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JUAN XXIII CARTUJA MATEMÁTICAS II: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA CURSO 2018-19 SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 1 BLOQUE TEMÁTICO II: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ALGEBRA TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales TEMA 2 Matrices TEMA 3 Determinantes TEMA 4 Resolución de sistemas mediante determinantes GEOMETRÍA TEMA 5 Vectores en el espacio TEMA 6 Puntos, rectas y planos en el espacio TEMA 7 Problemas métricos

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 1

BLOQUE TEMÁTICO II:

ÁLGEBRA LINEAL

Y

GEOMETRÍA

ALGEBRA

TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales

TEMA 2 Matrices

TEMA 3 Determinantes

TEMA 4 Resolución de sistemas mediante

determinantes

GEOMETRÍA

TEMA 5 Vectores en el espacio

TEMA 6 Puntos, rectas y planos en el espacio

TEMA 7 Problemas métricos

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1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1ª. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación

2ª. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones

lineales

3ª. Sistemas de ecuaciones equivalentes

4ª. Sistemas escalonados. Método de Gauss

5ª. Planteamiento de problemas

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1ª.- Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación

Ecuaciones lineales: son ecuaciones polinómicas de primer grado con una o

varias incógnitas. Por ejemplo:

3 2 1x y es una ecuación lineal con dos incógnitas.

o Representa una recta en el plano.

o Cada solución de la ecuación es una pareja de números (x, y) que

verifican (hacen cierta) la ecuación.

o Cada ecuación tiene infinitas soluciones, que son los infinitos puntos

del plano por los que pasa la recta.

o Los pares (1, 1), (3, 4)… son algunas de las infinitas soluciones de esa

ecuación.

2 7x y z es una ecuación lineal con tres incógnitas.

o Representa un plano en el espacio.

o Cada solución de la ecuación es una terna de números (x, y, z) que

verifican (hacen cierta) la ecuación.

o Cada ecuación tiene infinitas soluciones, que son los infinitos puntos

del espacio por los que pasa el plano.

o Las ternas (9, 1, 0), (6, 0, 1)… son algunas de las infinitas soluciones

de la ecuación.

Los sistemas de ecuaciones lineales, están formados por varias ecuaciones

lineales de las que queremos saber las soluciones comunes.

Sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas

Donde:

a11, …, aij son números reales llamados coeficientes del sistema

b1, …, bm son números reales llamados términos independientes y

x1, …, xn son las incógnitas del sistema.

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

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o Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama

homogéneo.

Sistema homogéneo de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas

o Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en hallar la

solución o las soluciones comunes a todas las ecuaciones que forman

el sistema.

o La solución de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un

conjunto de n números reales que verifican a la vez las m ecuaciones.

o Si la solución es única, decimos que el sistema es compatible

determinado; compatible indeterminado, si existen infinitas

soluciones, e incompatible, si no existiera ninguna.

o Los sistemas homogéneos, son todos compatibles, teniendo siempre

como una de sus soluciones, la solución x1 = 0, x2 = 0,…, xn = 0,

solución que se denomina trivial.

n n

n n

m m mn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

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2ª.- Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales.

Los sistemas de n ecuaciones lineales con dos incógnitas,

representan n rectas en el plano: la solución nos informará de si existe o no, un

punto común a ellas, y cuál es dicho punto. Es decir, discutir y resolver un sistema

de ecuaciones con dos incógnitas nos permitirá conocer la posición relativa de las

rectas que representa.

Dos rectas que se Tres rectas que se Dos rectas iguales

cortan en un punto (SCD) cortan en un punto(SCD) (SCI)

Dos rectas paralelas Tres rectas que se cortan dos a dos

No se cortan en ningún punto (SI) No tienen ningún punto en común (SI)

Los sistemas de n ecuaciones lineales con tres incógnitas,

representan n planos en el espacio: la solución nos informará de si existen o no,

puntos comunes a ellos. Es decir, discutir y resolver un sistema de ecuaciones con

tres incógnitas nos permitirá conocer la posición relativa de los planos que

representan.

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Tres planos que se Cuatro planos que se Tres planos que se

cortan en un punto (SCD) cortan en un punto (SCD) cortan en una recta (SCI)

Cuatro planos que se cortan dos a dos Tres planos que se cortan dos a dos

No tienen ningún punto en común (SI) No tienen ningún punto en común (SI)

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3ª.- Sistemas de ecuaciones equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones se dicen que son equivalentes si tienen las

mismas soluciones.

Para obtener un sistema de ecuaciones equivalente a uno dado inicialmente

se pueden aplicar cualquiera de las siguientes operaciones válidas:

OPERACIONES VALIDAS

1ª.- Multiplicar o dividir los dos miembros de una de las ecuaciones del

sistema por un nº distinto de cero.

2ª.- Sustituir una de las ecuaciones del sistema por una combinación

lineal de ella con otra.

3ª.- Añadir al sistema una nueva ecuación que sea una combinación

lineal de las otras.

4º.- Suprimir en el sistema una ecuación que sea combinación lineal de

las otras.

Ejemplo 1 – 1º

Observa como se van obteniendo sistemas equivalentes a los dados inicialmente aplicando las transformaciones válidas:

x y x y x ya

x y x y y2ª:( 2) 1ª 2ª

2 5 2 5 2 5)

4 2 2 2 1 2 6

x y x y x yb

x y x y y1ª .2

1ª 2ª

2 5 4 2 10 4 2 10)

4 2 2 4 2 2 4 12

1ª 2ª .( 1) 1ª 2ª

1ª .2 3ª 2ª .( 5) 3ª .2

11 11 11

) 7 2 2 4 2 2 4

2 3 3 5 2 25 6 30

x y z x y z x y z

c x y z y z y z

x y y z z

x y zx y z

d x y zx y z

x y z1ª 2ª .2

1111

) 77

3 25

x y zx y z

e x y zx y z

x y z 3ª 1ª 2ª .2

1111

) 77

3 25

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Ejercicio 1 – 1º

Explica por qué son equivalentes los siguientes pares de sistemas:

x y x yx y z za bx yx y x yx

5 5 5 2) )

2 7 7 73 12

x y zz x y z x y z

c x y dx y x y z y

x y z

52 11 11

) 7 )7 2 7 4

2 2 12

Ejercicio 1 – 2º

Comprueba que el par (1, - 4) es solución del sistema siguiente:

4 8

3

17 5 3

x y

x y

x y

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4ª.- Sistemas escalonados. Método de Gauss

Discutir un sistema es analizar cuántas soluciones posee: una, infinitas o

ninguna. La discusión se hace de modo independiente a la búsqueda de la solución

y previamente a la misma.

Observa los siguientes sistemas:

2 3 14

5 10

x yy

3 7

5 6

3 12

x y z

y z

z

A estos sistemas se les llama escalonados y son muy fáciles de resolver porque

podemos obtener sucesivamente los valores de las incógnitas de abajo hacia arriba.

Pero, ¿cómo cómo se puede transformar un sistema cualesquiera en otro

escalonado? La respuesta está en la aplicación de las transformaciones validas en

un sistema de ecuaciones, que hemos estudiado en la 3ª pregunta de este tema,

para obtener otro sistema equivalente.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en

otro equivalente que sea escalonado, es decir, en el que cada ecuación tiene una

incógnita menos que la anterior:

' ' '

'' ''

ax by cz db y c z d

c z d

El sistema escalonado final proporciona los datos necesarios para determinar

de qué tipo es el sistema de partida:

Si c´´= 0 y d´´≠ 0, resulta una igualdad del tipo 0 = k (ecuación absurda)

con k ≠ 0, entonces el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si c´´≠ 0, sea cual sea el valor de d´´, el sistema es compatible

determinado y tiene una solución única. La resolución de la ecuación es

inmediata; en la tercera ecuación calculamos el valor de z, llevamos este

valor de z a la segunda ecuación y obtenemos el valor de y, y con ambos

valores calculamos el valor de x en la primera ecuación.

Si c´´= d´´= 0, resulta una igualdad del tipo 0 = 0 (ecuación trivial que

podemos eliminar), en cuyo caso el sistema es compatible indeterminado

y tiene infinitas soluciones.

Resulta, así, un sistema con dos ecuaciones (una ecuación es

combinación lineal de las otras) y tres incógnitas, pues el sistema es

equivalente al sistema:

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' ' '

ax by cz db y c z d

Para resolver este sistema, elegimos una de las dos incógnitas en la

ecuación que tiene dos (la y o la z) para asignarle un parámetro (una letra):

p.e. z = λ.

Decimos entonces que la incógnita z se ha parametrizado, siendo λ el

parámetro.

El parámetro puede tomar cualquier valor real. Para cada valor del

parámetro existe una solución del sistema.

Ejemplo 1 – 2º

Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Clasifícalos e interprétalos geométricamente:

1ª.( 2) 2ª

2 5 2 5 2 3 5 1)

34 2 2 4 12

x y x y x xayx y y

SOLUC: Es un sistema compatible determinado (SCD).

La solución es única y está formada por la pareja de números x = 1 y = 3

Se trata de dos rectas secantes del , es decir, dos rectas que se cortan en un punto cuyas coordenadas son (1,3)

IMPORTANTE I: La aplicación del método de Gauss puede hacerse más cómoda si, prescindiendo de las incógnitas, nos limitamos a utilizar sólo los coeficientes y los términos independientes.

Veámoslo en el ejemplo anterior:

1ª:( 2) 2ª

2 5 2 3 5 12 1 5 2 1 54 12 34 2 2 0 4 12

x y x xy y

x y z

b x y z

x y z

2 5 3 4 2 5 3 4

) 2 3 1 2 1 3

5 7 11 5 1 7 11

1ª 1ª

1ª 2ª .2 2ª

1ª .( 5) 3ª .2 2ª .27 3ª

2 5 3 4 2 5 3 4 2 5 3 4

1 2 1 3 0 1 1 2 0 1 1 2

5 1 7 11 0 27 1 2 0 0 26 52

(3ª) 26z = -52 ; z = -2

(2ª) –y + z = -2 : -y + (-2) = -2 ; y = 0

(1ª) 2x – 5y +3z = 4 ; 2x - 5.0 + 3.(-2) = 4 ; x = 5

SOLUC: Es un sistema compatible determinado (SCD).

La solución es única y está formada por la terna de números x = 5 y = 0 z = -2

Se trata de tres planos en el espacio que se cortan en un único punto cuyas coordenadas son (5,0,-2)

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IMPORTANTE II: La aplicación del método de Gauss puede hacerse aún más cómoda si alguna de las ecuaciones tiene coeficiente 1 en la incógnita x. Si ponemos esta ecuación en primer lugar las transformaciones del sistema en sistemas equivalentes es menos engorrosa.

Veámoslo en el ejemplo anterior:

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

2 5 3 4 2 3 1 2 1 3

2 3 2 5 3 4 2 5 3 4

5 7 11 5 7 11 5 1 7 11

z y x

1ª 1ª

1ª .( 2) 2ª . 2ª

1ª .( 5) 3ª 2ª .11 3ª

1 2 1 3 1 2 1 3 2 5 3 4

2 5 3 4 0 1 1 2 0 1 1 2 2 0 5

5 1 7 11 0 11 2 4 0 0 13 26

IMPORTANTE III: Si en todas las ecuaciones del sistema los coeficientes de x son distinto de 1, podríamos buscar una ecuación que tuviera coeficiente 1 en y ó en z, ponerla en primer lugar y cambiar el orden de las incógnitas (el mismo orden en todas las ecuaciones).

x y z

c x y z

x y z

3 7 10 1 3 7 10

) 5 8 5 1 1 8

4 10 11 1 4 10 11

1ª 1ª

1ª .( 5) 2ª 2ª

1ª 3ª 2ª 3ª .2

1 3 7 10 1 3 7 10 1 3 7 10

5 1 1 8 0 14 34 42 0 14 34 42

1 4 10 11 0 7 17 21 0 0 0 0

La 3ª ecuación obtenida es la ecuación trivial 0 = 0. Esto ha sido así porque en el sistema equivalente, anterior a la última transformación, las ecuaciones 2ª y 3ª eran equivalentes (ya que son proporcionales entre sí). Por tanto podemos eliminar una de ellas del sistema. Pasaremos la incógnita z al segundo miembro llamándole λ. El sistema quedaría:

z λy y yx z x z x λy z y z y λ2ª:2

3 3 37 10 7 10 10 7

14 34 42 7 17 21 7 21 17

Y a continuación resolvemos el sistema de ecuaciones en función del parámetro λ:

(2ª)

λ λy

21 17 173

7 7

(1ª)

λ λ λ

x y λ x λ x21 17 7 2 2

3 10 7 3 10 7 17 7 7

SOLUC: Es un sistema compatible indeterminado (SCI).

La solución NO es única. Tiene infinitas soluciones y están formadas por la terna de números que cumplen:

λ λx

7 2 21

7 7

λ λ

y21 17 17

37 7

z λ

Para cada valor que le demos a λ obtenemos una de las infinitas soluciones del sistema

Se trata de tres planos en el espacio que se cortan en una recta. Las coordenadas de cada punto de la recta

λ λ

λ2 17

(1 , 3 , )7 7

es una solución del sistema.

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x y z

d x y z

x y z

3 2 7 1 3 2 7

) 2 15 3 2 1 15 3

8 21 11 1 8 21 11

1ª 1ª

1ª .( 2) 2ª 2ª

1ª 3ª 2ª 3ª

1 3 2 7 1 3 2 7 1 3 2 7

2 1 15 3 0 5 19 11 0 5 19 11

1 8 21 11 0 5 19 4 0 0 0 7

La 3ª ecuación obtenida es la ecuación 0x + 0y + 0z = -7, que no tiene solución. Podíamos habernos dado cuenta antes de hacer la última transformación ya que la 2ª y la 3ª ecuación son contradictorias.

SOLUC: Es un sistema incompatible (SI).

Se trata de tres planos en el espacio que no se cortan en un mismo punto.

x y

e x y

x y

3 2 6 3 2 6

) 1 1 1 1

3 2 0 3 2 0

Podemos observar que la 1ª y 3ª ecuación son contradictorias. Por tanto, el sistema es incompatible.

Podemos comprobarlo también aplicando el método de Gauss.

x y

y

x y

1ª 2ª .3

1ª 3ª

3 2 6 3 2 6 3 2 6

1 1 1 0 1 3 3

3 2 0 0 0 6 0 0 6

La tercera ecuación no se puede cumplir nunca. El sistema no tiene solución.

SOLUC: Es un sistema incompatible (SI).

Se trata de tres rectas del plano que no se cortan en un mismo punto.

z λy y yx z x z x λfx y z x y z x y λ

y x λ yx λ x λyy

1ª .2 2ª

3 3 31 1 1)

2 2 3 2 3 2 2 3 2

3 1 31 215 5

SOLUC: Es un sistema compatible indeterminado (SCI).

La solución NO es única. Tiene infinitas soluciones y están formadas por la terna de números que cumplen:

x λ2 y 1 z λ

Para cada valor que le demos a λ obtenemos una de las infinitas soluciones del sistema

Se trata de tres planos en el espacio que se cortan en una recta. Las coordenadas de cada punto de la recta

λ λ( 2 ,1, ) es una solución del sistema.

yx zgx y z

42 6 2)

2 3 1

Las dos ecuaciones son equivalentes, ya que son proporcionales. Se trata del mismo plano.

SOLUC: Es un sistema compatible indeterminado (SCI).

Las dos ecuaciones representan al mismo plano en el espacio.

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yx zhx y z

2 3)

3 6 3 1

Las dos ecuaciones son incompatibles, ya que si x + 2y – z = 3, tendría que ser 3x + 6y – 3z = 9.

SOLUC: Es un sistema incompatible (SI).

Se trata de dos planos en el espacio que son paralelos.

i) Considera el sistema de ecuaciones del apartado f (que es un SCI):

yx zx y z

3 1

2 2 3

i1) ¿Cómo ha de ser la ecuación que hay que añadirle al sistema para que siga siendo compatible indeterminado?

Podemos añadir cualquier ecuación que sea combinación lineal de las dos que forman el sistema, es decir, cualquier ecuación de la forma:

α.1ª + β.2ª

siendo α y β números reales.

Por ejemplo (α = 1 y β = 1): 3x + 4y - 3z = -2

i2) ¿Cómo ha de ser la ecuación que hay que añadirle al sistema para que sea incompatible?

Podemos añadir cualquier ecuación cuyo primer miembro sea combinación lineal de los dos primeros miembros de

las dos que forman el sistema pero, cuyo segundo miembro NO lo sea.

Por ejemplo (α = 1 y β = 1): 3x + 4y - 3z = 5

Ejercicio 1 – 3º

Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

11

) 7

2 3 3

x y z

a x y z

x y

Sol.: (9,- 7, 5)

2 5 1

) 6 8

7 2 12

x y

b x y

x y

Sol.: (2,-1)

x y zc x y

x y

3

) 2 3

4 2 1

Sol.: S.I.

x y zd x y z

x y z

2 4

) 2 2

3 3 7

Sol.: (1, 1, 1)

x y ze x y z

x y z

9 5 33

) 3 9

5

λx

λSol y

z λ

3

27

. :2

x yf x y z

x y z

2 3

) 2 5 4

3 2 4

x λSol y λ

z λ

2

. : 1 2

x y zg x y z

x y z

5

) 2 3 7 0

5 7 1

Sol.: (3, -2, 0)

x y

h x y

x y

2 1

) 2 3

5 8

Sol.: S.I.

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x y zi x y z

x y z

1

) 3 2 1

5 3 3 1

x λSol y λ

z λ

1 3

. : 2 4

x y zj x y z

x y z

3 2 1

) 5 3 3 3

0

Sol.: (3/2, -2,1/2)

SOLUC:

a) SCD. Se trata de tres planos que se cortan en un punto de coordenadas (9, -7, -5)

b) SCD. Se trata de tres rectas en el plano que se cortan en un punto de coordenadas (2, -1)

c) SI. Se trata de tres planos que se cortan dos a dos pero no existe un punto en común a los tres

d) SCD. Se trata de tres planos que se cortan en un punto de coordenadas (1, 1, 1)

e) SCI. Se trata de tres planos cuya intersección es una recta. Las coordenadas de cada punto de la recta es una solución del sistema y vienen dadas por la expresión:

λ λλ

3 7( , , )

2 2

f) SCI. Se trata de tres planos cuya intersección es una recta. Las coordenadas de cada punto de la recta es una solución del sistema y vienen dadas por la expresión: λ λ λ(2 ,1 2 , )

g) SCD. Se trata de tres planos que se cortan en un punto de coordenadas (3, -2, 0)

h) SI. Se trata de tres rectas del plano que se cortan dos a dos pero las tres rectas no comparten un punto en común.

i) SCI. Se trata de tres planos cuya intersección es una recta. Las coordenadas de cada punto de la recta es una

solución del sistema y vienen dadas por la expresión: λ λ λ( 1 3 ,2 4 , )

j) SCD. Se trata de tres planos que se cortan en un punto de coordenadas (3/2, -2, 1/2)

5ª.- Planteamiento y resolución de problemas

En la resolución de problemas los sistemas se emplean con mucha

frecuencia. Para el correcto planteamiento de estos problemas hay que:

1º. Identificar las incógnitas. Darles nombre (x, y, z) son los más usuales).

2º. Establecer las relaciones entre ellas.

3º. Escribir el sistema de ecuaciones. Expresarlo en su forma estándar:

incógnitas ordenadas y términos independientes en los segundos

miembros de las ecuaciones.

Una vez realizados estos pasos, resolveremos el sistema.

Hay problemas contextualizados que se resolverán mediante un sistema de

ecuaciones de dos o tres incógnitas y otros problemas cuya resolución se basa en

encontrar una combinación lineal de las ecuaciones planteadas

Ejemplo 1 – 3º

Por dos artículos del tipo A, tres del tipo B y uno del tipo C pagamos 680 €. Por un artículo del tipo A, dos del tipo B y dos del tipo C pagamos 450 €. ¿Cuánto pagaremos por tres artículos del tipo A y cuatro del tipo B?

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Ejemplo 1 – 4º

Un almacenista compra 5 estanterías, 3 mesas y 2 sillas y paga por ello 1600 €. Al mes siguiente paga 1100 € por tres estanterías, 2 mesas y 4 sillas. ¿Cuánto pagará por 7 estanterías y 4 mesas?

Ejercicio 1 – 4º a 22º

4º.- Si la altura de Carlos aumenta el triple de la diferencia de las alturas de Antonio y Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 centímetros. Ocho veces la altura de Antonio equivale a nueve veces la de Carlos. Halla las tres alturas.

5º.- Cuántas naranjas, manzanas y plátanos hay en un frutero sabiendo que:

Si hubiese 2 manzanas más, habría igual número de manzanas que de naranjas y plátanos juntos.

Si hubiese 12 naranjas más, el número de éstas doblaría a la suma del número de manzanas y plátanos.

El doble de la cantidad de plátanos más el número de manzanas es igual al triple de naranjas menos uno.

6º.- Un fabricante tiene una producción semanal de 42 unidades con los que abastece a tres clientes: en una semana, el primer cliente solicitó tantas unidades como el segundo y el tercero juntos. El segundo pidió un 20 % más que la suma de la mitad de lo que pidió el primero y la tercera parte de lo que pidió el tercero. ¿Cuánto pidió cada uno de los clientes?

7º.- Una autoescuela tiene 3 sucursales. El número de matriculados es de 352. Los matriculados en la tercera son la cuarta parte de los matriculados en la primera. La diferencia entre los de la primera y la segunda es inferior en 2 unidades al doble de los matriculados en la tercera. ¿Cuántos hay matriculados en cada sucursal?

