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Elementos de Cálculo en Varias Variables Ma130 - p. 1/47

Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130

Elementos de Cálculo en Varias VariablesDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionParcialesJacobianoDerivadasSuperioresDerivada TotalDerivadaDireccionalGradienteHessianoDerivacionCompuestaDesarrollo deTaylor


Introducción

En esta lectura se dará una revisión rápida aalgunos conceptos importantes en cálculo envarias variables que se requieren para el trabajode optimización. Dos sobre todo de muchaimportancia: el concepto del Jacobiano de unafunción real y el de la matriz Hessiana de unafunción real. El Jacobiano es la generalización delconcepto de primera derivada ya visto en cálculopero en una variable, mientras que el de matrizHessiana corresponde a la generalización de lasegunda derivada parcial también en una variable.Al final de este resumen de conceptos viene unresultado teórico sobre el desarrollo de Taylor deuna función en varias variables.



Derivada parcial

Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn



Derivada parcial

Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , y sea a =< a1, a2, . . . , an > unpunto en el interior de D.



Derivada parcial

Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , y sea a =< a1, a2, . . . , an > unpunto en el interior de D. Suponga que se elijeuna de las variables xi (1 ≤ i ≤ n) si existe el límite



Derivada parcial


lımh→0

f(a + hei) − f(a)

h



Derivada parcial


lımh→0

f(a + hei) − f(a)

hentonces se dice que f tiene derivada parcialrespecto a xi en el punto a.



Derivada parcial


lımh→0

f(a + hei) − f(a)

hentonces se dice que f tiene derivada parcialrespecto a xi en el punto a. Ésta se representapor

∂f(a)

∂xi



Ejemplo

Sea la función f : R3→ R

2 definida por la fórmula

f(< x, y, z >) =< x y, x2 + y z >

y sea P =< 1, 2,−1 >. De acuerdo a la definición, determine ∂f(P)∂x

y ∂f(P)∂z

.



Ejemplo



f(< x, y, z >) =< x y, x2 + y z >


y ∂f(P)∂z

.Soluci on

Como f(P) = f(< 1, 2,−1 >) =< 2,−1 >:



Ejemplo



f(< x, y, z >) =< x y, x2 + y z >


y ∂f(P)∂z

.Soluci on

Como f(P) = f(< 1, 2,−1 >) =< 2,−1 >:

∂f(P)∂x

= lımh→0

f(< 1 + h, 2,−1 >) − f(< 1, 2,−1 >)

h

= lımh→0

< (1 + h) 2, (1 + h)2 + 2(−1) > − < 2,−1 >

h

= lımh→0

< 2 h, 2 h + h2 >

h

= lımh→0

< 2, 2 + h >

= < lımh→0

2, lımh→0

2 + h >

= < 2, 2 + 0 >=< 2, 2 >



En forma análoga,

∂f(P)∂z

= lımh→0

f(< 1, 2,−1 + h >) − f(< 1, 2,−1 >)

h

= lımh→0

< 2, 1 + 2(−1 + h) > − < 2,−1 >

h

= lımh→0

< 0, 2 h >

h

= lımh→0

< 0, 2 >

= < lımh→0

0, lımh→0

2 >

= < 0, 2 > ⋄



En forma análoga,

∂f(P)∂z

= lımh→0

f(< 1, 2,−1 + h >) − f(< 1, 2,−1 >)

h

= lımh→0

< 2, 1 + 2(−1 + h) > − < 2,−1 >

h

= lımh→0

< 0, 2 h >

h

= lımh→0

< 0, 2 >

= < lımh→0

0, lımh→0

2 >

= < 0, 2 > ⋄

Nota

La regla importante sobre límites en el caso de vectoresdice que el límite de un vector es el vector con el límite decada componentee:

lımh→ho

x =< lımh→ho

x1, . . . , lımh→ho

xn >



Ejercicio 1

Sea la función f : R3 → R3 definida por lafórmula

f(< x, y, z >) =< x2− z, x2

− y, y + z >

y sea P =< 1, 2,−1 >. De acuerdo a ladefinición, determine ∂f(P)

∂xy ∂f(P)

∂z.



