Álgebra Lineal Unidad1

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    lgebra lineal.Informacin general de la asignatura

    Presentacin

    lgebra lineal es una de las ramas de las Matemticas y se basa en el estudio delos siguientes conceptos: vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, ascomo de los espacios vectoriales y transformaciones. Esta asignatura teproporcionar las herramientas para la resolucin de problemas en reas diversasdentro y fuera de las matemticas, por ejemplo: en el anlisis funcional,ecuaciones diferenciales, investigacin de operaciones, grficas por computadoray las diversas reas de estudio de la ingeniera.

    lgebra lineal se aborda en el Segundo cuatrimestre de las Ingenieras enBiotecnologa, en Energas Renovables y en Tecnologa Ambiental. Esta

    asignatura se aplicar en diferentes materias como: clculo diferencial, clculointegral, mtodos numricos, variable compleja y clculo multivariado. Por ejemplo,los sistemas de ecuaciones aparecen en clculo, sea ste real o complejo de una ovarias variables, cuando deseas saber las intersecciones de funciones o la integralde ciertas funciones, las funciones de varias variables pueden ser vistas comovectores. Otra aplicacin de matrices y de sistemas de ecuaciones la encontrarsen mtodos numricos, si pretendes realizar una maximizacin de producciones ouna minimizacin de gastos.

    Mediante el estudio de lgebra lineal podrs adquirir la capacidad de abstraccin yformalizacin de ideas matemticas, as como la comprensin de la relacin entre

    el lgebra lineal, la geometra y el manejo de tcnicas de clculo, a travs delplanteamiento y anlisis de conceptos y problemas especficos del lgebra lineal,ejemplificando stos mediante los procedimientos de sistemas conocidos y/oestableciendo mtodos y algoritmos para su solucin, obteniendo as loselementos que te permitieron fundamentar lo empleado en el anlisis y solucin deproblemas bajo un razonamiento lgico y aplicarlo as en tu mbito profesional.

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    Hay una gran cantidad de ejemplos de aplicaciones y relaciones entre el lgebralineal y otras reas de las Matemticas, de modo que slo se hablar de algunas:en geometra vers que las transformaciones rgidas del espacio puedenrepresentarse por medio de matrices y vectores, o bien, utilizars vectoresdirectores para definir rectas y planos en el espacio tridimensional; en clculo devariables, descubrirs que es ms fcil representar unas funciones por medio devectores y utilizars vectores y matrices para derivar e integrar las funciones.

    Al egresar de la Ingeniera en Biotecnologa, estars preparado para disear

    diferentes modelos biolgicos y obtener productos mediante el uso de loscomponentes de la biodiversidad. Si elegiste la Ingeniera en EnergasRenovables, al egresar sers capaz de disear proyectos alternativos para generarenerga, mediante un anlisis estratgico de los sistemas y dispositivos y suentorno, utilizando tcnicas y herramientas que aseguren la viabilidad del proyecto.Por ltimo, si te decidiste por la Ingeniera en Tecnologa Ambiental podrsprevenir, reducir y controlar las emisiones de contaminantes de acuerdo a lanormatividad vigente y los procesos establecidos.

    Propsito

    lgebra lineal es la columna vertebral de las Matemticas.

    El estudio de esta asignatura te ayudar a plantear y resolver, con mtodosmatemticos, problemas de cualquier rea de ingeniera. Tambin, podrsestablecer modelos que permitan interpretar lo que sucede con las variables queintervienen en alguna situacin especfica que ests analizando, para darrespuesta a las necesidades que surjan en las empresas u organizaciones.

    Competencia general

    Utiliza principios del lgebra lineal mediante la transformacin de los elementos envectores y matrices para la resolucin de problemas en su mbito profesional.

    Estructura temtica

    lgebra lineal consta de tres unidades temticas:

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    Unidad 1. lgebra lineal

    Unidad 2. Matrices

    Unidad 3. Determinantes

    Metodologa de trabajo

    En lgebra lineal se utiliza como metodologa de trabajo el Aprendizaje Basado enProblemas (ABP), en la que a menudo enfrentars situaciones que debersresolver con base en lo que has aprendido en la asignatura.

    El planteamiento de cada problema est diseado para motivar la bsqueda deinformacin para su solucin. Por otro lado, con esta metodologa aprenders aproblematizar una situacin crtica de tu contexto.

    Es importante mencionar que para el logro de la competencia, es fundamentalcumplir cabalmente con todas las actividades planteadas, la ejercitacin deprocedimientos matemticos o ejercicios prcticos, as como el constante estudiode los conceptos que forman parte de la asignatura.

    La finalidad de lgebra lineal no slo es conceptual, sino que la informacinproporcionada sea utilizada o aplicada para la solucin de problemas. En cada unade las unidades que integran la asignatura debers realizar diferentes actividades,rueda de atributos, cadena de secuencias o ejercicios prcticos, las cuales debersenviar a la seccin de Tareas, adems resolvers actividades haciendo uso de las

    herramientas tecnolgicas del Aula virtual.Al final de cada unidad entregars una evidencia de aprendizaje sumativa queformar parte del Portafolio de evidencias. Es importante aclarar las actividadestanto formativas como sumativas debern ser retroalimentadas por tuFacilitador(a).

    Evaluacin

    Recursos y herramientas

    Valor

    Actividades formativas (envos a taller y tareas).

    20%

    Interaccin en el aula y trabajo colaborativo (foro, blog, wiki, base de datos).

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    los problemas. La interpretacin de los resultados te permitir elegir la mejoropcin y de esta manera podrs ofrecer alternativas a la sociedad para que sevean beneficiados con las aplicaciones del lgebra lineal.

    Propsitos de la unidad

    Identificars los aspectos histricos que permitieron el desarrollo del lgebralineal.

    Representars los vectores en el plano y en el espacio para resolverproblemas de distintas reas utilizando vectores.

    Competencia especfica

    Uiliza vectores para resolver problemas de distintas reas mediante el lgebravectorial.

    1.1. Historia del lgebra lineal

    Antecedentes histricos del lgebra lineal

    Ver documento pfd ALI_U1_0A_.PDF

    1.2. Vectores

    En diferentes libros se encuentra el concepto de vector, en la mayora de ellos, serepresenta como una lnea que apunta hacia alguna parte. En diferentes reas de

    las ciencias, se utilizan los vectores para facilitar la informacin que se tiene dealgn fenmeno, proyecto o situacin que se plantea, debido a que representa lainformacin de manera ordenada, general y simple, podra decirse que es unsmbolo general que facilita la representacin de un problema.

    En la vida cotidiana, hemos usado los vectores sin darnos cuenta. Por ejemplo, alver una seal en la carretera en la cual se muestra una flecha, al ver los juegos devideo cuyos controles indican diferentes direcciones para moverse, al ver correr elagua en una pendiente y en varias situaciones ms.

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    Actividad 1. Analisis del problema I

    Antes de definir los conceptos bsicos, participa en el foro Anlisis del problema.

    1. Descargael documento Planteamiento del problema.2. Leecon atencin el planteamiento del problema Sustancias que funcionan como sper protenas.3. Organzate con dos de tus compaeros(as) y elijan a un(a) moderador(a), de tal forma que sea e

    (la) nico(a) que escriba los comentarios del equipo en el foro.4. Despus de leer el problema comenten en equipo los siguientes puntos:

    o Existe claridad en el planteamiento del problema?o Se proporcionan los datos necesarios para resolverlo?o Sugieran propuestas para organizarse e investigar la informacin que consideran que les

    hace falta para poder resolver el problema.

    5. A partir de lo comentado con tu equipo, redactenuna conclusin que aborde los puntostratados. Verifica que la redaccin sea clara y sin errores ortogrficos.

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    Actividad 1. Analisis del problema I

    Antes de definir los conceptos bsicos, participa en el foro Anlisis del problema.

    1. Descarga el documento Planteamiento del problema.2. Lee con atencin el planteamiento del problema Sustancias que funcionan como sper protenas.

