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Espacios de una Matriz Ma130 - p. 1/46

Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130

Espacios de una MatrizDepartamento de Matemáticas

ITESM

Espacios de A

- Espacio Columna- Espacio RenglonEspacio LinealSubespacioAX = B

XA = B


Espacios de una Matriz

Primeramente veremos dos espacios asociados auna matriz A: el espacio columna y el espaciorenglón. Existen dos resultados importantes: unoque formula el problema de pertenencia a unespacio columna como un problema paradeterminar la consistencia de un sistema lineal.Este resultado permite resolver sistemas deecuaciones lineales. Y el otro que permite lacomparación entre dos espacios generados: estopermite resolver ecuaciones matriciales.

Espacios de A


XA = B


Definici onSea A una matriz m× n, el espacio columna de A

es el conjunto de aquellos vectores de Rm que sepueden expresar como combinaciones lineales delas n columnas de la matriz A.

Espacios de A


XA = B



es el conjunto de aquellos vectores de Rm que sepueden expresar como combinaciones lineales delas n columnas de la matriz A. Así, el espaciocolumna de A consiste de aquellos vectores de laforma

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan

Donde x1, x2, . . . , xn son escalares y los vectoresa1, a2, . . . , an son las columnas de la matriz A.

Espacios de A


XA = B



es el conjunto de aquellos vectores de Rm que sepueden expresar como combinaciones lineales delas n columnas de la matriz A. Así, el espaciocolumna de A consiste de aquellos vectores de laforma

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan

Donde x1, x2, . . . , xn son escalares y los vectoresa1, a2, . . . , an son las columnas de la matriz A.Observe que la fórmula anterior es Ax. De estaobservación y de la definición misma del espaciocolumna se tiene:

Espacios de A


XA = B


Teorema

Para cualquier matriz A m× n y vector b enRm:b está en el espacio columna de A si y sólosi Ax = b es consistente.

Espacios de A


XA = B


Ejemplo

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2

indique si el espacio columna de A incluye alvector b =< 4,−2,−3 >.

Espacios de A


XA = B


Ejemplo

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2

indique si el espacio columna de A incluye alvector b =< 4,−2,−3 >.Soluci on

2 −4 0 0 4

−1 2 0 0 −2

0 0 1 2 −3

→

1 −2 0 0 2

0 0 1 2 −3

0 0 0 0 0

4

−2

−3

= 2

2

−1

0

+ 0

−4

2

0

− 3

0

0

1

+ 0

0

0

2

Espacios de A


XA = B


Ejemplo

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2

indique qué condición debe satisfacer un vector b =< x, y, z > parapertenecer al espacio columna de A.

Espacios de A


XA = B


Ejemplo

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2

indique qué condición debe satisfacer un vector b =< x, y, z > parapertenecer al espacio columna de A.Soluci on

Como en el problema anterior, b ∈ C(A) si y sólo si [A|b] esconsistente.

Espacios de A


XA = B


Ejemplo

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2


Como en el problema anterior, b ∈ C(A) si y sólo si [A|b] esconsistente. Y como la consistencia se deduce de la escalonada,hacemos los siguientes cálculos para escalonar:

2 −4 0 0 x

−1 2 0 0 y

0 0 1 2 z

→

2 −4 0 0 x

0 0 2 4 2 z

0 0 0 0 2 y + x

Espacios de A


XA = B


Ejemplo

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2


Como en el problema anterior, b ∈ C(A) si y sólo si [A|b] esconsistente. Y como la consistencia se deduce de la escalonada,hacemos los siguientes cálculos para escalonar:

2 −4 0 0 x

−1 2 0 0 y

0 0 1 2 z

→

2 −4 0 0 x

0 0 2 4 2 z

0 0 0 0 2 y + x

Por tanto, < x, y, z >∈ C(A) si y sólo si 2 y + x = 0.

