(2) Optimizacion_programacion Lineal y No Lineal

ISSN:0716-7334 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE ECONOMIA Oficina de Publicaciones Casilla 274 - V, Correo 21, Santiago

MODELOS DE OPTIMIZACION* Gonzalo Edwards** Trabajo Docente Nº 57

Marzo, 1994

*Este trabajo es una publicación conjunta del Instituto de Economía (Trabajo Docente Nº 57), y de la Escuela de Administración (Trabajo Docente 194-01). Pontificia Universidad Católica de Chile. **Profesor Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas, Pontificia Universidad Católica de Chile.

INDICE

Página

CAPITULO 1: INTRODUCCION AL PROCESO DE OPTIMIZACION 1

CAPITULO 2: PROGRAMACION MATEMATICA: ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS 15 CAPITULO 3: OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES 23 CAPITULO 4: OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD 30 CAPITULO 5: OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD 35 CAPITULO 6: SUFICIENCIA DE CONDICIONES DE KUHN-TUCKER 52 CAPITULO 7: PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACION NO LINEAL 65 CAPITULO 8: PROGRAMACION LINEAL: INTRODUCCION 79 CAPITULO 9: PROGRAMACION LINEAL Y EL COMPUTADOR 93 CAPITULO 10: PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACION LINEAL 107 CAPITULO 11: VARIABLES BINARIAS 128 REFERENCIAS 157

NOTA INTRODUCTORIA

El propósito de este trabajo es servir de material complementario para aquellos cursos que persiguen formar la capacidad de modelamiento matemático en las áreas de economía y administración. El texto presenta el instrumental matemático utilizado en el análisis de optimización de manera comprensible, tratando de desarrollar la intuición, sin mayor énfasis en el rigor formal. Por otra parte, el énfasis no está en la solución de problemas de optimización claramente definidos, sino que en el planteamiento de los mismos.

Para desarrollar la capacidad de plantear problemas se presentan en el texto numerosos ejemplos, a la vez que se proponen, al final de cada capítulo, problemas adicionales para la ejercitación del alumno.

El trabajo puede dividirse en tres partes: Programación No Lineal, donde lo principal es el planteamiento de problemas y la comprensión de las condiciones de Kuhn-Tucker. La segunda parte, de Programación Lineal, que es un caso particular de Programación No Lineal, presenta múltiples ejemplos de este tipo de modelos, destacando los análisis gráficos y los problemas de planteamiento. En esta parte, se hace uso de programas computacionales tales como el LINDO y el QSB+. Por último, en la tecera parte, se enfatizan los problemas que requieren en su planteamiento el uso de variables binarias.

Se debe destacar que se han dejado fuera varios temas en las áreas descritas por razones de espacio y tiempo que en todo caso están bien tratados en otros libros. Entre estos temas excluidos se encuentran: a) El dual; b) El método Simplex de Programación Lineal y otros algoritmos de solución de distintos tipos de problemas de Programación Matemática. Asimismo, se ha decidido excluir los problemas de optimización en condiciones de incertidumbre, y los problemas de optimización dinámica.

Por último, como este trabajo surge de mis apuntes de clase en el Departamento de Economía Agraria y en la Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas de la Pontificia Universidad Católica de Chile durante los últimos diez años, quiero agradecer, aunque no recuerde sus nombres, a todos los alumnos que he tenido y en especial a todos los ayudantes. De manera particular, deseo agradecer a Guillermo Donoso, Frantz Kroeger, Oscar Melo, Guillermo Ortiz, Sol Reyna y María Isabel Vial.

Modelos de Optimización 1

CAPITULO 1

INTRODUCCION AL PROCESO DE OPTIMIZACION

El objetivo principal de este texto es aprender a plantear y resolver problemas de optimización. Para lograr este objetivo es conveniente expresar el problema de optimización típico en términos de las siguientes etapas:

Entendimiento del Problema: Esta etapa consiste en entender las características esenciales del problema. Si bien esta etapa puede parecer obvia, muchas veces el problema radica justamente en el hecho que el problema no se entiende. En general, esta etapa no se expresa en lenguaje matemático.

Definición de Variables: Las variables en juego deben ser definidas en forma clara. Por ejemplo, cuando se define una variable X como tomates, debe quedar claro si se refiere a kilos de tomates, hectáreas de tomates, etc.

Definición de Función Objetivo: Esta etapa consiste en definir, en términos matemáticos, qué se quiere lograr. Por ejemplo, el objetivo puede ser maximizar ganancias, minimizar costos, minimizar el riesgo de quiebra, etc.

Definición del Conjunto de Restricciones: Esta etapa consiste en definir, nuevamente en términos matemáticos, el espacio de lo posible. Por ejemplo, ¿cuántas hectáreas se pueden sembrar como máximo con los distintos cultivos? ¿de cuánto dinero se dispone para llevar a cabo la empresa? ¿qué capacidad se tiene para manejar inventarios? etc.

Cabe advertir que muchas veces esta etapa se confunde, erradamente, con la etapa de búsqueda de la solución. El conjunto de restricciones se refiere al espacio de lo posible y no a un espacio restringido donde se espera que esté el óptimo. Si bien muchas veces puede parecer preferible trabajar con un espacio más restringido para encontrar la solución, en la práctica es común que dichas restricciones dejen de hecho fuera del espacio a la verdadera solución óptima, sobre todo en problemas complejos.

Búsqueda de Solución: Esta etapa representa el problema matemático propiamente tal. Las etapas anteriores se refieren al problema de planteamiento del problema en términos matemáticos, mientras que esta etapa se refiere a la búsqueda del valor o de los valores de las variables que optimizan la función objetivo dentro del conjunto de valores posibles que éstas pueden tomar.

Interpretación de Resultados: Esta etapa, que parece obvia, muchas veces es olvidada por los analistas. Un modelo no entrega resultados. Es el analista quien se debe hacer responsable de los mismos y entregarlos. Por ejemplo, si los

2 Trabajo Docente Nº 57 resultados "entregados" por el modelo o por el computador son contrarios a todo lo que el analista siempre ha creido, es posible que el analista deba revisar sus teorías. Sin embargo, lo más probable es que el modelo tenga algún problema en el planteamiento o en el sistema de búsqueda de solución que obligue a revisar lo realizado. El modelo es una herramienta que permite al analista entender un determinado problema. No es más, aunque tampoco menos que eso.

A continuación se presentan varios ejemplos de planteamiento con el objeto de introducir algunos de los elementos anteriores a problemas prácticos. Se excluyen de esta introducción las etapas de búsqueda de soluciones y de interpretación de resultados.

Ejemplo 1.1:

Suponga que Ud. tiene un fundo con las siguientes características:

1. El fundo tiene 120 hectáreas.

2. Ud. está considerando la posibilidad de poner trigo, porotos, o una combinación de ambos cultivos.

3. Ud. no dispone de trabajadores permanentes y debe contratarlos a 700 pesos por jornada.

4. El trigo requiere de 5 jornadas hombre por hectárea, mientras que los porotos requieren de 10 jornadas hombre por hectárea.

5. Ud. dispone de un tractor y no puede tomar en arriendo ni dar en arriendo el tractor. Esto le impone un máximo de 300 jornadas-tractor para todo el año. El trigo requiere de 3 JT/há, y los porotos 5 JT/há.

6. Los costos variables por hectárea, sin contar la mano de obra, son de 50.000 pesos en el caso del trigo y 35.000 pesos en el caso de los porotos.

7. El precio por quintal de trigo es de 3.000 pesos y por quintal de porotos, 4.000.

8. El rendimiento esperado por hectárea de trigo es de 60 quintales y por hectárea de porotos es de 40 quintales.

El problema es determinar cuántas hectáreas sembrar con cada cultivo.


Lo primero que hay que hacer es plantear el problema en términos matemáticos. En este ejemplo, lo que se quiere es que las ganancias sean lo más grandes posible. Esto se expresa en términos matemáticos como:

Maximizar Ganancias = Ingresos Totales - Costos Totales = IT - CT

donde:

IT = 3.000 x 60 x T + 4.000 x 40 x P

T, P = Número de hectáreas a sembrar de trigo y porotos respectivamente.

CT = 50.000 x T + 35.000 P + 700 (5 T + 10 P)

Así, la función a maximizar es

f(T, P) = 126.500 T + 118.000 P Función Objetivo

El problema son las restricciones. Como sólo se cuenta con 120 hectáreas, debe cumplirse que:

T + P ≤ 120 Restricción 1

Por otra parte, como se cuenta sólo con 300 jornadas tractor como máximo, se debe cumplir que:

3T + 5P ≤ 300 Restricción 2

4 Trabajo Docente Nº 57 Por último, están las restricciones de no negatividad. Estas se refieren al hecho que no se pueden sembrar cantidades negativas. Matemáticamente,

T ≥ 0, P ≥ 0 Restricciones de no negatividad

Esta última restricción se debe poner a pesar de ser obvia. En un planteamiento matemático, nada es obvio si no se explicita.

En resumen, el problema anterior se expresa como:

Maximizar f (T,P) = 126.500 T + 118.000 P

sujeto a:

T + P ≤ 120 3T + 5P ≤ 300 T ≥ 0; P ≥ 0

El modelo anterior es una simplificación de una situación típica. No incorpora, por ejemplo, el hecho de que los rendimientos y los precios son aleatorios. Tampoco incorpora posibles restricciones de dinero o problemas de tasas de interés. Excluye, asimismo, toda consideración de disponibilidad de agua de riego. Adicionalmente, no incluye posibles restricciones impuestas por el tamaño de los potreros (suponga, por ejemplo, que no se desea sembrar más de un cultivo en un potrero determinado). Dicho de otra forma, en un modelo sólo se puede ver lo que éste incorpora. No se puede ver lo mucho que no incorpora.

Ejemplo 1.2:

Ud. está dedicado a la producción de dos productos cuyas funciones de producción son las siguientes:

8,02

2,012

7,011

XXY

XY

=

=

Modelos de Optimización 5 donde Xi e Yj se refieren a las cantidades de insumos y productos respectivamente. Ud. sabe además que PY1 = 10, PY2 = 15, PX1 = 2, PX2 = 3.

El problema es plantear un modelo de optimización que, una vez resuelto, le permita decidir cuánto producir de cada producto a fin de maximizar las utilidades. Como dato adicional, Ud. sólo dispone de 150 pesos para la compra de insumos, y por razones técnicas de almacenaje, Y1 no puede ser mayor al 30% de Y2.

Nuevamente el objetivo es la maximización de utilidades. Tal como se dijo anteriormente, el primer paso es la definición de las variables en forma clara. En este ejemplo, existen dos opciones: 1) trabajar directamente con las cantidades de insumos, 2) trabajar simultáneamente con las cantidades de producto y de insumos. Así, el problema se podría plantear, aunque erradamente por razones que se verán más adelante, de cualquiera de las dos formas siguientes:

Planteamiento 1: Maximizar 21

8,02

2,01

7,01 X3X2XX15X10 −−+

sujeto a: 2 X1 + 3X2 ≤ 150

X 7,01 ≤ 0,3 X 2,0

102;1 X 8,0

2 X1, X2 ≥ 0

Planteamiento 2:

Maximizar 10Y1 + 15 Y2 - 2 X1 - 3X2

sujeto a:

2X1 + 3X2 ≤ 150 Y1 ≤ 0,3 Y2 Y1 = X 7,0

1 Y2 = 8,0

22,0

1 XX Y1, Y2, X1, X2 ≥ 0

6 Trabajo Docente Nº 57 De los dos planteamientos anteriores, el primero tiene la ventaja de trabajar con dos variables en lugar de cuatro, lo que resulta más fácil en términos de la búsqueda de la solución. El segundo, por otra parte, tiene la ventaja que su solución entrega directamente las cantidades a producir y las cantidades de insumos por utilizar. En este sentido, en términos del planteamiento del problema, parece preferible el segundo, mientras que en términos del problema matemático de resolución es preferible el primero.

¿Cuál es el error en ambos planteamientos anteriores? El problema es que la cantidad del primer insumo, X1, se plantea como utilizable en ambos productos simultáneamente. En la realidad, una parte se puede utilizar para un producto y el resto en el otro. No se puede usar el total de insumo en la producción de un producto y el total también en la producción del otro.

De lo anterior, surge la necesidad de distinguir entre las cantidades del insumo que van a uno y otro producto. Es así como los planteamientos anteriores se reescriben como:

Planteamiento 1:

Maximizar 10 X 7,011 + 15 X 2,0

12 X 8,02 - 2 (X11 + X12) - 3X2

sujeto a:

2(X11 + X12) + 3 X2 ≤ 150 X 7,0

11 ≤ 0,3 X 2,012 X 8,0

2 X11, X12, X2 ≥ 0

Planteamiento 2:

Maximizar 10 Y1 + 15 Y2 - 2 (X11 + X12) - 3 X2

sujeto a:

2(X11 + X12) + 3 X2 ≤ 150 Y1 ≤ 0,3 Y2

Y1 = X0,711

Y2 = X 2,012 X 8,0

2 X11, X12, X2, Y1, Y2 ≥ 0

Modelos de Optimización 7 Ejemplo 1.3:

En un feedlot de engorda de novillos, se ha decidido alimentarlos con heno de alfalfa y maíz grano, que cuestan 8 y 12 pesos por kilo respectivamente. El heno tiene, por kilo, 1,8 mkcal, 160 gramos de proteína, 20 gramos de calcio y 160 gramos de fósforo. A su vez, el maíz tiene 3 mkcal, 90 gramos de proteína, 3 gramos de calcio y 2 gramos de fósforo por kilo. Los requerimientos de cada novillo por día son de 12 mkcal, 1,2 kilos de proteína, 100 gramos de calcio y 50 gramos de fósforo.

El problema es plantear un modelo de optimización que, una vez resuelto, permita minimizar el costo de engorda diario por novillo suponiendo que por razones técnicas, la relación calcio:fóforo debe estar entre 1:1 y 2:1.

Definiendo H y M como las cantidades, en kilos, de heno y maíz respectivamente, el problema se puede plantear como sigue:

Minimizar f (H,M) = 8H + 12 M

sujeto a:

1,8 H + 3 M ≥ 12 (calorías) 160 H + 90 M ≥ 1,2 (proteínas) 20 H + 3 M ≥ 100 (calcio) 160 H + 2 M ≥ 50 (fósforo)

1 ≤ cantidad de calcio

cantidad de fósforo = 20 H + 3 M160H+ 2 M ≤ 2

H, M ≥ 0

Ejemplo 1.4:

Se dispone de 50 unidades de un bien para vender en 2 mercados independientes. En cada mercado, las demandas están dadas por las ecuaciones P1 = 40 - X1 y P2 = 50 - 2 X2, donde Pi representa el precio de venta unitario en el mercado i, y Xi la cantidad vendida en dicho mercado. El problema es plantear el problema de optimización correspondiente.

Las variables de decisión en este caso son las cantidades que se deben enviar a los distintos mercados. El problema se puede plantear de cualquiera de las siguientes formas:

8 Trabajo Docente Nº 57

Planteamiento 1:

Maximizar P1 X1 + P2 X2

sujeto a:

X1 + X2 ≤ 50 P1 = 40 - X1 P2 = 50 - 2 X2 P1, P2, X1, X2 ≥ 0

Planteamiento 2:

Maximizar (40 - X1 ) X1 + (50 - 2X2 ) X2

sujeto a:

X1 + X2 ≤ 50 X1, X2 ≥ 0

El segundo planteamiento reemplaza las ecuaciones de demanda en la función objetivo.

Cabe señalar que ambos planteamientos no son equivalentes desde el punto de vista matemático. La razón es que en el segundo planteamiento, si bien se sustituyen los precios en la función objetivo, no se sustituyeron en las restricciones de no negatividad originales (P1 ≥ 0, P2 ≥ 0).

Dicho de otra forma, al segundo planteamiento faltó agregar:

40 - X1 ≥ 0 50 - 2X2 ≥ 0

Ejemplo 1.5:

Ud. es dueño de una planta agroindustrial que produce tomates, peras y duraznos en conserva. Ud. debe planificar la producción del próximo mes de tal forma de maximizar los ingreso netos.

Los costos de materia prima son 10, 15 y 20 pesos por kilo en los 3 productos respectivamente si se abastece del abastecedor A y 15, 20 y 10 pesos por kilo si se abastece


del abastecedor B. El abastecedor A no le presenta ningún problema para venderle las cantidades que Ud. quiera. Sin embargo, el abastecedor B lo obliga a comprar por lo menos 1 kilo de peras por cada dos kilos que le compre de duraznos y un máximo de 1 kilo de duraznos por cada kilo de tomates que le compre.

La producción Ud. la puede vender a la cadena de supermercados X o a la cadena Y (o a ambos). Las demandas de X vienen dadas por las siguientes ecuaciones, donde los precios son por kilo de materia prima equivalente:

Ptomates = 2.000 - 2 QXtomates

Pperas = 1.000 - 4 QXperas

Pduraznos = 850 - 3 QXduraznos

A Y, por otro lado, le gustaría que le vendiera sólo a él, por lo cual le ofrece menos precio a mayor cantidad que le envíe a X. Las demandas de Y vienen dadas por las siguientes ecuaciones:

Ptomates = 2.500 - 2QYtomates - Q

Xtomates

Pperas = 2.000 - 3QYperas - Q

Xperas

Pduraznos = 3.000 - QYduraznos - Q

Xduraznos

En este caso, se deberá decidir acerca de cuánto comprar de cada producto a cada abastecedor, y cuánto vender de cada producto en conserva a cada supermercado. De aquí surge la siguiente definición de variables:

Pij , Q

ij = precio y cantidad de producto j (j = tomates, peras, duraznos)

comprada al abastecedor i (i = A, B).

Plj , Q

lj = precio y cantidad de producto j (j = tomates, peras, duraznos)

vendido al supermercado l (l = X, Y).

Se supondrá, en un primer análisis, que se debe cobrar el mismo precio a ambos supermercados. Así el problema se puede plantear como:

10 Trabajo Docente Nº 57 Maximizar

PXtomates Q

Xtomates + PX

peras QXperas + PX

duraznos QXduraznos

+ PYtomates QY

tomates + PYperas QY

peras + PY duraznos QY

duraznos

- 10 QAtomates - 15 QA

peras - 20 QAduraznos

- 15 QBtomates - 20 QB

peras - 10 QBduraznos

sujeto a: QB

peras ≥ 0,5 QBduraznos

QBduraznos ≤ QB

tomates PX

tomates = 2.000 - 2 QXtomates

PYtomates = 2.500 - 2 QY

tomates - QXtomates

PXperas = 1.000 - 4 QX

peras

PYperas = 2.000 - 3 QY

peras - QXperas

PXduraznos = 850 - 3 QX

duraznos

PYduraznos = 3.000 - QY

duraznos - QXduraznos

PXtomates = PY

tomates

PXperas = PY

peras

PXduraznos = PY

duraznos

Todas las variables mayores o iguales a cero.

Las tres últimas restricciones son las que aseguran que se cobre un mismo precio a ambos supermercados. Si se puede cobrar distintos precios a ambos supermercados, se deben omitir estas restricciones.


1.1. Ud, que es administrador de un fundo de 150 hectáreas, debe programar su producción para el próximo año. Los productos a considerar son trigo, maíz y remolacha.

Los coeficientes técnicos de producción y las disponibilidades de los distintos recursos son lo que a continuación se señalan:

trigo maíz remolacha disponibilidad

Mano de obra (JH/há) 15 25 85 3.000 Capital (JM/há) 12 14 4 2.000

Suponiendo que los beneficios netos unitarios (expresados en términos de pesos por hectárea) son 500, 800 y 950 pesos para el trigo, maíz y remolacha respectivamente, plantee el problema de optimización correspondiente.

1.2. En un taller se elaboran tres productos A, B, C cuyas demandas son respectivamente 90, 110, 120 unidades semanales. En la tabla se indican las capacidades del taller para cada método y las ganancias asociadas con cada producto y método de fabricación.

Método Capacidad Producto Ganancia/unidad 1 2 3 1 160 A 139 140 137 2 120 B 201 207 210 3 140 C 254 255 255

Plantee el problema de optimización correspondiente definiendo claramente las variables, función objetivo y restricciones.

1.3. Una fábrica de muñecas debe decidir cuántas muñecas de cada tipo producir para maximizar las ganancias. Cuenta con dos tipos de muñecas, tipo 1 y tipo 2. El tipo 1 llora y requiere 15 minutos de fabricación y 15

mquezada

Problemas Propuestos


minutos de acabado a mano, el tipo 2 necesita 30 minutos para su fabricación y 3/9 horas para el acabado a mano.

La ganancia por muñeca tipo 1 es de $ 8 y la de la otra es de $ 12. La producción está limitada a 10 horas en el departamento de fabricación diariamente y el acabado a mano 8 horas/día.

Se pide:

Plantee el problema de optimización correspondiente.

1.4. Ud. acaba de recibir por equivocación un animal exótico del Africa con la siguiente nota colgada a su cuello:

Me llamo TIMBO, como nada más que carne de lagartija y maíz, necesito un mínimo de 80 grs. de proteína y 6.000 calorías diarias. Soy un animal simpático siempre que me den las proteínas y calorías que pido. Cúidenme.

Depués de hacer las averiguaciones del caso, Ud. aprende que por cada kilo de carne de lagartija, obtiene 40 grs. de proteína y 4.000 calorías. Por cada kilo de maíz, obtiene un total de 30 grs. de proteínas y 3.500 calorías. El precio del maíz es de 100 pesos por kilo mientras que el precio unitario de la carne de lagartija depende de cuanto compre Ud. al día. Su carnicero amigo le dice que cada día está más difícil conseguirla por lo que le especifica la siguiente función para el precio:

P = 50 + 200 X

donde

P = precio por kg. de la carne de lagartija

X = cantidad de carne comprada (en kgs. por día)

Se pide:

a) Formule el modelo de optimización que le permita minimizar el costo de la ración diaria.

1.5. Para cada una de las siguientes afirmaciones escriba la o las restricciones correspondientes definiendo claramente todas las variables.

a) La relación calcio:fósforo en una ración debe estar entre 3:1 y 4:1


b) Por cada tractor que compre, debe haber por lo menos 6 trabajadores permanentes en el fundo.

c) Juanita me ha pedido que la llame por lo menos 6 veces por cada 5 que llame a Francisca.

d) Para hacer una cazuela, por cada papa se debe poner al menos 2 pedazos de zapallo.

e) Por cada hectárea de maíz, se necesitan 2 jornadas-hombre (JH) al año, y por cada hectárea de trigo se requieren 4. Se dispone de 25 JH en total para el año.

f) Un agricultor desea sembrar el doble de hectáreas de arroz que de maíz y el triple que de porotos.

g) Del total de trigo que se produzca, la mitad se debe mandar a Santiago, no más de un tercio a Valparaíso, y el resto a Concepción.

h) En una fonda han dedicido regalar 2 dulces por cada litro de chicha que les compren.

i) Un agricultor tiene 10 kg. de semilla de un cultivo super especial. Cada kg. produce al final de la estación 2,5 kg. de producto que puede ser consumido o usado como semilla para la temporada siguiente. El producto en sí no puede ser almacenado de un año para otro. Este agricultor desea tener por lo menos 16 kg. para consumir luego de la primera cosecha y por lo menos 12 para consumir luego de la segunda. De ahí para adelante la semilla ya no le interesa.

1.6. Ud es dueño de un restaurant y dispone para el día de hoy de 100 lechugas, 200 tomates, 35 aceitunas, 180 betarragas y 100 choclos. En su menú, Ud. ha decidido poner lo siguiente:

ENSALADAS DE HOY

LECHUGAS A LA NAPOLITANA 450 pesos (1 lechuga, 2 tomates, 1 choclo)

BETARRAGAS A LA VIENESA 300 pesos (2 lechugas, 3 betarragas, 1 aceituna)

CHOCLOS A LA CHILENA 650 pesos

14 Trabajo Docente Nº 57 (3 choclos, 1 aceituna, 4 tomates) Se pide: Plantee un modelo que le permita maximixar sus ingresos (suponga que

lo que haga lo vende, pero que debe preparar los platos antes que lleguen los clientes).