    3. Organzate con dos de tus compaeros(as) y elijan a un(a) moderador(a), de tal forma que sea el(la) nico(a) que escriba los comentarios del equipo en el foro.4. Despus de leer el problema comenten en equipo los siguientes puntos:

    o Existe claridad en el planteamiento del problema?o Se proporcionan los datos necesarios para resolverlo?o Sugieran propuestas para organizarse e investigar la informacin que consideran que les

    hace falta para poder resolver el problema.

    5. A partir de lo comentado con tu equipo, redacten una conclusin que aborde los puntostratados. Verifica que la redaccin sea clara y sin errores ortogrficos.

    VER ALI_U1_PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

    6. Una vez que hayan terminado la redaccin de su conclusin, publquenlaen elforo. *Recuerda que el (la) moderador(a) es el (la) encargado(a) de escribir en

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    el foro, sin embargo, todos deben leer la participacin de los (las) demscompaeros(as).

    7. Lee con atencin las participaciones de los (las) dems y si crees que a tuequipo le falt considerar algn aspecto, pueden comentarlo y concluir si lointegran como parte de la investigacin que realizarn.

    8. Investiguenen diversas fuentes la informacin que les hace falta para resolverel problema. *Esta informacin les servir para participar ms adelante en elforo Anlisis del problema II.

    9. Descargala rbrica de foro para conocer las normas de participacin delmismo.

    Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicen lgebra. Se enlistarn las actividades, da clic en Foro: Anlisis del problema I.

    1.2.1. Conceptos bsicos

    Uno de los conceptos ms importantes en Matemticas es el de vector, ya que pormedio de un vector puedes ubicar el lugar en el que se encuentra un avin, unbarco, un automvil, etc. Para determinar la ubicacin de cada uno de ellos, esnecesario, conocer la distancia, la direccin y el sentido.

    Ver ALI_U1-0A-02.PDF

    1.2.2. Magnitud y direccin de un vector

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    Ver ALI_U1-0A-03.PDF

    1.2.3. Vectores en el plano y en el espacio

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    1.2.4. Vectores unitarios

    Un vector unitario es un vector cuya magnitud es igual a 1

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    1.2.5. Componentes de un vector: horizontal y vertical

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    Con la representacin anterior, se dice que vest en trminos de suscomponentes rectangulares.

    1.2.6. Igualdad de vectores

    Vectores iguales Vectores distintos

    Dos vectores son iguales, nicamentecuando cada uno de sus componentesson iguales entre s, es decir, para que losvectores: u=(a, b, c) yv=(d, e, f)seaniguales, entonces, a=d, b=e, c=f.

    Los vectores: u=(2, 3, -5) y v=(2, -3, -5)sondistintos, debido a que el signo de la segundacoordenada de ues diferente de la segundacoordenada de v, por lo cual, no se puededecir que los vectores sean los mismos.

    Si bien, es cierto que dos vectores necesitan tener las mismas coordenadas paraser iguales, a pesar de esto, dos vectores pueden tener diferentes extremos y seriguales.

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    1.3. Operaciones con vectoresDebido a su uso, los vectores poseen ciertas propiedades que permiten sumarlos,restarlos y multiplicarlos, sin estas propiedades, prcticamente seran inservibles,ya que se utilizaran nicamente como una representacin de un problema sinmayor uso.

    Actualmente, se les da un uso similar al de los nmeros racionales, ya que a pesarde no poder colocar todos sus elementos, se sobrentiende la manera en que stosse extienden. Por ejemplo, al colocar una serie de nmeros: 2, 4, 6, 8 , se

    deduce que se deben colocar los nmeros pares, de manera anloga, con el usode vectores se puede escribir u=(2, 4, 6, 8,.) y de igual manera se entiende con

    este lenguaje. A continuacin, vers las operaciones que se pueden efectuar conlos vectores, sus propiedades y algunos de sus usos.

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    1.3.1. Multiplicacin de un escalar por un vector

    Cuando un vector es multiplicado por unescalar,es decir un nmero, puedecausarle un cambio de sentido o de magnitud.

    Si un vector se multiplica por un escalar, el nuevo vector tiene la misma direccin ysentido si el escalar es positivo, pero su magnitud puede ser distinta.

    Los vectores pueden aumentar o disminuir su tamao. Por ejemplo, si se multiplicaun vector por un escalar mayor que 1, aumenta su tamao y si se multiplica por unescalar menor que 1, disminuye el tamao del vector.

    Si un vector se multiplica por un escalar negativo cambia su sentido. El tamao delvector puede aumentar o disminuir si el escalar es mayor o menor que 1.

    Utilizars vectores y los multiplicars por un escalar.

    Sea el vector v=(a, b) y sea un nmero, se tiene:

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/132/11_ALI_1_3_1/ALI_1_3_1_p1.htmlhttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/132/11_ALI_1_3_1/ALI_1_3_1_p1.htmlhttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/132/11_ALI_1_3_1/ALI_1_3_1_p1.htmlhttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/132/11_ALI_1_3_1/ALI_1_3_1_p1.html
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    con lo que:

    Cuando un vector es multiplicado por un escalar distinto de cero hace que lalongitud de dicho vector se multiplique por el valor absoluto del escalar.

    1.3.2. Propiedades del producto de un vector por un escalarA continuacin, se presentan algunas propiedades del producto de un vector porun escalar.

    Sean vy wvectores y sean y escalares, entonces, se cumplen las siguientespropiedades del producto:

    En el subtema 1.3.1. Multiplicacin de un escalar por un vector, slo se utiliz y secomprob la primera propiedad, es decir, la multiplicacin de un vector por unescalar, conforme avances en el curso, si es necesario se har uso y demostracinde las dems.

    1.3.3. Suma de vectores

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    Suma de vectores en el espacio

    El proceso para sumar vectores en el espacio es similar al de la suma de vectoresen el plano, lo nico que cambia es la suma de tres coordenadas, como semuestra a continuacin:

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    Sean y dos vectores, entonces la suma de ellos se

    representa por u+ v:

    1.3.4. Resta de vectores

    Cmo te imaginas que debeser el procedimiento para restarvectores en el plano?

    Para responder esta pregunta, considera lo siguiente:

    En la suma de dos vectores es necesario unir los vectores por su origen, se traza

    el vector paralelo a cada uno de los vectores y se forma el paralelogramo, acontinuacin, se traza un nuevo vector que es la diagonal del paralelogramo, elcual representa la suma de los vectores.

    La resta de vectores es muy similar a la suma. Para poder obtener la resta de losvectores, se restan las coordenadas que se encuentran en la misma posicin decada uno de los vectores.

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    1. Actividad 2. Operaciones con vectoresDescarga eldocumento Ejercicios con vectores.

    2. Leecon atencin lo solicitado en cada punto y resuelvelos ejercicios en elmismo documento.

    3. Guardatu documento con la siguiente nomenclatura ALI_U1_OV_XXYZ.Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu nombre, la Y por la inicialde tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

    *Recuerda que tu archivo no debe pesar ms de 4 MB.4. Envatu documento y espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a).

    Para enviar tu documento:En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicenlgebra. Se enlistarn las actividades, da clic en Operaciones con vectores.

    Da clic en el icono para descargar el documento Ejercicios con vectores.

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    1.4. Productos vectoriales

    Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de laFsica, de igual manera, es comn encontrarlos en diferentes situaciones de nuestra vida.

    Piensa en una situacin donde utilices vectores y responde:

    Por qu son importantes los vectores en la vida cotidiana?

    Ejemplo

    Vectores en la vida cotidiana

    Un ejemplo del uso de vectores en la vida cotidiana se puede observar en unacompetencia de salto de longitud. Aparentemente, sta consiste en correr, saltar ycaer, pero en esta actividad tambin intervienen los vectores.

    Si todos los atletas tienen las mismas capacidades fsicas, los vectores definiranquin sera el ganador, debido a un producto de dos vectores: uno que estararepresentado por la velocidad de un atleta y otro, representado por la velocidadcon la cual salta. Este producto, permitira encontrar el ngulo entre los vectores yamencionados, y a partir de l, se puede encontrar la direccin en qu los atletasdeben saltar para llegar ms lejos.