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 1

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2

Diga si el siguiente vector pertence a suespacio columna.

b =

4

1

1

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 2

Si

A =

2 −4 0 0

−1 2 0 0

0 0 1 2

¿Cómo debe ser el vector general de R3

para pertenecer a el espacio columna de lamatriz A?

Espacios de A


XA = B


Definici onEl espacio renglón de una matriz A m× n es elconjunto de todos los vectores de Rn que soncombinaciones lineales de los renglones de A.

Espacios de A


XA = B


Definici onEl espacio renglón de una matriz A m× n es elconjunto de todos los vectores de Rn que soncombinaciones lineales de los renglones de A.Así, la forma general del espacio renglón de A es:

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xmam

donde x1, x2, . . . , xm son escalares y a1, a2, . . . , am

son los renglones de A.

Espacios de A


XA = B


Notaci on1. El símbolo C(A) representará el espacio

columna de la matriz A.

Espacios de A


XA = B


Notaci on1. El símbolo C(A) representará el espacio

columna de la matriz A.2. El símbolo R(A) representará el espacio

renglón de A.

Espacios de A


XA = B


Espacios Lineales

Definici onUn conjunto no vacío V de matrices m× n se diceespacio lineal si cumple :

Espacios de A


XA = B


Espacios Lineales

Definici onUn conjunto no vacío V de matrices m× n se diceespacio lineal si cumple :1. El conjunto es cerrado bajo la suma.

Espacios de A


XA = B


Espacios Lineales


Es decir, si A y B son dos matrices cualquierade V , entonces A+B también es un elementode V .

Espacios de A


XA = B


Espacios Lineales



2. El conjunto es cerrado bajo el producto porescalares.

Espacios de A


XA = B


Espacios Lineales



2. El conjunto es cerrado bajo el producto porescalares.Es decir, si A es una matriz cualquiera de V y k

es un escalar cualquiera, entonces kA es unamatriz que también pertence a V .

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 3

Demuestre que para cualquier matriz, suespacio columna es un espacio lineal.

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 4

Demuestre que el conjunto {0} es unespacio lineal.

Espacios de A


XA = B


El siguiente teorema (Teorema 1 en la lectura)permite establecer la relación entre el espaciocolumna y el espacio renglón:Ejercicio 5

Demuestre la siguiente afirmación:Para cualquier matriz A, y ∈ C(A) si ysólo si y′ ∈ R(A′).

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 6

Demuestre la siguiente afirmación:Sean A y B matrices m× n, y V unespacio lineal de matrices m× n. SiA ∈ V : A+B ∈ V si y sólo si B ∈ V .

Espacios de A


XA = B


Definici onSea V un espacio lineal de matrices m× n, unsubconjunto U de V se dice subespacio lineal deV si U es a su vez un espacio lineal.


El siguiente teorema permite comparar espacios generadosreduciendo al problema de saber si los generadorespertenecen a un espacio lineal:

Teorema

Sea A una matriz m× n. Entonces, para cualquiersubespacio U de Rm:

C (A) ⊆ U si y sólo si cada columna de A pertenece a U


El siguiente teorema permite comparar espacios generadosreduciendo al problema de saber si los generadorespertenecen a un espacio lineal:

Teorema

Sea A una matriz m× n. Entonces, para cualquiersubespacio U de Rm:

C (A) ⊆ U si y sólo si cada columna de A pertenece a U

Similarmente, para cualquier subespacio V de R1×n,R(A) ⊆ V si y sólo si cada renglón de A pertence a V .

Espacios de A


XA = B


Demostraci onSea a = [a1, a2, . . . , an].■ Si C (A) ⊆ U , entonces ai ∈ U dado queai = 0 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 1 · ai + · · ·+ 0 · an.

■ Supongamos que ai ∈ U . Si y ∈ Col(A)entonces deben existir escalares x1, x2, . . . , xn

tales que

y = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan

Como cada ai pertenece a U , también xiai ∈ U

al ser cerrado bajo el producto por escalares ytambién

y = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan ∈ U

por ser U cerrado bajo la suma.