NotaEn lo siguiente, ya no utilizaremos la definición dederivada parcial sino que utilizaremos lassiguientes reglas básicas de derivación parcial:■ La derivada parcial de un vector es el vector

formado por las derivadas parciales de lascomponentes.

■ La derivada parcial de una expresión se calculacomo una derivada tradicional de una funciónrespecto a una variable considerando lasvariables restantes como constantes.

■ Para calcular una derivada parcial en un punto,se obtiene la derivada parcial en cualquier puntoy posteriormente se evalua en el punto dado.


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33

Determine ∂f(x)∂xi

para i = 1, 2, 3.


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33


para i = 1, 2, 3.Soluci onTenemos:

∂f(x)∂x1

=


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

(x1 x22 + x2 x3

2)


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

(x1 x22 + x2 x3

2) = ∂∂x1

(x1 x22) + ∂

∂x1(x2 x3

2)


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

(x1 x22 + x2 x3

2) = ∂∂x1

(x1 x22) + ∂

∂x1(x2 x3

2) = x22

∂f(x)∂x2

=


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

(x1 x22 + x2 x3

2) = ∂∂x1

(x1 x22) + ∂

∂x1(x2 x3

2) = x22

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

(x1 x22 + x2 x3

2)


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

(x1 x22 + x2 x3

2) = ∂∂x1

(x1 x22) + ∂

∂x1(x2 x3

2) = x22

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

(x1 x22 + x2 x3

2) = 2 x1 x2 + x33

∂f(x)∂x3

=


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

(x1 x22 + x2 x3

2) = ∂∂x1

(x1 x22) + ∂

∂x1(x2 x3

2) = x22

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

(x1 x22 + x2 x3

2) = 2 x1 x2 + x33

∂f(x)∂x3

= ∂∂x3

(x1 x22 + x2 x3

2)


Ejemplo

Si f : R3 → R y

f((x1, x2, x3)′) = x1x2

2 + x2x33



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

(x1 x22 + x2 x3

2) = ∂∂x1

(x1 x22) + ∂

∂x1(x2 x3

2) = x22

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

(x1 x22 + x2 x3

2) = 2 x1 x2 + x33

∂f(x)∂x3

= ∂∂x3

(x1 x22 + x2 x3

2) = 3 x2 x32⋄


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>

Determine las fórmulas de ∂f(x)∂xi

para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>


para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.Soluci on Tenemos:

∂f(x)∂x1

=


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >=< x2, 0 >

∂f(x)∂x2

=


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >=< x2, 0 >

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

< x1 x2, x2 + x32 >


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >=< x2, 0 >

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x2(x1 x2),

∂∂x2

(x2 + x32) >


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >=< x2, 0 >

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x2(x1 x2),

∂∂x2

(x2 + x32) >=< x1, 1 >

∂f(x)∂x3

=


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >=< x2, 0 >

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x2(x1 x2),

∂∂x2

(x2 + x32) >=< x1, 1 >

∂f(x)∂x3

= ∂∂x3

< x1 x2, x2 + x32 >


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >=< x2, 0 >

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x2(x1 x2),

∂∂x2

(x2 + x32) >=< x1, 1 >

∂f(x)∂x3

= ∂∂x3

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x3(x1 x2),

∂∂x3

(x2 + x32) >


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x32

>



∂f(x)∂x1

= ∂∂x1

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x1(x1 x2),

∂∂x1

(x2 + x32) >=< x2, 0 >

∂f(x)∂x2

= ∂∂x2

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x2(x1 x2),

∂∂x2

(x2 + x32) >=< x1, 1 >

∂f(x)∂x3

= ∂∂x3

< x1 x2, x2 + x32 >=< ∂

∂x3(x1 x2),

∂∂x3

(x2 + x32) >=< 0, 2 x3 > ⋄



Ejercicio 2


f(< x, y >) =< ex−y cos(x2+y2), log(x2−sen(2πy)) >

y sea P =< 2, 1 >. Determine las fórmulaspara las derivadas parciales de f encualquier punto y posteriormente calcule∂f(P)

∂xy ∂f(P)

∂y.