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    1.4.1. Producto punto

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    1.4.2. Condicin de perpendicularidadAntes de comenzar con las condiciones que deben cumplir dos vectores para serperpendiculares, vers los vectores paralelos.

    Definicin de vectores paralelos

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    Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ngulo que existe entre elloses cero o .

    Esta condicin, dice que los vectores paralelos pueden tener la misma direccin u otradiferente, dependiendo del valor del ngulo que entre ellos existe.

    El clculo del producto escalar de dos vectores paralelos, se realiza de manera similaral producto de dos vectores no paralelos, el resultado del producto es lo que hace versi dos vectores son o no paralelos.

    EJEMPLO DE VECTORES PARALELOS

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    EJEMPLO DE VECTORES PERPENDICULARES

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    TEOREMA VECTORES PARALELOS

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    1.4.3. Propiedades del producto punto

    El producto punto tiene propiedades bsicas dentro del lgebra lineal que sepresentan en el siguiente mapa conceptual.

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    1.4.4. Aplicaciones del producto punto

    En esta seccin se dar respuesta a un problema, con el fin de mostrar lasaplicaciones que tiene el producto punto o escalar.

    Planteamiento del problema:

    Un piloto de una prestigiada aerolnea mexicana tuvo vacaciones en su trabajo yregres con su familia a la capital mexicana, debido a que viaj por todo el mundo,traa consigo efectivo en diferentes tipos de monedas, siendo stas: 8,500 yen, 300libras esterlinas, 400 euros, 85 dlares, 500 soles y 200 francos suizos. Si el tipo decambio en moneda mexicana es de 0.16 el yen, 20.15 una libra esterlina, 16.76 uneuro, 12.96 el dlar, 4.7 el sol y 13 el franco suizo.

    2. Representa el tipo de cambio de cada moneda mediante un vector. Sea v elvector que representa los tipos de cambio, entonces, siguiendo el mismoorden que u, se tiene que:

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    Desarrollando el producto escalar de los vectores anteriores, tenemos

    u v = ( 8500 )( 0.16 ) + ( 300 )( 20.15 ) + ( 400 )( 16.76 ) + ( 85 )( 12.96 ) + ( 500 )(4.7 ) + ( 200 )( 13 )

    u v = 1360 + 6045 + 6704 + 1101.6 + 2350 + 2600

    u v = 20160.6

    Entonces, el piloto tiene un total equivalente a $20160.6

    Actividad 3. Anlisis del problema II

    El presente foro girar en torno a la investigacin que realizaste junto con tuscompaeros(as) de equipo en el foro Anlisis de problemas I.

    1. Organzate nuevamente con el equipo que realizaste la investigaciny elijana un(a) nuevo(a) moderador(a) para que sea el (la) encargado(a) depublicar en el foro.

    2. De acuerdo a lo que discutieron en el foro anterior investiguen yagreguenla informacin que les hace falta para resolver el problema.

    3. Si concluyeron que no haca falta ms informacin o bien, con la informacinque agregaron,discutandos posibles mtodos para resolver el problema.

    4. Al terminar de redactar su respuesta, publquenla en el foro.5. *Recuerda que el (la) moderador(a) es el (la) encargado(a) de escribir en el

    foro la respuesta que construyeron en equipo, sin embargo todos deben leer

    la participacin de los dems compaeros(as) y participar expresando susopiniones.6. **Esta informacin les servir para realizar el Reporte: Solucin de

    problemas.7. Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic

    en lgebra. Se enlistarn las actividades, da clic en Foro: Anlisis delproblema II.

    8. Da clic en el icono para descargar la Rbrica de foro.

    Actividad 4. Reporte: Solucin del problema

    Con base en el anlisis y la investigacin que realizaron y comentaron en los forosAnlisis del problema I y II, efectenlo siguiente:

    1. Elaborenun reporte donde desarrollen los siguientes puntos:

    Exista claridad en el planteamiento del problema?

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    Se proporcionaron los datos necesarios para resolverlo o hacan falta? De manera general respondan Cul es la informacin o aspectos que

    consideran importantes de comprender y obtener para poder resolverproblemas en diferentes situaciones y contextos?

    Investiguenla relacin del lgebra lineal con otras disciplinas y en

    especfico con su carrera. Escribancmo podran aplicarla en la vida diaria y en su carrera.

    *El reporte debe tener una extensin mxima de cinco hojas, cartula con losnombres de los integrantes, introduccin, desarrollo (solucin a las preguntas),conclusin y bibliografa consultada. Es necesario que la redaccin del mismo seaclara y sin errores ortogrficos.

    2. Antes de enviar su documento, nombrena su equipo.3. Guarden su documento con la siguiente nomenclatura ALI_U1_RP_XX.

    Sustituyan las XX por las dos primeras letras del nombre de su equipo.

    *Recuerden que su archivo no debe pesar ms de 4 MB.4. Enven su documento y esperen la retroalimentacin de su Facilitador(a).

    *Recuerden que el (la) moderador(a) es responsable de enviar el documentocreado por todos(as) los (las) integrantes del equipo.

    Para enviar el documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicen lgebra. Se enlistarn las actividades, da clic en Reporte: Solucin delproblema.

    1.4.5. Producto cruzHasta este momento, has visto todo lo referente al producto escalar de dosvectores. A continuacin, vers lo que corresponde al producto cruz o bien,

    producto vectorial, el cual est definido nicamente en R3

    Definicin de producto cruz

    El producto cruz es muy diferente del producto escalar de dos vectores, ladiferencia ms notoria, radica en que el resultado del producto escalar es unescalar o nmero real y el resultado del producto cruz es un vector.

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    1.5. Triples productos

    Por medio del producto escalar y vectorial de tres vectores A, B y C, se puedenformar productos de la forma:

    1.5.1. Triple producto escalar

    Se llama triple producto escalar, al escalar que se obtiene de un producto cruz entre dosvectores, seguido de un producto escalar.

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    Sean u, vywtres vectores en el espacio, el producto definido como sigue:

    Se conoce como triple producto escalar la interpretacin geomtrica que tiene este productoque es similar a la que tiene el producto punto, puesto que se realiza como operacin final.El producto entre dos vectores es el que resulta del producto cruz y el ltimo vector introducSobre los triples productos escalares, se tiene:

    Actividad 5. Formulario de las propiedades del producto punto y cruz

    Los formularios permiten consultar de manera rpida y prctica las frmulas necesarias para ciertos

    temas o materias, en este caso para que identifiques las propiedades del producto punto y cruz.

    1. Participacon tus compaeros(as) de grupo en la wikiFormulario de propiedades del productopunto y cruz y elaborenun formulario en el que incluyan cada uno de los siguientes puntos.

    La frmula del producto de un vector por el vector 0 para el producto punto y cruz. La ley conmutativa del producto escalar. La ley distributiva del producto escalar y producto cruz. Muestra la frmula de la propiedad anticonmutativa del producto vectorial. Presenta la frmula del triple producto escalar de tres vectores.

    2. Leecon atencin lo que escriben los (las) dems y si consideras necesario incluir ms frmula

    datos que sean tiles intgralos.

    Para ingresar a la wiki: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en lgebra. Se enlistarlas actividades, da clic en Formulario de las propiedades del producto punto y cruz.

    1.5.2. Triple producto vectorial

    En este subtema se introduce una breve nocin del triple producto vectorial, debido a que madelante se utilizar, aunque no se especificar qu es un triple producto vectorial.

    Se le llama triple producto vectorial, al producto que se realiza entre tresvectores, del cual se obtiene un cuarto vector, que estar en el mismo planoque los dos primeros vectores que se multiplicaron.

    La representacin de un triple producto vectorial es la siguiente:

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    Sean u, vy w, tres vectores en el espacio, el producto cruz de estos tres vectores estrepresentado por:

    El resultado del producto anterior, es un vector que se encuentra en el mismo plano que vyque w.

