Existen cuatro modelos para etiquetar clases o segmentarlas: duro, difuso, probabilístico y posibilístico.
A continuación se dan algunas definiciones sobre estos modelos.
Atributos difusos: Los atributos difusos se clasifican en tres tipos:
Tipo 1: estos atributos son “datos precisos” (clásicos, sin imprecisión) que pueden tener etiquetas
lingüísticas definidas sobre ellos. Estos reciben una representación igual que los datos precisos, pero
puedan ser manejados en condiciones difusas. Por ejemplo, una persona es alta.
Tipo 2: son atributos que pueden almacenar o tomar “datos imprecisos sobre un referencial ordenado”.
Estos atributos admiten tanto datos clásicos como difusos, en forma de distribuciones de posibilidad.
Por ejemplo, la edad puede tener las etiquetas: niño, joven, adulto, referenciadas sobre un conjunto
entre 0 y 100.
Tipo 3: son atributos sobre “datos imprecisos sobre un referencial no ordenado normalizado”. Estos
atributos son definidos sobre un dominio subyacente no ordenado, por ejemplo, el atributo “color del
pelo” puede tener las etiquetas: rubio, pelirrojo y castaño.
Introduzcamos ahora algunas definiciones que nos ayudarán a delimitar el proceso de etiquetamiento
según los diferentes modelos propuestos:
Definición 1.3.1. Sea un entero el cual denota el número de clases, , y definimos tres
conjuntos de vectores-etiquetas en como sigue:
∑
∑
- es la base canónica de ; representa una pieza de un hiperplano, es su envolvente convexa;
y es un hipercubo en , excluyendo el origen. El i-ésimo vértice de es
- es la etiqueta dura para la clase .
Por ejemplo el vector es un vector-etiqueta forzado; sus entradas están entre 0 y 1,
y su suma es 1. Si es una etiqueta para algún Є generado por un modelo fuzzy-c-means, llamamos
a una etiqueta difusa para . Si viene de un método tal como la estimación de probabilidad máxima,
será una etiqueta probabilística. Los vectores tal como en
son llamados vectores-etiquetas posibilísticos.
Cuando no está etiquetado, la asignación de vectores-etiquetas a sus elementos es precisamente el
proceso de agrupamiento o segmentación (o aprendizaje no supervisado). Si las etiquetas son duras,
esperamos que ellos identifiquen a los subgrupos naturales (clases de textura) de .
Definición 1.3.2. La de son conjuntos de valores que son arreglados en una
matriz de , donde denota la columna de :
∑
Las ecuaciones definen, respectivamente, los conjuntos de las de como posibilístico,
difuso (o probabilístico) y duro. Cada columna de en es un vector-etiqueta de
. Note que . Si es difuso, es la pertenencia de en el
grupo difuso de .
El agrupamiento difuso, incluyendo trabajos en procesamiento de imágenes difusas y segmentación, es
discutido en [Bezdek] y [Pal]
Definición 1.3.3. Los algoritmos de agrupamiento son funciones donde es el rango de .
Cuando la salida de es justamente una partición, entonces .
Debemos recordar que algunos algoritmos de agrupamiento producen particiones buenas en el modelo
difuso. La asignación a clases para cada píxel es el objetivo usual en la segmentación de imagen, sin
embargo, para el modelo difuso las etiquetas en son a menudo transformadas en etiquetas duras.
Definición 1.3.4. Las etiquetas no duras son usualmente convertidas a etiquetas duras usando la
función de conversión:
Definición 1.3.5. ALGORITMO TOPOLÓGICO
Khalimsky, (1977,1986), y más recientemente Kovalevsky, (1988), propusieron que una imagen digital
está asociada a un espacio topológico. Entonces, en lugar de tener que definir nociones de topología para
el concepto de grafos (tales como conectividad) para imágenes digitales, las nociones de topología
general pueden ser usadas más directamente. En el procesamiento de imágenes el estudio de las
propiedades topológicas de una imagen se ha desarrollado a través de la teoría de grafos (más
comúnmente conocidos como relaciones 4-,8-,.. relaciones de adyacencia), sin embargo, la topología
general brinda importantes conceptos que se pueden utilizar en el análisis de imágenes, como es el
objetivo de este trabajo, proponer un nuevo criterio agrupacional para la segmentación de imágenes.
Por lo tanto, el trabajo presenta una nueva propuesta que consiste en un algoritmo de clasificación sin
aprendizaje, el cual está dado a partir de la definición de un criterio agrupacional, que a la vez está
definido sobre conceptos topológicos. Sobre la idea de estos conceptos y los que de alguna manera están
implicados, se presenta el siguiente criterio agrupacional, el cual nos dice cuándo un elemento
pertenecerá a un subconjunto de la imagen o cuándo este elemento generará un nuevo grupo. La
siguiente definición nos permite construir un cubrimiento de X a partir de X.
Definición 1.3.6.
Sea X el conjunto imagen y sea S P(X) se define ϕ: S×X → [0, 1], tal que
ϕ(A, x) = d (δ(A), x), con δ(A) =
Decimos entonces que ϕ es una función que nos da la relación de semejanza del conjunto con
, a partir precisamente de considerar el diámetro del conjunto A y la relación de su diámetro con
todos sus elementos. Esta función depende de la aplicación que se esté considerando.
Definición 1.3.7.
Dados fijos y . Sea X un conjunto imagen y sea , se dice que un
elemento pertenece a A si se cumple que en otras
palabras, S es un cubrimiento de X. La definición nos plantea cuándo un elemento pertenece a un
subgrupo del potencial de X, el cual constituye precisamente una segmentación de la imagen.
La construcción de este cubrimiento S (como sucesión) está determinada por las propiedades que la
definen, esto es, un elemento de la imagen pertenecerá a un elemento de S si existe una bola con centro
en el punto y un radio dado tal que intercepte al subconjunto y además que dicho elemento esté
relacionado con el subconjunto que es elemento de S.
No estamos pidiendo que los grupos sean disjuntos dos a dos, sino que se permita también el
solapamiento, además podemos pensar en el concepto difuso para conocer cómo se comportan las
pertenencias de los elementos en los grupos con relación a su vecindad local y a sus representantes.
CONCLUSION 1.3
BASADOS EN EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE SEGMENTACION DE UNA
IMAGEN Y HABIENDO VISTO QUE PODEMOS APLICAR LOS CONCEPTOS TOPOLOGICOS y
DE LOGICA DIFUSA y NO DIFUSA EN EL ESTABLECIMIENTO DE REGIONES
ETIQUETADAS EN LA IMAGEN, CONLCUIMOS QUE EL PREPROCESAMIENTO DE UNA
IMAGEN PUEDE SER PERFECTAMENTE REALIZADO, APLICANDO LOS CONCEPTOS DE
ABIERTOS, LO QUE NOS PLANTEA UNA ALTERNATIVA DE REDEFINICION DE LA TAREA
DE ANALISIS DE LA IMAGEN
CONCLUSION CAPITULO I
(INTRODUCCION + MARCO TEORICO :Fourier + PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA EN TERMINOS
TOPOLOGICOS)
COMO RESULTADO DE ESTE PRIMER CAPITULO DEL TRABAJO, HEMOS REPASADO LAS
EXPRESIONES MATEMATICAS Y LOS ALGORITMOS CLASICOS Y MEJORADOS DE LAS
TRANSFORMADAS DE FOURIER Y HEMOS REVISADO LA POSIBILIDAD DE DEFINIR UNA
FUNCION DE SEMEJANZA EN UN ESPACIO DIGITAL DE IMAGEN (NO UNA DISTANCIA
NECESARIAMENTE) QUE NOS PERMITIRA A TRAVES DE COMPARACION Y
CLASIFICACION, PODER RECONOCER CON O SIN APRENDIZAJE, DIFERENTES AREAS DE
UNA IMAGEN DIGITALIZADA.
A continuación en el siguiente Cápitulo II, en el numeral 2.1,introducimos una lista completa de los
conceptos y definiciones que iremos usando a lo largo del presente trabajo. Para una mayor facilidad del
lector, los hemos ordenado alfabéticamente. En el numeral 2.2 extraemos un listado de los conceptos
más importantes del trabajo.
II. DEFINICIONES Y CONCEPTOS. GLOSARIO DE TÉRMINOS
2.1 GLOSARIO ALFABETICO DE TERMINOS USADOS EN EL TRABAJO:
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
A.
conjunto abierto. Un miembro de la topología. Relacionado con el concepto de interior de un conjunto
Aplicación abierta. Una función de un espacio a otro es abierta si la imagen de cualquier abierto es abierta.
Accesible. Ver T1.
adherencia o clausura. La adherencia de un conjunto es la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen. Es el cerrado más pequeño que contiene al conjunto original.
punto aislado. Un punto x es un punto aislado si el conjunto unitario {x} es abierto.
B.
espacio de Baire. Un espacio es un espacio de Baire si cualquier intersección enumerable de conjuntos abiertos densos es también densa.
Base. Un conjunto de conjuntos abiertos es una base para una topología si cada conjunto abierto en la topología es unión de conjuntos de la base.
Base de entornos. Ver base local.
álgebra de Borel. El álgebra de Borel sobre un espacio X es la menor σ-algebra que contenga todos los conjuntos abiertos.
Boreliano, o conjunto de Borel. Un conjunto de Borel es un elemento de un álgebra de Borel.
C.
Cauchy, sucesión de Cauchy. Una sucesión {xi} en un espacio métrico M con la métrica d es llamada sucesión de Cauchy (o Cauchy de forma breve) si para todo número real positivo r, existe un número entero N tal que para todo par de enteros m y n mayores que N, la distancia d(xm, xn) es menor que r.
Clopen, conjunto clopen. Un conjunto es clopen si es abierto y cerrado.
Cerrado, conjunto cerrado. Un conjunto es cerrado si el complementario es un miembro de la topología (un abierto).
función cerrada. Una función de un espacio a otro es cerrada si la imagen de cada conjunto cerrado es cerrada.
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
espacio cociente. Si X e Y son espacios y f : X → Y es cualquier aplicación, la topología cociente sobre Y inducida por f es la topología más fina (con más abiertos) para la que f es continua. Decimos entonces que "Y" es un espacio cociente. El ejemplo más común de este espacio es el que se consigue con una relación de equivalencia en X, siendo Y el conjunto de las clases de equivalencia y f la aplicación proyección natural.
Compacto. Un espacio es compacto si todo recubrimiento abierto contiene un subrecubrimiento finito. Los espacios compactos son siempre Lindelöf y paracompactos. Los espacios compactos Hausdorff son por tanto normales.
Contablemente compacto. Un espacio es contablemente compacto si cada recubrimiento enumerable abierto tiene un subrecubrimiento finito.
Topología compacto-abierta Una topología sobre el conjunto de las aplicaciones continuas C(X, Y) entre dos espacios topológicos X e Y definida como sigue:
Dado un subconjunto compacto y un subconjunto abierto denotemos con
VK,U al conjunto de todas las funciones tales que . La
topología se obtiene tomando la colección de todos los VK,U como subbase de la topología.
Completo. Un espacio métrico es completo si cada sucesión de Cauchy converge.
Completamente metrizable. Es un espacio cuya topología es inducida por una métrica en el.
Completamente normal. Un espacio es completamente normal si cualesquiera dos conjuntos separados tienen entornos disjuntos.
Completamente normal y Hausdorff. Un espacio completamente normal y Hausdorff (o de tipo T5) es un espacio completamente normal y de tipo T1. (Un espacio completamente normal es Hausdorff ssi es T1, así que la terminología es consistente.) También los espacios "completamente normales" y Hausdorff son siempre normales y Hausdorff.
Completamente regular. Un espacio es completamente regular si para cualesquiera C (conjunto cerrado) y p punto que no esté en C, C y {p} están funcionalmente separados.
completamente T3. Ver Tychonoff.
Componente. Ver componente conexa.
Conexo. Un espacio X es conexo si no es la unión disjunta de un par de conjuntos no vacíos y abiertos. De forma equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos "clopen"
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
son el conjunto vacío y todo el espacio X.
Conexo por caminos. Un espacio X es conexo por caminos si para cada dos puntos x, y en X, existe un camino p de x a y, esto es, una aplicación continua p: [0,1] → X con p(0) = x y p(1) = y. Los espacios de este tipo son siempre conexos.
Componente conexa. Una componente conexa de un espacio es un subespacio conexo maximal. Las componentes conexas del espacio forman una partición del mismo.
Continua (aplicación o función). Una función de un espacio a otro es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierta.
Continuo. Un continuo es un conjunto conexo y compacto.
