Tema 4 Álgebra Lineal: Aplicaciones Lineales

Definiciones basicasAplicaciones lineales

Nucleo, imagen y rango de una aplicacion linealClasificacion de una aplicacion lineal

Matriz de una aplicacion linealEcuacion matricial de una aplicacion lineal

Aplicaciones linealesEstudios de Ingenierıa

Juan Gabriel Gomila

Frogames

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10 de febrero de 2016

Juan Gabriel Gomila Tema 4 - Aplicaciones lineales




Indice1 Definiciones basicas2 Aplicaciones lineales

La aplicacion identidadLa aplicacion constanteDefinicion de aplicacion linealPropiedades

3 Nucleo, imagen y rango de una aplicacion linealNucleoImagenRango

4 Clasificacion de una aplicacion lineal5 Matriz de una aplicacion lineal

ConstruccionDefinicion

6 Ecuacion matricial de una aplicacion linealConstruccionDefinicion





1 Definiciones basicas2 Aplicaciones lineales

La aplicacion identidadLa aplicacion constanteDefinicion de aplicacionlinealPropiedades

3 Nucleo, imagen y rango deuna aplicacion lineal

NucleoImagen

Rango

4 Clasificacion de unaaplicacion lineal

5 Matriz de una aplicacionlineal


6 Ecuacion matricial de unaaplicacion lineal






Definiciones basicas

Aplicacion entre dos conjuntos

Sean A y B dos conjuntos dados. Una aplicacion de A en B esuna correspondencia que a cada elemento x ∈ A le asocia un, ysolo un, elemento y ∈ B

Figura: Ejemplos de correspondencias que no son aplicaciones






Aplicacion exhaustiva

Sea f : A −→ B una aplicacion. Dıcese que f es exhaustiva si ysolo si f (A) = B. Es decir, si todos los elementos de B tienen unaanti-imagen o antecedente.

∀ b ∈ B∃ a ∈ A : f (a) = b






Figura: La aplicacion de la izquierda es exhaustiva. La de la derecha no loes (el numero 3 no tiene ninguna anti-imagen)






Aplicacion exhaustiva

Sea f : A −→ B una aplicacion. Se dice que f es inyectiva sidistintos elementos de A tienen distinta imagen.

x , y ∈ A, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)

Esto es equivalente a decir que si dos elementos tienen la mismaimagen para f entonces son el mismo elemento:

f (x) = f (y)⇒ x = y






De la definicion anterior se deduce que cada elemento de B tendracomo maximo una anti-imagen. En otras palabras, la anti-imagende un elemento de B es o bien un elemento de A o bien elconjunto vacıo.






Figura: La aplicacion de la izquierda es inyectiva. La de la derecha no loes (el numero 4 tiene dos anti-imagenes para f ).






Aplicacion biyectiva

Sea f : A −→ B una aplicacion. Dıcese que f es biyectiva si esinyectiva y exhaustiva a la vez. El concepto equivale a decir que:

∀ b ∈ B ∃!a ∈ A : f (a) = b






Figura: Todo elemento de B tiene una, y solo una, unica anti-imagenpara f









NucleoImagen

Rango











La aplicacion identidad

Considerese un espacio vectorial E y la aplicacion identidad quetransforma cada vector de E en el mismo:

I : E → E ,x 7→ x .

En primer lugar se estudiara si existe alguna relacion entre laimagen de una suma de vectores I (x + y) y las imagenes de cadauno de los sumandos I (x), I (y).






La aplicacion identidad - Lineal para la suma

Por definicion de la aplicacion identidad:

I (x + y) = x + y

Por otro lado:

I (x) = xI (y) = y

}⇒ I (x) + I (y) = x + y

Y por tanto se puede escribir que:

I (x + y) = x + y = I (x) + I (y)

Aplicacion lineal para la suma

La imagen de la suma es la suma de imagenes.






