TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. l....

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TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. BACH(CN) TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. l.-INTRODUCCIÓN. Problema: En un país A hay tres aeropuertos internacionales, Al' A2 Y A3' mientras que en otro país B hay cuatro, Bl' B2' B3 Y B4' Los vuelos vienen entre esos aeropuertos vienen representados en el siguiente diagrama: Bl B2 B3 B4 Al 1 O 2 O A2 O 1 A3 O O 1 Esta información la podemos resumir también según los números de los vuelos de un aeropuerto a otro en la siguiente tabla: Cl C2 Bl 3 2 B2 1 O B3 1 O B4 O 2 o también Imaginemos ahora que tenemos los vuelos del país B a otro país C con dos aeropuertos: Si nos piden la combinaciones posibles para ir de A a C, haciendo escala en B, tendríamos: Para llegar a CI, las posibilidades son: saliendo de Al y pasando por BI tres vuelos y saliendo de Al y pasando por B3 dos vuelos, en total 5 posibilidades. Esto mismo lo tendríamos que repetir saliendo de A2 y A3 ; Y también para llegar a C2. Al final nos quedaría: Cl C2 Al 5 2 A2 2 2 A3 O 2 DAVID RIVIER SANZ 1-1

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TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. 2° BACH(CN)

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

l.-INTRODUCCIÓN.

Problema: En un país A hay tres aeropuertos internacionales, Al' A2 YA3' mientras

que en otro país B hay cuatro, Bl' B2' B3 Y B4'

Los vuelos vienen entre esos aeropuertos vienen representados en el siguiente

diagrama:

BlB2B3B4

Al

1O2O

A2

O111

A3

OOO1

Esta información la podemos resumir también según los números de los vuelos de un

aeropuerto a otro en la siguiente tabla:

ClC2

Bl

32

B2

1O

B3

1O

B4

O2

o también

Imaginemos ahora que tenemos los vuelos del país B a otro país C con dos

aeropuertos:

Si nos piden la combinaciones posibles para ir de A a C, haciendo escala en B,

tendríamos:

Para llegar a CI, las posibilidades son: saliendo de Al y pasando por BI tres vuelos y

saliendo de Al y pasando por B3 dos vuelos, en total 5 posibilidades. Esto mismo lo

tendríamos que repetir saliendo de A2 y A3 ; Y también para llegar a C2.

Al final nos quedaría:

ClC2

Al

52

A2

22

A3

O2

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TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. 2° BACH(CN)

2.-NOMENCLATURA. DEFINICIONES.

Definición.- Una matriz es una caja numérica rectangular formada por filas y columnas:

aIla12000a1n

a

a22oO,a2n

= (aij t.n = (aij)A = I 21

•• o

oO •• oOoO o

an1

an2oO •ann

A es una matriz de m filas y n columnas y

ad E 9t .l}

Definición.- Se llama dimensión de una matriz a m x n, pondremos dim(A) = m x n.

Definición,- Se llama matriz cuadrada a una matriz que tiene el mismo número de filas

que de columnas, es decir, m = n.

Definición.- Llamamos diaqonal principal de una matriz cuadrada a la línea formada por

los elementos aIl,a22,o .. ,ann de la matriz A (es decir, los aij tales que i = j, 'í/ i = 1,2,o.o,n).

Definición.- Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión, y además,

A=(a.) }

o o 'o 'o l} ••

cOinciden termino a termino: B = (b r,n A = B <=> aij = bij 'í/ 1, ]l) m,n .

Definición.-

(1) Llamamos matriz fila o vector fila a toda matriz de dimensión Ix n.

(2) Llamamos matriz columna o vector columna a toda matriz de dimensión m xI.

Definición.- Se llama matriz traspuesta de A o traspuesta de una matriz A, a otra

matriz que llamaremos Al, que obtendremos al cambiar en la matriz A las filas por las

columnas y viceversa, es decir, si A = (a) entonces Al = (a ..) ,l} m,n Jl n,m

iJ' entonces A' ~ r~

O-1

Etern%: Si A = [ ~

231

31 11

O-1 3O

456

Definición.- Una matriz A se llama simétrica cuando Al = A. Para que una matriz sea

simétrica es necesario que sea cuadrada.