Contráctil. Un espacio X se dice contráctil si la aplicación identidad sobre X es homótopa a una aplicación constante. Los espacios contráctiles son siempre simplemente conexos.
Cubierta. Ver recubrimiento.
Cubo con asas, contrucción topológica para estudiar variedades mediante descomposiciones en subvariedades más sencillas
D.
topología débil. La topología débil en un conjunto, con respecto a una colección de funciones desde ese conjunto a espacios topológicos, es la topología más débil sobre el conjunto que hace que todas las funciones sean continuas.
débilmente hereditaria. Una propiedad de los espacios se dice débilmente hereditaria si cuando un espacio la tiene, entonces todo subespacio cerrado también. Por ejemplo, la compacidad y la propiedad Lindelöf son ambas débilmente hereditarias, aunque ninguna es hereditaria.
denso. Un conjunto denso es uno que interseca a todo abierto no vacío del espacio. De forma equivalente, un conjunto es denso si su adherencia es todo el espacio (por ejemplo
es denso en considerando en ambos casos la topología inducida por la métrica usual).
conjunto denso en ninguna parte. Es un conjunto cuya adherencia tiene interior vacío.
topología discreta. Ver espacio discreto.
espacio discreto. Un espacio X es un espacio discreto si cada subconjunto de X es abierto. Decimos que X tiene la topología discreta.
Disco (matemática) cerrado o abierto, figura geométrica, concepto topológico en espacios
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
métricos. Ver epsilon vecindad.
E.
Entorno. Un entorno de un conjunto S es un conjunto que contiene a un abierto que a su vez contiene a S. (Notar que el entorno en sí mismo no necesita ser abierto.) Un entorno de un punto p es un entorno del conjunto unitario {p}. Es lo mismo que vecindad. Véase interior de un conjunto.
Entorno agujereado de "p". Un entorno así, de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (-1,1) = {x : -1 < x < 1} es un entorno de 0 en la línea real, y el conjunto (-1,0) ∪ (0,1) = (-1,1) - {0} es un entorno agujereado del 0.
"Entourage". Ver espacio uniforme.
Estructura uniforme. Ver espacio uniforme.
espacio recubridor. Es un espacio tal que existe homeomorfismo sobreyectivo y otro espacio al que se dice que recubre.
F.
Fibrado. Manera estándar de construir nuevos espacios a partir de otros conocidos. Generaliza la construcción de producto cartesiano.
Frontera. La frontera de un conjunto es la adherencia del conjunto menos su interior. O de forma equivalente, la frontera de un conjunto es la intersección de su adherencia con la adherencia del complementario.
conjunto Fσ. Un conjunto Fσ es una unión enumerable de cerrados.
Funcionalmente separados. Dos conjuntos A y B en un espacio X son funcionalmente separados si existe una función continua desde X al intervalo [0,1] con la propiedad de que A es llevado al 0 y B al 1.
G. conjunto Gδ. Un conjunto Gδ es una intersección enumerable de abiertos.
H.
Hausdorff. Un espacio es Hausdorff (o T2) si todo par de puntos distintos tienen entornos disjuntos. Los espacios Hausdorff son siempre T1.
Hereditario. Una propiedad de espacios es hereditaria si ocurre que teniéndola un espacio la tienen también todos sus subespacios. Por ejemplo, la segunda-contabilidad es una propiedad así.
homeomorfismo. Un homeomorfismo de un espacio X a otro Y es una aplicación biyectiva f : X → Y tal que f y f -1 son continuas. Los espacios X e Y se dirían entonces homeomorfos. Desde el punto de vista "geométrico-topológico", o sea, desde el punto de vista de la topología, dos espacios homeomorfos son idénticos.
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
homogéneo. Un espacio X es homogéneo si para cada x e y en X existe un homeomorfismo f : X -> X tal que f(x) = y. Intuitivamente significa que el espacio parece el mismo desde cada punto. Todos los grupos topológicos son homogéneos.
Aplicaciones homotópicas, homótopas. Dos aplicaciones continuas f, g : X -> Y son homótopo si existe una aplicación continua H: X× [0,1] → Y, tal que H(x,0) = f(x) y H(x,1) = g(x) para todo x en X. Aquí el espacio X × [0,1] viene dado por la topologíá producto usual. La función H se llama homotopía entre f y g.
I.
espacio indiscreto. Ver topología trivial.
topología indiscreta. Ver topología trivial.
Interior (topología). El interior de un conjunto es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en él. Es el conjunto abierto más grande contenido en el original.
J. JJ
K.
Kolmogorov, espacio de. Ver T0.
axiomas de cerrados de Kuratowski. Son un conjunto de axiomas satisfechos por el operador de adherencia "C":
1. isotonicidad: cada conjunto A está contenido en su adherencia C(A). 2. Idempotencia: la adherencia de un conjunto A (C(A)) es igual a la adherencia de
C(C(A)). 3. Preservación de uniones binarias: la adherencia de una unión de dos conjuntos es
la unión de sus adherencias. 4. Preservación de uniones "nulas": La adherencia del conjunto vacío es vacía.
L.
punto límite. Un punto x en X es un límite de un subconjunto S si cada conjunto abierto que contenga a x también contiene un punto de S distinto de x. Esto es equivalente a pedir que cada entorno de x contenga un punto de S distinto del propio x.
Lindelöf. Un espacio es Lindelöf si cada recubrimiento abierto tiene un sub recubrimiento numerable. Ver recubrimiento abierto.
base local. Un conjunto B de entornos de un punto x en un espacio X es una base local (o base de entornos) en un punto x si cada entorno de x contiene algún miembro de B.
localmente. Un espacio se dice que cumple la propiedad P localmente si para cada punto existe un entorno donde la propiedad se cumple.
Localmente compacto. Un espacio lo es si cada punto tiene una base local compuesta de
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
entornos compactos. Los espacios localmente compactos son simempre Tychonoff.
Localmente conexo. Un espacio lo es si cada punto tiene una base local de conjuntos conexos.
Localmente finito. Una colección de subconjuntos de un espacio es localmente finita si cada punto tiene un entorno que intersecciona sólo un número finito de tales subconjuntos.
Localmente metrizable. Un espacio lo es si cada punto tiene un entorno metrizable.
Localmente conexo por caminos. Un espacio lo si cada punto tiene una base local compuesta de conjuntos conexos por caminos. Un espacio localmente conexo por caminos es conexo si y solo si es conexo por caminos.
M.
Meagre. Ver primera categoría.
métrica. Ver espacio métrico.
espacio métrico. Es un conjunto M equipado con una función d : M × M → R que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z en M:
1. d(x, y) ≥ 0 2. d(x, x) = 0 3. si d(x, y) = 0 entonces x = y (identidad de indiscernibles) 4. d(x, y) = d(y, x) (simetría) 5. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular)
La función d se llama métrica en M.
Metrizable. Un espacio lo es si es homeomorfo a un espacio métrico. Estos espacios son siempre Hausdorff y paracompactos (y por tanto normales y Tychonoff), y primero-contables.
N.
espacio normal. Un espacio es normal si cualesquiera dos conjuntos cerrados disjuntos tienen entornos disjuntos. Los espacios normales admiten particiones de la unidad.
Normal Hausdorff. Un espacio normal Hausdorff (o T4) es un espacio normal y T1. (Un espacio normal es Hausdorff ssi es T1, así que la terminología es consistente.) Estos espacios son siempre Tychonoff.
O. OO
P. Paracompacto. Un espacio lo es si cada recubrimiento abierto tiene un refinamiento
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
abierto localmente finito. Los espacios paracompactos Hausdorff son normales.
Partición de la unidad. Una partición de la unidad de un espacio X es un conjunto de funciones continuas de X a [0,1] tal que todo punto tenga un entorno donde todas las funciones sean cero excepto un número finito de ellas, y que la suma de todas las funciones sobre todo el espacio sea idénticamente 1.
Punto. Este término se usa a menudo para referirse a los elementos del espacio topológico.
"Polish". Un espacio se dice "Polish" si es metrizable con métrica separable y completa.
Precompacto. Ver relativamente compacto.
Primera categoría, o "meagre". Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces A es meagre en X (o de primera categoría en X) si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte. Si A no es "meagre" en X, A se dice a veces de segunda categoría en X.
Primero-numerable. Un espacio es primero-numerable si cada punto tiene una base local numerable.
topología producto. Si {Xi} es una colección de espacios y X es el producto cartesiano de los {Xi}, entonces la topología producto sobre X es la topología menos fina para la cual todas las aplicaciones proyección son continuas.
Q. QQ
R.
Recubrimiento. Una colección {Ui} de subconjuntos de un espacio X es un recubrimiento o cubierta si su unión es todo el espacio X.
Recubrimiento abierto. Un recubrimiento formado por abiertos. Ver recubrimiento.
Red. Una red ("net") en un espacio X es una aplicación desde un conjunto dirigido A hacia X. Se denota usualmente con (xα), donde α es una variable de índices que toma valores en A. Cada sucesión es una red si elegimos que A sea el conjunto dirigido de los números naturales con el orden usual.
Refinamiento. Un recubrimiento K es un refinamiento de otro recubrimiento L si cada miembro de K es un subconjunto de algún miembro de L.
espacio regular. Un espacio es regular si para cualesquiera C cerrado y p un punto que no esté en C, entonces C y p tienen entornos disjuntos.
Regular Hausdorff. Un espacio es regular Hausdorff (o T3) si es T0 y regular. (Un espacio
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
regular es Hausdorff ssi es T0, así que la terminología es consistente.)
relativamente compacto. Un subconjunto Y de un espacio X es relativamente compacto si la adherencia de Y en X es compacta.
Residual. Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces A es residual en X si el complemento de A es "meagre", de primera categoría, en X.
S.
Segunda categoría. Ver meagre, "primera categoría".
Segundo-numerable. Un espacio es 2º-numerable si tiene una base numerable para su topología. Estos espacios son siempre separables, 1º-numerables y Lindelöf.
Separable. Un espacio es separable si tiene un subconjunto numerable que sea denso en el espacio.
Separados. Dos conjuntos A y B son separados si la adherencia de cada uno es distinta de la del otro.
espacio de Sierpinski. Sea S = {0,1}. Entonces T = {{},{1},{0,1}} es una topología en S, y el espacio que resulta se llama de Sierpinski. El el ejemplo más simple de espacio que no es T1.
espacio simplemente conexo. Un espacio X es simplemente conexo si es conexo por caminos y cada aplicación continua f: S¹ → X es homótopo a una aplicación constante.
Subbase. Un conjunto de conjuntos abiertos es una subbase para una topología si cada conjunto abierto en la topología es una unión de intersecciones finitas de conjuntos en la subbase. La topología generada por una subbase es la topología más pequeña que contiene a los elementos de la subbase; esta topología consiste de todas las intersecciones finitas de uniones de elementos de la subbase.
Subrecubrimiento. Un recubrimiento K es un subrecubrimiento (o subcubierta) de un recubrimiento L si cada miembro de K es un miembro de L.
Subcubierta. Ver Subrecubrimiento.
Subespacio. Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces la topología en A inducida por X está formada por todas las intersecciones de conjuntos abiertos en X con A.
T.
T0. Un espacio es T0 (o Kolmogorov) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, o bien existe un abierto que contiene a x pero no a y, o existe un abierto que contiene a y pero no a x.
T1. Un espacio es T1 (o accessible) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio,
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
existe un abierto que contiene a x pero no a y. (Comparar con T0; aquí, permitimos especificar qué punto es el que está contenido en el abierto.) De forma equivalente, un espacio es T1 si todos sus conjuntos unitarios son cerrados. Los espacios T1 son siempre T0.
T2. Ver Hausdorff.
T3. Ver Regular Hausdorff.
T3½. Ver Tychonoff.
T4. Ver Normal Hausdorff.
T5. Ver Completamente normal Hausdorff.
Espacio topológico. Un espacio topológico es un conjunto X equipado con una colección T de subconjuntos de X que satisface las condiciones siguientes:
1. El conjunto vacío y X están en T. 2. La unión de cualquier colección de conjuntos en T está también en T. 3. La intersección de cualquier par de conjuntos en T está también en T.
La colección T se llama topología en X. Decimos que X es un espacio topológico porque
hemos dado una topológia (T) en él.
Topología. Ver espacio topológico.
Topológicamente completo. Un espacio topológicamente completo es un espacio que es homeomorfo a un espacio métrico completo.
Topología geométrica: estudio de las relaciones y propiedades entre los espacios topológicos de dimensiones bajas. Véase topología de dimensiones bajas
Topología cociente. Ver ""espacio cociente"".