La aplicacion identidad - Lineal para el producto por escalar

En segundo lugar se estudiara si existe alguna relacion entre laimagen de un escalar por un vector I (λx) y la imagen del vectorI (x).Por definicion de aplicacion identidad:

I (λx) = λx

Por tanto podemos escribir que:

I (λx) = λx = λI (x)

Aplicacion lineal para el producto por escalar

La imagen del producto de un escalar por un vector es el escalarpor la imagen del vector.









NucleoImagen

Rango











La aplicacion constante

Se vera ahora la aplicacion definida en R que transforma cadanumero real en el numero 2

f : R→ R,x 7→ 2.

Como antes, se va a estudiar la relacion entre la imagen de unasuma de vectores f (x + y) y las imagenes de cada uno de lossumandos f (x), f (y).






La aplicacion constante - Lineal para la suma

Por definicion de la aplicacion constante:

f (x + y) = 2

Por otro lado:

f (x) = 2f (y) = 2

}⇒ f (x) + f (y) = 2 + 2 = 4

Y por tanto se puede escribir que:

f (x + y) = 2 6= 4 = f (x) + f (y)

Aplicacion no lineal para la suma

La imagen de la suma NO es la suma de imagenes.






La aplicacion constante - Lineal para el producto porescalar

En segundo lugar se estudiara si existe alguna relacion entre laimagen de un escalar por un vector f (λx) y la imagen del vectorf (x).Por definicion de la aplicacion constante:

f (λx) = 2

Por tanto podemos escribir que:

f (λx) = 2 6= 2λ = λf (x)

Aplicacion no lineal para el producto por escalar

La imagen del producto de un escalar por un vector NO es elescalar por la imagen del vector.









NucleoImagen

Rango











Aplicacion lineal

La aplicacion identidad del primer ejemplo es una aplicacionlineal.La apliacion constante del segundo ejemplo NO es una aplicacionlineal.






Aplicacion lineal

Aplicacion lineal

Sea E y F dos espacios vectoriales sobre K. Tengase unaaplicacion f dada por:

f : E → F ,x 7→ f (x).

Dıcese que f es una aplicacion lineal si se verifica que:

1 ∀ ~x , ~y ∈ E , f (~x + ~y) = f (~x) + f (~y)

2 ∀ λ ∈ K, ∀~x ∈ E , f (λ~x) = λf (~x)






Aplicacion lineal

Las dos condiciones anteriores son equivalentes a una tercera:

Aplicacion lineal(II)

∀ λ, µ ∈ K, ~x , ~y ∈ E , f (~λx + µ~y) = λf (~x) + µf (~y)

Normalmente comprobar las dos condiciones por separado suele sermas sencillo a la hora de realizar operaciones. Comprobar una solapuede ahorrar tiempo pero habra que tener cuidado pues a partirde ahora se tendran mas variables que en el primer caso.






Aplicacion lineal

Ejercicios

Estudiar si la siguiente aplicacion es o no lineal:

f : K2 → K,(x , y) 7→ x .

Esta aplicacion recibe el nombre de primera proyeccion.






Aplicacion lineal

1 Lineal para la suma

f ((x1, y1) + (x2, y2)) = f (x1 + x2, y1 + y2) = x1 + x2

f (x1, y1) = x1

f (x2, y2) = x2

}⇒ f (x1, y1) + f (x2, y2) = x1 + x2

Y por lo tanto:

f ((x1, y1) + (x2, y2)) = x1 + x2 = f (x1, y1) + f (x2, y2)

2 Lineal para el producto por escalar

f (λ(x , y)) = f (λx , λy) = λx = λf (x , y)









NucleoImagen

Rango











Preguntas

¿Cuando se dice que una aplicacion es lineal?

f : E → F ,x 7→ f (x).

Se va a intentar responder a preguntas del estilo:

1 ¿Cual sera la imagen del elemento neutro de E?