Ejemplo

Considere la función f : R2 → R definida por

f(x, y) =(1 − (−0.42x + 0.91y − 1 − (0.73x − 1 + 0.38y)2)2)

(1 + (0.73x − 1 + 0.38y)2 + (−0.42x + 0.91y − 1)2)2

Grafique las derivadas parciales de f en (1, 2).



-0.4

-1

-10

00 1y23

41

0.4

x 2

0.8

3

Figura 1: Gráfica de f(x, y)



-0.4

-1-1

00

0 1y2

1 3

0.4

4

x 2

0.8

3

Figura 2: Parcial de f(x, y) respecto a x



-1

-1

-0.5

-10

00 1 y2

0.5

31 4

1

x

1.5

2

3

Figura 3: Parcial de f(x, y) respecto a y



Ejercicio 3


f(< x, y >) =< ex−y cos(x2+y2), log(x2−sen(2πy)) >

y sea P =< 2, 1 >. Grafique la función para1.5 ≤ x ≤ 2.5 y 0.5 ≤ y ≤ 1.5 yposteriormente grafique las líneas en elespacio que corresponden a las rectastangente referentes a las derivadas parcialesen el punto. Como sugerencia utilice Maple ylos archivos de apoyo del curso.



El Jacobiano de una Función





Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x un punto en el interior deD,




Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x un punto en el interior deD, y además suponga que

f =< f1, f2, . . . , fm >





f =< f1, f2, . . . , fm >

El jacobiano de f en x es la matriz

Jf (x) =

∂f1(x)∂x1

∂f1(x)∂x2

· · ·∂f1(x)∂xn

∂f2(x)∂x1

∂f2(x)∂x2

· · ·∂f2(x)∂xn

......

. . ....

∂fm(x)∂x1

∂fm(x)∂x2

· · ·∂fm(x)

∂xn





f =< f1, f2, . . . , fm >

El jacobiano de f en x es la matriz

Jf (x) =

∂f1(x)∂x1

∂f1(x)∂x2

· · ·∂f1(x)∂xn

∂f2(x)∂x1

∂f2(x)∂x2

· · ·∂f2(x)∂xn

......

. . ....

∂fm(x)∂x1

∂fm(x)∂x2

· · ·∂fm(x)

∂xn

En la columna i de Jf (x) aparece ∂f(x)∂xi

.



Ejemplo

Si f : R3 → R2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x23 >

Determine Jf (x).



Ejemplo

Si f : R3 → R2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x1x2, x2 + x23 >

Determine Jf (x).Soluci onPor los cálculos realizados en un ejemplo anterior,tenemos:

Jf (x) =

[

x2 x1 0

0 1 2 x3

]

⋄



Ejercicio 4

Si f : R3 → R2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x12cos(x2), e

x1+x32

>

Determine el Jacobiano de f .



Derivadas Superiores

Las derivadas parciales de orden superior asícomo derivadas cruzadas se definen similarmenteal caso de funciones en una variable. También lanotación es similar:

∂2f(a)

∂xi2

ó fxixi(a),

∂2f(a)

∂xi∂xj

ó fxixj(a)


Ejemplo

Si f : R3→ R

2 y

f(< x1, x2, x3 >) =< x12x2, x2 + x

23 >

Determine ∂2f(x)

∂x2

1

y fx2x3(x).

Soluci on

Directamente de la definición de

∂2f(x)

∂x2

1

= ∂2

∂x2

1

f(x) = ∂2

∂x2

1

< x12x2, x2 + x3

2 >

= < ∂2

∂x2

1

(x12x2),

∂2

∂x2

1

(x2 + x32) >=< 2 x2, 0 >

∂2f(x)

∂x2∂x3= ∂2

∂x2∂x3f(x) = ∂2

∂x2∂x3< x1

2x2, x2 + x32 >

= < ∂2

∂x2∂x3(x1

2x2),∂2

∂x2∂x3(x2 + x3

2) >= = < 2 x2, 0 >



Derivada Total

Definici onSea f(x) una función real definida sobre D ⊆ Rn,donde x = (x1, x2, . . . , xn)′.