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    Actividad integradora

    Autoevaluacin

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    En esta actividad retomars los conocimientos aprendidos durante el estudio de la unidad.

    1. Lee atentamente los planteamientos y las preguntas formuladas.2. Seleccionalas respuestas correctas.3. Al finalizar, da clic en el botn Enviartodo para conocer tu puntaje y retroalimentacin.

    Para realizar la actividad:En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en lgebra. Se enlistarnlas actividades, da clic en Autoevaluacin.

    Evidencia de aprendizaje

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    Para evaluar esta unidad se presentan dos problemas. Para resolverlos, efecta lo siguiente:

    1. Descarga el documento Planteamiento del problema.2. Lee con atencin el planteamiento y con base en la informacin que se te proporcionarealiza lo

    solicitado en cada punto.3. Guarda el documento en formato Word con el nombre ALI_U1_EU_XXYZ. Sustituye las XX por

    las primeras dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por lainicial de tu apellido materno.*Recuerda que tu archivo no debe pesar ms de 4 MB.

    Da clic en el icono para descargar el documento Planteamiento del problema

    4. Envaloa tu Facilitador(a) para obtener la retroalimentacin correspondiente.5. Descarga la escala de evaluacin para conocer los criterios de evaluacin de la evidencia de

    aprendizaje.

    Da clic en el icono para descargar el documento Escala de evaluacin.

    Cierre de la unidad

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    En esta unidad identificaste algunos aspectos histricos que permitieron el

    desarrollo del lgebra lineal, adems revisaste temas sobre vectores,

    operaciones con vectores, productos vectoriales y triples productos.

    Tambin, realizaste ejercicios y anlisis que te apoyaron para seleccionarinformacin, de tal manera que pudiste darte cuenta qu es necesario y til para

    plantear tanto soluciones como problemas.

    Repasa los temas y subtemas que no hayan quedado claros. Pide ayuda a tu Facilitador(a) si necesitas retus dudas.

    Relaciona los temas que revisaste con otras disciplinas e investiga cmo se aplican, esto te ayudar a

    comprender ms la asignatura y otros temas que revisars ms adelante.

    Para saber ms

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    Introduccin a Matlab. Consultado el 12 de septiembre de 2010 en:

    Fuentes de consulta

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    Bibliografa

    Bernard Kolman, David R. Hill. (2006). Algebra lineal. Mxico: Pearson Educacin. Lay, D. C. (2007). lgebra lineal y sus aplicaciones. Mxico: Pearson Educacin. Williams, G. (2004). lgebra lineal con aplicaciones. Mxico: Mc Graw Hill.

    Fuentes electrnicas:

    Corcobado, J. L. y Marijun, J. Matemticas I. Consultado el 12 de septiembre de 2010 en:http://www.sectormatematica.cl/libros.htm

    Un viaje por la historia de las matemticas en China. Consultado el 12 de septiembre de 2010 en:http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_4032_un_viaje_por_historia_las_matematicas_ch

    http://www.edomex.gob.mx/medioambiente/dependencias/dcypc/ecotecnias/impermeabilizantenat

    Autoreflexiones.

    deERIK EDMUNDOPAEZ BARRERA-viernes, 14 de

    septiembre de 2012,20:33

    Buenas tardes estimados alumnos:

    La presentes lneas son las preguntas de autoanlisis que debern contestar yenviar por la actividad de "tareas". La finalidad de ste tipo de preguntas es queustedes realicen una reflexin individual la cual les ayude a mejorar su aprendiz

    a) La asignatura de lgebra lineal requiere una ptima capacidad de concentracrazonamiento lgico -como cualquier rea de las matemticas-, consideras quhas desarrollado sta competencia satisfactoriamente o que necesitas invertir mdedicacin y tiempo?.

    b) Siempre he reconocido el gran esfuerzo cuando un alumno estudia y trabaja

    http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22
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    mismo lo hice en su momento- y el estar incorporado a una licenciatura o ingenien la modalidad a distancia ofrece una excelente oportunidad para concluir staetapa acadmica, ests conciente y principalmente ests resuelto a darle priora tus estudios universitarios por sobre otras actividades?.

    Agradezco su participacin y cuiden su redaccin y ortografa.

    Sigo a sus rdenes.

    Ing. Erik Pez.

    Unidad 2.Matrices

    Presentacin de la unidad

    Las matrices aparecen de forma explcita e implcita en nuestras actividades, tantocotidianas como profesionales. Por ejemplo, una lista de los alumnos de un grupoes una matriz, los gastos y entradas de una empresa tambin se pueden modelarcon matrices. La presentacin de una muestra de ADN o las celdas de un panelsolar pueden ser estudiadas como un arreglo matricial.

    En esta unidad conocers la importancia de las matrices, las aplicaciones quetienen en nuestra vida cotidiana y en las diferentes reas de estudio y la forma enque nos pueden beneficiar. Tambin podemos modelar un problema que surja enlas empresas u organizaciones planteando un sistema de ecuaciones.

    En esta unidad, tambin se abordar todo lo referente a las principalescaractersticas y elementos de los que se compone una matriz, asimismo,conoceremos los diferentes tipos de matrices que se utilizan en la actualidad as

    como la forma que stas tienen. En general, se darn los conceptos fundamentalesde las matrices para poder continuar en los siguientes temas y con el desarrollo delas mismas.

    El sistema de ecuaciones lineales lo podrs resolver por medio de una matriz, conel mtodo de operaciones elementales de rengln, pero antes de conocer estemtodo, es necesario que conozcas cmo se realiza la suma y resta de matrices,

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    el producto de un escalar por una matriz y el producto matricial, estas operacionesnos permiten comprender el mtodo de operaciones elementales de rengln.

    Asimismo, podrs resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio delmtodo de eliminacin de Gauss o el mtodo de Gauss-Jordan.

    Propsito de la unidad

    Utilizars los mtodos de solucin de sistemas de ecuaciones lineales pararesolver problemas de distintas reas por medio del mtodo de eliminacin deGauss y de Gauss-Jordan.

    Competencia especfica

    Emplea matrices para resolver problemas de distintas reas mediante diferentesmtodos de solucin de sistemas de ecuaciones lineales.

    2.1. Introduccin a matrices

    Una matriz es un arreglo de entradas organizadas en renglones y columnas.

    El estudio de matrices es muy importante dentro de nuestra vida cotidiana,constantemente las utilizamos sin darnos cuenta de ello. Por ejemplo, una boletade calificaciones es una matriz con los datos acomodados en filas y columnas, lalista de compras del mercado, el horario de clases, una cartilla de vacunacin, etc.

    Sabas que?

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    El buscador Google utiliza matrices para mostrar las pginas de bsqueda, dehecho, para que el servidor funcione se necesita lgebra lineal, teora de grafos yprobabilidad.

    Podras explicar cmo el buscador Google atiende 200 millones de consultas

    diarias aproximadamente e indexa varios miles de millones de pginas web? Qupapel juegan las matemticas en este servidor?

    Para que este servidor funcione, se necesita un criterio de ordenacin, si seetiquetan con los smbolos P1, . . . , Pncada una de las pginas de la red, se lepuede asignar a cada Pjun nmero xj, que representar su importancia. Estosnmeros podran ser, por ejemplo, nmeros entre 0 y 1.

    Supongamos que despus de un censo de los sitios de la red, se construye la listade pginas web y que se les asigna a cada una de ellas, de la manera que sea,una importancia. Esta lista queda a nuestra disposicin para ser utilizada cada vez

    que realicemos una determinada consulta. Las pginas seleccionadas semostrarn en el orden que indique dicha lista, pero cmo se construye esa lista?

    Cuando se tratan con grafos, se recurre a los dibujos en el papel en los que losvrtices son puntos del plano, mientras que las aristas son flechas que unen esospuntos. Conviene considerar una interpretacin alternativa, en este caso por mediode matrices.

