Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

14

Transcript of Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

Page 1: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

#�$�%� &���'(�

������� �)

� * �+ ���� ����� �� ������ ������ ��

�+ '�,-��� $� '�,-��($., ��/'�%., + + + + + + + + + + + + + + + + + + ��

�+ ���'%�%�., '�,-���., + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ��

�+�+ ,��0 * � 1�2 1 � + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ��

�+�+ � 0�� �+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + )�

�+)+ $ 0 *�2 20 �+ (�1�� ��2 � + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ))

� * �+ �������� ��������� ��

�+ '�,-��� $� '�,-��($., ��/'�%., + + + + + + + + + + + + + + + + + + ��

�+ ���'%�%�., '�,-���., + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ��

�+�+ ,3� �� ���+ %*��2 ��2 � 1�2 1 �+ ,��0 * � 4 ! 2 4 � + + + ��

�+�+ $ � 24 2�� �24 � 24 2�� 1�2 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 5�

�+)+ 6 � �+ $�* 2��72+ %4 2 4 � + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 55

�+�+ % *�� 4 � � + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + �)

�+�+ ' 2!+ 6 � 4 32 �3�� � �� ! 2 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + 8�

�+5+ ��3 ��2 � 4 32 �3� �� �� + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 8)

�+�+ .� ��2 � �2 �3� �� ���+ ,3* 4� �0 + + + + + + + + + + + + + + + + 8�

Page 2: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

���������� ������� � �� ������� �����������

� # $% ����������� ������� ��

�% &�'(��� )� &�'(��*)+' ��,&�-+' % % % % % % % % % % % % % % % % % % ��

�% ���&-�-�+' &�'(���+' % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

�%�% *�.�� ��/ � .�/ . �% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

�%�% *�.�� ��/ � .�/ . � 0 # 1�� � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

�%$% � 1�2 3 4/ �.�� ��5/ .�/ . . � #�� . � � % % % % % % % % % % % % ���

�%�% � 1�� � 64�7 . /1 � 0 # 1�� � � # � /1 �% % % % % % % % % % % % % % % % ��8

�%�% 9 . � ���� 0 7 �1 � ����% )� !/ .�2 ��5/% % % % % % % % % % % ��:

� # �% ������� �� ��� ������� ���

�% &�'(��� )� &�'(��*)+' ��,&�-+' % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

�% �*;�* )� )�&�9*)*' % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % �8�

$% ���&-�-�+' &�'(���+' % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % �8�

$%�% �. �/�4/1 3 .� /<# � . �% '4� ��/ �% % % % % % % % % % % % % % % �8�

$%�% �=#�1 � 3 >4/��/ � . � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ��$

$%$% �4/��/ � �/1�/4 � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

$%�% ) �7 3 � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % �:8

$%�% & !. 3 �?�@��1 .% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

$%8% �4/��/ � 3 �7 �. �% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ��$

$%�% - ��#� /1A B1 #�A �/7 B�3 3 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ��$

$%:% *�=/11 � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

$%�% & � � /1 ��5/ !CD� 3 4/ >4/��5/% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ��8

$%��% E4/1� D�� % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ��8

$%��% E.�/#� 3 � 0. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % �$�

��

Page 3: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

������ �����

� $ �% ��������� � ����� ���� ��� �&�

�% '�()��� *� '�()��+*,( ��-'�.,( % % % % % % % % % % % % % % % % % % �&�

�% ���'.�.�,( '�()���,( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

�%�% �/ �0�102 Rn % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ���

�%�% �10��0 � / � 3 3� $4� 5 � �/ �% �6$�2 � % % % % % % % % % % % % % ��#

�%&% �10��0 � �02�01 � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % �#�

�%�% * �5 3 � !70 10 5 �2% �10��0 � 3�8 0�� �/ � % % % % % % % % % % % �#�

�%�% �92 $� 3 10 810��:0 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % �;�

� $ #% ������������ ������������ &��

�% '�()��� *� '�()��+*,( ��-'�.,( % % % % % % % % % % % % % % % % % % &��

�% �+<�+ *� ����='+��( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &��

&% ���'.�.�,( '�()���,( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &�;

&%�% �02 ! / �03 >0�3 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &�;

&%�% �02 ! / 3 >0�3 % ? �% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &&�

&%&% �02 ! / � �$��� � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &&;