Espacios de A


XA = B


Ecuaciones con Matrices

Los siguientes resultados relacionan los espaciosasociados una matriz con la solución deecuaciones con matrices en el caso general queocurre con matrices no cuadradas o singulares.

Espacios de A


XA = B


En el siguiente resultado se da la clave pararesolver sistemas de la forma AX = B:

Teorema

Para cualquier matrices A m× n, y B m× q,

Espacios de A


XA = B


En el siguiente resultado se da la clave pararesolver sistemas de la forma AX = B:

Teorema

Para cualquier matrices A m× n, y B m× q,C(B) ⊆ C(A) si y sólo si existe una matriz X

que cumpla B = AX. Similarmente, paracualquier matrices A m× n, C q × n,R(C) ⊆ R(A) si y sólo si existe una matriz Z

q ×m tal que C = ZA.

Espacios de A


XA = B


Demostraci onSean b1,b2, . . . ,bq las columnas de B. Existe unamatriz X que cumple B = AX si y sólo si existenvectores columna x1,x2, . . . ,xq de dimensión n

tales quebi = Axi

esto es si y sólo si xi ∈ C(A).

Espacios de A


XA = B


precisamente los vectores xi contiene loscoeficientes en orden de las columnas de la matrizA que dan como resultado los vectores xi.


Ejemplo

Consideremos las matrices:

A =

1 −1 0 1 1

2 −2 1 3 1

3 −3 1 4 1

0 0 1 1 0

y B =

2 1 1 0

4 2 1 1

6 3 2 1

0 0 −1 1

Verifique si acaso C(B) ⊆ C(A).

Espacios de A


XA = B


Soluci onDebemos verificar si cada columna de la matriz B

es combinación lineal de las columnas de la matrizA. De entrada, este proceso debe hacersecolumna a columna:


Columna 1 de B

Construimos la matriz aumentada [A|b1] y aplicamoseliminación gaussiana:

[A|b1] =

1 −1 0 1 1 2

2 −2 1 3 1 4

3 −3 1 4 1 6

0 0 1 1 0 0

→

1 −1 0 1 0 2

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0


Columna 1 de B


[A|b1] =

1 −1 0 1 1 2

2 −2 1 3 1 4

3 −3 1 4 1 6

0 0 1 1 0 0

→

1 −1 0 1 0 2

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

Por lo tanto,

b1 = 2 a1 + 0 a2 + 0 a3 + 0 a4 + 0 a5


Columna 2 de B


[A|b2] =

1 −1 0 1 1 1

2 −2 1 3 1 2

3 −3 1 4 1 3

0 0 1 1 0 0

→

1 −1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0


Columna 2 de B


[A|b2] =

1 −1 0 1 1 1

2 −2 1 3 1 2

3 −3 1 4 1 3

0 0 1 1 0 0

→

1 −1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

Por lo tanto,

b2 = 1 a1 + 0 a2 + 0 a3 + 0 a4 + 0 a5


Columna 3 de B


[A|b3] =

1 −1 0 1 1 1

2 −2 1 3 1 1

3 −3 1 4 1 2

0 0 1 1 0 −1

→

1 −1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 −1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0


Columna 3 de B


[A|b3] =

1 −1 0 1 1 1

2 −2 1 3 1 1

3 −3 1 4 1 2

0 0 1 1 0 −1

→

1 −1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 −1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

Por lo tanto,

b3 = 1 a1 + 0 a2−1 a3 + 0 a4 + 0 a5


Columna 4 de B


[A|b4] =

1 −1 0 1 1 0

2 −2 1 3 1 1

3 −3 1 4 1 1

0 0 1 1 0 1

→

1 −1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0


Columna 4 de B


[A|b4] =

1 −1 0 1 1 0

2 −2 1 3 1 1

3 −3 1 4 1 1

0 0 1 1 0 1

→

1 −1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

Por lo tanto,

b4 = 0 a1 + 0 a2 + 1 a3 + 0 a4 + 0 a5

Espacios de A


XA = B


Como cada columna de B es combinación linealde las columnas de A

Espacios de A


XA = B


Como cada columna de B es combinación linealde las columnas de A , C(B) ⊆ C(A).