Se recomienda definir: X1 = Nº de platos de Lechugas a la Napolitana. X2 = Nº de platos de Betarragas a la Vienesa. X3 = Nº de platos de Choclos a la Chilena.

1.7. Suponga que Ud. se quedó después del 18 de septiembre, día en que puso

una fonda, con 1.000 litros de chicha y 600 litros de vino. Ud. tiene la posibilidad de guardarlos, total o parcialmente, hasta el próximo año y venderlos en las fondas a un precio de 100 pesos y 150 pesos por litro de chicha y de vino respectivamente, o venederlos hoy a un precio de 50 y 85 pesos respectivamente a una botillería. Ud. no tiene problemas con la tasa de interés directamente, pero necesita hoy 50.000 pesos para pagar una deuda pendiente. Por último, el señor de la botillería le exige que por cada litro de chicha que le venda debe venderle por lo menos 2 litros de vino.

Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente definiendo claramente las variables.


CAPITULO 2

PROGRAMACION MATEMATICA: ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS

Los problemas vistos en el capítulo anterior son todos problemas de Programación Matemática (PM). Formalmente, en un problema de PM se trata de encontrar el vector x = (x1 , x2 , ..., xn ) que, perteneciendo a un conjunto X, llamado conjunto de oportunidades y subconjunto a su vez de Rn , o conjunto de los números reales en n dimensiones, maximice una función objetivo f(x1 , x2 , ..., xn ).

Dicho de otra forma, el conjunto X no es más que el conjunto de todos los valores que pueden tomar las distintas variables, mientras que la función objetivo representa aquello que se desea maximizar.

En términos del ejemplo 1.1, el set X es el conjunto de todos los valores de T y P que satisfacen las restricciones

T + P ≤ 120 3T + 5P ≤ 300 T ≥ 0; P ≥ 0

y la función objetivo es

f (T,P) = 126.500 T + 118.000 P

Cabe señalar que el planteamiento de un problema de Programación Matemática como uno de maximización, en lugar de uno de minimización, es sólo por conveniencia. Es obvio que existen muchos problemas donde lo que se desea es minimizar y no maximizar una función objetivo. Afortunadamente, todo problema de minimización se puede escribir como uno de maximización ya que el vector que minimiza a f(x) es el mismo que maximiza - f(x).

Dos importantes casos especiales de PM lo constituyen la Programación No Lineal y la Programación Lineal. En el primero, el conjunto de oportunidades X está caracterizado por

X = {x | g(x) ≤ b, x ≥ 0}

en que

Modelos de Optimización 17 de cómo transformar ciertos problemas de PM que no son estrictamente de PNL o PL en problemas que caigan dentro de estas últimas categorías.

Ejemplo 2.1:

Considérese el problema

Maximizar 3X1 + 2X2

sujeto a:

X1 ≤ 100 2X1 + 3 X2 ≥ 10 X1 , X2 ≥ 0

En este caso, la segunda restricción no es de "menor o igual" con lo cual el problema no debe, según la definición anterior, considerarse como de PL. Sin embargo, esta restricción puede reescribirse como

-2 X1 - 3 X2 ≤ - 10

sin cambiar para nada las implicancias de la restricción.

Ejemplo 2.2:


Maximizar X1 + X2

sujeto a:

X1 = 100 X1 + 2 X2 ≤ 200 X1 , X2 ≥ 0

El problema en este caso lo presenta la primera restricción, que es de igualdad. Esta restricción se puede descomponer en dos partes:

X1 ≥ 100 X1 ≤ 100

18 Trabajo Docente Nº 57 Obviamente, estas restricciones implican que X1 = 100. Este sistema lleva, sin embargo, a tratar el problema de "mayor o igual" de la misma manera que en el ejemplo 2.1 Así, el problema de PM se puede reescribir como el siguiente problema de Programación Lineal:

Maximizar X1 + X2 sujeto a: - X1 ≤ - 100 X1 ≤ 100 X1 + 2 X2 ≤ 200 X1 , X2 ≥ 0

Ejemplo 2.3

Considérese el problema:

Maximizar X31 + X2

sujeto a:

2 X1 + X2 ≤ 100 X1 ≥ 0

En este caso, la variable X2 no tiene restricción de nonegatividad. Como en Programación No Lineal todas las variables deben ser nonegativas, y reconociendo que todo número real, (positivo, negativo, o cero) puede expresarse como la diferencia entre dos números nonegativos, lo que se hace es reescribir la variable X2 como

X2 = X21 - X22

donde X21 y X22 son mayores o iguales a cero. Así, el problema original se puede reescribir como el siguiente problema de Programación No Lineal:


Maximizar X31 + X21 - X22

sujeto a:

2X1 + X21 - X22 ≤ 100 X1 , X21 , X22 ≥ 0

Los tres ejemplos anteriores han permitido transformar problemas de PM, que no son problemas de PNL o de PL, en problemas que sí son de PNL o PL. La ventaja de esto es que en general, mientras más acotada está una clase de problemas, más específicos se puede ser en su caracterización y resolución. Dicho de otra forma, todo lo que se pueda decir de los problemas de PM es válido para problemas de PNL o PL, pero no viceversa. Esto quiere decir que al transformar, por ejemplo, un problema de PM, no PL, en uno de PL, todo lo que es válido para la clase de problemas de PM sigue siendo válido para el problema transformado, y, además, todo lo que es válido para problemas de PL pasa a ser válido luego de la transformación.

En todo caso, se debe destacar que no siempre es posible hacer este tipo de transformaciones, como lo demuestra el ejemplo siguiente:

Ejemplo 2.4:


Maximizar 3X1 + 2X2

sujeto a:

X1 < 40 X2 ≤ 20 X1 , X2 ≥ 0

El problema en este caso es la desigualdad estricta en la primera restricción. Podría pensarse que el óptimo es X*

1 = 39,9 y X*2 = 20. Sin embargo, una

solución mejor sería X*1 = 39,99 o mejor aún X*

1 = 39,999. En este caso no se puede encontrar el óptimo, con lo cual ya no se puede maximizar de acuerdo con la definición del proceso de maximización dada al comienzo de este capítulo.

20 Trabajo Docente Nº 57 Máximos Locales y Máximos Globales

Un punto x* es un máximo global si f(x*) ≥ f(x) para todo x, x* ∈ X. Por otro lado, x* es un máximo global estricto si f(x*) > f(x) para todo x, x* ∈ X. Asimismo, x* es un máximo local si x* ∈ X y f(x*) ≥ f(x) para todo x, que perteneciendo a X, se encuentre en una vecindad de x*. Si f(x*) > f(x), entonces x* es un máximo local estricto. El carácter geométrico intuitivo de estas definiciones es inmediato como lo ilustra la figura siguiente:

x x xx x x x* * * * * *1 2 3 4 5 6

x

f(x)

X*1 es un máximo local estricto, X*

2 es un mínimo global estricto, X*3 es un

máximo local estricto y un máximo global (no estricto), X*4 es un mínimo local

estricto, X*5 es un máximo global (no estricto), X*

6 es un mínimo local (en un borde del conjunto de oportunidades).



2.1. Considere los siguientes problemas de optimización:

Maximizar X1 + 3 X2

sujeto a: X1 + 2 X2 ≤ 8 2X1 + 3 X2 ≥ 15 X1 + X2 = 6 X1 , X2 ≥ 0

Mininizar 3X1 + 2 X2

sujeto a: X1 + 2 X2 ≤ 10 X1 ≥ 0

Minimizar 3 X2 + Y sujeto a: X + Y ≤ 10 2X + Y ≥ 15 X + 3Y = 10 X ≥ 0, Y ≥ 0

Se pide: Transforme estos problemas en problemas de Programación Lineal o No Lineal según corresponda.

2.2. Considere el siguiente problema de optimización.

Minimizar P1 X1 + P2 X2

sujeto a:

P1 = 100 - X1 P2 = 200 - X2 X1 + X2 ≤ 20 P1, P2, X1, X2 ≥ 0

22 Trabajo Docente Nº 57 Se pide: Transforme este problema en un problema de Programación No

Lineal sin sustituir las variables P1 y P2 en la función objetivo.


CAPITULO 3

OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

Este capítulo tiene por objeto caracterizar el óptimo cuando el problema no tiene restricciones. Es decir, cuando el conjunto de oportunidades es igual al conjunto de los números reales en n dimensiones, Rn. En primer lugar se verá el caso de una función objetivo de una variable para luego generalizar al caso de una función de varias variables.

Función objetivo de una variable

En este caso, se desea maximizar una función f(x). Si se supone que f(x) es diferenciable, entonces la condición de primer orden es que

dfdx = 0

y la condición de segundo orden es que

d2fdx2 < 0

cuando se evalúa la segunda derivada en el punto donde la primera derivada es cero. Si un punto satisface estas condiciones, entonces dicho punto es un máximo local.

Se debe destacar que la condición de segundo orden es suficiente pero no necesaria, ya que la segunda derivada podría ser cero en el máximo, como lo demuestra el caso de la función

f(x) = - x2

En este ejemplo la primera derivada es cero en el punto x* = 0, y la segunda derivada evaluada en dicho punto también es cero. El punto x* = 0, sin embargo, es un máximo.

Si se sustituye la condición de segundo orden por

d2fdx2 ≤ 0

24 Trabajo Docente Nº 57 se obtiene una condición necesaria pero no suficiente, ya que una segunda derivada igual a cero puede corresponder a un máximo, mínimo, o punto de inflexión.

Para ver este punto se sugiere estudiar las funciones

a) f(x) = - x2

b) f(x) = x2

c) f(x) = x3

En los tres casos, la primera derivada es cero cuando x* = 0, y la segunda derivada es cero también cuando se evalúa en dicho punto El caso a) corresponde a un máximo, b) corresponde a un mínimo, y c) corresponde a un punto de inflexión.

Para saber si un punto crítico (punto en el cual la primera derivada es cero) es un máximo, mínimo, o punto de inflexión, se debe en primer lugar evaluar la segunda derivada en dicho punto. Si dicha derivada es cero, se debe seguir derivando hasta encontrar la primera derivada no cero cuando se evalúa en el punto crítico. Supóngase que la enésima derivada es la primera derivada distinta de cero; entonces si n es impar, se trata de un punto de inflexión; si n es par y dfn

dxn es mayor que cero, se trata de un mínimo; y si es par y dfn

dxn es menor que

cero, se trata de un máximo.

Para finalizar el análisis de funciones de una variable, considérese la función

f(x) = 3x

En este caso, dfdx = 3, con lo cual f(x) no tiene punto crítico. En este caso no se

puede maximizar ya que el máximo es infinito, el cual no es un número real.

Modelos de Optimización 27 Considérese la matriz

-3 1 2 1 -4 -1 2 -1 -7

Esta matriz es negativa definida ya que

det (H1) = f11 = -3 < 0

det (H2) = det

f11 f12

f21 f22 = det

-3 1 1 -4

= 11 > 0

det (H3) = det

-3 1 2

1 -4 -1 2 -1 -7

= - 62 < 0.

Matriz positiva definida: Una matriz es positiva definida si los determinantes de sus submatrices no alternan de signo, con el primer determinante mayor que cero. En otras palabras, si det (H1) > 0, det (H2) > 0, det (H3) > 0, y así sucesivamente.

Matriz semidefinida: Para que una matriz sea negativa semidefinida o positiva semidefinida, los requisitos de menor o mayor que cero descritos pasan a ser de menor o igual o de mayor o igual.

Otras Matrices: Si el Hessiano evaluado en el punto crítico, es decir el punto donde la primera derivada es cero, no corresponde a ninguna de las definiciones anteriores, entonces el punto crítico es un punto de inflexión.

En relación con el Hessiano, se debe destacar que, tal como se pide mostrar en el problema propuesto 3.2., el requisito que este sea negativo definido en el caso de un máximo obliga a que todos los miembros de la diagonal sean negativos. Esto es equivalente a decir que el punto crítico debe ser un máximo en todas las direcciones definidas por los ejes de las ordenadas. La razón para exigir que además el Hessiano sea negativo definido, lo cual implica considerar las segundas derivadas cruzadas, es que puede darse el caso que siendo un máximo en el sentido de X1, X2, ... no lo sea en el sentido de una combinación de las variables. Este punto debería quedar claro al resolver el problema propuesto 3.3.

En este punto, es conveniente destacar que si el Hessiano es semidefinido positivo o semidefinido negativo en el punto crítico, en teoría dicho punto puede

mquezada

Ejemplo 3.1:

28 Trabajo Docente Nº 57 ser un máximo, mínimo, o punto de inflexión. En el caso de una variable, para determinar a cuál caso correspondía, se debía seguir derivando hasta llegar a la primera derivada no cero cuando se evaluaba en el punto crítico. En el caso de varias variables, ello significa derivar el Hessiano con respecto a cada una de las variables; luego dicho conjunto de derivadas respecto nuevamente a cada una de las variables, y así sucesivamente. Hacer ésto, aparte de ver que significa ser positivo o negativo en dichos conjuntos, está claramente fuera del alcance de este texto.

Finalmente, se debe señalar que la caracterización del óptimo basada en las primeras y segundas derivadas se refiere a óptimos locales, no necesariamente globales. Sin embargo, si la segunda derivada, o el Hessiano, tiene un signo único para cualquier valor de la o las variables, entonces el óptimo local es también global. Por otra parte, el hecho que una función tenga una segunda derivada negativa, por ejemplo, para cualquier valor de la variable, no significa que dicha función tenga necesariamente un máximo local y en consecuencia global. Tal sería el caso de una función que converge asintóticamente a un valor dado.


3.1 Considere la función

f(X,Y,Z) = -2X2 -XY - Y2 - Y Z - Z2 + 6X+7Y+8Z - 9

a) Encuentre un punto crítico.

b) ¿Es éste un máximo, mínimo o ninguno de los dos? Use las condiciones de segundo orden.

3.2 Considere cualquier función f(X1, X2). Muestre que para que el Hessiano

sea negativo definido, es necesario que fii = ∂2f(x1, x2)

∂xi2 sea menor que

cero para i = 1, 2.

3.3 Considere la función

f(X,Y) = - 2X2 - Y2 - a XY

donde "a" es un parámetro que puede tomar cualquier valor.

Se pide:

Modelos de Optimización 29 a) Demuestre que el punto (X,Y) = (0, 0) es un punto crítico.

b) Encuentre un valor cualquiera de "a" tal que dicho punto crítico sea un máximo.

c) Para el valor de "a" encontrado, encuentre el valor de f(0, 0); f(0, 1); f(1, 0); f(0, 1); f(-1, 0); f(1, 1); f(-1; -1). Trate de imaginar la forma de la función.

d) Encuentre un valor cualquiera de "a" tal que el punto crítico sea un punto de inflexión.

e) Para el valor de "a" encontrado en la parte anterior, encuentre el valor de f(0, 0); f(0, 1); f(1, 0); f(0, 1); f(-1, 0); f(1, 1); f(-1; 1). Nuevamente, trate de imaginar la forma de la función.


CAPITULO 4

OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD

En este capítulo, el objetivo es caracterizar el óptimo cuando se impone la condición que las variables sean no negativas. En economía, esta es la situación normal. Los precios no pueden ser negativos, las cantidades a producir o almacenar no pueden ser negativas, las cantidades de insumos tampoco, etc. Por otra parte, como se vio en el capítulo 2, en Programación No Lineal, el problema se define con la restricción que todas las variables sean mayores o iguales a cero.

Al igual que en el capítulo anterior, se verá en primer lugar el caso de funciones de una variable para luego ver el caso de funciones de diversas variables.

Función objetivo de una variable

El problema en este caso se puede escribir como

Maximizar f(x)

sujeto a:

x ≥ 0

En relación con este problema, el óptimo puede ser mayor o igual a cero. Si es estrictamente mayor que cero, entonces las condiciones derivadas para el caso sin restricciones se mantienen. Si el óptimo se encuentra donde x* es igual a cero, entonces la derivada de la función evaluada en dicho punto debe ser menor o igual a cero (nunca mayor que cero por cuanto ello implicaría que existe un punto mejor dentro de los valores positivos de la variable). El gráfico siguiente muestra las distintas situaciones posibles.


(a)

x*

(b)

(c)

x* xx

f(x)

f(x)

f(x)

xx*

La situación (a) ocurre cuando x* > 0. En este caso el óptimo se encuentra en un punto interior del conjunto de oportunidades con lo que f'(x*) debe ser necesariamente igual a cero. Las condiciones de segundo orden serían las mismas que en el caso sin restricciones visto en el capítulo anterior.

La situaciones (b) y (c) ocurren cuando el óptimo se encuentra en el borde del conjunto de oportunidades. Es decir, cuando x* = 0. En el caso (b), f'(x*) < 0; mientras que en (c), f'(x*) = 0.

Lo anterior se puede resumir en las siguientes condiciones de primer orden:

(1) Si x* > 0, entonces f'(x*) = 0

(2) Si x* = 0, entonces f'(x*) ≤ 0

(3) x* ≥ 0

Estas condiciones se pueden sustituir por


(1') f' (x*) ≤ 0

(2') x* f' (x*) = 0

(3') x* ≥ 0

La razón para ello es que (1), (2) y (3) implican que necesariamente se cumple (1'), (2') y (3'); y además (1'), (2'), y (3') implican que necesariamente se cumple (1), (2), y (3). Son por lo tanto expresiones igualmente válidas para representar las condiciones de primer orden en el caso de una variable con restricción de no negatividad. De aquí en adelante se trabajará con las condiciones (1'), (2') y (3').

Hasta aquí no se han discutido las condiciones de segundo orden para el caso en que x* = 0.

Si f'(x* = 0) es igual a cero, el punto crítico x* puede ser un máximo o un mínimo en el borde tal como se observa en el gráfico siguiente. De aquí que las condiciones de segundo orden presentadas para el caso sin restricciones se deban mantener.

f(x)

x

f(x)

x

Por otra parte, si f'(x*=0) es estrictamente menor que cero, entonces necesariamente se trata de un máximo local, independiente del valor de la segunda derivada, tal como lo muestran los gráficos siguientes

mquezada

mquezada

mquezada


f(x)

x

f(x)

x

f''(x*) < 0 f''(x*) > 0

Función objetivo de varias variables

El problema en este caso se representa como

Maximizar f(x1, ....., xn)

sujeto a:

xi ≥ 0 para todo i = 1, ..., n

Las condiciones de primer orden son análogas a aquellas presentadas para el caso de una variable restringida a ser no negativa. Es así como debe cumplirse que

1) ∂f∂xi

≤ 0; i = 1,...., n

2) ∂f∂xi

xi = 0; i = 1,...., n

3) xi ≥ 0; i = 1,...., n



4.1. Sea Q la cantidad producida de un cierto producto. El precio unitario de venta está dado por P = 20 - Q (función demanda) y el costo total de producción por

C = Q2 + 8Q + 2

a) ¿Qué cantidad Q maximiza la utilidad neta y a qué precio?

b) ¿Qué cantidad Q maximiza el ingreso total por ventas y a qué precio?


CAPITULO 5

OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD

Este capítulo persigue caracterizar el máximo de un problema cuando existen distintos tipos de restricciones, para terminar con el caso general de Programación No Lineal. En primer lugar, se verá el caso de restricciones de igualdad, luego se verá el caso de restricciones de desigualdad, y finalmente se caracterizará el máximo en el caso general de Programación No Lineal.

Restricciones de igualdad

El problema en este caso se presenta como

Maximizar f(x1, ....., xn)

sujeto a:

g1(x1, ... , xn) = b1

. . . . . .

gm(x1, ... , xn) = bm

Para caracterizar el óptimo se hace uso del Lagrangeano, que en este caso es igual a

£ = f(x1, ... , xn) + ∑=

m

1i

λi (bi - gi(x1, ... ,xn))

donde λi, (i = 1,.....,m), son variables auxiliares. La ventaja de usar el Lagrangeano es que éste transforma un problema con n variables y m restricciones de igualdad en un problema con n + m variables, pero sin restricciones.

Las condiciones de primer orden, como en el caso sin restricciones, son


∂£∂xi

= 0 para i = 1, ... , n

∂£∂λj

= 0 para j = 1, ... , m

Ejemplo 5.1:

Suponga el problema

Maximizar - x21 - x

22

sujeto a

2 x1 + x2 = 6

El Lagrangeano en este caso es

£ = - x21 - x

22 + λ (6 - 2 x1 - x2 )

Las condiciones de primer orden para este problema son

∂£∂x1

= - 2x1 - 2λ = 0

∂£∂x2

= - 2x2 - λ = 0

∂£∂λ = 6 - 2 x1 - x2 = 0

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

x*1 = 2,4

x*2 = 1,2

λ* = -2,4

f(x*1 ; x

*2 ) = f(2,4; 1,2) = -7,2.

Significado de λ

Modelos de Optimización 37 Para entender el significado de la variable λ, a continuación se desarrolla, por conveniencia como se verá más adelante, nuevamente el ejemplo anterior alterando sólo el lado derecho de la restricción.

Ejemplo 5.2:

Suponga el problema

Maximizar - x21 - x

22

sujeto a

2 x1 + x2 = b

donde b es un parámetro. El Lagrangeano sería simplemente

£ = - x21 - x

22 + λ (6 - 2 x1 - x2 )

Las condiciones de primer orden son

∂£∂x1

= - 2x1 - 2λ = 0

∂£∂x2

= - 2x2 - λ = 0

∂£∂λ = b - 2 x1 - x2 = 0

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

x*1 =

5b2

x*2 =

5b

λ* = - 5b2−

f(x*1 ; x

*2 ) = f(

2b5 ;

b5 ) = -

b2

5

38 Trabajo Docente Nº 57 Lo que se ha hecho con este ejemplo es obtener el valor de las variables en el óptimo y el valor de la función objetivo en el óptimo como función del lado derecho de la restricción. Si éste varía, es fácil obtener la nueva solución óptima.

El punto importante, sin embargo, surge del hecho que en el óptimo, se cumple que

∂f*∂b =

∂( -b2

5 )

∂b = λ*

Este resultado es válido cualquiera sea el número de variables en la función objetivo y cualquiera sea el número de restricciones1. El resultado general se expresa como

λ*i =

∂f*∂bi

A modo de ejemplo, si f(x1,......, xn) representa el ingreso de una firma y bi la

disponibilidad de insumo i, entonces λ*i representa cuanto cambian los ingresos

en el óptimo por unidad adicional de recurso i que se utilice.

Como las restricciones son de igualdad este valor puede ser positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, una unidad adicional de agua puede ser beneficiosa, perjudicial, o no tener ningún efecto sobre la producción si se obliga a utilizarla (restricción de igualdad), dependiendo del nivel de agua que se utiliza inicialmente.

Programación No Lineal

El problema de Programación No Lineal, tal como se definiera en el capítulo 2, es

Maximizar f(x1, ... , xn)

sujeto a:

1 En rigor, es necesario señalar que para poder encontrar el óptimo usando el método del Lagrangeano, es necesario que las restricciones cumplan con ciertas condiciones de regularidad que permitan despejar el óptimo de las condiciones de primer orden. Estas condiciones, puede decirse, son de interés teórico más que práctico por lo que no se analizan en este texto. El lector interesado puede consultar las referencias al final de este texto.


g1(x1, ... , xn) ≤ b1

. . . . . .

gm(x1, ... , xn) ≤ bm

x1, x2, ..., xn ≥ 0

Para derivar las condiciones de primer orden, se hace uso nuevamente del Lagrangeano donde

£ = f(x1,...., xn) + ∑=

m

1i

λi (bi - gi(x1, ... ,xn))

La única diferencia entre este Lagrangeano y el anterior es que el término que acompaña a λi, (bi - gi(x1, ... , xn)), debe ahora ser mayor o igual que cero en lugar de igual a cero. Ello, debido a que las restricciones son ahora de desigualdad.

Así, el problema es

Maximizar £ = f(x1, ... , xn) +∑=

m

1i

λi (bi - gi(x1, ... ,xn))

sujeto a

x1, ... , xn ≥ 0

En otras palabras, el problema de Programación No Lineal se puede expresar como un problema con n + m variables con restricciones de no negatividad para algunas de ellas.