Totalmente disconexo. Un espacio es totalmente disconexo si no tiene subconjuntos conexos con más de un punto.
topología trivial. La topología trivial en un conjunto X se compone del conjunto vacío y de X, el espacio entero.
Tychonoff. Un espacio Tychonoff (o completamente regular Hausdorff, completamente T3, o T3½) es un espacio completamente regular y T0. (Un espacio completamente regular es Hausdorff sii es T0, así que la terminología es consistente.) Los espacios Tychonoff son siempre regulares Hausdorff.
ORDEN
ALFA
BETICO
DEFINICION DE LOS TERMINOS
U.
espacio uniforme. Un espacio uniforme es un conjunto U equipado con un sistema no vacío Φ de subconjuntos del producto cartesiano X × X que satisface:
1. si U está en Φ, entonces U contiene { (x, x) | x en X }. 2. si U está en Φ, entonces { (y, x) | (x, y) en U } está también en Φ 3. si U está en Φ y V es un subconjunto de X × X que contiene a U, entonces V está en
Φ 4. si U y V están en Φ, entonces U ∩ V está en Φ 5. si U está en Φ, entonces existe V en Φ tal que, para cualesquiera (x, y) y (y, z) que
estén en V, entonces (x, z) está en U.
Los elementos de Φ son llamados entourages, y Φ en sí mismo se dice estructura
uniforme en U.
V.
n-variedad, Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática, que generaliza la
noción intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre
cuerpos variados (no forzosamente el de los reales);
Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio
que se parece localmente a . Esto nos hace pensar que una variedad esta compuesta de
parches n-dimensionales, que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente
variedad diferenciable: En Geometría y Topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en Rn. En una variedad diferenciable M podremos
definir lo que es una función diferenciable , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores), El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.
2.2 CONCEPTOS Y DEFINICIONES MÁS IMPORTANTES DEL TRABAJO
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
1. Conjunto Concepto primitivo que denota una colección bien definida de objetos. Los
matemáticos suelen no definirlo sino aceptarlo como concepto primario sin
definición. Se denominan usando las letras mayúsculas del alfabeto latino.
2. Unión, Intersección,
Diferencia de
conjuntos
UNION: Dados A y B, se puede construir un nuevo Conjunto conteniendo los
elementos de ambos conjuntos, Se denota como:
A U B = .
INTERSECCION:
A B = , los elementos comunes.
DIFERENCIA:
A – B = .
3. Función Regla que asigna a cada elemento de A, un elemento de B.
Una regla de asignación es un subconjunto “r” del producto cartesiano CxD de
dos conjuntos, con la propiedad de que cada elemento de C aparece como la
primera coordenada de a lo sumo un par ordenado de “r”
Una función “f” es una regla de asignación “r” con un conjunto B que contiene a
la imagen de “r”. EL dominio A de la regla “r” se llama dominio de “f”, el
conjunto imagen de “r” se llama imagen de “f” y el conjunto B se llama Rango
de “f”.
Si “f” es una función con dominio A y rango B, esto se denota, f:AB
4. Relaciones:
De equivalencia.
Particiones
Una relación en un conjunto A, es un subconjunto B del producto cartesiano A
x A
Una relación de equivalencia en A es una relación ~ que verifica las siguientes 3
propiedades:
o Reflexividad:
o Simetría:
o Transitividad:
Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos disjuntos no
vacíos de A cuya unión es todo A
5. Relaciones de orden Una relación C en un conjunto A se denomina relación de orden (simple o lineal) si
tiene las siguientes propiedades:
Comparabilidad
No reflexividad:
Transitividad
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
6. Axiomas de
R y Z
Supongamos que existen conjuntos R y Z y en ellos están definidas las operaciones
binarias Suma (+) y Multiplicación (x)
Las Leyes para la suma y la multiplicación son:
1. Asociativa
2. Conmutativa
3. Distributiva
4. Elemento Neutro 0(para la +) y 1 (para la x)
5. Inverso aditivo y multiplicativo
6. De orden Si x>y x+z>y+z, Y xz>yz para z>0
7. Propiedad del Supremo verificada por la relación de orden <
8.
7. CARDINAL DE UN
CONJUNTO
Número de elementos de ese conjunto.
Si el Conjunto es Vacío( ), el cardinal es = Cero (0)
Si biyección para algún entero n, el cardinal es = n
8. TOPOLOGIA La Topología es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que
permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina
matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las
funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad,
número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto,
comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan
conectividad, compacidad, metricidad, etcétera.
9. Espacios topológicos Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición
formal de conceptos como convergencia, conectividad, y continuidad.
10. Base para una
Topología
En matemáticas, una base β de un espacio topológico X con topología T, es una
colección de abiertos de T que verifica que todo abierto de la topología T puede
expresarse como unión de los elementos de β
11. Espacios Métricos En matemática, un espacio métrico es un tipo particular de espacio topológico
donde una distancia entre puntos está definida. Corresponde al caso muy común
en que se dispone de una noción de distancia sobre el espacio.
12. CONEXIDAD Un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topológico
(donde es la colección de conjuntos abiertos del espacio
topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos
abiertos de la topología.
13. COMPACIDAD En matemáticas, concretamente en la rama de la Topología, la compacidad es
una de las muchas propiedades que puede adoptar un espacio topológico. Se
trata de una propiedad con gran importancia dado que dota a los espacios de
una regularidad que permite definir teoremas u otras propiedades sobre estos
espacios.
Formalmente un espacio topológico se dice que es compacto si es quasi-
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
compacto y de Hausdorff. Vamos a definir cada concepto:
Espacios quasi-compactos: Sea un espacio topológico con su
topología asociada. X es quasi-compacto si para todo recubrimiento por
abiertos de X, es decir, , existe un sub recubrimiento del
mismo , , , finito.
Espacios de Hausdorff: Un espacio topológico (X,τ) es llamado espacio de
Hausdorff o T2 si para cada par de puntos, existen entornos en cada uno de
ellos tal que su intersección es vacía, es decir, se pueden separar. Ésta es una
propiedad de separación. Matemáticamente: (X,τ) es Hausdorff si
entornos de x e y respectivamente tales que
.
14. PREORDENES En matemática, especialmente en teoría del orden, pre órdenes son ciertas clases
de relaciones binarias que se relacionan con los conjuntos parcialmente
ordenados. El nombre cuasi orden es también una expresión común para pre
órdenes. Muchas definiciones teóricas para los conjuntos parcialmente ordenados
se pueden generalizar a pre órdenes, pero el esfuerzo adicional de generalización
raramente se necesita. Con todo hay campos de uso, tales como la definición de la
convergencia vía redes en topología, donde los pre órdenes no se pueden
substituir por conjuntos parcialmente ordenados sin perder propiedades
importantes. Considere algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤
es un pre orden, o un cuasi orden, si es reflexiva y transitiva, es decir, para todo a,
b y c en P, tenemos que:
a ≤ a (reflexividad)
si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)
Un conjunto que se equipa con un pre orden se llama un conjunto pre
ordenado. Si un pre orden es también anti simétrico, es decir, a ≤ b y b ≤ a
implica a = b, entonces es un orden parcial.
Un orden parcial se puede construir con cualquier pre orden identificando
puntos "iguales". Formalmente, se define una relación de equivalencia ~
sobre X tal que a ~ b sii a ≤ b y b ≤ a. Ahora el conjunto cociente X/~, es
decir el conjunto de todas las clases de equivalencia de ~, pueden ser
fácilmente ordenadas definiendo [x] ≤ [y] si y solo si x ≤ y. Por la
construcción de ~ esta definición es independiente de los representantes
elegidos y la relación correspondiente está de hecho bien definida. Se
verifica fácilmente que esto da un conjunto parcialmente ordenado.
15. ORDENES Un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si
es reflexiva, anti simétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P,
tenemos que:
a ≤ a (reflexividad)
si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)
si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (anti simetría).
16. HOMEOMORFISMOS Un homeomorfismo de un espacio X a otro Y es una aplicación biyectiva f : X → Y
tal que f y f -1 son continuas. Los espacios X e Y se dirían entonces homeomorfos.
Desde el punto de vista "geométrico-topológico", o sea, desde el punto de vista de
la topología, dos espacios homeomorfos son idénticos.
Más exactamente, supongamos que X y Y son espacios topológicos, y f una
función de X a Y; entonces, f es un homeomorfismo si y sólo si se cumple
que:
f es una biyección f es continua
(la inversa de f) es continua
Si es un homeomorfismo, Y se dice homeomorfo a X. Si dos
espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas
propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías,
dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.
17. ISOMORFISMOS Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo tal que su inversa es también
homomorfismo.
18. ELEMENTOS
ETIQUETADOS Y SIN
ETIQUETAR
Etiquetados: Modelos Duro o Forzado, Difuso, Probabilístico y Posibilístico.
Conceptos relacionados con los modelos de datos UML
19. AXIOMA DE
SEPARACION
Estas separaciones fueron estudiadas por P. S. Alexandroff y H. Hopf en 1925, bajo
la denominación de axiomas Tk, k = 0, 1, 2, 3, 3½ , 4, los cuales nos muestran
básicamente el grado en que puntos y conjuntos pueden ser mantenidos aparte o
separados por medio de conjuntos abiertos. Nuestro estudio se limitará a los
axiomas Tk mencionados, aunque no dejan de existir esfuerzos en crear cada día
otro Tk, k-racional, donde la separación óptima podría pensarse que la poseen los
espacios métricos.
20. ESTRUCTURA SIN Una estructura matemática se llama con frecuencia una estructura “etiquetada” si
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
ETIQUETAR O
ETIQUETADA
uno quiere expresar la diferencia entre la estructura en sí misma y su clase de
isomorfismo, la cual es llamada entonces una estructura sin “etiquetar”.
21. CONTEO DE
TOPOLOGIAS
NO ES TRIVIAL, contar topologías en X es contar pre órdenes y órdenes en X, y
contar estas colecciones de conjuntos ha demostrado ser en los últimos 40 años
una herramienta combinatoria muy útil (aplicaciones en procesos digitales como
en la topología digital, procesamiento de imágenes, espacios que resultan ser
finitos como en la química teórica, genética, redes, etc.).
22. ALGORITMO DE
HEITZIG Y REINHOLD
Varios de los algoritmos propuestos para calcular . El más rápido de ellos,
hasta el año 2000 fue desarrollado por J. Heitzig y J. Reinhold
quienes fueron capaces de encontrar
23. ALGORITMO DE
LYGEROS Y
ZIMMERMAN
90,000 topologías por segundo con 1 Pentium III
4MILLONES DE TOPOLOGIAS POR SEGUNDO (2002)
EN 2005 CONTO HASTA
24. ABIERTOS Conjunto abierto. Un miembro de la topología. Relacionado con el concepto de
interior de un conjunto
25. ABIERTOS PROPIOS Dícese de los Conjuntos propios y
26. ESTRUCTURAS
ORDENADAS Y
TOPOLOGICAS
El estudio de las representaciones numéricas ordenadas se remonta, cuando
menos, a George Cantor [1895,1897], quien plantea ya la cuestión de dilucidar que
estructuras totalmente ordenadas son isótonas a un subconjunto ordenado de la
recta real con su orden natural .
Cantor prueba que todo conjunto totalmente ordenado y numerable (X,-) es
representable en (R,≤) a través de un isomorfismo de órdenes (o función de
utilidad) f : X R tal que x ≤ ~y , f(x) ≤ ~f(y) (x, y Є X).
27. Relaciones. Sea X un conjunto con n elementos. Un subconjunto X×X es una relación binaria
(o relación) en X; el número de relaciones en X es
28. Una relación R es
reflexiva
si (x, x) ЄR para cada x Є X; el número de relaciones reflexivas en X es .
29. Una relación R es
simétrica
Si para todo x, y 2 X la condición (x, y) 2 R implica (y, x) 2 R; el número de
relaciones simétricas en X es 2n (n−1)/2.
30. Pre órdenes y
órdenes.
Un pre orden R en un conjunto P es una relación Reflexiva y transitiva. Notamos
por Pre(n) el conjunto de los pre órdenes en el conjunto finito X. Si un pre orden R
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
en P es además anti simétrico, lo llamamos un orden parcial o simplemente un
orden en P y decimos que (P,R) es un CPO —conjunto parcialmente ordenado—.
En estos dos casos la relación R se acostumbra notar cómo y escribimos x y si
(x, y) R. Notamos por CPO(n) el conjunto de los ´ordenes en el conjunto finito X
31. elemento maximal
(minimal)
Un elemento x P es un elemento maximal (minimal) si para cada z en P,
x z (z x) implica x = z. Dos elementos x, y son comparables si x y o y x, de lo
contrario se dicen incomparables.