[1 -1 1]Etern%: Si A = -1 2 1 = Al.

1 1 3

Definición.- Una matriz A se llama triangular si es cuadrada y todos los elementos que

están debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

Etern%s:

DAVID RIVIER SANZ

[1 -1 1JA= O 2 1

O O 3

1

Y B=IOO

O

3

1O

O

-1

2

-1

O

11-1

2

1-2

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

3.-0PERACIONES CON MATRICES.

20 BACH(CN)

Notación.- Al conjunto de todas las matrices que tienen una misma dimensión, m x n, lo

nombraremos por M mxn' es decir, M mxn = ~odas las matrices A tales que dim( A) = m x n}.

-SUMA DE MATRICES.

En primer lugar, para que dos matrices puedan sumarse, es necesario que tengan la

misma dimensión nos dará otra matriz de la misma dimensión. En tal caso, se suma término

a término:

(a ) + (b ) = (a +b )l} m,n l} m,n l} l} m,n

. [1

23

~J y B{

-1-2

~ J entonces

Etern%: Si A = O

11 OO

-13O -21-2

A+B=[~

23

J[~-1-2

~ J =

1

1 OO

-13O -21-2

[ 1+1

2+(-1)3+(-2)

4+1 J [2

11

:J

= 0+1

1+01+05+1 = 111-1+2

3+(-2)0+16 +(-2) 111

-PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada término de

la matriz:

k . (a H ) = (ka )

l} m,n l} m,n

Eiemplo: Si A = [ ~

-23

~J y k = 3 entonces

1

-1-1

3O

kA=3[ ~

-23

;J = [ ~

-69

12J

1

-1 3-315-1

3O6 -39O18

-PRODUCTO DE UN MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA.

El número de columnas de la matriz fila ha de coincidir con el número de filas de la

matriz columnas, es decir las dimensiones serán 1 x n y n x 1 respectivamente. Es resultado

es un número:

b2

(a¡ a2 aj oo. an)·1 bj 1= a¡b¡ + a2b2 +ajbj +...+anbn

DAVID RIVIER SANZ 1-3

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

Etemolo:

2

-1

(1 O -1 2 3),11 1=1.2+0.(-1)+(-1).1+2.0+3.(-2)=2+0-1+0-6=-5O

-2

-PRODUCTO DE MATRICES.

2° BACH(CN)

Para que dos matrices A y B se puedan multiplicar, A· B, es necesario que el número

de filas de la primera (A) sea igual al número de columnas de la segunda (B), es decir, si la

dimensión de A es m x n, entonces la de B tendrá que ser n x p. El resultado del producto

será otra matriz de dimensión m x p , y cuyos elementos los obtendremos al multiplicar cada

vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda:

A: (au t,n} ~A. B = C = (cu t,pB - (bu t,p

b1j

b2j

a¡j ... a¡J·1 b3j

n

=aUb1j +a¡2b2j +a¡3b3j + ... +a¡nbnj = ¿a¡kbkjk=l

(1 -1Etemplo: Si A =

2 1[-1 1J~Jy B = ~ ~ entonces

~J= (1.(-1)+ (-1)' O + O ·1 1·1+ (-1).2 + O .OJ = (-1 -1J2.(-1)+1·0+1.1 2·1+1·2+1·0 -1 4

O

4.-PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES.

-PROPIEDADES DE LA SUMA.

(1) Propiedad ASOCIATIVA: (A+B)+C=A+(B+C)

(2) Propiedad CONMUTATIVA: A + B = B + A

(3) ELEMENTO NEUTRO: Llamamos 0m,n a la matriz cuyos elementos son todos ceros,

entonces se cumple que A + O = O + A = A

(4) ELEMENTO OPUESTO: Toda matriz tiene un elemento opuesto al que llamaremos

matriz opuesta, y que denotaremos por - A, tal que si A = (au) entonces - A = (- au) ym~ m~

cumple que A+(-A)=(-A)+A=O.

DAVID RIVIER SANZ 1-4

-PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS.

-PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE N~ POR MATRICES.

Pero en cambio B· A no se puede efectuar ya que B3.2 . A4.3 .