A continuación se presentan las condiciones de primer orden para este problema, dejando para después de dicha presentación la explicación de las mismas.


1) ∂£∂xi

≤ 0; i = 1, ... , n

2) ∂£∂xi

xi = 0; i = 1, ... , n

3) ∂£∂λj

≥ 0; j = 1, ... , m

4) ∂£∂λj

λj = 0; j = 1, ... , m

5) xi, λj ≥ 0; i = 1, ... , n; j = 1, ... , m

Estas condiciones se conocen como condiciones de Kuhn-Tucker.

Las condiciones (1) y (2) son análogas a aquellas presentadas anteriormente para el caso con restricciones de no negatividad. La condición (3) es simplemente otra forma de escribir la restricción que

gi(x1, ... , xn) ≤ bi

La condición (4) es análoga a la condición (2) referida a λ*i . Esta dice que si no

se usa todo el recurso, entonces λ*i = 0, y que si λ

*i es mayor que cero es porque

se usa todo el recurso.

La condición de no negatividad para xi era parte de las restricciones originales. Por último, la condición que λi ≥ 0 se deriva del hecho que λi es en el óptimo, al igual que antes, igual a

λ*i =

∂f*∂bi

Si aumenta la disponibilidad de recurso i, el valor de la función objetivo en el óptimo debe aumentar, o bien quedar igual. No puede empeorar la situación si se aumenta la disponibilidad de un recurso. Este resultado es distinto de aquel presentado para el caso con restricciones de igualdad, donde bi no representaba disponibilidad sino que uso efectivo.

λi se conoce como precio sombra del recurso e indica cuánto es lo máximo que se está dispuesto a pagar en términos de las unidades en que esté expresada la función objetivo, por una unidad adicional de recurso2.

2 Al igual que en el caso de restricciones de igualdad, es necesario que las restricciones cumplan

Modelos de Optimización 41 A continuación se presentan algunos ejemplos de caracterización del óptimo en el caso general de Programación No Lineal.

Ejemplo 5.2: Considérese el problema

Maximizar 3X21 + 2X2

sujeto a 2 X1 + X2 ≤ 6 X1, X2 ≥ 0

En este caso, el Lagrangeano se puede escribir como

£ = 3X21 + 2X2 + λ (6 - 2X1 - X2)

Las condiciones de Kuhn-Tucker en este caso son

1) ∂£∂X1 = 6X1 - 2 λ ≤ 0 2)

∂£∂X1 X1 = 0

3) ∂£∂X2 = 2 - λ ≤ 0 4)

∂£∂X2 X2 = 0

5) ∂£∂λ = 6 - 2X1 - X2 ≥ 0 6)

∂£∂λ λ = 0

7) X1, X2, λ ≥ 0

Con esto, se ha caracterizado el óptimo. Sin embargo, lo dificil es encontrar el óptimo a partir de dicha caracterización. Las ecuaciones (2), (4) y (6) definen un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Una solución inmediata es X1 = X2 = λ = 0. Sin embargo, esta solución no satisface la condición (3), con lo que debe buscarse otra solución al sistema de ecuaciones.

con ciertas condiciones de regularidad, que es lo mismo que decir que estén bien comportadas, para que el óptimo se pueda caracterizar por las condiciones de Kuhn Tucker sañaladas. El lector interesado puede consultar las referencias al final de este texto.

42 Trabajo Docente Nº 57 Si se supiera cuáles variables son iguales a cero y cuáles son estrictamente mayores que cero en el óptimo, entonces el sistema se podría resolver más fácilmente, ya que o la variable sería igual a cero o bien el término entre paréntesis sería igual a cero. De aquí se desprende la necesidad de evaluar los siguientes 8 casos:

Caso X1 X2 λ 1 0 0 0 2 + 0 0 3 0 + 0 4 0 0 + 5 + + 0 6 + 0 + 7 0 + + 8 + + +

Por la condición (3), λ debe ser mayor o igual a 2 con lo que se descartan los casos 1, 2, 3, y 5 de la tabla anterior. A continuación se analizarán los casos restantes.

Caso 4: ( X1 = X2 = 0; λ > 0)

En este caso se debe cumplir que

(1') -2 λ ≤ 0 (2') (-2 λ) • 0 = 0 (3') 2 - λ ≤ 0 (4') (2 - λ) = 0 (5') 6 ≥ 0 (6') 6 λ = 0 (7') X1, X2, λ ≥ 0

La condición (6') implica que λ = 0 lo cual contradice la condición (3').

Caso 6 (X1 > 0; X2 = 0; λ > 0)



6 X1 - 2λ = 0 (2 - λ) ≤ 0 6 - 2 X1 = 0

De aquí se desprende que

X1 = 3; λ = 9; X2 = 0

Esta solución satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker.

Caso 7: (X1 = 0; X2 > 0; λ > 0)


2 - λ = 0 6 - X2 = 0

De aquí se desprende que λ = 2; X2 = 6; X1 = 0. Esta solución cumple además con todas las otras condiciones de Kuhn-Tucker.

Caso 8: (X1 > 0 ; X2 > 0 ; λ > 0)


6 X1 - 2λ = 0 2 - λ = 0 6 - 2 X1 - X2 = 0

De aquí se desprende que λ = 2; X1 = 23 ; X2 =

143 . Esta solución satisface

todas las condiciones de Kuhn-Tucker.

El problema es ahora determinar cuál de los tres puntos que satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker es el óptimo del problema. Para determinarlo, basta reemplazar en la función objetivo:

f(3, 0) = 27


f(0, 6) = 12

f( 23 ,

143 ) = 10

23

En consecuencia, el óptimo es

x*1 = 3; x

*2 = 0; λ* = 9

f(x*1 ; x

*2 ) = 27

Para terminar, es importante destacar que el número de casos por analizar es igual a 2n+m, donde n es igual al número de variables y m es el número de restricciones (cada restricción implica considerar una variable λi). Asimismo, se debe señalar que las derivadas pueden ser expresiones no lineales en las variables, con lo que la resolución de los sistemas de ecuaciones se dificulta aún más.

Ejemplo 5.3:

Supóngase que las líneas aéreas tienen una dimensión máxima para las maletas, expresada en términos de la suma del largo, ancho y alto. Suponga que un fabricante de maletas ha decidido producir la Super Maleta, que maximiza el volumen cumpliendo la restricción de las líneas que de la suma anterior no debe exceder 120 cm.

En términos matemáticos, el problema se puede plantear como

Maximizar xyz sujeto a: x + y + z ≤ 120 x, y, z ≥ 0

donde x, y, z representan el largo, ancho y alto respectivamente.

El Lagrangeano de este problema es

£ = x y z + λ (120 - x - y - z)

Modelos de Optimización 45 Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

1) ∂£∂x = y z - λ ≤ 0

2) ∂£∂x • x = (y z - λ) x = 0

3) ∂£∂y = x z - λ ≤ 0

4) ∂£∂y • y = (x z - λ) y = 0

5) ∂£∂x = x y - λ ≤ 0

6) ∂£∂z • z = (x y - λ) z = 0

7) ∂£∂λ = 120 - x - y - z ≥ 0

8) ∂£∂λ • λ = (120 - x - y - z) λ = 0

9) x, y, z, λ ≥ 0

En este problema, en teoría se debe evaluar 24 = 16 casos, ya que n = 3 y m = 1. Sin embargo, es claro que en el óptimo la maleta no puede tener ninguna dimensión igual a cero. Por otra parte, dado que en el óptimo se debe cumplir

que λ*i =

∂f*∂bi

y que obviamente si se permitiera una mayor suma de los lados,

se podría aumentar el volumen, λ debe ser estrictamente mayor que cero en el óptimo. De lo anterior se desprende que se debe evaluar sólo un caso donde todas las variables son estrictamente positivas. Así, las condiciones de Kuhn-Tucker se pueden expresar como

y z - λ = 0 x z - λ = 0 x y - λ = 0 120 − x - y - z = 0

De aquí se desprende de que x* = y* = z* = 40; λ∗ = 1600.


46 Trabajo Docente Nº 57 5.1. El problema es determinar las dimensiones de un tarro de conserva

cilíndrico de base circular y de volumen dado, tal que se emplee el mínimo de hojalata.

5.2.3 Se desea determinar las dimensiones para un estanque cilíndrico refrigerado de capacidad 1.000 m3, de modo que su costo sea mínimo. Los componentes del costo son

Metales de los extremos $ 1,00 por m2

Metal de la pared cilíndrica $ 0,50 por m2 Costo de la refrigeración $ 5,00 por m2 de superficie (sobre la vida útil de estanque)

Por razones de diseño, el diámetro no puede excederse de 10 mts.

a) Formule el problema de PM correspondiente empleando el largo L y el diámetro D como variables de decisión.

b) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker y derive una solución a partir de éstas.

5.3. Suponga que Ud, es el único abastecedor en Concepción de peras deshidratadas. Ud. tiene dos plantas deshidratadoras, en Temuco y Rancagua, cuyos costos en materia prima, procesamiento y transporte están dados a continuación.

Planta Costo Materia Costo Transporte Prima Procesamiento Concepción (pesos/kg.) (pesos/kg.) (pesos/kg.) Temuco 30 20 + X 30 Rancagua 20 2X 10 + X

Nota: Los costos está expresados por kg. de producto final equivalente. Ud. debe ofrecer por lo menos 100 unidades a un precio unitario de 200 pesos por kg. Ud. puede vender cuanto quiera por encima de dichas 100 unidades. Se pide:

3 Bruno Philippi: "Introducción a la Optimización de Sistemas". Ediciones Universidad Católica de Chile, 1982.

Modelos de Optimización 47 a) Plantee el problema de programación no lineal que le permita

decidir cuánto debe producir en cada planta.

b) Resuelva las condiciones de Kuhn-Tucker justificando claramente su procedimiento.

5.4. En relación con el ejemplo 5.3, suponga que la Super Maleta no se vende por problemas de precio. Los clientes no están dispuestos a pagar más de 3.500 pesos por la maleta. Si los únicos costos pertinentes son:

i) 1 peso por cm2 de cuero.

ii) 4 pesos por cm2 de fondo (hay que poner un refuerzo para que no se desfonde)

iii) 2.000 pesos por maleta por concepto de ganancias, pago al trabajo, etc.

Se pide:

Plantee y resuelva el nuevo problema de optimización.

5.5. Con el fin de permitir el intercambio entre dos poblados aislados se ha decidido construir la infraestructura de transporte necesaria para comunicarlos.

En un primer análisis del problema, se ha definido la situación como sigue:

El poblado A está ubicado en una isla a 200 km. del continente y a 500 km. del poblado B que se encuentra tierra adentro, a 100 km. de la costa.

El proyecto contempla la construcción de 2 puertos, en la isla y en el litoral, además de una carretera entre el poblado B y el puerto del litoral.

Suponga que el costo variable por tonelada-kilometro en el transporte terrestre es de 30 pesos, mientras que dicho costo es de 12 pesos en el caso del transporte marítimo. Se estima que habría 5000 viajes de ida y vuelta al año con un promedio de carga de 1,5 toneladas, y que el costo del camino terrestre es de 500.000 pesos por km.

Adicionalmente, suponga una tasa de interés de 10% anual y que el camino durará 10 años.

48 Trabajo Docente Nº 57 El problema es plantear el problema de optimización correspondiente.

Gráficamente la situación se puede representar como sigue

200 km

400 km

100 km

L I T

O R

A L

B

A

El problema es dónde ubicar el puerto del litoral. En términos del gráfico siguiente se trata de determinar X, de modo tal de minimizar el costo de transporte entre A y B.


200 km

100 km

L I T

O R

A L

B

A

X

Se pide

Plantee el problema de optimización correspondiente y resuelva.

5.6 Ud. tiene un fundo de 100 hectáreas y desea saber cuántas hectáreas poner con trigo y maíz. Ud. sabe que la función de producción de trigo es:

Q = 20 H L0,2

donde: Q = producción ( en qq) L = Nº de trabajadores ( en jornadas hombre) H = Nº de Hectáreas

En el caso del maíz, la función de producción es:

Q = 10 H0,8L0,4

50 Trabajo Docente Nº 57 El precio por quintal de trigo es de 3.000 y por quintal de maíz es 3.200, el

precio por jornada hombre es de 1.000 pesos en horario normal y 1.500 en horario extra. Ud. puede contratar un máximo de 20 jornadas a horario normal y un máximo de 1.000 en horario extra. Finalmente, suponga que por cada hectárea de maíz que siembre Ud. quiere sembrar un mínimo de 3 hectáreas de trigo.

Se pide:

a) Plantee el problema de optimización correspondiente, definiendo claramente la función objetivo y restricciones.

b) Plantee sin resolver las condiciones de Kuhn-Tucker del problema.

5.7 Considere el problema:

Maximizar (X1 + X2)

sujeto a:

2X1 + X2 ≤ 2 X1 + X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0

a) Dibuje el set de oportunidades.

b) ¿Cuál es el óptimo? ( justifique mediante figuras)

5.8 Considere el problema

Maximizar X1+X2

sujeto a:

X1 - 2X2 = 2 X1 ≤ 3 X2 ≤ 4

a) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema.

b) Resuelva el problema.

Modelos de Optimización 51 5.9 Considere el problema:

Minimizar X12 - X1X2 + 0,5X22 - X1 - X2

sujeto a:

X1 +X2 ≤ 3 3X1 + 2X2 ≥ 6 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

a) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema.

b) Encuentre un punto óptimo en el caso en que no se consideran las restricciones del problema (ninguna de ellas).

c) Encuentre una solución óptima para el problema original (con restricciones). Indicación: verifique si el punto encontrado en a) satisface las restricciones del problema, estudie la convexidad o concavidad de la función f(X1, X2), y utilice esta información al buscar una solución para las condiciones de Kuhn-Tucker.


CAPITULO 6

SUFICIENCIA DE CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

En el capítulo anterior se vieron las condiciones de Kuhn-Tucker con el objeto de caracterizar el óptimo. Para encontrarlo a partir de dichas condiciones fue necesario probar todas las posibilidades. Como cada variable podría ser mayor o igual a cero, se probaron 2n+m casos, donde n era el número de variables y m el número de restricciones ( sin contar las de no negatividad).

Como demostró el ejemplo 5.2., el hecho que un punto satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker, no implica que dicho punto sea un máximo ni siquiera local. En otras palabras, las condiciones de Kuhn-Tucker son condiciones necesarias pero no suficientes.

El propósito ahora es ver condiciones suficientes para garantizar que si un punto satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker, entonces es también un máximo global (no sólo local). Para hacerlo, es necesario hablar de funciones cóncavas y convexas y de conjuntos convexos, ya que el principal resultado es que si la función objetivo es cóncava y las restriciones representan un conjunto convexo, entonces todo punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo global (i.e. no es necesario seguir buscando puntos críticos para maximizar).

Funciones cóncavas

Una función es cóncava si para cada par de puntos X1 y X2 y 0 ≤ α ≤ 1 se cumple que

f(αX1+ (1-α) X2 ) ≥ αf(X1) + (1-α) f(X2)

El término

αX1+ (1-α) X2

es solamente un promedio ponderado de X1 y X2.

Por otra parte

f(αX1 + (1-α)X2)

Modelos de Optimización 53 es la función valorada en dicho punto. Suponiendo que la función es de una variable, lo anterior se puede graficar como

X XXX1 2 21

f(x)

xα +(1−α)

XX 21α +(1−α)f( )

En relación con el lado derecho

αf(X1) + (1-α)f(X2)

es un promedio ponderado de f(X1) y f(X2). Graficamente

X +(1- )X α α1 2

X +(1- )X α α1 2f( )

f(x)

x

f(X )1

f(X )2

X X1 2

f(X )+(1- )f(X )α α1 2

Lo que se requiere para que una función sea cóncava es por lo tanto que la función no pase nunca por debajo de la recta que une cualesquiera dos puntos. Los siguientes gráficos muestran casos de funciones cóncavas.


x

f(x)

x

f(x)

f(x)

x

f(x)

x

Si la función es diferenciable, la definición de concavidad se puede hacer en términos de la primera derivada de la función. En el caso de funciones de una variable, la función f(x) es cóncava si para cualquier par de puntos X1 y X2 se cumple que

f(X2) ≤ f(X1) + f'(X1) (X2 - X1)

Gráficamente,

f(x)

f(X )+f'(X )(X -X )f(X )

f(X )

1

1

1

11

2

22

X X x

Modelos de Optimización 55 En otras palabras, para que una función diferenciable sea cóncava, se requiere que la recta tangente en cualquiera de sus puntos no esté nunca por debajo de la función.

Si la función diferenciable es de varias variables, para que ésta sea cóncava se requiere que para cualquier par de puntos X1 y X2, se cumpla que

f(X2) ≤ f(X1) + ∑i=1

n fi(X1) (X

2i - X

1i )

donde fj(X1) es la derivada parcial de la función respecto a xj evaluada en el punto X1. Esto quiere decir que el plano tangente a la función en cualquiera de sus puntos no puede estar nunca por debajo de la función.

Por último, si la función es doblemente diferenciable, entonces se requiere que el Hessiano sea negativo semidefinido para que ésta sea cóncava o negativo definido para que sea estrictamente cóncava.

Ejemplo 6.1:

Supóngase la función

f(x1,x2) = - 3 x21 - 2 x

22 + x1 x2

El Hessiano de esta función es

H = -6 1 1 -4

el cual es negativo definido. Esto implica que la función es estrictamente cóncava.

En relación con este ejemplo, a continuación se comprobará que también se cumple la condición de concavidad basada en la primera derivada. Supóngase, a modo de ejemplo, los puntos X1 = (2,3) y X2 = (5,1). En este caso,

f(X1) = -3.22 - 2.32 + 2.3 = -24 f(X2) = -3.52 - 2.12 + 5.1 = -72

56 Trabajo Docente Nº 57 Las primeras derivadas de la función respecto de x1 y x2 son

f1(x1,x2) = -6x1 + x2 f2(x1,x2) = -4x2 + x1

las cuales evaluadas en el punto X1 son iguales a

f1(X1) = -6.2 + 3 = -9 f2(X1) = -4.3 + 2 = -10

Por último,

X21 - X1

1 = 5 - 2 = 3

X22 - X1

2 = 1 - 3 = -2

Reemplazando en la condición de concavidad basada en la primera derivada, se debe cumplir que

f(X2) ≤ f(X1) + f1(X1) (X21 - X1

1 ) + f2(X1) (X22 - X

12 )

-72 ≤ -24 + (-9) ( 5 - 2 ) + ( -10) ( 1 - 3 ) -72 ≤ -31

Como esta desigualdad se cumple, se ha comprobado que la función

f(x1,x2) = - 3 x21 - 2 x

22 + x1 x2

es estrictamente cóncava.

Funciones convexas

Una función es convexa si para cada par de puntos X1 y X2 y 0 ≤ α ≤ 1 se cumple que

f(αX1+ (1-α ) X2) ≤ α f(X1) + (1-α) f(X2)

Si la función es diferenciable, para que ésta sea convexa se requiere que para cualquier par de puntos X1 y X2, se cumpla que


f(X2) ≥ f(X1) + ∑i=1

n fi(X1) (X

2i - X

1i )

donde fj(X1) es la derivada parcial de la función respecto a xj evaluada en el punto X1. Esto quiere decir que el plano tangente a la función en cualquiera de sus puntos no puede estar nunca por encima de la función.

Por último, si la función es doblemente diferenciable, entonces se requiere que el Hessiano sea positivo semidefinido para que ésta sea convexa o positivo definido para que sea estrictamente convexa.

Los gráficos siguientes muestran distintas funciones convexas.

f(x)

x

f(x)

x

x

f(x)

x

f(x)

Claramente, la línea recta es cóncava y convexa a la vez. Por otra parte, la función normal usada en estadística, por ejemplo, no es ni cóncava ni convexa.


Conjuntos convexos:

Definición: El conjunto C perteneciente a los números reales se dice convexo si para cada par de puntos x1, x2 que pertenezcan al conjunto y cada número real α con 0 < α < 1, el punto

X= αX1 + (1-α) X2

también pertenece al conjunto.

Geométricamente el conjunto C es convexo si para cada par arbitrario de puntos del set, la línea que los une también pertenece al set. Gráficamente, a continuación se ilustra un conjunto convexo y uno no convexo

1XX2

X1

X2

CONJUNTO CONVEXO CONJUNTO NO CONVEXO

Ejemplo 6.1:

Considérese el hiperplano

X = {x / ax = b}

donde ax = a1x1 + a2x2 + ... + anxn. A continuación se demostrará que este es un conjunto convexo.

Sea x1, x2 un par de puntos que pertenezcan al conjunto y 0 < α < 1. Luego, se debe cumplir que

ax1 = b


ax2 = b

Sea el punto

x = αx1 + (1-α) x2

Esto implica que

ax = a(αx1+(1-α)x2) = αax1+ (1-α)ax2 = ab+(1-a)b = b.

con lo cual el punto x = αx1 + (1-α) x2 también satisface la condición que

ax = b

De aquí se desprende que

X = {x/ax = b}

es efectivamente un conjunto convexo.

Ejemplo 6.2:

Considérese el semiespacio

X = {x / ax ≤ b}

Este conjunto también es convexo, como se demuestra a continuación.

Sea x1, x2 un par de puntos que pertenezcan al conjunto y 0 < α < 1. Luego, se debe cumplir que

ax1 ≤ b ax2 ≤ b

Sea el punto

x = αx1 + (1-α) x2

Esto implica que


aX = a (αx1 + (1-α) x2) = αaX1 + (1-α) aX2

Como el promedio ponderado de dos números menores o iguales a b es también menor o igual a b, quiere decir que el conjunto

X = {x/ ax ≤ b}

es también un conjunto convexo.

Ejemplo 6.3:

Considérese el conjunto

X = {x / g(x) ≤ b}

donde se impone el requisito que g(x) sea una función convexa. Este conjunto también es convexo como se demostrará a continuación. Si g(x) es una función convexa entonces para cualquier par de puntos X1, X2 y 0 ≤ α ≤ 1, se debe cumplir que

g(αX1+(1-α)X2) ≤ α g( X1) + (1-α) g( X2) (1)

Por otra parte, para que X sea un conjunto convexo, se requiere que para cada par de puntos X1 y X2 que satisfagan

g(X1) ≤ b g(X2) ≤ b

se cumpla que

g(x) = g(α X1 + (1 - α) X2) ≤ b

Ello efectivamente se cumple ya que el lado derecho de (1) es menor o igual a b con lo que el lado izquierdo también debe serlo.

La importancia de este último resultado es que si las gi(x) en las restricciones de un problema de Programación No Lineal son todas funciones convexas, el conjunto de oportunidades X sería la interseción de varios conjuntos convexos y por lo mismo sería convexo también.

62 Trabajo Docente Nº 57 uno de los puntos (en este caso, como se trata de curvas de nivel, el promedio es simplemente el valor de la función en dicha curva (i.e.A)).

Ahora bien, como el set X es convexo se tiene que

x

x2

f(x1,x2) = Af(x1,x2) = B

f(x1,x2) = C

A > B > C

x1

x2

f(x1,x2) = Af(x1,x2) = B

f(x1,x2) = C

A > B > C

1

(x1*,x2*)

(x1*,x2*)

En ambos casos, todo óptimo local será global.

Un caso especial de lo anterior se muestra en el gráfico siguiente.


f(x1,x2) = Af(x1,x2) = B

f(x1,x2) = C x1

x2

A > B > C

Aquí, X es un conjunto convexo, y la función objetivo es cóncava (la función lineal es la única función cóncava y convexa a la vez). En este caso todo óptimo local es global aunque no estricto. Sin embargo, para maximizar, basta encontrar un máximo global para quedar satisfecho.

Ahora, la pregunta es ¿por qué se necesita que el conjunto X sea convexo? El gráfico siguiente ilustra la respuesta.

A

B

x1

x2

64 Trabajo Docente Nº 57 El punto A es máximo local al igual que B. A es el máximo global. Lo que pasa es que X no es un conjunto convexo. En este caso, habría que probar los 2n+m casos y comparar todos aquellos puntos que satisfagan las condiciones de Kuhn-Tucker.

