UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA Y CC SS

CURSO

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

PROFESOR:

EDUARDO QUIROZ VERA

INVESTIGACION DE OPERACIONES

• La investigación de operaciones se puede definir como la utilización de un método planeado y de un grupo interdisciplinario a fin de representar las relaciones funcionales complejas como modelos matemáticos para proporcionar una base cuantitativa en la toma de decisiones y descubrir nuevos problemas para su análisis cuantitativo.

Historia de la I.O.• Se aplica por primera vez en 1780• Antecedentes:

• La Revolución de la administración científica que inició Frederic W. Taylor a principios de siglo puso las bases para la IO,

– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)

– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)

– Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20)

• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial para resolver problemas de organización militar (necesidad de administrar los escasos recursos):• Despliegue de radares, manejo de operaciones

de bombardeo, colocación ce minas,…

Historia de la I.O.• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria,

debido a:– competitividad industrial– progreso teórico

• RAND (Dantzig)• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)• Carnegie Institute of Technology (Charnes,

Cooper)– Gran desarrollo de las computadoras:

• Aumento de la capacidad de almacenamiento de datos

• Incremento de la velocidad de resolución de los problemas.

1.1. DEFINICION DE MODELOEs la representación o abstracción de una situación u objeto reales. Una de las razones principales para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuales son las variables importantes o pertinentes.

1.2. CLASIFICACION DE MODELOS

1.2.1. MODELOS ICONICOS• Es la representación física de algunos objetos, ya sea en forma

idealizada o en una escala distinta. • Los modelos icónicos sin muy adecuados para la descripción de

acontecimientos en un momento especifico del tiempo. Por ejemplo una fotografía es una buena imagen de una fabrica, un avión prototipo a escala.

1.2.2. MODELOS ANALOGICOS

• Estos modelos pueden representar situaciones dinámicas que muestran las características del acontecimiento que se estudia.

• Las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencias en las estadísticas y los diagramas de flujo, son ejemplos de modelos analógicos.

1.2.3.MODELOS SIMBOLICOS (o MATEMATICOS)Los modelos simbólicos son verdaderas representaciones

de la realidad y toman la forma de cifras, símbolos y matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos en nuestra mente y que luego se registran como modelos simbólicos. Un tipo de modelo simbólico o matemático que se usa comúnmente en la investigación de operaciones es una ecuación.

Entre los tipos de modelos matemáticos que se usan en la investigación de operaciones, se tiene:

• Cuantitativos y cualitativos• Probabilístico y determinístico• Descriptivos y de optimización.• Estáticos y dinámicos• Simulación y no simulación

Solución de Problemas

 FORMULACIÓN DEL

PROBLEMA 

   CONSTRUCCIÓN DEL

MODELO

 NECESIDAD DE

REORGANIZACIÓN 

   MODELO DEL SISTEMA

REAL

 SISTEMA DE INTERÉS

 

   OBTENCIÓN DE DATOS

 TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y

CONTROL 

|

    

SOLUCIÓN DEL MODELO

 INTERPRETACIÓN DE

RESULTADOS E IMPLICACIONES

 

   VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Fases de un

estudio

PROGRAMACION LINEAL

3.1. DEFINICION• La programación lineal es una técnica de optimización

que consiste en la maximización o minimización de una función lineal, llamada función objetivo o función económica, sujeta a restricciones también lineales.

• El adjetivo lineal deriva de la condición de que las relaciones implicadas sean de primer grado.

• El criterio de optimización es por lo general un objetivo económico. Por ejemplo: las ganancias, las capacidades, los requerimientos, etc. son funciones que se deben maximizar; en cambio los costos, las perdidas, los accidentes, etc. son funciones que se deben minimizar.

3.2. MODELO DE PROGRAMACION LINEAL El modelo de un programa lineal tiene la siguiente forma: Max o Min (Z) = c1x1 + c2x2 + ..........+ cnxn (1) Sujeto a las restricciones estructurales: a i1 x1 + a i2 x2 + .....+ a in xn = bi i=1,m (2)

y las restricciones de no negatividad x j 0 j=1,n (3)

En las ecuaciones anteriores: aij , bi y cj son valores que se asumen conocidos y el problema consiste en hallar los valores de los xj que optimicen la función (1) sujeta a las restricciones (2) y (3). Las variables x j se llaman variables de decisión.

FORMULACION DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

EJEMPLO 3.1.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

La Cia. ALFA fabrica artículos para el hogar y manufactura dos productos: A y B. Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son:

- Maquinado - Armado - Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutos respectivamente. El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente; mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto A es $10 y del producto B es de $15.

Solución: Las variables de decisión son: x1: número de unidades del producto A que se va a producir/semana x2: número de unidades del producto B que se va a producir/semana El programa lineal es:

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2 s.a.