Espacios de A


XA = B


Como cada columna de B es combinación linealde las columnas de A , C(B) ⊆ C(A). La matriz X

que hace referencia el teorema anterior es aquéllaconstituida por los coeficientes de lascombinaciones lineales considerados comocolumnas:

Espacios de A


XA = B


Como cada columna de B es combinación linealde las columnas de A , C(B) ⊆ C(A). La matriz X

que hace referencia el teorema anterior es aquéllaconstituida por los coeficientes de lascombinaciones lineales considerados comocolumnas:

X =

2 1 1 0

0 0 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

Espacios de A


XA = B


Es importante observar que los cálculos se pueden conjuntar enuno sólo como ya se ha comentado en otros apartados:

[A|B] →

1 −1 0 1 0 2 1 1 0

0 0 1 1 0 0 0 −1 1

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

y cómo esta se relaciona con la solución construida:

X =

2 1 1 0

0 0 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

Espacios de A


XA = B


Cabe observar que en los sistemas de ecuacionesque surgen al buscar los coeficientes de lasposibles combinaciones lineales que dan losvectores bi como combinación lineal de los aj

existen soluciones infinitas.

Espacios de A


XA = B



existen soluciones infinitas. Por consiguiente, lamatriz X localizada no es única.

Espacios de A


XA = B



existen soluciones infinitas. Por consiguiente, lamatriz X localizada no es única. ¿Cómo localizartodas las posibles matrices X que cumplenAX = B?

Espacios de A


XA = B


Ejemplo


A =

1 1 2

2 1 3

3 1 4

y B =

2 −1 3

4 −2 4

6 −3 5

Encuentre, si existen, todas las matrices X quecumplen:

AX = B


Apliquemos el proceso de eliminación gaussiana a la matrizaumentada [A|B]:

[A|B] =

1 1 2 2 −1 3

2 1 3 4 −2 4

3 1 4 6 −3 5

→

1 0 1 2 −1 1

0 1 1 0 0 2

0 0 0 0 0 0

Espacios de A


XA = B


Así:

Espacios de A


XA = B


Así:

b1 = (2− x) a1 + (0− x) a2 + (0 + x) a3

Espacios de A


XA = B


Así:

b1 = (2− x) a1 + (0− x) a2 + (0 + x) a3

b2 = (−1− y) a1 + (0− y) a2 + (0 + y) a3

Espacios de A


XA = B


Así:

b1 = (2− x) a1 + (0− x) a2 + (0 + x) a3

b2 = (−1− y) a1 + (0− y) a2 + (0 + y) a3

b3 = (1− z) a1 + (2− z) a2 + (0 + z) a3

Observe que hemos puesto diferentes variableslibres debido a que los cálculos anteriores tienenque ver con 3 sistemas de ecuaciones diferentes;y cada uno de ellos tiene sus variables libresindependientes de las variables libres de los otrossistemas.


Por lo tanto,

X =

2− x 1− y 1− z

−1− x 0− y 2− z

0 + x 0 + y 0 + z


Por lo tanto,

X =

2− x 1− y 1− z

−1− x 0− y 2− z

0 + x 0 + y 0 + z

ó

X =

2 −1 1

0 0 2

0 0 0

+ x

−1 0 0

−1 0 0

1 0 0

+ y

0 −1 0

0 −1 0

0 1 0

+ z

0 0 −1

0 0 −1

0 0 0

Espacios de A


XA = B


Observe que en el ejemplo anterior la matriz A notiene inversa y eso no limita que podamos resolverAX = B.