8º.- Se desea mezclar un producto de 55 € el kilo con otro de 40 € el kilo, de modo que la mezcla resulte a 45 € el kilo. ¿Cuántos kilos de cada clase deben mezclarse para obtener 300 kilos de mezcla?

9º.- Una alumna ha realizado dos exámenes de una misma asignatura. La nota media de ambos exámenes ha sido de 5 puntos. Si en el primero obtuvo una calificación superior en 1,5 puntos a la obtenida en el segundo examen, ¿cuál fue la nota de cada examen?

10º.- Cierta clase de pintura se distribuye en tres tipos de envases: A, B y C. Cada envase del tipo A contiene 250 g y cuesta 2 €; el envase B contiene 500 g y cuesta 4 €; el envase C contiene 1 kg y cuesta 6 €. Un pintor ha pagado 30 € por 8 envases que contienen un total de 4 kg de pintura. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones que resolvería el problema de saber el número de envases que ha comprado.

11º.- En una competición participan 50 atletas entre infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de cadetes y, por otra, coincide con el quíntuplo de juveniles. Calcula el número de atletas de cada edad.

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12º.- Halla dos números sabiendo que al dividir el mayor entre el menor obtenemos 7 de cociente y 2 de resto, y que la diferencia entre el triple del mayor y el menor es 106.

13º.- En una mesa de una cafetería se sirvieron 4 cafés, 2 refrescos y 1 té, cobrando por ello 10,8 €. En otra mesa se pagaron 12,8 € por 3 cafés, 3 refrescos y 2 tés. En la barra, donde el precio es un 10 % más barato, tres amigos tomaron 1 café, 1 refresco y 1 té pagando 4,2 €. ¿Qué cuesta cada bebida?

14º.- Un grupo de 30 alumnos de 2º de bachillerato realiza una votación para determinar el destino de una excursión. El número de alumnos que prefiere Baleares triplica al número de los que prefieren París. El 40 % de los que prefieren Canarias coincide con la quinta parte de la suma de los que prefieren los otros dos lugares. Halla el número de votos de cada destino.

15º.- Una tienda ha obtenido 3748,8 € por la venta de 220 unidades entre productos A, B y C. Sabiendo que el producto A cuesta 20 €, que los productos B y C son un 8 % y un 30 % más baratos que A, respectivamente, y que la suma de las unidades de B y C es el triple que las unidades de A, halla el número de unidades vendidas de cada producto.

16º.- Los animales de un laboratorio deben recibir una dieta con 10 g de proteínas y 3 g de grasas. Se dispone de dos tipos de alimentos: el tipo A aporta un 5 % de proteínas y un 3 % de grasas; y el tipo B aporta un 10 % de proteínas y un 1 % de grasa. ¿Cuántos gramos de cada alimento hay que suministrar a cada animal para que la dieta sea la correcta?

17º.- Un cliente compra 5 unidades de un producto A, 4 unidades de B y 3 unidades de C, pagando 4500 €. Otro cliente compra 2 unidades de A y 2 de C, pagando 2000 €. Un tercer cliente compra en otra tienda que tiene los precios un 10 % más caros, 3 unidades de A y una de B, pagando 1512,5 €. ¿Qué vale cada producto en la primera tienda?

18º.- En una estantería de una biblioteca hay novelas, libros de teatro y libros de poesía. Hay tantas novelas como libros de teatro y poesía juntos, y el número de libros de poesía es el triple que el de teatro. En total hay 176 libros en la estantería. ¿Cuántos hay de cada tipo?

19º.- Con dos clases de producto de 900 €/kg y 1200 €/kg se quiere obtener una mezcla de 1000 €/kg. Hallar la cantidad que hay que mezclar de cada clase de producto para obtener 30 kg de mezcla.

20º.- Hallar un número de 3 cifras sabiendo que suman 9, y que si al número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras la diferencia es 198 y que además la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos.

21º.- La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las unidades es igual a la suma de las cifras de las decenas y centenas. Si al número se le suma 270, resultan invertidas las cifras de las decenas y las centenas. Halla el número.

22º.- En la bolsa A y en la bolsa B hay un total de 80 bolas. Si pasamos 10 bolas de la bolsa B a la bolsa A, el número de bolas de la bolsa A es 3 veces el número de bolas de la bolsa B. ¿Cuántas bolas hay en cada bolsa?

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2. MATRICES

1ª. Concepto de matriz

2ª. Tipos de matrices

3ª. Operaciones con matrices y propiedades:

3.1. Suma de matrices

3.2. Producto de un nº por una matriz

3.3. Producto de una matriz fila por una matriz

columna

3.4. Producto de matrices. Matriz inversa

4ª. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

5ª. Potencia enésima de una matriz

6ª. Rango de una matriz

7ª. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

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1ª.- Concepto de matriz

Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas.

Se escribe del siguiente modo:

Esto es una matriz de “m” filas y “n” columnas

Cada uno de estos números, aij , se llama elemento de la matriz. El subíndice nos indica su posición, siendo i el número de su fila, y j el de su columna.

Así, el elemento a45, indica que ocupa la cuarta fila de la quinta columna.

El número de filas y columnas de una matriz recibe el nombre de dimensión

y se representa por m n. Si m = n se dice que la matriz es una matriz cuadrada

de orden n.

La matriz 15 6 2

0 18 9A

tiene dimensión 2x3 (dim (A) = 2 3) y tiene 2 · 3 = 6

elementos.

Dos matrices, A y B, son iguales cuando tienen la misma dimensión y

coinciden elemento a elemento, es decir, aij = bij.

Las matrices 3 7 4

2 1 8

xA

y 3 8 4

2 1 8B

son iguales si x – 7 = 8, es

decir, si x = 15.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn

a a a aa a a a

A

a a a a

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2ª.- Tipos de matrices

Matriz traspuesta. Dada una matriz A, de dimensión m n, se llama

traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene

cambiando filas por columnas y que tendrá dimensión n m:

si 4 1 92 5 3

A

entonces

4 21 59 3

tA

Propiedades:

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

t t

t t t

t t

t t t

a A Ab A B A Bc k A k Ad A B B A

Matriz nula es aquella en la que todos sus elementos son 0.

Matriz rectangular es aquella que tiene un número de filas distinto al

número de columnas (no es cuadrada):

4 1 92 5 3

A

Matriz fila es aquella que tiene sólo una fila:

1 3 5 7A

Matriz columna es aquella que tiene sólo una columna:

2

3

8

A

Matriz opuesta Dada una matriz A se define su opuesta –A como

aquella matriz formada por los elemento opuestos a los elementos de A

Matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de

columnas:

3 5 72 9 68 1 3

A

En las matrices cuadradas podemos definir dos diagonales. La línea

formada por los elementos aij tales que i = j (a11, a22, …, a nn) se denomina

diagonal principal de la matriz. La diagonal secundaria está formada

por los elementos aij tales que i + j= n + 1.

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3 5 72 9 68 1 3

A

3 5 72 9 68 1 3

A

Diagonal principal Diagonal secundaria

Matriz simétrica es aquella matriz cuadrada que verifica que cada

elemento aij coincide con el elemento aji: aij = aji (i≠j)

3 5 45 9 64 6 1

A

, vemos como a12 = a21 = 5; a13= a31 = 4; a23 = a32 = 6

Observa que toda matriz simétrica coincide con su traspuesta: A = At

Matriz antisimétrica es toda matriz cuadrada tal que aij = - aji (i≠j)

3 5 75 9 27 2 1

A

Matriz triangular es aquella matriz cuadrada cuyos elementos

situados por encima o por debajo de la diagonal principal, son nulos:

1 7 4 4 0 00 6 5 1 3 00 0 3 9 8 7

A B

Triangular superior Triangular inferior

Matriz diagonal es una matriz cuadrada que tiene todos sus

elementos nulos, excepto los de la diagonal principal:

1 0 00 6 00 0 3

A

Matriz escalar es una matriz diagonal con los elementos iguales:

7 00 7

A

Matriz unidad, o identidad es una matriz escalar con los elementos

iguales a 1. La matriz unidad de orden n se designa por In ; p. e. I2

indicará la matriz identidad de orden 2:

2

1 00 1

I

3

1 0 00 1 00 0 1

I

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Ejemplo 2 – 1º

Dadas las matrices:

1 3 11 0 0 4 2 3 11 2

0 2 0 , 4 , , 4 2 2 1 0 20 1

0 0 3 0 5 3 3 0 2 0A B C D y E

a) Indica la dimensión y escribe la traspuesta de cada una.

b) ¿Cuáles son matrices cuadradas? Indica su diagonal principal.

c) ¿Hay alguna que sea simétrica? ¿Y triangular?

d) Escribe la matriz –A, es decir, la matriz opuesta de A.

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3ª.- Operaciones con matrices

3.1. Suma y diferencia de matrices. Propiedades

Para que dos matrices A y B puedan sumarse, han de tener la misma

dimensión. En este caso la matriz suma S A B , se obtiene sumando los

elementos de ambas matrices que ocupan la misma posición: sij = aij + bij.

3 2 3 1 0 10 5 8 2 8 7

3 1 2 1 1 24 2 0 2 4 45 3 1 4 6 7

Propiedades:

1. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

2. Conmutativa: A + B = B + A

3. Existe elemento neutro: la matriz nula: A + 0 = A

4. Existe elemento simétrico: la matriz opuesta: A + (-A) = 0

La existencia de la matriz opuesta nos permite definir la diferencia de

matrices:

( )A B A B

Ejemplo 2 – 2º

a) Dadas las matrices:

3 2 1 0 1 71 0 , 2 1 2 0

0 34 1 4 3A B y C

,

calcula: A + B, A – C y A – B + C

b) Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:

3 2 1 22 42 0 61 2 04 1 6

a b aa bcc

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3.2. Producto de matrices por un número real

Dado un número cualquiera k, y una matriz A, llamamos matriz producto k · A,

a la matriz obtenida al multiplicar k por cada elemento de la matriz A.

1 5 53 15

8 2 40 1 0

Propiedades:

1. Asociativa: k·(h·A) = (k·h)·A

2. Distributiva respecto a la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B

3. Distributiva respecto a la suma de nº reales: (k + h)·A = k·A + h·A

4. Existe elemento neutro: A · 1 = A

Ejemplo 2 – 3º

a) Dadas las matrices del ejemplo 2, calcula: 2A – 3B – C

b) Hallar la matriz X en la siguiente ecuación:

3 1 22 1 43 4

0 2 23 0 1X

Ejercicio 2 – 1º

Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, siendo:

3 5 1 7 2 13 6 ;

2 3 0 4 6 8k h A B

Soluc: a) Propiedad 2ª

30 9 03( ) 3 3

18 9 24A B A B b) Propiedad 3ª

27 45 99 6 318 27 0

A A A

Ejercicio 2 – 2º

Dadas las matrices: 1 2 0 3 1 3

;2 3 1 2 0 2

A B y C

, calcula:

a) A + B – C b) A - 2B + 3C

Ejercicio 2 – 3º

Halla la matriz A que satisface la igualdad:

1 5 6 1 0 43

2 8 4 2 7 3A

Ejercicio 2 – 4º

Si

1 10 1

A y

1 00 2

B , halla una matriz X que verifique la ecuación:

2 4X A B

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3.3. Producto escalar de una matriz fila por una matriz columna

Es un número que obtenemos multiplicando cada elemento aij por cada

elemento bji y sumando los resultados obtenidos, es decir:

11

11 12 13 21 11 11 12 21 13 31

31

ba a a b a b a b a b

b

Para poder definir el producto escalar, el número de columnas de la primera

debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Por ejemplo: 3

3 1 4 2 3 3 1 2 4 0 9 2 0 70

3.4. Producto de matrices. Matriz inversa

El producto de la matriz A = (aij) de dimensión m n por la matriz B = (bij) de

dimensión n q es otra matriz P = (pij) de dimensión m q, tal que cada elemento pij

se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j

de la segunda:

P A B ( ) ( ) ( )m q m n n q

El elemento p23 se obtiene multiplicando los elementos de la 2ª fila de A por

los de la 3ª columna de B y sumando los resultados.

13

21 22 23 23 23

33

ba a a b p

b

Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de

columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

Ejemplo 2 – 4º

a) Dadas las matrices:

1 10 2 3

2 34 3 1

5 0A y B

, calcula A · B.

b) Sean las matrices:

1 11

2 1 ; ; 2 01 1 3

x zA x B X z y Yy

zx

. Halla

los valores de x, y, z para los que se cumple A B X Y .

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Ejercicio 2 – 5º

Dadas las matrices:

1 10 2 3 4 1

2 3 ;4 3 1 0 3

5 0A B y C

, calcula:

a) A · C b) C · B c) C · C.

Ejercicio 2 – 6º

Efectúa todos los posibles productos de dos matrices que se pueden realizar entre las siguientes matrices:

7 02 7 1 5 1 1 1

1 2 3 1 16 3 0 0 0 5 2

2 5 1 0 12 5 1 0 2 3 3

3 4

A B C y D

Ejercicio 2 – 7º

Dadas las matrices

1 1 1 33 2 2 1

A y B comprueba que verifican que

. .t t tA B B A

Ejercicio 2 – 8º

Comprueba que la matriz

1 23 1

A verifica:

2

6A I I

Siendo I la matriz unidad de orden 2.

Ejercicio 2 – 9º

Determina los valores de x e y que cumplen la igualdad:

1 1 1 33 2 1 2

x xy y

Si una matriz A es de dimensión 4 3 y otra B es de dimensión 3 2,

podremos hacer el producto A · B pero no el producto B · A.

Si una matriz A es de dimensión 4 3 y otra B es de dimensión 3 4,

podremos hacer tanto el producto A · B como el producto B · A, pero mientras que el

primero tiene dimensión 4 4, el segundo tiene dimensión 3 3.

Cuando se cumple que A B B A , se dice que A y B conmutan.

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Propiedades:

1. Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C

2. En general el producto no es conmutativo: A · B ≠ B · A

3. Distributiva respecto a la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

(B + C) · A = B · A + C · A

4. Elemento unidad: Si A es una matriz de orden n, se verifica que:

A . In = In .A = A

siendo In la matriz unidad del mismo orden de A.

5. Elemento simétrico: se representa por A-1 y se conoce como matriz

inversa. (sólo existe para matrices cuadradas)

No siempre existe, pero si existe se verifica que: 1 1A A A A I

Una matriz cuadrada es regular o inversible cuando tiene inversa, si no, se

dice que es singular.

Ejercicio 2 – 10º

Comprueba la primera propiedad distributiva del producto de matrices para:

1 41 5 6 7 4 1 6 0

0 53 0 9 2 0 1 5 5

1 6A B C SOLUC:

15 2 68 1915 5 70 1521 0 96 25

Ejercicio 2 – 11º

Comprueba la segunda propiedad distributiva del producto de matrices para:

12 1 5 6 7 4 1 6 05 3 0 9 2 0 1 5 53

A B C

SOLUC:

2460

Ejercicio 2 – 12º

Comprueba que la matriz B es la matriz inversa de A siendo:

1 2 1 3 6 10 1 0 , 0 1 02 0 3 2 4 1

A B

Ejercicio 2 – 13º

Sea la matriz

1 10 2

A , prueba cual de las siguientes matrices es su inversa:

3/ 2 3/ 2 1 1 / 21 / 2 1 / 2 0 1 / 2

M N

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Ejercicio 2 – 14º

Determina la matriz X que verifique la igualdad 23X I A B A siendo

1 1 2 1 0 22 0 3 , 2 1 13 1 2 3 2 1

A B

e I la matriz unidad de orden 3.

Ejercicio 2 – 15º

Calcula los valores de a y b que satisfagan cada una de las siguientes igualdades:

1 0 0 5 9 1 0) )

0 0 1 0 12 1 53 4a a b a b

a bab

4ª.- Cálculo de la matriz inversa por el método de

Gauss

Si una matriz A tiene inversa (A-1), podemos calcularla por el método de

Gauss o, como veremos en el próximo tema, mediante la matriz de adjuntos.

Para calcular la matriz inversa A-1 colocamos a la izquierda a la matriz A, y a

su derecha a la matriz unidad I. A continuación sometemos a la matriz A y a la matriz

unidad I a las mismas transformaciones que sometíamos a un sistema de

ecuaciones lineales por el método de Gauss. Las transformaciones tienen que ser

tales que aparezca la matriz unidad I a izquierda. A la derecha habrá aparecido una

nueva matriz que será la inversa de la matriz A.

Si durante el proceso aparece a la izquierda una fila de ceros, la matriz A no

tiene inversa (A no es inversible)

Ejemplo 2 – 5º

Halla, si existe, la matriz inversa de las siguientes matrices:

3 5)

4 8a A

1ª1ª.4 1ª 2ª.5 1ª/12

2ª.3 2ª 1ª 2ª 2ª/4

3 5 1 0 12 20 4 0 12 20 4 0 12 0 24 15 1 0 2 5 / 44 8 0 1 12 24 0 3 0 4 4 3 0 4 4 3 0 1 1 3/ 4

La matriz inversa de A vale:

1 2 5 / 41 3/ 4

A

Puedes comprobar que A.A-1 = I

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1 2 1) 3 0 4

0 4 1b A

1ª 1ª .3 2ª

2ª 1ª .3 2ª 3ª

3ª 3ª .3 2ª .2

1ª 3ª .4 1ª : 3

2ª 2ª : 2

3ª 3ª

1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 3 0 4 0 1 03 0 4 0 1 0 0 6 1 3 1 0 0 2 0 3 1 10 4 1 0 0 1 0 4 1 0 0 1 0 0 1 6 2 3

3 0 0 24 9 12 1 0 0 80 2 0 3 1 1 0 1 0 30 0 1 6 2 3 0 0 1

3 4/ 2 1 / 2 1 / 2

6 2 3

La matriz inversa de A vale:

18 3 4

3/ 2 1 / 2 1 / 26 2 3

A

Puedes comprobar que A.A-1 = I

2 1 0) 0 1 4

3 2 2c A

1ª .( 2) 3ª 1ª

2ª 2ª

3ª 3ª 1ª .3

3ª 2ª .2

2 1 0 1 0 0 1 0 2 2 0 1 1 0 2 2 0 10 1 4 0 1 0 0 1 4 3 1 0 0 1 4 3 1 03 2 2 0 0 1 3 2 2 0 0 1 0 2 8 6 0 4

1 0 2 2 0 10 1 4 3 1 00 0 0 12 2 4

La matriz A NO tiene inversa ya que en la parte izquierda ha aparecido una fila de ceros (la tercera fila)

Ejercicio 2 – 16º

Calcular la inversa de la siguiente matriz diagonal y comprueba que en realidad lo

es:

1 0 00 2 00 0 3

A

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Ejercicio 2 – 17º

Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las siguientes matices y comprueba que en realidad lo es:

1 1 1 2 1 2) ) )

0 1 3 4 2 4a A b B c C

Soluc:

1 11 1 2 10 1 3/ 2 1 / 2

A B 1C

Ejercicio 2 – 18º

Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las siguientes matices y comprueba que en realidad lo es:

1 2 3 1 2 3 1 1 3) 4 5 6 ) 0 1 2 ) 1 2 1

7 8 9 1 2 4 2 0 0a A b B c C

Soluc:

1 1 10 2 1 0 0 1 / 22 1 2 1 / 5 3/ 5 1 / 51 0 1 2 / 5 1 / 5 1 / 10

A B C

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5ª.- Potencia enésima de una matriz

Para hallarla, calcularemos las primeras potencias y buscaremos una relación

existente entre los elementos obtenidos y el exponente de la potencia calculada.

Ejemplo 2 – 6º

a) Dada la matriz 1 10 1

A

, calcular A500. Soluc:

1 5000 1

A

b) Dada la matriz

1 1 11 1 11 1 1

A

, calcular An(siendo n un nº natural).

Soluc:

1 1 1

1 1 1

1 1 1

3 3 33 3 33 3 3

n n n

n n n n

n n nA

Ejercicio 2 – 19º

a) Dada la matriz 1

0a

Aa

, calcular A50.

b) Dada la matriz

0 2 10 0 10 0 0

A calcular A30

c) Calcula An y Bn siendo:

1 1 / 7 1 / 71 0

0 1 00 3

0 0 1A y B

d) Dada la matriz

4 5 13 4 13 4 0

M calcula M128

e) Calcula A22 – 12A2 +2A, siendo

10 1

aA

f) Dada la matriz

431

541

430

A

f1) Calcula A3.

f2) Calcula razonadamente A100

Soluc: a)

5 0 4 9

5 0

5 00

5 0 a aAa

b)

3 00 0 00 0 00 0 0

A c)

1 / 7 / 701

0 1 00 30 0 1

n nn

n nA y B

d) M128 = M

2 e)

9 00 9

f) A 3 = -I3 A

100 = -A

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6ª.- Rango de una matriz

Consideremos las matrices siguientes:

5 12 3 5

1 2 1 2 2 3 1 4 6 31 2 1

3 6 2 4 1 0 4 5 1 171 5 6

11 2

A B C D E

En la matriz A las dos filas son proporcionales, ya que 2ª = (-3).1ª. Se dice las dos filas son linealmente dependientes (LD).

En la matriz B las dos filas no son proporcionales. Se dice que las dos filas son linealmente independientes (LI).

En la matriz C las dos filas no son proporcionales, es decir, las dos filas son LI.

En la matriz D las dos primeras filas no son proporcionales y por tanto son LI. La tercera fila tampoco es proporcional ni a la primera ni a la segunda pero, la tercera fila se puede poner como una combinación lineal de las dos primeras:

3ª = 1ª.5 – 2ª.4

Se dice que la tercera fila es LD de las dos primeras

Lo mismo ocurre con la cuarta fila, es LD de las dos primeras, puesto que se puede poner como la siguiente combinación lineal:

4ª = 1ª + 2ª

En la matriz E las dos primeras filas son LI, ya que no son proporcionales. Sin embargo la tercera fila es LD de las dos primeras, puesto que se puede poner mediante la siguiente combinación lineal:

3ª = 1ª – 2ª

Llamamos rango de una matriz A, al nº de filas que son linealmente independientes.