2 ¿Existe una relacion entre la imagen de un vector f (~x) y la desu opuesto f (−~x)?

Estas preguntas surgen de forma natural debido a lasparticularidades de E por ser un espacio vectorial (contiene elneutro, los opuestos...).






Preguntas

Veamoslo con el siguiente ejemplo de la primera proyeccionanterior, que asocia a cada vector su primera coordenada:

f : K2 → K,(x , y) 7→ x .

1 La aplicacon envıa el vector nulo ~0E = (0, 0) a su primeracoordenada que es el numero cero: f (0, 0) = 0. Es decir, laimagen del vector nulo de K2 es el vector nulo de K. ¿Serasiempre ası?

2 Como f (−x ,−y) = −x y f (x , y) = x , entoncesf (−x ,−y) = −x ,= −f (x , y). Es decir, la imagen del vectoropuesto de un vector ~∈E Es el opuesto de la imagen de ~v porf . ¿Sera siempre ası?






La imagen del vector nulo

Propiedad

Dada una aplicacion lineal

f : E → F ,x 7→ f (x).

La imagen del vector nulo ~0E de E es el vector nulo ~0F de F

f (~0E ) = ~0F






La imagen del vector nulo

Demostracion

1 El vector nulo ~0E es el neutro de la suma de E , por tanto:

∀~x ∈ E ⇒ ~x +~0E = ~x

2 Como ~x +~0E = ~x , entonces: f (~x +~0E ) = f (~x).

3 Como f es lineal: f (~x +~0E ) = f (~x) + f (~0E ).

4 Entonces de 2 y 3, se obtiene: f (~x) + f (~0E ) = f (~x) Donde, enefecto f (~0E ) es el elemento neutro de la suma de F :

f (~0E ) = ~0F






La imagen del vector opuesto

Propiedad

Dada una aplicacion lineal:

f : E → F ,x 7→ f (x).

La imagen del vector opuesto es el opuesto de la imagen del vectororiginal:

f (−~x) = −f (~x)






La imagen del vector opuesto

Demostracion

1 La suma de un vector y su opuesto es el elemento neutro.

∀~x ∈ E ⇒ ~x + (−~x) = ~0E

2 Como ~x + (−~x) = ~0E , entonces: f (~x + (−~x)) = f (~0E ).

3 Como f es lineal: f (~x + (−~x)) = f (~x) + f (−~x).

4 Entonces de 2 y 3, se obtiene: f (~x) + f (−~x) = f (~0E )

5 Pero de la propiedad anterior se sabe que f (~0E ) = ~0F , y portanto f (~x) + f (−~x) = ~0F Donde, por propiedad del elementoneutro f (−~x) ha de ser el opuesto de f (~x):

f (−~x) = −f (~x)





NucleoImagenRango




NucleoImagen

Rango










NucleoImagenRango

Nucleo de una aplicacion lineal

Definicion

Sea la aplicacion lineal

f : E → F ,x 7→ f (x).

Se denomina nucleo de f y se denota como Ker(f ) o Nuc(f ) elconjunto de elementos de E tales que su imagen coincide con elcero de F :

Ker(f ) = {~x ∈ E : f (~x) = ~0F}





NucleoImagenRango


Teorema


f : E → F ,x 7→ f (x).

Entonces el Ker(f ) es un subespacio vectorial de E .





NucleoImagenRango


Ejercicios


f : R3 → R2,(x , y , z) 7→ (x + y − 2z , x − y + z).

Hallese el Ker(f ) y una nueva base suya.