&%�% �02 ! / � 3�/ � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &��

&%�% @/7$ 0 � % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &��

&%#% .4/�1/ 3 /6$�2 � $ 3� 02 �02 ! / �% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &��

&%�% �02 ! ��:0 01$A�� % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % &#�

��

Page 4: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

���� �

���#$%&''�(� )� *�+�,#) ����)�

1� ������� �� �������� � �����

�������� ��������

���� &- ���. / 0 m �1 ��- � 2�- 2 � �- n �-�3!-�. � � 1- �-�1-. 0 4� ��- � 2! � �� � 0 2 5/

(S)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm

0-0 xi �- 2 � �-�3!-�. �6 aij 2� � 7�� -. � 8 bi 2� .9/�-� �-0 � -0� -. �:i = 1, 2, . . . ,m6 j = 1, 2, . . . , n;< �� � 7�� -. � 8 2� .9/�-� �-0 � -0� -. ��- -=/ � 2 �< �2 ���. / (S) � 22 / >/!9- �1 -0 .0� 2� .9/�-��-0 � -0� -. � �- � <

�� -=/ � 2 � x1 = s16 x2 = s26 < < < 6 xn = sn 5/ - 1- �21��3- 0 2���. / �� ? �7� - .0 � �1� �1 ��- �< # �2? 1- ���. / � > 22 .0 � �1��21��- �<

���� %� ���. / � �- ���������� �� .� - - 2 � /��/ � �21��- �<

���� @ - E16 E26< < < 6 Ek �1 ��- � 0 1- ���. / 6 � 0�� A1 2 �1 ��3- E ��� �������� ������ 0 E16 E26 < < < 6 Ek �� 4��. - -=/ � 2 � α16 α26 < < < 6 αk

. 2 � A1 E = α1E1 + α2E2 + · · ·+ αkEk<

���� ������� ������ �� ������������� &- ���. / � . -�5/ - . A1�? B2 -. ��

: ; � � /�� 2 0 - 0 2 � �1 ��- �6

:�; � /12.��2�� 1- �1 ��3- � 1- -=/ 0��.�-. 0 � 6

:�; � �1/ 1- �1 ��3- 1- /=2.��2 0 . <

��

Page 5: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

���������� ������� � �� ������� �����������

���� ����� ������� ��� �������

$ % &� '( ���) * )� ( + �' ��,( ('+ - .�) � �' / �'��*�0

$�% &� '( ���) * � + 1 / '( �' ��,( 2' � �*��( ��,( +�( + / + �) �- �'+) '( ���) * 2'�3 + () 0

$�% &� ( '( ���) * '( �' ��,( � �*��( ��,( +�( + / + � ) �- � �' / �'��*� 4 �'+) '( ���) * 2'�3 + () 0 �( � )��'+ - �� /� �' ��( � �(����( + �- '( / ++ � � �' / �'��*�0

$/% &� � *�+ 5 '( �' ��,( � '( �*��( ��,( +�( + / )/ � + � �' ��( � ( + 2' + � 6�� () / + *�+ 5 / � ( ('+- �'+) '( ���) * 2'�3 + () $ �) ��� / / � + 7'(/ * () / + *.)/ / /'���,(%0

���� � (� (/ ( �' () + (8* / �+'��( �- � /�� 2' '( ���) * �

$ % ��������� ������� �� )� ( '( 8(�� �+'��,( $n � + (� / �(�,!(�9) �%-

$�% ��������� ��������� �� )� ( �(6(�) � �+'��( � 4

$�% ����������� �� ( )� ( �+'��,(0

: ) ()- � /�� 2' � ��������� �� )� ( �+'��,(0

���� ;( ���) * � �������� �� ( )/ �' ��,( ( ('+ + (8* / ).*�(�('+� 2' � � / ( + ��* ).*�( ( ('+ � * 4 2' + / + () �0

���� ����� �����0 <(���) ( ) (�7* + ���) * ( ) 2'�3 + () 2' � �� +( /- * /� () + � ) (�7* ��( � / 2'�3 + (�� / +� � ) /� �0�4 �0� $3. (� +� � ����� �0�9�0�%0 =+ 6( +�5 + �� �- + ���) * �� +( /) (/> r �' ��( � ( ('+ � $ �(/ � (/� () �%- + � ('+ � � �'��* (- ()(� ��

$ % &� ? 4 +!'( �' ��,( / + 7* 0 = b- �( b �= 0- + ���) * � �(�*� 9)��+ 0

$�% �( � � �() �- + ���) * � �*� )��+ �9&� r = n- + �+'��,( � 8(�� 09&� r < n- ? 4 �(6(�) � �+'��( � 2' / � (/ ( / n− r � >* )�0

���� �

���� ;( ������ / ������� $' ���% m× n � '( ) �+ �) (!'+ / mn

��

Page 6: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

����������� � �� ��� �����

#$% � &���' �(� # m )* � + n �*'%# ��

A =

⎛⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 am3 . . . amn

⎞⎟⎟⎠ .

,* & ��!# '# % (�- ! #.�� / �% * #( �/ � & (.%�# (� # &� �'�0#1&�� � 2' �#&�� # * )* + * �*'%# * � 2' � ( # � 3 ,�0/ � � %�*/ a23 � * 2' �(4 # * � !'#& )* + ( � �*'%# 3 5 ��%�*�)� / * % (�- #( � � & #( A = (aij)3

����� 6� % (�� � �# �!' * � �� (� # # * %��% &�% #��7# + �# �!' * � (&�*� * % #(� 2' �'� # * %��% �����7#3

����� ���� & % (�� ��

8 9 ������ ��� � 2' ** 2' (� # �7* '# )* / � ( #( & &�% #��7# 1×n3

8�9 ������ ��� � � 2' ** 2' (� # �7* '# �*'%# / � ( #( & &�1% #��7# m× 13

8�9 ������ ���� ��� � )* � � '# % (�- ( * 2' # � & )* * #$% & � � 2' � � & # * ��% * % #( # #'* � % + 2' # * � � & #( / & ( %&/ %� - #& � * �-2'� & / # � & )* : + %4� � � 2' # * #( �3

8&9������ ������� � 2' ** 2' (� # �!' * #$% & )* � 2' & �*'%# �3� ���� �� ��� ���� �# *� * % #(� & * ;% aii3 <# % (�- �' & & ����� ����� �� (&� *� * % #(� & � � & * &� !# * ��#��� * �# � 3 <# % (�- �' & & � ���� �� �� (&� *� * % #(� 2' # �(4# # * &� !# *��#��� * �# � 3

8 9 ������ �������� � 2' ** % (�- �' & & 2' (� # *� * % #(� ��%.1(��� * &� !# * ��#��� * �!' * �/ � & ��/ aij = aji, ∀i �= j3

8;9 ������ ��� ����� � 2' ** % (�- �' & & 2' (� # # * &� !# * ��#1��� * '#� + * �( � 3 5 � %�*/ * � % (�� � �& #(�& & & & # � + = �#/ �� �(�> % #( �

I2 =

(1 00 1

), I3 =

⎛⎝ 1 0 0

0 1 00 0 1

⎞⎠ .

��

Page 7: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

���������� ������� � �� ������� �����������

����� ���� �� ������% � �&' ( (� ' )�� � A * B ( + '��' (�' ,��-, �) ' )�. ( + '��' (�' ,��-, /& � �)� , �&' ,( + ' ,) + ' ,)%�� '�+� �&' ( (� ' )�� � 2× 3�

(a1 a2 a3a′1 a′2 a′3

)+

(b1 b2 b3b′1 b′2 b′3

)=

(a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3a′1 + b′1 a′2 + b′2 a′3 + b′3

).

����� �+ �(&�) ( &, ' )�. A � &, ,0' + k � ) ' )�. ( + '��' (�' ,��-, /& � �)� , '&+)��+�� ,( � ( + ' ,) ( A � + ,0' k% �� '�+�

k

(a1 a2 a3a′1 a′2 a′3

)=

(ka1 ka2 ka3ka′1 ka′2 ka′3

).

����� �+ �(&�) ( &, ' )�. 1+ � &, ' )�. �+&', �, + '��' ,0' ( + ' ,)� � &, ,0' /& � �)� , �' ��!& �

(a1 a2 . . . an

) ·⎛⎜⎜⎜⎝

b1b2%%%bn

⎞⎟⎟⎟⎠ = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn.