Según el razonamiento anterior, las matrices B, C, D y E anteriores tienen rango 2 y la matriz A tiene rango 1.

Pero ¿ocurre lo mismo con las columnas? La respuesta es que sí. Podemos observarlo en cada una de las matrices anteriores:

En la matriz A, se cumple que las dos columnas son proporcionales, ya que C2 = (-2).C1. Por tanto las dos columnas son LD.

En la matriz B, las dos columnas son LI, puesto que no son proporcionales.

En la matriz C, las dos primeras columnas son LI pero, la tercera columna y la cuarta son LD de las dos primeras al poder expresarse como:

C3 = 4.C1 - 3.C2 C4 = 5.C1 - 2.C2

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En la matriz D, las dos columnas son LI al no ser proporcionales.

En la matriz E, las dos primeras columnas son LI al no ser proporcionales pero, la tercera columna es LD de las dos primeras, ya que se puede expresar mediante la combinación lineal siguiente:

C3 = (-1).C1 + (-1).C2

El siguiente teorema (sin demostración) asegura que no es posible que en una matriz el nº de filas LI sea distinto al nº de columnas:

TEOREMA

En una matriz, el nº de filas LI coincide con el nº de columnas LI.

Según esto el RANGO DE UNA MATRIZ es el nº de líneas (filas o columnas) LI.

Las propiedades del rango de una matriz son las siguientes:

PR0PIEDADES DEL RANGO DE UNA MATRIZ

Si en una matriz A se intercambian dos filas o dos columnas, se obtiene una matriz del mismo rango.

Si una línea de una matriz A está formada por ceros, el rango de la matriz A es igual al de la matriz que se obtiene de suprimir dicha línea de ceros.

Si en una matriz A, una línea es combinación lineal de otras líneas paralelas de la misma matriz, el rango de la matriz A coincide con el de la matriz que se obtiene al suprimir dicha línea.

Si en una matriz A, multiplicamos (o dividimos) todos los elementos de una línea por un mismo nº, el rango de la matriz resultante el mismo que el de la matriz A inicial.

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7ª.- Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss-Jordan

Para hallar el rango de una matriz A por el método de Gauss-Jordan, aplicamos a la matriz las mismas transformaciones que aplicábamos a un sistema de ecuaciones lineales para hacerlo escalonado. El rango de la matriz A coincide con el nº de filas distintas de 0 en la matriz escalonada obtenida.

Ejemplo 2 – 7º

Halla el rango de las siguientes matrices. Si no lo ves directamente, hazlo por el método de Gauss:

1 1 1) 2 1 0

1 3 1a A

1ª 1ª

2ª 1ª .2 2ª

3ª 1ª 3ª 2ª .4

1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 0 0 1 2 0 1 21 3 1 0 4 2 0 0 6

El rango de la matriz A es 3, puesto que las tres filas son LI

1 1 1) 2 1 0

1 0 1b B

1ª 1ª

2ª 1ª .2 2ª

3ª 1ª 3ª 2ª

1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 0 0 1 2 0 1 21 0 1 0 1 2 0 0 0

El rango de la matriz B es 2, puesto que las dos primeras filas son LI pero, la tercera fila es LD de las dos primeras (en efecto: 3ª = 1ª.(-1) + 2ª)

1 1 1 1) 2 1 0 1

1 3 1 1c C

IMPORTANTE: Antes de comenzar, tienes que ser consciente que el rango de la matriz C a lo sumo puede ser 3: recuerda que el rango de una matriz es el nº de líneas LI, y por tanto no puede tener 4 filas LI, ya que la matriz C sólo tiene 3 filas.

1ª 1ª

2ª 1ª .2 2ª

3ª 1ª 3ª 2ª.4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 11 3 1 1 0 4 2 2 0 0 6 2

El rango de la matriz C es 3, puesto que las tres filas son LI

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Ejercicio 2 – 20º

Halla el rango de las siguientes matrices. Si no lo ves directamente, hazlo por el método de Gauss

1 2 31 2 3 4 1 3 0

) ) ) 2 4 62 4 6 8 1 0 0

12 24 36

1 2 3 1 0 3 0 0 0 1) 2 4 0 ) 0 2 0 3 ) 1 0 0

3 6 0 0 1 0 1 0 1 0

a B b B c C

d D e E f F

Soluc: rango(A) = 2 rango(B) = 2 rango(C) = 1 rango(D) = 2 rango(E) = 3 rango(F) = 3

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3.-DETERMINANTES

1ª. Determinante de una matriz

2ª. Matriz complementaria de un elemento

3ª. Menor complementario y adjunto de un elemento

4ª. Matriz de adjuntos

5ª. Propiedades de los determinantes

6ª. Matrices regulares y matrices singulares. Cálculo de la matriz

inversa a partir de la matriz de adjuntos

7ª. Ecuaciones matriciales

8ª. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

9ª. Sistemas lineales de dos ecuaciones matriciales con dos

incógnitas

10ª. Cálculo del rango de una matriz mediante determinantes

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1ª.- Determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada A, es un número real que se obtiene

a partir de los elementos de dicha matriz.

Se representa por A o por det(A).

1.1 Determinante de una matriz cuadrada de orden 2

El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es un número que se

obtiene del siguiente modo:

11 1211 22 12 21

21 22

a aA a a a aa a

Como puedes observar es el nº que se obtiene de multiplicar los dos elementos de la

diagonal principal y restarle el producto de los dos elementos de su diagonal

secundaria.

Ejemplo 3 – 1º

Hallar el valor de los siguientes determinantes:

3 2 7 4) )

5 4 8 11a b

Ejemplo 3 – 2º

Calcula el valor de a que anula el siguiente determinante: 53 8

aa

Ejercicio 3 – 1º

Hallar el valor de los siguientes determinantes:

2 3 5 0 17 164 2) ) ) )

3 8 9 108 5 5 4a b c d

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1.2 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

El determinante de una matriz cuadrada de orden 3 es un número que se

obtiene utilizando un procedimiento llamado regla de Sarrus:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

31 32 33

a a aA a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

Ejemplo 3 – 3º

Hallar el valor de los siguientes determinantes:

3 2 5 3 2 1) 1 4 3 ) 5 4 0

7 2 8 2 1 3a b

Ejemplo 3 – 4º

Resuelve la ecuación:

1 10 1 31 0

xxx

(Sol.: 2, -1)

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Ejercicio 3 – 2º

Hallar el valor de los siguientes determinantes:

1 2 3 5 3 12 2 2) 4 5 6 ) 1 2 1 ) 2 0 4

3 2 1 1 3 2 2 5 4a b c

Ejercicio 3 – 3º

Resolver las ecuaciones:

1 2 1 1 1 2) 0 3 2 1 ) 1 0 3 1 7

4 5 1 2 4a b x x x

a x

2ª.- Matriz complementaria de un elemento

Dada una matriz cuadrada A, definimos la matriz complementaria del

elemento aij, a la submatriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j. Se

representa por Mij.

P.e. la matriz complementaria M23 de a23 en una matriz A de tercer orden es:

11 12 1311 12

21 22 23 2331 32

31 32 33

a a a a aA a a a M a a

a a a

Ejemplo 3 – 5º

Dada la matriz

1 3 2 62 0 3 10 4 2 15 1 1 2

A

calcula las matrices complementarias de los

elementos a11, a21, a31 y a34.

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3ª.- Menor complementario y adjunto de un elemento

Se llama MENOR COMPLEMENTARIO del elemento aij de la matriz A, y lo

representamos por ij, al determinante de la matriz complementaria a dicho

elemento, es decir, al determinante de la submatriz cuadrada, que se obtiene al

suprimir la fila i y la columna j.

ij ijM

Se llama ADJUNTO del elemento aij de la matriz A, y lo representamos por Aij

al menor complementario de ese elemento precedido del signo + o –, según que la

suma i + j de los subíndices sea par o impar, respectivamente. Podemos expresarlo

del siguiente modo:

1i j

ij ijA

Ejemplo 3 – 6º

Calcula los menores complementarios y los adjuntos de todos los elementos de las siguientes matrices

a)

2 25 4

P

11 12 11 12

21 22 21 22

4 5 4 5

2 2 2 2Menores complementarios adjuntos

α α A A

α α A A

b)

5 1 74 2 31 2 1

M

,

Menores complementarios:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 3 4 3 4 22.1 3.( 2) 8 4.1 3.1 1 4.( 2) 2.1 10

2 1 1 1 1 2

1 7 5 7 5 11. 7.( 2) 13 5.1 7.1 2 5.( 2) ( 1) 9

2 1 1 1 1 2

1 7 5 7 5 11.3 7.2 17 5.3 7.4 13 2.5 ( 1).4 14

2 3 4 3 4 2

α α α

α α α

α α α

Adjuntos: Aij = (-1)i+j

.αij

A11 = 8 A12 = -1 A13 = -10

A21 = -13 A22 = -2 A23 = 9

A31 = -17 A32 = 13 A33 = 14

Ejercicio 3 – 4º

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Halla los menores complementarios y los adjuntos de los elementos a21, a33 y a13 de

la matriz:

1 2 03 1 40 1 3

N

4ª.- Matriz adjunta

Dada una matriz A, si cada elemento se sustituye por su adjunto, obtenemos

una nueva matriz que recibe el nombre de matriz adjunta. Se representa por Adj A

Ejemplo 3 – 7º

Calcula la matriz adjunta de

3 4 82 1 09 3 2

A

Ejercicio 3 – 5º

Halla las matrices adjuntas de las siguientes matrices:

1 3 21 3

6 5 40 5

9 7 8A B

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5ª.- Propiedades de los determinantes

Aunque en las siguientes propiedades sólo aparecen matrices cuadradas de orden 2 o 3, las propiedades que se describen a continuación las cumplen las matrices cuadradas de cualquier orden.

1ª.- El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su transpuesta.

Puedes comprobarlo fácilmente para matrices cuadradas de orden 2 y de orden 3.

db

ca

dc

ba

333

222

111

321

321

321

cba

cba

cba

ccc

bbb

aaa

Esta propiedad nos permite hablar, en una matriz cuadrada y en el contexto de determinantes,, indistintamente de filas o de columnas (a las que llamaremos líneas)

2ª.- Si una matriz cuadrada tiene una línea cualesquiera (fila o columna) de ceros, su determinante vale cero.

00

0

00

c

aba

0

0

0

0

000

21

21

21

321

321

cc

bb

aa

ccc

aaa

Esta propiedad es fácil de demostrar puesto que los elementos de una cualquiera de sus líneas intervienen en todos los productos que hay que realizar para calcular el determinante de una matriz. Esta propiedad también se puede demostrar aplicando la propiedad nº 11

3º.- Si en una matriz cuadrada se permuta una línea por otra paralela, su determinante cambia de signo.

cd

ab

dc

ba

321

321

321

321

321

321

ccc

aaa

bbb

ccc

bbb

aaa

ba

dc

dc

ba

321

321

321

321

321

321

bbb

aaa

ccc

ccc

bbb

aaa

Observa que si el nº de permutaciones es par, habrá un nº par de veces de cambio de signo y por tanto el determinante será igual. Sin embargo, si el nº de permutaciones es impar, habrá un nº impar de veces de cambio de signo y, por tanto el determinante habrá cambiado de signo.

TAA

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4ª.- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales su determinante es cero.

Puedes comprobarlo fácilmente para una matriz de orden 2 o 3.

5ª.- Si multiplicamos por un mismo nº todos los elementos de una línea cualquiera de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese mismo nº.

dc

ba

dc

ba

dc

ba

321

321

321

321

321

321

321

321

321

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

Observa que si multiplicas a una matriz cuadrada por un nº, entonces el determinante de la

matriz obtenida sería: An . donde n es el orden de la matriz A.

dc

ba

dc

ba2

321

321

321

3

321

321

321

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

6ª.- Como consecuencia de la propiedad anterior, si una matriz cuadrada tiene dos líneas proporcionales, entonces su determinante vale cero.

0ba

ba

ba

ba

0

321

321

321

321

321

321

ccc

aaa

aaa

ccc

aaa

aaa

7ª.- El determinante de una matriz cuadrada se puede descomponer como suma / resta de dos determinantes del modo siguiente:

dc

ba

dc

ba

dcc

baa'

'

'

'

3

'

21

3

'

21

3

'

21

321

321

321

3

'

221

3

'

221

3

'

221

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

cccc

bbbb

aaaa

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8ª.- Esta propiedad es una consecuencia de la anterior y dice: si a línea de una matriz cuadrada le sumamos o restamos otra línea paralela multiplicada por un nº, o una combinación lineal de las líneas paralelas, su determinante no varía.

dc

ba

dd

bb

dc

ba

dd

bb

dc

ba

ddc

bba propiedadpropiedadpropiedad ª4ª5ª7

321

321

321ª4

311

311

311

321

321

321ª5

311

311

311

321

321

321ª7

3121

3121

3121

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

cccc

bbbb

aaaa

321

321

321ª4ª5

331

331

331

311

311

311

321

321

321ª7

33121

33121

33121

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccccc

bbbbb

aaaaaydosveces

9ª.- Si una matriz cuadrada tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Recíprocamente, si el determinante de una matriz cuadrada es cero, entonces tiene una línea que es combinación lineal de las otras paralelas.

0ª4

323

323

323

322

322

322ª5

323

323

323

322

322

322ª7

3232

3232

3232

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

cccc

bbbb

aaaadosveces

10ª.- El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes:

De esta propiedad se pueden deducir dos importantes consecuencias: 10.1.- Permite relacionar el determinante de una matriz cuadrada con el determinante de su

inversa, si la tuviera: por definición de matriz inversa (A.A-1 = I) y, teniendo en cuenta que el

determinante de la matriz unidad es 1 (│I│= 1):

1. 1 IAA

Pero según la propiedad 10ª sobre el determinante de un producto de dos matrices:

11 .. AAAA

Igualando ambas expresiones obtenemos la relación buscada:

10.2.- Calcular el determinante de la potencia de una matriz cuadrada:

nn AAAAAAAAAA .............

BABA ..

AAAA

11. 11

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11ª.- Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada los multiplicamos por sus correspondientes adjuntos y sumamos los resultados, obtenemos el determinante de la matriz.

En el ejemplo siguiente, el determinante se está calculando mediante los adjuntos de la primera columna:

2322

1312

31

3332

1312

21

3332

2322

11313121211111

333231

232221

131211

.)1.(....aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaAaAaAa

aaa

aaa

aaa

Observa que si desarrollas por la línea que mas ceros tenga, el cálculo se facilita.

Esta propiedad sirve para calcular el determinante de una matriz de orden n, mediante determinantes de orden n-1.Por ejemplo, el determinante de una matriz de orden 3, mediante determinantes de orden 2, o un determinante de orden 4, mediante determinantes de orden 3.

Esta propiedad sirve también para demostrar la propiedad 2ª, para ello bastaría con desarrollar el determinante mediante los adjuntos de la línea de ceros.

12ª.- Si a los elementos de una línea cualesquiera de una matriz cuadrada los multiplicamos por los adjuntos de una línea paralela y sumamos los resultados, el resultado de esta suma es cero.

Ejemplo 3 – 8º

Dada la matriz

3 2 51 7 34 1 0

N

a) Calcula su determinante aplicando la regla de Sarrus. (Soluc: -168)

b) Calcula su determinante aplicando la propiedad nº 11, por ejemplo, desarrollando por los adjuntos de la primera columna (comprueba que sale el mismo resultado). c) Haz lo mismo pero mediante los adjunto de la 3ª fila.

d) Comprueba que tN N

e) Calcula 1N

f) Calcula 2N

Ejemplo 3 – 9º

Dadas las matrices A y B de dimensión 3 y 3A 2B , Calcular:

a) 1A b) .tB A c 1.t

A B d) 2A

a) 10.1

1 1 1

3

propiedad

AA

b) 10 1

. . . 3.2 6propiedad peopiedad

t tB A B A B A

c) 1 10 10.1

1 1 1 1 1 3. . . . 3.

2 2

propiedad propiedad propiedadtA B A B A B A

B

d) 5

3 32 2 2 .3 24propiedad

A A

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Ejemplo 3 – 10º

Prueba sin desarrollar, sólo aplicando las propiedades de los determinantes, que el

determinante de la matriz

7 4 741 6 169 3 93

A

vale 0.

7 5 47 4 74 7 4 70 4 7 4 70 7 4 4 7 4 7 7 4 41 6 16 1 6 10 6 1 6 10 1 6 6 10. 1 6 1 1 6 6 10.0 0 09 3 93 9 3 90 3 9 3 90 9 3 3 9 3 9 9 3 3

propiedad propiedad propiedad

A

También podría haberse visto que la tercera columna es una combinación lineal de las dos primeras (propiedad 9):

C3 = 10.C1 + C2

Ejemplo 3 – 11º

Sabiendo que 2 5 0 11 1 1

x y z, calcula aplicando las propiedades de los

determinantes

3 2 3 5 3

4 4 4

x y zx y z

x y z

7ª 7ª

4ª 5ª 3ª

2 5 0 2 5 0 2 5 03 2 3 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

2 5 00 0 0 4 4 2 5 0 4.1 4

1 1 1 1 1 1

y

x y z x y z x y z x y zx y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z x y z x y z x y z

x y zx y z

Ejercicio 3 – 6º a 11º

6º.-Justifica sin desarrollar (sólo aplicando las propiedades de los determinantes): a)

3 1 70 0 0 01 11 4

b)

4 1 72 9 1 08 2 14

c)

7 4 12 9 7 0

27 94 71 d)

45 11 104 1 1 05 1 0

7º.- Teniendo en cuenta que 5 0 3 11 1 1

x y z , calcula los determinantes siguientes:

a)

3 3 31 1 15 0 3

x y z b)

5 5 51 0 3 / 51 1 1

x y z c)

2 5 2 2 3 11 1 1

x y zx y zx y z

Soluc: a) -3 b) 1 c) 1

8º.- Considera la matriz

1 mAn p

, cuyo determinante vale -13. Calcula:

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a) 1n p

m b) | 6A| c)

1 44m

n p d) |A-1|

Soluc: a) 13 b) -468 c) -52 d) -1/13

9º.- Sabiendo que 7a b cp q rx y z

, calcula razonadamente:

a)

c a br p qz x y

b)

3 3 3a b ca p b q c rx a y b z c

c)

2 2 2

2 2 2

a x b y c zp q r

x p y q z r d)

555

b c b aq r q py z y x

Soluc: a) 7 b) -21 c) 14 d) -35

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6ª.- Matrices regulares y matrices singulares. Cálculo de la matriz inversa a partir de la matriz de adjuntos

Una matriz de orden n se dice que es REGULAR O INVERSIBLE si su

determinante es distinto de 0, es decir:

A es regular |A| 0

Una matriz de orden n se dice que es SINGULAR si su determinante vale o,

es decir:

A es singular |A| 0

Recordemos del tema anterior que dada una matriz cuadrada A, su matriz

inversa, A-1, será aquella que verifica que:

1 1A A A A I

No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Para que una matriz

cuadrada A tenga inversa, la matriz tiene que ser regular, es decir, su determinante

tiene que ser distinto de 0

1 0A A

En el tema anterior calculamos la inversa de una matriz mediante el método de

Gauss. En este tema podemos calcular la matriz inversa, si existe, mediante

determinantes.

Para calcularla utilizaremos la siguiente expresión:

t

t Adj AA Adj A

A A1 ( )1

.( )

Atendiendo a la expresión anterior, los pasos a seguir para calcular la matriz

inversa de una matriz A serían los siguientes:

1. Calculamos el determinante de la matriz A, |A|. Si este fuese 0 la

matriz no tendría inversa por ser singular.

2. Calculamos la matriz adjunta (Adj A): para lo cual tenemos que

calcular los menores complementarios de la matriz A, y luego sus

adjuntos.

3. Escribimos la transpuesta de matriz adjunta (Adj A)t

4. Multiplicamos la matriz adjunta transpuesta por la inversa del

determinante de la matriz A (1/|A|). Esto equivale a dividir cada

elemento de la matriz adjunta transpuesta por el determinante de A.

IMPORTANTE: Puedes comprobar tú mismo si te has equivocado o no. Para ello

basta con verificar que se cumple que:

1A A I

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Ejemplo 3 – 12º

Calcula, si existe, la matriz inversa de las siguientes matrices:

a)

2 25 4

P

1. Primero comprobamos si la matriz P tiene o no tiene inversa, es decir si es regular o no:

2 2( 8) ( 10) 2

5 4P

La matriz P sí tiene inversa.

2. Calculamos la matriz adjunta:

11 12 11 12

21 22 21 22

4 5 4 5

2 2 2 2Menores complementarios adjuntos

α α A A

α α A A

4 52 2

AdjP

3. Escribimos la transpuesta de la adjunta:

4 2( )

5 2tAdjP

4. Hallamos la inversa dividiendo por el determinante de P

1 1 1 4 2 2 1( )

5 2 5 / 2 12tP AdjP

P

5. Podemos comprobar que en efecto P-1 sí es la matriz inversa de P.

b)

5 1 74 2 31 2 1

M

,

1. Primero comprobamos si la matriz M tiene o no tiene inversa, es decir si es regular o no:

5 1 74 2 3 (10 3 56) (14 30 4) 291 2 1

M

La matriz M sí tiene inversa.