1-5

2° BACH(CN)

~) entonces(1 -1) ( /Etern%: ¿y si dim(A· B) = dim(B· A)? Sea A = y B =2 O -1

dim(A) = 2 x 2, dim(B) = 2x 2 y entonces dim(A. B) = dim(B. A)= 2 x 2, pero

A. B = (1 -1). (1 1)= (2 -1) B. A = (1 1).(1 -1). = (3 -1)2 O -1 2 2 2 Y -1 2 2 O 3 1

Si hacemos A· B entonces dim(A. B) = 2 x 2, en cam bio si hacemos B· A entonces

dim(B· A) = 3 x 3 , por tanto A· B *- B· A ya que las dimensiones no coinciden.

(1) a·(b·A)=(a·b)·A

(2) a·A+b·A=(a+b)·A

(3) a.A+a·B=a·(A+B)

(4) 1·A=A

Si a,b E 9t Y A,B E Mm,n se cumple que:

[-1 1JElemolo: Si A ~ G -/ ~) y B ~ ~ ~ entonces dim(A)~ 2x3 y dim(B)= 3x 2.

Etern%: Si dim(A)=4x3 y dim(B)=3x2 entonces C=A·B con dim(C)=4x2 .

-PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES.

(1) Propiedad ASOCIATIVA: (Am,n' Bn,p)' Cp,q = Am,n . (Bn,p . Cp,q)

(2) El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO, A· B *- B· A en general. Por tanto

habrá que distinguir cuando multipliquemos una matriz A por otra B, si lo hacemos por la

izquierda o por la derecha:

A· B == A multiplicada por B por la derecha.

B· A == A multiplicada por B por la izquierda.

DAVID RIVIER SANZ

Observación: Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que el conjunto Mmxn es

un grupo conmutativo o abeliano respecto de la suma.

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Si A, B ,C y D son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que

se indican, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(1) A.(B+C)=A.B+A·C

(2) (B+C)·D=B·D+C·D

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S.-MATRICES CUADRADAS.

2° BACH(CN)

Las matrices cuadradas de un cierto orden o dimensión, M nxn' además de sumarse y

multiplicarse por números, pueden multiplicarse entre sí. Además, estas operaciones cumplen

las propiedades vistas hasta el momento y algunas otras.

Definición.- Llamamos matriz unidad o matriz identidad a la matriz cuadrada cuyos

términos de la diagonal principal son todos 1 y los demás términos O. La denotaremos por

In' donde n = dim(I) = n x n, o también por 1.

Propiedad.-

V A E M nxn :::::> A . In = In . A = A .

Definición.- Llamamos matriz inversa de una matriz cuadrada y la denotamos por A-1 a

la matriz que cumple que A· A-1 = A-l. A = 1.Observación: No todas las matrices cuadradas tienen inversa. A las matrices que tienen

inversa las llamaremos matrices regulares.

Propiedades.-

(1) (A+Btl -:F- A-1 +B-1

(2) (A. Btl = B-1 ·A-1

Propiedades de las operaciones en .A,,{ nxn-'­

(a) Con las operaciones internas.

Sean A, B ,C, 1 matrices cuadradas de la misma dimensión:

(1) Con la suma:

- Asociatividad: (A+B)+C=A+(B+C)

- Conmutatividad: A + B = B + A

- Elemento neutro: A + O = O + A = A

Elemento opuesto: A + (- A) = (- A)+ A = O

(2) Con el producto:

- Asociatividad: (A· B)· C = A· (B· C)

- No conmutatividad: A· B -:F- B· A en general

- Elemento neutro: A· 1 = 1· A = A

Elemento opuesto: algunas matrices poseen inversa, A-1 tal que

A·A-1 =A-1·A=I

(3) Con la suma y el producto:

- Distributiva: A.(B+C)=A.B+A.C

(B+C)·D = B·D+C·D

DAVID RIVIER SANZ 1-6

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. 2° BACH(CN)

Observación: gracias a estas propiedades podemos resolver ecuaciones del tipo

A· X + B = C donde A, B Y C son matrices, de orden n, conocidas y X es una matriz de

incógnita: A· X + B = C ~ Restamos B a ambos lados de la igualdad.

A· X = C - B ~ Multiplicamos por A-l.

A-1.(A.X)=A-1.(C-B) ~ Porasociatividad.