32. totalmente
ordenado
Si cada par de elementos son comparables decimos que (P, ) es un conjunto
totalmente ordenado.
33. Cadena Un subconjunto C P es una cadena si cualquier par de elementos en C son
comparables.
34. Retículo. Lattice: Si para todo par de elementos x, y existen x y y x y se dice que es
un retículo.
35. Retículo completo
36. Conjunto inferior
(o conjunto
decreciente o ideal de
orden) 37. conjunto superior
(o conjunto creciente
o filtro de orden)
38. Familias de y
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
39. clausura transitiva En un espacio topológico X la clausura o adherencia de un subconjunto E es el
conjunto: , donde es el
símbolo para una vecindad de . Un manera de definir a un conjunto cerrado es
diciendo que "un conjunto es cerrado si y sólo si es igual a su clausura"
Equivalentemente la clausura se puede definir mediante
donde E' es el conjunto de los puntos de acumulación de E
La clausura de E es también la intersección de todos los conjuntos cerrados que
contienen a E. La clausura transitiva o cierre transitivo de una relación binaria es la
relación binaria más pequeña que siendo transitiva contiene al conjunto de pares
de la relación binaria original. La clausura transitiva de una relación es denotada
. En otras palabras,
es la relación binaria que verifica:
es transitiva
Si es una relación transitiva tal que , entonces
Nótese que si es transitiva, entonces . Dada cualquier relación
siempre existe su clausura transitiva.
40. relación entre
topologías y pre
órdenes.
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
41. pre orden de
especialización
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
42. Las topologías son pre
órdenes
43. Grafo Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:
V es un conjunto de vértices o nodos, y E es un conjunto de arcos o aristas, que relacionan estos nodos.
Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos
no son aplicables para grafos infinitos. Se llama orden de G a su número de
vértices, | V | .
Lazos o Bucles
Un lazo o bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una
arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
44. Grafo dirigido o
dígrafo
Un grafo dirigido o digrafo es un grafo G = (V,E) donde:
es un conjunto de pares ordenados de elementos de .
Dada una arista (a,b), a es su nodo inicial y b su nodo final.
Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.
Grafo dirigido
45. Grafo No Dirigido Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo G = (V,E)
donde:
es un conjunto de pares no ordenados de elementos de .
Un par no ordenado es un conjunto de la forma {a,b}, de manera que {a,b}
= {b,a}. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de
V de cardinalidad 2, el cual se denota por .
Grafo no dirigido
46. Pseudografo Un pseudografo es un grafo G = (V,E) donde:
es un conjunto de pares no ordenados de elementos de .
Es decir, un pseudografo es un grafo no dirigido que acepta bucles en .
47. Pseudografo dirigido Un pseudografo dirigido es un grafo G = (V,E) donde:
es un conjunto de pares ordenados y etiquetados de
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
elementos de
Es decir, un pseudografo dirigido es un grafo dirigido que acepta bucles en
.
48. Curvas de Jordan Un contorno, como concepto matemático, se define como una curva simple cerrada
de Jordan que consta de un número finito de arcos suaves. Verifica continuidad y
también continuidad por tramos en su primera derivada.
Por ser cerrada, el punto inicial y final coinciden, y por ser simple no admite
intersecciones. En nuestro caso los contornos se modelarán con poligonales
definidas por los puntos enlazados que se situarán sobre la frontera de cada región.
49. Espacios de
Alexandroff
50. Dimensión de
Alexandroff
51. POSETS Partial Ordered Sets
(conjuntos Parcialmente ordenados)
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
52. Espacios Digitales
53. Fenestraciones
54. (1) COTS Connected Ordered Topological Spaces. Es un espacio topologico conectado X
para el cual:
Si contiene al menos 3 puntos distintos entonces hay un tal que
contiene más de un componente de . Khalimsky [1960]
55. (2) Localmente Finito Un espacio topológico es localmente finito si cada uno de sus elementos está
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
contenido en un abierto finito y en un cerrado finito. Es de Alexandroff si las
intersecciones arbitrarias de abiertos son también abiertos.
56. (3) Línea Khalimsky Es un conjunto de Enteros equipado con la topología K generada por
, de modo que si y solo si,
siempre que , sea un entero par, entonces . Los algoritmos
que están relacionados con estos espacios usan el orden de espacialización de
Alexandroff: . En otras palabras: Los Elementos Pares son
cerrados y los Impares abiertos. (SINGLETONS)
57. (4) Elementos
adyacentes
Dos elementos disitintos , son adyacentes si es conectado.
Sea el conjunto de los elementos
adyacentes a . Decimos que un Camino(digital) en desde a , es una
secuencia de elementos de tales que , y
{ } . Un conjunto
Las rutas son precisamente imágenes continuas de COTS finitos
58. (4a) n-Espacio Digital Es el producto de n copias de la linea Khalimsky, . En estos al igual que la linea
Khalimsky los elementos(singletons) que tienen coordenadas pares, son cerrados y
aquellos que tienen coordenadas impares, son abiertos. Los siguientes diagramas
sugieren, 2-espacio digital(plano digital) y
3-espacio digital.
59. (5) Dimensión de un
espacio
localmente finito
Esta dimensión , es uno menos que la longitud maximal de una
cadena (precede) en el conjunto
, la dimensión de
un elemento ( ) Ciertamente si y solo
si es discreto.
60. (6) 0-Superficie de
JORDAN
Es un espacio discreto de 2-elementos. Para , una
, :
CONCEPTOS Y
DEFINICIONES
DESCRIPCION
–
–
–
61. TEOREMA
GENERALIZADO
DE JORDAN
Si de JORDAN, para entonces
consiste de dos componentes conectados, uno finito llamado “Interior” y
otro llamado “Exterior”. Más aún, , conecta ambos componentes.
62. FUNCION EDGE Función de MATLAB que detecta los bordes en una imagen, lo hace aplicando
conceptos de espacios métricos usando operadores gradientes para las escalas de
grises
63. FILTRO CANNY Parámetro que se le indica a la función EDGE para que detecte los bordes
basado en el Filtro de CANNY
64. FILTRO SOBEL Idem pero para Filtro de SOBEL
2.3 INDICE DE SIMBOLOS
III. DEMOSTRACIONES IMPORTANTES
3.1 Mecanismo para introducir conexidad a un espacio inconexo como
La primera y natural idea sería considerar a como sub espacio topológico de (con la topología
estándar), debido a que la imagen digital definida sobre es generada desde una imagen definida sobre
. Sin embargo, como tal sub espacio, es un espacio discreto, por lo tanto es totalmente inconexo,
y por eso obviamente no permite el modelado de objetos conexos. El concepto de conexidad es
inherentemente topológico, por lo cual una tal “estructura” sería una topología sobre . En otras
palabras, un modelado propiamente topológico de una imagen digital consiste en la construcción de un
espacio topológico (no discreto!) sobre el conjunto . En otras palabras debemos introducir una
topología sobre ese espacio inconexo para transformarlo en conexo.
Este tipo de modelado fue realizado sólo recientemente. Los espacios de Alexandroff (o sus POSETS o
complejos correspondientes) surgieron a mediados de los ochentas como modelos topológicos de
“estructuras discretas”, como lo son por ejemplo imágenes digitales. Estas son los objetos de la visión
por computadora (VPC) y de las gráficas por computadora. Así que, la primera tarea es introducir en una “estructura”, que tenga conexidad. [Weiderhold GRAUERT]
Más adelante en esta sección del trabajo se desarrolla la aplicación de la dimensión de Alexandroff a un
“espacio digital”, el cual se construye como espacio cociente del espacio Euclidiano , siguiendo una
construcción propuesta por Kronheimer [Kro/2]:
En este capítulo definimos una dimensión topológica para espacios de Alexandroff. Derivamos
propiedades de esta dimensión, similares a las de funciones clásicas de dimensión; en particular
demostramos su monotonía con respecto a sub espacios. La categoría de los espacios T0 de Alexandroff
es isomorfa a la de los POSETS (conjuntos parcialmente ordenados). Demostramos, que la dimensión
de Alexandroff de un espacio T0 coincide con la dimensión de su orden parcial correspondiente. Este
resultado se ha publicado en [Wie,Wil/1], y se aplica para probar que, para esta clase de espacios, la
dimensión de un producto cartesiano (finito) de espacios es igual a la suma de sus dimensiones. Es
decir:
También demostramos algunas propiedades de la dimensión de
Alexandroff con respecto a sub topologías y con respecto a topologías minimales. Mencionamos que
la dimensión de Alexandroff fue definida independientemente en [Eva,Kop,Muk] (En un artículo más
reciente que [Wie,Wil/1]).
Aquí, los autores definen una dimensión equivalente a la dimensión del POSET ODIM, para gráficas
transitivas; y demuestran la coincidencia de ambas dimensiones. Además se prueba que ambas
dimensiones son iguales a una tercera, la cual se define inductivamente para gráficas dirigidas, y fue
estudiada antes por Ivashchenko en sus “espacios moleculares” [Iva/1], vea también [Iva/2].
En este trabajo, si X es un espacio topológico, y , entonces , denotan la
cerradura, el interior, y la frontera de , respectivamente. Si es un espacio de Alexandroff, entonces,
para cualquier , denota su vecindad abierta minimal.
3.2 Demostración de que una imagen digital es isomórfica a un espacio digital, por tanto
topológico.
Definición 3.2.1
Un espacio digital es un par (pareja) que consiste en un conjunto arbitrario no vacío y una relación
simétrica binaria π sobre , con respecto a la cual es conexo.
Basados en que una imagen digital está asociada a un espacio topológico. Entonces, en lugar de tener
que definir nociones de topología para el concepto de grafos (tales como conectividad) para imágenes
digitales, las nociones de topología general pueden ser usadas más directamente.
En el procesamiento de imágenes el estudio de las propiedades topológicas de una imagen se ha
desarrollado a través de la teoría de grafos (más comúnmente conocidos como relaciones 4-,8-, ..
relaciones de adyacencia), sin embargo, la topología general brinda importantes conceptos que se
pueden utilizar en el análisis de imágenes, como es el objetivo de este trabajo, proponer un nuevo
criterio agrupacional para la segmentación de imágenes.
El algoritmo usa el criterio agrupacional definido anteriormente para generar la segmentación de la
imagen. El mismo inicia su búsqueda etiquetando el primer píxel que encuentra en el principio de la
imagen (suponiendo un orden o una dirección), de ahí parte para aglomerar a sus vecinos más
semejantes y computar ϕ(A, y) simultáneamente en la formación del grupo, o ir formando los demás
grupos con la misma idea.
Dados fijos. Se crea el primer conjunto
PASO 1: hacer pasos 2 y 3.
PASO 2: ∪ PASO 3: ∪ ∪ PASO 4: Formados los grupos, se procede con el análisis de la dirección que se presentó en la búsqueda
de la formación de la estructura de los mismos. Esto es, hace una reubicación de los píxeles porque
éstos tienen un cierto comportamiento por la dirección, (con la misma idea del criterio agrupacional
topológico).
En la búsqueda de las estructuras vamos recordando los grupos formados y la información que ellos
proporcionan por el valor de y sus elementos, además, como se va caminando en una dirección,
el resultado dependerá en alguna medida de la dirección elegida, por tal razón, una vez terminada la
búsqueda de las estructuras de los grupos, antes de entrar al paso 4, como todos los píxeles están
etiquetados, entonces se puede despreciar la dirección y concentrarse más en la relación que guardan los
vecinos con su vecindad local y global.
RESULTADOS
Los datos de entrada del algoritmo topológico fueron las imágenes presentadas en la figura 1, la primera
de ellas fue adquirida de la tomografía computarizada y la otra de la resonancia magnética. Estas
imágenes tienen dimensiones de 256×256 píxeles, donde cada píxel tiene un valor entre 0 y 5000.
Cada objeto o elemento de la imagen está representado por un píxel, el cual a su vez está formado por
cinco rasgos que fueron calculados dentro del dominio espacial. Estos conjuntos de imágenes fueron
hechos difusos y por esto caen dentro de la definición 1, así como también el algoritmo topológico
genera un cubrimiento de la imagen que a su vez cuadra con la definición 2, esto es, constituye una
.
El resultado son nuevas imágenes (figura 2), las cuales están coloreadas con relación al agrupamiento
creado por dicho algoritmo, esto es, cada subgrupo está etiquetado con un color; el orden de los
intervalos presentados en cada imagen está en relación con la paleta de colores que maneja la
computadora.