����� �� ��� �� ������% 2 '&+)��+�� (� ' )�� � A * B3 + ,0' ( �+&', � ( A 4 ( � �!& + + ,0' ( 1+ � ( B% �,),� �3 �� A = (aij)m×p

* B = (bij)p×n3 + ' )�. �(&�) C = A · B = AB = (cij) � + ' )�. m × n�&*� + ' ,)� �,

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj =

p∑k=1

aikbkj ,

�) �3 + + ' ,) (i, j) ( + ' )�. C � �)� , '&+)��+�� ,( + 1+ i ( A� + �+&', j ( B � !0, + !+ �%��%

����� 2�� ( ( � ( + �&' ( ' )�� � * ( + �(&�) � &, ,0' �

5�6 7,'&) )�8 � A+B = B +A%

5�6 9��� )�8 � (A+B) + C = A+ (B + C)%

5$6 �+ ' ,) , &)� + ' )�. ,&+ � 5)(� �&� + ' ,)� �, � 6 �&'�+ A+ � = A%

5�6 �+ ' ,) �& �)� )( ' )�. A )� , &, ' )�. �& �) −A3 /& � �)� , � '�� ,( ( ��!, )(� +� + ' ,)� ( A * �&'�+ /& A+(−A) = �%

��

Page 8: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

����������� � �� ��� �����

#�$ %��&��'&�( ) �� * � �� �& ) * �'+ ) + &�� �� k(A + B) =kA+ kB,

#-$ %��&��'&�( �� �& ) * �'+ ) �� * �� (k + h)A = kA+ hA,

#�$ .��� &�( +�/& � k(hA) = (kh)A,

#0$ �* 12+ � � * * + 1& '1�) )� 1 ·A = A,

����� 3�� ) ) � ) * �)'�& ) + &�� ��

#�$ .��� &�( � A(BC) = (AB)C,

#�$ %��&��'&�( �

4� * �56'� ) � A(B + C) = AB +AC

4� * ) �7 � (B + C)D = BD + CD,

#8$ .��� &�( 1& 12+ � 9 + &�� �� (hA)(kB) = (hk)(AB),

#�$ �* + 1& �) 1&�) )� ImA = A: AIn = A � &) A ∈ Mm×n,

;�� ( ��<1� �* �)'�& ) + &�� � 1 �'+�* * ��� ) ) �1+'& &�( : �& 6'� ) �� 6' 7 9 � � � ) + &�� � & * � 6' AB �= BA, ��& 1 �+��) 6' /��& 1 � � � ) + &�� � 6' �= �1+'& 1,

����� �1 * �1�'1& Mn×n ) * � + &�� � �' ) ) � ) ) 1 n: * �)'�& � '1 * 9 �1& 1 6' �'+�* * � ��� ) ) � 1& � � �,�-4�,��: ) +>� 7 9 * + 1& 1 '& � * �)'�&� * + &�5 �) 1&�) ) ) ) 1 n I = In 6' �'+�* A · I = A 9 I ·A = A � &) + &�5 A ∈ Mn×n,

����� ������ �����, ? )�� 6' * + &�5 �' ) ) A � ������� � ���� 6' &� 1 �1( � : �� /��& '1 + &�5 A−1 & * 6' AA−1 = I 9 A−1A = I, � + &�5 A−1 � ** + �1( � ) A, ?� /��& : � 21�� ,

3�� ) ) �� #�$ (AB)−1 = B−1A−1: #�$ (A−1)−1 = A,

����� ������ ������� ) A � * + &�5 At 6' � �&� 1 � &� ) A � +4�� 1) @* � � �*'+1 �: �& �: * � �*'+1 � ) At �1 * � @* � ) A,

3�� ) ) ��

#�$ (A+B)t = At +Bt,

#�$ (kA)t = kAt,

#8$ (AB)t = BtAt,

��

Page 9: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

���������� ������� � �� ������� �����������

#�$ (A−1)t = (At)−1%

#�$ & '� ( )* A � ��+,'�� �� - �./ �� A = At%

����� & // + ����� 0 *( + '�1 A / (2+ 0 3/ � /�( /+ (' �(0 � (40� (' �% & 0 (' rang(A)%