Por último es necesario destacar que el resultado es que si la función objetivo es una función cóncava y X es un conjunto convexo, todo punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo global. Sin embargo, podría darse el caso, desafortunado por cierto, que ningún punto satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. En este caso no se puede encontrar el máximo. A modo de ejemplo, suponga el siguiente problema

Maximizar x

sujeto a:

x ≥ 0

En este caso, ningún punto satisface las condiciones de Kuhn-Tucker. Este problema no tiene punto crítico; el máximo se logra cuando x es igual a infinito, que no es un número real.


CAPITULO 7

PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACION NO LINEAL

Este capítulo presenta algunos ejemplos adicionales de planteamiento de problemas de Programación No Lineal en el convencimiento de que sólo la práctica permite avanzar en este campo. Por esta razón, se han dejado varios problemas como Problemas Propuestos.

Ejemplo 7.1:4

Suponga que una empresa distribuidora cuenta con 250 unidades de un cierto producto en Concepción, 100 unidades en Los Angeles y 325 unidades en Valparaíso. Por otra parte debe abastecer con 140 unidades a Santiago, 220 unidades a Rancagua y 185 unidades a Teno.

Los costos de flete entre las distintas ciudades, en miles de pesos por unidad se presentan a continuación:

Hacia: Desde: Santiago Rancagua Teno

Concepción 14 6 5 Los Angeles 30 12 11 Valparaíso 5 7 8

Por convenios sindicales en Concepción, la empresa ha decidido que lo que se envía desde dicha ciudad a Santiago debe ser al menos el doble que lo que se envía desde dicha ciudad a Rancagua. Asimismo, en Santiago, se exige que como máximo el 30% de lo que llegue provenga de Concepción.

Para plantear el Problema de Programación No Lineal correspondiente, se procederá en etapas:

Definición de Variables: 4 La forma de plantear y resolver problemas de optimización no siempre es única. En este capítulo sólo se presenta una forma adecuada de hacerlo. Por otra parte, en este capítulo nos olvidaremos de los requisitos de que en un problema de Programación No Lineal se debe maximizar y que las restricciones deben ser de menor o igual, salvo cuando sea necesario usar las condiciones de Kuhn-Tucker para resolver.


Hacia: Desde: Santiago Rancagua Teno

Concepción XCS XCR XCT Los Angeles XLS XLR XLT Valparaíso XVS XVR XVT

Función Objetivo:

El objetivo es minimizar los costos totales de transporte, con lo cual la función objetivo es

Minimizar 14XCS + 6XCR + 5XCT + 30XLS + 12XLR + 7XLT + 5XVS + 7XVR + 8XVT

Restricciones de Oferta:

XCS + XCR + XCT ≤ 250 XLS + XLR + XLT ≤ 100 XVS + XVR + XVT ≤ 325

Restricciones de Demanda:

XCS + XLS + XVS ≥ 140 XCR + XLR + XVR ≥ 220 XCT + XLT + XVT ≥ 185

Otras Restricciones:

XCS ≥ 2XCR XCS ≤ 0,3 (XCS + XLS + XVS) Todas las variables mayores o iguales a cero

Ejemplo 7.2:


Hoy es 1 de abril de 1994. Ud. está solo en una isla desierta bien grande donde puede sembrar trigo. Asimismo, tiene 80 quintales de trigo que se pueden usar como semilla o consumir. Su consumo anual normal de trigo es de 20 quintales.

Gracias a un diario de vida dejado por un náufrago anterior, Ud. aprende que en esta isla, el trigo se siembra a principios de abril y se cosecha a fines de marzo del año siguiente. Por cada quintal de trigo que se siembra, se requieren 5 días de trabajo durante el año, y se cosechan tres quintales.

Por otra parte, Ud. sabe que en dos años más (1 de abril de 1996) pasará un barco que le cobrará 220 quintales de trigo por el pasaje a tierra firme, lugar donde Ud. ha decidido volver. En dicho barco Ud. no puede transportar trigo para su consumo en tierra firme, ya que la capacidad del barco es limitada.

Ud. puede trabajar normalmente 180 días cada año como máximo. Para aumentar la disponibilidad de trabajo, es decir para disponer de más de 180 días, Ud. deberá consumir 0,2 quintales de trigo por cada día de exceso (para recuperar la energía adicional requerida).

El trigo disponible a comienzos de cada año puede ser usado para: a) sembrar a comienzos del año; b) consumir durante el año; c) ser almacenado hasta el final del año.

Por último, suponga que su único objetivo es minimizar el número de días trabajados en exceso de los 180 días de trabajo normal anuales.

Para plantear el Problema de Programación No Lineal correspondiente, se procederá nuevamente en etapas.

Definición de Variables:

TCi = Trigo consumido en año i, en quintales. TSi = Trigo sembrado en año i, en quintales. TAi = Trigo que se almacena en año i, en quintales. THi = Trigo cosechado a fines del año i, en quintales. TFi = Trigo disponible a fines del año i, en quintales. Ei = Días trabajados en exceso de los 180 días normales en el año i.

Función Objetivo:

68 Trabajo Docente Nº 57 El objetivo es minimizar los días trabajados en exceso de los 180 días normales. Matemáticamente, esto significa que la función objetivo es

Minimizar E1 + E2

Restricciones:

TC1 = 20 + 0,2 E1 Consumo año 1.

TC2 = 20 + 0,2 E2 Consumo año 2.

TC1+TS1+TA1 = 80 Disponibilidad inicial.

TA1+TH1 = TF1 Disponibilidad a fines año 1.

TH1 = 3 TS1 Cosecha año 1.

TC2+TS2+TA2 = TF1 Uso de trigo en año 2.

TA2+TH2 = TF2 Disponibilidad a fines año 2.

TH2 = 3 TS2 Cosecha año 2.

TF2 ≥ 150 Pasaje barco.

5 TS1 ≤ 180 + E1 Requerimiento mano de obra en año 1.

5 TS2 ≤ 180 + E2 Requerimiento mano de obra en año 2.


Ejemplo 7.3: Una empresa productora de Tarros en Conserva tiene una función de producción del tipo Cobb-Douglas

X= 30 K0,5 L0,4

donde


X = número de tarros producidos. K = número de unidades de capital en horas máquina. L = número de trabajadores (en hrs.hombre)

El productor enfrenta una curva de demanda por su producto igual a:

Px = 1.000 - 2X

y una curva de oferta de trabajo igual

PL = 10 + 0,5 L

Por último, el productor puede disponer de a lo más 100 unidades de capital a 5 pesos por unidad.

En este caso, la función objetivo es

Maximizar PX X - PL L - PK K =

= (1.000-2(30 K0,5 L0,4)) (30 K0,5 L0,4) - (10+ 0,5 L)L - 5K

sujeto a:

K ≤ 100 K,L ≥ 0


7.1. Hoy es 1º de septiembre y Juan Pérez no sabe cuántas hectáreas de maíz sembrar en su fundo de 20 hectáreas. El maíz es el único cultivo posible aunque podría dejar parte de la tierra sin cultivar. Asímismo, el maíz requiere de 5 jornadas hombre por hectáreas al año y Ud. cuenta con sólo 70 jornadas hombre al año.

El problema se complica por el siguiente aspecto:

Hoy Juan Pérez tiene 20 bolsas de una semilla especial de maíz que puede usar ahora o el próximo año. No va a poder conseguir más el próximo año. Esta semilla tiene un rendimiento de 95 qq/ha. y se requiere de una bolsa por ha. Si decide guardar parte de esta semilla, tiene una pérdida del 10% de las bolsas que guarde.


Por otra parte, Juan Pérez puede comprar una semilla corriente tanto este año como el próximo a 8.000 pesos por bolsa a un rendimiento de 60 qq/ha. El maíz que produzca este año no puede ser utilizado como semilla el próximo y debe venderse este año (no se puede almacenar). Suponga además que el precio del maíz este año es de $ 2.000 y el próximo año será de $ 3.000 por quintal.

Finalmente, suponga que en todo lo demás los costos son iguales para ambos tipos de semilla (15.000 pesos por hectárea de maíz, ambos años).

Se pide:

Plantee, sin resolver, el problema de programación matemática correspondiente que le permita determinar cuánto sembrar con cada tipo de semilla cada uno de los dos años.

7.2 Ud. ha sido nombrado por la Dirección del Metro para determinar la distancia óptima entre las distintas estaciones del nuevo recorrido Plaza Italia-La Florida. Para ello Ud. cuenta con los siguientes antecedentes.

1) La distancia entre Plaza Italia y La Florida es de 10.000 metros.

2) La velocidad promedio de los trenes cuando están andando es de 600 mts/min (36km/hr).

3) El tren se detiene en cada estación 4 minutos.

4) Los trenes pasarán cada 10 minutos independiente de la distancia entre paraderos. Esto significa que en promedio los pasajeros demorarán 5 minutos desde que llegan a la estación hasta que parte el tren. Ellos no saben a qué hora pasan los trenes.

5) La distancia entre estaciones no afecta el costo de la vía, ya que la distancia total es una sola. Sin embargo, afecta el número de estaciones, las cuales cuestan 1.000.000 de dólares cada una de construcción y duran 20 años. Suponga que no tienen costo de mantención.

6) El tiempo que demoran, en promedio, los pasajeros en llegar desde su casa hasta la estación más próxima se estima en 10(x/1000)1,5 minutos, donde x es la distancia en metros entre las estaciones. Lo mismo se demoran desde la estación hasta su lugar de destino. El recorrido en tren, promedio por pasajero, se estima en 3.500 metros. Se debe destacar que este es un supuesto simplificador, ya que obviamente el recorrido promedio en tren depende de la distancia entre paraderos.

Modelos de Optimización 71 7) Por último, al Metro se suben 100.000.000 pasajeros al año

(independientemente de la distancia entre paraderos) cuyo costo alternativo es de 0,02 dólares por minuto.

Se pide:

Suponiendo una tasa de interés de 15%, desechando el costo de los trenes (que debería variar según la distancia enre estaciones), y olvidando que el número de estaciones debe ser entero, plantee el problema de optimización correspondiente y resuelva.

7.3 Una empresa productora de sillas tiene la siguiente función de producción:

S = 400 K 0,6 L0,3

donde S es el número de sillas producidas por mes; K es el número de unidades de maquinaria, en horas máquina; y L es el número de trabajadores

El productor enfrenta una curva de demanda por sus sillas igual a:

Ps = 10.000 - 2S

y una curva de oferta de trabajo igual a

PL=3+L

Por último, este fabricante de sillas puede disponer de a lo más 150 horas máquina por mes a 5 pesos por unidad.

Se pide:

a) Plantee el problema de programación matemática de la empresa.

b) Escriba, SIN RESOLVER, las condiciones de Kuhn- Tucker del problema.

7.4 Una panadería ofrece, entre otros productos, empanadas de queso y empanadas de pino. El panadero desea programar la producción dominical de ambos productos. La experiencia le ha enseñado que las demandas por ambos tipos de empanadas se ajustan bastante bien a las relaciones


P1 = 40 - 0,1x1 - 0,03x2

P2 = 70 - 0,03x1 - 0,2x2

donde

Pi = precio unitario empanada tipo i (i = 1 (queso), i = 2 (pino)).

Xi = producción dominical de empanadas tipo i.

Dentro de sus posibilidades de producción el panadero sabe que el costo unitario de producir una empanada de queso es de $10 y una de pino es de $15.

Se pide:

a Formule un modelo que permita al panadero maximizar el beneficio neto derivado de la venta de empanadas.

b) Sin exigir que el número de empanadas a fabricar debe ser entero, resuelva su modelo y determine la producción óptima.

7.5. En relación con el ejemplo 7.1, encuentre una solución factible cualquiera del problema, indicando el costo total de transporte asociado.

Nota: Por solución factible se entiende una solución que satisface todas las restricciones.

7.6. Ud. ha decidido viajar a Talca en su camioneta todo terreno por la Carretera Panamericana.

El problema es que debe pasar a buscar un encargo a una casa que queda a 5.000 metros de la carretera pero sin camino que las una, con lo que debe decidir en que punto salirse de la carretera y en que punto volver a la misma.

Gráficamente,


C PANAMERICANA

.

5.000 m.

A TALCA

A SANTIAGO

El tiempo que demora en carretera es de 1.200 metros por minuto, mientras que en el trayecto fuera de carretera, su velocidad se reduce a 500 metros por minuto.

Se pide:

a) Suponiendo que su problema es llegar a Talca lo más rápido posible, plantee el problema de optimización correspondiente. Suponga que la casa del encargo está a mitad de camino y que la distancia entre Santiago y Talca es de 300 kilometros.

b) Resuelva el problema anterior.

7.7. La empresa agroindustrial SUPERARIZ es dueña de una parcela de 20 hectáreas y de una planta de alimento para pollos.

En la parcela se ha sembrado típicamente maíz para ser entregado a la planta, que la usa como materia prima. El problema es que el agrónomo encargado de la parcela, que es evaluado de acuerdo al ingreso neto que genera la parcela, ha comenzado a alegar porque dice tener cultivos más rentables.

Por otra parte, el ingeniero a cargo de la planta de alimentos, que es evaluado según los ingresos netos que deja la planta, alega que si la parcela deja de


producir maíz, él tendría que comprarlo fuera con el consiguiente costo "altísimo" de flete.

En este punto, el agrónomo argumenta que el alimento bien podría tener más harina de pescado, que sale relativamente más barato que el maíz comprado fuera, pero algo más caro que el propio. Obviamente, el ingeniero contraataca diciendo que si bien algo se puede hacer en esa línea , no es mucho, ya que los pollos a quienes va el alimento, tendrían gusto a pescado.

El director de SUPERARIZ decidió contratarlo a usted para que analice la situación y determine lo que es mejor para la compañía como un todo.

Para efectuar su labor, Ud solicitó antecedentes de la parcela y de la planta. Ellos son:

PARCELA

Cultivos posibles: maíz, porotos

Matriz de requerimientos y disponibilidad

Maíz Porotos Disponibilidad

Mano de obra 2 1 25 (J/ha) Maquinaria 1 2 28 (J/ha) Rendimiento 100 100 (qq./ha.) Ingreso Neto 100 400 (pesos/ha.)

PLANTA

Materias primas posibles: Maíz, Harina de Pescado.

Precio de venta del alimento: $6 por kilo.

Capacidad máxima de la planta: 4.000 kilos de alimento al año.

Modelos de Optimización 75 Restricción técnica: A lo más puede usarse un 50% de harina de pescado

en el alimento.

Matriz de requerimientos

Maíz Harina de Estándar Mínimo Pescado por Kg.

Calorías 1.000 800 900 (Mcal./Kg.) Proteínas 100 200 120 (Grs./Kg.) Precio 1 - 4 2 ($/Kg.)

Nota: El precio del maíz es de $1 por Kilo si viene de la parcela y $4 si viene de fuera.

Se pide:

En base a lo anterior formule un modelo de optimización que le permita desempeñar bien su tarea en su nuevo trabajo.

Nota: Cualquier antecedente que pudiera faltarle, invéntelo.

7.8. El Sr. Pedro Pérez dispone de 200 hectáreas donde puede plantar tomates, cebollas o porotos. Asimismo, tiene la alternativa de comprar vacas a comienzos de temporada con el objeto de producir leche y luego venderlas a fines de temporada. Las vacas requieren de 0,5 hectáreas cada una.

El problema es determinar cuánto plantar de cada cultivo y cuántas vacas comprar a comienzos de temporada.

Para resolver el problema, Ud. cuenta con los siguientes antecedentes adicionales:

a) Ud. dispone de 1.000 m3 de agua para la temporada. Los tomates requieren por hectárea el doble de agua que las cebollas, y éstas requieren el triple que los porotos. Los porotos requieren 6 m3 de agua por hectárea. La tierra dedicada a las vacas requiere de 1 m3 por hectárea mientras que la tierra no dedicada a nada requiere de 0,1 m3 por hectárea.

76 Trabajo Docente Nº 57 b) Las vacas producen 150 litros de leche por vaca al año, la cual se

vende a 100 pesos por litro. El precio de compra es de 80.000 pesos por vaca a comienzos de temporada, mientras que el precio de venta es de 78.500 pesos a fines de temporada. Suponga una tasa de descuento igual a cero.

c) El siguiente cuadro presenta información que puede ser útil para resolver su problema.

Tomates Cebollas Porotos

Rendimiento 50 120 140 (en kg./ha.) Costos Unitarios 22.000 17.000 22.000 (en $/ha.) Precio de venta 390 240 280 (en $/kg.)

Se pide:

a) Formule el problema de optimización correspondiente. Nota: Explícite cualquier supuesto adicional que estime necesario.

b) Sin resolver el problema, ¿puede dar una buena recomendación al Sr. Pérez que sea al menos factible?

7.9. La empresa MMM necesita determinar cuánto producir de un producto en cada uno de los siguientes dos períodos para maximizar sus ingresos totales.

Para resolver el problema Ud. cuenta con los siguientes antecedentes:

a) El costo medio unitario de producción en el primer período es de 200 pesos mientras que en el segundo período, este sube a 550 pesos.

b) La demanda para el primer período está dada por

P1 = 1.600 - 2 X1

Modelos de Optimización 77 c) El costo de almacenamiento es de 100 pesos por unidad por mes. El

problema del almacenamiento es que el producto se deteriora y se puede vender a sólo 800 pesos por unidad en el siguiente período.

d) La demanda para el segundo período para el producto no almacenado se puede representar como

P2 = 2.500 - 3 X2

siempre que no se venda producto almacenado.

El problema es que el producto almacenado y no almacenado son en alguna medida sustitutos. El precio de demanda para el producto no almacenado reacciona de igual forma ante cambios en la cantidad de producto no almacenado com ante cambios en la cantidad de producto almacenado.

Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente.

7.10. La empresa "Deshidratados, S.A." dispone de 800 cajas de manzanas deshidratadas para vender en 2 mercados independientes. En cada mercado, las demandas por este producto están dadas por las siguientes ecuaciones:

P1 = 1.200 - X1 (Mercado Interno) P2 = 1.500 - 3 X2 (Mercado de Exportación)

donde Pi = precio de venta por caja en el mercado i; Xi = cantidad, en cajas, vendida en el mercado i.

Por razones de embalaje y razones comerciales, en las ventas al mercado de exportación, sólo caben 2 alternativas excluyentes: mandar 150 cajas o mandar 300 cajas.

Se pide:

a) Encuentre las cantidades que la empresa debe enviar a cada mercado.

b) ¿Cuánto pagaría como máximo la empresa por una caja adicional de manzanas deshidratadas?

78 Trabajo Docente Nº 57 Nota: En esta pregunta, tanto en la parte a) como en la parte b), puede

usar el sistema que quiera para resolver, siempre que explicite claramente su razonamiento.

7.11. Considere el siguiente problema de Programación No Lineal:

Maximizar - 3 x2 + xy - 2 y2 + 50 x + 60 y

sujeto a:

2 x + y ≤ 30 x, y ≥ 0

Se pide:

a) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker del este problema.

b) Resuelva el problema justificando el carácter global de la solución.

7.12. Ud. ha decidido correr una triatlón, que consiste en 2 km. de natación, 30 km. de ciclismo y 15 km. de trote. Su objetivo es llegar en el mínimo tiempo posible, para lo cual debe decidir la velocidad en que correrá cada etapa. Al respecto, Ud. ha decidido que lo peor es cambiar el paso en la mitad de una etapa porque se agota más rápido.

Se Pide:

Plantee su problema de optimización definiendo y explicando claramente las variables, función objetivo y restricciones.

Notas:

a) Cuidado con cansarse en la mitad del trayecto, ya que de ahí en adelante no le quedaría más que llegar con paso de tortuga.

b) Recuerde que mientras más rápido se corre o se nada, más rápido se cansa.

79 Modelos de Optimización

CAPITULO 8

PROGRAMACION LINEAL: INTRODUCCION

La Programación Lineal se definió como aquel caso de Programación No Lineal, en el cual la función objetivo y las restricciones son lineales. Esto significa que cualquier problema de Programación Lineal debe poder expresarse como

Maximizar c1X1 + c2X2 + ... + cnXn

sujeto a:

a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn ≤ b1 a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn ≤ b2 . . . am1X1 + am2X2 + ... + amnXn ≤ bm X1, X2 ..., Xn ≥ 0

Ejemplo 8.1 1:

Se debe programar la producción de dos productos, X1 y X2, de manera tal de maximizar las utilidades. El siguiente cuadro resume los principales antecedentes de este problema.

Tipo de Producto 1 Producto 2 Disponibilidad Máquina (en hrs/unid.) (en hrs/unid.) (en hrs/semana)

1 2 1 70 2 1 1 40 3 1 3 90

Precio Unitario 70 120 Costo Unitario 30 60

1 Adaptado del libro de B. Philippi: "Introducción a la Optimización de Sistemas". Ediciones Universidad Católica de Chile. 1982.

80 Trabajo Docente Nº 57 Matemáticamente, este problema se puede plantear como:


sujeto a:

(1) 2X1 + X2 ≤ 70 (2) X1 + X2 ≤ 40 (3) X1 + 3X2 ≤ 90 (4) X1, X2 ≥ 0

Este problema se puede resolver de varias maneras, algunas de las cuales se verán a continuación.

Método Gráfico Por ser el problema anterior de dos variables es posible resolverlo en forma gráfica.

En primer lugar, se representará gráficamente el conjunto de oportunidades definido por las restricciones. Las restricciones de no-negatividad indican que se puede trabajar sólo dentro del cuadrante no-negativo. La primera restricción, 2X1 + X2 ≤ 7 0, se puede representa rcomo

102030

506070

90100

80

40

10 20 30 40 50 6 0 70 80 90 100

X2

X 1

A


El área A define el conjunto de puntos donde se satisfacen simultáneamente las restricciones de no-negatividad y la primera restricción.

El gráfico siguiente presenta el conjunto de oportunidades, que es cuando se consideran todas las restricciones.

10

2030

506070

90100

80

40

10 20 30 40 50 6 0 70 80 90 100

X2

X 1f = 2100

f =1800f = 1200

(X* 1

* 2, X ) = (15, 25)

Las líneas punteadas representan conjuntos de puntos donde el valor de la función objetivo es el mismo. Se conocen también como curvas de nivel o curvas de isoutilidad. En programación lineal estas curvas son siempre rectas y paralelas entre sí.

La curva de nivel, que contiene al menos un punto dentro del conjunto de oportunidades y que hace máximo el valor de la función objetivo, es aquella donde f = 2.100. Este es el máximo valor alcanzable de la función objetivo. Dicho valor se alcanza cuando X1 = 15 y X2 = 25.

82 Trabajo Docente Nº 57 Es conveniente hacer notar que en dicho punto las restricciones activas, es decir, que se cumplen con igualdad, son las restricciones (2) y (3).

Método de Kuhn-Tucker

Si bien las condiciones de Kuhn-Tucker persiguen caracterizar el óptimo más que encontrarlo, es posible usarlas para encontrar la solución. Por otra parte, dado que en cualquier problema de Programación Lineal la función objetivo es cóncava y las restricciones forman un conjunto convexo, cualquier punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un óptimo global.