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 7


A =

1 1 2

1 2 3

1 1 2

y B =

2 0 3

3 −1 5

0 0 3

Encuentre, si existen, todas las matrices X

que cumplen:AX = B

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 8


A =

1 1 1

1 2 −1

1 1 −1

y B =

2 0 3

3 −1 5

0 0 3


que cumplen:AX = B

Espacios de A


XA = B


Resolviendo XA = B

Sabiendo cómo se resuelve CY = D, es decir,una ecuación matricial con la incógnitamultiplicando a la derecha, es relativamente fácilresolver una donde la incógnita multiplica a laizquierda:

XA = B

Para ello, tomemos la transpuesta de la ecuacióna resolver, por la propiedades algebraicasconocidas nos queda:

A′ X′ = B′

Ahora basta tomar Y = X′, C = A′, y D = B′ yresolver para Y. Una vez resuelta para Y,tomamos X = Y′.

Espacios de A


XA = B


Ejemplo


A =

[

2 3

−4 −6

]

y B =

[

0 0

6 9

]

Encuentre, si existe, una matriz X que cumpla:

XA = B

Espacios de A


XA = B


Ejemplo


A =

[

2 3

−4 −6

]

y B =

[

0 0

6 9

]


XA = B

Soluci onDe XA = B al tomar la transpuesta y usar laspropiedades queda: A′ X′ = B′.

Espacios de A


XA = B


Ejemplo


A =

[

2 3

−4 −6

]

y B =

[

0 0

6 9

]


XA = B

Soluci onDe XA = B al tomar la transpuesta y usar laspropiedades queda: A′X′ = B′. Tomando Y = X′

la ecuación queda:

A′ Y = B′

Espacios de A


XA = B


Trabajamos esta ecuación como antes

[A′|B′] →

[

1 −2 0 3

0 0 0 0

]

Espacios de A


XA = B



[A′|B′] →

[

1 −2 0 3

0 0 0 0

]

Por tanto, C(B′) ⊆ C(A′) y el sistema tienesolución para Y. Y una solución para Y es:

Y =

[

0 3

0 0

]

Espacios de A


XA = B



[A′|B′] →

[

1 −2 0 3

0 0 0 0

]

Por tanto, C(B′) ⊆ C(A′) y el sistema tienesolución para Y. Y una solución para Y es:

Y =

[

0 3

0 0

]

Y así

X = Y′ =

[

0 0

3 0

]

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 9


A =

1 1 1

1 2 −1

1 1 −1

y B =

2 0 3

3 −1 5

0 0 3


que cumplen:BX = A

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 10


A =

1 1 1

1 2 −1

1 1 −1

1 0 0

y B =

2 0 3

3 −1 5

0 0 3


que cumplen:XA = B

Espacios de A


XA = B


Corolario

Para cualquier matrices A m× n y F n× q,C(AF) ⊆ C(A).

Espacios de A


XA = B


Corolario

Para cualquier matrices A m× n y F n× q,C(AF) ⊆ C(A). Similarmente, si L es unamatriz q ×m, R(LA) ⊆ R(A).

Espacios de A


XA = B


Corolario


Es una consecuencia inmediata el teorema 4:

Espacios de A


XA = B


Corolario


Es una consecuencia inmediata el teorema 4:C(B) ⊆ C(A) si y sólo si existe X tal que AX = B

Basta tomar B = AX.

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 11

Demuestre

Corolario

Para cualquier matrices A m× n, En× k, F n× p, L q ×m, y T s×m.■ Si C(E) ⊆ C(F), entoncesC(AE) ⊆ C(AF).

■ Si C(E) = C(F), entoncesC(AE) = C(AF).

■ Si R(L) ⊆ R(T), entoncesR(LA) ⊆ R(TA).

■ Si R(L) = R(T), entoncesR(LA) = R(TA).

Espacios de A


XA = B


Ejercicio 12

Demuestre

Corolario

Para cualquier matrices A m× n y B

m× p. Entonces■ Si C(A) ⊆ C(B) si y sólo siR(A′) ⊆ R(B′).

■ Si C(A) = C(B) si y sólo siR(A′) = R(B′).

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