������� � ������ �( �* /)*� + '�15 / (2+ 0 3/ � /�( /+ (' �(40 � (0� (' � ��(��0 �( / (2+ 0 �/*+( � /�( /+ (' �(0 � (0� (' ��%& !2( �'5 / (! 0 *( + '�1 � / (2+ 0 3/ � 0 �/*+( � /�( /+ (4' �(0 � (0� (' �%

�/ (! 0 *( + '�1 �� /( 0 � �!* / / (2+ 0 3/ � ( (*/ �%

����� ���������� ����� ���������% � � ��!*� (' � ' (�6+ ��( � �/�� 0 � *( + '�1 � +�' ( �' ( ' )* '� ( / +��+ (!�

#�$ �(' � +�� 0 �����.( 0� 3/ � (' �7%

#�$ �*/'��/�� *( 3/ � *( (2+ 0��'�(' 0 � %

#8$ &*+ *( 3/ *( +2/'��/ 0 ' � Fj → Fj + kFi%

#�$ &*��+� *( 3/ )* � (*/ 5 ����( / ' �+��( ��.( /�( /0 ' �%

#�$ � � �* ' ��� 0 0 � (' � � �( �� ' � ' +��,( � +�� (0 / � � 4/ � � 3/ - 3/ � � �/*+( - �/*+( �5 �� �'�9 + (' %

� � ��� 0 0 � (' � � (� � +�' ( � /�*/ / (! 0 *( + '�1 � / +,'0 0 : *��%

����������� ��������

����� ������������� � ���� �% ; 0 / + '�1 �* 0 0 0 � !*(0 0 (

A =

(a11 a12a21 a22

)5 � // + 0 ' +�( (' 0 A / (2+ /

det(A) = |A| =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21.

; 0� 0� 9 �' � a = (a1, a2) - b = (b1, b2) 0 R25 � // + 0 ' +�( (' 0 a

��� �������� � ��������� ����� �� ��� � ��� ������ �� �� ���� �

��

Page 10: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

b 2× 2 (a1, a2) (b1, b2)

det(a, b) =

∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣ = a1b2 − a2b1.

A =(aij)3×3 A

det(A) = |A| =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

− a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31.

a = (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3) c = (c1, c2, c3) R3

a b c 3× 3

det(a, b, c) =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a2b1c3 − a1b3c2.

|A| = |At|

Page 11: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

���������� ������� � �� ������� �����������

�#$ %&�' �� �(�) $ %( ' * % + � & $,� +� $��$� + $ %(� -# + & ( $�.% %( �%��� +�

det(a+ d, b, c) = det(a, b, c) + det(d, b, c) ∣∣∣∣∣∣a1 + d1 a2 + d2 a3 + d3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣d1 d2 d3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .

/01 2� � $#+(��+�� % (&� +� + $ %(� & #% 3+ / �+#$% 1 � #% %4.$ ' + & ( $�% %( -# & $#+(��+�� & � &��5 %4$ �

det(ka, b, c) = k det(a, b, c)

∣∣∣∣∣∣ka1 ka2 ka3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = k

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .

/�1 2� � � $#( % &� 3+ � / �+#$% �1' + & ( $�% %( � $�� & ��!%�

det(a, b, c) = − det(b, a, c)

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣b1 b2 b3a1 a2 a3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .

/�1 2� #% 3+ / �+#$% 1 � (& & � �' + & ( $�% %( ) + ��

det(a, b, 0) = 0.

/61 2� &� 3+ � / �+#$% �1 �% �!# + � ����% + �' + & ( $�% %( ���

det(a, a, b) = 0 * det(a, ka, b) = 0.

/�1 2� #% 3+ / �+#$% 1 � �$��% ��7% +�% + & + � �( %( � 3+ � /�.+#$% �1' + & ( $�% %( � �� det(a, b, αa + βb) = 08 9 �:�� $ %( ' �� #%& ( $�% %( � �' (� % #% 3+ * #% �+#$% -# � �$��% ��7% +�% + & + �& $,�8 ;��5 & ( $&� �� a, b, c �% ) �( � & R

3' %(%� � a' b * c �%+�% +$ %( �%& � %&� %( � �� * �7+ �� det(a, b, c) �= 08

/<1 2� #% 3+ / �+#$% 1 � + �#$ #% $4+(��+ & ( ' + & ( $�% %( % ) : � det(a, b, c) = det(a, b+ ka, c)8

/�1 �+ & ( $�% %( & + �&#�( & &� $ (�� � � �!# + + �&#�( & +�& ( $�% %( � & + � &� $ (�� ��

|AB| = |A| |B|.