2. Calculamos la matriz adjunta:

Menores complementarios:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 3 4 3 4 22.1 3.( 2) 8 4.1 3.1 1 4.( 2) 2.1 10

2 1 1 1 1 2

1 7 5 7 5 11. 7.( 2) 13 5.1 7.1 2 5.( 2) ( 1) 9

2 1 1 1 1 2

1 7 5 7 5 11.3 7.2 17 5.3 7.4 13 2.5 ( 1).4 14

2 3 4 3 4 2

α α α

α α α

α α α

Adjuntos: Aij = (-1)i+j

.αij

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A11 = 8 A12 = -1 A13 = -10

A21 = -13 A22 = -2 A23 = 9

A31 = -17 A32 = 13 A33 = 14

Matriz adjunta

8 1 1013 2 917 13 14

AdjM

3. Escribimos la transpuesta de la adjunta:

8 13 17( ) 1 2 13

10 9 14

tAdjM

4. Hallamos la inversa dividiendo por el determinante de M

1

8 13 17

29 29 298 13 171 1 1 2 13

( ) 1 2 1329 29 29 2910 9 14 10 9 14

29 29 29

tM AdjMM

5. Podemos comprobar que en efecto M-1 sí es la matriz inversa.

Ejercicio 3 – 12º

Halla, si existen, las matrices inversas de las siguientes matrices:

1 2 13 0

0 1 05 2

2 0 3A B

2 1 00 1 32 1 1

C

Soluc:

1 1 / 3 05 / 6 1 / 2

A

13 6 10 1 02 4 1

B

11 1 / 2 3/ 2

3 1 31 0 1

C

Ejercicio 3 – 13º

Halla, si existen, las matrices inversas de las siguientes matrices:

1 1 12 1

1 0 31 2

2 5 3A B

3 0 10 2 04 2 1

C

Soluc:

1 2 / 3 1 / 31 / 3 2 / 3

A

115 8 39 5 25 3 1

B

11 1 1

0 1 / 2 04 3 3

C

Ejercicio 3 – 14º

Considera la matriz:

1 10 1

6 1 0

tA t

, halla los valores de t para los cuales A no

tiene inversa. (Sol.: Si t = 5 la matriz A no tiene inversa, ya que su determinante vale cero para estos valores de t)

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Ejercicio 3 – 15º

Considera la matriz:

1 00 1 3

1 1

xA

x

a) halla los valores de x para los cuales A sí tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, A-1 para x = 2.

Soluc: a) Existe A-1

para todos los valores de x distintos de 0.

b)

11 1 / 2 3/ 23 1 31 0 1

A

7ª.- Ecuaciones matriciales

Son ecuaciones en las que la incógnita es una matriz. Antes de empezar a

operar con las matrices dadas conviene despejar la matriz incógnita.

Para resolverlas aplicaremos la propiedad de la matriz inversa:

A · A-1 = A-1 · A = In

Así lograremos que el coeficiente de la matriz incógnita sea la unidad con lo que

tendremos despejada la incógnita como en cualquier otra ecuación.

IMPORTANTE:

Puesto que el producto de matrices no es conmutativo, a la hora de multiplicar

una matriz por otra conviene observar si ha de hacerse por la derecha o por la

izquierda.

Observa que si A no tiene matriz inversa, el proceso indicado no puede

hacerse. En tal caso, la ecuación propuesta puede no tener solución, o, por el

contrario, tener infinitas soluciones.

Ejemplo 3 – 13º

Despeja la matriz X en las siguientes igualdades:

a) AX = B

IMPORTANTE:

No podemos despejar la matriz X, pasando la matriz A al segundo miembro dividiendo (la división de dos matrices no está definida)

.A X B B

XA

OPERACIÓN IMPOSIBLE

Suponiendo que la matriz A tiene inversa, multiplicaremos por la derecha a los dos miembros de la igualdad por A

-1

A-1

.(AX) = A-1

.B

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Aplicando la propiedad asociativa del producto de matrices en el primer miembro:

(A-1

.A)X = A-1

.B

y teniendo en cuenta la definición de matriz inversa, y que la matriz Identidad es el elemento neutro del producto de matrices:

I.X = A-1

.B

X = A-1

.B

b) XA + B = C

Podemos proceder del siguiente modo:

XA + B = C XA = C – B (XA).A-1 = (C – B).A

-1 X.(A.A

-1) = (C – B).A

-1

X.I = (C – B).A-1

X = (C – B).A-1

Si queremos, podemos aplicar al segundo miembro de la ecuación obtenida la propiedad

distibutiva del producto del matrices: (C – B).A-1

= C.A-1 – B.A

-1

c) AXB = C

AXB = C A-1.(AXB) = A

-1.C (A

-1.A)(XB) = A

-1.C I(XB) = A

-1.C

(XB) = A-1

.C (XB).B-1

= (A-1.C).B

-1 X.(B.B

-1) = (A

-1.C).B

-1

X.I = (A-1

.C).B-1

X = (A-1

.C).B-1

d) 2X - AX = B

Aplicamos la propiedad distributiva para sacar como factor común a la matriz X, teniendo en cuenta el orden de las matrices en el producto

(2I – A).X = B

IMPORTANTE:

Observa que 2X = 2I.X. Si no fuese así, al sacar factor común, nos habría quedado:

(2 – A).X = B

pero la operación (2 – A) no está permitida, ya que es la resta entre un nº real y una matriz.

(2I – A)-1.[(2I – A).X] = (2I – A)-1.B

[(2I – A)-1.(2I – A)].X = (2I – A)-1.B

I.X = (2I – A)-1.B

X = (2I – A)-1.B

Ejercicio 3 – 16º

Despeja la matriz X en las siguientes igualdades:

a) XA = B b) XA = B + I 2

c) XA + B = 2C d) AX + BX = C

e) AX = BX + C f) AX – X = C

g) XAB - XC = 2C h) XAB = C

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Ejemplo 3 – 14º

Resuelve la ecuación matricial AX + B = C, siendo

0 1 3 2 1 1 11 1 0 , 1 0 0 12 0 0 3 4 1 2

A B y C

Observa, en primer lugar, que la matriz X que buscamos es una matriz 3x2.

Despejemos la matriz X:

AX + B = C AX = C - B A-1

.(AX) = A-1

.(C – B) IX = A-1

.(C – B)

X = A-1

.(C – B)

Para obtener la matriz X, necesitamos calcular la matriz A-1

y la matriz C –B, y a continuación hacer el producto A

-1.(C – B).

10 0 1 / 20 1 1 / 2

1 / 3 1 / 3 1 / 6A

1 21 12 6

C B

10 0 1 / 2 1 2 1 3

.( ) 0 1 1 / 2 . 1 1 2 41 / 3 1 / 3 1 / 6 2 6 1 2

X A C B

Ejercicio 3 – 17º a 21º

17º.- Resuelve la ecuación matricial AX – B = C, siendo

1 1 1 1 0 0 1 1,

0 1 1 2 1 1 1 3A B y C

18º.- Dadas las matrices: A

1 1,

3 4B

2 11 1

y C

1 21 3

, resolver

las ecuaciones matriciales:

a) XA = B + I2 b) BXA = 2C c) AX - BX = C

19º.- Resolver la ecuación BX = C, siendo:

1 0 0 2 0 12 1 0 , 1 3 01 0 1 0 0 1

B C

20º.- Hallar la matriz X tal que AX = B + 2C, siendo:

1 0 0 1 0 1 1 1 10 2 0 , 0 0 0 2 3 01 0 3 9 3 3 3 4 5

A B y C

21º.- Resuelve la ecuación AX + B = 2C

2 0 3 1 0 4 1 2,

1 1 1 2 1 0 0 1A B y C

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8ª.- Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Dado el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

puede expresarse matricialmente así: 111 12 13

21 22 23 2

31 32 33 3

ba a a xa a a y ba a a z b

es decir, C X B , siendo C la matriz de los coeficientes, X la matriz de las

incógnitas y B la matriz de los términos independientes.

Si C es una matriz regular o inversible, en la ecuación matricial C·X = B se

puede despejar X multiplicando por la izquierda en ambos miembros por la matriz

inversa C -1, obteniendo:

C -1·C·X = C -1·B que es equivalente a 1X C B

Si el determinante de la matriz C es 0 quiere decir que no tiene matriz inversa,

por lo tanto el sistema no es compatible determinado.

IMPORTANTE:

Lo mismo puede decirse de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas, y en general, de cualquier sistema de ecuaciones lineales en el que el nº

de ecuaciones sea igual al nº de incógnitas.

Ejemplo 3 – 22º

Expresa en forma matricial y resuelve el sistema:

13 18

2 5 3 52

x y zx zx y z

1 1 1 11 0 3 182 5 3 52

xA X y C

z

Matriz de coeficientes Matriz de incógnitas Matriz de términos independientes

El sistema expresado en forma matricial sería:

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1 1 1 11 0 3 182 5 3 52

xyz

es decir A.X = C

Si la matriz A tiene inversa, podemos despejar la matriz X del siguiente modo:

AX = C A-1

.(AX) = A-1

C IX = A-1

.C X = A-1.C

Puesto que la matriz A tiene inversa y vale:

115 8 39 5 25 3 1

A , obtendremos:

115 8 3 1 3

. 9 5 2 . 18 55 3 1 52 7

X A C

Es decir, x = 3 y = -5 z = 7. Se trata de un SCD y geométricamente representa a tres planos en el espacio que se cortan en un punto de coordenadas (3, -5, 7)

Ejercicio 3 – 17º

Expresa matricialmente los siguientes sistemas, resuélvelos, clasifícalos e interprétalos geométricamente:

3) 2 2

1

x y za x y z

x y z

2 7)2 11

x ybx y

Soluc: a) SCD. x = 1; y = 1; z = 1. Se trata de tres planos en el espacio que se cortan en un punto de coordenadas (1, 1, 1) b) SCD. x = 1; y = -5. Se trata de dos rectas secantes en el plano. El punto de intersección es (1, -5)

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9ª.- Sistemas lineales de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas.

En este caso resulta más apropiado aplicar el método de reducción y, una vez despejadas las matrices incógnitas, efectuar las operaciones que permiten calcular su valor. Veámoslo en un ejemplo:

Ejemplo 3 – 23º

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

32 3X Y AX Y B

siendo

20 5 23 172 15 4 15

A y B

s ec s in

1 13 20 5 23 173 ( )

2 3 2 15 4 153 3

1 42 0

sumando miembro a miembro despejando sustituyendo

operando

Despejando el valor de Y en cualquiera de la uacione iciales y su

X Y A X A B X A B XX Y B

X

20 5 1 4 7 31 13 32 15 2 0 0 53 3

stituyendo obtenemos el valor de la otra matriz incógnita

X Y A Y A X Y A X Y Y

Ejercicio 3 – 18º

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales siguiente:

2 3X Y AX Y B

siendo

1 5 1 04 2 3 6

A y B

Soluc:

4 5 3 55 16 2 10

X Y

Ejercicio 3 – 19º

Encuentra dos matrices A y B, de dimensión 2x2 que cumplan:

1 42

2 01 2

1 0

A B

A B

Soluc:

0 2 1 01 0 0 0

A B

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10ª.- Cálculo del rango de una matriz mediante determinantes.

10.1 Submatriz y menor de una matriz Dada una matriz A de dimensión mxn, se llama SUBMATRIZ de la matriz A, a

cualquier matriz que se obtenga de ella suprimiendo ciertas filas y ciertas columnas.

En la matriz

1 2 1 03 1 1 51 0 2 1

A si suprimimos la primera fila y la tercera

columna, obtenemos la matriz

3 1 51 0 1

B de dimensión 2x3 que es una submatriz

de A.

Si suprimimos la tercera fila y la tercera y cuarta columnas, obtenemos la

matriz

1 23 1

C que es una submatriz cuadrada de orden 2 de la matriz A.

En consecuencia, las submatrices de una matriz A, podrán ser rectangulares

o cuadradas dependiendo de las filas o columnas que suprimamos en la matriz.

Llamamos MENOR de orden h de una matriz A, al determinante de una

submatriz cuadrada de dimensión hxh de la matriz A. Si dicha submatriz está

formada por las h primeras filas y las h primeras columnas de la matriz A, el menor

se llama MENOR PRINCIPAL de la matriz A.

En el ejemplo anterior de la submatriz C, su determinante es

1 21 ( 2).3 7

3 1C , es un menor principal de orden 2 y vale 7.,

10.2 Cálculo del rango de una matriz mediante determinantes

Recordemos que el RANGO de una matriz representa el NÚMERO DE

LÍNEAS (FILAS O COLUMNAS) LI.

Si el determinante de una matriz cuadrada es 0, las filas o columnas son

linealmente dependientes. Teniendo en cuenta esta propiedad, podemos decir que:

TEOREMA

El rango de una matriz A , rango (A) , es el número que expresa el orden del

mayor menor no nulo de dicha matriz. Un matriz tiene rango h cuando existe al

menos un menor de orden h distinto de cero, y todos los menores de órdenes

superiores a h, son nulos.

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Las siguientes propiedades del rango de una matriz nos facilitarán su cálculo:

Si en una matriz A intercambiamos dos filas o dos columnas, el rango de la

nueva matriz coincide con el de la matriz A.

Si una línea de la matriz A esta formada por ceros, el rango de A es igual al

rango de la matriz que se obtiene de suprimir dicha línea.

Si una línea es proporcional a otra paralela o es combinación lineal de otras

líneas paralelas, el rango de A es igual al rango de la matriz que se obtiene al

suprimir dicha línea.

A continuación, se describe un procedimiento para obtener el rango de una

matriz cualquiera:

1. Observamos si hay alguna línea de ceros y la eliminamos. Igualmente

observamos si hay alguna línea proporcional a otra o que sea

combinación lineal de otras paralelas y también la eliminamos.

2. Observamos si existe algún menor de orden uno diferente de cero:

Si todos son cero, rango (A) = 0 y hemos acabado.

Si alguno de ellos es diferente de cero, rango (A) 1 y pasamos a la

etapa siguiente.

3. Calculamos los posibles menores de orden dos que se obtienen orlando

el menor anterior (orlar = añadir una fila y una columna al menor de orden

1 diferente de cero):

Si todos son cero, rango (A) = 1 y hemos acabado.

Si alguno de ellos es diferente de cero, rango (A) 2 y pasamos a la

etapa siguiente.

4. Calculamos los posibles menores de orden tres que se obtienen orlando

el menor anterior:

Si todos son cero, rango (A) = 2 y hemos acabado.

Si alguno de ellos es diferente de cero, rango (A) 3 y pasamos a la

etapa siguiente.

5. En general, continuaríamos con el proceso hasta obtener un menor de

orden h distinto de cero. En este caso, el rango será h.

Ejemplo 3 – 24º

Calcula el rango de la matriz:

1 3 2 02 1 3 10 7 7 1

A

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En primer lugar tenemos que destacar que el máximo rango de esta matriz puede ser 3. Veamos cuál es.

1. Observamos que C3 = C1 + C2 , por tanto podemos eliminarla, es decir:

1 3 2 0 1 3 0( ) 2 1 3 1 2 1 1

0 7 7 1 0 7 1rango A rango rango

2. Observamos si existe algún menor de orden uno diferente de cero. Puesto que a 11 = 1:

|1| = 1 0

Ya hemos encontrado un menor de orden uno diferente de cero, luego rango (A) 1 .

3. Calculamos los posibles menores de orden dos que se obtienen orlando el menor anterior:

1 37 0

2 1

Ya hemos encontrado un menor de orden dos diferente de cero, luego rango (A) 2 .

4. Calculamos los posibles menores de orden tres que al haber eliminado una columna sólo

nos queda uno:

1 3 02 1 1 00 7 1

No hay ningún menor de orden tres distinto de 0, luego rango (A) = 2 .

Ejemplo 3 – 25º

Estudia el rango de la matriz

2 1 01 1 23 1

Aa

en función del parámetro a.

En primer lugar hallamos el determinante de la matriz A para ver que valores del parámetro a lo anulan.

2 1 01 1 2 (2 6 0) (0 4 ) 23 1

A a a aa

|A| = 0 a – 2 = 0 a = 2

Conclusión:

Si a ≠ 2 |A| ≠ 0 rang A = 3

Si a = 2 |A| = 0 rang A < 3 Pero como hay un menor de orden 2 distinto de cero 2 1

1 01 1

, rang A = 2

Ejemplo 3 – 26º

Estudia el rango de la matriz

2 2

1 2 11 2 4 3

2 2 4 2 2

a aA a a

a a a a aen función del

parámetro a.

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Démonos cuenta que el rango de la matriz como máximo puede valer 3. Veámoslo.

Hallamos el menor principal de orden 3

3

2 2

1 21 2 4 4

2 2 4

a aa a a a

a a a a

Este menor vale cero para a = 2, -2 y 0

Si a ≠ 2 ó a ≠ -2 ó a ≠ 0, ya hay un menor de orden 3 distinto de 0 y por tanto rango A = 3

Si a = 0

1 0 2 1 1 2 11 0 4 3 1 4 30 0 4 2 0 4 2

A rangoA rango

1 2 11 2

2 0 2; 1 4 3 4 0 31 4

0 4 2rangoA rangoA

Si a = 2

1 2 0 11 4 2 32 4 0 6

A

1 2 11 2

2 0 2; 1 4 3 8 0 31 4

2 4 6rangoA rangoA

Si a = -2

1 2 4 11 4 6 32 4 8 2

A

1 2 4 1 2 1 1 4 11 2

2 0 2; 1 4 6 1 4 3 1 6 3 0 21 4

2 4 8 2 4 2 2 8 2rangoA rangoA

Ejercicio 3 – 20º

Estudia el rango de las siguientes matrices en función del parámetro que aparece en ellas:

1 0 2 1 1 1 1) 1 2 2 ) 3 4 ) 1 1

1 1 2 3 1 2 1 1

a ka A a b B k c C m

m

Soluc: a) Si a = 0, rango A = 2; Si a = ½, rango A = 2; Si a ≠ 0 y a ≠ ½, rango A = 3

b) Si k = 1, rango B = 2; Si k = -8, rango B = 2; Si k ≠ 1 y k ≠ -8, rango B = 3

c) Si m = 1, rango C = 2; Si m = -1, rango C = 2; Si m ≠ 1 y m ≠ -1, rango C = 3

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Ejercicio 3 – 21º

Estudia el rango de las siguientes matrices en función del parámetro que aparece en ellas:

1 2 31 1 2 1 2 1

) 2 4 6 8 ) )1 2 1 2

3 6 9 12

ab c ca A b B c C

b b c c c

Soluc: a) Si a = 4, rango A = 1; Si a ≠ 4, rango A = 2

b) Si b = 1, rango B = 1; Si b = -1, rango B = 2; Si b ≠ 1 y b ≠ -1, rango B = 2

c) Si c = 0, rango C = 1; Si c = 1, rango C = 2; Si c ≠ 0 y c ≠ 1, rango C = 2

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 61

4.-RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES

1ª. Matriz de coeficientes y matriz ampliada

2ª. Compatibilidad de un sistema de ecuaciones. Teorema

de Rouché-Fröbenius

3ª. Método de Cramer

4ª. Sistemas de ecuaciones homogéneos

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1ª.- Matriz de coeficientes y matriz ampliada

Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales, están formados por

varias ecuaciones lineales de las que queremos saber las soluciones comunes, y

puede escribirse de la forma:

Sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas

Donde:

a11, …, aij son números reales llamados coeficientes del sistema

b1, …, bm son números reales llamados términos independientes y

x1, …, xn son las incógnitas del sistema.

Llamamos matriz de coeficientes a la matriz formada por los coeficientes

de las incógnitas, y llamamos matriz ampliada a la matriz foermada tanto por los

coeficientes de las incógnitas como por los términos independientes:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

11 12 1 1

´ 21 22 2 2

1 2

...

...... ... ... ... ...

...

n

n

m m mn m

a a a ba a a b

A

a a a b

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

Por ejemplo, si el sistema es:

2 35 0

x yx y

, las matrices de coeficientes y ampliada son:

2 11 5

A

2 1 3´

1 5 0A

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

Si el sistema fuese:

12

3 2 0

x y zx y z

y z, las matrices de coeficientes y ampliada son:

1 1 11 1 1

0 3 2A

1 1 1 1´ 1 1 1 2

0 3 2 0A

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

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2ª.- Compatibilidad de un sistema de ecuaciones

lineales. Teorema de Rouché-Fröbenius

Estudiando el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada,

podemos conocer si un sistema es compatible o no lo es, y si es compatible, saber si

es determinado o indeterminado.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

El teorema de Rouché-Fröbenius afirma que la condición necesaria y

suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea

compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de coeficientes, A, coincida

con el rango de la matriz ampliada A´, es decir:

El sistema es compatible rango (A) = rango (A´)

Este teorema permite la discusión y clasificación de un sistema lineal de

ecuaciones antes de su resolución.

Cuando estudiamos el rango de la matriz A y A´, puede ocurrir:

- Si rango (A) ≠ rango (A’), el sistema es incompatible, no tiene

solución.

- Si rango (A) = rango (A´) pueden ocurrir dos cosas:

rango (A) = rango (A´) = nº de incógnitas, el sistema es

compatible determinado, es decir, tiene solución única.

rango (A) = rango (A´) < nº de incógnitas, el sistema es

compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones que vendrán

dadas en función de un parámetro, λ, si el rango es una unidad inferior al

nº de incógnitas, de dos parámetros, λ y µ, si el rango es dos unidades

inferior a nº de incógnitas, etc.