(A. A-I). X = A-l. (C - B) ~ Por definición de matriz identidad.

(b) Con las ~peraciones externas.

Sean A, B matrices cuadradas de la misma dimensión y a,b E iR:

- Asociatividad: a· (b· A) = (a. b)· A

- Distributivas: a.A+b.A=(a+b).A

a· A + a· B = a· (A + B)

- Elemento neutro o unidad: }. A = A

Definición.- Llamamos matriz ortoqonal a una matriz cuadrada A, tal que A-1 = Al .

Definición.- Llamamos traza de una matriz cuadrada A de orden n a la suma de los

elementos de la diagonal principal, es decir tr(A) = aIl +a22 +a33 + ... +ann.

6.-ESPACIOS VECTORIALES.

La idea de vector como "flecha" da lugar a la idea de espacio vectorial, es decir, un

espacio vectorial es un conjunto de vectores entre los cuales vamos a definir una serie de

operaciones y unas propiedades. Como esta definición es muy genérica, hay muchos

conjuntos con esas condiciones, vamos a afinar más la definición.

Definición.- Tomamos un conjunto, al que llamaremos V, formado por vectores entre

cuyos elementos definimos estas dos operaciones:

(1) SUMA: Si ti, v E V:::¿ ti + V E V .

(2) PRODUCTO POR UN NOREAL: Si a E iR y ti E V :::¿ a· ti E V

Definición.- Se dice que el conjunto V con las operaciones suma y producto por un

número definidas anteriormente, (V,+, . ), es un espacio vectorial sobre iR si las operaciones

cumplen las siguientes propiedades:

(1) Suma

- Asociativa: ti + (v + w) = (ti + v)+ w

- Conmutativa: ti + v = v + ti~ ~

- Vector nulo (elemento neutro): Vv E V,::JOE V tal que v + O = v

- Vectoropuesto: VVEV,::J(-v)EVtal que v+(-v)=O

DAVID RIVIER SANZ 1-7

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(2) Producto de un nO por un vector

- Asociativa: (a·b)· v = a· (b· v)

- Distributivas: (a+b).v=a.v+b.v

a· (u + v) = a· u + a· v

- Producto por 1: \1'17 E V, 1·v = v

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Definición.- (1) Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama

una n-upla.

(2) Al conjunto de todas las n - uplas de números reales se le designa

poriRn y es un espacio vectorial.

Observación: Tanto las filas como las columnas de las matrices son n - uplas de

números reales.

Definición.- Dados v¡,v2, ... ,vn E V Y a¡,a2, ... ,an E iRse llama combinación lineal de los

vectores v¡, 172,,,,, Vn al vector formado de la siguiente forma: a¡v¡ + a2v2 + ...+ an vn.

Etern%: Sean vI = (1,0,2),172 = (0,1,-1),173 = (1,0,0) E iR3Y los números reales 3, 2 Y 5.

Una combinación lineal de esos vectores con esos números es:

3· (1,0,2)+ 2· (0,1,-1)+ 5 . (1,0,0) = (8,2,4)

Definición.- Dados 171,172,,,,, Vn E V se dice que son linealmente dependientes (I.d.) si

alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás.

Definición.- Dados v¡,v2, ... ,vn E Vse dice que son linealmente independientes (I.i.) si

ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal del resto.

Etern%: Sean v¡ = (1,0,2),172 = (0,1,-1),173 = (1,0,0) Y 174 = (8,2,4) E iR3 , estos vectores

son linealmente dependientes ya que el último se puede poner como combinación lineal de

los otros tres, como hemos visto en el ejemplo anterior.

Observación: El máximo nO de n - uplas linealmente independientes es n, por ejemplo

tres ternas de vectores en iR3 pueden ser I.i. pero cuatro ternas son con seguridad I.d.

Propiedad fundamental:

Dados V¡, 172,,,,, Vn E V, estos vectores son linealmente independientes si y solo si

Etern%: ¿Son I.i. los vectores (2,3,0,5),(0,0,-1,2),(4,0,1,0) y (12,0,2,2) E iR4?