NucleoImagenRango


Solucion

Un elemente del nucleo de f cumple la ecuacion:

f (x , y , z) = (x + y − 2z , x − y + z) = (0, 0)

Si se resuelve el sistema pertinente se obtiene que:

x = x , y = 3x , z = 2x

Donde:

Ker(f ) = {(x , y , z) ∈ R3 : y = 3x , z = 2x} = 〈(1, 3, 2)〉





NucleoImagenRango


Teorema

Una aplicacion lineal f : E → F es inyectiva si y solo si el nucleode f se reduce al neutro de E .

f inyectiva⇐⇒ Ker(f ) = {~0E}





NucleoImagenRango


Teorema

Sea:~x1, ~x2, · · · ~xn

Un conjunto de vectores linealmente independientes del espaciovectorial E y f : E → F es una aplicacion lineal inyectiva entonces:

f (~x1), f (~x2), · · · , f (~xn)

Son vectores linealmente independientes pertenecientes a F .





NucleoImagenRango




NucleoImagen

Rango










NucleoImagenRango

Imagen de una aplicacion lineal

Definicion


f : E → F ,x 7→ f (x).

Se denomina imagen de f y se denota por Im(f ) al conjunto deelementos de F que tienen una anti-imagen para f :

Im(f ) = {~y ∈ F : ∃~x ∈ E tq f (~x) = ~y}





NucleoImagenRango


Teorema

Tengase la aplicacion lineal:

f : E → F ,x 7→ f (x).

Entonces el Im(f ) es un subespacio vectorial de E .





NucleoImagenRango


Ejercicios

Tengase la aplicacion lineal:

f : R3 → R2,(x , y , z) 7→ (x + y − 2z , x − y + z).

Encuentrese el Im(f ) y una base suya.





NucleoImagenRango


Solucion

Un elemento de la imagen de f es de la forma:

f (x , y , z) = (x+y−2z , x−y+z) = (x , x)+(y ,−y)+(−2z , z) = x(1, 1)+y(1,−1)+z(−2, 1)

Por tanto los vectores (1, 1), (1,−1), (−2, 1) forman un sistemagenerador de Im(f ). Como R2, el maximo numero de vectores LIson 2, se destinan dos, por ejemplo(1, 1), (1,−1), para formar unabase de la imagen de f .





NucleoImagenRango


Teorema

Si E es un espacio vectorial de dimension finita n y se tiene laaplicacion lineal f : E → F . Entonces Im(f ) es de dimension finitamenor o igual que n

dim Im(f ) ≤ n





NucleoImagenRango


Teorema - Las dimensiones del nucleo de la imagen

Sean E y F espacios vectoriales sobre K y la aplicacion linealf : E → F . Si la dimension de E es finita, entonces se puedeasegurar:

dim Ker(f ), dim Im(f ) son finitos.

dim E = dim Ker(f ) + dim Im(f )





NucleoImagenRango




NucleoImagen

Rango










NucleoImagenRango

Rango de una aplicacion lineal

Rango de una aplicacion lineal

Sea f : E → F una aplicacion lineal con dim E .Se denominarango de f a la dimension del subespacio vectorial imagen de f

rang(f ) = dim Im(f )








NucleoImagen

Rango










Clasificacion de una aplicacion lineal

Sea f : E → F una aplicacion lineal.

Monomorfismo

Si f es injectiva, entonces se denomina monomorfismo

Epimorfismo

Si f es exhaustiva, entonces se denomina epimorfismo

Isomorfisme

Si f es biyectiva, entonces se denomina isomorfismo






Sea f : E → E una aplicacion lineal.

Endomorfismo

Una aplicacion de un espacio en el mismo se denominaendomorfismo

Automorfismo

Un endomorfismo biyectivo se denomina automorfismo






Teorema

Sean E y F espacios vectoriales de dimension finita sobre K yf : E =⇒ F una aplicacion lineal, entonces son equivalentes:

f es un isomorfismo

dim E = dim F

Ker(f ) = {0E}









NucleoImagen

Rango











Ejemplo

Antes de definir la matriz de una aplicacion lineal se va a deducirla forma con un ejemplo familiar.