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Ejemplo 4 – 1º

Discute, clasifica e interpreta los siguientes sistemas:

a)

72 3 42 0

x yx yx y

1 12 32 1

A

1 1 7´ 2 3 4

2 1 0A

Estudiemos los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada: Rango de A:

Como existe un menor de orden dos distinto de cero

1 15 0

2 3, rango A = 2

Rango de A´: Por la misma razón que antes, rango A´ ≥ 2. Para ver si es 3, estudiamos el menor de orden tres:

1 1 7´ 2 3 4 60 0

2 1 0A rango A´= 3

Conclusión: rango A = 2 ≠ rango A´= 3, por tanto es un SI, es decir, se trata de tres rectas del plano que se cortan dos a dos, no hay un punto en común a las tres rectas.

b)

2 3 42 53 1

x y zx y

y z

2 3 11 2 00 3 1

A

2 3 1 4´ 1 2 0 5

0 3 1 1A

Estudiemos los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada: Rango de A:

Como existe un menor de orden dos distinto de cero 2 3

1 01 2

, rango A ≥ 2.

Para ver si el rango de A es 3, estudiemos su determinante:

2 3 11 2 0 2 00 3 1

A rango A = 3

Rango de A´: El rango de A´ también es 3

Conclusión: rango A = 3 = rango A´, por tanto es un SCD, es decir, se trata de tres planos que se cortan en un punto. Para hallar dicho punto resolveríamos el sistema.

c)

2 01

4 3 4

x y zx yx y z

1 2 11 1 01 4 3

A

1 2 1 0´ 1 1 0 1

1 4 3 4A

Estudiemos los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada: Rango de A:

Como existe un menor de orden dos distinto de cero

1 21 0

1 1, rango A ≥ 2.

Para ver si el rango de A es 3, estudiemos su determinante:

1 2 11 1 0 01 4 3

A rango A = 2

Rango de A´: Para ver si el rango de A´ es tres, estudiamos los otros menores de orden tres:

1 2 01 1 1 2 01 4 4

rango A´ = 3

Conclusión: rango A = 2 ≠ rango A´= 3, por tanto es un SI, es decir, se trata de tres planos que se cortan dos a dos, no hay un punto en común a los tres planos.

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d)

2 01

4 3 2

x y zx yx y z

1 2 11 1 01 4 3

A

1 2 1 0´ 1 1 0 1

1 4 3 2A

Estudiemos los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada: Rango de A:

Como existe un menor de orden dos distinto de cero

1 21 0

1 1, rango A ≥ 2.

Para ver si el rango de A es 3, estudiemos su determinante:

1 2 11 1 0 01 4 3

A rango A = 2

Rango de A´: Para ver si el rango de A´ es tres, estudiamos los otros menores de orden tres:

1 2 0 1 1 01 1 1 1 0 1 01 4 2 1 3 2

rango A´ = 2

Conclusión: rango A = 2 = rango A´, por tanto es un SCI, es decir, se trata de tres planos que se cortan en una recta, Si queremos obtener el conjunto de soluciones resolvemos el sistema.

Ejercicio 4 – 2º

Discute, clasifica e interpreta el siguiente sistema en función de los valores del parámetro.

111

ax y zx ay zx y az

1 11 11 1

aA a

a

1 1 1´ 1 1 1

1 1 1

aA a

a

Hallamos el determinante de A y vemos para que valores de a se hace cero o distinto de cero:

3 3 2

1 11 1 3 2 3 2 0 ( 1) ( 2) 0 1 21 1

aA a a a a a a a a a

a

Si a ≠ 1 y a ≠ -2, 0A rango A = 3 = rango A`= nº de incógnitas SCD,

se trata de tres planos que se cortan en un punto.

Si a = 1

1 1 11 1 11 1 1

A

1 1 1 1´ 1 1 1 1

1 1 1 1A rango A = 1 = rango A`< nº de incógnitas

SCI, se trata del mismo plano.

Si a = -2

2 1 11 2 11 1 2

A

2 1 1 1´ 1 2 1 1

1 1 2 1A

El rango de A = 2, puesto que hay un menor de orden dos distinto de cero. El rango de A´= 3, puesto que hay un menor de orden tres distinto de cero:

2 1 11 2 1 9 01 1 1

Conclusión: rango A = 2 ≠ rango A´= 3, por tanto es un SI, es decir, se trata de tres planos que se cortan dos a dos, es decir, no hay ningún punto en común a los tres planos.

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Ejercicio 4 – 1º

Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles:

3 1) 2 ) 3 1

2 2 5 2 5

3 1 3 7 10) 3 2 3 ) 5 8

4 4 10 5

x y z x ya x z b x y

x y z x y

x y z x y zc x y z d x y z

x y z x y z

(Sol.: SCI; SI; SCD; SI)

Ejercicio 4 – 2º

Discute, clasifica e interpreta los siguientes sistemas en función de los valores del parámetro correspondiente.

7 0) 11 ) 12

4 4 6 0

12 6 0) ) 0

3 0 ( 1) 1

x y x y aza kx y b ax y

x y K x y z

x yx my zc d my zx y mz x m y mz m

Sol.: a) Consejo: estudia directamente el rango de la ampliada. Si K ≠ 2 y k ≠ -31, rango A = 2 ≠ rango A´= 3 SI. Si K = 2, rango A = rango A´= 2 SCD; Si K = -31, rango A = rango A´= 2 SCD

b) Si a ≠ 2 y a ≠ -3/4, SCD; Si a = 2, SI; Si a = -3/4, SI c) SCI para cualquier valor de m d) Si m ≠ 0 y m ≠ 1, SCD; si m = 0, SCI; si m = 1, SI

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3ª.- Método de Cramer Se dice que un sistema de ecuaciones lineales A.X = B, es un SISTEMA DE CRAMER, si el nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas, y además |A| ≠ 0.

11 1 12 2 1 1

21 1 21 2 2 2

1 1 2 2

...

...... ... ... ... ...

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

Puede demostrarse que la solución del sistema viene dada por las expresiones:

1 12 1 11 1 1 11 12 1

2 22 2 21 2 2 21 22 2

2 1 1 2

1 2

... ... ...

... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... .......

n n

n n

n n nn n n nn n n nn

b a a a b a a a bb a a a b a a a b

b a a a b a a a bx x x

A A A

Observa que el numerador aparece el determinante de la matriz que resulta de sustituir en la matriz A, a la columna de los coeficientes de la incógnita que vamos a calcular, por los términos independientes del sistema. Ejemplo 4 – 3º

Resuelve por Cramer los sistemas:

6) 4

0

x y za x y z

x y z

Veamos que es un sistema de Cramer, es decir, veamos que |A| ≠ 0

1 1 11 1 1 4 01 1 1

A

Calculemos la solución:

6 1 1 1 6 1 1 1 64 1 1 1 4 1 1 1 40 1 1 1 0 1 1 1 08 4 12

2 1 34 4 4

x y zA A A

Se trata de tres planos que se cortan en un punto de coordenadas (2, 1, 3)

2 1)3 2 3x ybx y

Veamos que es un sistema de Cramer:

2 11 0

3 2A

Hallemos la solución:

1 1 2 13 2 3 31 3

1 31 1

x yA A

Se trata de dos rectas que se cortan en un punto de coordenadas (1, 3)

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En los ejemplos anteriores hemos aplicado la regla de Cramer a sistemas compatibles determinados, pero también se puede aplicarse a sistemas compatibles indeterminados. Veámoslo en el siguiente sistema:

3 2 1 3 2 1 23 2 22 5 3 15 2 5 3 ` 2 5 3 1511 21 11 1 0 11 1 0 21

x y zx y z A Ax y

Discutamos el sistema: Rango de A:

3 2 12 5 3 011 1 0

A rango A < 3;

3 2

19 02 5

rango A = 2

Rango de A´:

3 2 1 3 2 2 3 1 22 5 3 2 5 15 2 3 15 011 1 0 11 1 21 11 0 21

Todos los menores de orden tres valen 0

rango A´= 2

Puesto que rango A = rango A´= 2 < nº de incógnitas, se trata de un SCI, es decir, el sistema tiene infinitas soluciones. Se trata de tres planos que se cortan en una recta, siendo cada solución del sistema una terna de números que corresponde con las coordenadas de un punto de esa recta. Para resolverlo, podemos quedarnos con las dos primeras ecuaciones, puesto

que el menor

3 2

192 5

es distinto de cero, eliminando la 3ª que es una

combinación lineal de las otras dos.

3 2 22 5 3 15x y zx y z

Llamamos z = λ, y pasamos al 2º miembro, de modo que nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver por Cramer, ya que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0. Como el término independiente esta dado en función de λ, las soluciones vendrán dadas en función de este parámetro.

3 2 3 2 23 2 2 ´2 5 15 3 2 5 2 5 15 3

λx y λ A Ax y λ λ

Aplicando la regla de Cramer al sistema:

2 215 3 5 (2 ).5 ( 2).(15 3 ) 40

19 19 40 41 11; ;

3 2 19 192 15 3 3.(15 3 ) (2 ).2 41 11

19 19

λλ λ λ λ

xA λ λ

x Y z λλλ λ λ λ

yA

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Ejercicio 4 – 3º

Resuelve por Cramer los siguientes sistemas:

2 3 1 32 1) 2 4 2 ) 2 2 )

3 43 4 3 1

x y z x y zx ya x y z b x y z cx yx y z x y z

Soluc: a) (1, 0, 0) b) (1, 1, 1) c) (1, -1)

Ejercicio 4 – 4º

Discute y resuelve por Cramer, si es posible, los siguientes sistemas:

3 1 3 1 3 4 4) 3 2 3 ) 3 2 3 ) 2 6 23

2 7 0 2 7 10 2 3 1

x y z x y z x ya x y z b x y z c x y

y z y z x ySoluc: a) SCI ((2+λ)/2, 7λ/2, λ) b) SI c) SI

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4ª.- Sistemas de ecuaciones homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un SISTEMA HOMOGÉNEO, cuando todos los términos independientes valen 0.

11 1 12 2 1

21 1 21 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0... ... ... ... ...

... 0

n n

n n

n n nn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

En notación matricial sería A.X = 0 Un sistema homogéneo tiene las siguientes PROPIEDADES:

Siempre es compatible, ya que siempre tiene la solución (0, 0, …, 0),

denominada SOLUCIÓN TRIVIAL O NULA.

El rango de A y el rango de A´ siempre coinciden.

Para que el sistema tenga otras soluciones distinta de la trivial, es necesario y suficiente que el rango de A sea menor que el nº de incógnitas, es decir, que |A| = 0.

Ejemplo 4 – 4º

Resolver el siguiente sistema homogéneo:

02 3 0

2 3 4 0

x y zx y zx y z

a) POR GAUSS:

1ª 1ª

2ª 1ª 2ª

3ª 1ª .2 3ª 2ª

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01 1 1 0 01 2 3 0 0 1 2 0 0 1 2 0

2 00 1 2 02 3 4 0 0 1 2 0 0 0 0 0

x y zy z

Es un SCI puesto que nos queda un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Hacemos z = λ, pasamos al segundo miembro y resolvemos:

20 2

2 0 2

x λ λ x λx y z x y λ y λ

y z y λ z λ

b) POR ROUCHÉ-FRÖBENIUS:

1 1 11 2 3 02 3 4

A rango A < 3 1 1

1 01 2

rango A = 2 = rango A´< nº de incógnitas SCI

Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y hacemos z = λ.

02 3 0 2 3

x y z x y λx y z x y λ

Sistema que podemos resolver por Cramer ( ó por reducción, ó por igualación, ó por sustitución, ó por Gauss):

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1 13 2 1 32 ( 3 ) 3 ( )

2 ( , 2 , )1 1

λ λλ λλ λ λ λ

x λ y λ λ λ λA A

Ejemplo 4 – 5º

Estudia y resuelve el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro k:

(1 ) 0(1 ) 0

(1 ) 0

k x yx k y z

y k z

Por ser un sistema homogéneo, tiene al menos la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0. Para que tenga otras soluciones, el rango de la matriz de coeficientes tiene que ser menor de 3, es decir, el determinante de la matriz de coeficientes tiene que ser 0. Veamos la expresión del determinante de la matriz A.

3 2 3 21 1 0

1 1 1 3 1 0 3 1 00 1 1

kA k k k k A k k k

k

2

1

( 1)( 2 1) 0 1 2

1 2

kk k k k

K

Si 1 1 2 1 2k y k y k |A| ≠ 0 rango A = 3 = rango A’ SCD con la

solución trivial (0, 0, 0).

Si K = 1

0 1 01 0 10 1 0

A

0 1

1 01 0

rango A = 2 = rango A´ SCI

00 ( ,0, )0

z λ yy x λ λ λ

x z z λ

Si 1 2k

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

2 11 0

1 2

rango A = 2 = rango A´

SCI

2 0 2 0 2 ( , 2 , )2 0 2

z λx λ

x y x y y λ λ λ λx y z x y λ z λ

Si 1 2k

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

2 1

1 01 2

rango A = 2 = rango A´ SCI

2 0 2 0 2 ( , 2 , )2 0 2

z λx λ

x y x y y λ λ λ λx y z x y λ z λ

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Ejercicio 4 – 5º

Resolver los siguientes sistemas homogéneos:

3 5 0 0 0) 2 0 ) 3 0 ) 2 0

0 5 9 0 2 4 0

x y z x y z x y za x y z b x y z c x y z

x y x y z x y z

Soluc: a) SCD: (0, 0, 0) b) SCI: (-λ, -2λ, λ) c) SCI: (3λ/2, λ/2, λ)

Ejercicio 4 – 6º

Discute y resuelve el sistema homogéneo siguiente en función del parámetro a:

02 0

0

ax yy az

x ay

Soluc: Si a ≠ 0, SCD con la solución trivial (0, 0, 0)

Si a = 0, SCI: (0, 0, λ)

IMPORTANTE:

Desde este momento, si has asimilado bien los contenidos de algebra,

puedes hacer todos los ejercicios nº 3 de los exámenes de selectividad de ambas opciones, salvo los que contengan preguntas de vectores que lo aprenderás en el tema siguiente.

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5.- VECTORES EN EL ESPACIO

1ª. Vectores en el espacio (R3)

2ª. Definición geométrica de suma y resta de vectores.

Propiedades

3ª. Definición geométrica de producto de un escalar por un

vector. Propiedades

4ª. Vectores unitarios

5ª. Espacio vectorial R3

6ª. Combinación lineal de vectores

7ª. Dependencia e independencia lineal de vectores

8ª. Base de un espacio vectorial

9ª. Coordenadas de un vector respecto a una base

10ª. Definición analítica de suma y resta de vectores, y de

producto de un escalar por un vector

11ª. Producto escalar de vectores. Propiedades

12ª. Producto vectorial de vectores. Propiedades

13ª. Interpretación geométrica del producto vectorial

14ª. Producto mixto de vectores. Interpretación geométrica

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1ª.- Vectores en el espacio (R3)

Las características de los vectores en el espacio (R3), así como sus

propiedades, son idénticas a las de los vectores en el plano (R2), que ya se

estudiaron el año pasado tanto en Matemáticas como en Física.

Un vector

AB , es una flecha con origen en el punto A y extremo en el punto

B, que tiene las siguientes características:

Módulo: la distancia del punto A al punto B. Se representa por

| |AB

Dirección: es la dirección de la recta que une los puntos A y B.

Sentido: el que va del origen al extremo.

B

A

Cuando dos vectores tienen la misma dirección, el mismo módulo, pero son de

sentidos opuestos, se dicen que son VECTORES OPUESTOS. Los vectores

AB y

BA son vectores opuestos, es decir:

AB = -

BA

Dos vectores son iguales cuando tienen la misma dirección, sentido y

módulo.

A A’ A’’

B B’ B’’

Y se dice de ellos que son VECTORES EQUIPOLENTES

Se dice que un VECTOR ES UNITARIO, si su módulo vale la unidad

| | 1u es unitario u

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2ª.- Suma y resta geométrica de vectores

Para sumar geométricamente dos vectores

u y

v , se sitúa uno de ellos a

continuación del otro, y se une el origen del primero con el extremo del último:

u +

v

u

u +

v

v

Puedes observar que cuando los vectores que sumas no tienen la misma dirección,

su suma coincide con la diagonal del paralelogramo que forman

u y

v :

Para restar geométricamente dos vectores

u -

v , se le suma a

u el opuesto

de

v y se procede a realizar la suma como se ha explicado.

u -

v =

u + (-

v )

-

v

v

u -

v

u

u

u -

v

u

v

v

v

Observa como en este caso el vector

u -

v , es el vector que une el extremo del

segundo con el extremo del primero.

u

u -

v

v

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 76

PROPIEDADES:

1ª. ASOCIATIVA:

( ) ( )u v w u v w

2ª. CONMUTATIVA:

u v v u

3ª. ELEMENTO NEUTRO:

0 0u u u

4ª. ELEMENTO OPUESTO:

( ) 0u u

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 77

3ª.- Definición geométrica de producto de un escalar

por un vector

Se llama producto de un escalar por un vector, al producto de un nº real k,

por un vector

u . Se representa por k.

u , y el resultado es un nuevo vector que tiene

las siguientes características:

Dirección: la misma que

u .

Sentido: el mismo que

u , si el escalar es positivo y, contrario a

u , si el

escalar es negativo.

Módulo: el valor absoluto del escalar por el módulo de

u :

| . | | | .| |k u k u

k

u (K >1) k

u (0<K<1)

u

k

u (K< -1) k

u (-1<K<0)

PROPIEDADES:

1ª. ASOCIATIVA:

.( . ) ( . ).a b u a b u

2ª. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES:

( ). . .a b u a u b u

3ª. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES:

.( ) . .a u v a u a v

4ª. ELEMENTO NEUTRO:

1.u u

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 78

4ª.- Vectores unitarios

Un vector es unitario cuando su módulo vale la unidad.

Si un vector

v no es unitario, el producto de un escalar por un vector nos

permite hallar dos vectores unitarios de la misma dirección que él: uno en el mismo sentido y otro en sentido contrario.

Para ello, basta con multiplicar al vector

v por el escalar inversa de su módulo

o por el opuesto de la inversa de su módulo, respectivamente.

Si

v| | 1

v vv ó v

v v v v

1 1. .

| | | | | | | |

tienen de módulo la unidad

vv

v v

1.

| | | |

v| | 1

vv

v v

1.

| | | |

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5ª.- Espacio vectorial R3

En la pregunta nº 2 de este tema hemos definido una ley de composición

interna en R3, la suma de vectores, que podemos representar así:

3 3 3

,

R xR R

u v u v

Y que cumple las siguientes propiedades:

1ª. ASOCIATIVA:

( ) ( )u v w u v w

2ª. CONMUTATIVA:

u v v u

3ª. ELEMENTO NEUTRO:

0 0u u u

4ª. ELEMENTO OPUESTO:

( ) 0u u

En la pregunta nº 3 hemos definido una ley de composición externa en R3,

el producto de un escalar por un vector, que puede representarse así:

3 3

, .

RxR R

k u k u

Y cumple las siguientes propiedades:

1ª. ASOCIATIVA:

.( . ) ( . ).a b u a b u

2ª. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES:

( ). . .a b u a u b u

3ª. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES:

.( ) . .a u v a u a v

4ª. ELEMENTO NEUTRO:

1.u u

Con esta ley de composición interna y sus propiedades, y con esta ley de

composición externa y sus propiedades, se dice que R3 ES UN ESPACIO

VECTORIAL.

Lo mismo podría decirse del conjunto de vectores del plano, es decir, de R2.

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 80

6ª.- Combinación lineal de vectores

Supongamos un conjunto de n vectores

1 2u ,u ,..., un , y un conjunto de n nº

reales, 1 2, ,..., na a a . Llamamos COMBINACIÓN LINEAL DE LOS n VECTORES a

la expresión:

1 21 2u u ... unna a a

Es decir, a la suma de los resultados de multiplicar a cada vector por un escalar.

Por ejemplo, la expresión

3u 2 wv es una de las infinitas combinaciones

lineales posibles que se pueden hacer con los vectores

u,v y

w .

7ª.- Dependencia e independencia lineal de vectores

Se dice que varios vectores son LINEALMENTE DEPENDIENTES (LD), si

alguno de ellos se puede poner como combinación de los demás. Cuando ninguno

de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás se dice de ellos que

son LINEALMENTE INDEPENDIENTES (LI).

Por ejemplo:

Dos vectores de la misma dirección siempre son LD porque uno de ellos se

puede expresar como el producto del otro pon un apropiado nº real. Pero, dos

vectores de distinta dirección siempre son LI porque ninguno de ellos se puede

expresar como el producto del otro pon un apropiado nº real:

. uv k

v

u

u

u y

v LD

u y

v

( .u)LI v k

Tres vectores

u ,

v y

w coplanarios siempre son LD porque cualquiera de

los tres se puede poner como combinación lineal de los otros dos.

.b v

. .w a u b v

v

u

.a u

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 81

Tres vectores

u ,

v y

w no coplanarios son LI porque ninguno de los tres se

puede poner como combinación lineal de los otros dos.

v

u

w

Pero cualquier otro vector

t del espacio se puede poner como combinación

lineal de ellos

.β v

. . .t α u βv μ w

.μ w

. uα

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 82

8ª.- Base de un espacio vectorial

Se llama BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL, al mínimo nº de vectores LI

que generan a todos los demás vectores mediante combinación lineal de ellos.

En el plano, R2, una base está formada por dos vectores cualesquiera de

distinta dirección, ya que cualquier otro vector del plano se podrá expresar como una

combinación lineal de ellos.

En el espacio, R3, una base la formarían cualesquiera tres vectores no

coplanarios, ya que cualquier otro vector del espacio se puede poner como

combinación lineal de ellos tres.

Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, se dice que forman

una BASE ORTOGONAL. Si además de ser perpendiculares, los vectores de la

base son unitarios, se dice que LA BASE ES ORTONORMAL.