2x 1 + 2x 2 160 x 1 + 2x 2 120 4x 1 + 2x 2 280 x 1, x 2 0

EJEMPLO 3.2.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION Dos fabricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tiene un contrato de venta para proveer: 16 ton. De bajo grado, 5 ton. De medio grado y 20 ton. De alto grado. La fabrica 1, produce 8 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton de alto grado en un día de operación. La fabrica 2 produce 2 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 7 ton de alto grado por día de operación. Los costos de operación son de $1000/dia para la fabrica 1 y de $2000/dia para la fabrica 2. ¿Cuantos días debe trabajar cada fabrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma más económica? SOLUCION Sean las variables de decisión: x1 = número de días de trabajo de la fabrica 1 x2 = número de días de trabajo de la fabrica 1 Min (z) = 1000x1 +2000x2 s.a. 8x1 +2x2 16 1x1 +1x2 5 2x1 +7x2 20 x1, x2 0

PROBLEMA 3.2.: EJEMPLO DE POLITICA DE INVERSION Un banco tiene $ 1 millón disponible para prestamos. Puede prestar dinero a empresas, proporcionar hipotecas o conceder prestamos personales. Las políticas del banco limitan los prestamos personales a un máximo del 25% de todos los prestamos, mientras que los prestamos a empresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas. También el banco quiere que los prestamos a empresas sean por lo menos 10% mas que los prestamos personales. Los interese promedio son: 12% en prestamos personales, 10% en prestamos a empresas y 8% sobre hipotecas. Los fondos que no se han prestado, se invierten en valores a corto plazo al 5%. El banco quiere un programa para maximizar el interés. Solución Variables de decisión: X 1 = prestamos personales X 2 = prestamos a empresas X 3 = prestamos por hipotecas X 4 = inversión en valores a corto plazo Función objetivo Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x 2 + 0.08 x 3 + 0.05 x 4 Restricciones: X 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 000,000 (capital de inversión)

X 1 0.25 (X 1 + x 2 + x 3) (prestamos personales) X 2 x 3 (prestamos a empresas) X 2 1.10 x 1 (prestamos a empresas) X 1 , x 2 , x 3 , x 4 0

PROBLEMA 3.4.: EJEMPLO DE UN PLAN DE INVERSION Un inversionista tiene perspectivas de invertir en dos actividades A y B, siendo el horizonte económico de 5 años. Cada unidad económica invertida en A en el comienzo de cualquier año produce una utilidad de $ 0.40, dos años mas tarde. Cada unidad monetaria invertida en B, en el comienzo de cualquier año produce una utilidad de $ 0.70 tres años mas tarde. Además tiene otras dos perspectivas: C y D para el futuro.

Cada unidad monetaria invertida en C en el comienzo del segundo año permite una utilidad de $1.00 al fin de los 5 años. Cada unidad monetaria invertida en D en el comienzo del quinto año produce una utilidad de $0.30. El inversionista dispone de $ 10,000 y desea conocer el plan de inversiones que maximice sus utilidades.

Solución:

Podemos esquematizar el plan de inversión de la siguiente manera:

Años Actividad

1 2 3 4 5 Utilidad

0.40 A

X 1A

X 2A

X 3A

X 4A

0.40(x1A+x2A+X3A+x4A)

0.70 B

X 1B X 2B

X 3B

0.70(x1B+x2B+x3B)

1.00 C

X 2C

1.0(x2C) 0.30 D

X 5D 0.30(x5D)

El capital requerido y la utilidad se invierten en las diversas actividades del año correspondiente.

Variables de decisión X i j: unidades monetarias invertidas en el i-ésimo período y la j-ésima actividad, Función objetivo: Max (z) = 0.40(x1A+x2A+X3A+x4A) + 0.70(x1B+x2B+x3B) + 1.0(x2C) + 0.30(x5D) Restricciones : Las restricciones son debido a la disponibilidad de capital en cada año. Para el primer año

X 1A + X1B 10,000 Para el segundo año:

X 2A + x 2B + X 2C + 10,000 - X 1A - X1B Para el tercer año

X 3A + X 3B 10,000 - X1B - X 2A - X 2B - X 2C + 0.40 X1A

Para el cuarto año:

X 4A 10,000 - x 2B - X 2C - X 3A - X 3B + 0.40 x 2A + 0.70 X 1B Para el quinto año:

X 5D 10,000 - x 2C - X 3B – X 4A +0.40 x 3A + 0.70 X 2B condición de no negatividad

X ij 0 (variables no negativas)

PROBLEMA 3.4.: EJEMPLO DE INVERSION Al gerente de cartera de la AFP “BUENA VIDA” SE LA HA PEDIDO INVERTIR $1’000,000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la siguiente tabla:

FONDO 1 2 3 4 5 6

Precio($/ acción) 45 76 110 17 23 22 Devolución esperada(% ) 30 20 15 12 10 7 Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diferentes fondos. Para este fin, la administración de la AFP, ha especificado las siguientes pautas:

La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y 75% de la cartera.

