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Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial)

1 de 1

Matrices Una matriz de m x n con elementos en C es un arreglo de la forma

aaa

aaa

aaa

mnmm

n

n

KKK

KKK

KKK

M

21

22221

11211

donde a 11, a 12, ..., a mn Є ℮ y m, n Є Z. La matriz es de orden m x m. [a 11, a 12,..., a 1n ] primer renglón [a 21, a 22,... a 2n ] segundo renglón [a i1, a i2,..., a in ] i-ésimo renglón en forma análoga

a

a

a

nj

j

j

M

2

1

j-ésima columna

Definición Sean A= [a ij] y B= [bij] dos matrices de m x n con elementos en C. A y B son iguales, lo que representamos con A=B, si: a ij= bij; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n Adición de matrices y multiplicación por un escalar.


2 de 2

La adición Definición Sean A= [a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La suma A + B es una matriz s = [sij] de m x n definida por Sij = a ij + bij i = 1,2,..., m y j = 1,2,..., n Ejemplo:

Sean A=

+

+12

37i

i; B=

−+43

25i

ii; C=

− 154361

ii

A+B=

+++

−++++413)2(

)2()3()5(7ii

iii

=

++

542512

ii

A+C No existe porque no son del mismo orden. “No son conformables para la suma”. Teorema Si A, B y C son matrices de m x n cuyos elementos son números complejos, entonces: 1) A+(B+C) = (A+B)+C asociatividad 2) A+B = B+A conmutatividad 3)∃ la matriz 0 de orden m x n tal que A+ (-A)=0 elemento neutro Definición


3 de 3

Sean A= [a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La diferencia A-B se define como A-B= A+ (-B) A-B= (A+(-B) = ([a ij + (-bij)] = [a ij - bij]

Para las matrices definidas en el ejemplo anterior:

A-B =

+

+12

37i

i -

−+43

25i

ii =

−−+

−−++−413)2(

)2()3()5(7ii

iii

=

−−+−

322212

iii

A-C No son conformables para la sustracción. Multiplicación por un escalar Definición Sean A=[a ij] una matriz de m x n con elementos en C y α Є C. El producto α A es una matriz E dada por E = [ ]ije de m x n definida

ije = α a ij; para i= 1,2,...,m y j = 1,2,..., n si α = 3i

αA=3i

+

+12

37i

i=

+

+)1(3)2(3

)3(3)7(3iii

iii =

−

−ii

ii336

3921 (i-i)=i2=-1

Teorema


4 de 4

Si A y B son matrices de m x n con elementos en C y ∞ β Є C, entonces 1) α (A+ β ) = α A+α B 2) (α +B) A = α A +BA 3) α (BA) = (α B)A Multiplicación de matrices Definición Sean A=[a ij] y B=[bij] dos matrices con elementos en C, de m x n y n x q, respectivamente. El producto AB da como resultado p= [pij], de m x q, definida por

pij =bkj

n

k ika∑

=1 para i = 1,2…………m

j = 1,2…………n

=

PB

j

Ai

pij

Teorema Sean A, B y C matrices de m x n, n x p y p x q, respectivamente, entonces: A(BC)=(AB)C Teorema


5 de 5

Sean A,B y C matrices de m x n, n x p y n x p respectivamente y D, E y F matrices de m x n, m x n y n x p, respectivamente, cuyos elementos son numeros complejos. Entonces:

1) A(B+C) = AB+AC 2) (D+E)F = DF+EF

Definición Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n,

In= [ ]δ ij tal que

ij∂ = 1 si i =j

ij∂ = 0 si i ≠ j

ij∂ Delta de kronecker

I3 =

100010001

Matriz de identidad de orden 3

Ejemplo: Sean las matrices

A=

142

031

B=

1234

C=

3201

3 X 2 2 X 2 2 X 2

Demostrar que A(BC) = (AB)C


6 de 6

22

222222

32910

3201

1234

x

xxx

BC

=

=

23

232223

34910

3234

142

031

x

xxx

AB

=

=


7 de 7

( )

23

232223

33915

44618

34910

142

031

x

xxx

BCA

=

=

( )

( ) ( )CABBCAx

CAB

xxx

=∴

=

=

23

33915

44618

3201

1135

2208

232223


8 de 8

Ejemplo: Sean A y B dos matrices de 4 x 5 y C, D y E de 5 x 2, 4 x 2 y 5 x 4, respectivamente. Determinar cuáles de las siguientes operaciones son conformables. a) AB