En el plano, R2, una base ortonormal está formada por los vectores

i y

j ,

denominada BASE CANÓNICA DE R2, que son vectores unitarios en la dirección

positiva de los ejes X e Y respectivamente. Esto significa que cualquier vector del

plano se puede generar mediante combinación lineal de los vectores de la base

,B i j

En el espacio, R3, una base ortonormal está formada por los vectores

i ,

j y

k , denominada BASE CANÓNICA DE R3, que son vectores unitarios en la dirección

positiva de los ejes X, Y y Z respectivamente. Esto significa que cualquier vector del

espacio se puede generar mediante combinación lineal de los vectores de la base

, ,B i j k

y y

j

j

i x

k

i x

z

BASE CANÓNICA DE R2 BASE CANÓNICA DE R3

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 83

9ª.- Coordenadas de un vector respecto a una base

Dada una base cualesquiera de de R3,

, ,B v w t , sabemos que

cualquier vector

u del espacio se puede expresar como combinación lineal de los

vectores de la base B, es decir:

. . .u a v b w c t

A los nº reales a, b y c se les denomina COORDENADAS DEL VECTOR

RESPECTO A LA BASE B, y se expresa:

. . . ( , , )u a v b w c t a b c

Y como siempre vamos a trabajar con la base canónica,

, ,B i j k ,

cualquier vector quedaría de la forma:

. . . ( , , ) ( , , )x y z

u a i b j c k a b c u u u

OBSERVACIÓN:

Las coordenadas de los vectores de la base canónica serían:

1. 0. 0. (1,0,0)i i j k

0. 1. 0. (0,1,0)j i j k

0. 0. 1. (0,0,1)k i j k

Si de un vector conocemos su origen A y su extremo B, las coordenadas del

vector se obtienen restando al extremo el origen

AB = coordenadas del extremo – coordenadas del origen

AB = B – A = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1) = (x2 – x1, y2 – y1, z2 –z1) =

=

2 1 2 1 2 1

(x – x ,) +( y – y ) ( z – z )i j k

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 84

10ª.- Definición analítica de suma y resta de vectores

y de producto de un escalar por un vector.

Si tenemos dos vectores

u y

v , cuyas coordenadas respecto a la base

canónica son:

( , , )x y z x y z

u u u u u i u j u k y

( , , )x y z x y z

v v v v v i v j v k

Se define la suma analítica de los vectores

u y

v , como es vector que se

obtiene de sumar las coordenadas semejantes:

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x x y y z z x x y y z z

u v u u u v v v u v u v u v u v i u v j u v k

Se define la resta analítica de los vectores

u y

v , como es vector que se obtiene de

restar a las coordenadas del primero, las coordenadas semejantes del segundo:

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x x y y z z x x y y z z

u v u u u v v v u v u v u v u v i u v j u v k

Se define el producto de un escalar k por un vector

u , como el vector que se obtiene

de multiplicar cada una de sus coordenadas por el escalar:

. .( , , ) ( . , . , . ) . . .x y z x y z x y z

k u k u u u k u k u k u k u i k u j k u k

Ejemplo 5 – 1º

Considera los vectores

u ,

v ,

w y

t , cuyas coordenadas respecto a la base

canónica son:

u (1, 2,0)

(0, 1,3)v

(1,0, 5)w

( 1,1,0)t

a) Comprueba que los vectores

u ,

v y

w forman una base de R3.

b) Expresa al vector

t como combinación lineal de

u ,

v y

w .

c) Calcula 2

u + 3

v -

w - 3

t

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 85

11ª.- Producto escalar de dos vectores. Propiedades.

11.1 Definición geométrica

El producto escalar de dos vectores

u y

v , que se representa por

u . v , es

un escalar que se obtiene de multiplicar los módulos de ambos vectores por el

coseno del ángulo que forman:

u.v | u | .| v | .cos( , )u v

11.2 Definición analítica

El producto escalar de dos vectores

u y

v , que se representa por

u . v , es

un escalar que se obtiene de multiplicar las coordenadas semejantes de ambos

vectores y sumar los resultados:

. ( , , ).( , , ) . . .x y z x y z x x y y z z

u v u u u v v v u v u v u v

De la definición de producto escalar podemos deducir las siguientes

consecuencias:

El producto escalar de dos vectores puede ser positivo, negativo o cero,

dependiendo del valor del coseno del ángulo que forman:

o Si el ángulo que forman los vectores es agudo (coseno +), el producto

escalar es positivo, si el ángulo es obtuso (coseno -), el producto

escalar es negativo.

o Si los vectores son perpendiculares, el producto escalar es 0, puesto

que cos 90º = 0. Esta propiedad sirve como CRITERIO DE

PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS VECTORES.

v

v

v

u

u

u

. 0u v

. 0u v

. 0u v

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 86

Si multiplicamos escalarmente al vector por sí mismo, obtenemos una

expresión que nos permite calcular el módulo del vector a partir de sus

coordenadas:

2 2u. | u | .| | .cos( , ) | u | cos0º | u | | u | u .u u u u u

Y si sustituimos el producto escalar por su expresión analítica:

2 2 2| | . ,x y z

u u u u u u

Obtenemos que el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los

cuadrados de sus coordenadas.

Si despejamos el coseno en la definición geométrica, obtenemos la expresión:

2 2 2 2 2 2

. . .u . vcos( , )

, .| u | .| v |

x x y y z z

x y z x y z

u v u v u vu v

u u u v v v

De modo que si conocemos las coordenadas de los vectores, podemos conocer el

ángulo que forman.

Propiedades del producto escalar:

Y cumple las siguientes propiedades:

1ª. CONMUTATIVA:

. .u v v u

2ª. ASOCIATIVA:

.( . ) ( . ). .( . )k u v k u v u k v

3ª. DISTRIBUTIVA:

.( ) . .u v w u v u w

Ejemplo 5 - 2º

Considera los vectores

u (3, 1,5) ,

(4,7,11)v y

( 2, ,3)w k .

a) Calcula

u .v b) Halla el ángulo que forman

u y v

c) Halla el valor de k para que

v y w sean perpendiculares.

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 87

12ª.- Producto vectorial de dos vectores.

Propiedades.

Definición geométrica:

El producto vectorial de dos vectores

u y

v , que se representa por

u v o bien

por

u vx , es un nuevo vector que tiene las siguientes características:

Módulo: es el producto del módulo de los vectores que se multiplican por el

seno del ángulo que forman ambos vectores

| u v | | u | .| v | . ( , )sen u v

Dirección: perpendicular a

u y

v , es decir, perpendicular al plano que

determinan

u y

v .

Sentido: el de avance de un tornillo al girar el primer vector hacia el

segundo por el camino mas corto.

u v

v

u

uv = -

u v

Definición analítica:

La expresión analítica del vector que resulta de un producto vectorial entre

dos vectores se obtiene hallando el siguiente determinante:

. . . . . .x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

i j ku v u u u u v u v i u v u v j u v u v k

v v v

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 88

De la definición geométrica del producto vectorial podemos deducir las siguientes

propiedades:

Si los vectores

u y

v tienen la misma dirección, su producto vectorial es nulo,

ya que los vectores formarían entre sí un ángulo de 0º o 180º, y en ambos

casos el seno vale 0.

Si los vectores son perpendiculares su producto vectorial es máximo, ya que

los vectores

u y

v formarían 90º y su seno vale 1.

El producto vectorial de dos vectores no es conmutativo, como puede verse

en el dibujo:

uv = -

u v

De la propiedad anterior puede deducirse que el producto vectorial, en

general tampoco es asociativo, es decir:

( u) (u )v w v w

Sí se cumple la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la

suma de vectores, es decir:

(u ) uv w v v w

Ejemplo 5 – 3º

Considera los vectores

u (3, 5,1) y

(4,7,6)v .

a) Calcula el producto vectorial

u v

b) Comprueba que el resultado obtenido es perpendicular a

u y v

Soluc: (-37, -14, 41)

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 89

13ª.- Interpretación geométrica del producto

vectorial y aplicaciones

LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL es

que el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del

paralelogramo que forman dichos vectores

v

| u v |Área

u

log | v |Área del parale ramo u

Por tanto si nos dan tres puntos A, B y C, no alineados, podemos calcular el

área del triángulo que tiene por vértices dichos puntos:

B

AB

1

| AC|2

Área AB

A

AC C

1 1

log | AC|2 2

Área del triángulo Área del parale ramo AB

Ejemplo 5 – 4º

Considera los vectores

u (3, 5,1) y

(4,7,6)v . Calcula el área del paralelogramo

que forman los vectores

u y v

Soluc: 3246 u2

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 90

14ª.- Producto mixto de vectores. Interpretación

geométrica del producto mixto

Se llama producto mixto de los vectores

u

v y

w , y se designa por [

u ,

v ,

w], al nº que se obtiene al realizar la siguiente operación:

[ , , ] .( )x y z

x y z

x y z

u u uu v w u v w v v v

w w w

OBSERVACIÓN:

Podemos observar que si cambiamos el orden de los vectores en el

producto mixto, cambia, a lo sumo, el signo del resultado (recuerda lo que ocurre con

el determinante de una matriz si permutamos dos líneas, propiedad 3ª).

LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO MIXTO es que su valor

absoluto, coincide con el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores:

w

w

v

v

u

u

|[ , , ]| | .( ) |u v w u v w Volumen del paralelepípedo

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 91

Si nos piden el volumen del tetraedro del que conocemos sus cuatro

vértices A, B, C y D, podemos darnos cuentas que es la sexta parte del volumen del

paralelepípedo que forman los vectores

AB

AC Y

AD

B B

AB

AB

C

AC C

AC

A

AD D A

AD D

1 1

|[ , , ]|6 6

Volumen del tetraedro Volumen del paralelepípedo u v w

Ejemplo 5 – 5º

Considera los vectores

u ( 5,1,7) ,

(4,7,3)v y

(1,0,4)w .

a) Calcula el producto mixto

[ , , ]u v w

b) Calcula el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores.

c) Calcula el volumen del tetraedro formado por los tres vectores.

Soluc: a) -202 b) 202 u3 c) 101/3 u

3

Ejercicios 5 – 1º a 8º

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 92

1º.- Comprueba el valor de los siguientes productos escalares:

. . . . . .i i i j i k j j j k k k

a) Aplicando la definición geométrica.

b) Aplicando la definición analítica.

Soluc: 1, 0, 0, 1, 0 y 1

2º.- Comprueba los siguientes productos vectoriales:

i i i j i k j i j j j k k i k j k k

a) Aplicando la definición geométrica.

b) Aplicando la definición analítica.

Soluc:

0, , , , 0, , , , 0k j k i j i

3º.- Considera los vectores

u ,

v ,

w y

t , cuyas coordenadas respecto a la base

canónica son:

u (1, 5,2)

(3,4, 1)v

(6,3, 5)w

(24, 26, 6)t

a) Comprueba que los vectores

u ,

v y

w forman una base de R3.

b) Expresa al vector

t como combinación lineal de

u ,

v y

w .

Soluc:

6u 2 4t v w

4º.- Considera los vectores

u (3, 4,12) y

(5, 2, 6)v . Calcular:

a)

u .v

) | | | |b u y v

c) El ángulo que forman los vectores.

d) Comprueba que los vectores

u

| u | | |

vy

v

son unitarios.

e) Un vector perpendicular a

u y

v . Calcular:

Soluc: a) -49 b) 13 65y c) 117º 52’ e) 48 78 14i j k

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 93

5º.- Halla el valor de m para que los vectores

u (1,2, 1) ,

(0,1,2)v y

( 1, ,3)w m no

formen una base de R3. Soluc: m = -1

6º.- Dados los vectores

u (3, 4,0) ,

( ,0,7)v m :

a) Halla m para que los vectores

u y

v sean perpendiculares.

b) Halla un vector

w perpendicular a

u y

v

c) Halla tres vectores unitarios

u',

'v y

'w de la misma dirección,

respectivamente, que

u ,

v y

w

d) ¿Forman una base ortonormal los vectores

u',

'v y

'w ?

Soluc: a) m = 0 b) ( 28, 21,0)w c)

3 4' ( , ,0)

5 5u ' (0,0,1)v

4 3

' ( , ,0)5 5

w

7º.- Halla el área del triángulo de vértices A = (-5, 2, 1), B =(1, 7, 5) y C = (-1, 0, 4)

Soluc: 1

15572

A u2

8º.- Calcula el volumen del tetraedro que tiene de vértices A = (3, 5, 7), B =(1, 0, -1)

C = (7, -1, 4) y D = (11, 4, -6). Soluc: V = 107 u 3

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 94

6.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

1ª. Coordenadas de un vector

2ª. Puntos alineados

3ª. Punto medio de un segmento

4ª. Simétrico de un punto respecto a otro

5ª. Ecuaciones de la recta en el espacio

6ª. Posiciones relativas de dos rectas

7ª. Ecuaciones del plano

8ª. Ecuaciones de los ejes de coordenadas y de los planos

9ª. Posiciones relativas de una recta y un plano

10ª. Posiciones relativas de dos planos

11ª. Haz de planos que contiene a una recta

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 95

1ª.- Coordenadas de un vector

Si tenemos dos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), las coordenada del

vector que une P y Q, vector

PQ , se obtienen restando a las coordenadas del

extremo las coordenadas del origen.

PQ = coordenadas del extremo – coordenadas del origen

PQ = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1) = (x2 – x1, y2 – y1, z2 –z1)

Observa que el vector

PQ y el vector

QP son VECTORES OPUESTOS ya

que tienen coordenadas opuestas, es decir, son vectores de la misma dirección, del

mismo módulo pero de sentidos contrarios. Los vectores

PQ y

QP son vectores LD

puesto que son proporcionales:

PQ = -

QP

Q Q

PQ

QP

P P

Ejemplo 6 - 1º

a) Calcula las coordenadas del vector que tiene de origen el punto A = (1, -1, 3), y por extremo el punto B = (3, -2, 0)

AB (3, 2,0) (1, 1,3) (2, 1, 3)B A

b) Las coordenadas de un vector son (2, -2, 4). Sabiendo que su origen es el punto P = (5, ½, -2), halla las coordenadas de su extremo.

31 1PQ (2, 2,4) (5, , 2) (2, 2,4) (5, , 2) (7, ,2)2 2 2

Q P Q Q

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 96

2ª.- Puntos alineados

Tres puntos P = (x1, y1, z1), Q = (x2, y2, z2) y R = (x3, y3, z3) estarán

alineados, siempre que los vectores

PQ y

PR tengan la misma dirección, es decir,

sean proporcionales (LD).

R R

PR

PR

Q Q

PQ

PQ

P P

Puntos alineados Puntos no alineados

vectores LD vectores LI

También podemos observar que si tres puntos están alineados, los tres puntos tienen que pertenecer a la misma recta.

Ejemplo 6 - 2º

Comprueba si los puntos A = (5, -1, -4), B = (3, 3, 2) y C = (2, 5, 5) están alineados o no.

Calculemos las coordenadas de los vectores

AB y

AC y veamos si son proporcionales, es decir, si

los vectores tienen la misma dirección, o sea, si son LD.

2AB (3,3,2) (5, 1, 4) ( 2,4,6)3AC (2,5,5) (5, 1, 4) ( 3,6,9)

B A AB ACC A

Las coordenadas de los vectores

AB y

AC son proporcionales, es decir, son vectores de la misma

dirección (LD) y por tanto los puntos A, B y C están alineados

Ejemplo 6 - 3º

Averigua los valores de m y n para que los puntos A = (4, -1, 3), B = (3, 5, 1) y C = (0, m, n) estén alineados.

Para que los puntos A, B y C estén alineados, los vectores

AB y

AC tienen que ser de la misma

dirección (LD), y por tanto las coordenadas de dichos vectores tienen que ser proporcionales. Calculemos las coordenadas de dichos vectores y obliguemos a que sean proporcionales:

1 61 6 2AB (3,5,1) (4, 1,3) ( 1,6, 2) 4 1

1 24 1 3AC (0, , ) (4, 1,3) ( 4, 1, 3)4 3

B A mm nC A m n m n

n

m = 23 y n = -5 C = (0, 23, -5)

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 97

3ª.- Punto medio de un segmento

Si tenemos un segmento de extremos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), las coordenadas de su punto medio MPQ = (Mx, My, Mz), se pueden obtener si tenemos en cuenta la siguiente relación:

Q = (x2, y2, z2)

PQ

MPQ = (Mx, My, Mz)

PMPQ

P = (x1, y1, z1)

1 1

PM M P PQ (Q - P)2 2PQ PQ

Despejando MPQ de la expresión anterior, obtenemos la expresión de las coordenadas del punto medio de un segmento:

1 2 1 2 1 21 1M (Q - P) ( ) , ,

2 2 2 2 2PQ

x x y y z zP Q P

Es decir, la media aritmética de las coordenadas de sus extremos.

IMPORTANTE:

Del mismo modo se procedería para calcular las coordenadas de los puntos que dividen a un segmento en tres partes iguales, etc.

Ejemplo 6 - 4º

a) Calcula el punto medio del segmento qe tiene por extremos los puntos:

A = (5, -1, -4) y B = (3, 3, 2).

5 3 1 3 4 2M , , , , 4,1, 1

2 2 2 2 2 2y yx x z z

AB

a ba b a b

b) El punto medio de un segmento vale M = (2, -1, 0). Sabiendo que uno de sus extremos es el punto P = (5, -1, -4), calcula las coordenadas del otro extremo del segmento.

15 4M , , 2, 1,0 , , 1, 1,4

2 2 2 2 2 2y y yx x z z x z

PQ

p q qp q p q q qQ

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 98

Ejemplo 6 - 5º

Los extremos de un segmento son A = (5, -1, -4) y B = (3, 3, 2). Halla los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.

B

M2

M1

A

En el esquema puede observarse que:

1

1

3AM AB

1 1 1

1 1 1 1 2 1 2 13 13,3,2 5. 1, 4 , , 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3AM AB M A B A M B A A B A

El punto M2, lo podemos calcular de dos formas:

Teniendo en cuenta que

2

2

3AM AB

Teniendo en cuenta que M2 es el punto medio del segmento M1B

En ambos casos se obtendría: M2 = (11/3, 5/3,0)

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 99

4ª.- Simétrico de un punto respecto a otro

Si tenemos un punto P = (px, py, pz) y nos piden que calculemos el punto P’ simétrico a P respecto A = (ax, ay, az), podemos observar en el dibujo que el punto P’ que nos piden forma con P un segmento cuyo punto medio es el punto A

P = (px, py, pz)

A = (ax, ay, az)

P’ = (p’x, p’y, p’z)

Por tanto, si aplicamos como se calcula el punto de un segmento, se cumple que:

'' ', , , ,

2 2 2y yx x z z

x y z

p pp p p pa a a

Y despejando se obtendrían las coordenadas de P’.

Ejemplo 6 - 6º

Halla el punto P’, simétrico al punto P = (7, 4, -2), respecto al punto Q = (3, -11, 7).

Teniendo en cuenta que el punto Q es punto medio del segmento PP’ , podemos escribir:

P = (7, 4, -2)

Q = (3, -11, 7)

P’ = (p’x, p’y, p’z)

7 '3

2 ' 14 ' 4 '7 ' 2 ''Q= 3, 11,7 , , 11 ' 26

2 2 2 2 2' 162 '

72

x

xy yx z

y

zz

p

pp pp pP Pppp

P’ = (-1, -26, 16)

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 100

Ejercicios 6 – 1º a 5º

1º.- Calcula a y b para que los puntos P = (7, -1, a), Q =(8, 6, 3) y R =(10, b, 9), estén alineados.

Soluc: a = 0 b =0 20

2º.- Dados los puntos A = (-3, 5, 11) y B = (3, 5, -1)

i. Halla el punto medio del segmento AB.

ii. Halla el punto simétrico de B respecto de A.

Soluc: a) MAB = (0, 5, 5) b) B’ = (-9, 5, 23)

3º.- Hallar los puntos M y N que dividen al segmento de extremos A = (7, -2, 11) y B = (10, 7, 5), en tres partes iguales.

Soluc: M = (8, 1, 9) N = (9, 4, 7)

4º.- Los tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (1, 3, -4), B = (2, 6, 7) y C=(5, -1, 2). Halla las coordenadas del cuarto vértice D.

Soluc: D = (4, -4, -9)

5º.- Los tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (1, 3, -1), B = (2, 0, 2) y C = (4, -1, -3). Halla las coordenadas del cuarto vértice D y del centro del paralelogramo.

Soluc: D = (3, 2, -6) y centro = (5/2, 1, -2)

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 101

5ª.- Ecuaciones de una recta en el espacio.

Para escribir las diferentes expresiones de la ecuación de una recta r en el espacio, necesitamos un punto cualquiera P = (x0, y0, z0) de la recta y un vector

cualquiera

u = (ux, uy, uz) paralelo a dicha recta llamado VECTOR DIRECTOR O VECTOR DIRECCIÓN.

u = (ux, uy, uz)

. P = (x0, y0, z0)

r

IMPORTANTE:

1º.- Como punto P, sirve cualquier punto de la recta.

2º.- No hay un único vector director de la recta, hay infinitos, y todos ellos son proporcionales entre sí (LD). Por esta razón siempre podremos elegir, de entre todos ellos, a aquel vector que tenga las coordenadas más sencillas.

3º.- A veces, sólo nos dan dos puntos A y B de la recta. En este caso

nosotros siempre podemos hallar como vector director de la recta al vector

AB ó

cualquiera proporcional a él, y como punto P a uno de los dos puntos: A ó B.

B .

A .