Aplicamos la propiedad fundamental:

x· (2,3,0,5)+ y. (0,0,-1,2)+ Z· (4,0,1,0)+ t· (12,0,2,2) = 0= (0,0,0,0)

(2x,3x,0,5x)+ (0,0,-y,2y)+ (4z,0, z,O)+ (12t,0,2t,2t) = (0,0,0,0)

(2x + 4z + 12t,3x,-y + z + 2t,5x + 2y + 2t) = (0,0,0,0)

DAVID RIVIER SANZ 1-B

que tiene como solución

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

Dando lugar al siguiente sistema:

2x + 4z + 12t = °3x = °

- y+ z + 2t = °5x+2y+2t=0

x=O

y=Az =3A

t =-A

2° BACH(CN)

Cogemos una de las infinitas soluciones, por ejemplo para A = 1, Y tenemos

x=0,y=1,z=3 y t=-1, entonces 0.(2,3,0,5)+1.(0,0,-1,2)+3.(4,0,1,0)-1.(12,0,2,2)=0 y

por tanto los vectores son I.d.

Etern%: ¿Son I.i. los vectores (1,6,4),(2,0,-1) y (5,6,3) E 913?

Aplicamos la propiedad fundamental:

X· (1,6,4)+ y. (2,0,-1)+ Z· (5,6,3) = (0,0,0)

(x,6x,4x)+ (2y,0,-y)+ (5z,6z,3z) = (0,0,0)

(x + 2y + 5z,6x + 6z,4x - y + 3z) = (0,0,0)

Obtenemos el sistema:

{X+2Y+5Z = °6x + 6z = ° Resolviendo el sistema tenemos que la única solución es x = y = z = O.

4x-y+3z=0

Por tanto los vectores son I.i.

7.-RANGO DE UNA MATRIZ.

Tanto las filas como las columnas de una matriz las podemos considerar como vectores.

Puede que unas dependan de las otras (es decir, pueden ser I.d.) y pueden que sean

independientes (es decir, I.i.).

[1 -1 2J

Etern%: Sea A = 1 ° 1, las dos primeras filas son independientes pero en

2 -1 3

cambio, se puede comprobar fácilmente, la tercera fila la podemos obtener sumando las otras

dos, y por tanto, es I.d. de las otras dos.

Definición.- Llamamos rango de una matriz A al número de filas o columnas

Iinealmente independientes y denotaremos por rang(A)o ran(A).

Observaciones:

(1) El rango de una matriz m x n es, a lo sumo, el menor de m o n. Por ejemplo, una

matriz de dimensión 3 x 5 , como mucho tiene rango 3.

(2) Las trasformaciones que realizamos en una matriz cuando aplicamos el método de

Gauss no modifican el rango. Por tanto, para hallar el rango de una matriz podemos proceder

DAVID RIVIER SANZ 1-9

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES. 2° BACH(CN)

a "hacer ceros" como en el método de Gauss. El rango de la matriz escalonada final será el

número de filas distintas de (O O ... O).

Eiemplos: Calcular el rango de las siguientes matrices

A ~[~1

4

-~1JI"F+2"F [1

4

-/J62"F-73"F {~

4

-1J3

2·J"F-3a O7 71 => rang(A) = 3)2

O6-2 O20

B~[~

3,

-/JN"F-2"F [1

3

-1J2"F+3"F [1

3

-1J-1

I"F-3a O7-7 7

-; =>rang(B)=2) ) O

10

-8 O-7 7 OO

1

O21-] ]O21-]O

2-]12J"F+3aF )

O2-]12C=I -1

132O O153-]O

8794 O8794

]O 21-1 1O 2]-]

2aF-2·3aF I O

2-112 O2-] ]28·3"F-4"F . 3·3"F+4"F )I => rang(C) = 3

O

O-11-54 OO-11-54

O

O3315-12 OO OOO

[] - 2 O - 3J

D= -] 3 ] 4

2 1 5 -]

[1 - 2 O

5·2aF+3aF ) O 1 1O O O

DAVID RIVIER SANZ

J"F+2aF [] - 2 O

2·l"F-3a----") O 1 1

O -5 -5

-3J~ => rang(D)= 2

1-10

TEM4 J M ~ral er e; (1'Ra /?) L rAA ~)

j'PM'~ PPACr¡CAi'I --l ,.~, ~ I ~-'"