    La dimensin de una matriz est dada como el nmero de filas por el nmero decolumnas. Por ejemplo, el horario se trata de una matriz de dimensin 6X6, o bien,de 5X5 si slo te fijas en las entradas y no en la informacin que proporcionan,mientras que la boleta de calificaciones es una matriz de 11X10, o bien, de 9X8. Ala dimensin de una matriz tambin se le conoce como el orden de la matriz.

    Ahora bien, en la matriz que formamos las filas y columnas van etiquetadas con losP1, . . . , Pn, y cuyas entradas son ceros y unos. La entrada m ijde la matriz ser ununo si es que hay un enlace de la pgina Pja la pgina Pi y un cero en casocontrario:

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    Supongamos que la pgina P1es citada desde las pginas P2, P25y P256, queP2slo se cita desde P1y P256, etc., mientras que, digamos, hay enlaces a la ltimapgina, Pn, desde P1, P2, P3, P25y Pn1.

    La pgina P1tiene tres enlaces los cuales son: P2, P25y P256, la pgina P2tiene dosenlaces, P1y P256, la pgina Pn tiene cinco enlaces que son: P1, P2, P3, P25y Pn1.

    De acuerdo con esto, x1debera ser proporcional a 3, porque tiene tres enlaces;x2sera proporcional a 2, etc., mientras que xnhabra de ser proporcional a 5.

    Pero ahora nuestra asignacin x1, . . . , xndebe cumplir lo siguiente:x1= K (x2+ x25+ x256) ,x2= K (x1+ x256) ,...

    xn= K (x1+ x2+ x3+ x25+ xn1) ,

    Donde K es una constante de proporcionalidad. Nos encontramos entonces, conun enorme sistema de ecuaciones cuyas soluciones son las posibles asignacionesde x1, . . . , xn.

    En este curso aprenders a calcular las soluciones de una matriz, sin las cuales,como te podrs dar cuenta, no podra existir una herramienta tan valiosa comoGoogle.

    2.1.1. Renglones y columnas

    A lo largo de la primera unidad se trabajaron los conceptos referentes a losvectores, en esta unidad, clasificaremos los vectores por su tipo, es decir, porrengln o por columna, as, tenemos lo siguiente:

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    2.1.2. Notacin y clasificacin

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    2.2. Operaciones con matrices

    La variedad de aplicaciones de las matrices se presenta en nuestro alrededor, y sibien, es cierto que en todo momento las utilizamos, tambin es cierto que con ellasrealizamos diferentes operaciones sin darnos cuenta.

    Por ejemplo, en las situaciones ms bsicas como al realizar operaciones con losvectores, los cuales son matrices formadas por una columna o un rengln o alrealizar la suma o resta de dos vectores columna o rengln, estamos realizandooperaciones con matrices.

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    Otra situacin en la que se utiliza matrices ms complejas sera la comparacin deprecios.

    2.2.1. Suma y resta de matrices

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    Las propiedades de la suma de matrices, son similares a las propiedades de losnmeros reales, las cuales se muestran a continuacin.

    Sean A, B y C tres matrices de m x n, entonces se verifican las siguientespropiedades.

    2.2.2. Producto de un escalar por una matriz

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    2.2.3. Producto matricial

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    2.3. Representacin matricial

    En este tema se ver la representacin de los sistemas de ecuaciones lineales pormedio de una matriz. Comnmente nos encontramos con situaciones cotidianas

    que se pueden representar mediante un sistema de ecuaciones lineales. Porejemplo, la cantidad de personas que caminan por una calle bajo ciertascondiciones que pueden ser la hora, si llevan mascotas, si van comiendo oejercitndose, etc. Tambin, el nmero de ciertos contaminantes en el ambiente oen el agua o la cantidad necesaria de ciertos tomos para crear una molculadeterminada, etc.

    Una vez que un fenmeno, problema o situacin se ha modelado mediante un sistema deecuaciones, su representacin matricial es demasiado sencilla tal y como lo veremos enlos siguientes subtemas.

    A continuacin construirs, paso a paso, un ejemplo de aplicacin en investigacin de lasoperaciones de matrices. Lo primero que debes hacer es representar los elementos de tuproblema en forma matricial. Para ello, estudimoslo primero.

    2.3.1. Matriz principal y ampliada

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    2.3.2. Representacin matricial de un sistema de ecuacioneslineales

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    A partir de lo que realizaste en el foro Planteamiento del problema:

    1. Organzatenuevamente con el equipo que trabajaste en el foro.2. Descargael documento Representacin del problemay dentro del mismo

    archivo, realizalo que se solicita.3. Por equipo, guarden su documento con la siguiente nomenclatura

    ALI_U2_RM_XX. Sustituyan las XX por las primeras letras del nombre de suequipo. Recuerda que el representante o moderador del equipo es elencargado de subir el archivo.

    4. Suban su documento a la base de datos y esperen la retroalimentacin desu Facilitador(a) por medio de la misma herramienta.

    Para enviar su documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicenlgebra lineal.Se enlistarn las actividades de la unidad, da clic en Actividad 2. Representacinmatricial.

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    Da clic en el icono para descargar el documento Representacin del problema.

    Autoreflexiones.

    deERIK EDMUNDOPAEZ BARRERA-viernes, 14 deseptiembre de 2012,20:33

    Buenas tardes estimados alumnos:

    La presentes lneas son las preguntas de autoanlisis que deberncontestar y enviar por la actividad de "tareas". La finalidad de stetipo de preguntas es que ustedes realicen una reflexin individual lacual les ayude a mejorar su aprendizaje.

    a) La asignatura de lgebra lineal requiere una ptima capacidad deconcentracin y razonamiento lgico -como cualquier rea de lasmatemticas-, consideras que has desarrollado sta competenciasatisfactoriamente o que necesitas invertir mayor dedicacin ytiempo?.

    b) Siempre he reconocido el gran esfuerzo cuando un alumnoestudia y trabaja -yo mismo lo hice en su momento- y el estarincorporado a una licenciatura o ingeniera en la modalidad adistancia ofrece una excelente oportunidad para concluir sta etapaacadmica, ests conciente y principalmente ests resuelto a darleprioridad a tus estudios universitarios por sobre otras actividades?.

    Agradezco su participacin y cuiden su redaccin y ortografa.

    Sigo a sus rdenes.

    Ing. Erik Pez.

    http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22http://148.247.220.187/BI2012/user/view.php?id=5975&course=22
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    2.4. Operaciones elementales de rengln

    En una matriz podemos hacer ciertas operaciones entre los elementos quecomponen un rengln y los correspondientes elementos que componen otro. Aestas operaciones las llamaremos operaciones elementales del rengln.

    Las operaciones elementales de rengln las utilizamos en nuestra vida cotidiana al modificaralgunoshechos o acontecimientos que se pueden representar mediante un vector. Da clic en lasimgenespara ver los ejemplos:

    2.4.1. Aplicacin de las operaciones elementales de rengln deuna matriz

    Qu aspectos recuerdas de los sistemas de ecuaciones lineales?

    Por ejemplo, en los cursos de lgebra en la secundaria y en el bachillerato cuandose trata el tema de sistemas de ecuaciones lineales, se revisa que al multiplicar odividir ambos lados de una ecuacin por un nmero distinto de cero da una nuevaecuacin que es equivalente a la original.

    Otra de las cosas que se revisan de un sistema de ecuaciones es que al sumar unmltiplo de una ecuacin con otra del mismo sistema, se obtiene una ecuacin queno la modifica y adems, si se intercambian dos ecuaciones de un mismo sistema,resulta un sistema equivalente al primero, es decir, que las soluciones seran lasmismas.

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    Las operaciones anteriores, aplicadas sobre una matriz aumentada, no modificanla matriz ya que forman una matriz equivalente a la primera.

    El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificaruna matriz aumentada se conoce como reduccin por renglones.

    A continuacin se te presenta un ejemplo con los pasos que puedes realizar parasimplificar una matriz. Cuando la matriz est asociada a un sistema de ecuaciones,la simplificacin hace ms sencillo encontrar la solucin.