Figura 3.2.1: Imágenes adquiridas de la TC y RM respectivamente,
representan los datos de entrada para el algoritmo de segmentación
previa fuzzificación.
En la Figura 3.2.2, en la primera imagen izquierda, se crearon 9 grupos, los cuales se dan en los
siguientes intervalos: (2, 44), (42, 120), (105, 191), (156, 258), (222, 317), (281, 361), (325, 381),
(403,446) y (513, 513).
Mientras en la siguiente imagen (derecha), se crearon 10 grupos, los cuales se dan en los siguientes
intervalos: (2, 284), (238, 642), (572, 1272), (970, 1654), (1234, 1910), (1650, 2206), (2092, 2474),
(1692, 1708), (544, 70) y (1324, 1324).
Figura 3.2.2: Resultado del algoritmo de segmentación topológico.
Para obtener la complejidad del algoritmo propuesto, se analizó el algoritmo considerando que en un
recorrido encuentra todos los subgrupos de la imagen sin tomar en consideración si no son disjuntos,
después continúa con otro recorrido para corregir la dirección en la creación de los grupos, por tanto, la
complejidad computacional en tiempo es lineal por un factor de 7, esto es 7n.
La complejidad en espacio depende del número de grupos creados, pero como se presentó en todos los
resultados, como promedio tenemos 9 grupos por imagen, esto es, el tamaño en memoria para mantener
el resultado es 2×256×256×9 bytes. Se probó el algoritmo en una PC a 100 MHz con 16
Mb de RAM, el algoritmo consumió, para una imagen, aproximadamente 5 segundos.
Ahora, para obtener la separabilidad, primero se define la separación de un agrupamiento difuso como
la suma de las distancias de sus centros de agrupamiento a los centros de los otros agrupamientos, se
trabajó con los índices de validación propuestos, los cuales encuentran la mínima distancia entre los
centros de los agrupamiento, por lo cual, cuanto menor valor obtenga la función de validación, indica
una mejor partición de la imagen. Es claro que la compactación es la suma de las desviaciones difusas
de los objetos en el subgrupo entre la suma de las cardinalidades difusas de los agrupamientos.
CONCLUSIONES
El propósito de la clasificación y segmentación de tejidos en imágenes médicas es cuantificar el tamaño
de diferentes tipos de tejidos, y poder desplegar, en la pantalla, las estructuras de los mismos para, por
ejemplo, facilitar la cirugía y la terapia. Por esta razón, es muy importante proponer nuevos algoritmos,
como lo es el presente, para tratar de encontrar estas estructuras de grupo.
Los algoritmos de segmentación no requieren de entrenamiento de datos, sin embargo, para un conjunto
de datos, se proporcionan diferentes algoritmos de segmentación para producir diferentes
agrupamientos de los objetos; en resumen, una partición generada por un algoritmo de agrupamiento no
siempre corresponde a la clase fundamental.
El algoritmo topológico genera un cubrimiento del conjunto, permitiendo con esto el solapamiento de
los subgrupos creados y obteniendo de una manera natural la estructura difusa de los subgrupos creados.
También cabe mencionar que el algoritmo trabaja sin ningún problema en la tercera dimensión, esto es,
considerando en su conjunto el arreglo de datos volumétricos, de esta manera se obtienen mejores
resultados.
3.3 Demostración de que un espacio de Alexandroff es un espacio discreto
Antes de proceder con la demostración de esta proposición debemos introducir algunas definiciones
importantes acerca de los espacios de Alexandroff.
En este trabajo, si es un espacio topológico, y , entonces
, denotan la cerradura, el interior, y la frontera de M, respectivamente.
Si es un espacio de Alexandroff, entonces, para cualquier , denota su vecindad abierta
minimal.
Definición 3.3.0:
Definimos la dimensión de Alexandroff como una versión de la dimensión clásica pequeña inductiva
, la cual se define para un espacio topológico arbitrario como sigue:
X =
y, finalmente,
Definición 3.3.1: La dimensión de Alexandroff DIM de un espacio de Alexandroff
es definida inductivamente en términos de una dimensión local DIL determinada por las
vecindades minimales:
i)
ii) ; entonces se define
( ( ))
Nótese que esta definición puede ser aplicada también a un espacio de Alexandroff no . La definición
es realmente inductiva, porque es el supremo de las dimensiones locales de los
elementos de , medido en el sub espacio con la topología relativa.
Deberíamos escribir más exactamente:
{ ( ) ( )}
Pero omitimos los índices cuando estamos trabajando solamente con el espacio . Es fácil ver
que dos espacios de Alexandroff homeomorfos tienen la misma dimensión.
Definición 3.3.2: Espacio discreto, sub espacios, suma de espacios.
Estudios sobre funciones topológicas de dimensión se inician usualmente con investigaciones sobre 0-
dimensionalidad, monotonía con respecto a sub espacios, y sobre la dimensión del producto cartesiano
de espacios.
Es obvio que el espacio discreto no vacío tiene dimensión 0. En el caso de un espacio , lo contrario
también es verdad:
3.3.3 Proposición: Si es un espacio de Alexandroff, entonces es un espacio
discreto si y sólo si .
Demostración:
La misma es trivial. Si entonces por la definición 3.1, para todo , por
lo cual ( ) ; para cualquier . Ahora sea arbitrario, y supóngase que existe
con . Puesto que , se sigue que . Pero de tenemos
, implicando lo cual contradice En
consecuencia es discreto.
3.3.4 Proposición:
:
Demostración:
Denotamos .
Es claro que:
.
Definición 3.3.4.1:
3.4 Demostrar que Si es un espacio de Alexandroff, y , entonces
implica que es cerrado.
Definición 3.4.1:
La dimensión de espacios de Alexandroff.
En esta sección demostramos que, para cualquier espacio de Alexandroff , su dimensión de
Alexandroff coincide con la dimensión del orden parcial correspondiente.
Primero derivamos una propiedad útil de la 0 – dimensionalidad de :
Lema 3.4.2:
Si es un espacio de Alexandroff y, , entonces DIL(x) = 0 implica que es cerrado.
Demostración:
Denotamos por el orden de especialización de . De se sigue que es cerrado, por lo
cual . Por eso, , que significa , implica también . Pero
entonces , puesto que es un orden parcial.
3.5 Mostrar la relación entre la dimensión de Alexandroff y la de Krull
Es conocido que un retículo con unidad y cero tiene dimensión de Krull cero, si y sólo si es una algebra
de Boole [Vin]. En consecuencia, si . En lo que sigue
investigamos si la función es monótona con respecto a sub retículos.
Definición 3.5.0:
La dimensión de Krull de un retículo no vacío se define como:
,
Donde denota el conjunto de los números naturales.
Definición 3.5.1
La dimensión de Krull de un espacio topológico se define por:
:
Una consecuencia de las observaciones siguientes a la definición 3.5.0 es, que si es un espacio
discreto, entonces , pues podemos tomar como base de retículo la cual
resulta ser una algebra de Boole.
En [Vin] y [San,San/2], varias propiedades de KDIM fueron obtenidas.
Específicamente, en [San,San/2] se reporta que
- , si ;
- para cualesquiera espacios ;
- para cualesquiera espacios .
El objetivo de esta sección es probar que, si es un espacio de Alexandroff, entonces la
dimensión de Krull de coincide con la dimensión de Alexandroff de , así generalizando un resultado
de [San,San/2] para espacios finitos. Lo que aplica para los espacios discretos y en consecuencia para
los espacios digitales, que son el objeto central de las aplicaciones aquí planteadas.
Para todo lo que sigue, denotará el orden de especialización del espacio de Alexandroff
introducido más arriba.
CONCLUSIONES DEL CAPITULO 3
(DEMOSTRACIONES IMPORTANTES)
∞ HABIENDO PARTIDO DE LA OBSERVACIÓN DE LA ESTRECHA RELACIÓN ENTRE UNA IMAGEN
DIGITAL Y UN ESPACIO TOPOLÓGICO,
∞ HABIENDO INTRODUCIDO LA ESTRUCTURA DE CONEXIDAD AL ESPACIO DISCRETO Y
DIGITAL,
∞ HABIENDO MOSTRADO EL ISOMORFISMO ENTRE DICHA IMAGEN Y UN ESPACIO DIGITAL POR
TANTO TOPOLÓGICO,
∞ HABIENDO MOSTRADO QUE UN ESPACIO DE ALEXANDROFF ES UN ESPACIO DISCRETO AL
CUAL LE APLICAN TODOS LOS TEOREMAS DE SEPARABILIDAD PARA PODER EXTENDER EL
CONCEPTO DE SEGMENTACIÓN DE LA IMAGEN, MÁS AÚN HABIENDO MOSTRADO QUE
SIENDO UN DE ALEXANDROFF, ESTE ES DISCRETO SI Y SOLO SI SU , CON
LO CUAL DEJAMOS SENTADAS LAS BASES PARA LA CERRADURA, LA FENESTRACIÓN, LA
CONEXIDAD Y LA SEPARABILIDAD,
∞ HABIENDO CONCLUIDO CON LA INTRODUCCIÓN DE LA DIMENSIÓN DE KRULL, Y PROBADO
ENTONCES QUE, SI ES UN ESPACIO DE ALEXANDROFF, ENTONCES LA DIMENSIÓN
DE KRULL DE COINCIDE CON LA DIMENSIÓN DE ALEXANDROFF DE , ASÍ
GENERALIZANDO UN RESULTADO PARA ESPACIOS FINITOS.
CON LO ANTERIOR PODEMOS ENTONCES SIN PÉRDIDA DE GENERALIDAD APLICAR LOS TEOREMAS
DE LAS CURVAS DE JORDAN, DE LA LINEA KHALIMSKY Y DEMAS CONCEPTOS TOPOLOGICOS NO
DIFUSOS PARA EL TRATAMIENTO DE LAS IMÁGENES DIGITALES. CON LO QUE ADEMAS DE
DISPONER DE NUEVOS METODOS PARA EL ANALISIS, ENRIQUECEMOS LA RAPIDEZ DE LOS
RESULTADOS YA QUE TRATAMOS EL PROBLEMA EN EL MISMO DOMINIO EN EL QUE SE PRESENTA
SIN TENER NECESIDAD DE TRANSPORTAR EL PROBLEMA AL DOMINIO DE LAS FRECUENCIAS COMO
LO PROPONEN LOS ALGORITMOS TADICIOINALES DE ANALISIS DE FOURIER Y EN GENERAL
AQUELLOS BASADOS EN TRANSFORMADAS.
A continuación en el siguiente capítulo se proponen 4 algoritmos para la resolución de las tareas básicas
del problema de análisis de la imagen.
Estas tareas básicas son, a saber:
1. Detectar conexidad
2. Determinación contornos
3. Detección de objetos y regiones de interés en la imagen digital
4. Determinación del esqueleto de un objeto o región para la identificación de patrones
IV. PROPUESTAS DE ALGORITMOS
1. ((IIVV--11)) AALLGGOORRIITTMMOO II.. PPAARRAA DDEETTEECCTTAARR CCOOMMPPOONNEENNTTEESS DDEE UUNN SSUUBB EESSPPAACCIIOO
DDEE UUNN EESSPPAACCIIOO FFIINNIITTOO (conexidad)
Preliminares:
Identifiquemos el espacio con , para los cómputos, y asumamos que al computador se le ha
definido vía su función característica, un arreglo , ( , ).
El algoritmo también requiere que el par para el cual o sea:
, y para definimos mediante
.
Para cada , el algoritmo retorna , donde es el número (cantidad) de
componentes de .
es el número de la componente de que contiene a x. Sea definido un arreglo , sobre
es el número (cantidad) de componentes de , para el cual , es el menor
elemento en la componente. Finalmente el algoritmo requiere un contador .
Antes de exponer el algoritmo, notemos que si – es una función definida sobre un conjunto de
números enteros no negativos, y se cumple que , en tal caso cada
elemento de su dominio es eventualmente tomado por una múltiple recursión de la función en un
punto fijo. Llamaremos a esa recursión en el algoritmo . Notemos también que en cada fase
de su definición es esa misma clase de función.
Algoritmo I:
For i: = 1 to n do
Begin
C[i]: = i;
If Z[i] = 1 then
For j: = 0 to i – 1 do
If Z[j] = 1 and A (i, j) = 1 then
Begin
R: = ROOT (C, C[i]), S: = ROOT(C, C[j]),
C [max (R, S)]: = C [min (R, S)]
End;
End;
NU: = 0; COMP: = 0
For i : =1 to n do
If Z[i] = 1AND C[i] = I then
Begin
NU: = NU + 1; C[i]: = NU; COMP [NU]:= i;
End
Else C[i]: = C[C[i]]
Basándonos en las definiciones 48 a 61 de la sección II-2.2 del presente trabajo podemos percatarnos
que el algoritmo recién expuesto puede ser usado para realizar operaciones de “rellenado” o
“coloreado” del interior y exterior de las Curvas y Superficies de JORDAN.