A B No son conformables para la multiplicación

4x5 4x5 |---/---| b) AC+D

A C + D Matriz de 4 x 2

4x5 5x2 4x2 |---/---| |----/----| 4 x 2 |--------/---------| 4 x 2 c) AE + B

A E + B

4x5 5x4 4x5 No son conformables para la suma |------------| 4 x 4


9 de 9

d) E (A + B) E (A + B) 5x4 4x5 4x5 Matriz de 5x5 |--------| 4x5 |------------| |----------------| 5x2

e) E (AC) E (A C) 5x4 4x5 5x2 Matriz de 5x2 |------| 4x2 |--------| |---------------| 5x2 Inversa de una matriz Definición Sea A una matriz de mxn con elementos en C. Una matriz X se dice que es inversa de A si: XA=AX=In Y se representa con A-1

A, X y A-1 son matrices cuadradas de orden n. Si A tiene inversa ⇒ matriz “no singular” Si A no tiene inversa ⇒ matriz “singular”


10 de 10

Matrices elementales Definición Una matriz elemental es aquella que se obtiene aplicando a In una transformación elemental y se representa con In (i,j) Se obtiene intercambiando los renglones i y j de In In k(i) Se obtiene multiplicando por un número k≠ 0 el renglón i de In In k(i,j) Se obtiene multiplicando por k el renglón i de In Ejemplo:

Sea la matriz A=

214735142

Se aplica la transformación T1 igual a I3

(1,2)

E1= I3 (1,2) =

100001010

Si multiplicamos E, A se tiene

A1 = EA =

=

214142735

214735142

100001010

E1= Matriz elemental Teorema Las matrices elementales son “no singulares”


11 de 11

Teorema El producto de dos matrices elementales es una matriz “no singular” Supongamos que existe una sucesión finita de matrices elementales

IAA nT

KTT KA →→→ −11 ,21 K

Entonces existe una sucesión finita de matrices elementales E1, E2, ..., Ek

(( )( ) )( ) IEEE

IEEE

nK

nK

AA=

=

12

12

K

KK

Si llamamos P al producto (Ek ... E2 E1) se tendrá que PA= In Como P es un producto de matrices elementales, P es “no singular” y existe P-1

P-1(PA)= P-1In (P-1P)A= P-1

InA= P-1

A= P-1

Si post multiplicamos por P AP= P-1P AP=In En consecuencia PA=AP=In ∴P es la inversa de A


12 de 12

Se tiene que P= Ek... E2 E1

=( Ek... E2 E1)In = Ek(...(E2(E1,In))...) por lo tanto, P se obtiene aplicando a In una sucesión de transformaciones elementales T1, T2,... Tk

T1 Tk [A | In] → ...→[In | A-1] Inicialmente el arreglo tiene del lado izquierdo la matriz A y del lado derecho la matriz identidad In. Se efectúan (en ambas matrices) las transformaciones necesarias para obtener del lado izquierdo la matriz In y al finalizar el proceso se obtiene del lado derecho la matriz A-1. Ejemplo:

Determinar la inversa de la matriz A=

6543

[ ]

=

1001

6543

2IA ~

−− 135

031

3203

41

R1/3

R1(- ∂ ) + R2

−

−2325

231001

R2 (-3/2)


13 de 13

R2 (-1/3) + R1

∴A-1 = ½

−

−35

46

A es NO singular Ejemplo: Encontrar, si existe, A-1 para

A=

854213641

−−−

111013001

854213641

~

−−

−−−−

104013001

1611016110641

R1(3)+ R2

R1(4)+ R3

−−−−−

111013001

00016110641

R2(-1)+ R3


14 de 14

El ultimo renglón de la resultante maestra que no se puede transformar en I3; por tanto, A-1no existe A es singular Ecuaciones con matrices Un ejemplo de ecuaciones con matrices la constituye la llamada representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede quedarse representada por la ecuación AX=B Donde A – Matriz de coeficientes, de mxn B – Vector de términos independientes, de nxl X – Vector de incógnitas de mxl Si ∃ A-1 se tiene AX=B A-1(AX)= A-1B (A-1A)X= A-1B InX= A-1B X= A-1B Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones lineales que se plantea X1+3X3=2 X2 -2X3=-1 X1+X2+2X3=3


15 de 15

A=

−211210

301 X=

321

XXX

B=

−31

2

A-1=

−−−−

−

111212334

∴X= A-1B=

−

−−−−

−

31

2

111212334

X=

−

234

Es decir: X1=-4 X2=3 X3=2 Ejemplo: Obtener la matriz X1, si existe tal que XA+B=XC