Operaciones con matrices

ª

( O -1 -2)A = -1 ° -2

1 1 3

26 I Esrudia la dependencia lineal de los siguientesconjuntos de vectores según los valores del pa-

I rámetro t: .. '-+ ... '~

a) uI ~ O, -1,0.2), u2 - (2, O. l. ~2), ,

ti3-(3, l. l. 1) .-t -.. ..b) v] = (2, -2, O. O), v2 •••O. 5, 3. 3),

I -;t3 ~ 0, l. t, O. -;t4 - (2. 6.4.4)

'l? I Esrudia el rango de las si¡suientes matrices se·

S 11gún e(llv~~r ~le)l' parámetro k(: 2 -1 4 )..

M= 1 -1 2 N~ -2 1 32 1 k 1 k 2·

I •. '

I (1 3 2 -1) (-1 1 ° 2)¡ p= 2 6 4 k,.' Q _ 1 3 1 °¡ 4 12 8 -4 ' 2 10 3 k

':!S I Halla el valor.de k para que el rango de la ma-

l triz A sea 2, (5 -5 -6)

l .. A = -5 3-1! O k 7

I

1 . ( 2 ". O)29 I Halla X e.'y sabiendo que 5X t 3Y - -4 15

I y 3X+ 2Y~ C2 ~1),

l'~\O I Dada la matriz A ~ (; ~),. halla dos números

i reales m y n tales que A + mA + nl- O.

31 I Determina, si es posible. un valor de k para queI la matriz (A - kl)2 sea la matriz nula, siendo:

IIiIi

<1 I Una compañía de muebles fabrica butacas. me"S cedoras y sillas. y cada una de ellas de tres mo­

I delos: E. (econÓmico), M (medio) y L (lujo).

I Cada mes produce 20 modelos E. 15 M Y 10 L

I de butacas; 12 modelos E, 8 M Y 5 L de mecedo­ras, y 18 modelos E. 20 M Y 12 L de sillas, Re­

presenta esta información en una matriz y calcu­¡ la la producción de un año.

B= (~ ~)

tal que A'B= (~ ~),

(O 2 -1)Dada la matriz A - O ° 1 , prueba que A3es la matriz nula. O ° O

Dada la matriz A = (; ~). halla una ma¡riz B

Determina a y b de fonna que la matriz

(2 -1)A = a b verifique A2 ~ A.

(4 5 -1)Dada la matriz A - -3 -4 1 , calcula A2•

A3, ...• Al2a, -3·-4 O

Comprueba que A2 - ,2A -1, siendo:

( 5 -4 2) e..I la matriz unidad de or-A - 2 -1 1 den 3" Utiliza esa igualdad

-4 4 -1 para calcular A4•

PARA RESOLVER

(5 O 2) (1/5 -2/5 0)

A ~ O O 1 A-l - -3/5 6/5 1310 O 10

•. Multiplica 1 + A + A2 por 1- A.

Demuestra después que la matriz 1 + A + A2 esla matriz inversa de 1 - A.

b) Calcula la matriz X que verifica XA = B,

i siendo A la matriz anterior.y- B ~.(l -2 3).

(3 O 8)5:4 I Dada la matriz A ~ 3 -1 6 • comprueba que

I -2 O -5I CA + 1)2 ~ O Y expresa A2 como combinaciónI lineal de A e I.I

25 i a) Comprueba que la inversa de A es A-I:

·.~n I Calcula An y Bn siendo:

;;5 I (1 In In)A= O 1 O

O O 1

'\

'~j

:~~,~~-',

\.Si/T),.,~

10 I Halla la matriz inversa de A - C~~)y la de

B=(-l 0)2 4'

11 11Con las matrices A y B del ejercicio anterior y

sus inversas. A-I y B-I. comprueba que:

a) (A + B)-l ;< A-I + B-1

I b) (A . B)-I - B-I . A-I

Ii Rango de una matrizI

í 2 ! Esrudia la dependencia o independencia linealdt: los siguientes conjuntos de vectores:

a) til - O. -l. 3. 7). ti2 - (2. 5. 0, 4) y di cuál es

el ~ngo de la matriz cuyas columnas son tily u2·

b) VI ~ (1, 0, -2, 3. 1). V2 = (2. -l. 3, 0, 2),

" V3 ~ (4, -l. -1, 6, 4) y di cuál es el rango dela matriz cuyas mas son -;tI' -;t2' -;t3' .