Ejemplo

Ejemplo

Sea f : R2 =⇒ R3 la aplicacin lineal definida por:f (x , y) = (x + y , y − 2x , x + y)






Ejemplo

Ejemplo

1 Obtenganse las imagenes de los vectores de la base canonicaBC de R2

2 Obtenganse las imagenes de los vectores de la baseBE = {(1,−1), (2, 1)} de R2

3 Obtenganse las imagenes de los vectores de la base canonicade R2 expresados en la baseBF = {(1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1)} de R3

4 Obtenganse las imagenes de los vectores de la baseBE = {(1,−1), (2, 1)} de R2 expresados en la baseBF = {(1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1)} de R3






Ejemplo

Solucion 1

f (x , y) = (x + y , y − 2x , x + y)

Obtenganse las imagenes de los vectores de la base canonica BC

de R2

Como BC = {(1, 0), (0, 1)}, entonces:

f (1, 0) = (1 + 0, 0− 2, 1 + 0) = (1,−2, 1)

f (0, 1) = (1, 1, 1)






Ejemplo

Si se colocan las coordenadass de f (1, 0) y f (0, 1) como columnasde una matriz, se obtiene: 1 1

−2 11 1

Entonces:

(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

1 1−2 1

1 1

Se calculan las imagenes de los vectores de la base canonica de R2

y estas imagenes vienen dadas en la base canonica de R3






Ejemplo

Solucion 2

f (x , y) = (x + y , y − 2x , x + y)

Obtenganse las imagenes de los vectores de la baseBE = {(1,−1), (2, 1)} de R2

Analogamente:

f (1,−1) = (1 + (−1),−1− 2, 1 + (−1)) = (0,−3, 0)

f (2, 1) = (3,−3, 3)






Ejemplo

Si se colocan las coordenadas de f (1,−1) y f (2, 1) como columnasde una matriz, se obtiene: 0 3

−3 −30 3

Entonces:

(f (1,−1), f (2, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

0 3−3 −3

0 3

Si se calculan las imagenes de los vectores de la base BE de R2,estas imagenes vienen dadas en la base canonica de R3






Ejemplo

Solucion 3

f (x , y) = (x + y , y − 2x , x + y)

Obtenganse las imagenes de los vectores de la base canonica de R2

expresados en la base BF = {(1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1)} de R3

Se calcula la imagen de los vectores de la base canonica para f :

f (1, 0) = (1,−2, 1)

f (0, 1) = (1, 1, 1)

Donde los resultados se encuentran en la base canonica BC .






Ejemplo

Para pasar de BC a la base BF de R3 se ha de hacer un cambio debase:

BCP−→ BF

(1,−2, 1)CP−→ (a, b, c)BF

(1, 1, 1)CP−→ (m, n, p)BF

Segun la definicion de matriz de cambio de base P, sera la matrizlas columnas de la cual son las coordenadas de los vectores de labase BC expresados en la base BF . Se tiene justo lo contrario; esdecir, las coordenadas de BF en la base BC , por tanto se calculara

la matriz de cambio de base BFQ−→ BC , y la matriz P sera la

inversa de Q.






Ejemplo

Q = P−1 =

1 1 1−1 0 1

0 −1 1

P =

1

3

1 −2 11 1 −21 1 1






Ejemplo

(1,−2, 1)CP−→ (a, b, c)BF

P

1−2

1

C

=

abc

BF

1

3

1 −2 11 1 −21 1 1

1−2

1

C

=

abc

BF

Por tanto (a, b, c) = (2,−1, 0).






Ejemplo

(1, 1, 1)CP−→ (m, n, p)BF

P

111

C

=

mnp

BF

1

3

1 −2 11 1 −21 1 1

111

C

=

mnp

BF

Por tanto (a, b, c) = (0, 0, 1).