    Descarga el archivo Operaciones entre renglonesy leecon atencin el ejemploque se desarrolla para simplificar una matriz. Cuando la matriz est asociada a unsistema de ecuaciones la simplificacin hace ms sencillo encontrar la solucin.

    Da clic en el icono para descargar el documento Operaciones con renglones.

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    2.4.2. Matriz inversa mediante operaciones de rengln

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    A las matrices que tienen inversa se les llama invertibles. Las matrices cuadradasque no tienen inversa se conocen como matrices singulares, a su vez, tambin alas matrices invertibles se les conoce como no singulares.

    Cabe destacar que el hecho de que una matriz cuadrada sea invertible, no

    garantiza que todas las matrices cuadradas lo sean, ya que existen matrices queno tienen inversa.

    2.5. Solucin de sistemas lineales

    En este tema vamos a desarrollar los sistemas de ecuaciones lineales utilizandomatrices. Veremos el procedimiento para encontrar la solucin de un sistema

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    mediante la representacin matricial y el empleo de los mtodos de Gauss y deGauss-Jordan, dichos procedimientos facilitan la manera de resolver cualquiersistema de ecuaciones mediante una matriz. Otra forma de dar solucin a unsistema de ecuaciones es utilizando el determinante de una matriz asociada, peroeste mtodo lo veremos en la siguiente unidad de forma ms detallada.

    2.5.1. Mtodo de eliminacin de Gauss

    El mtodo de eliminacin de Gauss es el mtodo ms bsico y simple que sepuede utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Este mtodoconsiste en aplicar operaciones de rengln a una matriz hasta convertirla en unamatriz triangular superior y a partir de ello, encontrar las soluciones del sistema deecuaciones del cual procede nuestra matriz por un mtodo ms simple, este puedeser el de inspeccin.

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    Actividad 3. Mtodo de Gauss

    A partir del anlisis de sistema de ecuaciones y su representacin matricial que obtuviste en la

    actividad Representacin matricial, efectalo que se te pide a continuacin:

    1. Descargael archivo del Problemay, dentro del mismo archivo,realizalo que se te solicita.2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura ALI_U2_RM_XXYZ. Sustituye las XX por las

    dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por lainicial de tu apellido materno.

    3. Enva tu documento por medio de la seccin tareas y espera la retroalimentacin de tuFacilitador(a) por medio de la misma herramienta.

    Para enviar tu documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic enlgebra lineal.Se enlistarn las actividades de la unidad, da clic en Actividad 3. Mtodo de Gauss.

    Da clic en el icono para descargar el documento Problema.

    2.5.2. Mtodo de Gauss-Jordan

    El mtodo de Gauss y el de Gauss-Jordan son muy similares. En el proceso de solucin de unsistema de ecuaciones lineales es ms utilizable el mtodo de Gauss ya que en ste se haceun 50% menos de operaciones que en el mtodo de Gauss-Jordan. El hecho de que la

    mayora de las personas trabajen con este ltimo se debe a que permite conocer la matrizinversa proveniente de un sistema de ecuaciones lineales. El mtodo Gauss-Jordan lo hemosutilizado anteriormente para encontrar la matriz inversa. Ahora, desarrollaremos un ejemploen el cual podrs visualizar y comparar este mtodo con el de Gauss y establecer el de tupreferencia.

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/133/19_ALI_actividad_3/docs/problema_act3.doc
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    Autoevaluacin

    Es momento de que evales tu propio aprovechamiento de los conceptos vistos alo largo de la unidad. Para ello, resuelve el cuestionario de opcin mltiple que sete presenta.

    Para realizar el cuestionario: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicen lgebra. Se enlistarn las actividades, da clic en Autoevaluacin.

    Evidencia de aprendizaje. Solucin del problema "Sustancias que funcionan comosuper protenas a travs de matrices."

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    En la siguiente actividadse resolvern problemas que surjan en la vida cotidiana por medio de los

    mtodos de operaciones elementales de rengln, de Gauss y de Gauss-Jordan.

    1. Descargael archivo Problemas y, dentro del mismo archivo,realizalo que se te solicita.2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura ALI_U2_EU_XXYZ. Sustituye las XX por las

    dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por lainicial de tu apellido materno.

    3. Envaloa tu Facilitador(a) a travs de la seccin Portafolio de Evidencias para obtener laretroalimentacin correspondiente.

    3. Descarga la Escala de evaluacin para conocer los criterios de evaluacin de la evidencia deaprendizaje.

    Para enviar tu documento:En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicenlgebra lineal. Se enlistarn las actividades de la Unidad da clic en Evidenciade aprendizaje. Solucin del problema. Sustancias que funcionan comosuper protenas, a travs de matrices.

    Da clic en el icono para descargar el documento Problemas

    Cierre de la unidad

    En esta unidad utilizaste los mtodos de solucin de sistemas de ecuacioneslineales, revisaste su uso en situaciones de la vida cotidiana y resolviste algunosproblemas del rea de biotecnologa por medio del mtodo de eliminacin deGauss y de Gauss-Jordan.

    Para saber ms

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/133/23_ALI_evidencia/docs/Problema_evidencia.doc
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    En la pgina < http://www.marcelovalenzuela.com/matrices/producto-de-matrices.php>, puedesingresar matrices para multiplicarlas, recuerda que el nmero de columnas de la primera debe serigual al nmero de filas de la segunda.

    Si deseas saber ms sobre Excel puedes buscar los tutoriales algunos se pueden consultar demanera gratuita! como: http://www.todoexcel.com/Y buscar los tutoriales algunos pueden obtenerse de forma gratuita!

    Unidad 3.Determinantes

    Presentacin de la unidad

    El tema principal de esta unidad son los determinantes, los cuales aprenders acalcular a partir de los menores y cofactores de las matrices; tambin conocers y

    aplicars sus propiedades que te permitirn resolver de manera ms rpida losclculos.

    Por ejemplo, si tenemos una fila o columna de ceros, aplicando una de laspropiedades de los determinantes y sin realizar ningn clculo, se puede afirmarque el determinante es cero, el mismo caso ocurre cuando se tienen dos filasiguales o una mltiplo de la otra.

    Posteriormente, estudiars algunos ejemplos en los que podrs ver la utilidad de loque has aprendido en el curso de lgebra lineal. Todo esto permitir comprenderque la importancia de los determinantes radica en simplificar las operaciones pararesolver sistemas de ecuaciones lineales.

    Finalmente, se dar solucin al problema que has venido trabajando a lo largo dela asignatura: Sustancias que funcionan como superprotenas, ahora utilizando elmtodo de Cramer.

    Propsitos de la unidad

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    En esta unidad utilizars las propiedades de los determinantes que te permitirnrealizar los clculos de una forma ms rpida para resolver problemas deecuaciones por medio de la regla de Cramer. De esta forma podrs resolverproblemas de diversas reas utilizando el lgebra lineal.

    Competencia especfica

    Utiliza los determinantes para resolver problemas de diversas reas por medio dela regla de Cramer.

    3.1. Bases de los determinantes

    De acuerdo con Deivi (2006), los inicios de la teora de determinantes de matricesdatan del siglo II a.C. con los matemticos chinos. La idea de determinanteapareci en Japn y Europa casi al mismo tiempo.

    En Japn, fue Takakasu Seki Kowa (1642-1708) el primero en publicar un trabajosobre este tema. En 1683, Seki escribi un manuscrito titulado Mtodo de resolverlos problemas disimulados, en el cual se incluyen algunos mtodos matricialesexpuestos en forma de tablas.

    De las primeras menciones formales que se hicieron en Europa acerca de losdeterminantes, aunque an bajo otros nombres, encontramos la de Cardano, quienen suArs Magnade 1545, mostr una regla para resolver sistemas de dosecuaciones lineales con dos incgnitas, a la cual llam regula de modo.

    Esta regla forma parte de la que hoy conocemos como regla de Cramer y se aplicaa sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

    Posteriormente, durante el ao de 1683, Leibniz, mediante una carta dirigida aGuillaume del'Hpital(1661-1704), explic que cierto sistema de ecuacioneslineales tiene solucin, utiliz la palabra resultante para ciertas sumas

    combinatorias de trminos de un determinante y prob varios resultados sobreestos resultantes, incluyendo uno que, en esencia, se retoma en la regla deCramer.