Derivada Total

Definici onSea f(x) una función real definida sobre D ⊆ Rn,donde x = (x1, x2, . . . , xn)′. Suponga que lasvariables x1, x2, . . . , xn son funciones de t:

xi = xi(t)



Derivada Total


xi = xi(t)

Entonces, f es también una función de t.



Derivada Total


xi = xi(t)

Entonces, f es también una función de t. Laderivada ordinaria de f en este caso se llama laderivada total de f .



Derivada Total


xi = xi(t)

Entonces, f es también una función de t. Laderivada ordinaria de f en este caso se llama laderivada total de f . Esta derivada se puedecalcular por la fórmula:

df

dt=

n∑

i=1

∂f(x)

∂xi

dxi

dt.



Ejemplo

Si f : R2 → R y

f(< x1, x2 >) = x12− x2

2

y x1 = x1(t) = t cos(t) y x2 = x1(t) = cos(t) + sin(t).Determine df

dt.



Derivada Direccional





Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D




Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn.




Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn. La derivada direccional de f en elpunto x y en la dirección v




Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn. La derivada direccional de f en elpunto x y en la dirección v se define, si existe ellímite, como:

lımh→0

f(x + hv) − f(x)

h




Definici onSea f : D → Rm una función definida en undominio D ⊆ Rn , sea x = (x1, x2, . . . , xn)′ unpunto en el interior de D , y sea v un vectorunitario en Rn. La derivada direccional de f en elpunto x y en la dirección v se define, si existe ellímite, como:

lımh→0

f(x + hv) − f(x)

h

Por resultado matemático, la derivada direccionalpuede ser calculada como:

Jf (x)v



Ejemplo

Si f : R3 → R2 y

f(< x1, x2, x3 >) =

(

x21 + x2

2 + x23

x21 − x1 x2 + x2

3

)

Determine la derivada direccional de f ena =< 1, 2, 1 > en la dirección v =< 1√

2,− 1√

2, 0 >.



El Gradiente de una Función

Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn.




Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Si las derivadas parciales de f existenen un punto interior x de D




Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Si las derivadas parciales de f existenen un punto interior x de D , el vector

(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, . . . , ∂f/∂xn)′

es llamado el gradiente de f en el punto x y essimbolizado por ∇f(x)





(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, . . . , ∂f/∂xn)′

es llamado el gradiente de f en el punto x y essimbolizado por ∇f(x) Note que el gradiente esun vector en Rn; no está precisamente en D, pero,por aquello de que los vectores son trasladables





(∂f/∂x1, ∂f/∂x2, . . . , ∂f/∂xn)′

es llamado el gradiente de f en el punto x y essimbolizado por ∇f(x) Note que el gradiente esun vector en Rn; no está precisamente en D, pero,por aquello de que los vectores son trasladables ,es posible trasladarlo y visualizarlo en el punto x.



Ejemplo

Si f : R2 → R y

f(< x1, x2 >) = x21 − x1 x2 + x2

2

Determine ∇f(x).



-0.4

-1

-10

00 1 y23

1 4

0.4

x 2

0.8

3

Figura 4: Gradiente de f(x, y) en (1, 2)



-0.4

-1

-10

00 1 y2

34

1

x

0.4

2

3

0.8

Figura 5: Curva de corte en la dirección del gradiente



El Hessiano

Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn.



El Hessiano

Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn.



El Hessiano

Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessiana def



El Hessiano

Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessiana def y se simboliza por Hf (x).