En el problema anterior el Lagrangeano por maximizar es:

£ = 40x1+60x2+λ1(70-2x1-x2)+λ2(40-x1-x2)+λ3(90-x1-3x2)

y las condiciones de Kuhn-Tucker son:

1) ∂£∂x1

= 40 - 2λ1 - λ2 - λ3 ≤ 0

2) ∂£∂x1

x1 = (40 - 2λ1 - λ2 - λ3) x1 = 0

3) ∂£∂x2

= 60 - λ1 - λ2 - 3λ3 ≤ 0

4) ∂£∂x2

x2 = (60 - λ1 - λ2 - 3λ3) x2 = 0

5) ∂£∂λ1

= 70 - 2x1 - x2 ≥ 0

6) ∂£∂λ1

λ1 = (70 - 2x1 - x2) λ1 = 0

7) ∂£∂λ2

= 40 - x1 - x2 ≥ 0

8) ∂£∂λ2

λ2 = (40 - x1 - x2) λ2 = 0

9) ∂£∂λ3

= 90 - x1 - 3x2 ≥ 0

10)∂£∂λ3

λ3 = (90 - x1 - 3x2) λ3 = 0

11)x1, x2, λ1, λ2, λ3 ≥ 0


En este caso se deben analizar 25 = 32 casos, los que se resumen a continuación:

Caso x1 x2 λ1 λ2 λ3 1 0 0 0 0 0 2 + 0 0 0 0 3 0 + 0 0 0 4 0 0 + 0 0 5 0 0 0 + 0 6 0 0 0 0 + 7 + + 0 0 0 8 + 0 + 0 0 9 + 0 0 + 0 10 + 0 0 0 + 11 0 + + 0 0 12 0 + 0 + 0 13 0 + 0 0 + 14 0 0 + + 0 15 0 0 + 0 + 16 0 0 0 + + 17 + + + 0 0 18 + + 0 + 0 19 + + 0 0 + 20 + 0 0 + + 21 + 0 + 0 + 22 + 0 + + 0 23 0 + + + 0 24 0 + + 0 + 25 0 + 0 + + 26 0 0 + + + 27 0 + + + + 28 + 0 + + + 29 + + 0 + + 30 + + + 0 + 31 + + + + 0 32 + + + + +

Analizar 32 casos es bastante largo, con lo cual es conveniente tratar de descartar algunos casos antes de emprender la tarea. Para ello, se analizará la función objetivo y restricciones del problema.


Maximizar 40X1 + 60X2 sujeto a:

(1) 2X1 + X2 ≤ 70 (2) X1 + X2 ≤ 40 (3) X1 + 3X2 ≤ 90 (4) X1, X2 ≥ 0

Del análisis se puede desprender que:

a) Dado que x1 y x2 tienen un coeficiente positivo en la función objetivo, ambos no pueden ser iguales a cero en el óptimo.

b) Si x1 es cero, x2 podría ser como máximo igual a 30, por la tercera restricción. En este caso la función objetivo tomaría un valor de 1.800.

Por otra parte, si x2 es cero, x1 podría ser como máximo igual a 35, por la primera restricción. En este caso la función objetivo tomaría un valor de 1.400. De aquí se desprende que x2 no puede ser igual a cero.

Por último, si x1 = 1 (cualquier valor positivo pero chico), x2 puede ser como máximo igual a ¡Error!, por la restricción 3, con lo cual la función objetivo tomaría un valor de 1.820, mayor que 1.800. De aquí se desprende que tanto x1 como x2 deben ser positivos en el óptimo.

Del análisis anterior se desprende que la tabla con los distintos casos se puede simplificar de la siguiente forma:

Caso λ1 λ2 λ3 7 0 0 0 17 + 0 0 18 0 + 0 19 0 0 + 29 0 + + 30 + 0 + 31 + + 0 32 + + +

Por otra parte, las condiciones de Kuhn-Tucker se pueden reescribir como:


1) d£dx1 = 40 - 2λ1 - λ2 - λ3 = 0

2) d£dx2 = 60 - λ1 - λ2 - 3λ3 = 0

3) d£

dλ1 = 70 - 2x1 - x2 ≥ 0

4) d£

dλ1 λ1 = (70 - 2x1 - x2 ) λ1 = 0

5) d£

dλ2 = 40 - x1 - x2 ≥ 0

6) d£

dλ2 λ2 = (40 - x1 - x2 ) λ2 = 0

7) d£

dλ3 = 90 - x1 - 3x2 ≥ 0

8) d£

dλ3 λ3 = (90 - x1 - 3x2 ) λ3 = 0

9) x1 , x2 , λ1 , λ2 , λ3 ≥ 0

A continuación se analiza cada uno de los casos anteriores:

Caso 7: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, 0, 0)

No puede ser por condición 1).

Caso 17: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, +, 0, 0)

No puede ser por condiciones 1) y 2).

Caso 18: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, +, 0)


Caso 19: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, 0, +)


Caso 29: (x1, x2, λ1, λ2, λ3) = (+, +, 0, +, +)


Las condiciones 1) y 2) implican λ2 = 30 y λ3 = 10. A su vez, las condiciones 6) y 8) implican x1 = 15, x2 = 25. Como este punto satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker, se concluye que el óptimo es

(x*1 , x

*2 , λ

*1 , λ

*2 , λ

*3 ) = (15, 25, 0, 30, 10)

Una vez más, es claro que, como método, el uso directo de las condiciones de Kuhn-Tucker es deficiente para encontrar la solución a problemas de optimización.

Análisis de Sensibilidad para los Coeficientes de la Función Objetivo:

El análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo se refiere a cuánto puede variar cada uno de dichos coeficientes, manteniendo los demás constantes, sin que cambie la solución óptima.

Si se varía un coeficiente de la función objetivo, cambia la pendiente de las curvas de nivel o de isoutilidad. En el ejemplo, mientras la pendiente de la curva de nivel esté entre las pendientes de las restricciones (2) y (3), que son las restricciones activas en el óptimo, no cambiará la solución óptima.

A continuación se realiza el análisis de sensibilidad para c1 coeficiente asociado a la variable x1 en la función objetivo.

La función objetivo, parametrizando c1, es

c1 x1 + 60 x2

La pendiente de las curvas de nivel en este caso es -c1/60. Por otra parte,

las pendientes de las restricciones (2) y (3) son -1 y - 13 respectivamente.

El rango de sensibilidad es por tanto

-1 ≤ -c160 ≤ -

13

o bien

20 ≤ c1 ≤ 60


Esto quiere decir que mientras c1 esté en el rango (20; 60) el óptimo

seguirá siendo ( x*1 , x* ;2 )= (15, 25).

El rango de sensibilidad para c2 se obtiene en forma análoga. En este caso,

-1 ≤ -40c2 ≤ -

13

o bien

40 ≤ c2 ≤ 120

Se debe hacer notar que si bien la solución óptima no cambia mientras los coeficientes varían dentro del rango de sensibilidad, el valor de la función objetivo en el óptimo sí varía.

Análisis de Sensibilidad para bj

El rango de sensibilidad para bj se refiere a cuánto puede variar la disponibilidad, bj, de un recurso sin que varíen los precios sombra, l's, de los distintos recursos.

La importancia de este tipo de análisis radica en que permite saber, por ejemplo, cuántas unidades de recurso es conveniente vender (comprar) a un determinado precio. Por ejemplo, en el caso del recurso (2), se vio que l2 = 30. Ello quiere decir que el máximo precio que se está dispuesto a pagar por una unidad adicional de este recurso es 30 pesos. El problema es ahora determinar cuántas unidades se está dispuesto a comprar a dicho precio máximo. El análisis de sensibilidad permite encontrar la respuesta.

Si bien es posible derivar los rangos de sensibilidad para los distintos bj en forma gráfica en el caso de dos variables, este se verá para el caso general con n variables en el capítulo 9, donde se muestra el programa computacional LINDO.


8.1.Use el método gráfico para encontrar los valores de X1 y X2 que maximizan la función objetivo, f(x1, x2) en cada uno de los siguientes casos:


a) f(x1, x2) = 3x1 + 2x2 b) f(x1, x2) = 5x1 + 2x2 c) f(x1, x2) = 2x1 + 3x2 d) f(x1, x2) = 3x1 + 3x2

Las restricciones en todos los casos son:

2x1 + 3x2 ≤ 12 4x1 + 2x2 ≤ 16 x1, x2 ≥ 0

8.2. Use el método gráfico para resolver el siguiente problema:

Minimizar f(x1, x2) = -x1 - x2

sujeto a:

x1 + 3x2 ≤ 6 -x1 + x2 ≤ 1 -2x1 + x2 ≥ -4 x1, x2 ≥ 0

8.3. Suponga el siguiente problema de optimización:

Maximizar 4X1 + 3X2

sujeto a:

2X1 + X2 ≤ 20 X1 + X2 ≤ 12 X1, X2 ≥ 0

Se pide:

a) Resuelva gráficamente.

b) ¿Cuánto está dispuesto a pagar por una unidad adicional de recurso uno? Explique su respuesta. Nota: Puede usar las condiciones de Kuhn-Tucker, pero no es necesario.

8.4. Ud. tiene un fundo de 20 hectáreas donde puede producir trigo y/o maíz. Los requerimientos de agua para el año son de 10 mil y


cinco mil metros cúbicos por hectárea de trigo y maíz respectivamente. Ud. cuenta con 180 mil metros cúbicos para el año.

Por otra parte, de su análisis económico de ambos rubros Ud. obtiene la siguiente estructura de costos:

Precio Requerimientos Unitario (uds./ha.)

Fertilizantes 100 5 15 Pesticidas 150 2 4 Mano de Obra 100 4 3 Maquinaria 400 3 3 Rendimiento 30 40 Precio por quintal 120 160

Se pide:

a) Plantee el problema de Programación Lineal correspondiente.

b) Usando análisis gráfico, ¿cuántas hectáreas sembraría con cada cultivo? ¿qué restricciones son activas? ¿inactivas?

c) Si el precio de la mano de obra sube de 100 a 200 pesos por unidad, ¿cómo cambiaría su respuesta anterior? Use nuevamente análisis gráfico.

d) ¿Cuánto pagaría como máximo por poder arrendar una hectárea adicional? Suponga el precio original de 100 pesos por unidad de mano de obra.

8.5. Para una encuesta telefónica, una empresa de marketing necesita contactar 150 señoras (esposas), 120 señores (esposos), 100 adultos solteros de sexo masculino y 110 adultos solteros de sexo femenino. El costo de una llamada en la mañana es de $2 y se alcanzan los siguientes resultados:

30% de los llamados en la mañana contactan una señora.

10% de los llamados en la mañana contactan un señor.

25% de los llamados en la mañana contactan un soltero.

35% de los llamados en la mañana contactan una soltera.

90 Trabajo Docente Nº 57 Debido al costo de mano de obra, cuesta $5 hacer un llamado en

las tardes. Los resultados de los llamados en la tarde son los siguientes:

30% de los llamados en la tarde contactan una señora.

30% de los llamados en la tarde contactan un señor.

20% de los llamados en la tarde contactan un soltero.

20% de los llamados en la tarde contactan una soltera.

Se pide:

a) Suponiendo que a lo más la mitad de los llamados se pueden hacer en la tarde, formule un modelo de Programación Lineal que pueda ser usado para minimizar el costo de esta encuesta.

b) Resuelva gráficamente el problema anterior.

8.6. Ud. es dueño de una fábrica de hamburguesas que produce 3 tipos de hamburguesas:

Precio Cont. Grasa por kg. Máximo

Extra 1.000 4% Estándar 800 10% Rasca 400 30%

Para producir las hamburguesas, Ud. puede comprar 4 tipos de carne, cuyos precios y contenidos de grasa se señalan a continuación.

Precio Cont. Grasa por kg. (porcentaje)

Filete 450 1% Posta Rosada 400 4% Punta de Ganso 250 15% Cazuela 220 45%

Adicionalmente, Ud. ha decidido que, por razones de imagen, no debe producir más de un 15% de hamburguesas tipo Rasca.


Finalmente, por problemas de capacidad, Ud. no puede producir más de 1.000 kg. de hamburguesas a la semana.

Se pide:

Plantee el Problema de programación lineal correspondiente.

8.7. Suponga el siguiente problema de optimización:


sujeto a:

X1 + X2 ≤ 60 (máquina 1) 2X1 + 3X2 ≤ 120 (máquina 2) X1 + 5X2 ≤ 60 (máquina 3) 3X1 + X2 ≤ 80 (máquina 4) X1, X2 ≥ 0

Se pide:

a) Resuelva gráficamente.

b) Encuentre los precios sombra de cada una de las restricciones. Use las condiciones de Kuhn-Tucker y su respuesta a la parte a).

c) ¿Cuánto puede cambiar el coeficiente asociado a X1 en la función objetivo sin que cambie el programa óptimo de producción?

8.8. Dado el siguiente modelo de programación lineal:


sujeto a:

3X1 + 2X2 ≤ 36 (departamento de ensamble) X1 + 2X2 ≤ 20 (departamento de pintura) X2 ≤ 9 (departamento de marketing) X1, X2 ≥ 0


Se pide:

I. El valor de X2 en el óptimo es:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

II. El valor de la función objetivo en el óptimo es:

a) 128 b) 124 c) 90 d) 96 e) Ninguna de las anteriores.

III. El precio sombra en el departamento de pintura es:

a) 1 b) 11 c) -1 d) 0 e) Ninguna de las anteriores.

IV. Asuma que el coeficiente de X2 no cambia, ¿Qué cambio en el coeficiente de X1 determinará que en la solución óptima sólo se produzca X2?

a) Infinito b) 0 c) 8 d) 1 e) Ninguna de las anteriores.


CAPITULO 9

PROGRAMACION LINEAL Y EL COMPUTADOR

El programa LINDO2

El programa LINDO permite resolver problemas de programación lineal en forma efectiva. Aparte de entregar la solución óptima, entrega los análisis de sensibilidad tanto para los coeficientes de la función objetivo como de los bj.

En la página siguiente se presenta el listado de salida del LINDO, para el ejemplo desarrollado en los capítulos anteriores. En relación con los resultados puede verse que:

1) En el óptimo x*1 = 15; x

*2 = 25

2) Los costos reducidos son cero en ambos casos. Estos costos se refieren a cuánto cambiaría la función objetivo si la restricción xi ≥ 0, se reemplaza por xi ≥ 1. En rigor el costo reducido se refiere al cambio en la función objetivo por unidad infinitesimal de cambio en la restricción xi ≥ 0.

3) En el óptimo, existe una holgura de 15 unidades en la restricción (1) ("Row" 2 se refiere a la primera restricción ya que la función objetivo es considerada la "Row" 1). No hay holgura en las demás restricciones ya que son activas en el óptimo.

4) Los precios sombra son λ*1 = 0, λ

*2 = 30, λ

*3 = 10.

5) Los rangos de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo son:

40 + 20 ≥ c1 ≥ 40 - 20 60 + 60 ≥ c2 ≥ 60 - 20

2 Se debe hacer notar que existen además otros programas relativamente fáciles de usar para resolver problemas de programación lineal. Uno de ellos es el programa QSB+, cuya salida se muestra a través de ejemplos en los problemas propuestos al final de este capítulo. En cualquier caso, se recomienda al lector leer bien los manuales de tal forma de aprovechar al máximo los programas.


OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2100.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST x1 15.000000 .000000 x2 25.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 15.000000 .000000 3) .000000 30.000000 4) .000000 10.000000 NO. ITERATIONS = 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE x1 40.000000 20.000000 20.000000 x2 60.000000 60.000000 20.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 70.000000 INFINITY 15.000000 3 40.000000 6.000001 10.000000 4 90.000000 30.000000 30.000000

Los rangos que aquí se dan se deben interpretar por separado. Así, por ejemplo, el rango para c2 supone que c1 se mantiene en su valor original de 40.

6) Los rangos de sensibilidad para bj son

70 + ∞ ≥ b1 ≥ 70 - 15 40 + 6 ≥ b2 ≥ 40 - 10 90 + 30 ≥ b3 ≥ 90 - 30

Estos rangos se deben también interpretar en forma separada. A modo de ejemplo, b1 puede variar entre 55 e infinito sin que varíen los precios sombra. El precio sombra λ1, es igual a cero


con lo cual la disponibilidad puede aumentar hasta infinito sin que cambie su precio sombra de cero. Si b1 disminuye a 55, esta restricción comienza a ser activa (recordar que la holgura era igual a 15).


9.1. Una empresa produce 3 bienes X, Y y Z, cada uno de los cuales es fabricado utilizando 4 tipos de materias primas L, P, K y T. La información acerca de la materia prima necesaria para producir una unidad de producto X, Y y Z se ha resumido en el siguiente cuadro:

X Y Z

L 2 5 1 P 3 6 2 K 1 0 3 T 4 2 1

Los costos por unidad de las materias primas son $2 para L, $1 para P, $1 para K y $0 para T. Además, existen otros costos de fabricación equivalentes a $2, $3 y $2 por unidad producida de X, Y y Z respectivamente.

No es posible adquirir en el mercado más de 30, 60, 20 y 50 unidades de materia prima L, P, K y T respectivamente por mes.

Los bienes X, Y y Z pueden ser vendidos a $12, $22 y $10. Para decidir cuánto producir de cada bien, la empresa ha diseñado el siguiente modelo de optimización, el cual maximiza los beneficios netos.

Maximizar 2X + 3Y + 2Z

sujeto a:

2X + 5Y + Z ≤ 30 3X + 6Y + 2Z ≤ 60 X + 3Z ≤ 20 4X + 2Y + Z ≤ 50 X, Y, Z ≥ 0

96 Trabajo Docente Nº 57 Utilizando el "LINDO" se obtuvieron los resultados que se

presentan en la página siguiente.

Se pide:

a) Explique cómo se obtuvieron los coeficientes de la función objetivo en el planteamiento original.

b) ¿Cuál es la política de producción óptima? ¿Cuáles son los requerimientos de materias primas?

c) ¿Desde qué valor el dueño de la empresa debería esta dispuesto a arrendarla?

d) ¿Cuál o cuáles materias primas no han sido utilizadas en su totalidad según las posibilidades del mercado de materias primas? ¿Qué significa esto? ¿Es material que se pierde?

e) ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar el dueño de la empresa por adquirir q unidad más de cada una de las materias primas consideradas por separado?

f) ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por obtener 5 unidades más de la materia prima T?

g) Por alguna razón tecnológica, los costos de fabricación (sin considerar los costos de materias primas) del producto Z son eliminados. ¿Qué sucede con el plan de producción y las utilidades percibidas por la empresa?


OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 28.22222 VARIABLE VALUE REDUCED COST X 11.333333 0.000000 Y 0.888889 -0.000000 Z 2.888889 -0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.511111 3) 14.888889 0.000000 4) 0.000000 0.088889 5) 0.000000 0.222222 NO. ITERATIONS = 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X 2.000000 1.333333 0.666667 Y 3.000000 2.000000 2.090909 Z 1.000000 2.000000 0.250000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 30.000000 12.884615 3.636364 3 60.000000 INFINITY 14.888889 4 20.000000 20.000000 8.125000 5 50.000000 8.000000 34.000000


h) Suponga que el gerente de la empresa está considerando la posibilidad de fabricar un nuevo producto W. Una unidad de producción de W requiere 2, 3, 1 y 2 unidades de materia prima L, P, K y T respectivamente. ¿A qué precio (mínimo) de venta debería venderse la primera unidad de este producto para que valga la pena producirlo?

i) Suponga que el mercado de materias primas crece permitiendo que las restricciones para la compra de materias primas se amplíen. Concretamente en la nueva situación no es posible abastecerse de más de 33 unidades de L, 70 de P, 30 de K y 52 de T.

¿Cambia la política de producción?

¿Cuáles son los nuevos beneficios mensuales obtenidos en la empresa?

9.2. Nico tiene una pequeña empresa en la cual produce tres tipos de fertilizantes para jardín mezclando, en distintas proporciones, tres ingredientes básicos A, B y C. ( Para proteger el negocio de Nico no se revelarán estos tres ingredientes). Las especificaciones técnicas de cada mezcla son las siguentes:

Mezcla Máximo Mínimo % de A % de C

1 50% 25% 2 15% 65% 3 5% 50%

El precio de venta por kilo de mezcla 1, 2 y 3 es de $10, $8 y $6 respectivamente. Nico estima que puede vender todo lo que produzca de cada una de las mezclas.

El costo por kilo de A, B y C es de $3, $2 y $1 respectivamente, y la disponibilidad de B y C está limitada a 2.850 y 1.300 kilos semanales respectivamente. Por otra parte, Nico sólo tiene $ 10.000 semanales para adquirir estos ingredientes básicos para preparar sus mezclas.


Si se define XIJ = kilos de ingrediente i en la mezcla j (i = A, B, C; j = 1, 2, 3)

el problema de Nico puede formularse como

Maximizar

7 XA1 + 8 XB1 + 9 XC1 + 5 XA2 + 6 XB2 + 7 XC2 + 3 XA3 + 4 XB3 + 5 XC3

sujeto a:

0,5 XA1 - O,5 XB1 - 0,5 XC1 ≤ 0 0,25 XA1 + 0,25 XB1 - 0,75 XC1 ≤ 0 0,85 XA2 - 0,15 XB2 - 0,15 XC2 ≤ 0 0,65 XA2 + 0,65 XB2 - 0,35 XC2 ≤ 0 0,95 XA3 - 0,05 XB3 - 0,05 XC3 ≤ 0 0,5 XA3 + 0,5 XB3 - 0,05 XC3 ≤ 0 XB1 + XB2 + XB3 ≤ 2850 XC1 + XC2 + XC3 ≤ 1300 3 XA1 + 2 XB1 + XC1 + 3 XA2 + 2 XB2 + XC2 + 3 XA3 + 2 XB3 + XC3 ≤ 10000

Los resultados, usando el programa LINDO, fueron los siguientes:

OBJETIVE FUNCTION VALUE 1) 41500.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST XA1 1000.000000 .000000 XB1 2850.000000 .000000 XC1 1300.000000 .000000 XA2 .000000 2.000000 XB2 .000000 2.000000 XC2 .000000 2.000000 XA3 .000000 4.000000 XB3 .000000 4.000000 XC3 .000000 4.000000


ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1575.000000 .000000 3) 12.500000 .000000 4) .000000 .000000 5) .000000 .000000 6) .000000 .000000 7) .000000 .000000 8) .000000 3.333333 9) .000000 6.666667 10) .000000 2.333333 NO. INTERATIONS = 3

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE

XA1 7.000000 5.000000 2.000000 XB1 8.000000 INFINITY 2.000000 XC1 9.000000 INFINITY 2.000000 XA2 5.000000 2.000000 INFINITY XB2 6.000000 2.000000 INFINITY XC2 7.000000 2.000000 INFINITY XA3 3.000000 4.000000 INFINITY XB3 4.000000 4.000000 INFINITY XC3 5.000000 4.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

2 .000000 INFINITY 1575.000000 3 .000000 INFINITY 12.500000 4 .000000 INFINITY .000000 5 .000000 INFINITY .000000 6 .000000 INFINITY .000000 7 .000000 INFINITY .000000 8 2850.000000 150.000000 1890.000000 9 1300.000000 3000.000000 15.000000 10 10000.000000 150.000000 3000.000000


a) ¿Cuál es la solución óptima? ¿Cuál es la utilidad semanal?

b) ¿Cuáles son los porcentajes de cada ingrediente básico en la mezcla óptima?

c) ¿Es una solución única? Si no lo es, indique ( no calcule) cuál sería una solución alternativa.

d) El proveedor ofrece venderle 140 kilos adicionales de ingrediente B a un precio mayor que el usual, ¿hasta cuánto estaría usted dispuesto a pagar?

e) El proveedor, por otros compromisos, decide disminuir en 10 kilos la entrega de ingrediente C y para no tener problemas con usted ofrece devolverle los $10 de su costo, ¿Es esto conveniente para Nico? Comente brevemente su respuesta.

f) Mirando los resultados ¿le recomendaría usted a Nico pedir dinero prestado para adquirir más ingredientes? ¿Qué ingrediente podría adqurir? ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por cada peso prestado? ¿Hasta cuánto dinero podría solicitar a este precio? Comente brevemente.

g) Si el precio de venta de la mezcla 2 aumenta en un peso por kilo ¿cambia su programa de producción? ¿Y si aumenta en tres pesos?

h) ¿Puede decir algo de la solución óptima si el costo del ingrediente A baja a $ 2,5 por kilo?.