Note que distintos son adyacentes si y solo si El computador puede
entonces verificar si un espacio finito no vacío es o no es una Curva de
JORDAN. Esto lo puede hacer si basados en el teorema generalizado de JORDAN utilizamos el
siguiente Algoritmo:
2. ((IIVV--22)) AALLGGOORRIITTMMOO IIII.. PPAARRAA DDEETTEERRMMIINNAARR SSII UUNN SSUUBB EESSPPAACCIIOO DDAADDOO EESS UUNNAA
CCUURRVVAA DDEE JJOORRDDAANN (determinación de contornos)
Preliminares:
Sean como están definidos en el Algoritmo I, usaremos un marcador y un Contador .
Marcar el primer elemento en específico y desmarcar cualquier otro en , por ejemplo de la siguiente
forma:
Algoritmo II:
For j: = 1 to n do
Begin
If A [1, j] 1 then
Print (“El conjunto X – no es una Curva de Jordan”) ;
Exit;
Else if A [1, j] 1 then
M[j]: = 1 ***** Marco j
C: = C + 1 ******* incremento el contador 1
C1[c] = C *******Guardo el Numero del Contador para el que se cumplió elseif
End if
End;
3. ((IIVV--33)) AALLGGOORRIITTMMOO IIIIII.. PPAARRAA DDEETTEECCTTAARR FFRROONNTTEERRAASS,, AABBIIEERRTTOOSS YY CCEERRRRAADDOOSS
RREEGGUULLAARREESS (Para la detección de objetos y regiones de interés en la imagen digital)
Preliminares:
Sean como en el Algoritmo I, excepto por la asunción de que:
.
También Sean subrutinas del tipo descrito más adelante y sean arreglos los
cuales indican respectivamente, cuando está en la Frontera, en la Clausura o en el Interior de la
Clausura de .
Descripción de las Rutinas NOP y OP:
EEll rraassttrreeoo ddee uunnaa ffrroonntteerraa eess mmuuyy iimmppoorrttaannttee eenn pprroocceessaammiieennttoo ddee iimmáággeenneess.. LLaa iiddeeaa eess eennccoonnttrraarr llooss
ccoommppoonneenntteess ddee llaa ffrroonntteerraa ddee uunn ccoonnjjuunnttoo,, eennccoonnttrraannddoo uunn eelleemmeennttoo eenn ccaaddaa ffrroonntteerraa yy ddeessppuuééss
““iirr ssiigguuiieennddoo ((rraassttrreeaannddoo)) eessttee eelleemmeennttoo--ttrraacckkiinngg””.. EEnn mmuucchhooss ccaassooss eessttoo aahhoorrrraa ccoonnssiiddeerraabblleemmeennttee eell
ttiieemmppoo ddee mmááqquuiinnaa.. PPoorr eejjeemmpplloo,, sseegguuiirr ((rraassttrreeaarr)) uunnaa CCuurrvvaa ddee JJOORRDDAANN rreeqquuiieerree ssoolloo eennccoonnttrraarr uunnooss
ppooccooss eelleemmeennttooss ddee uunn ppllaannoo ddiiggiittaall,, mmiieennttrraass qquuee oottrrooss aallggoorriittmmooss ppaarraa eennccoonnttrraarr llaa ffrroonntteerraa ddee uunn
ccoommppoonneennttee ppuueeddeenn iimmpplliiccaarr pprroocceessaarr ccaaddaa eelleemmeennttoo ddee llaa mmiissmmaa..
PPaarraa ccuuaallqquuiieerr ssuubbccoonnjjuunnttoo sseerráá oottrroo ssuubbccoonnjjuunnttoo qquuee ccooiinncciiddee ccoonn llaa VVeennttaannaa ddee AAbbiieerrttooss
llllaammaaddaa ..
EEss ccllaarroo,, ppoorr llaa rreepprreesseennttaacciióónn ddee eenn llaa FFiigguurraa ddee llaa ddeeffiinniicciióónn NNoo.. 5588 ((44ªª)) ddeell nn--eessppaacciioo ddiiggiittaall,, qquuee
ppooddeemmooss ppeennssaarr eenn llooss eelleemmeennttooss aabbiieerrttooss eenn ((uunnaa ppoorrcciióónn rreeccttaanngguullaarr ddee)) eellllaa ccoommoo PPIIXXEELLEESS,, llooss
ccuuaalleess ppuueeddeenn sseerr vviissttooss,, mmiieennttrraass eell rreessttoo ddee llooss eelleemmeennttooss ssoonn iinnvviissiibblleess,, ppeerroo aa llaa vveezz úúttiilleess eenn llaa
pprrooggrraammaacciióónn.. EEll ccoonnjjuunnttoo ddee eelleemmeennttooss aabbiieerrttooss eenn eess ppooss ccoonnssiigguuiieennttee llllaammaaddoo VVeennttaannaa ddee
AAbbiieerrttooss ((oo VVeennttaannaa AAbbiieerrttaa)).. ,, eess cciieerrttaammeennttee uunn ssuubb eessppaacciioo ddiissccrreettoo ,, eenn ccoonnsseeccuueenncciiaa ssoolloo ttiieennee
ccoonnjjuunnttoo ttrriivviiaalleess ccoonneexxooss,, ppeerroo ccuuaannddoo nnooss ddaammooss ccuueennttaa ddee qquuee eess eesseenncciiaallmmeennttee uunnaa ppoorrcciióónn ddee llaa
ppaannttaallllaa ddee nnuueessttrraass tteerrmmiinnaalleess oo ccoommppuuttaaddoorreess,, nnoossoottrrooss vveemmooss ccoonnjjuunnttooss NNOO TTrriivviiaalleess qquuee ssoonn
ccoonneexxooss.. PPooddeemmooss mmaanneejjaarr eessttooss ccoonnjjuunnttooss ccoonn uunnaa ddeeffiinniicciióónn qquuee rreeccuueerrddaa llaa ddeeffiinniicciióónn NNoo.. 5577 ((44))..
DDeeffiinniicciióónn 5577ªª ((88)).. DDeeffiinniicciióónn ddee 22ddaa--AAddyyaacceenncciiaa oo aaddyyaacceenncciiaa ddee 22ddoo OOrrddeenn
IInnttrroodduucciirreemmooss eessttaa ddeeffiinniicciióónn eenn eessttee ppuunnttoo ppuueess ssoolloo llaa rreeqquueerriimmooss ppaarraa eell ppllaanntteeaammiieennttoo ddeell pprreesseennttee
aallggoorriittmmoo::
SSii ttooddaass eexxcceeppttoo uunnaa ddee ssuuss ccoooorrddeennaaddaass ssoonn
iigguuaalleess,, yy ppaarraa eessaa ccoooorrddeennaaddaa,, ((yyaa qquuee llaass ccoooorrddeennaaddaass ssoonn ttooddaass iimmppaarreess,, eessttaa eess llaa
ddiiffeerreenncciiaa ppoossiittiivvaa mmíínniimmaa ppoossiibbllee))..
CCaaddaa ccuuaaddrroo oo ggrrááffiiccaa eenn llaa ppaannttaallllaa ddeell ccoommppuuttaaddoorr,, ppuueeddee sseerr iiddeennttiiffiiccaaddoo ccoonn uunnaa ppaarrttiicciióónn ddee ddeennttrroo ddee rreeggiioonneess 22nn--ccoonneexxaass
Algoritmo III:
44.. ((IIVV--44)) AALLGGOORRIITTMMOO PPAARRAA DDEETTEERRMMIINNAARR EELL EESSQQUUEELLEETTOO DDEE UUNN SSUUBB CCOONNJJUUNNTTOO
CCOONNEECCTTAADDOO ((CCOONNEEXXOO)) DDEE
PPrreelliimmiinnaarreess::
EEnn cciieerrttaa ppaarrttee ddee eessttee aallggoorriittmmoo,, nneecceessiittaammooss eennccoonnttrraarr llaa ffrroonntteerraa ddee uunn ccoonnjjuunnttoo aarrbbiittrraarriioo.. EEssttoo
ppuueeddee sseerr hheecchhoo ddee llaa mmiissmmaa mmaanneerraa qquuee ccoonn uunn ccoonnjjuunnttoo rreegguullaarr qquuee ccoonnttiieennee uunn ccoonnjjuunnttoo ddaaddoo ddee
eelleemmeennttooss aabbiieerrttooss,, ccoonn llaa eexxcceeppcciióónn ddee qquuee aahhoorraa nneecceessiittaammooss ccoonnssiiddeerraarr ttooddooss llooss eelleemmeennttooss ddee uunnaa
vveecciinnddaadd mmiinniimmaall ddee uunnoo ddaaddoo ddee eessooss eelleemmeennttooss,, aanntteess qquuee ssiimmpplleemmeennttee ssuuss aabbiieerrttooss.. UUnnaa rruuttiinnaa qquuee
ssee eennccaarrgguuee ddee lliissttaarr eessooss eelleemmeennttooss,, NNEE ((mmiinniimmaall nneeiigghhbboorrhhoooodd)),, eess ssiimmiillaarr aa llaa rruuttiinnaa OOPP ddeell
aallggoorriittmmoo aanntteerriioorr,, eexxcceeppttoo qquuee ddeessppuuééss ddee eennccoonnttrraarr aaqquueellllooss ppaarraa llooss ccuuaalleess eess ppaarr,, ,,
llaa NNEEPP rreeqquueerriiddaa eess iigguuaall aa eelleemmeennttooss ssoonn aaqquueellllooss ddee llaa ffoorrmmaa
SSeeaann PP,, XX,, ZZ ccoommoo ffuueerroonn ddeeffiinniiddaass eenn eell AAllggoorriittmmoo II,, ee iinniicciiaallmmeennttee ddeeffiinniimmooss uunn aarrrreegglloo WW:: == ZZ,,
AAllggoorriittmmoo IIVV::
****** vveerriiffiiccaa ssii eess ccoonneexxoo uussaannddoo eell AAllggoorriittmmoo II
V. MODELIZACION EN MATLAB. PRUEBAS
Los códigos de MATLAB
%%%%%%%%%%%%% El Archivo main.m %%%%%%%%%%%%%%
clear;
% The parametros del algoritmo:
% 1. Parametros para los filtros de detección de bordes\
% X-axis direction filter:
Nx1=10;Sigmax1=1;Nx2=10;Sigmax2=1;Theta1=pi/2;
% Y-axis direction filter:
Ny1=10;Sigmay1=1;Ny2=10;Sigmay2=1;Theta2=0;
% 2. El parametro de Threshold alfa:
alfa=0.1;
% Input de la imgen inicial lena.gif
[x,map]=gifread('lena.gif');
w=ind2gray(x,map);
figure(1);colormap(gray);
subplot(3,2,1);
imagesc(w,200);
title('Image: lena.gif');
% Deteccion de borde en el eje X-axis
subplot(3,2,2);
filterx=d2dgauss(Nx1,Sigmax1,Nx2,Sigmax2,Theta1);
Ix= conv2(w,filterx,'same');
imagesc(Ix);
title('Ix');
% detection de borde en la direccion del eje Y-axis
subplot(3,2,3)
filtery=d2dgauss(Ny1,Sigmay1,Ny2,Sigmay2,Theta2);
Iy=conv2(w,filtery,'same');
imagesc(Iy);
title('Iy');
% Norma del gradiente (Combinando las derivadas direccionales de X e Y)
subplot(3,2,4);
NVI=sqrt(Ix.*Ix+Iy.*Iy);
imagesc(NVI);
title('Norm of Gradient');
% Thresholding
I_max=max(max(NVI));
I_min=min(min(NVI));
level=alfa*(I_max-I_min)+I_min;
subplot(3,2,5);
Ibw=max(NVI,level.*ones(size(NVI)));
imagesc(Ibw);
title('After Thresholding');
% Afinamiento (interpolacion para encontrar los pixeles en los que las normas del
% gradiente son un maximum local.)