Ejemplo

Si se colocan las coordenadas de f (1, 0) y f (0, 1) como columnasde una matriz se obtiene: 2 0

−1 00 1

Entonces:

(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1))

2 0−1 0

0 1

Se calculan las imagenes de los vectores de la base canonica BC deR2 y estas imagenes vienen dadas en la base BF de R3






Ejemplo

Solucion 4

f (x , y) = (x + y , y − 2x , x + y)

Obtenganse las imagenes de los vectores de la baseBE = {(1,−1), (2, 1)} de R2 expresados en la baseBF = {(1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1)} de R3

Si se calcula la imagen de los vectores de la base BE por f ,

f (1,−1) = (0,−3, 0)C

f (2, 1) = (3,−3, 3)C

Donde los resultados se encuentran en la base canonica BC .






Ejemplo

Para pasar de BC a la base BF de R3 ha de hacerse un cambio debase:

BCP−→ BF

(0,−3, 0)CP−→ (a, b, c)BF

(3,−3, 3)CP−→ (m, n, p)BF

Empleando la misma matriz de cambio de base P anterior, seobtiene que:

(a, b, c)BF= (2,−1,−1)

(m, n, p)BF= (4,−2, 1)






Ejemplo

Si se colocan las coordenadas de f (1,−1) y f (2, 1) como columnasde una matriz se obtiene: 2 4

−1 −2−1 1

Entonces:

(f (1,−1), f (2, 1)) = ((1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1))

2 4−1 −2−1 1

Se calculan las imagenes de los vectores de la base BE de R2 yestas imagenes vienen dadas en la base BF de R3






Resumen

En todos los casos anteriores se han calculado las imagenes de losvectores de una base del espacio de origen y se han expresado enuna cierta base del espacio de destino. Estas matrices son lasmatrices asociadas de la aplicacion lineal.






Ejemplo

En el caso 1 1 1−2 1

1 1

Ademas f (1, 0) = (1,−2, 1)C y f (0, 1) = (1, 1, 1)C respecto de labase canonica de R2 y la base canonica de R3

(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

1 1−2 1

1 1






Ejemplo

En el caso 2 0 3−3 −3

0 3

Ademas f (1,−1) = (0,−3, 0)C y f (2, 1) = (3, 3, 3)C respecto dela base BE de R2 y la base canonica de R3

(f (1,−1), f (2, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

0 3−3 −3

0 3






Ejemplo

En el caso 3 2 0−1 0

0 1

Ademas f (1, 0) = (2,−1, 0)BF

y f (0, 1) = (0, 0, 1)BFrespecto de

la base canonica de R2 y la base BF de R3

(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1))

2 0−1 0

0 1






Ejemplo

En el caso 4 2 4−1 −2−1 1

Ademas f (1,−1) = (2,−1,−1)BF

y f (2, 1) = (4,−1, 1)BF

respecto de la base BE de R2 y la base BF de R3

(f (1,−1), f (2, 1)) = ((1,−1, 0), (1, 0,−1), (1, 1, 1))

2 4−1 −2−1 1









NucleoImagen

Rango











Matriz de una aplicacion lineal

Sean E y F espacios vectoriales de dimensiones p y qrespectivamente con BE = {~u1, ~u2, · · · , ~up} una base de E ,BF = {~v1, ~v2, · · · , ~vq} una base de F y f : E −→ F una aplicacionlineal.

Definicion

Se denomina matriz de f respecto de las bases BE ,BF a aquellaque tiene por columnas las coordenadas de los vectores

(f (~u1), f (~u2), · · · , f (~up))

en la base BF = {~v1, ~v2, · · · , ~vq}







Las imagenes de los vectores de la base BE en la base BF vienendados por:

f (~u1) ∈ F =⇒ f (~u1) = a11~v1 + a21~v2 + · · ·+ aq1~vq

f (~u2) ∈ F =⇒ f (~u2) = a12~v1 + a22~v2 + · · ·+ aq2~vq

· · ·

f (~up) ∈ F =⇒ f (~up) = a1p~v1 + a2p~v2 + · · ·+ aqp~vq







Esta expresion en forma matricial serıa:

(f (~u1), f (~u2), · · · , f (~up)) = (~v1, ~v2, · · · , ~vq)

a11 a12 · · · a1p

a21 a21 · · · a2p...