El Hessiano

Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessiana def y se simboliza por Hf (x). Así, Hf (x) = J∇f (x)



El Hessiano

Definici onSea f : D → R una función definida en un dominioD ⊆ Rn. Entonces, ∇f : D → Rn. La matrizJacobiana de ∇f es llamada la matriz Hessianade f y se simboliza por Hf (x). Así,Hf (x) = J∇f (x) y

Hf (x) =

∂2f(x)∂x1∂x1

∂2f(x)∂x2∂x1

· · ·∂2f(x)∂xn∂x1

∂2f(x)∂x1∂x2

∂2f(x)∂x2∂x2

· · ·∂2f(x)∂xn∂x2

......

. . ....

∂2f(x)∂x1∂xn

∂2f(x)∂x2∂xn

· · ·∂2f(x)∂xn∂xn



Ejemplo

Si f : R2 → R y

f(< x1, x2 >) = x21 − x2

1 x2 + x32

Determine Hf (x).



Ejemplo

Si f : R2 → R y

f(< x1, x2 >) = x21 − x2

1 x2 + x32

Determine Hf (x). Soluci onComo

∂f

∂x1= 2 x1 − 2 x1 x2,

∂f

∂x2= −x2

1 + 3 x22

∂2f

∂x12 = 2 − 2 x2,

∂2f

∂x1∂x2= −2 x1,

∂2f

∂x22 = 6 x2

Por tanto:

Hf (x) =

[

2 − 2 x2 −2 x1

−2 x1 6 x2

]

⋄



Derivación de Funciones Compuestas

Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn.




Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm.




Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2.




Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0)




Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0) , y si existe la matriz jacobiana p × mJg(f(x0))




Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0) , y si existe la matriz jacobiana p × mJg(f(x0)) entonces existe la matriz jacobiana p × nJh(x0) para la función compuesta h = g ◦ f




Sea f : D1 → Rm una función definida en undominio D1 ⊆ Rn. Sea g : D2 → Rp una funcióndefinida en un dominio D2 ⊆ Rm. Y sea x0 unpunto interior a D1 tal que f(x0) es un puntointerior de D2. Si existe la matriz jacobiana m × nJf (x0) , y si existe la matriz jacobiana p × mJg(f(x0)) entonces existe la matriz jacobiana p × nJh(x0) para la función compuesta h = g ◦ f y

Jh(x0) = Jg [f(x0)]Jf (x0)



Ejemplo

Si f : R2 → R3 definida como

f(< x1, x2 >) =

x21 − x2 cos x1

x1 x2

x31 + x3

2

y si g : R3 → R definida como

g(< ξ1, ξ2, ξ3 >) = ξ1 − ξ22 + ξ3

Determine Jg◦f (x).


Soluci onTenemos que:

Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]



Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]

Jg(f(x1, x2, x3)) = [1,−2 x1 x2, 1]



Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]

Jg(f(x1, x2, x3)) = [1,−2 x1 x2, 1]

y

Jf ((x1, x2, x3)′) =

2 x1 + x2 sin(x1) −x2 cos(x1)

x2 x1

3 x12 3 x2

2



Jg((ξ1, ξ2, ξ3)′) = [1,−2 ξ2, 1]

Jg(f(x1, x2, x3)) = [1,−2 x1 x2, 1]

y

Jf ((x1, x2, x3)′) =

2 x1 + x2 sin(x1) −x2 cos(x1)

x2 x1

3 x12 3 x2

2

Por tanto

Jg◦f ((x1, x2, x3)′) = Jg(f((x1, x2, x3)

′)) · Jf ((x1, x2, x3)′)


Jg◦f ((x1, x2, x3)′) = [1,−2 x1 x2, 1]

2 x1 + x2 sin(x1) −x2 cos(x1)

x2 x1

3 x12 3 x2

2

=

[

2x1 + x2 sin(x1) − 2x1x22 + 3x1

2

−x2 cos(x1) − 2x12x2 + 3x2

2

]T

⋄



El Teorema de Taylor: Requisitos

Sea x = (x1, x2, . . . , xn)′, se define el operadordiferencial de primer orden x′∇ como:

x′∇ =

n∑

i=1

xi

∂

∂xi





x′∇ =

n∑

i=1

xi

∂

∂xi

La aplicación del operador x′∇ a una función f(x)sería:

(x′∇)f(x) =

n∑

i=1

xi

∂f

∂xi





x′∇ =

n∑

i=1

xi

∂

∂xi

La aplicación del operador x′∇ a una función f(x)sería:

(x′∇)f(x) =

n∑

i=1

xi

∂f

∂xi

Por notación(x′∇)f(x0) representa (x′∇)f(x) evaluando sólolas parciales en x0.