subplot(3,2,6);
[n,m]=size(Ibw);
for i=2:n-1,
for j=2:m-1,
if Ibw(i,j) > level,
X=[-1,0,+1;-1,0,+1;-1,0,+1];
Y=[-1,-1,-1;0,0,0;+1,+1,+1];
Z=[Ibw(i-1,j-1),Ibw(i-1,j),Ibw(i-1,j+1);
Ibw(i,j-1),Ibw(i,j),Ibw(i,j+1);
Ibw(i+1,j-1),Ibw(i+1,j),Ibw(i+1,j+1)];
XI=[Ix(i,j)/NVI(i,j), -Ix(i,j)/NVI(i,j)];
YI=[Iy(i,j)/NVI(i,j), -Iy(i,j)/NVI(i,j)];
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI);
if Ibw(i,j) >= ZI(1) & Ibw(i,j) >= ZI(2)
I_temp(i,j)=I_max;
else
I_temp(i,j)=I_min;
end
else
I_temp(i,j)=I_min;
end
end
end
imagesc(I_temp);
title('After Thinning');
colormap(gray);
%%%%%%%%%%%%%% End of the main.m file %%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%% Funciones usadas en main.m file %%%%%%%
% Function "d2dgauss.m":
% Esta function retorna un detector de borde en 2D (derivada de primer orden de la
% función Gaussiana 2D) with size n1*n2; theta es el angulo que
% el detector roto contra el reloj; y sigma1 y sigma2 son las
% desviaciones estandares de la function gaussiana.
function h = d2dgauss(n1,sigma1,n2,sigma2,theta)
r=[cos(theta) -sin(theta);
sin(theta) cos(theta)];
for i = 1 : n2
for j = 1 : n1
u = r * [j-(n1+1)/2 i-(n2+1)/2]';
h(i,j) = gauss(u(1),sigma1)*dgauss(u(2),sigma2);
end
end
h = h / sqrt(sum(sum(abs(h).*abs(h))));
% Function "gauss.m":
function y = gauss(x,std)
y = exp(-x^2/(2*std^2)) / (std*sqrt(2*pi));
% Function "dgauss.m"(first order derivative of gauss function):
function y = dgauss(x,std)
y = -x * gauss(x,std) / std^2;
%%%%%%%%%%%%%% end of the functions %%%%%%%%%%%%%
lena.gif Bordes Verticales Bordes horizontales
norma del gradiente después del threshold Después Afinamiento
Otras simulaciones y procesos se ven a continuación al aplicar diferentes algoritmos topológicos
V.1-ModeloDegradada
V.2-ModeloDegradadayRestaurada
V.3-ModeloDegradadaMasRuido
V.4-ModeloDegradadayRestauradaMasRuido
V.5-ModeloDegradadaFull
V.6-ModeloDegradadayRestauradaFull
V.7-ModeloDegradadaFullmasRuido
V.8-ModeloDegradadayRestauradaFullmasRuido
VI. CONCLUSIONES Y LECCIONES (SOBRE…)
1. La carga computacional de los algoritmos Clásicos y los topológicos propuestos
Sobre este tópico podemos dejar por sentado, con las pruebas preliminares de comparación
de los algoritmos de procesamiento de las FFT con los algoritmos topológicos de proceso de
imágenes, que para señales bidimensionales que representan más esfuerzo de computación,
los tiempos de ejecución de estos últimos (detección de bordes en este caso) son comparables
en magnitud con los tiempos del simple análisis espectral de una señal unidimensional.
(Referirse al Capitulo IX ANEXO punto 2).
Lo anterior nos deja abierta la posibilidad de replantear los algoritmos de proceso
unidimensional de señales en base a la topología general no difusa, la cual es la que mayor
mente se ha estudiado en el presente trabajo.
2. La precisión de los Algoritmos topológicos propuestos versus los Clásicos.
Es claro que siendo los algoritmos bi dimensionales más complejos en el tipo de señal a
procesar, el hecho de que tengan tiempos de convergencia similares a los de los algoritmos
unidimensionales, se esperaría que al procesar mayor número de elementos del espacio su
convergencia sea supremamente mayor a la actual, sin embargo los tiempos son comparables
más no el tipo de señal y la cantidad de elementos del espacio a procesar.
3. La aplicabilidad del Marco Teórico topológico en el procesamiento de imágenes
Los algoritmos mostrados en el capítulo IV son eminentemente topológicos ya que hacen
uso extensivo de las propiedades de los espacios digitales para la realización de diferentes
tareas de identificación de objetos y proceso de contornos. Todo el presente trabajo se basa
en la aplicación de los conceptos de Topología general No Difusa a las tareas de
procesamiento de imágenes.
4. Extrapolación a los espacios digitales de n- dimensiones o espacios de Kronheimer
En este inciso aplicamos el concepto de la dimensión de Alexandroff al espacio digital de
Kronheimer, brevemente introducido en los capítulos previos. Lo consideramos aquí como
un espacio cociente del espacio Euclidiano donde contiene un subespacio denso
discreto . Los pres imágenes de los elementos de son llamadas ventanas de . Si la
familia de las ventanas es localmente finita, entonces el espacio digital construido sobre ella
es un espacio de Alexandroff [Kro/2].
La dimensión de Alexandroff de este espacio depende del tipo de las ventanas; y no siempre
es igual a , como veremos en ejemplos. Demostraremos, que, para el caso de que las
ventanas sean conjuntos regulares abiertos acotados convexos, estos son los interiores de
poliedros (convexos), y entonces el espacio digital tiene dimensión de Alexandroff . Para
preparar las demostraciones de nuestros teoremas, se proporcionan algunos preliminares y se
demuestran algunas propiedades de conjuntos convexos, en particular propiedades
topológicas de conos. [Kro/1] En este espacio aplican todos los teoremas anteriores y por
ende la aplicación de los algoritmos estudiados hasta el momento.
VII. LINEAS ACTUALES Y FUTURAS
LINEAS DE INVESTIGACION Y DESARROLLO:
REGULARIDADES Y TENDENCIAS
Solo veremos dos áreas principales: La medicina y el Clima, por ser éstas áreas muy relacionadas
con la seguridad y el bienestar del ser humano:
EN LA MEDICINA:
Sólo diez de las regularidades y tendencias más importantes de la revolución tecnológica que está
ocurriendo en el área de la medicina se resumen a continuación:
VII.1. En la medicina se han hecho más evidentes, cuantificables y transformables las relaciones entre
las biomoléculas y las otras estructuras del ser humano. Los procesos fisiológicos son más expresables
a través de cifras, fórmulas, algoritmos y modelos. Criterios cuantitativos manifiestan con más rigor,
los estados normales y patológicos de las biomoléculas, las células, los tejidos, órganos y organismo
humano. Nacen métodos más precisos para conocer en tiempo real, la cantidad, movilidad, formas de
interacción de las moléculas, los metabolitos y las células, que facilitan un diagnóstico y un actuar
precoces a esos niveles con una mayor eficacia terapéutica.
VII.2. El diagnóstico y la terapéutica médicas se fusionan aceleradamente.
VII.3. Convergen los estudios anatómicos de alta resolución espacial (observación y caracterización de
detalles más pequeños) y los fisiológicos con creciente resolución temporal (evaluación de procesos más
veloces). Los órganos, los tejidos, los fluidos, los canales neuronales, las células son estudiados en
condiciones fisiológicas reales. Resultan más evidentes las relaciones entre las estructuras y las
funciones entre todos los niveles biológicos; la anatomía y la fisiología se funden.
VII.4. Las fronteras entre especialidades médicas y de éstas con otras ramas del saber, se hacen difusas.
Son indispensables enfoques más multidisciplinarios e integrales. Emergen poderosos procedimientos
de tratamiento y fusión de las informaciones. Las diversas imágenes médicas, los datos de
laboratorio, las curvas de electrocardiografía, electroencefalografía y otros parámetros, se
integran, dando una nueva cualidad de información.
VII.5. Las potencialidades intrínsecas de los equipos crecen inconmensurablemente cuando se
acoplan a una red de computadoras. Los métodos de diagnóstico, terapéutica, son más
computarizados y robotizados. La telemedicina, que incluye de forma remota el diagnóstico, monitoreo
y terapéutica, la actividad quirúrgica, la consulta de grupos de expertos… abre puertas a la solución de
situaciones extremas (personas en navegación, en zonas apartadas…) y a situaciones habituales, por
ejemplo el monitoreo de los parámetros vitales de un diabético y suministro controlado de la insulina.
VII.6. Teorías, procedimientos y tecnologías de la ingeniería y la biología se mezclan. Es creciente el
uso de los implantes biónicos (marcapasos, cocleares, oculares), prótesis ortopédicas inteligentes, para
sustituir partes o corregir funciones del cuerpo humano y sus órganos.
VII.7. Por otra parte, los equipos usan bio sensores y dispositivos bio compatibles, que además de
alterar menos el estado del organismo humano, permiten detectar tal o más cual anomalía, y a la vez
cerrar el ciclo en lo que se conoce como bio retroalimentación, corrigiendo o compensando la anomalía.
Los bio sensores, basados en ingenios de la biología y de la electrónica moleculares, proporcionan
menos invasividad, acercan en tiempo el diagnóstico y la terapéutica y atemperan el suministro de
fármacos, o acciones físico químicas (vibraciones, temperatura, radiaciones, estímulos eléctricos y/o
magnéticos) a la especificidad biológica de cada ser humano.
VII.8. La rehabilitación es cada vez más asistida, monitoreada y regulada con novedosos equipos que
garantizan la evaluación cuantitativa y permanente de los avances logrados con los distintos
procedimientos.
VII.9. Los equipos, dispositivos, son compactos, robustos, amigables, robotizados, con sugerencias
inteligentes a los usuarios, de menos consumo eléctrico, transportables. Los mayores costos recaen en la
sostenibilidad de la tecnología y en el alto gasto de insumos. Aumentan las exigencias técnicas de los
locales donde se instalan: eléctricas y radioeléctricas, temperatura, humedad, vibraciones, entre otros.
VII.10. Los equipos y tecnologías ofrecen creciente confort a pacientes y a los operarios. No obstante,
no debe desconocerse que la economía de mercado y vicios sociales, engendran sucesivas aberraciones
en el desarrollo de la medicina tales como el uso excesivo de la tecnología, la fragmentación de la
atención médica, distanciamiento del médico y el paciente, entre otras. Se produce una carrera
desmedida hacia nuevos modelos de equipos, determinada más que por su impacto de salud, por fines de
la competencia comercial. La colosal dinámica de cambio de las tecnologías ocasiona un envejecimiento
moral rápido de los equipos, a veces injustificado. La lucha por obtener parámetros record no responde
siempre a una necesidad médica verdadera, sino también a la pugna comercial. No obstante,
frecuentemente, la necesidad real y la inducida por la competencia, están tan intrínsecamente
interrelacionados, que es difícil y riesgoso discernir entre ellas para tomar una decisión sensata a la hora
desarrollar y adquirir la tecnología.
Derivado de las anteriores regularidades se pone más de manifiesto que la asimilación y el
aprovechamiento de las nuevas tecnologías requieren de enfoques que rebasan el marco estrictamente
tecnológico. Ante estos intensos cambios los temas ideológicos, éticos, organizativos y culturales
adquieren una importancia cardinal, por encima de los recursos materiales disponibles.
Teniendo lo anterior como marco referencial de las tendencias y patrones actuales, en el área médica, es
condición sine qua non, que analicemos las tendencias en el procesamiento de imágenes capturadas por
diferentes técnicas. Lo mismo ocurre con las tendencias actuales del procesamiento de imágenes
satelitales para el seguimiento, pronóstico y medición de los riesgos que representan para la vida
humana los fenómenos naturales como tormentas tropicales, ciclones, etc...
Algunas técnicas de captura y procesamiento de imágenes médicas son como las que citamos a
continuación:
1. Proceso de imágenes de Rayos X (Inicios año 1900)
Vista Radiológica de un adenocarcinoma de Mama sin procesamiento de imagen
2. Proceso por Tomografía Axial Computarizada TAC (1970)
3. Tomografía Axial Computarizada (TAC) en 3D (1975)
4. Proceso de imágenes de ultra sonografía (ecografía) (1978)
Grafica cortesía de Hospital Clínico San Carlos (Madrid).
Aspecto del endometrio visualizado con sonda vaginal, que se encuentra habitualmente en pacientes que
toman tamoxifén. Patrón pseudo nodular, pseudo poliploide de diámetro antero posterior variable y que,
en el setenta por ciento de los casos se extiende al endocérvix. La imagen se debe a una proliferación
glandular secretora del endometrio, la cual penetra con frecuencia el miometrio.