Si A=

−

−4212

; B=

−−

1123

; C=

−−

2111

XA+B=XC X-1[XA+B] = X-1[XC] X-1 XA+ X-1 B = X-1XC InA + X-1 B = InC A+ X-1 B=C


16 de 16

[A+ X-1 B] –A= C-A A+ X-1 B –A= C-A X-1 B=C-A X[X-1 B]=X[C-A] InB=X[C-A] B=X[C-A] B[C-A]-1= [X[C-A]] [C-A]-1

B[C-A]-1= XIn B[C-A]-1=X X=B[C-A]-1

C-A=

−−

2111

-

−

−4212

=

−

−63

21

[C-A]-1

−

−→

0001

6321

~

−−1301

0021

( )( ) RR

R

21

1

31+−

−

(C-A) es una matriz singular ∴ ∃ [C-A]-1 y no es posible determinar X. Se presentan algunas diferencias importantes entre el álgebra de los números y el de las matrices:


17 de 17

1) Podemos sumar o multiplicar dos números cualesquiera, mientras que no siempre podemos hacerlo con las matrices, éstas deben ser conformables para la suma o la multiplicación.

2) La multiplicación de números es conmutativa, mientras que la multiplicación de

matrices no lo es. Para los números se tiene: Si b=c ⇒ab=ac Si b=c ⇒ab=ca Para las matrices: Si B=C ⇒AB=AC Si B=C ⇒AB=CA 3) El producto de dos números diferentes de cero es diferente de cero, mientras que la

multiplicación de dos matrices diferentes de cero puede ser igual a la matriz de cero. Para las matrices

A=

−−3913

B=

−−−

6321

AB=

=

−

−

−−0000

6321

3913

A≠ 0 B≠ 0 AB≠ 0 Tipo Especial de Matrices Diagonal principal, triangular superior y triangular inferior

Diagonal principal → a ii

Triangular superior → a ij tal que i<j


18 de 18

Triangular inferior→ a ij tal que i>j Traza Definición Sea A=[a ij] una matriz de n x n con elementos en C. Se llama traza de A, y representa con trA, al número

∑=

n

iiia

1

Ejemplo

Sea A=

− i

i

230412135

trA= 5i+1+(-2i) = 1+3i Teorema Si A y B son dos matrices de nxn con elementos en C y ∝ ∈C . 1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B) 2) tr(∝A) = ∝ [tr(A)] 3) tr(AB) = tr(BA) Matrices triangulares Definición Sea A=[ a ij] una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que

1) A es triangular superior si a ij=0 para i>j


19 de 19

2) A es triangular inferior si a ij=0 para i<j

600540321

Triangular superior

654032001

Triangular inferior

Teorema Si A y B son dos matrices triangulares superiores (inferiores) del mismo orden y C∈α entonces

1) A+B es triangular superior (inferior)

2) ∝A es triangular superior (inferior)

3) AB es triangular superior (inferior) Matriz Diagonal Definición Sea A=[ a ij] un matriz de nxn con elementos en C. Se dice que A es una matriz diagonal si a ij=0 para i ≠ j y se representa con diag (a11,, a22,..., ann)

000020001

i Matriz diagonal

diag (1,2i,0)


20 de 20

Teorema Si A y B son dos matrices diagonales diag A =(a11, a22,..., ann) diag B = (b11, b22,..., ann)

1) A+B = diag (a11 + b11, a22 + b22,..., ann bnn)

2) ∝A= diag (∝a11, ∝ a22,..., ∝ann)

3) AB =(a11b11, a22b22,..., annbnn)

4) A-1 = diag (1/a11, 1/ a22,..., 1/ann)

Si A es no singular Regla de Sarrus Cálculo de determinantes Este método se emplea para determinantes de segundo y tercer orden

2221

1211

aaaa

= a11a22 - a21a12

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaa

= (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23) - (a21a12a33 +

a11a32a23 + a31a22a13 )


21 de 21

Ejemplo

Obtenga el det A, para A =

7531 ( )( ) ( )( )3571 −

det A = 7-15 det A = -8

A=

−141523541

det A =

523541

141523541

−

( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ] ( )( )( )[ ]

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]601878

521541143541543121

=−=++−

−++−=

Desarrollo por cofactores Sea

A =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa


22 de 22

det A = a11(-1)1+13332

2322

aaaa

+

a 12(-1)1+23331

2321

aaaa

+

a13(-1)1+33231

2221

aaaa

Definición Sea A= [a ij] una matriz de n x n con elementos en C (-1) i+j Mij

Teorema Si A= [a ij ] es una matriz de n xn con elementos en e y r un número entero tal que

nr ≤≤1 , entonces

ca

ca

irir

n

i

rjrj

n

j

A

A

∑

∑

=

=

=

=

1

1

det)2

det)1

Ejemplo

Sea A =

−−−

245342013

Calcular det A

det A= 3(-1)1+1 24

34−

− + (1)(-1)1+2

2532−

− + (0)(-1)1+3

4542 −−

= 3[(8)-(12)] -1 [(4)-(15)]


23 de 23

= 3(-4) -1(-11)

=-12+11

det A =-1

Método de condensación

Este método se basa en lo siguiente:

1) Elegir una línea que contenga el mayor número de ceros posible.