9.3. La Gerencia de Desarrollo de Winston-Salem está tratando de completar sus planes de inversión para los próximos tres años. En la actualidad la empresa cuenta con $2.000 para inversiones. En períodos de seis meses, durante los próximos tres años, la empresa espera poder contar con los siguientes ingresos provenientes de inversiones anteriores: $500 (en 6 meses más), $400, $380, $360, $340 y $300 (a fines del tercer año). Los tres proyectos de inversión considerados son los siguientes:


Flujos de caja por semestre

PROYECTOS Foster City Housing Disney

1 - $ 3.000 - $2.000 - $2.000 2 - $ 1.000 - $ 500 - $2.000 3 - $ 1.800 $1.500 - $1.800 4 $ 400 $1.500 $1.000 5 $ 1.800 $1.500 $1.000 6 $ 1.800 $ 200 $1.000 Valor al final del tercer año $ 5.500 - $1.000 $6.000

Si la empresa invierte un porcentaje del total, el retorno de la inversión corresponde al mismo porcentaje. Es posible conseguir fondos a una tasa del 3.5% semestral, pero a lo más se pueden pedir $ 2.000 cada vez ( el principal de la deuda no puede ser mayor que $ 2.000). Por otro lado, puede invertir los excesos de fondos a una tasa del 3% semestral. Lo que se desea es maximizar el ingreso neto al final del tercer año. Para lograr el plan de inversiones la empresa formuló el siguiente modelo de programación lineal donde las variables de decisión utilizadas fueron:

F = porcentaje de participación en el proyecto Foster City M = porcentaje de participación en el proyecto Housing D = porcentaje de participación en el proyecto Disney Bi = monto solicitado como préstamo en el período i Li = monto invertido (al 3%) en el período i


Maximizar 1Z

sujeto a:

1) 3000F + 2000M + 2000D - 1B1 + 1L1 = 2000 2) 1000F + 500M + 2000D + 1,035B1 - 1,03L1 - 1B2 + 1L2 = 500 3) 1800F - 1500M + 1800D + 1,035B2 - 1,03L2 - 1B3 + 1L3 = 400 4) - 400F - 1500M - 1000D + 1,035B3 - 1,03L3 - 1B4 + 1L4 = 380 5) - 1800F - 1500M - 1000D + 1,035B4 - 1,03L4 - 1B5 + 1L5 = 360 6) - 1800F - 200M - 1000D + 1,035B5 - 1,03L5 - 1B6 + 1L6 = 340 7) 1Z - 5500F + 1000M - 6000D + 1,035B6 - 1,03L6 = 300 8) 1B1 ≤ 2000 9) 1B2 ≤ 2000 10) 1B3 ≤ 2000 11) 1B4 ≤ 2000 12) 1B5 ≤ 2000 13) 1B6 ≤ 2000 14) 1F ≤ 1 15) 1M ≤ 1 16) 1D ≤ 1

Los resultados, usando el programa QSB+, son los siguientes:


No Var Solution Opportunity Objective Minimum Maximum Cost Coefficient Obj. Coeff. Obj. Coeff. 1 Z +7665.1787 0 1.0000000 0 +INFINITY 2 F +.71434140 0 0 - 454.59485 +3043.7207 3 M +.63720959 0 0 - 583.69208 +644.82007 4 D 0 +452.38162 0 -INFINITY +452.38162 5 B1 +1417.4434 0 0 -.40969697 +.00882163 6 L1 0 +.00878849 0 -INFINITY +.00878849 7 B2 +2000.0000 0 0 -.32740423 +INFINITY 8 L2 0 +.33431387 0 -INFINITY +.33431387 9 B3 +2000.0000 0 0 -.24546637 +INFINITY 10 L3 0 +.25095651 0 -INFINITY +.25095651 11 B4 +448.44897 0 0 -.16248728 +.00530449 12 L4 0 +.00530449 0 -INFINITY +.00530449 13 B5 0 +.00515000 0 -INFINITY +.00515000 14 L5 +2137.4841 0 0 -.22211158 +.00515000 15 B6 0 +.00500000 0 -INFINITY +.00500000 16 L6 +3954.8650 0 0 -.22786446 +.00500000

Maximized OBJ = 7665.179

Const. Status RHS Shadow Slack or Minimum Maximum Price Surplus RHS RHS 1 Tight =+2000.00 +1.819220 0 -526.2444 +3415.854 2 Tight =+500.000 +1.757701 0 -1387.037 +1275.555 3 Tight =+400.000 +1.381929 0 -542.7526 +1598.599 4 Tight =+380.000 +1.098031 0 -1171.551 +828.4490 5 Tight =+360.000 +1.060900 0 -1777.484 +Infinity 6 Tight =+340.000 +1.030000 0 -3614.865 +Infinity 7 Tight =+300.000 +1.000000 0 -7365.179 +Infinity 8 Loose <+2000.00 0 +582.5566+1417.443 +Infinity 9 Tight <+2000.00 +.3274042 0 +863.9908 +2561.718 10 Tight <+2000.00 +.2454664 0 +1703.148 +3027.054 11 Loose <+2000.00 0 +1551.551+448.4490 +Infinity 12 Loose <+2000.00 0 +2000.000 0 +Infinity 13 Loose <+2000.00 0 +2000.000 0 +Infinity 14 Loose <+1.00000 0 +.2856586+.7143414 +Infinity 15 Loose <+1.00000 0 +.3627904+.6372097 +Infinity 16 Loose <+1.00000 0 +1.000000 0 +Infinity

Se pide:

a) ¿Qué representa Z en la función objetivo?

b) ¿Cuánto es lo que se obtendría con el plan de inversiones?


c) ¿Cuál es el flujo de caja esperado del proyecto "Housing"?

d) ¿Qué tendría que suceder para que fuera conveniente invertir en el período 3?

e) ¿Qué sucedería si la tasa a la cual se puede pedir prestado baja al 3,2% trimestral?

f) ¿Cuánto estaría la empresa dispuesta a pagar por contar con $ 800 adicionales para inversión a comienzos del período 2?

g) ¿Sería conveniente para la empresa una política que permitiera pedir prestados $1200 adicionales durante el período 4?

9.4. Considere el siguiente problema de programación lineal resuelto usando el programa QSB+. En 10 lugares marcados con las letras "XXXX(.)" se ha borrado lo que aparecía en el listado original. En cada uno de los 10 casos, escriba lo que aparecía.

Maximizar 40X1 + 20X2 + 33X3 + 87X4

sujeto a:

1) 1X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 ≤ 200 2) 1X2 + 3X3 + 7X4 ≤ 450 3) 1X1 + 4X2 + 2X3 + 5X4 ≤ 600 4) 2X1 + 3X2 + 1X3 + 1X4 ≥ 100 5) 2X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 ≤ 300

No Var Solution Opportunity Objective Minimum Maximum Cost Coefficient Obj. Coeff. Obj. Coeff. 1 X1 +117.85714 0 +40.0000 +17.666666 +174.00000 2 X2 0 +9.5714293 +20.0000 +XXXX(1) XXXX(2) 3 X3 0 XXXX(3) +33.0000 -Infinity +48.714287 4 X4 XXXX(4) 0 +87.0000 +50.333332 +Infinity

Maximized OBJ = XXXX(5)

106 Trabajo Docente Nº 57 Const. Status RHS Shadow Slack or Minimum Maximum Price Surplus RHS RHS 1 Loose <+200.00 0 +17.8571 XXXX(6) +Infinity 2 Tight <+450.000 +9.571429 0 0 +700.0000 3 Loose <+600.000 XXXX(7) +160.714 +439.2857 XXXX(8) 4 Loose >+100.000 0 XXXX(9) -Infinity +300.0000 5 Tight <+300.000 XXXX(10) 0 +100.0000 +335.7143


CAPITULO 10

PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACION LINEAL

Este capítulo presenta algunos ejemplos adicionales de Programación Lineal. Al igual que en el capítulo 7, se han dejado varios ejercicios como Problemas Propuestos en el convencimiento que sólo el enfrentamiento con nuevos problemas permite el desarrollo de la habilidad de plantear en términos matemáticos las situaciones que se presentan en la realidad.

Ejemplo 10.1:

Una empresa agroindustrial controla 2 parcelas, 3 plantas de proceso y 2 unidades distribuidoras. Considérese uno de los productos de la empresa: sopa de tomates. Los tomates pueden cultivarse en cualquiera de las dos parcelas a un costo de 200 y 150 pesos por tonelada respectivamente. Desde cualquier parcela es posible enviar la producción a cualquiera de las plantas procesadoras. Los costos de transporte por tonelada se presentan en la Tabla Nº 1.

Tabla Nº 1: Costos de transporte desde distintas parcelas a distintas plantas procesadoras. En pesos por tonelada.

Parcela Planta Procesadora Capacidad Parcela 1 2 3 (en toneladas)

1 5 8 11 290 2 15 6 2 400

Suponga que con 0,1 toneladas de tomates es posible producir una caja de sopa de tomates. Los costos variables de procesar una caja de sopa de tomates en las distintas plantas están dados en la Tabla Nº 2.

Tabla Nº 2: Costos variables y capacidad de procesamiento en 3 plantas alternativas Planta Costos de Procesamiento Capacidad Procesadora Procesamiento Planta (en pesos por caja)(en cajas) 1 25 800 2 34 1.500 3 17 3.000

108 Trabajo Docente Nº 57 Desde cualquier planta de proceso es posible enviar la producción a cualquier unidad distribuidora. Los costos de transporte desde las plantas procesadoras a las unidades distribuidoras están dadas en la Tabla Nº 3.

Tabla Nº 3: Costos de transporte desde distintas plantas procesadoras a distintas unidades distribuidoras. En pesos por caja. Planta Distribuidora 1 2 1 8 15 2 4 6 3 20 2 Requerimientos por Unidad Distribuidora 3.000 800 (en cajas)

Con el objeto de formular el problema de optimización correspondiente, se seguirán las siguientes etapas:

Definición de variables:

Vi Producción de la parcela i, en toneladas (i=1,2) Wj Producción de la planta j. En cajas (j=1,2,3) Yk Producción distribuída por la unidad k. En cajas (k=1,2) Zij Cantidad de tomates producidos en i para ser procesados

en la planta j. En toneladas. Mjk Cantidad procesada por la planta j y distribuída por la

unidad k. En cajas.

Función objetivo:

El problema es minimizar los costos totales cuyos componentes son:


COMPONENTES COSTOS TOTALES Costo Producción Parcelas 200V1+ 150V2 Costo Transporte Parcelas a Plantas 5Z11+8Z12+11Z13+15Z21+6Z22+2Z23 Costo Procesam. Plantas 25W1+34W2+17W3 Costo Transporte Plantas a Distrib. 8M11+15M12+4M21+6M22+20M31+2M32

Restricciones:

V1 ≤ 290 V2 ≤ 400

Capacidad parcelas.

Z11 + Z12 + Z13 ≤ V1 Z21 + Z22 + Z23 ≤ V2

Lo que las parcelas envían a las plantas debe ser menor o igual a lo que producen.

W1 ≤ 10 Z11 + 10 Z21 W2 ≤ 10 Z12 + 10 Z22 W3 ≤ 10 Z13 + 10 Z23

Se puede procesar en las plantas, a lo más, lo que llega desde las parcelas.

W1 ≤ 800 W2 ≤ 1.500 W3 ≤ 3000

Capacidad plantas.

W1 ≥ M11 + M12 W2 ≥ M21 + M22 W3 ≥ M31 + M32

Las plantas envían a las distribuidoras, a lo más, lo que producen.

Y1 ≤ M11 + M21 + M31 Y2 ≤ M12 + M22 + M32

Las unidades distribuidoras pueden distribuir, a lo más lo que les llega desde las plantas procesadoras.

Y1 ≥ 3.000 Y2 ≥ 1.800

Requerimientos Distribuidoras.

Todas las variables ≥ 0 Restricciones de no negatividad.

Para resolver este problemas, se utilizó el programa de computación LINDO. El programa óptimo de producción, procesamiento y distribución se resume en la Figura 1.


Figura 1

Programa de producción, procesamiento y distribución óptimo

800 cajas

300 Ton

100 Ton

1800 cajas

1200 cajas

1000cajas

180

Ton

800Cajas

1

3.000 cajas

1

2 1.000 cajas

400 Ton

3.000 cajas

1.800 cajas2

3

2

PARCELA PROCESADORA DISTRIBUIDORES

80 Ton.

Ejemplo 10.2:

Ud. es dueño de un fundo de 35 hectáreas que puede sembrar con trigo y/o porotos. Los coeficientes técnicos, en jornadas por hectárea y las disponibilidades de los distintos recursos se presentan a continuación:

Trigo Porotos Disponibilidad Sem.1 Sem.2 Sem.1 Sem.2 Sem.1 Sem.2 M. de Obra 2 3 4 1 60 50 Maquinaria 3 1 2 5 70 80 Agua 2.000 3.000 3.000 5.000 200.000 50.000 (m3/ha.) Ut. Neta 40.000 35.000 (pesos/ha.)


Adicionalmente, Ud. puede almacenar agua en un tranque desde el primer semestre hasta el segundo semestre a un costo de $3 por metro cúbico.

Para plantear este problema de inventarios, se procederá en etapas.

Definición de variables:

T = Número de hectáreas de trigo. P = Número de hectáreas de porotos. A = Cantidad de agua almacenada desde el primer semestre al segundo, en metros cúbicos.

Función objetivo:

Maximizar 40.000 T + 35.000 P - 3 A

Restricciones:

2T + 4P ≤ 60 Mano de obra, semestre 1.

3T + 1P ≤ 50 Mano de obra, semestre 2.

3T + 2P ≤ 70 Maquinaria, semestre 1.

1T + 5P ≤ 80 Maquinaria, semestre 2.

2.000T+3.000P ≤ 200.000-A Agua, semestre 1.

3.000T+5.000P ≤ 50.000+A Agua, semestre 2.

T, P, A ≥ 0

Ejemplo 10.3:

El matadero municipal de una ciudad tiene tres centros principales de trabajo :

1. Recepción, inspección y preparación del ganado.

2. Matanza y preparación de la carne.

3. Congelación y almacenaje intermedio.

112 Trabajo Docente Nº 57 El centro número 2 puede variar su capacidad mediante el uso de horas extraordinarias, aumentándola hasta en un 15 por ciento.

El centro número 3 no presenta flexibilidad en su capacidad, ya que la restricción está en las instalaciones de congelación y el horario de trabajo abarca las 24 horas del día cualquiera sea su producción.

Género Productividad (TM/Hora)

Centro Nº 2 Centro Nº 3

Vacuno 5,0 1,6 Cordero 4,0 2,0 Cerdo 5,0 1,0

Capacidad

(horas/mes 172 720 normal)

La utilización de inventarios con el fin de adaptar la capacidad instalada total a la demanda, escencialmente estacional, significa grandes costos por capital invertido, almacenaje en frío, transporte intermedio y pérdidas de peso del género. Estos inventarios sólo pueden ser de productos terminados, ya que es necesario que el género se encuentre ya congelado para almacenarlo en frío. En la tabla siguiente se indican los costos involucrados en la producción en pesos.

Costos Género Prod. Mano de obra Inv.Prod. Term. ($/TM) Centro nº 2 ($/TM/Mes Almacen.) ($/Hora normal)

Vacuno 26 12 7,0 Cordero 22 12 6,5 Cerdo 20 12 6,0

El costo de mano de obra en los centros número 1 y 3 son independientes de la cantidad producida, por lo cual forman parte del costo fijo del matadero. El costo de horas extraordinarias en el centro número 2 es un 50 por ciento mayor al costo de tiempo normal en ese mismo centro.


Las cantidades demandadas (fijas) para los próximos 2 meses, y los inventarios al inicio del primer período son los que se muestran en el cuadro siguiente:

Género Demanda (TM/Mes) Inventario Período 1 Período 2 Inicial (TM)

Vacuno 420 570 80 Cordero 200 140 30 Cerdo 280 410 30

Para plantear este problema, es conveniente definir:

Xit = Cantidad producida de producto i (vacuno, cordero, cerdo) en el período t, en toneladas métricas.

Ii = Inventario de producto i terminado al final del primer período.

Lt = Horas "normales" trabajadas en el centro número 2 en el período t.

Et = Horas "extra" trabajadas en el centro número 2 en el período t.

A partir de estas definiciones, es posible deducir el siguiente modelo de Programación Lineal:

Función Objetivo:

El objetivo es minimizar los costos totales. Estos incluyen los costos de producción, los costos de mano de obra en el centro No. 2 y los costos de mantener inventarios.3 En términos matemáticos, dichos costos se pueden expresar como:

Costos de prod. = 26(X11+X12)+22(X21+X22)+20(X31+X32) Costos mano de obra Centro No.2 = 12(L1+L2) + 18(E1+E2) Costo Inventarios = 7 I1 + 6,5 I2 + 6 I3

3Se excluyen los costos de mano de obra en los centros Nos. 1 y 3 por ser independientes de los volúmenes de producción.


Programa Optimo de Producción para el Matadero Municipal Vacuno Cordero Cerdo Mes 1 340 236,33 333,08 Mes 2 570 73,67 326,92

Inventario al final del Mes 1 0 66,33 83,08 Nota: Este programa implica un uso de 21,7 y 25,8 horas extraordinarias en el Centro No. 2 durante el primer y segundo mes respectivamente. El mínimo costo para satisfacer las distintas demandas es de 49.592,67 dólares.


10.1.3 Una planta reductora de aluminio produce dos tipos de aluminio, los cuales se venden a $ 285 y $ 320 la tonelada, respectivamente. La compañía dispone de dos fuentes de bauxita con las siguientes características y costos por tonelada.

CONTENIDO DE Bauxita A B C Costo/ton 1 40% 30% 30% $ 15 2 10% 70% 20% $ 20

La planta tiene una capacidad para tratar 200 tons. de bauxita a la semana. Por contratos pendientes debe adquirir de la fuente Nº 1 un mínimo de 50 tons. a la semana y de la fuente Nº 2 un mínimo de 65 tons. semanales.

El aluminio de $ 285 debe contener por lo menos 30% de A, no más de 20% de B y no más de 25% de C. El aluminio de $ 320 debe contener un mínimo de 40% de B, no más de 30% de A y no más de 25% de C. En el proceso de fabricación se pierde un 30% de A, un 90% de B y un 85% de C.

3 Ver Philippi, B.: op. cit.

116 Trabajo Docente Nº 57 ¿Qué cantidades de bauxita tipo 1 y 2 deben emplearse para maximizar las

utilidades de la planta? Formule el modelo de programación lineal correspondiente.

10.2. La línea aérea de carga "SLOW AIR" dispone de un solo avión con tres compartimientos. La capacidad máxima, en peso y volumen, de cada compartimiento es la siguiente:

Compartimiento Peso (toneladas) Volumen (metros cúbicos)

1 (adelante) 9 150 2 (centro) 13 240 3 (atrás) 8 100

Para mantener el balance del avión es necesario que la relación entre el peso de la carga en cada compartimiento, y la capacidad máxima (en peso) de dicho compartimiento, sea la misma en los tres compartimientos.

"SLOW AIR" tiene solicitudes para transportar las siguientes cuatro cargas, con el mismo destino y, con las características que se indican:

Peso Densidad Beneficio neto (toneladas) (m3/ton) ($) 1 15 15 100 2 10 25 150 3 20 20 115 4 8 12 80

La empresa puede escoger transportar sólo parte de una de estas cargas, y desea determinar cuánto debe aceptar de cada una, y cómo debe cargar el avión, de modo de maximizar el beneficio neto derivado del vuelo.

Formule un modelo de Programación Lineal que permita a SLOW AIR resolver su problema, indique claramente cuáles son las restricciones y la función objetivo. ¿Cuántas restricciones son? ¿Cuántas variables?

10.3. Un restaurant de Pomaire prepara dos tipo de cazuela, extra y corriente. Los costos y precios de venta unitarios de cada tipo son:


Extra Corriente Costo unitario 150 85 Precio venta 170 100

Para preparar una cazuela extra los cocineros trabajan el doble que para una cazuela tipo corriente. Si todas las cazuelas fueran tipo corriente, la capacidad de los cocineros sería de 1.000 cazuelas al mes (como éste es un restaurant de mala muerte, el producto se almacena fácilmente).

Para el próximo mes, el restaurant dispone de papas suficientes como para hacer 800 platos de cazuela. Dispone además de 400 trozos de filete, apropiados para la cazuela extra y 700 huesos apropiados para la cazuela corriente.

Se pide:

a) Con los datos disponibles, formule un modelo de Programación Lineal que permita determinar el programa de producción mensual que maximice los beneficios.

b) Gráficamente determine el conjunto de oportunidades y encuentre el programa óptimo de producción.

c) ¿Cuáles son las restricciones activas e inactivas?

10.4. La compañía XYZ fabrica un producto cuya demanda se ha pronosticado para los próximos cuatro meses en 1.800, 2.200, 3.400 y 2.800 unidades respectivamente. Debido a las variaciones en la demanda, los administradores de XYZ han encontrado que en algunos meses existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes costos de manejo y almacenaje; en tanto que en otros meses la compañía no está en posibiliddes de cubrir la demanda.

La compañía puede fabricar 2.400 unidades por mes en turnos normales. Utilizando tiempo extra es posible fabricar 800 unidades mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento de $7 por culquier unidad que no se produzca en tiempo normal. Los administradores han estimado que se incurre en un costo mensual de almacenamiento de $3 por cualquier unidad que se fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el mismo.

118 Trabajo Docente Nº 57 Se pide:

Formule un modelo de Programación Lineal que le permita a XYZ determinar un programa óptimo de producción que minimice los costos totales de producción y almacenamiento y considere las ventas estimadas de los próximos cuatro meses. Nota: Explicite cualquier supuesto adicional que necesite.

10.5. Un agricultor debe comprar las siguientes cantidades de fertilizantes:

Tipo de fertilizante Cantidad requerida (Toneladas) 1 185 2 50 3 50 4 200 5 185

Estas cantidades las puede comprar en 4 cooperativas distintas, sujeto a las siguientes restricciones de tonelaje máximo que puede comprar en cada cooperativa.

Cooperativa Nº Tonelaje Máximo (suma de las toneladas de todos los fertilizantes comprados) 1 350 2 225 3 195 4 275

El precio de los fertilizantes por cooperativa está dado en la siguiente tabla:

Precio por tonelada de fertilizante Tipo Cooperativa 1 2 3 4 5 1 4,5 1,39 2,90 3,19 0,99 2 4,25 1,78 3,10 3,50 1,23 3 4,75 1,99 2,40 3,25 1,24 4 4,13 1,25 3,12 2,98 1,10

Formule un P.P.L. que resuelva el problema a mínimo costo.


10.6. El administrador de un fundo de 50 hectáreas cerca de Santiago le ha pedido asesoría para decidir qué sembrar el próximo año. Los cultivos posibles son trigo y maíz. Los coeficientes técnicos de producción y las disponibilidades de los distintos recursos se presentan en el cuadro siguiente:

Mano de obra Capital Riego (jor.hombre/há.) (jor.máq./há) (m3/há)

Trigo Otoño 3 2 30 Invierno 2 1 40 Primavera 1 1 20 Verano 4 3 30 Maíz Otoño 0 0 0 Invierno 0 0 0 Primavera 3 4 45 Verano 6 2 50 Disponibilidad Otoño 80 160 1200 Invierno 80 100 1300 Primavera 80 60 1000 Verano 80 80 1000

El margen neto (en miles de pesos por há) es de 100 en el caso del trigo y 120 en el caso del maíz.

Se pide:

(a) Formule el problema de Programación Lineal correspondiente.

(b) Como el maíz usa la tierra sólo en primavera y verano, a Ud. se le ha ocurrido estudiar la posibilidad de poner una hortaliza de invierno (betarraga) que tiene un margen neto de 60 mil pesos por hectárea, requiere de 4 jornadas hombre/há. en invierno, 8 jornadas maquinaria/há., y 30 m3/há, también en invierno.

120 Trabajo Docente Nº 57 Plantee nuevamente el problema de Programación Lineal

definiendo claramente las variables, función objetivo y restricciones.

(c) Dé una solución factible, no necesariamente básica u óptima, al problema planteado en (b) que implique producir tanto trigo como maíz como betarragas.

10.7. Hoy, 1º de abril de 1996, Ud. dispone de 300 novillos que debe vender durante el próximo año. Las fechas posibles de venta son:

1º de abril 1996 (t=0)

1º de agosto 1996 (t=1)

1º de diciembre 1996 (t=2)

1º de abril 1997 (t=3)

Los pesos de los novillos se presentan junto a los respectivos precios en el Cuadro Nº 1.