:!:~iI Estudia el rango de estas matric", y di, en ca<laS I caso, el número de columnas que son 1.1.:

I (1112) (213)

A ~ 2 3 5 11 B;' 4 2 -1

:,'c- (; ; ; ";) D = (; :, '~-~) ..;¡1

1 1 1 1 1 1 -1 -1 ::

3 7 5 5 1 1 1 -1 \'1

I ::

j'Ecuaciones con matrices ,11,

';t; ! Halla las matrices X e Y que verifican el siste- '',,1

S I (1 4) (1 -1) :::,•.

ma 2X+Y- 2 O·-X-Y= 10'\;I ~

'·\5 I Calcula X tal que X - B2 - A . B, siendo: ','

S 1 (1 ° 1) (1 ° -1)¡i A- 1 1 O B~ 1 1 1! 002 001

1Ó I Determina los valores de m para los cuales

S I (m 0) 5! X= O 2 verifique X2-2X+l~O,I

¡ ,(l-l)(X)_(l X)(3)I Resuelve. 3 2 Y - Y -1 2S

d)A'A-B'B

b).! A' B2

(7-2) (-30)A ~ 3 1 Y B- -2 2 •

(3 -6 -1)A-1 ~ ° 1 °

-2 4 1

Dadas las matrices

calcula:1

! a) -2A + 3B

1 c) B· (-A)

, (1 -1) (0)2 I Efectúa el producto (-3 2) 5 2 l'I

":"';'"

;3a) ¿Son iguales las matrices A ~ G) y ..B = (2' 3)?

b) Halla. si es posible. las matrices AB; EA;A +B;A' -B.

., I Dadas las matrices:

'1 (1 -2 1) (4 ° -1)A ~ 3 ° 1 Y B - -2 1 °

1, comprueba que:a) CA + BY - A' + B'

I b) (3AY - 3A'

I

5 I Calci11a3AA' - 2/. siendo A ~ (~ ;).

, I . (3 -1) (-1 2)" Dadaslasmatnces A~ 2 -3 Y B= ° l'

I comprueba que (A' BY - B' ' A',

t

? ! Calcula. en cada caso. la matriz B que verifica! la Igualdad:

l' (3 -1 5) (4 O 6)a)l ° 3+B=O 2 2

I t! b) 2 (-1 4· _, 3B ~ (-5 4)I -3 -2 ° -1!I! Matriz inversa,.

B 1 Comprueba que la matriz inversa de A es A-I:

I (1 2 1)¡A-OI0! 2 O 3¡I

", ! ¿Cuál es la matriz inversa de la matriz unidad?

1_

2 x 3:

(A + B) . (A - B) ~ A2 _ B2

(1 1') (4 -2) (6 4)3 4 . X· -1 O - 22 14

Resuelve la ecuación matricial:

cuando A Y B son dos matrices cualesquiera.

CUESTIONES TEÓRiCAS

Justifica por qué no es cierta la igualdad:

(3!S'X O)A=y-3!SO

O O 1

Calcula x e y para que esta matriz A seaortogonal:

Una matriz cuadrada se ll~ma ortogonal cuandoS I su inversa coincide con su traspuesta.

Pon un ejemplo para cada caso, siendo:

--Haz AJO- (A3». A y ten en cuenta que A3 --1.

A = (1 O O)2 1 O

b) iY para B· A?

prueha qllP. se verifica ~ + j = O Y utiliza estaigualdad para obtener ~.

Si la respuesta es afIrmativa, justifícala, y si esnegativa, pon un contraejemplo.

--Haz A -At=l.

358I Dada la matriz:

(O 3 4)A = 1 -4 -5

-1 3 4

s

421 Sea A una matriz de dimensiónS a) ¿Existe una matriz B tal que A· B sea unamatriz de uIlfl sola mf?

[~¡S

43 I Sean A y B dos matrices cuadradas' íle, igualS tamaño. Si A Y B son simétricas, ¿lo d''lam­bién su producto A· B?

(a b O)

B~ e e O

O O 1

Esta tabla muestra la pro­ducción semanal de bombi­llas de cada tipo y modelo.