2) Elegir un elemento no nulo de dicha línea (de preferencia 1 ó -1) y aplicar reiteradamente transformaciones elementales hasta reducir a ceros el resto de los elementos de la línea.

3) Desarrollar los factores según dicha línea.

4) Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un determinante de tercer o segundo orden y obtener su valor por medio de la regla de Sarrus

Ejemplo Calcular el determinante de la matriz A

A=

−−

−−−

1042113120

012111012332511

Seleccionamos la cuarta columna para efectuar el desarrollo y para “pivote” el tercer elemento de dicha columna. Se multiplica por 2 y -3 el renglón 3 y se suma a los renglones 1 y 4, respectivamente.


24 de 24

det A =

1042113120

0121110123

32511

−−

−−−−

~

1042110553

0121110123

30111

−−−−

−−−

desarrollamos por cofactores la columna 4

det A= (1)(-1)3+4

142115531123

3111

−−−−

−−

Se escoge el primer renglón para el desarrollo y el elemento de la primer columna como pivote

det A= (-1)

142115531123

3111

−−−−

−−

c1 (1)+ c2

c1 (1)+ c3

c1 (-3)+ c3

=-1

25318823104530001

−−−

−


25 de 25

det A= (-1)(1)(-1)1+1

2538821045

−−

−

c1 (4)+ c2

c1 (-4)+ c3

det A = -1

1417300230245

−

−

det A= -1(2)(-1)2+1 14173024

−−

det A= 2[(24)(-14)-(17)(-30)] =2 (-336+510) =348 Cálculo de la inversa por medio de la adjunta Sea A= [a ij ] una matriz de n x n con elementos en C. y sea cij el cofactor del elemento a ij. Se llama adjunta de A a la matriz Adj A= [ ]bij donde bij= cij.

Considérese la matriz A = 461421321

c11 = (-1)2 4642

= 8-24=-16


26 de 26

c12 = (-1)3 4141

= (-1)[4-4]=0

c13 = (-1)4 6121

= 6-2=4

c21 = (-1)-3 4632

= (8-18)(-1)=10

c22 = (-1)4 4131

= (4-3)=1

c23 = (-1)5 6121

= (6-2)(-1)=-4

c31 = (-1)4 4232

= (8-6)=2

c32 = (-1)5 4131

= (4-3)(-1)=-1

c33 = (-1)6 2121

= (2-2)=0

∴Adj A =

−−

−=

044110

21016

332313

322212

312111

ccccccccc

∴ A Adj A =

−−

−=

044110

21016

461421321


27 de 27

= 4400

040004

−=

−−

−I3

¿Cuál es la relación de -4 con la matriz A? si calculamos detA

det A= 4461421321

−=

es decir Si A es una matriz de n x n con elementos en C, entonces A(Adj A) = (det A)A=(detA)In Teorema Sea A una matriz de n x n con elementos en e. A-1 existe si y sólo si A 0≠

* A-1 = Adet

1 (Adj A)

* Si ∃ A-1 entonces det A-1

Adet1

En el ejemplo anterior,

A-1 = 1/-4

−−

−

044110

21016

Ejemplo

Calcular la inversa de A=

4121

utilizando el método de la adjunta


28 de 28

c11 = (-1)2 (4)=4 c12 = (-1)3 (1)=-1 c21 = (-1)-3 = (2)=-2 c22 = (-1)4 (1)=1

∴Adj A =

−

−=

1124

2212

2111

cccc

det A= 2244121

=−=

A-1=1/2

−

−1124

Solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer Sea a11 x 1 + a12 x 2 +...+a1n x n = b1 a21 x 1 + a22 x 2 +...+a2n x n = b2

* * * *

* * * *

* * * *

an1 x 1 + an2 x 2 +...+ann x n = bn

Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y sea A=[ ]aij su matriz de coeficientes


29 de 29

A =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

...

...

21

22221

11211

Si det A ≠ 0 entonces

x k = AAk

detdet para k=1,2,…n

donde Ak = [Cij] es tal que

Cij

=≠

kjparakjpara

ij

ij

b

a

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer 3 x 1-4 x 2 =-5 2 x 1+ x 2 = 4

A=

−1243

B=

−45

[ ]21

45

1243

321 ij

bA

−−−=

det A = 1243 −

=3+8=11


30 de 30

det A1= 1445 −−

= -5+16=11

k=1 ∴b1

det A2= 4253 −

= 12+10=22

k=2 ∴b2

x 1 = 11111

detdet 1

==AA

x 2 = 21122

detdet 2

==AA

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