CUADRO Nº 1: Distribución de los pesos de 300 novillos al 1º de abril de 1996 (en Kgs.)

Peso Categoría Número de Precio por según peso novillos novillo

300 1 150 3.000 350 2 100 4.000 400 3 50 5.000 450 4 0 8.000

Ud. sabe que los novillos aumentan 50 kgs. cada 4 meses. En otras palabras, suben 1 categoría entre las distintas fechas de entrega.

Los novillos de 450 kgs. deben ser vendidos al matadero al instante que alcanzan dicho peso. Suponga que también puede vender novillos "chicos" (categorías 1, 2, 3) en las fechas señaladas, a los precios indicados.

Los requerimientos y disponibilidad de forraje se presentan en el Cuadro Nº 2.


CUADRO Nº 2: Requerimientos (en Kgs.) de forraje por animal, y disponibilidad de forraje (kgs.) por período

Categoría Período Período Período Novillo 1/4/96-1/8/96 1/8/96-1/12/96 1/12/96-1/4/97

1 100 150 220 2 200 250 220 3 350 300 290 Disponibilidad 30.000 50.000 25.000

Nota: No se puede almacenar forraje de un período a otro.

a) Plantee el modelo de programación lineal que le permita decidir cuántos animales de cada peso debe vender en cada fecha para maximizar los ingresos totales. (Nota: Suponga que no puede comprar animales).

b) Repita lo anterior suponiendo que puede comprar forraje a 0,5 pesos/kg. hasta un máximo de 1.000 kgs. cada período. (Suponga que no puede vender forraje).

Se recomienda definir:

Xij = Stock de animales de categoría i en la fecha de venta j. (i = 1, 2, 3, 4) (j = 0, 1, 2, 3) Expresada en número de novillos. (Definir como stock antes de las ventas de la misma fecha).

Vij = Venta de novillos de categoría i en la fecha de venta j. Expresada en número de novillos.

10.8. Ud. ha sido nombrado Gerente de una empresa de auditoría que tiene 20 auditores que puede trabajar 200 horas al mes cada uno, dando un total de 4.000 horas-mes disponibles por mes, para desempeñar labores de auditoría propiamente tal y labores de entrenamiento. Hoy es 10 de Diciembre y Ud., sabe que Enero, Febrero y Marzo son meses de gran actividad. De hecho, Ud. ya sabe que en Enero requerirá de 5.000 horas de auditoría propiamente tal, en Febrero de 6.000 y en Marzo de 8.000. En Diciembre sólo se requieren 2.500 horas de este tipo pudiendo


usarse las 1.500 horas restantes en el entrenamiento de los auditores nuevos.

Por cada individuo nuevo que se contrate es necesario que un auditor antiguo (o ya entrenado) dedique 100 horas (exclusivamente) a su entrenamiento. Dicho entrenamiento dura un mes con lo cual hay que contratar con, al menos, un mes de anticipación.

Ud. sabe que al final del mes de entrenamiento el 50% de los nuevos dejan su trabajo. Por otra parte el 5% de los auditores antiguos se retiran cada mes. Si el costo mensual de un auditor regular es de 50.000 pesos y el de un auditor en entrenamiento es de 30.000, formule el problema de programación lineal que le permita determinar cuántos auditores contratan al comienzo de cada mes.

Nota: Ud. no puede echar a nadie una vez contratado hasta el final del período (1º de abril), en que los echa a todos.

10.9. Una planta productora de salchichas produce dos tipos de salchichas las cuales se venden a 285 y 320 pesos por kilo respectivamente. La compañía dispone de dos abastecedores de materia prima con las siguientes características y costos por kilo.

Abastecedor Carne Grasa Otros Costo (kg.) (kg.) (kg.) ($/kg.)

1 0,4 0,3 0,3 200 2 0,1 0,7 0,2 150

La planta tiene una capacidad para tratar 200 kgs. de materia prima a la semana. Por contratos pendientes debe adquirir de la fuente Nº 1 un mínimo de 60 kgs.

Las salchichas de 285 pesos no deben contener más de un 50% de grasa. Las salchichas de 320 pesos deben contener un mínimo de 30% de carne y no más de 25% de "otros".


Suponiendo que en el proceso de fabricación no se pierde materia prima, formule un modelo lineal apropiado para maximizar las utilidades de la planta. (Ayuda: defina Xij = cantidad de materia prima comprada al abastecedor i para producir salchicas tipo j).

10.10. Ud. está a cargo de una planta de leche que produce leche en polvo y queso. Para producir un kilo de leche en polvo se requieren 6 litros de leche y para producir un kilo de queso se requieren 9 litros de leche. La leche le cuesta 20 pesos por litro si le compra al abastecedor A, el cual le puede entregar como máximo 200 litros diarios, y 23 pesos si le compra al abastecedor B, el cual le puede entregar como máximo 400 litros diarios. Adicionalmente, Ud., tiene un maestro quesero que puede producir como máximo 30 kgs. de queso diarios y una máquina deshidratadora que puede producir como máximo 20 kgs. diarios de leche en polvo.

Por otra parte, Ud. cuenta con 2 mayoristas a los cuales les puede vender su producción. El mayorista 1 le paga 500 pesos por kilo de leche en polvo y 350 pesos por kilo de queso, exigiendo que por cada kilo de queso que le vende, le venda también 2 kg. de leche en polvo. El mayorista 2 le paga 400 pesos por kilo de leche en polvo y 390 pesos por kilo de queso. Este mayorista no puede comprarle más de 30 kgs. diarios en total (tiene un almacén chico).

Se pide:

Formule el problema de Programación Lineal correspondiente.

10.11. Ud. es un agricultor que posee 100 hectáreas que puede sembrar con trigo, maíz y/o porotos. Los requerimientos de maquinaria y mano de obra por hectárea por rubro son los siguientes.

Trigo Maíz Porotos

Maquinaria (jornadas/há) 2 3 1 Trabajo (jornadas/há) 1 4 5 Rendimiento (qq/há) 30 40 25


Ud. dispone de 100 jornadas de maquinaria y puede contratar hasta un máximo de 90 jornadas-hombre a un salario de 20 pesos por jornada. Puede pagar sobre tiempo (a $30 por jornada) hasta un máximo de 15 jornadas adicionales.

Ud. tiene en principio dos posibilidades de comercialización de su producto: 1) directo a público, 2) a una planta procesadora.

En ambos mercados los precios son de 100, 70 y 100 pesos por quintal de trigo, maíz y porotos, respectivamente.

La planta procesadora sin embargo, le acepta comprar además "porogos", mezcla de trigo con porotos en partes iguales a un precio de $110 por quintal (esta industria hace porotos con riendas en conservas).

Se pide:

Plantee el problema de optimización lineal para maximizar los ingresos netos del predio en la próxima temporada.

10.12.Un agricultor desea saber cuántas hectáreas de trigo y maíz sembrar este año en su fundo de 50 hectáreas. Los requerimientos de los distintos factores y los márgenes por hectárea se presentan a continuación.

Trigo Maíz Disponibilidad

Mano de obra (en JH por há.) 4 7 230 Maquinaria (en JT por há.) 6 3 140 Margen neto 8.000 10.000 (en pesos por há.)

El problema se complica por el siguiente problema de agua:


Trigo Maíz Disponibilidad

Requerimiento en invierno 100 300 12.000 (en m3 por há.) Requerimiento en verano 80 120 4.000 (en m3 por há.)

Hoy estamos a principios de invierno, que es cuando se siembra para cosechar a fines del verano (son dos estaciones en el año no más). Ud. puede almacenar en un tranque el agua que no use en invierno para usarla en el verano. Por ejemplo, si el tranque tiene 1.000 m3 a comienzos del verano o, Ud. tendría una disponibilidad de 5.000 m3 para usar en el verano. El tranque tiene una capacidad máxima de 4.000 m3, y hoy (principio de invierno) tiene 2.500 m3. Claramente, el agua que no use en invierno y que no almacene debe dejarla correr.

Se pide: Plantee, sin resolver, el problema de optimización correspondiente.

10.13. Una empresa está planificando su plan de producción del producto ABC para los siguientes cuatro meses. La demanda puede ser satisfecha por: a) la producción del mes, b) inventario de períodos anteriores y c) entregas atrasadas en un mes (esto significa que es posible entregar un pedido atrasado sólo en un mes). La capacidad de producción mensual es de 650 unidades, la demanda mensual es de 400, 600, 500, y 750 unidades respectivamente. El costo de producción mensual es de $5, $6,5, $7,25 y $9 respectivamente. El costo de mantención de inventario es igual al 20% del costo de producción en el mes y el costo de entregar un pedido atrasado es de $1. Por último, se dispone de 100 unidades de inventario, a comienzos del período 1.

Se pide:

Formule un modelo de Programación Lineal que represente este problema.

10.14. Una fábrica de conservas lo acaba de contratar para la planificación de su producción de espárragos y arvejas en


conserva de los próximos 4 meses. Por estudios de mercado, Ud. sabe que la demanda es estacional. Los precios a los que podrá vender la producción son los siguientes:

PRECIO (En pesos por Kg. de materia prima equivalente)

Producto Nov. Dic. Enero Feb.

Espárragos en conserva 35 50 60 40 Arvejas en conserva 28 37 100 80

La materia prima (espárragos y arvejas) se debe procesar en el mes en que se compra ya que son productos perecibles. Los costos de dicha materia prima son también estacionales. A continuación se presenta la evolución de dichos costos.

PRECIO (En pesos por Kg.)

Materia Prima Nov. Dic. Enero Feb.

Espárragos 10 15 28 30 Arvejas 20 30 55 60

Adicionalmente, Ud. sabe que el costo de almacenar los productos en conserva es de 10 pesos por Kg. de materia prima equivalente por mes en cualquiera de los dos productos.

Por último, Ud. sabe que los espárragos en conserva requieren de dos horas-máquina por Kg. de materia prima procesada y que las arvejas requieren de 1 hora-máquina por Kg. de materia prima procesada. La disponibilidad de horas-máquina es de 600 horas por mes. Dicha disponibilidad se puede aumentar hasta en un máximo de 50 horas por mes a un costo de 4 pesos por hora.

Se pide: Plantee, sin resolver, el problema de programación lineal correspondiente.

10.15.Ud. ha sido contratado recientemente en una sucursal de Almacenes París para determinar la contratación de vendedores para el período previo a la Navidad. A continuación se presentan las necesidades de vendedores por horario de trabajo.


Horario Número de vendedores

9:00 A.M. - 12:00 A.M. 30 12:00 A.M. - 15:00 P.M. 110 15:00 P.M. - 18:00 P.M. 35 18:00 P.M. - 21:00 P.M. 140 21:00 P.M. - 24:00 P.M. 50

Por otra parte, Almacenes París ha decidido operar en base a turnos de 9 horas de trabajo, los cuales se presentan a continuación.

Turno Horario

1 9:00 A.M.-18:00 A.M. 2 12:00 A.M.-21:00 P.M. 3 15:00 P.M.-24:00 P.M. 4 9:00 P.M.-12:00 P.M.; 15:00 P.M.-21:00 P.M. 5 12:00 A.M.-15:00 P.M.; 18:00 P.M.-24:00 P.M.

Se pide:

Formule, sin resolver, el problema de Programación Lineal que le permita minimizar el número de vendedores contratado.

Nota: No se preocupe del hecho que los números de vendedores deben ser enteros.


CAPITULO 11

VARIABLES BINARIAS

Las variables binarias son variables que sólo pueden tomar el valor de cero o el valor de uno. El propósito de este capítulo es ver, a través de varios ejemplos, distintos usos que tiene este tipo de variables. Debe señalarse que la mayoría de los programas de computación para resolver problemas de Programación Lineal, incluído el LINDO y el QSB+, puede trabajar con este tipo de variables en problemas que en todo lo demás son de Programación Lineal.

Ejemplo 11.1:

Ud. tiene un fundo de 100 hectáreas, donde puede sembrar trigo y maíz. Al considerar sus distintas restricciones, Ud. ha decidido plantear el problema de la siguiente forma:

Max 20 T + 30 M

sujeto a:

2 T + 3M ≤ 220 (Horas tractor)

T + M ≤ 100 (Hectáreas)

T, M ≥ 0

El problema se complica por el siguiente aspecto. Su vecino le ha ofrecido su tractor por una semana a un costo de 350 pesos que Ud. puede tomar o dejar. Una semana equivale a 48 HT.

En otras palabras, el tomar en arriendo el tractor del vecino le implicaría a Ud. contar con 268 HT en lugar de 220, pero tendría que pagar 350 pesos por el arriendo.

Usando variables binarias1, este problema se puede expresar como:

Max 20 T + 30 M - 350 H

1 En el programa LINDO, este tipo de variables se conoce con el nombre de "integer", mientras que en el programa QSB+, se llaman simplemente "binarias". Por otra parte, en este último programa, las variables "integer" son aquellas que pueden tomar valores enteros (0, 1, 2, 3, ... ).


sujeto a:

2 T + 3M ≤ 220 + 48 H (Horas tractor)

T + M ≤ 100 (Hectáreas)

T, M ≥ 0

Binarias: H

Si no conviene tomar en arriendo el tractor, H será igual a cero en el óptimo. En caso contrario, la variable H tomará un valor de uno.

Ejemplo 11.2:

Ud. dispone de 2 barras de aluminio de 10 y 15 metros respectivamente. Por otra parte, Ud. sabe que puede vender hasta un máximo de 5 barras de 1,7 metros a un precio de $500 cada una. Asimismo, Ud. puede vender las siguientes barras:

Tipo de Largo Demanda Precio barra en metros Máxima Unitario

1 2,1 2 800 2 1,7 5 500 (1) 3 1,3 11 390 4 0,4 20 60 (1) Se refiere a la demanda del párrafo anterior.

Para plantear el problema de tal forma que pueda ser resuelto usando variables binarias, es conveniente definir las siguientes variables:

Xi1 = Número de barras tipo i (i = 1, 2, 3, 4) a partir de la barra de 10 metros.

Xi2 = Número de barras tipo i (i = 1, 2, 3, 4) a partir de la barra de 15 metros.

Con estas definiciones, el problema se puede plantear como:

Maximizar

800 (X11 + X12) + 500 (X21 + X22) + 390 (X31 + X32)

130 Trabajo Docente Nº 57 + 60 (X41 + X42)

sujeto a:

X11 + X12 ≤ 2 X21 + X22 ≤ 5 X31 + X32 ≤ 11 X41 + X42 ≤ 20 2,1X11 + 1,7X21 + 1,3X31 + 0,4X41 ≤ 10 2,1X12 + 1,7X22 + 1,3X32 + 0,4X42 ≤ 15

Xij ≥ 0 para todo i,j.

Enteras: Xij para todo i,j.

Ejemplo 11.3:

Usted ha decidido hacer una comida en su casa obviamente al mínimo costo. Como restricciones usted tiene que darles un mínimo de 10.000 calorías y un mínimo de 1.950 grs. de proteínas en total. Los productos por considerar, junto con sus composiciones unitarias, están dados a continuación:

Calorías Proteínas Precio

Carne (en Kgs.) 2.000 600 600 Papas (en Kgs.) 4.000 20 80 Arroz (en Kgs.) 3.000 40 60 Tomates (en Kgs.) 500 200 150 Huevos (en unidades) 80 30 10

Adicionalmente, suponga que:

a) Si les da carne no debe darles huevos.

b) Si les da carne, debe darles un mínimo de 2 kgs. de tomates.

c) Usted sabe que a sus invitados les carga el arroz con huevo.

d) Si les da papas, debe darles como mínimo 2 Kgs.

En primer lugar se definirá:

Modelos de Optimización 131 C = Cantidad de carne, en kgs. P = Cantidad de papas, en kgs. A = Cantidad de arroz, en kgs. T = Cantidad de tomates, en kgs. H = Cantidad de huevos, en unidades.

Para plantear este tipo de problemas, es conveniente nuevamente usar variables binarias. A continuación se verá cómo plantear cada uno de los supuestos adicionales presentados.

El supuesto "si les da carne no debe darles huevos" se puede plantear como:

C ≤ 100.000 A1 H ≤ 100.000 A5 A1 + A5 ≤ 1 Binarias: A1, A5

La variable A1 tomará el valor de 1 si C es estrictamente mayor que cero, mientras que la variable A5 tomará el valor de 1 si H es estrictamente mayor que cero. La restricción que la suma de A1 más A5 sea menor o igual a 1 significa, en consecuencia, que ambas variables no pueden ser estrictamente positivas en forma simultánea.

El supuesto "si les da carne, debe darles un mínimo de 2 kgs. de tomates" se puede plantear como:

T ≥ 2A1

La variable A1 tomará, tal como se vio más arriba, el valor de 1 si C es estrictamente mayor que cero. En dicho caso, T tendría que tomar como mínimo un valor de dos. Se debe hacer notar que si A1 toma el valor de cero, con lo cual C sería igual a cero, T podría tomar cualquier valor positivo.

Por otra parte, el supuesto "usted sabe que a sus invitados les carga el arroz con huevo", lo obliga a plantear, por razones análogas a aquellas presentadas en relación con el supuesto "si les da carne no debe darles huevos", las siguientes restricciones adicionales:

A ≤ 100.000 A3 A3 + A5 ≤ 1


Binarias: A3

Por último, el supuesto "si les da papas, debe darles como mínimo 2 Kgs." se puede plantear como:

2A2 ≤ P ≤ 100.000 A2 Binarias: A2

Si A2 es igual a cero, entonces P puede tomar sólo el valor de cero. Por otra parte, si A2 es igual a uno, entonces P puede tomar cualquier valor entre 2 y 100.000.

En resumen, este problema se puede plantear como:

Minimizar 600C + 80P + 60A + 150T + 10H

sujeto a:

2.000C + 4.000P + 3.000A + 500T + 80H ≥ 10.000 600C + 20P + 40A + 200T + 30H ≥ 1.950 C ≤ 100.000 A1 H ≤ 100.000 A5 A1 + A5 ≤ 1 2A1 ≤ T A ≤ 100.000 A3 A3 + A5 ≤ 1 2A2 ≤ P ≤ 100.000 A2


Binarias: A1, A2, A3, A5

Ejemplo 11.4: Usted tiene una verdulería y tiene 2 proveedores a los que puede comprar tomates, lechugas y repollos. El costo de ir y volver a cada uno de los proveedores es el siguiente:

Prov. 1: $5.000 Prov. 2: $3.000

Modelos de Optimización 133 Los precios a los que usted puede vender, los precios de los distintos proveedores y la demanda máxima son:

Precio Prov. 1 Prov. 2 Demanda venta Máxima

Tomate 200 150 100 100 Lechugas 150 100 40 200 Repollos 300 50 200 200

Para plantear el problema, nuevamente se usan variables binarias. Defínase:

Ti = Cantidad de tomates comprados al proveedor i (i=1,2). Li = Cantidad de lechugas comprados al proveedor i. Ri = Cantidad de repollos comprados al proveedor i.

El problema en este caso se puede plantear como sigue:

Maximizar

200(T1 + T2) + 150(L1 + L2) + 300(R1 + R2) - 150T1 -100L1 - 50 R1 - 100T2 - 40L2 - 200R2 - 5.000 A1 - 3.000 A2

sujeto a:

T1 + T2 ≤ 100 L1 + L2 ≤ 200 R1 + R2 ≤ 200 T1 + L1 + R1 ≤ 100.000 A1 T2 + L2 + R2 ≤ 100.000 A2

Ti, Li, Ri ≥ 0

Binarias: A1, A2

Si Ti, Li, o Ri es positivo, entonces Ai sería necesariamente igual a 1, con lo cual habría que asumir el costo de ir y voler donde el proveedor i. El valor de 100.000 en las restricciones correspondientes es un valor arbitrario pero suficientemente alto como para no restringir el valor que puedan tomar, en caso de ser positivas, las variables Ti, Li, o Ri.

134 Trabajo Docente Nº 57 Programación Cuadrática

La Programación Cuadrática se usa cuando la función objetivo es cuadrática. Es decir, cuando la función objetivo se puede expresar como:

∑ ci Xi + ∑ ai X2i + ∑ ∑ bij Xi Xj

En todo lo demás, el problema es igual a los problemas de Programación Lineal. A continuación se verá cómo resolver este tipo de problemas usando variables binarias.

Ejemplo 11.5:

Supóngase el siguiente problema de optimización:

Maximizar: 10X1 + 2X2 - 2X21 - 3X2

2 + X1 X2

sujeto a:

X1 + X2 ≤ 20 2 X1 + 3 X2 ≤ 40 X1, X2 ≥ 0

El Lagrangeano de este problema es:

£ = 10X1 + 2X2 - 2X21 - 3X2

2 + X1 X2 + λ1(20 - X1 - X2)

+ λ2 (40 - 2X1 - 3X2)

Por otra parte, las condiciones de Kuhn-Tucker son:


1)∂£∂X1 = 10 - 4X1 + X2 - λ1 - 2λ2

≤ 0

2) ∂£∂X1 X1 = 0

3) ∂£∂X2 = 2 - 6X2 + X1 - λ1 - 3λ2

≤ 0

4) ∂£∂X2 X2 = 0

5) ∂£∂λ1 = 20 - X1 - X2 ≥ 0 6)

∂£∂λ1 λ1 = 0

7)∂£∂λ2 = 40-2X1 - 3X2 ≥ 0 8)

∂£∂λ2

λ2 = 0

9) X1, X2, λ1 , λ2 ≥ 0

Las condiciones (1), (3), (5), (7) y (9) son restricciones típicas de un problema de Programación Lineal.

Por otra parte, las condiciones (2), (4), (6) y (8) se pueden imponer usando variables binarias. A modo de ejemplo, la condición (2) se puede expresar como:

10 - 4X1 + X2 - λ1 - 2λ2 + Y1 = 0 Y1 ≤ 100.000 A1 X1 ≤ 100.000 A2 A1 + A2 ≤ 1 Y1 ≥ 0 Binarias: A1, A2

Se debe hacer notar que estas restricciones incluyen la restricción (1) por el hecho que la variable auxiliar Y1 debe ser mayor o igual que cero.

Lo anterior significa que las condiciones de Kuhn-Tucker se pueden escribir como:


10 - 4X1 + X2 - λ1 - 2λ2 + Y1 = 0 Y1 ≤ 100.000 A1 X1 ≤ 100.000 A2 A1 + A2 ≤ 1

2 - 6X2 + X1 - λ1 - 3λ2 + Y2 = 0 Y2 ≤ 100.000 A3 X2 ≤ 100.000 A4 A3 + A4 ≤ 1

20 - X1 - X2 - Y3 = 0 Y3 ≤ 100.000 A5 λ1 ≤ 100.000 A6 A5 + A6 ≤ 1

40 - 2X1 - 3X2 - Y4 = 0 Y4 ≤ 100.000 A7 λ2 ≤ 100.000 A8 A7 + A8 ≤ 1 X1, X2, Y1, Y2, Y3, Y4, λ1, λ2 ≥ 0 Binarias: A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8

Si un punto cumple con todas estas restricciones, entonces cumple además con todas las condiciones de Kuhn-Tucker del problema original. Por otra parte, la función objetivo del problema es cóncava, por cuanto el Hessiano, que es igual a:

H = -4 1 1 -6

es negativo definido. Esto quiere decir, tal como se viera en el capítulo 6, que cualquier punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo global.

Todo lo anterior significa que cualquier punto que cumpla con el conjunto de restricciones anterior, será un máximo global del problema original. El único problema es que no se tiene función objetivo para poner este conjunto de restricciones en un problema de Programación Lineal con variables binarias. Para ello se utiliza una función objetivo auxiliar del tipo:


Minimizar J

donde J es una variable cualquiera.