La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera.

La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 50% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de la AFP ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 , respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2 . Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?.

Variables de decisión: X j : fracción de la cartera por invertir en el fondo j (j= 6,1 )

Tasa esperada de rendimiento = rendimiento total esperado / cantidad invertida Función objetivo: Max(z) = 0.30 X1 + 0.20 X2 + 0.15X3 + 0.12 X4 + 0.10 X5 + 0.07 X6

Restricciones: Por inversión X1 + X2 + X3 0.50 (mínimo alto riesgo) X1 + X2 + X3 0.75 (máximo alto riesgo) X4 + X5 0.20 (mínimo mediano riesgo) X4 + X5 0.30 (máximo mediano riesgo) X6 0.05 (mínimo bajo riesgo) Debido a las proporciones: X2 = 2 X1 - 2 X1 + X2 = 0 (proporción X1 a X2 ) X3 = 3 X1 - 3 X1 + X3 = 0 (proporción X1 a X3 ) X5 = 2 X4 - 2 X4 + X5 = 0 (proporción X4 a X5 ) Agenda Total de cartera X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1 Condición de no negatividad:

X j 0 (j = 1,6)

PROBLEMA 3.7.: EJEMPLO DE PROBLEMA DE ADMINISTRACIÓN DE CARTERA

Los socios generales de Gamma Tech, una compañía de inversión de capital de riesgo están considerando invertir en una o más propuestas que han recibido de varios negocios empresariales. El departamento de investigación ha examinado cada propuesta, y cuatro de los empresarios cumplen con el requerimiento de Gamma Tech de lograr un rendimiento lo suficientemente alto para el riesgo asociado. Estas compañías son: Bio Tech, Tele Comm, Laser-Optics y Compu-Ware. El departamento de investigación de Gamma Tech también ha estimado el rendimiento total de estos negocios en dólares actuales, dado en la última columna de la tabla siguiente:

PROYECTOS AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 DEVOLUCION Bio Tech 60 10 10 10 250 Tele Comm 35 35 35 35 375 Laser-Optics 10 50 50 10 275 Compu-Ware 15 10 10 40 140 Fondos para inversión 90 80 80 50

Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversiones de una cantidad conocida al principio de cada uno de los siguientes cuatro años, como se muestra en la tabla. El departamento de contabilidad de Gamma Tech ha preparado una estimación de los fondos totales que Gamma Tech tiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes cuatro años, que se da en la ultima fila de la tabla. Observe que los fondos no usados de cualquier año no están disponibles para su inversión en los años posteriores.

Cada uno de los socios generales de Gamma Tech, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a cuales de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr él mas alto rendimiento total en dólares actuales. Ud. y los otros socios han acordado que Gamma Tech, en un esfuerzo por diversificarse, no invertirá conjuntamente en Tele-Comm y Laser-Optics, que están desarrollando el mismo tipo de tecnología.

Variables de decisión: Pregúntese que puede controlar libremente en este problema y se dará cuenta de que puede elegir aceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocer que estas decisiones implican una decisión “si” ó “no”. Parece razonable entonces crear una variable entera para cada proyecto de la siguiente manera 1 si Gamma debe invertir en el Proyecto j (j=1,4) X j =

0 si Gamma no debe invertir en el Proyecto j Función Objetivo: Max (z)= 250X1 + 375 X2 + 275 X3 + 140 X4 Restricciones: Fondos totales invertidos en los proyectos seleccionados

60X1 + 35X2 + 10X3 + 15X4 90 (año 1)

10X1 + 35X2 +50 X3 +10 X4 80 (año 2)

10X1 + 35X2 + 50X3 +10 X4 80 (año 3)

10X1 +35 X2 +10 X3 +40 X4 50 (año 4)

Restricción de pauta de inversión Recuerde que la administración ha decidido no invertir en Tele-Com y Laser-Optics a la vez. ¿Puede usar las variables X2 y X3 para escribir una restricción matemática apropiada? Se necesita una restricción para asegurar que si X2 es 1 , entonces X3 es 0, y si X3 es 1, entonces X2 es 0 ( o de manera equivalente ambas variables no pueden tener el valor 1) Una forma de lograr esto es requerir que el producto de estas dos variables sea 0 X2 * X3 0 Si una de las variables es positiva, la otra debe ser 0. Pensándolo un poco, puede darse cuenta de que la siguiente restricción logra el mismo objetivo

X2 + X3 1 Restricciones de no negatividad

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 ó 1