Ejemplo

Si f : R3 → R definida como

f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3

Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3

Calcule (x′∇)f(x) y (x′∇)f(x0 = (0, 2, 1)′).Soluci on Como

∂f

∂x1

= 1,∂f

∂x2

= −2 x2,∂f

∂x3

= 1



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3


∂f

∂x1

= 1,∂f

∂x2

= −2 x2,∂f

∂x3

= 1

Tenemos:

(x′∇)f(x) =



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3


∂f

∂x1

= 1,∂f

∂x2

= −2 x2,∂f

∂x3

= 1

Tenemos:

(x′∇)f(x) = x1 (1) + x2 (−2 x2) + x3 (1)

(x′∇)f(x0) =



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3


∂f

∂x1

= 1,∂f

∂x2

= −2 x2,∂f

∂x3

= 1

Tenemos:

(x′∇)f(x) = x1 (1) + x2 (−2 x2) + x3 (1)

(x′∇)f(x0) = x1 (1) + x2 (−4) + x3 (1)



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3


∂f

∂x1

= 1,∂f

∂x2

= −2 x2,∂f

∂x3

= 1

Tenemos:

(x′∇)f(x) = x1 (1) + x2 (−2 x2) + x3 (1)

(x′∇)f(x0) = x1 (1) + x2 (−4) + x3 (1) = x1 − 4 x2 + x3


El operador x′∇ se define para órdenes superiores:

(

x′∇)m

=∑

k1,k2,...,kn

m

k1, k2, . . . , kn

xk1

1 xk2

2 · · ·xkn

n

∂m

∂xk1

1 ∂xk2

2 · · · ∂xknn



(

x′∇)m

=∑

k1,k2,...,kn

m

k1, k2, . . . , kn

xk1

1 xk2

2 · · ·xkn

n

∂m

∂xk1

1 ∂xk2

2 · · · ∂xknn

Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplaspara las cuales

n∑

i=1

ki = m



(

x′∇)m

=∑

k1,k2,...,kn

m

k1, k2, . . . , kn

xk1

1 xk2

2 · · ·xkn

n

∂m

∂xk1

1 ∂xk2

2 · · · ∂xknn

Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplaspara las cuales

n∑

i=1

ki = m

y(

m

k1, k2, . . . , kn

)

=m!

k1!k2! · · · kn!


La aplicación del operador x′∇ a f(x) resulta en:

(

x′∇)m

f(x) =∑

k1,k2,...,kn

m

k1, k2, . . . , kn

xk1

1 xk2

2 · · ·xkn

n

∂mf(x)

∂xk1

1 ∂xk2

2 · · · ∂xknn



Por notación(x′∇)mf(x0) representa (x′∇)mf(x) evaluando lasparciales en x0.



Por notación(x′∇)mf(x0) representa (x′∇)mf(x) evaluando lasparciales en x0.

Importante

El operador (x′∇)mf(x) sólo es aplicable afunciones f : D ⊆ Rn → R. Es decir a funcionesde valor real.



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3

Aplique el operador (x′∇)2 y (x′∇)3a f .



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3

Aplique el operador (x′∇)2 y (x′∇)3a f .Soluci onPara (x′∇)2, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen

k1 + k2 + k3 = 2



Ejemplo


f((x1, x2, x3)′) = x1 − x2

2 + x3

Aplique el operador (x′∇)2 y (x′∇)3a f .Soluci onPara (x′∇)2, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen

k1 + k2 + k3 = 2

son (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1) y(0, 0, 2).