    El matemtico escocs Colin Maclaurin (1698-1746) utiliz determinantes ensu Treatise of Geometry para resolver sistemas de ecuaciones lineales de cuatroincgnitas. Este tratado fue publicado pstumamente en 1748.

    Su mtodo fue popularizado dos aos despus por el matemtico suizo GabrielCramer como Regla de Cramer, quien en 1750 la public en su Introduction l'analyse des lignes courbes algbriques.

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    En esta seccin se definirn los determinantes, se estudiarn sus propiedades msimportantes y cmo stas hacen ms sencillo el clculo de aqullos. Tambin se

    hablar de algunos conceptos relacionados, como el de menor y cofactor.

    Posteriormente, revisars cmo resolver sistemas de ecuaciones lineales pormedio de los determinantes y se finalizar con algunos ejemplos de aplicacionesdel lgebra lineal en diferentes reas.

    3.1.1. Introduccin a los determinantes

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    3.1.2. Menores y cofactores de un determinante

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    Existe un concepto muy importante dentro de las matrices, especficamentehablando, de los determinantes, el cual est ntimamente ligado al concepto demenores, dicho concepto es el de cofactor que en seguida se define:

    A continuacin, se desarrollan algunos ejemplos para obtener menores y

    cofactores de un determinante.

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    Actividad 1. Menores y cofactores de un determinanteEsta experiencia de aprendizaje se realizar de forma individual y por equipos. Para ello debers darseguimiento a las siguientes indicaciones:

    1. Recibe la asignacin por parte de tu Facilitador(a) del equipo en el que trabajars. Cada equipoestar integrado portres personas.

    2. Contacta a los compaeros asignados a tu equipo para comenzar a organizarse y desarrollarlas actividades que se soliciten.

    3. Asignen un nombre a su equipo y proponganun representante entre ustedes que ser elresponsable de enviar la informacin, as como establecer comunicacin con el (la)Facilitadora(a).

    4. Descarga el archivo Menores y cofactoresy realizade manera individual y/o grupal lo que seseala en el mismo.

    Para el trabajo individual:

    5. Resuelve la actividad que se indica en el archivo Menores y cofactores deacuerdo a los criterios que ah se establecen.

    6. Guarda el documento con lo que trabajaste de manera individual con lasiguiente nomenclatura ALI_U3_MCI_ XXYZ.

    *Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicialde tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

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    Importante: El documento debe contener todo el procedimiento y las operacionesque realizaste para obtener los determinantes, que te sern de utilidad para eltrabajo en equipo.

    Para el envodel trabajo en equipo:

    7. Desarrollende forma colaborativa los puntos 3 y 4 que se mencionan en elarchivoMenores y cofactores.

    8. Integrenlos aportes de cada uno de los miembros del equipo en un slodocumento.

    9. Guarden su documento con la siguiente nomenclatura ALI_U3_MCE_XX.

    **Sustituyan las XX por las dos primeras letras del nombre de su equipo.

    Importante:El documentodebecontener todo el procedimiento y las operacionesque realizaron para obtener los determinantes, los menores y los cofactores, ascomo las conclusiones con los resultados que compartieron y el desarrollo de lapregunta del punto 4 que aparece dentro del archivo Menores y cofactores.

    10.Integrensus documentos individuales y el que elaboraron en equipo en unacarpeta comprimida (.zip o .rar) con la siguiente nomenclatura

    ALI_U3_A1E_XX.*Sustituyan las XX por las dos primeras letras del nombre de su equipo.

    11.Envenla carpeta comprimida y esperen la retroalimentacin de suFacilitador (a).

    *Recuerden que el representante es el encargado de enviar el trabajo.

    Para enviar su documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicen lgebra lineal. Se enlistarn las actividades de la unidad, da clic en Actividad1. Menores y cofactores de un determinante.

    Da clic en el icono para descargar el documento Menores y cofactores

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/04_ALI_U3_Actividad1/docs/ALI_U3_act1.doc
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    3.1.3. Propiedades de los determinantes

    Existen diferentes situaciones por las cuales muy a menudo pasamos, por ejemplo,si tuviramos que subir a un edificio de 4 pisos, simplemente utilizamos lasescaleras. Sin embargo, si tuviramos que subir a la azotea de un edificio de 70

    pisos, subir por las escaleras ser demasiado agotador y causara una granprdida de tiempo.

    Por esta razn, la gente prefiere utilizar un elevador para estos casos, ya que esofacilita el trabajo de la subida.

    De la misma manera ocurre con los determinantes, como ya vimos, realizar undeterminante de 3 x 3 implica una gran cantidad de operaciones, realizar undeterminante de 4 x 4 requiere al menos el cudruple de las operaciones que seusaron para obtener un determinante de 3 x 3 Imagina si quisieras obtener un

    determinante de 30 x 30! Sera algo que te llevara varios das para realizar.

    Adems, en caso de un error en algn clculo, tendras que volver a realizar lasoperaciones en ms de una ocasin, para esos casos, podemos ayudarnos con laspropiedades que poseen los determinantes.

    Las propiedades de los determinantes se utilizan para facilitar su clculo yminimizar el trabajo que se realiza para obtenerlos, en seguida te las presentamos:

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    3.2. Solucin de sistemas lineales por determinantes

    En la unidad anterior estudiamos la forma de resolver sistemas de ecuacioneslineales a partir de la matriz asociada a tales sistemas, en este tema vamos a

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    resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales utilizando un mtodo que seconoce como la regla de Cramer y est basado en la obtencin de ciertos menoresy cofactores de algunos determinantes relacionados a matrices asociadas alsistema de ecuaciones.

    La regla de Cramer da solucin a un sistema de ecuaciones lineales en trminosde ciertos determinantes asociados con la matriz de dicho sistema.

    Recuerda que recibe su nombre debido a que ste mtodo fue publicado en 1750por el matemtico suizo Gabriel Cramer en su libro Introduction l'analyse deslignes courbes algbriques.

    Aunque la regla de Crameres un mtodo muy til en la solucin de ciertossistemas de ecuaciones, su aplicacin resulta ineficiente para matrices grandespues es sumamente laboriosa para sistemas de ms de cuatro incgnitas y por ellosuele no ser usado en aplicaciones que involucran muchas ecuaciones.

    3.2.1. Regla de Cramer

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    Actividad 2. Regla de Cramer

    Ha llegado el momento de poner en prctica lo aprendido sobre los determinantes! Para eso, se hapreparado esta actividad en la que retomars los resultados de los mtodos matriciales (de Gauss y deGauss-Jordan) que utilizaste para resolver el problema Sustancias que funcionan como superprotenas.

    1. Indica cules fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema en cadauno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el mtodo deGauss-Jordan.

    2. En un nuevo documento de Word, realizalos determinantes D1, D2, D3y D, asociados a lasincgnitas x1, x2, x3y a la matriz del sistema.

    3. Contesta la siguiente pregunta:Qu relacin existe entre los determinantes que obtuviste en esta ocasiny las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2 para resolverel problema por el mtodo de Gauss-Jordan?

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    4. Guardatu documento y envalocon la siguiente nomenclatura ALI_U3_RC_XXYZ.

    *Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicialde tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

    Para enviar tu documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicen lgebra.Se enlistarn las actividades de la unidad, da clic en Actividad 2. Regla de Cramer.

    3.3. Ejemplos de aplicacin

    El lgebra lineal tiene una gran cantidad de aplicaciones en muchos campos delconocimiento humano, tanto en ciencias sociales como en ingenieras y en lasllamadas ciencias exactas.

    El objetivo del siguiente tema es, justamente, mostrar esa utilidad del lgebra linealy en particular de lo que estudiaste a lo largo de este curso, en tu rea de estudio.