��

Page 12: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

����������� � �� ��� �����

����� %� & '& ( )�* � + ���& (� k ,+ � - k �+'(& �. +� + ( &)� & +�/' � �'* & 0( & '& �'�( )�* �' 1 1 1 1 & k2 �+ 1 ) (�& &) 1 � �'�( )�* � ++ ( ����� �� ����� k 1 + ( )�* �&��� +2

����� %� & '& ( )�* �' 1 1 n × n 1 �) � (� '& + ( &) aij . + �'��(��' ,+ - �' �+'(& � �)� & & '& �'�( )�* (n−1)× (n−1)2 %' 1 ) (�& &) � '& ( & 1 1 & n− 1 /' � ++ ( ����� ������������ 1 + + ( &) aij- � 1 ��!& � αij 2 % ++ ( �� ��� 1 aij + &3( Aij = (−1)i+j · αij . �1 ��. + ( & �(�+ ( &) � � � 1�1 1 + ��!& + − � !3& /' + �'( i+j1 +� �'�4&1�� � � � �(� . �� �)�5 ( &) 2

����� �������� �� �� ���������� ��� ��� �� � ������2 �+ 1 ) (�& &) 1 '& ( )�* �' 1 1 � �!' + + �'( 1 +� + ( &)� 1 '& ,+ �+'(6& �' +/'� . ('+)��+�� 1� � �'� 1�'&)� � ��&1� &) �2 7 � (�+. +1 � ++ � + ��( ,+ ��

det(A) = a11A11 + a12A12 + · · ·+ a1nA1n.

����� ����� �� ����� �� ��� ����� ��� �����������2 �+ &! 1 '& ( )�* � + (89�( 1 & 1 �'� ( & � & &'+�2 ��) ��!&�,� /' rang(A) = k ��- �:+ �� 9��) '& ( & 1 1 & k & &'+ - )1� +� ( & � 1 1 & k + 1�& � 2 ��) ��� 1 1 � �' 1 ��(�+�,� 1 + ��!'� &) 0( �

rang(A) = k �� - �:+ �� 9��) '& ( & Mk 1 1 & k & &'+ - )1� +�+ 1� 1 1 & k + 1 1 � ( & �& � 2

;& + 1 1 1 & k+1 1 Mk � �)� & < 1� &1 '& ,+ - '& �+'(& 1 A /' & �)=& & Mk2 7 � (�+. �� + ( )�* A )� & " ,+ � F1. F2 - F3

- � �+'(& � C1. C2. C3 - C4 - '& ( & & &'+ 1 1 & � M2 � + 0( 1� + � 1� ��( � ,+ � - �+'(& �. �) �. M2 = (F1, F2;C1, C2). &)&� �+� + 1� 1 1 & " � 4 & (F1, F2, F3;C1, C2, C3) - (F1, F2, F3;C1, C2, C4) >-& ? - (8�@2 %� A )'5� � ,+ � ? �4 )� 1� + 1� (8�. � (�� &1 & +� &) � � F3 � F4� (F1, F2, F4;C1, C2, C3) - (F1, F2, F4;C1, C2, C4)2

���� % A '& ( )�* �' 1 1 2 �&)&� � A )� & �&5 � > � !'+ @ �� - �:+�� |A| �= 02 �& �) � �. + �&5 � A−1 5� & 1 1 � + 0:('+

A−1 =1

|A| Adj(A)t,

�� &1 Adj(A) + ( )�* 1�'&) 1 A /' � �)� & + �'�)�)'� � 1 + ( &)aij 1 A � �' 1�'&) � ��&1� &) Aij 2

��

Page 13: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

���������� ������� � �� ������� �����������

����� ������� �� ���� ��������# � �$%���&$ $ � � � ' �()�� $* � +( * $! �,(��&$ , ���* -

(S)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm

� +( , $! % , - *�. % ,� � )�� $* �/ A/ ��$��% �$ , $! % , - *�. -�,� % / A∗/ �� $%�

A =

⎛⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 am3 . . . amn

⎞⎟⎟⎠ , A∗ =

⎛⎜⎜⎝

a11 a12 a13 . . . a1n b1a21 a22 a23 . . . a2n b2. . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 am3 . . . amn bm