Para determinar los términos de cada sumadebemos calcular todas las derivadas de orden 2,Las derivadas de primer orden son:

∂f

∂x1

= 1,∂f

∂x2

= −2x2,∂f

∂x3

= 1

y todas las de segundo orden son:

∂2f

∂x1∂x1= 0, ∂2f

∂x1∂x2= 0, ∂2f

∂x1∂x3= 0,

∂2f

∂x2∂x2= −2, ∂2f

∂x2∂x3= 0,

∂2f

∂x3∂x3= 0



Por tanto,

(x′∇)

2f(x) =

∑

k1,k2,k3

2

k1, k2, k3

xk1

1 xk2

2 xk3

3∂2f(x)

∂xk1

1∂x

k2

2∂x

k3

3

=

2

0, 2, 0

x01x

22x

03(−2) = −2 x2

2



Para (x′∇)3, las posibles tripletas (k1, k2, k3) (3variables) que cumplen

k1 + k2 + k3 = 3




k1 + k2 + k3 = 3

son (3, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0),(1, 1, 1),(1, 0, 2), (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), y (0, 0, 3).




k1 + k2 + k3 = 3

son (3, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0),(1, 1, 1),(1, 0, 2), (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), y (0, 0, 3).Como todas las correspondientes parciales soncero, (x′∇)3 = 0⋄



Teorema

(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D.



Teorema

(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D. Si f y todas lasderivadas parciales de f de orden ≤ rexisten y son continuas en una bola abiertacon centro en x0



Teorema

(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D. Si f y todas lasderivadas parciales de f de orden ≤ rexisten y son continuas en una bola abiertacon centro en x0 , entonces para cualquierpunto x en dicha bola:



Teorema

(Desarrollo de Taylor)Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x0 unpunto en el interior de D. Si f y todas lasderivadas parciales de f de orden ≤ rexisten y son continuas en una bola abiertacon centro en x0 , entonces para cualquierpunto x en dicha bola:

f(x) = f(x0)+r−1∑

i=1

[(x − x0)∇]if(x0)

i!+

[(x − x0)∇]rf(z)

r!

para algún z en el segmento que une x conx0.



Ejemplo


f((x1, x2)′) = x1 x2 + x2

1 + ex1 cos x2

Desarrolle en x0 = (0, 0)′ hasta el orden r = 2.



Ejemplo


f((x1, x2)′) = x1 x2 + x2

1 + ex1 cos x2

Desarrolle en x0 = (0, 0)′ hasta el orden r = 2. asparciales hasta orden 2 son:

∂f

∂x1

= x2 + 2 x1 + ex1 cos x2,∂f

∂x2

= x1 − ex1 sin x2



∂2f

∂x1∂x1= 2 x1 + ex1 cos x2

∂2f

∂x1∂x2= 1 − ex1 sin x2

∂2f

∂x2∂x2= −ex1 cos x2,



∂2f

∂x1∂x1= 2 x1 + ex1 cos x2

∂2f

∂x1∂x2= 1 − ex1 sin x2

∂2f

∂x2∂x2= −ex1 cos x2,

Y las evaluaciones en (x1 = 0, x2 = 0)′ son

∂f

∂x1= 1, ∂f

∂x2= 0

∂2f

∂x1∂x1= 1, ∂2f

∂x1∂x2= 1, ∂2f

∂x2∂x2= −1


Así:

f(x0) = 1

x′∇f(x0) = 1 x1 (1) + 1 x2 (0)

(x′∇)2f(x0) = 1 x12 (1) + 2 x1 x2 (1) + 1 x2

2(−1)


Así:

f(x0) = 1

x′∇f(x0) = 1 x1 (1) + 1 x2 (0)

(x′∇)2f(x0) = 1 x12 (1) + 2 x1 x2 (1) + 1 x2

2(−1)

Por tanto desarrollada f(x) en x = 0 hasta orden 2:

f(x) ≈ 1 + 1 x1 (1) + 1 x2 (0) + 12(1 x1

2 (1) + 2 x1 x2 (1) + 1 x22(−1))

f(x) ≈ 1 + x1 + 12x1

2 + x1 x2 −12x2

2

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