    Esto se lograr a travs del desarrollo de algunos ejemplos de aplicaciones dematrices y de determinantes.Recuerda que uno de los pilares de las matrices son losvectores. A su vez,las matricesdan pie al estudio de losdeterminantes.

    De esta manera, a travs de los ejemplos que aqu se estudian, podrs vertambin cmo interactan y se complementan todos los temas que viste en estaasignatura.

    3.3.1. Aplicacin de matricesA continuacin, se vern algunas aplicaciones de matrices.

    En el ejemplo Grficos de computadoridentificars cmo las matrices se aplicanen los grficos de una computadora, adems revisars cmo esto se aplica en laindustria automotriz para el diseo de los modelos.

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    El ejercicio de Fertilizantesbsicoses ms concreto, es una aplicacin matricialespecfica para la creacin de un fertilizante a partir de otros que ya se tienen. As,puedes ver que de acuerdo con los datos que presente cada problema, es posibleaplicar las matrices en ciertos casos.

    Da clicen el siguiente hipertextoGrficos de computador y leecon atencin elejemplo que se presenta.

    Al terminar de leer lo anterior, descargael ejercicio Fertilizantes bsicos, el cual seresolver por medio de matrices.

    Da clic en el icono para descargar el documento Fertilizantes bsicos 1.

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/10_ALI_U3_3_3_1/popup/html2.htmlhttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/10_ALI_U3_3_3_1/popup/html2.htmlhttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/10_ALI_U3_3_3_1/popup/html2.html
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    VER EJERCICIO1.PDF

    3.3.2. Aplicacin de sistemas de ecuaciones

    A continuacin, veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones.

    En el primer ejemplo, Modelos lineales en economa e ingeniera, estudiars cmolos sistemas de ecuaciones han sido aplicados en economa. Y te podrs darcuenta de que no siempre es sencillo resolver tales sistemas.

    Despus, se presentar la resolucin del sistema de ecuaciones para el caso delproblema Fertilizantes bsicosque se trabaj con matrices, pero ahora se le dar

    solucin por el mtodo de Cramer.

    Da clicen el siguiente hipertexto Modelos lineales en economa e ingeniera y leeconatencin el ejemplo que se presenta.

    Una vez que termines de leer, descargael ejercicio Fertilizantes bsicos, el cualse resolver por medio de determinantes.

    Da clic en el icono para descargar el documento Fertilizantes bsicos 2.

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/11_ALI_U3_3_3_2/popup/html3.htmlhttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/11_ALI_U3_3_3_2/popup/html3.htmlhttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/11_ALI_U3_3_3_2/popup/html3.html
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    VER EJERCICIO2.PDF

    Se revisaron algunos ejemplos de la aplicacin de las matrices y los

    determinantes. Existen tambin numerosos casos en los cuales puedes estudiarcmo se complementa todo lo que has aprendido hasta el momento.

    Leeel siguiente ejemplo donde se aprecia cmo se relacionan los temasestudiados a lo largo de la asignatura.

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    Actividad 3. Foro: Sustancias que funcionan como superprotenas

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    En este foro podrs opinar acerca de los mtodos que se revisaron a lo largo de la asignatura y queutilizaste para resolver el problema Sustancias que funcionan como superprotenas, con la finalidad quepuedas realizar una comparacin entre ellos.

    1. Ingresa al foroSustancias que funcionan como superprotenasy participarespondiendo a las

    siguientes preguntas:

    Despus de haber estudiado la asignatura cul piensas que sera la utilidad del lgebra lineal endiferentes reas de estudio?

    Ahora que ya conoces 3 mtodos diferentes para resolver sistemas de ecuaciones lineales, culde ellos te pareci ms prctico? crees que todos los mtodos son adecuados para resolverproblemas a los que te puedes enfrentar en tu mbito profesional?

    Cul es tu reflexin o punto de vista final sobre la asignatura?

    2. Lee con atencin las aportaciones de tus compaeros y retroalimenta suparticipacin si lo consideras pertinente.

    3. Descargala Rbrica de foropara conocer cmo se evaluar tu participacinen la actividad.

    Da clic en el icono para descargar el documento Rbrica de foro.

    Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicen lgebra. Se enlistarn las actividades de la unidad, da clic en Actividad 3. Foro:Sustancias que funcionan como superprotenas.

    Evidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionan como superprotenas e impermeabilizantenatural, a partir de determinantes.

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/12_ALI_U3_Actividad3/docs/ALI_U3_RubricaForo.pdf
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    En esta actividad resolvers el problema que has venido trabajando a lo largo de laasignatura:Sustancias que funcionan como superprotenas, as como el de Impermeabilizantenaturalpero ahora por el mtodo de Cramer.

    1. Descargael archivo Problemasy dentro del mismo archivo,realizalo que se te solicita en undocumento de Word.

    2. Guardatu documento y envalo con la siguiente nomenclatura ALI_U3_EU_ XXYZ.

    *Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paternoy la Z por la inicial de tu apellido materno.

    Para enviar tu documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en lgebra.

    Se enlistarn las actividades de la unidad, da clic en Evidencia de aprendizaje. Sustancias que funcionancomo superprotenas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

    3. Descarga la Escala de evaluacinpara conocer los criterios de evaluacinde la evidencia de aprendizaje.

    Da clic en el icono para descargar el documento Problemas.

    Da clic en el icono para descargar el documento Escala de evaluacin.

    Cierre de la unidad

    http://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/14_ALI_U3_Evidencia/docs/ALI_U3_EscalaEvaluacion.dochttp://148.247.220.187/BI2012/file.php/22/moddata/scorm/134/14_ALI_U3_Evidencia/docs/ALI_U3_EvidenciaAprd.doc
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    En esta unidad, con la que se le da cierre a la asignatura, utilizaste el mtodo por determinantes, ascomo sus propiedades para resolver de manera ms rpida y simplificada los problemas de ecuaciones

    lineales. Tambin revisaste algunos ejemplos donde apreciaste la utilidad del lgebra lineal en diversasreas del mbito profesional.

    De igual forma, resolviste el problema que se comenz a trabajar desde la unidad 1 a travs del mtodopor determinantes, lo que te ayudar a comparar los mtodos para resolver sistemas de ecuacioneslineales y elegir el que consideres mejor de acuerdo al problema que tengas que resolver.

    Hasta aqu has estudiado las bases del lgebra lineal. Decimos las bases porque el lgebra lineal, ascomo todas las ramas del conocimiento humano, es tan extensa que no puede ser estudiada en sutotalidad en una asignatura de 72 horas.

    Pero el objetivo de sta no es agotar el conocimiento del lgebra lineal sino que comiences tu camino

    para la aplicacin de la misma ms adelante, en tu vida acadmica y profesional.

    Por ltimo, distinguiste cmo el lgebra lineal tiene muchas aplicaciones quefacilitan la resolucin de problemas. Finalmente, estudiaste cmo es queimplcitamente aplicamos las nociones bsicas del lgebra lineal an en nuestrasactividades ms cotidianas.

    Ahora ya cuentas con las bases para identificar las situaciones en las que puedasaplicar sta herramienta u otra que aprenders a lo largo de tu carrera o lacombinacin de varias de ellas.

    Fuentes de consulta

    Kolman, B.; Hill Bernard Kolman; David R. Hill (2006).lgebra lineal(8a.Edicin), Mxico: Pearson Educacin.

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    Lay, D. C. (2007).lgebra lineal y sus aplicaciones(tercera edicin). Mxico:Pearson Educacin.

    Williams, G. (2004).lgebra lineal con aplicaciones. Mxico: Mc Graw Hill.

    Fuentes electrnicas

    Aznar, E. (2007). Biografa de Gerolamo Cardano. Universidad de Granada.Facultad de Ciencias (Seccin de Matemticas) Departamento de lgebra.[en lnea]. Consultado el 10 de noviembre de 2010 en:http://www.ugr.es/~eaznar/cardano.htm

    Corcobado, J. L. y Marijun, J. (s/f). Matemticas I[en lnea]. Consultado el11 de octubre de 2010 en: http://www.sectormatematica.cl/libros.htm