⎞⎟⎟⎠

�� % ��/ , ���* - (S) *� $ �,(��&$ ⇔ rang(A) = rang(A∗)# 0% -1�/ $ �* � �/ , $2- % � 1- *� % ,� +( % � $% , �,(��&$ � �!( , , $2- % �$�&!$�* � 3n4 - $� , $! % A#

����� 5$ ���* - % �( ��$ � ,�$ , � � ($ ������� �� ������ �� , $2- % �( ��$ � � �!( , , $2- % �$�&!$�* � n ' , % * -�$ $* % , - *�. % ,� � )�� $* � A � %��*�$* % � #

����� �� ������ � �% ���* - % 6 - *� $ �,(��&$ 2$�� ' 7�* 8� $ % % ��

x1 =det(b, c2, . . . , cn)

det(c1, c2, . . . , cn), x2 =

det(c1, b, . . . , cn)

det(c1, c2, . . . , cn), . . . , xn =

det(c1, c2, . . . , b)

det(c1, c2, . . . , cn),

�� $% c1, c2, . . . , cn , � �,(-$ � % , - *�. A ' b , �,(-$ % ,� *7-�$��$% � $%� $* �/ � , * $* det(A) = det(c1, c2, . . . , cn)#

2� ������� ����� ��

2.1� �������� ��������

��������� ���� 9 �(7,8 � , ���* - �� ,$ %

⎧⎨⎩

3x+ y − z = 9y + 3z = −5

2z = −4

��

Page 14: Prólogo Tema 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL Tema 2 ...

����������� � �� ��� �����

�������� #�$ � % && z ' & ( � �) ��*'� z = −2+ , �)�(�()- ' & � !)'. - � �(� ' y� y − 6 = −5 ⇒ y = 1+ # /&(�$0 � �)�(�()- ' ' & ��$ �) ��*' &� 1 & � . y - z - � % && x� 3x+1+2 = 9 ⇒ x = 2+ 2$% - �&)��*' /'�� (2, 1,−2)0 & ���( $ � �$� (��& . ( $�' .+

3 �( �� .�$� '( � & && $ ����������� ��� ���+ �� ���( $ � &�' 4& �0 ' ! ' &0 � �) &1 ' �&�� '. & � ( '�5$ ��' � . 6)�1 & '�� �+�0�'1�(�7'.&� ' �� &' .�+ 8 $� �*$ � �� . ' & ��!)� '( � ����+

�� ����� �� 9 �)7&1 � & ��!)� '( ���( $ � & � ���� �� ���� - �& ��45:6) � � ⎧⎨

⎩x− 3y + 2z = −22x− 5y − z = −2

−3x+ 7y + 2z = 4

�������� ,� � � ( . & ��$ �) ��*' �$ �) ��*' � � - � &�$�' & x ' & � !)'. �) ��*' - ' & ( � 0 & ��$ ( '�5$ ��*' . 6)�1 & '4�� � : $)&(��&�� & ��$ �) ��*' � −2 - �)$ & & � !)'. ;17 � �+�;�<<+ � � !)'. ( '�5$ ��*' . 6)�1 & '�� � $)&(��&�� � = & ��$ �) ��*' - �)$ & & ( � + ��( � .� ( '�5$ ��' � � �'.�� ' �$ ��!) �

E2 → E2 + (−2) · E1,E3 → E3 + 3 · E1.

, �) . ' % � ' )' �*& � � - �)&( & ���( $

⎧⎨⎩

x− 3y + 2z = −2y − 5z = 2

−2y + 8z = −2

3% �� � )� & � !)'. �) ��*' �$ �) ��*' � � 0 � $)&(��&�� � � -� �)$ & ( � ;E3 → E3 + 2E2<0 �)&( - )' ���( $ �� &' . 6) � �) &1 � �)�(�()��*' % �� (>� �$ % $� 1��( ' & � ���� '( ��

⎧⎨⎩

x− 3y + 2z = −2y − 5z = 2−2z = 2

→⎧⎨⎩

x = −9y = −3z = −1

;�+�<

2$ % - �&)��*' /'�� 0 & ���( $ � �$� (��& . ( $�' .+

��