AB =B - A

r

Una recta puede describirse mediante diferentes ecuaciones. Nosotros vamos a estudiar cuatro:

Ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas

Ecuación en forma continua

Ecuación implícita

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 102

Ecuación vectorial

Supongamos una recta r de la que sabemos que pasa por el punto P =(x0, y0, z0) y

tiene como vector director a

( , , )x y z

u u u u

Un punto genérico (x, y, z) de la recta r, lo podemos calcular mediante la expresión:

0 0 0

, , , , .( , , )x y z

x y z x y z λ u u u Ecuación vectorial

λ representa a un nº real, de modo que si vamos dándole diferentes valores a λ, obtenemos las coordenadas de los sucesivos puntos de la recta.

Ecuaciones paramétricas

La ecuación vectorial de la recta r, da lugar a tres ecuaciones numéricas:

0

0

0

.

.

.

x

y

z

x x λ uy y λ uz z λ u

Ecuaciones paramétricas

Ecuación en forma continua

Despejando el parámetro λ en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualando, obtenemos la siguiente doble igualdad:

0 0 0

x y z

x x y y z z

u u u Ecuación continua

IMPORTANTE:

Si alguna de las coordenadas del vector director es nula, la forma continua de la recta se nos presentaría con algún cero en el denominador. Tal expresión no es correcta aritméticamente, pero puede admitirse como expresión simbólica cuyos denominadores nos indican las coordenadas del vector director.

Ecuación en forma implícita

Si en la forma continua de una recta, tomamos las igualdades dos a dos y agrupamos todo en el primer miembro, obtenemos dos ecuaciones de la forma:

' ' ' '

00

ax by cz da x b y c z d Ecuación implícita

Observa que la forma implícita no es más que la intersección de dos planos.

La forma que adopta cada ecuación para una misma recta, depende del punto P y del vector director utilizados.

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 103

Ejemplo 6 - 7º

De una recta se sabe que pasa por el punto P = (1, 2, -2) y que es paralela al vector

(2, 5,0)u . Hallar las distintas formas de las ecuaciones de la recta.

(1,2, 2)

(2, 5,0)

punto Precta r

dirección u

Forma vectorial: , , 1,2, 2) .(2, 5,0)x y z λ

Ecuaciones paramétricas:

1 22 52 0

x λy λ

z λ

Ecuación en forma continua:

21 2

2 5 0

yx z

Ecuación en forma implícita:

21

2 52 2

5 0

yx

y z

5 2 9 02 0

x yz

Ejemplo 6 - 8º

La recta r pasa por el punto P = (1,2,-1) y es paralela a la recta s, cuyas ecuaciones

paramétricas son:

22

1

x λy λz λ

. Halla todas las formas de la recta r.

De la recta r sabemos un punto P = (1, 2, -1). También sabemos que es paralela a la recta s, y por tanto el vector director de la recta s sirve como vector director de la recta r, es decir:

(1,2, 1)

( 1,2,1)

punto Precta r

dirección u

Ya puedes continuar tú sólo.

Ejemplo 6 - 9º

La ecuación en forma implícita de una recta r es:

2 1 02 1 0x y zx y z

a) ¿Pertenece el punto P = (1, 0, 0) a la recta r?

Para que el punto P pertenezca a la recta, tiene que verificar su ecuación.

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 104

Como vemos el punto P verifica la primera ecuación, pero no la segunda y, por tanto, P no pertenece a la recta

b) Halla sus ecuaciones paramétricas.

Para pasar de la forma implícita a las paramétricas, hacemos z = λ, pasamos al segundo miembro y resolvemos el sistema

1

53 32 1 0 2 1

2 1 0 2 1 5

z λ

λX

λx y z x y λ yx y z x y λ

z λ

Las soluciones obtenidas son las ecuaciones paramétricas de la recta, que podemos escribir:

1 1 1

5 5 53 3 3 3

5 5 50

λX x λ

λy y λ

z λ z λ

c) Calcula dos vectores directores de r.

En las ecuaciones paramétricas, podemos leer directamente las coordenadas de un vector director de la recta:

1 3

( , ,1)5 5

u .

Cualquier otro vector proporcional a él, también tiene la misma dirección, y por tanto serviría como vector director de r. Por ejemplo

1 3

5 ( , ,1) (1,3,5)5 5

v u

que sería más cómodo de utilizar.

d) Calcula dos puntos por los que pasa la recta r.

En las ecuaciones paramétricas, también podemos leer directamente un punto de la recta:

P = (-1/5, -3/5, 0).

Para calcular cualquier otro punto, bastaría con dar un valor real cualesquiera a λ. Por ejemplo λ = 1 y obtendríamos las coordenadas del punto:

Q = (0, 0, 1)

OBSERVACIÓN: Date cuenta se podrían reescribir las ecuaciones paramétricas de la recta r,

utilizando el punto Q = (0, 0, 1) y como dirección de la recta el vector

(1,3,5)v

00 31 5

x λy λz λ

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 105

6ª.- Posiciones relativas de dos rectas en el espacio

Dadas dos rectas r y s en el espacio, cada una de ellas definidas por un punto y su vector dirección:

( , , )

( , , )

x y z

x y z

punto P p p precta r

dirección u u u u

( , , )

( , , )

x y z

x y z

punto Q q q qrecta s

dirección v v v v

Las posiciones relativas entre ellas pueden ser las siguientes:

PARALELAS COINCIDENTES SECANTES SE CRUZAN

Misma dirección Misma dirección Distinta dirección Distinta dirección

Ningún punto en común Todos los puntos en común Un punto en común Ningún punto en común

Para averiguar la posición relativa entre dos rectas empezaremos comprobando si sus vectores directores son paralelos, es decir, si son LD. Para ello basta con ver si sus coordenadas son proporcionales.

Si los vectores directores son paralelos, las rectas r y s o son paralelas o son coincidentes. Para averiguar cuál de las dos situaciones es, tomamos, por ejemplo, el punto P de la recta r y comprobamos si pertenece o no a la recta s. Si pertenece, las rectas son coincidentes, si no pertenece las rectas son paralelas.

Si los vectores directores no son paralelos, las rectas r y s o se cortan (secantes) o se cruzan. Para averiguar cuál de las dos situaciones es, se forma el

vector

PQ y se comprueba si es coplanario (LD) o no (LI) con los vectores

directores de las rectas r y s. Si los vectores

u

v y

PQ son LD, entonces las

rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto. Si los tres vectores son LI, las rectas se cruzan.

RECUERDA que para averiguar si tres vectores son o no son LI, debemos

comprobar si el determinante de la matriz formada con las coordenadas de los tres vectores es o no es cero.

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 106

Ejercicios 6 – 6º a 12º

6º.- Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por los puntos:

a) A = (2, 0, 5) y B = (-1, 4 6) b) M = (5, 1, 7) y N = (9, -3, -1)

7º.- Obtén las ecuaciones paramétricas, continua e implícitas de la recta que pasa

por el punto P = (0, 1, -3) y es paralela al vector

(1, 5,0)u

Soluc:

1 53

x λy λz

1 3

1 5 0

yx z

5 1 03 0

x yz

8º.- Comprobar si alguno de los siguientes puntos A = (3, 2, -1) B = (-2, 17, -1) C = (1, 5, 0) D = (2, 8, -1) pertenece a la recta r de ecuaciones:

32 31

x λy λz

Soluc: A y B Si C y D No

9º.- Estudiar las posiciones relativas de las siguientes parejas de rectas y, en al caso de que corte, halla el punto de intersección:

a)

3 525

x λr y λ

z λ

1 104 2

2

x μs y μ

z μ

b)

2 33 5

x λr y λ

z λ

1

5

x μs y μ

z

c)

2 33 5

x λr y λ

z λ

12

5

x μs y μ

z

d)

3 52 34

x λr y λ

z λ

2 1 02 1 0x y zsx y z

Soluc: a) paralelas b) se cruzan c) se cortan en el punto (-13, 28, 5) d) se cruzan

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 107

10º.- Comprueba que los puntos A = (1, -2, 1), B = (2, 3, 0) y C = (-1, 0, 4) no están alineados. Hazlo de dos formas:

a) Comprobando que los vectores

AB y

AC no tienen la misma dirección.

b) Comprobando que uno de los puntos no pertenece a la recta que pasa por los otros dos.

11º.- Determina la ecuación de la recta que, siendo paralela a la recta t, pasa por el punto de intersección de las rectas r y s.

236

x λr y λ

z λ

1

9

xs y μ

z μ

856 2

x βt y β

z β:

Soluc:

127 2

x αy αz α

12º.- Halla la ecuación de una recta r que pasa por el punto P = (5, 5, 1) y corta

perpendicularmente a la recta s de ecuaciónes

1 235

x λs y λ

z

Soluc:

55 21 3

x βy βz β

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 108

7ª.- Ecuaciones de un plano

Para escribir las diferentes expresiones de la ecuación de un plano π, necesitamos un punto cualquiera P = (x0, y0, z0) del plano la recta y dos vectores

cualesquiera,

u = (ux, uy, uz) y

v = (vx, vy, vz), paralelos al plano y LI entre sí, llamados VECTORES DIRECTORES O VECTORES DIRECCIÓN.

π

IMPORTANTE:

1º.- Como punto P, sirve cualquier punto del plano.

2º.- No hay una única pareja de vectores directores del plano, hay infinitas parejas, basta con que sean paralelos al plano y de distinta dirección (LI). Por esta razón siempre podremos elegir, de entre todos ellas, a aquella pareja de vectores que tengan las coordenadas más sencillas.

3º.- A veces, sólo nos dan un vector director y dos puntos A y B del plano. En este caso nosotros podemos hallar como el otro vector director del plano al vector

AB ó cualquiera proporcional a él, y como punto P a uno de los dos puntos A ó B.

B

AB π

A

u

Es importante darse cuenta que los puntos A y B deben de formar un vector de distinta dirección al dado

4º.- Otras veces, solo nos dan tres puntos A, B y C del plano no alineados.

En este caso podemos utilizar a los vectores

AB y

AC , o cualesquiera

proporcionales a ellos, como directores del plano, y a uno de los tres puntos como punto característico del plano

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 109

Un plano puede describirse mediante diferentes ecuaciones. Nosotros vamos a estudiar tres:

Ecuación vectorial

Supongamos un plano π del la que sabemos que pasa por el punto P =(x0,

y0, z0) y tiene como vectores directores a

( , , )x y z

u u u u y

( , , )x y z

u v v v

Un punto genérico (x, y, z) del plano πr, lo podemos calcular mediante la expresión:

0 0 0

, , , , .( , , ) .( , , )x y z x y z

x y z x y z λ u u u μ v v v Ecuación vectorial

λ y µ representan a sendos números reales, de modo que si vamos dándole diferentes valores a λ y µ, obtenemos las coordenadas de los sucesivos puntos del plano.

Ecuaciones paramétricas

La ecuación vectorial de la recta r, da lugar a tres ecuaciones numéricas:

0

0

0

.

.

.

x x

y y

z z

x x λ u μvy y λ u μvz z λ u μv

Ecuaciones paramétricas

Ecuación en forma implícita

Despejando los parámetros λ y µ en las ecuaciones paramétricas obtenemos una expresión del tipo:

0ax by cz d Ecuación implícita

IMPORTANTE:

1º.- La forma que adopta la ecuación implícita de un plano siempre es la misma, independientemente del punto y de los vectores directores utilizados.

2º.- Los coeficientes de las incógnitas de la ecuación implícita de un plano,

son las coordenadas de un vector

n = (a, b, c) perpendicular a dicho plano y denominado VECTOR NORMAL DEL PLANO

n = (a, b, c)

Π: ax + by +cz +d = 0

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 110

Ejemplo 6 - 10º

El plano π pasa por los puntos A = (2, 3, 5) B = (3, 5, 8) y C = (3, 6, 10). Hallar las distintas formas de las ecuaciones del plano.

(2,3,5)

(1,2,3)

(1,3,5)

punto P

plano π u AB B Adirecciónv AC C A

Forma vectorial: , , 2,3,5) .(1,2,3) .(1,3,5)x y z λ μ

Ecuaciones paramétricas:

23 2 35 3 5

x λ μy λ μz λ μ

Ecuación en forma implícita:

La forma implícita podemos averiguarla de dos formas diferentes:

1ª.- A partir de las ecuaciones paramétricas, considerando que se trata de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, λ y µ,

2 1 1 1 1 22 3 3 2 3 ' 2 3 33 5 5 3 5 53 5

λ μ x xλ μ y A A yλ μ z z

Como el sistema es compatible, según Rouché-Fröbenius, el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada. Pero, como la matriz A tiene que tener rango 2, entonces el determinante de la matriz ampliada tiene que ser 0 (si no fuese así, la matriz A’ tendría de rango 3). Al hacer 0 el determinante de A’ obtenemos la ecuación implícita del plano

1 1 20 2 3 3 0 2 1 0

3 5 5

xA y x y z

z

2ª.- A partir de un vector normal del plano, que podemos hallar si hacemos el producto vectorial de dos vectores directores del plano:

1 2 3 2 (1, 2,1)1 3 5

i j kn u v i j k

La ecuación implícita del plano que buscamos tendrá la forma: 2 0x y z d

El valor de d se obtiene teniendo en cuenta que el punto P = (2, 3, 5) es del plano y por tanto debe de verificar la ecuación anterior:

2 2.3 5 0 1 0 1d d d

Obteniéndose la misma ecuación implícita del plano que por el primer método:

2 1 0x y z

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 111

Ejemplo 6 - 11º

a) Halla la ecuación implícita de un plano π que pasa por el punto P =

(3,0,1) y es paralelo al plano π’ de ecuación 2 1 0x y z

Como el plano π que buscamos es paralelo al plano π’, entonces el vector normal del plano π’ sirve

como vector normal del plano π:

'π πn n

P π

'πn π’

Por tanto la ecuación del plano que buscamos tiene la forma: 2 0x y z d , y como el

punto P = (3,0,1) es de dicho plano, tiene que verificar la ecuación anterior. Así obtenemos el valor de d.

3 2.0 1 0 2d d

La ecuación del plano π que pasa por el punto P = (3,0,1) y es paralelo al plano π’ es:

2 2 0x y z

b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano π

Para hallar las ecuaciones paramétricas de un plano escrito en forma implícita, hacemos y = λ y z = µ, y despejamos x:

2 2 02 2 0 2 2

x y zy λ x λ μ x λ μz μ

Quedando las ecuaciones paramétricas siguientes:

2 20 00 0

x λ μy λ μz λ μ

En dónde se está utilizando como punto a P = (2, 0, 0) y como vectores directores a

u = (-2, 1, 0) y

v= (1, 0, 1).

OBSERVACIÓN:

Puedes comprobar, en las paramétricas, que el punto P = (3, 0, 1) es del plano π.

Si quieres obtener otros puntos del plano, basta con que le des valores a λ y a µ.

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SEMINARIO DE MATEMÁTICAS José Escudero Martínez Página 112

8ª.- Ecuaciones de los ejes de coordenadas y planos

y

x

z

Observa que todos los puntos del PLANO XY tienen de coordenadas (x, y, 0), es

decir, su tercera coordenada siempre es nula z = 0. Esta es la ecuación implícita del

plano XY.

Observa que todos los puntos del PLANO XZ tienen de coordenadas (x, 0, z), es

decir, su segunda coordenada siempre es nula y = 0. Esta es la ecuación implícita

del plano XZ.

Observa que todos los puntos del PLANO YZ tienen de coordenadas (0, y, z), es

decir, su primera coordenada siempre es nula x = 0. Esta es la ecuación implícita

del plano YZ.

Observa que el EJE X es la intersección del plano XZ con el plano XY, es decir del

plano de ecuación y = 0 con el de ecuación z = 0. Es lógico puesto que todos los

puntos del eje x son de la forma (x, 0, 0).

Observa que el EJE Y es la intersección del plano XY con el plano YZ, es decir del

plano de ecuación x = 0 con el de ecuación z = 0. Es lógico puesto que todos los

puntos del eje y son de la forma (0, y, 0).

Observa que el EJE Z es la intersección del plano YZ con el plano XZ, es decir del

plano de ecuación x = 0 con el de ecuación y = 0. Es lógico puesto que todos los

puntos del eje x son de la forma (0, 0, z).

ECUACIÓN IMPLICITA

PLANOS EJES DE COORDENADAS

XY XZ YZ EJE X EJE Y EJE Z

z = 0 y = 0 x = 0

00

yz

00

xz

00

xy

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9ª.- Posiciones relativas de plano y recta

La posición relativa entre una recta r y un plano π puede ser la siguiente:

πn

πn

ru

πn

ru

ru

CONTENIDA EN EL PLANO PARALELA AL PLANO RECTA SECANTE AL PLANO

Todos los punto de r son de π r y π no tienen puntos comunes r y π tienen solo un punto en común

Para averiguar la posición relativa entre una recta y un plano podemos proceder de tres formas:

1ª.- Una de ellas consiste en identificar a un vector director de la recta,

ru , y

a un vector normal del plano π,

πn , y multiplicarlos escalarmente

.r πu n .

Si el producto escalar

.r πu n vale 0, la recta está contenida en el plano o

es paralela a él. Para averiguar cuál de las dos situaciones es, bastaría con ver si un punto cualquiera de la recta satisface la ecuación del plano. Si la satisface, la recta está contenida en el plano, y si no, la recta es paralela al plano.

Si el producto escalar

.r πu n no vale cero, entonces la recta corta al plano

en un punto.

2ª.- Otra forma de averiguarlo es identificar a un vector director de la recta, y a dos directores del plano. A continuación comprobamos si los tres vectores son LD o LI.

Si el vector director de la recta r y los dos vectores directores del plano π son LD, la recta, o está contenida en el plano, o es paralela a él. Si un punto cualquiera de la recta r satisface la ecuación del plano π, la recta está contenida en el plano. En caso contrario la recta es paralela al plano.

Si el vector director de la recta r y los dos vectores directores del plano π son LI, la recta r es secante al plano π.

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3ª.- Otra forma de averiguarlo es escribir en forma implícita a la recta y al plano y discutir el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

00 '0

a x by c z d a b c a b c da x b y c z d A a b c A a b c da x b y c z d a b c a b c d

OBSERVACIÓN:

En realidad la cuarta columna de la matriz A’, sería opuesta a la que hay escrita, pero recuerda que el rango de una matriz no cambia si multiplicas a una de sus líneas por un nº.

Si rango A = rango A’ = 3 SCD una sola solución r corta a π en un punto

Si rango A = rango A’ = 2 SCI infinitas soluciones r contenida en π

Si rango A ≠ rango A’ SI ninguna solución r paralela a π

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10ª.- Posiciones relativas de dos planos

La posición relativa entre dos planos π y π’ puede ser la siguiente:

πn

'πn

COINCIDENTES PARALELOS SECANTES

Son el mismo plano no tienen puntos comunes se cortan en una recta

Para averiguar la posición relativa entre dos planos podemos proceder de tres formas:

1ª.- Una de ellas consiste en identificar a un vector normal a cada plano π y

π’,

πn y

'πn , y ver si tienen la misma dirección o no.

Si las coordenadas de

πn y

'πn son proporcionales, los vectores son LD, es

decir, tienen la misma dirección, y por tanto los planos π y π’, o son coincidentes, o son paralelos. Para averiguar cuál de las dos situaciones es, bastaría con ver si un punto cualquiera de uno de los planos satisface la ecuación del otro. Si la satisface, los planos son coincidentes, y si no, los planos son paralelos.

Si las coordenadas de

πn y

'πn no son proporcionales, los vectores son LI,

es decir, tienen distinta dirección, y por tanto los planos π y π’ son secantes.

2ª.- Otra forma de averiguarlo es escribir la ecuación implícita de cada plano y ver la proporcionalidad entre los coeficientes de cada ecuación.

1 1 1 1

2 2 2 2

0' 0

a x by c z dππ a x b y c z d

Si 1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c dplanos paralelos.

Si 1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c dplanos coincidentes

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3ª.- Otra forma de averiguarlo es escribir en forma implícita a los dos planos y discutir el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0'

0a x by c z d a b c a b c dA Aa x b y c z d a b c a b c d

OBSERVACIÓN:

En realidad la cuarta columna de la matriz A’, sería opuesta a la que hay escrita, pero recuerda que el rango de una matriz no cambia si multiplicas a una de sus líneas por un nº.

Si rango A = rango A’ = 2 < nº de incógnitas SCI infinitas soluciones

π corta a π’ en una recta

Si rango A = rango A’ = 1 < nº de incógnitas SCI infinitas soluciones

π y π’ son el mismo plano

Si rango A ≠ rango A’ SI ninguna solución π y π’ son paralelos

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11ª.- Haz de planos que contienen a una recta

Se llama haz de planos de eje la recta r, al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r:

¿Cómo hallar una expresión para el haz de planos que contienen a la recta r?

Supongamos que la recta r está dada en implícita:

0:' ' ' ' 0

ax by cz dra x b y c z d

Según la tercera operación válida para obtener un sistema de ecuaciones equivalentes (tema 1º, 3ª pregunta), si añadimos una tercera ecuación que sea combinación lineal de las dos ecuaciones dadas, el sistema formado por las tres ecuaciones sería equivalente y, por tanto, la ecuación añadida también contiene a la recta r:

.( ) .( ' ' ' ') 0α ax by cz d β a x b y c z d

Si dividimos por α (también podemos hacerlo por α), obtenemos:

( ) .( ' ' ' ') 0β

ax by cz d a x b y c z dα

Si llamamos λ = α/β, la ecuación del haz de planos que contienen a la recta r, en función de un solo parámetro, es:

( ) .( ' ' ' ') 0ax by cz d λ a x b y c z d

Ejemplo 6 - 12º

a) Halla la ecuación del haz de planos que contiene a la recta r de ecuaciones:

2 0:2 1 0

x y zry z

La ecuación del haz de planos que contienen a la recta r es:

( 2) .(2 1) 0 ( 1 2 ) (1 ) (2 ) 0x y z λ y z x λ y λ z λ

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b) De todos los planos que contienen a la recta r, halla el que pasa por el punto (0,1,-1)

Si pasa por el punto P = (0,.1, -1), la ecuación del haz de planos que contienen a la recta r debe de cumplirse para este punto, es decir:

0 ( 1 2 ).1 (1 ).( 1) (2 ) 0 1 2 1 2 0 0λ λ λ λ λ λ λ

Y por tanto el plano pedido tiene de ecuación:

2 0x y z

Ejercicios 6 – 13º a 19 º

13º.- Un plano pasa por los puntos P = (1, 7, -2), Q = (4, 5, 0) y R = (6, 3, 8). Hallar:

a) Las ecuaciones paramétricas.

b) La ecuación implícita a partir de las ecuaciones paramétricas.

c) La ecuación implícita utilizando el vector normal del plano.