.... . .

...aq1 aq2 · · · aqp

Donde la columna i contiene las coordenadas del vector f (~ui ) en labase BF . La matriz A sera de tamano q × p con p dimension de Ey q dimension de F .

(f (~u1), f (~u2), · · · , f (~up)) = (~v1, ~v2, · · · , ~vq)A







Ejercicios

Sea B1 = {(1, 1, 0), (−1, 1, 2), (0, 2, 1)} una base de R3 yB2 = {(1, 1, ), (−1, 1)} una base de R2. Considerese f : R3 −→ R2

la aplicacion lineal tal que:

f (x , y , z) = (x + y − 2z , x − y + z)

Obtengase la matriz asociada a f respecto de las bases B1 de R3 yB2 de R2







1. Calculense las imagenes de los vectores de B1 en la basecanonica

f (1, 1, 0) = (2, 0)C

f (−1, 1, 2) = (−4, 0)C

f (0, 2, 1) = (0,−1)C







2. Calculese la matriz de cambio de base de BC a B2

Se va a pasar de la base canonica a la base B2.

Como se sabe B2 en la base canonica, se tiene B2Q−→ BC

Q =

(1 −11 1

)Por tanto la matriz de cambio de base es

P = Q−1 = 12

(1 1−1 1

)~xB2 = P~xBC







3. Expresar los vectores en la nueva base B2

~xB2 = P

(20

)=

(1−1

)B2

~xB2 = P

(−4

0

)=

(−2

2

)B2

~xB2 = P

(0−1

)=

( −12−12

)B2







4. La matriz de la aplicacion lineal

Entonces la matriz es: (1 −2 −1/2−1 2 −1/2

)(f (1, 1, 0), f (−1, 1, 2), f (0, 2, 1)) =

((1, 1), (−1, 1))

(1 −2 −1/2−1 2 −1/2

)









NucleoImagen

Rango












Sea f : E −→ F una aplicacion lineal, A la matriz asociada a frespecto de las dos bases BE y BF de E y F respectivamente. Seva a hallar una relacion entre las coordenadas en base BE de unvector ~x ∈ E y las coordenadas en la base BF del vector f (~x) ∈ F .









NucleoImagen

Rango











Ejemplo

Ejemplo

Sea f : R2 −→ R3 la aplicacion lineal tal que su matriz asociada enbase canonica de R2 y la base canonica de R3 es: 1 1

−2 11 1

Calculense las coordenadas del vector imagen de~c = (2,−1)C ∈ R2 expresadas en la base canonica.






Ejemplo

(2,−1)C = 2(1, 0) + (−1)(0, 1) = ((1, 0), (0, 1))

(2−1

)Aplicando f en los dos lados de la igualdad, como ambosmiembros son iguales y f es una aplicacion (un mismo elemento deorigen no puede tener dos imagenes diferentes), sus imagenestambien seran iguales:

f (2,−1)C = f (2(1, 0) + (−1)(0, 1)) = 2f (1, 0) + (−1)f (0, 1)

= (f (1, 0), f (0, 1))

(2−1

)






Ejemplo

Por definicion la matriz asociada a f respecto a dos bases BE yBF , se sabe que:

(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

1 1−2 1

1 1

Y sustituyendo esta expresion en la anterior, se tiene que:

f (2,−1)C = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

1 1−2 1

1 1

( 2−1

)






Ejemplo

Si se denota por YC las coordenadas del f (2,−1)C en la basecanonica de R3, se puede escribir

(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))

1 1−2 1

1 1

Y sustituyendo esta expresion en la anterior, se obtiene: 1 1

−2 11 1

( 2−1

)= YC =⇒ YC =

1−5

1

C






Planteamiento general

Sea f : E −→ F una aplicacion lineal y A la matriz asociada a frespecto de BE y BF . Sea:

XBEcoordenadas en base BE del vector ~x ∈ E .