2~Ó)

250180300

A Y B las matrices dadas por:

(5 2 O)A= 2 5 O

O O 1

T

(300

400

250500

En un edificio hay tres tipos de viviendas: 13, L4Y 15. T..asviviendas 13 tienen 4 ventanas peque­ñas y 3 gnindes; las L4 tienen 5 ventanas peque­ñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 gran­des. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras.

a) Escribe una matriz que describa el número ytamaño de ventanas de cada vivienda y otraque exprese el número de cristales'y bisagrasde cada tipo de ventana.

b) Calcula la matriz que expresa el n(jmero decristales y de bisagras de cada tipo de vivienda.

Un industrial fabrica dos tipos de bombillas:transparentes (1) y opacas (O). De cada tipo sehacen cuatro modelos: Mp Mz' M3 y M4'

MI

MzM3M4

Encuentra las condiciones que deben cumplirlos coeficientes a, b, e para que se verifiqueA·B=B·A.

s

33S

El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2%

en el modelo Mp el S%en el Mz' el 8% en el M3Y el 10% en el M4'

Calcula la matriz que expresa el 'número debombillas transparentes y opacas, buenas y de-

I fectuosas, que se producen. ( a 1 O)'Halla todas las matrices X de la forma O b 1

S (101)' OOe

tales que X2 ~ O 1 O •

O O 1

s

361 Calcula una matriz X que conmuta con la matrizS (1 1)i A, esto es, A· X = X . A, siendo A = O 1 ' Y

I calcula AZ + ZA-I . X.

ISean

.~i

(a 1 O)A~ O 1 3

a 1 1

1, p¡'1JVJ;.PROfUNDIZAR52:' Sean A y B dos matrices cuadradas del mismoI orden. De la igualdad A· B = A . C no puede

I deducirse, en general, que B~' C.

I a) Prueba esta aftrmación buscando dos matri­I ces B y C distintas tales que A· B = A . C,

. (1 1).'siendo A ~ 1. 1 .

b) ¿Qué condición debe cumplir la matriz Apara que de A· B ~ A . e se pueda deducir

I que B= C?

I Halla una matriz cuadrada de orden 2, distinta de 1S I y de -1, cuya inversa 'coincida con su traspuesta.

5", I Estudia el rango 'de las siguientes matrices se­I gún los valores de a:

I (1 2 -1)M~ 2 4 a

I a 2 -1I

·55 1 Se dice que una matriz es an~mélrica c~andoS I SU traspuesta es igual a SU opuesta. Obtén la for­

ma general de una matriz de orden 2 que seaantisimétrica.

B*Otal

~a A una matriz cuadrada de orden 3 iaJ que

9'ij - O si i * j (A es una matriz diagonal).p,meba que el producto de dos matrices diago­bales es una matriz diagonal.

(-3 -2)b) Si A = 4 3 ' halla una matriz

que AB + EA = O.

mimos la traza de una matriz cuadrada Aorden 2 como tr (A) ~ a1i + an. Prueba

e si A y B son dos matrices cuadradas de2, entonces tr (A . B) ~ tr (B . A).

Demuestra que si una matriz verifica AZ - ° (OA no puede tener

¿Es posible añadir una fila a la matriz

(1 2, O 3)'

O 1 -1 -22 7 -3 O

de forma que la nueva matriz tenga rango 4?

Razona la respuesta.

a) Si A es una matriz regular de orden n y\",;'éxiste una matriz B tal que AB + BA ~ 0,

probar que BA-I + A-lB = O.

,triz de 3 mas y 3 columnas tiene rango 3.

lo 'puede variar el rango si quitamos unacolumna?

'b) Si suprimimos una fIlay una columna, ¿pode­mos asegurar que el rango de la matriz resul­tante será 2?

ean A = (aij!m,n' B ~ (bij!n,p' C- (eij!q,r'

Qué condiciones deben cumplir p, q y r pa­. a que se puedan efectuar las siguientes opera­

:dones?

Sea A una matriz de dos fIlas y dos columnas',cuyo rango es 2. ¿Puede variar su rango si le,añadimos una fIla o una columna?

(f) (i