Soluc: a)

4 35 2

2 4

x λ μy λ μz λ μ

b) y c) 6 10 74 0x y z

14º.- Dado el punto P = (2, -1, 3), hallar la ecuación implícita del plano π que:

a) Contiene al punto P y es paralelo al plano π’ de ecuación 2 3 4 0x y z

b) Contiene a P y es perpendicular a la recta r

3 2

2 1

x zy

Soluc: a) 2x + 3y – z + 2 = 0 b) 2x + y – z = 0

15º.- Estudia la posición relativa de los siguientes planos y rectas y, si se cortan, hallar el punto o los puntos de corte:

a)

3 4 11 04 12 16 40 0'

π x y zx y zπ b)

4 02 1 0'

π x y zx y zπ

c) 2 3 4 0π x y z

3 214 6

x λr y λ

z λ

Soluc: a) son planos paralelos b) se cortan en una recta de ecuaciones

13

xy λz λ

c) La recta corta al plano en el punto

(21/13,4/13,106/13)

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16º.- Considera el plano 2 0π x y az b y la recta

1 02 0

x y zrx y z

a) Determina a y b para que el plano π contenga a la recta r.

b) Determina a y b para que la recta y el plano sean paralelos.

c) Determina para que valores de a y b la recta corta al plano.

d) Halla el punto de corte entre la recta y el plano para a = 0 y b = 7.

Soluc: a) a = 4 y b = 3 b) a = 4 y b ≠ 3 c) a ≠ 4 y b cualquier valor e) (5, -3, -1)

17º.- Estudia la posición relativa de los tres planos siguientes. Cuando se corten, halla el punto o puntos de corte:

x y z

a x y

y z

2 0

) 1

1

x y z

b x y z

y z

3 0

) 0

1

x y z

c x y z

x y z

2

) 2 3 3

2 2 0

Soluc: a) Tres planos que se cortan en una recta (SCI). Unas posibles ecuaciones paramétricas de la recta son:

21

x λy λz λ

b) SCD, es decir, tres planos que se cortan en el punto (-1/3, 2/3, -1/3) c) SI. Tres planos que se cortan dos a dos, es decir, no hay ningún punto en común a los tres planos.

18º.- Estudia la posición relativa de los tres planos siguientes en función del parámetro m. Cuando se corten halla el punto o puntos de corte.

mx y z

x my z

x y z

0

1

2 0

Soluc: Si m = 1 SI, los planos se cortan dos a dos pero no hay ningún punto en común a los tres.

Si m = 2 SCI, los planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

1 1

5 52 3

5 5

x λ

y λ

z λ

Si m ≠ 1 y m ≠ 2 SCD, los tres planos se cortan en un punto de coordenadas

1 10, ,

1 1m m

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19º.- a) Halla la ecuación del haz de planos que contienen a la recta r de ecuación:

4 0:2 1 0x y zrx y z

b) De todos los planos que contienen a la recta r, halla el que es paralelo a la recta s de ecuación:

3 2

0 3 3

yx z

c) De todos los planos que contienen a la recta r, halla el que pasa por el origen de coordenadas.

Soluc: a) (1 2 ) ( 1 ) (1 ) ( 4 ) 0λ x λ y λ z λ b) 1 0x c) 3 0x y z

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7.- PROBLEMAS MÉTRICOS

1ª. Ángulo entre dos rectas

2ª. Ángulo entre dos planos

3ª. Ángulo entre una recta y un plano

4ª. Distancia entre dos puntos

5ª. Distancia entre un punto y una recta

6ª. Simétrico de un punto respecto a una recta

7ª.- Distancia entre un punto y un plano

8ª. Simétrico de un punto respecto a un plano

9ª.- Distancia entre una recta y un plano

10ª. Distancia entre dos planos

11ª. Distancia entre dos rectas

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1ª.- Ángulo entre dos rectas

Recordemos que el producto escalar de dos vectores

u y

v nos permite

calcular el ángulo α que forman dichos vectores:

| . |cos

| | .| |

u vα

u v

Al tomar el valor absoluto del producto escalar, garantizamos que elegimos el ángulo mas pequeño que forman los vectores.

El ángulo α que forman dos rectas r y s, es el ángulo que forman sus

respectivos vectores directores

ru y

su

ru r

| . |cos

| | .| |

r s

r s

u uα

u u

su s

IMPORTANTE

Si las rectas se cruzan, el ángulo entre dichas rectas se define como el ángulo que forma una de ellas con la paralela a la otra que es secante con la primera. Por tanto, el cálculo de dicho ángulo es idéntico al de dos rectas secantes.

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2ª.- Ángulo entre dos planos

El ángulo α que forman dos planos π y π’, es igual al ángulo que forman sus vectores normales:

π’

πn π

'πn α α

'

'

| . |cos

| | .| |

π π

π π

n nα

n n

3ª.- Ángulo entre una recta y un plano

El ángulo α que forman una recta r y un plano π, es igual al ángulo complementario que forman el vector director de la recta y el vector normal al plano:

r

πn

ru π

90º-α α

| . |cos(90º )

| | .| |

r π

r π

u nα senα

u n

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Ejercicio 7 - 1º

1º.- Calcula el ángulo que forman:

a) las rectas

13 2 3 5 4 0: :2 5 05 3 1

yx z x y zr sx y

b) La recta

13 1:

2 5 1

yx zr con el plano : 2 5 7 11 0π x y z ?

c) Los planos : 2 4 0π x y z y ': 2 3 0π x y

a) Soluc:41º 59’ 35’’ b) Soluc:35º’ c) 67º 1’ 23’’

Ejercicio 7 - 2º

a) Calcula el ángulo que forman los planos : 3π z y ': 2 4 0π x y z

b) Calcula el ángulo que forma el plano : 2 0π x y z con cada uno de los

ejes de coordenadas.

c) Halla el valor de m para que las rectas r y s formen un ángulo de 90º

2 5

2

x λr y λ

z λ

22

x λs y λ

z mλ

a) 35º 15’ 52’’ b) :EJE X: 24º 5’ 41’’ EJE Y: 54º 44’ 8’’ EJE Z: 24º 5’ 41’’ c) m = -3’

4ª.- Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos P = (px, py, pz) y Q = (qx, qy, qz), es el módulo del vector que une ambos puntos:

Q = (qx, qy, qz)

PQ

P = (px, py, pz)

2 2 2( , ) | | | |( , ) ( ) ( ) ( )

| | |( , , ) |x x y y z z

x x y y z z

d P Q PQ QPd P Q q p q p q p

PQ q p q p q p

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5ª.- Distancia entre un punto y una recta

Se llama distancia de un punto P a un recta r, a la longitud del segmento perpendicular que va desde el punto P a la recta r, es decir la distancia del punto P a su proyección, R, sobre la recta r.

r

R d(P, r) = d(P, R) =

| |PR

P

Para localizar al punto R, podemos proceder de cualquiera de las dos formas siguientes:

1ª.- Hallar la ecuación del plano π que pasa por P y es perpendicular a r. A continuación buscamos la intersección del plano π con la recta r, que es el punto R.

2ª.- A partir de las ecuaciones paramétricas de r, escribimos las coordenadas del punto R desconocido que quedarán expresadas en función del

parámetro λ. A continuación hallamos las coordenadas del vector

PR e imponemos

la condición de perpendicularidad entre los vectores

PR y

ru , es decir,

. 0r

PR u

Obteniendo el valor de λ que nos permite identificar a R.

Ejemplo 7 – 1º

Calcula la distancia del punto P = (5, -1, 6) a la recta r de ecuaciones

1 2

5

x λy λz λ

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Primer método:

Plano π que pasa por P y es perpendicular a r:

(5, 1,6)2 0 2.5 1.( 1) 6 0 3

( 2, 1,1)r

Pπ x y z d d d

n u

π 2 3 0x y z

r r

ru

π rn u π 2 3 0x y z

R . . P = (5, -1, 6) R . P = (5, -1, 6)

Intersección de la recta r con el plano π:

Sustituimos las coordenadas de r en la ecuación de π y obtenemos el valor de λ

2(1 2 ) ( ) (5 ) 3 0 1 (3,1,4)λ λ λ λ R

( , ) ( , ) | |( , ) ( , ) | | 12 2 3

( 2,2, 2)

d P r d P R PR d P r d P R PR uPR R P

Segundo método:

El punto R buscado tiene de coordenadas R = (1 - 2λ, -λ, 5 + λ), y forma con el punto

P un vector,

PR , perpendicular al vector director de la recta,

ru . Por tanto el

producto escalar de estos dos vectores tiene que ser nulo

(1 2 , ,5 ) (5, 1,6) ( 4 2 , 1, 1 )PR R P λ λ λ λ λ λ

. ( 2, 1,1).( 4 2 , 5 , 1 ) 0 1 (3,1,4)ru PR λ λ λ λ R

Hemos obtenido el mismo punto que por el procedimiento anterior.

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6ª.- Punto simétrico a otro respecto a una recta

Se llama punto simétrico P’, de un punto P, respecto a una recta r, al punto que se encuentra a la misma distancia de r que P y en la perpendicular a la recta r que pasa por P, es decir, el punto P y su simétrico P’ forman un segmento cuyo punto medio es la proyección de P sobre la recta r.

P’ r

R = MPP’

'

'

2PP

P PR M

P

Podemos localizar el punto R, por cualquiera de los dos métodos descritos en la pregunta anterior, y a continuación aplicar que dicho punto es el punto medio del segmento PP’.

Ejercicio 7 – 3º

Halla la distancia del punto P = (5, 6, 6) a la recta r = (5λ, 2 – λ, λ). Hazlo por los dos métodos.

Solc: 5 2 u

Ejercicio 7 – 4º

Calcula las coordenadas del punto A’ que es simétrico a A = (-3, 1, -7), respecto a la recta r = (-1 + λ, 3 + 2λ, -1 + 2λ).

Solc: A’ = (-3, -3, -3)

Ejercicio 7 – 5º

Halla las coordenadas del punto o puntos de la recta r = (λ, 3 –λ, 1 + 2λ) cuya

distancia al punto P = (1, 0, 2), vale 11 u.

Solc: Hay dos puntos A = (0, 3, 1) y B = (2, 1, 5)

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7ª.- Distancia de un punto a un plano

Se llama distancia de un punto P = (px, py, pz) a un plano π, a la distancia de P a su proyección sobre el plano π.

. P

π

d(P, π) = d(P, Q) =

| |PQ

Q

Para localizar el punto Q, podemos seguir cualquiera de estos tres procesos:

1º.- Hallar la ecuación de la recta r que pasa por P y es perpendicular a π, y buscar la intersección de la recta con el plano.

2º.- A partir de las ecuaciones paramétricas del plano π, escribimos las coordenadas del punto Q desconocido que quedarán expresadas en función de los

parámetros λ y µ. A continuación hallamos las coordenadas del vector

PQ e

imponemos la condición de perpendicularidad entre el vector

PQ y los vectores

dirección del plano

πu y

πv , es decir,

. 0 . 0π π

PQ u y PQ v

Obteniendo los valores de λ y µ que nos permite identificar a Q.

3º.- Aplicando la siguiente fórmula:

2 2 2

| . . . |( , ) x y z

a p b p c p dd P π

a b cu

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Ejemplo 7 – 2º

Calcula la distancia del punto P = (3, 1, 7) al plano π de ecuación x – 3y + 5z – 1 = 0

Primer método:

Recta r que pasa por P y es perpendicular a π:

3(3,1,7)1 3

(1, 3,5) 7 5r

x λPr y λ

u n z λ

Intersección de la recta r con el plano π:

Sustituimos las coordenadas de r en la ecuación de π y obtenemos el valor de λ

34 71 137 15

(3 ) 3(1 3 ) 5(7 5 ) 1 0 ( , , )35 35 35 7

λ λ λ λ Q

2

( , ) ( , ) | | 40460 34 35( , ) ( , ) | |34 102 34 3535( , , )

35 35 7

d P π d P Q PQd P π d P Q PQ

PQ Q P

u

Segundo método:

Escribimos el plano x – 3y + 5z – 1 = 0 en paramétricas:

1 3 5x β μy βz μ

El punto Q buscado tiene de coordenadas Q = (1 + 3β - 5µ, β, µ), y forma con el punto P un vector,

PQ , perpendicular a los vectores directores del plano,

πu = (3, 1, 0) y

πv = (-5, 0, 1) . Por tanto el

producto escalar del vector

PQ con cada uno de los vectores directores del plano tiene que ser nulo

(1 3 5 , , ) (3,1,7) ( 2 3 5 , 1, 7)PQ Q P β μ β μ β μ β μ

. (3,1,0).( 2 3 5 , 1, 7) 0 10 15 7 0πu PQ β μ β μ β μ

. ( 5,0,1).( 2 3 5 , 1, 7) 0 15 26 3 0πV PQ β μ β μ β μ

Resolviendo el sistema

10 15 715 26 3β μβ μ

, obtenemos los valores de β = 137/35 y µ = 15/7,

que nos proporcionan el valor del punto Q = 71 137 15( , , )35 35 7

Hemos obtenido el mismo punto Q que por el procedimiento anterior.

Tercer método:

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto P a un plano π:

2 2 2 2 2 2

| . . . | |3 3.1 5.7 1| |34| 34 35( , )

35351 ( 3) 5

x y za p b p c p dd P π

a b cu

Que evidentemente es mas rápida y cómoda.

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8ª.- Simétrico de un punto respecto a un plano

El punto simétrico a un punto P respecto a un plano π, es un punto P’, que se encuentra del plano π a la misma distancia que P, y en la perpendicular al plano trazada desde el punto P.

En el dibujo podemos observar que el punto P’, simétrico a P, forma un segmento PP’ cuyo punto medio Q, es la proyección de P sobre el plano π.

. P π

'

'

2PP

P PQ M

Q

. P’

Podemos localizar el punto Q por cualesquiera de los dos primeros métodos de la pregunta anterior y aplicar que Q es el punto medio del segmento PP’ para obtener las coordenadas de P’.

Ejercicio 7 – 6º

Calcula la distancia de los puntos P = (8, 5, -6) Q = (3, 0, 0) y R = (0, 0, 0) al plano

: 2 2 3 0π x y z . Hazlo por los tres métodos.

Soluc: d(P,π) = 11 u d(Q,π) = 2 u d(P,π) = 1 u

Ejercicio 7 – 7º

Halla el punto simétrico de P = (1, 0, 1) respecto al plano : 1π x y z

Soluc: P’ = (1/3, 2/3, 1/3)

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9ª.- Distancia entre una recta y un plano

Lo primero que tenemos que analizar es la posición relativa entre la recta r y el plano π, ya que, si la recta está contenida en el plano, o es secante a él, la distancia entre la recta y el plano es 0.

Si la recta es paralela al plano, la distancia entre r y π es la distancia de cualquier punto de la recta al plano, como se puede observar en el esquema.

. P r

π ( , ) ( , )r

d r π d P π

10ª.- Distancia entre dos planos

Lo primero que hay que averiguar es la posición relativa de los planos π y π’, ya que, si los planos son coincidentes o se cortan en una recta, la distancia entre ellos es 0.

Si los planos son paralelos, la distancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de ellos, al otro.

π

. P

( , ') ( , ')π

d π π d P π

π’

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11ª.- Distancia entre dos rectas

En primer lugar hay que averiguar la posición relativa entre ellas, ya que, si las rectas r y s son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es 0.

Si las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es la distancia de cualquier punto de una de ellas a la otra.

r

Pr .

s ( , ) ( , )r

d r s d P s

Si las rectas se cruzan, podemos proceder de dos formas:

1ª.- Hallar el plano π, que contiene a una de las rectas y es paralelo a la otra. La distancia de esta recta al plano π es la distancia entre ambas rectas.

2ª.- Tomar un punto R, genérico de la recta r, cuyas coordenadas dependerán del parámetro λ; y un punto S, genérico de la recta s, cuyas

coordenadas dependerán del parámetro µ. Formamos el vector

RS , cuyas

coordenadas dependerán de los dos parámetros, λ y µ. A continuación imponemos la condición de que este vector tiene que ser perpendicular a las dos rectas, es decir:

. 0 . 0r sRS u y RS u

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, λ y µ. Resolviéndolo obtenemos los valores de λ y µ, y, por tanto, los valores de las coordenadas de los puntos R y S, cuya distancia es la distancia entre las dos rectas.

r r

P R

s π s

S

( , ) ( , )r s

d r s d P π ( , ) ( , )d r s d R S

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Ejemplo 7 - 3º

Hallar la distancia entre las rectas: r = (5 + λ, -1, 8 + 2λ) y s = (4 + 3µ, 3 - µ, 5 + 4µ).

Puedes comprobar que las rectas r y s se cruzan.

Primer método:

Hallamos el plano π que contiene a r y es paralelo a s

(5, 1,8)

; 2 2 0(1,0,2)(2,2, 1)

(3, 1,4)

π rπ r s

π s

P

π x y z du vn u u

v u

2.5 2.( 1) 8 0 0 ; 2 2 0d d π x y z

|2.4 2.3 5| 9( , ) ( , ) ( , ) (4,3,5),2 2 0 3

34 4 1r s rd s r d s π d P π d x y z u

Segundo método:

Punto genérico de r: R = (5 + λ, -1, 8 + 2λ) Punto genérico de s: S = (4 + 3µ, 3 - µ, 5 + 4µ)

Vector

RS

4 3 , 3 , 5 4 5 , 1, 8 2 ( 1 3 ,4 , 3 4 2 )RS S R µ µ µ λ λ μ λ μ μ λ

Buscamos el vector

RS que se a perpendicular a las dos rectas, es decir:

. ( 1 3 ,4 , 3 4 2 ).(1,0,2) 0 5 11 7 0 32

. ( 1 3 ,4 , 3 4 2 ).(3, 1,4) 0 11 26 19 0

r

s

RS u μ λ μ μ λ λ μ λμ

RS u μ λ μ μ λ λ μ

Sustituyendo en r y en s, obtenemos los puntos R = (8, -1, 14) y S = (10, 1, 13)

( , ) ( , ) | | |( 2, 2,1)| 4 4 1 3d s r d S R SR u

Como es lógico, la misma distancia que por el procedimiento anterior.

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Ejercicio 7 – 8º

Calcula la distancia entre:

a) La recta r:

13 2

5 2 1

yx z y el plano π: x – 3y – z + 6 = 0.

b) Los planos π: x – 5y + 2z – 19 = 0 y π’: 2x – 10y + 4z = 0

c) La recta r = (1 - 3λ, 2 + λ, 1 – λ) y el plano π: x + 3y = 0

Soluc: a) 8 11

11

u b) 19 30

30

u c) 7 10

10

u

Ejercicio 7 – 9º

Calcula la distancia entre cada par de rectas:

a)

13 12 6: 2 : 6

8 5 9

x λ xr y s y μ

z λ z b)

5 5 7: 2 : 1 5

1 5

x λ x μr y λ s y μ

z λ z μ

Soluc: a) 13 u b) 0

Ejercicio 7 – 10º

Calcula el punto de la recta

5: 1

2 2

x λr y λ

z λ que equidista de los puntos P = (1, 0, -1)

y Q = (2, 1, 1) Soluc: R = (4, -2, 0)

Ejercicio 7 – 11º

Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P = (2, -1, 1) y corta

perpendicularmente a la recta

3: 1 2

3

x λr y λ

z λ Soluc:s = (2 + 8λ, -1 + 2λ, 1 - 4λ)

Ejercicio 7 – 12º

Sean las rectas

11 4 11 9: 5 2 : 5 5

7 3 7 7

x λ x μr y λ s y μ

z λ z μ y el plano π: 2x – 5y + 3z – 4 = 0

a) Calcula el ángulo que forman r y s.

b) Calcula el ángulo que forma la recta r con el plano.

c) Halla la distancia entre los puntos de corte de r y s con el plano π.

Soluc: a) 2º 5’ b) 12º 10’ 23’’ c) 3 u

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Ejercicio 7 – 13º

a) Halla el área del triángulo determinado por los puntos de corte del plano π: 3x + y + 2z – 6 = 0 con los ejes de coordenadas.

b) Halla el volumen de la pirámide determinada por esos tres puntos y el origen de coordenadas.

Soluc: a) 3 14 u2 c) 6 u

3

Ejercicio 7 – 14º

Un tetraedro tiene por vértices A = (2, 1, 0), B = (3, 4, 0), C = (5, 1, 0) y D. El vétrice D es un punto de la recta r = (1 – λ, 2 + λ, 3 + λ).

Halla las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro se de 6 u3.

Soluc: Hay dos soluciones D = (0, 3, 4) y D = (8, -5, -4)

Ejercicio 7 – 15º

Comprueba que las rectas

1 7 3: 5 : 5

7

x x μr y λ y s y μ

z λ z se cruzan, y halla la

ecuación de la recta t que corta a las dos y es perpendicular a ellas.

Soluc:

1: 3 3

2 3

x λt y λ

z λ