Esta imgen analógica puede ser procesada para la definición de bordes y zonas tematicas con los
algoritmos objeto de estudio en este trabajo
5. Proceso de imágenes de resonancia magnética nuclear. ( 1980)
a. Se investigan nuevos algoritmos de:
i. Segmentado de la imagen
ii. Texturización
iii. Filtrado y Realce
Resonancia Magnética Nuclear sin
proceso de imágenes computarizado
Resonancia Magnética Nuclear de alta definición con
proceso de imágenes computarizado, segmentación,
filtrado realce y texturización., realizados con proceso
topológico aplicando FILTROS DE CANNY y SOBEL
6. Modelización en 3D con la emisión de positrones (PET) (1995)
En estas gráficas se conjugan, por un lado las imágenes reales tomadas con la
emisión positrónica y por otro la modelización, ambas en tiempo real, de
modo que se pueden dibujar los contornos de ciertas áreas de la imagen que
podrían corresponderse a formaciones normales o anormales dentro del
espacio 3D del órgano estudiado, dando al Especialista un ruta clara para que
en caso de cirugía pueda guiarse con un modelo exacto (99.9999%) de la
ubicación de los objetos de estudio.
EN EL CLIMA Y EL TIEMPO: [Tomado del IPCC]
1. Los estudios climáticos más recientes han reiterado las conclusiones generales del último
informe de síntesis del IPCC: que el calentamiento global es una realidad y el factor más
significativo es la emisión de gases de efecto invernadero como resultado de las actividades
humanas. Si acaso, se considera que las predicciones del IPCC eran demasiado conservadoras.
Un ejemplo es el hielo del mar Ártico, que en años recientes se ha fundido a una velocidad
mucho mayor que la prevista por el último informe de síntesis del IPCC: Lo mismo pasa con el
grado de deshielo del interior de Groenlandia.
2. Otro ejemplo es el Global Carbon Budget (Presupuesto Global del Carbono) anual (un resumen
de la cantidad de gases de efecto invernadero emitidos y qué cantidad absorbe el mar o
desaparece de la atmósfera de otras formas), recopilado por el Global Carbon Project (Proyecto
Global de Carbono). En septiembre de 2008 se publicó el presupuesto para 2007. Mostraba que
la cantidad de GEI está aumentado en mayor medida incluso que la prevista por el escenario de
mayor emisión de dióxido de carbono contemplado en los escenarios estándar del IPCC de 2001.
En estos momentos, los círculos científicos están estudiando nuevos escenarios estándar para el
próximo informe del IPCC, que mostrará en particular cómo mitigar las emisiones globales de
GEI y, en consecuencia, el calentamiento global.
3. Otra tendencia de los estudios climáticos es desarrollarse en otras áreas aparte de las ciencias
naturales, la tecnología y las ciencias económicas. Al mismo tiempo que el calentamiento global
se ha convertido en centro del debate político y comercial global, los estudios sociales y
humanísticos han comenzado a tratar las consecuencias del cambio climático en la sociedad y los
seres humanos.
Algunas técnicas de captura y procesamiento de imágenes satelitales son como las que citamos a
continuación:
7. Proceso de Imágenes de Fenómenos Naturales. (Imágenes Satelitales)
Imagen Satelital de Pedernales Procesada para
sobreponer los contornos de división política.
Realce de áreas nubosas y relace de áreas verdes y
montañosas, aplicando filtros de texturización
Foto satelital con Coloración vía
algoritmos topológicos como el algoritmo
Numero 1 revisado en este trabajo. Se
destacan zonas nubosas cubiertas por el
fenómeno tormenta
Mapa Temático de RD de alta resolución con
Coloración de escala para la densidad
poblacional justo para medir el impacto de las
precipitaciones de NOEL, como puede verse
en el mapa a continuación al lado
Mapa Temático de alta resolución de RD con
Coloración de escala para las precipitaciones
pluviométricas de la tormenta NOEL. Donde
se muestran Bordes, Contornos, regiones,
Subconjuntos de la imagen etc..
EL NIÑO SOUTHERN OSCILLATION (ENSO). EL proceso de imágenes del pacifico y el atlántico permiten
estudiar el proceso de recarga y descarga de este fenómeno llamado Niño y su contraparte la Niña
AREA DE LA ANTILLAS MAYORES, FLORIDA Y GOLFO DE MEXICO…Modelización de La aguas precipitables en
función de una Humedad Relativa GHT y Presión del viento 850 Hecto Pascales
VIII. BIBLIOGRAFIA
[Alex] P. Alexandroff, “Diskretnie Prostranstv”, Matematicheskij Sbornik, Vol. 2 (44), pp. 501-519, 1937.
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Recognition Letters, Vol. 15, pp. 1003-1011, 1994.
[Ber,Mal] G. Bertrand, G. Malandain, “A new characterization of three--dimensional simple points”, Pattern
Recognition Letters, Vol. 15, pp. 169-175, 1994.
[Box] L. Boxer, “Digitally continuous functions”, Pattern Recognition Letters, Vol. 15, pp. 833-839, 1994.
[Bri] E. Brisson, “Representing geometric structures in d dimensions: Topology and order”, Discrete
Computational Geometry, Vol. 9, pp. 387-426, 1993.
[Her] G. T. Herman, “On topology as applied to image analysis”, CVGIP (Computer Vision, Graphics, and Image
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ordered sets”, Topology and its Applications 36, pp. 1-17, 1990.
[HenScudd] Henry J. Scuddder. “Introduction to Computer Aided Tomography”. Proc. IEEE, vol. 66, pp.
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[WaldHins] Waldo S. Hinshaw and Arnold H. Lent. “An Introduction to NMR Imaging: From the Bloch Equation
to the Imaging Equation”, Proc. IEEE, vol. 71, pp. 338−350, March 1983.
[Zheng] Zhengrong Liang. “Tissue Classification and Segmentation of MR Images”, IEEE Engineering in
Medicine and Biology, March 1993.
[JCBezdek] J. C. Bezdek and L.O. Hall, Matt Clark, Dmitri Goldgof and L.P. Clarke, “Segmenting Medical
Images with Fuzzy Models An Update”, Fuzzy Information Engineering 1997.
[JCBezdek] J. C. Bezdek, “Fuzzy Sets for Pattern Recognition”, 1986.
[Schul] J. R. Shulcloper, “Reconocimiento de Patrones”, notas del autor.
[JCBezdek] J. C. Bezdek and S. K. Pal, “Fuzzy Models for Pattern Recognition”, Piscataway: IEEE Press, 1992.
[Olivera] de Olivera, R.I. Kitney, “Texture Analysis for Discrimination of Tissues in MRI Data”, Proceedings,
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[Cannon-Jitendra-Bezdek] Robert L. Cannon, Jitendra V. Dave and James C. Bezdek, “Efficient Implementation
of the Fuzzy c−Means Clustering Algorithms”, IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol.
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[Reed-Roscoe-Wachter] Reed, Roscoe, Wachter, “Topology and Category Theory in Computer Science”, Oxford
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Topology and Applications, Vol. 42, pp. 25-36, 1991.
[IRIB] Iribarren, “Topología de Espacios Métricos”, Limusa 1987.
[PARAMO] A. R. Páramo, “Tópicos en Topología”, Edición del Autor, 1995.
[R.W.R.] Robert W. Ramirez, “The FFT Fundamentals and Concepts”, Prentice Hall, 1985
[AHO-HOP-ULL] Aho, Hopcroft, Ullman, “Data Structures and Algorithms”, Addinson- Wesley Publishing
Company, Reading Massachusetts, E.U.A. 1983.
[XIE-BENI] L. X. Xie and G. Beni, “A validity measure for fuzzy clustering”, IEEE Trans. Pattern Analysis and
Machine Intelligence, vol. 13, pp. 841-847, Aug. 1991.
[Vin] V. G. Vinokurov, “Lattice method of defining dimension”, Soviet Math.
Dokl., Vol. 168, Nb. 3, pp. 663-666, 1966.
IX. ANEXOS
1. El contenido sustentante de los tópicos relacionados con el cálculo y análisis de Fourier se referirá,
mediante la recomendación de la obra de Robert W. Ramírez, Ing. Diseñador de la empresa de
fabricación de instrumentos de alta precisión Tektronix, Inc.
En esta Obra está excelentemente descrito todo el aparato matemático de la FT y todas sus
variedades, por lo que por razones de tiempo dejaremos al lector procurar este contenido en la
mencionada obra de ser requerido.
En el caso de que el lector desee acceder al mismo, vía el autor de este trabajo puede hacerlo por la
vía del correo electrónico [email protected] , así mismo como cualquier otro documento que
sustente el razonamiento expuesto en estas páginas.
2. RUTINAS MATLAB PARA COMPARAR LOS TIEMPOS DE PROCESO DE UN
ANALISIS ESPECTRAL MEDIANTE LA TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER
APLICADA A UNA SEÑAL UNIDIMENSIONAL DE DOS ARMONICOS CON RUIDO
ALEATORIO AÑADIDO Y EL TIEMPO DE PROCESO DE LOS ALGORITMOS
TOPOLOGICOS DE DETECCION DE BORDES USANDO IMÁGENES (SEÑALES)
BIDIMENSIONALES DE ALTA RESOLUCION.
%Click Next to continue or Stop to end
tic t = 0:.001:.25; x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
y = x + 2*randn(size(t)); subplot (3,1,1) plot(y(1:50)) title('Senal con ruido en el dominio del tiempo')
t1=toc tic
Y = fft(y,256);
Pyy = Y.*conj(Y)/256; f = 1000/256*(0:127); subplot (3,1,2) plot(f,Pyy(1:128)) title('Composicion Espectral ') xlabel('Frecuencia (Hz)')
t2=toc tic subplot (3,1,3) plot(f(1:50),Pyy(1:50)) title('Densidad Espectral de Potencia Filtrada') xlabel('Frecuencia (Hz)') t3=toc
Y = 1.0e+002 *
SALIDA DEL FFTSA.m
Que hace análisis espectral de una señal unidimensional con 2 Armónicos y un ruido aleatorio sumado solo para
probar el comportamiento del tiempo de CPU
CALCULOS
Columns 1 through 8
0.3482 0.2469 + 0.0937i 0.1963 - 0.0969i 0.1402 + 0.2866i -0.2682 - 0.1952i 0.1108 + 0.2329i -
0.3623 + 0.2259i 0.3793 + 0.0319i
Columns 9 through 16
-0.0008 + 0.3799i -0.1428 + 0.2846i -0.1403 + 0.5346i 0.6182 + 0.3666i 0.1596 + 0.6628i -1.1798 - 0.9956i
0.1292 - 0.3008i -0.0518 + 0.3820i……Sigue hasta columna 256
Pyy =
Columns 1 through 15
4.7367 2.7240 1.8724 3.9758 4.2966 2.5984 7.1188 5.6583 5.6379 3.9597 11.9310 20.1780
18.1557 93.0922 4.1865
Columns 16 through 30
5.8064 1.8142 4.2252 2.0762 3.0972 4.2024 13.9902 4.0315 3.7649 1.9469 3.2207 3.7724
9.9373 6.8576 0.7063……..Sigue hasta columna 256
TIEMPOS DE PROCESO
t1 = 0.1546 segs. Tomó generar la señal bi-armónica, sumar el ruido aleatorio e imprimir dominio tiempo
t2 = 0.0171 segs. Tomó Calcular la FFT de la Señal y Generar los cálculos de Espectro e imprimir
t3 = 0.0169 segs. Tomó Calcular la PSD y Filtrar el ruido e imprimir la onda regenerada
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-10
0
10Senal con ruido en el dominio del timpo
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
50
100Composicion Espectral
Frecuencia (Hz)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
50
100Densidad Espectral de Potencia Filtrada
Frecuencia (Hz)
SALIDA DE EJECUCION DE LOS ALGORITMOS PARA FILTROS CANNY Y SOBEL DE
NATURALEZA TOPOLOGICA
%Click Next to continue or Stop to end tic
I = imread('coins.png');
figure, imshow(I)
t1=toc
tic
BW1 = edge(I,'sobel');
figure, imshow(BW1)
t2=toc
tic
BW2 = edge(I,'canny');
figure, imshow(BW2)
t3 = toc
Se presentan los tiempos de ejecución de cada cálculo de las imágenes procesadas
t1 = 0.4251 segs. Tiempo para leer la imagen original y desplegar sin procesamiento alguno
t1 = 0.1209 segs. Tiempo de despliegue sin lectura previa del arreglo de Pixeles (2da corrida)
t2 = 0.4266 segs. Detectando bordes con filtro de SOBEL
t2 = 0.1707 segs. Detectando bordes con Filtro SOBEL sin lectura previa del Arreglo de Pixeles (2da corrida)
t3 = 0.5920 segs.Aplicando el Filtro de CANNY
t3 = 0.3386 segs. Aplicando Filtro CANNY sin lectura previa del Arreglo de Pixeles (2da corrida)