YBFcoordenadas en base BF del vector f (~x) ∈ F .

f (BE ) = BF · A






Planteamiento general

Se puede demostrar que

A · XBE = YBF









NucleoImagen

Rango











Ecuacion matricial de una aplicacion lineal

Ecuacion matricial

A · XBE = YBF

Es la ecuacion matricial de la aplicacion lineal que relaciona lascoordenadas de un vector ~x ∈ E en una base BE con lascoordenadas f (~x) en una base BF .







Teorema

Sea A ∈ Mn(K) una matriz cuadrada de tamano n. Sonequivalentes

A es invertible

Los vectores columna de la matriz A son una base de Kn

La aplicacion lineal definida por:

fA : Kn → Kn,X 7→ AX .

Es biyectiva.







Teorema

Sea la aplicacion lineal f : E −→ F ,

A la matriz de la aplicacion lineal en las bases BE y BF ,

C la matriz de la aplicacion lineal en otras bases B ′E y B ′F ,

P la matriz de cambio de base de B ′E a BE (B ′EP−→ BE ),

Q la matriz de cambio de base de B ′F a BF (B ′FQ−→ BF ).

Entonces Q−1 · A · P = C







Figura: Q−1 · A · P = C







Demostracion

Ecuacion matricial de la aplicacion lineal para A, BE y BF :A · XBE = YBF .

Ecuacion matricial de la aplicacion lineal para C , B ′E y B ′F :C · X ′BE = Y ′BF .

Ecuacion de cambio de base de B ′E a BE (B ′EP−→ BE ),

XBE = P · X ′BEEcuacion de cambio de base de B ′F a BF (B ′F

Q−→ BF ),YBF = Q · X ′BF







Demostracion

A · XBE = YBF

XBE = P · X ′BEPor tanto:

A · (P · X ′BE ) = YBF

Ademas:YBF = Q · Y ′BF

Por ello:A · (P · X ′BE ) = Q · Y ′BF







Demostracion

Multiplicando los dos lados por Q−1 y aplicando la propiedadasociativa del producto de matrices se obtiene:

(Q1 · A · P) · X ′BE = Y ′BF

Que es la ecuacion matricial de f en B ′E y B ′F . Por tanto Q1 · A · Psera la matriz asociada a f en estas bases:

Q1 · A · P = C







Corolario

Sea la aplicacion lineal f : E −→ E y sean:

A la matriz de la aplicacion lineal en la base BE ,

C la matriz de la aplicacion lineal en la base B ′E ,

P la matriz de cambio de base de B ′E a BE (B ′EP−→ BE ),

Entonces se cumple que:

P−1 · A · P = C







Figura: P−1 · A · P = C







Ejercicios

Sea la aplicacion lineal f : R2 −→ R3 dada porf (x , y) = (x + y , y − 2x , x + y). Encuentrese la matriz de frespecto de la base canonica de R2 y la baseBF = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0,−2)} de R3.







Sea A la matriz de f asociada en las bases canonicas (calculada enun ejercicio anterior)

A =

1 1−2 1

1 1

P es en este caso la matriz identidad de orden 2 (de la basecanonica a ella misma) y Q la matriz de cambio de base de BF a

la base canonica de R3 (BFQ−→ BC )

Q =

1 0 01 1 00 1 −2







Entonces:

C = Q−1AP =

1 0 0−1 1 0−1/2 1/2 −1/2

1 1−2 1

1 1

( 1 00 1

)=

1 1−3 0−2 −1/2

( 1 00 1

)=

1 1−3 0−2 −1/2


Tema 4 Álgebra Lineal: Aplicaciones Lineales

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