11.1. Usted está planeando su última gira como candidato presidencial, para lo cual dispone de 3 días: domingo 10, lunes 11, martes 12. Usted ha decidido reducir su lista de posibles lugares a 4: Puerto Montt, Valdivia, Temuco, y Concepción. Usted estima que el número de personas que puede convencer está dado por la siguiente tabla:

Domingo Lunes Martes

Puerto Montt 1.000 800 500 Valdivia 3.000 5.000 1.000 Temuco 800 800 820 Concepción 2.000 3.000 2.500

Así, si realiza, por ejemplo, una concentración el día martes en Temuco, usted estima que aumentará su votación en 820 votos. Adicionalmente, usted considera que no debe hacer 2 concentraciones en el mismo lugar por razones de imagen. Por último, dados los problemas de traslado, usted no puede estar en Concepción el lunes si ha ido a Temuco el día anterior.

Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente, de tal forma que pueda ser resuelto usando el programa LINDO o QSB+.

11.2. Suponga que el dueño de una fábrica química recibe el encargo de determinar una mezcla de 1.000 kilos que contenga cobre, estaño y calcio. Le dicen además que la mezcla debe tener a lo más 380 kilos de cobre, por lo menos 200 kilos de estaño, y por lo menos 100 kilos de calcio. Los costos de cada componente son 2, 3, y 4 pesos por kilo respectivamente.

Se pide:

a) Formule el problema de Programación Lineal correspondiente.

b) Suponga que le imponen la restricción que las cantidades de cada uno de los componentes deben estar expresadas en cientos (100, 200, ...). Replantee el problema de tal forma que pueda ser resuelto con el programa LINDO o QSB+.

138 Trabajo Docente Nº 57 11.3. Usted tiene una lechería que produce 100.000 litros de leche a la semana.

Debe decidir si venderlos como leche a planta A, a la planta B, o bien venderlos como queso a público directamente. (Estas alternativas no son excluyentes).

Por cada 10 litros de leche, usted puede producir 1 Kg. de queso. Para producir queso, sin embargo, debe contratar a un maestro quesero que le cuesta 450.000 pesos por semana. Los precios de los distintos productos son los siguientes:

Queso: 3.000 pesos por Kg.

Leche:

Planta A: 340 pesos por litro. Planta B: 280 pesos por litro.

Adicionalmente, usted sabe que el gerente de la planta A es un mañoso y que si le manda leche, le debe mandar entre 25 y 30 mil litros por semana.

Se pide:

a) Plantee el problema de optimización correspondiente de tal forma de poder resolverlo con el programa LINDO o QSB+.

b) Ahora suponga que la planta B está dispuesta a comprar hasta 90.000 litros siempre que no le venda a la planta A. En caso contrario, está dispuesta a comprarle un máximo de 45.000 litros. Cómo incorporaría estos puntos en el planteamiento del problema.

c) Suponga que el maestro quesero ha decidido que él pide 450 mil pesos por cualquier cantidad inferior a 4.000 Kg. de queso, pero que su precio sube a 480 mil si le piden producir más de 4.000 Kg. Como incorporaría este punto en el planteamiento del problema.

11.4. Ud. ha decidido presentarse a una propuesta pública para abastecer de alimentos a los escolares de la ciudad de Pelarco durante todo el próximo año. Las bases de la propuesta señalan lo siguiente:

Modelos de Optimización 139 1. Cada ración consiste de un guiso (excluye pan, postre, etc.).

2. Se deberá dar raciones a 1.000 niños todos los días (5.000 raciones semanales, ya que se excluyen sábados y domingos).

3. Ningún guiso podrá ser entregado más de 2 veces durante la semana.

4. Al menos 1 vez a la semana se deberá dar pescado.

5. Se podrá dar guisos diferentes a los distintos escolares en un día determinado.

6. Se deberá entregar por lo menos 2,5 millones de calorías por semana al total de niños (equivale a 500 calorías diarias prmedio por alumno) y por lo menos 125 kilos de proteína (equivale a 25 grs. promedio por día por alumno).

7. Los requisitos son mínimos. En la adjudicación se dará especial importancia a la cantidad de proteínas totales suministradas.

8. Al cabo de un año, habrá una nueva licitación.

En caso de ganar la propuesta Ud. ha dedicido considerar sólo los siguientes guisos cuya composición de calorías y proteínas se presenta en el Cuadro 1.

Cuadro 1: Aportes Nutritivos de Guisos Seleccionados

Nombre Calorías Proteínas Costo (por ración)(grs/ración) variable unit.(1)

1 Charquicán 500 30 100 2 Pollo a la jardinera 650 20 300 3 Lentejas 800 45 50 4 Pescado con puré 200 20 250 5 Tallarines con carne 700 200 100 6 Arroz con salchicha 600 10 200 7 Salpicón de verduras 300 20 150

(1) Incluye costos de materia prima y preparación, excluye inversiones que Ud. tendría que hacer.

140 Trabajo Docente Nº 57 Se pide:

a) Plantee un modelo de programación matemática que le ayude en la presentación a la propuesta. Defina claramente las variables, función objetivo y restricciones.

b) Resuelva usando el programa LINDO o QSB+ y preséntese a la propuesta en forma realista indicando, entre otras cosas, el precio (un número en pesos) que Ud. cobraría por ración el cual quedaría fijo por el año completo.

Recuerde que Ud. se presenta a esta propuesta como parte de un negocio que debe ser rentable; que hay varias empresas presentándose (que pueden tener otra estructura de costos); que hay inversiones que hacer; que los costos de la materia prima pueden cambiar a lo largo del año; que si gana la propuesta, la inversión puede o no servirle para la licitación del próximo año (sobre todo cuando se considera que puede no ganarla de nuevo); etc. Considere estos elementos cuando determine el precio que va a cobrar por el año.

Nota: Haga todos los supuestos adicionales que estime convenientes.

11.5. Una fábrica de galletas tiene 1800 libras de galletas de chocolate, 100 libras de galletas de almendras y 50 libras de galletas de coco. La fábrica envasa tres tipos de latas de 5 libras cada una, que contienen estas galletas en las siguientes cantidades.

Lata 1: 3 libras de chocolate, 1 libra de almendras y 1 libra de coco. Lata 2: 4 libras de chocolate, 0,5 libras de almendras y 0,5 libras de

coco. Lata 3: 5 libras de chocolate.

El precio de venta es de 500, 400, y 600 pesos/lata respectivamente.

Se pide:

a) Plantee el problema de Programación Lineal correspondiente.

b) Suponga que quiere producir a lo más 2 tipos de lata por convenios con los distribuidores. Plantee nuevamente el problema.


11.6. Ud. ha decidido instalar una botillería con los siguientes productos:

Bebidas:

Margen Neto Demanda Semanal ($/Bot.) (Máx.)

Coca Cola 10 250 Pepsi Cola 12 100 Limón Soda 15 400

Vinos:

Santa Rita 20 180 Casillero 10 130

Su problema es determinar qué comprar al comienzo de la semana si sabe que no puede comprar más de 650 botellas en total.

Se pide:

a) Plantee el problema de optimización correspondiente.

b) ¿Cómo incorporaría el hecho que sus abastecedores le exigen quedarse con Pepsi o con Coca Cola?

c) Adicionalmente, ¿cómo incorporaría el hecho que Santa Rita exige que por cada botella que compre de Casillero, le compre a ellos (como mínimo) dos botellas de Santa Rita?

d) ¿Cómo incorporaría el hecho que Limón Soda exige para venderle, que no le compre más de 60 botellas a Coca Cola?

11.7. La empresa AGRINDUS S.A. le ha pedido a Ud. que la asesore en la planificación de las compras y producción semanal. La empresa produce 3 productos. Ud. cuenta con la siguiente información:

1. Los productos son:

a) Duraznos en conserva: precio = 1.000 pesos/tarro, ingredientes: 0,3 Kg. de duraznos/tarro.

142 Trabajo Docente Nº 57 b) Tutti-Frutti en conserva, precio = 1.200 pesos/tarro, ingredientes: 0,1 Kg.

de duraznos/tarro y 0,2 kg. de peras por tarro.

c) Ciruelas conserva, precio 800 pesos/tarro, ingredientes: 0,35 kg. de ciruelas/tarro.

2. AGRINDUS cuenta con dos abastecedores de fruta cuyos precios (en pesos/kg.) son:

Abastecedor A Abastecedor B

Duraznos 1.600 1.400 Peras 1.200 1.600 Ciruelas 1.300 1.500

3. AGRINDUS puede procesar como máximo 200 kgs. de fruta por semana.

4. El abastecedor B le ofrece, para cada producto un descuento de 20% sobre todo exceso por encima de los 10 kgs. que le compre. Ejemplo: si le compra 14 kgs. de duraznos, deberá pagar

1.400 * 10 + 1.400 * 0.8 * 4 = 18.420 pesos

5. El abastecedor A le exige, para venderle a Ud. cualquier producto, que le compre al menos 20 kgs. de duraznos.

6. Ud. ha decidido, por razones de imagen, producir como mínimo 30 y como máximo 90 tarros de cada producto.

Se pide:

Plantee el problema de optimización correspondiente, definiendo claramente las variables.

11.8. Para distribuir uno de los diversos productos que fabrica, una empresa desea utilizar sólo 2 de los 3 depósitos de su propiedad.

En la tabla siguiente se resume cierta información relativa a los costos de distribución y capacidad de cada depósito.


Mercado 1 Mercado 2 Capacidades Depósito $/ton. $/ton. ton/mes

A 5 8 50 B 7 3 30 C 4 10 80

Se pide:

Formule un problema de programación matemática que le permita identificar los depósitos a utilizar y el programa óptimo de distribución de acuerdo con los antecedentes presentados y considerando que los mercados 1 y 2 requieren de 40 y 30 toneladas mensuales, respectivamente.

11.9. Ud. tiene dos parcelas de 10 y 20 hectáreas cada una, las que puede sembrar con trigo y maíz. Los requerimientos de mano de obra y maquinaria son:

Trigo Maíz

Mano de obra (en jornadas/há) 5 10 Maquinaria (en jornadas/há) 15 20 Rendimiento parcela 1 (en qq/há) 30 60 Rendimiento parcela 2 (en qq/há) 40 60 Margen neto unitario (en pesos/qq) 10.000 10.000

Ud. puede disponer de 40 jornadas-hombre y 100 jornadas-maquinaria para el año en la parcela 1, y de 60 jornadas-hombre y 150 jornadas-máquina en la parcela 2. Adicionalmente, Ud. podría mandar a 1 trabajador por 10 días (10 jornadas) de la parcela 1 a la parcela 2 a un costo total de 3.000 pesos. Por último, Ud. puede no sembrar nada, en cuyo caso se evitaría el costo de contratar un administrador que sirve para las 2 parcelas y que le cobrar 1.000.000 de pesos al año (si siembra, debe contratarlo).

Se pide:

Formule un modelo de programación matemática, que pueda ser resuelto con el LINDO o el QSB+, y que permita determinar:

144 Trabajo Docente Nº 57 i) cuánto producir en cada parcela;

ii) si mandar o no a una persona de la parcela 1 a la 2;

iii) si contrata o no a una persona de la parcela 1 a la 2;

iv) si contrata o no al administrador.

11.10.La empresa constructora "Los Sauces" está pensando construir un condominio en un terreno de 3000 m2, de su propiedad. Este número de metros es neto de los espacios reservados para jardines. El problema consiste en determinar el número óptimo de casas tipo I y de casas tipo II, de tal forma de maximizar utilidades.

Para resolver el problema Ud. cuenta con los siguientes antecedentes:

Casas Tipo I Tipo II

Costo de construcción (UF/casa) 1.500 1.700 Tiempo de construcción (días/casa) 40 60 Terreno requerido (en mts2/casa) 600 300 Precio de venta (U.F./casa) 1.900 2.000

Adicionalmente, Ud. sabe que por problemas del terreno, no se puede construir más de 6 casas tipo II. Asimismo, Ud. sabe que las casas deben construirse una después de la otra, y que el tiempo máximo no puede ser superior a 400 días. Por último Ud., obviamente, sabe que el número de casas debe ser entero.

Se pide:

a) Plantee el problema de optimización correspondiente.

b) Use el método gráfico para resolver el problema. ¿Cuántas casas construiría de cada tipo? ¿Cuál es el valor de la función objetivo en el óptimo?

c) Determine gráficamente el rango en que puede variar el coeficiente asociado al número de casas tipo II sin que cambie el número de casas a construir de cada tipo en el óptimo.

Modelos de Optimización 145 11.11. Ud. es dueño de un fundo que produce 20 mil cajas de manzanas todos los

años. El huerto está en plena producción y se espera que dure otros 5 años. Las manzanas son de exportación en un 75%.

Su problema es decidir si poner su propio packing, que vale 50.000 dólares y que dura exactamente 5 años, a un costo operacional anual de 1.000 dólares independientes de la cantidad de fruta, más 0,5 dólares por caja.

En caso de poner su propio packing, éste tendría capacidad para 35 mil cajas al año, con lo que podría servir a terceros a un precio de 1,2 dólares la caja.

Los precios de venta en este caso serían de 3,8 y 3,2 dólares por caja para la fruta de exportación y no de exportación, respectivamente.

Si no pone packing, Ud. tiene 3 posibilidades excluyentes:

1) Vender sus manzanas a un exportador a un precio de 3 dólares la caja. En este caso, ellos se encargarían de separar la fruta de exportación, con lo que el precio anterior es válido para toda la fruta que Ud. le entregue de su huerto (la exportadora se pone desagradable si le manda fruta de terceros).

2) Vender la fruta clasificada por Ud. mismo a un precio de 3,5 dólares la caja de exportación y de 2,8 dólares la caja no de exportación. El problema es que en esta alternativa Ud. puede vender un máximo de 11,000 cajas de exportación y el sobrante de exportación lo tendría que vender a otra exportadora a un precio de 2,9 dólares por caja. El costo de clasificar es de 0,1 dólares la caja, más un costo fijo anual de 1000 dólares.

3) Vender 10.000 kilos de manzanas, sin clasificar, a una planta de jugos a un precio de 2.95 dólares la caja, y vender el resto de la misma manera que en la alternativa 2.

Se pide:

Plantee el modelo de optimización correspondiente del tal forma que pueda ser resuelto con el LINDO o QSB+. Si necesita más supuestos, invéntelos.

Nota: El modelo no puede incorporar parte o partes de la solución. Del LINDO o QSB+ debería poder salir qué alternativa seguir, etc.


11.12. Imagínese en la siguiente situación: Ud. tiene un fundo que produce 20 mil kg. de limones al año y desea saber si seguir vendiéndolos a granel sin clasificar a un precio de 100 pesos por kilo o si clasificarlos en primera y segunda clase antes de venderlos. Obviamente, si clasifica ya no puede venderlos a granel.

Todo el proceso de clasificación cuesta 200 mil pesos en total y Ud. sabe que 6.000 kilos de la producción son de primera y los 14 mil kilos restantes son de segunda.

El problema se complica por los siguientes aspectos: los limones de primera Ud. los puede vender a una firma exportadora que le paga 130 pesos por kilo hasta un máximo de 4.000 kilos, mientras que los limones de segunda puede venderlos a un mayorista que le paga 100 pesos por kilo hasta un máximo de 3 mil kilos y/o a una verdulería que le compra hasta un máximo de 12 mil kg. a un precio de 105 por kilo.

Por último, una empresa agroindustrial está dispuesta a pagar 104 pesos por kilo por todos los limones que Ud. desee venderle independiente de la clasificación, pero siempre y cuando vengan ya clasificados. Le exige, sin embargo, que en el caso de venderle algo, le venda un mínimo de 15 mil kilos.

Se pide:

Plantee el problema de tal forma que pueda ser resuelto por el LINDO o QSB+. El programa debe permitirle a Ud. determinar si le conviene o no clasificar, y además cómo vender su producción.

11.13. Hoy es 1º de mayo, comienzos del año agrícola, y usted está planificando qué producir el próximo año en su fundo de 200 hás. Para ello ha decidido limitar las posibilidades a trigo, maíz, frejol y remolacha.

El fundo está dividido en tres potreros de 20, 140, y 40 hás., no pudiendo sembrar más de 2 cultivos en cualquiera de ellos (puede producir por ejemplo trigo y maíz en un potrero y maíz y frejoles en otro).

En el invierno usted no tendrá problemas de agua, y los requerimientos en primavera y verano son los siguientes:


Requerimientos de agua en mt3 por há.

Trigo Maíz Frejol Remolacha Disponib.

Primavera 2.000 4.000 3.000 5.000 400.000 Verano 1.000 3.000 2.000 1.000 300.000

Los ingresos netos por hectárea son los siguientes:

Trigo: 200.000 Maíz: 300.000 Frejol: 380.000 Remolacha: 530.000

Se pide:

a) Plantee el problema de optimización de tal forma que pueda ser resuelto con el LINDO o QSB+.

b) Suponga que usted ha decidido que cualquier cultivo que siempre debe tener por lo menos 5 hectáreas (puede no sembrar).

c) Suponga que para vender, en caso que usted decida vender, debe pagar una comisión fija al corredor de $200.000 en el caso del trigo, y para la remolacha de $180.000 (estas comisiones se pagan una sola vez, independiiente del volumen de producción).

11.14.Ud., que es administrador de un fundo de 150 hectáreas, debe programar su producción para el próximo año. Los productos a considerar son trigo, maíz y remolacha.

Los coeficientes técnicos de producción y las disponibilidades de los distintos recursos son los que a continuación se señalan.

trigo maíz remolacha Disponibilidad


Mano de obra 15 25 85 3.000 (en j.h./há.) Capital 12 14 4 2.000 (en j.m./há)

Se pide:

a) Suponiendo que los beneficios netos unitarios (expresado en términos de pesos por hectárea) son 500, 800 y 950 pesos para el trigo, maíz y remolacha respectivamente, plantee el problema de optimización correspondiente.

b) Ahora suponga que tiene 3 potreros de 55, 65 y 30 hectáreas cada uno, y que en un potrero específico no puede sembrar más de un cultivo (puede no sembrarlo con nada), ¿cómo cambiaría su respuesta anterior?

Nota: Se recomienda definir Xij = cantidad de potreros tipo i sembrado con el cultivo j.

c) Suponga que si produce trigo, no puede producir remolacha y sí debe producir maíz. Plantee nuevamente el problema.

11.15.La empresa "FLETES, S.A." tiene 4 camiones ubicados en Rancagua y Concepción (2 en cada ciudad). La capacidad de los distintos camiones se presenta a continuación:

Camión Capacidad Ubicación (en m3)

1 5 Rancagua 2 9 Rancagua 3 12 Concepción 4 14 Concepción

La Municipalidad de Talca acaba de llamar a propuesta para trasladar 22,5 m3 de alimentos desde Talca al pueblo "Los Sauces" que queda a 45 km. de Talca (viaje de ida y vuelta).

FLETES, S.A. lo ha contratado a Ud. para decidir cuál es el mínimo precio que debe cobrar para que le convenga participar en la propuesta. Para realizar su tarea, Ud. cuenta además con los siguientes antecedentes:

Modelos de Optimización 149 1) Los camiones que envíe a Talca para traladar alimentos a Los Sauces

deben finalmente volver a la ciudad donde se encuentran hoy los camiones. A modo de ejemplo, si envía el camión 1, éste tendría que seguir la siguiente ruta: Rancagua - Talca - Los Sauces - Talca - Rancagua.

2) La distancia entre Rancagua y Talca es de 80 km. (ida y vuelta), mientras que entre Concepción y Talca la distancia es de 100 km.

3) El costo de combustible, desgaste, etc. es de 50 pesos por km. independiente del camión.

4) Ningún camión alcanza a hacer más de un viaje entre Talca y Los Sauces.

Se pide:

a) Plantee, sin resolver, el problema de optimización correspondiente.

b) Ahora suponga que el camión 1 alcanza a hacer hasta 2 viajes entre Talca y Los Sauces. En este caso, la ruta sería Rancagua - Talca - Los Sauces - Talca - Los Sauces - Talca - Rancagua. Nuevamente, plantee, SIN RESOLVER, el problema de optimización correspondiente.

11.16. Para cada una de las siguientes afirmaciones escriba la o las restricciones correspondientes definiendo claramente todas las variables. Estas deben ser escritas de tal forma que se puedan entender en el LINDO o QSB+.

a) Por cada 3 kilos de maíz que ponga en una dieta de pollos, debo poner al menos 2 kilos de harina de pescado.

b) Por cada kilo de galletas de chocolate se usan 800 grs. de harina, y por cada kilo de galletas de gengibre se usan 650 gramos de harina. Se dispone de 6.000 grs. de harina en total.

c) Un proveedor de tomates (proveedor A) exige que si le compro, le compre como mínimo 15 kilos.

d) El número de hectáreas sembradas de maíz debe ser igual a 10, 15 o 20. Son las únicas tres posibilidades.

e) Un agricultor ha decidido que si produce trigo, no puede producir maíz, y sí debe producir porotos.

150 Trabajo Docente Nº 57 f) Deseo producir exactamente 3 productos de 5 posibles.

g) SAVORY ha decidido regalar 3 calcomanías por cada 10 helados que le compren.

h) Se requieren 2 jornadas-hombre (JH) por hectárea de maíz y 3 JH por hectárea de porotos. Se dispone de un máximo de 120 JH en horario normal y de 30 JH en horario extraordinario.

i) El abastecedor A está dispuesto a venderle como máximo 30 unidades si Ud. le compra al abastecedor B. Si no le compra al abastecedor B, entonces está dispuesto a venderle cualquier cantidad hasta 55 unidades.

11.17.Ud. es administrador de un fundo de 120 hectáreas y debe programar su producción para el próximo año. Los productos posibles son porotos, arvejas y tomates. Los coeficientes técnicos de producción, las disponibilidades de los distintos recursos, los precios y rendimientos se presentan a continuación.

Porotos Arvejas Tomates Disponibilidad

Mano de obra (en JH/há.) 3 5 9 (1) Maquinaria (en JM/há) 6 2 9 550 Rendimiento (en qq/há) 60 50 30 Precio neto (2) (en pesos/qq.) 2.000 3.000 8.000 Notas: (1) La disponibilidad máxima es de 400 JH en horario normal y 300 JH en horario extraordinario. (2) Se refiere a neto de insumos tales como semillas, fertilizantes, etc.

Ud. sabe además que el precio por JH en horario normal es de 2.000 pesos por jornada trabajada, y en horario extraordinario de 2.800 pesos por jornada trabajada.

Se pide:

Modelos de Optimización 151 a) Plantee, SIN RESOLVER, el problema de optimización correspondiente.

b) Asigne valores numéricos en forma arbitraria a los precios sombra asociados a la(s) restricción(es) de mano de obra, y explique claramente qué significan en la práctica dichos números.

c) Suponga que ha decidido sembrar como máximo 2 de los cultivos. ¿Cómo incorporaría esta restricción?

d) Ahora suponga que si decide no sembrar nada, el administrador del fundo del lado le ofrece 400.000 pesos por arrendárselo durante un año. Replantee, sin resolver, el problema de optimización correspondiente.

11.18.Usted acada de ser nombrado Gerente de Programaciones de LADECO. Su primer trabajo, donde debe demostrar sus habilidades, consiste en programar exactamente "un vuelo" desde Santiago a cada una de las siguientes ciudades: Arica, Temuco y Puerto Montt.

Las horas disponibles de salida son: 8 AM y 6 PM.

LADECO no puede programar más de dos vuelos en una misma hora de salida.

Los datos de demanda sugieren las siguientes contribuciones a la utilidad esperada, en función de la hora de salida:

Hora de salida 8 AM 6 PM

Destino

Arica 10 8 Temuco 13 9 Puerto Montt 15 23

Se pide:

Formule el modelo de optimización correspondiente de tal forma que pueda ser resuelto usando el programa LINDO.

152 Trabajo Docente Nº 57 11.19.Suponga el siguiente problema de optimización:

Maximizar 220 T + 300 P + 150 M + 195 C

donde T, P, M, C, representan las hectáreas a sembrar de trigo, porotos, maíz, y cebollas, respectivamente.

Las restricciones son:

T + P + M + C ≤ 200 (hectáreas) 2T + 4P + 3M + 5C ≤ 500 (maquinaria, en jornadas)

Se pide:

¿Cómo incorporaría las siguientes restricciones adicionales?

a) Por una peste extraña, si siembra trigo, no puede sembrar más de 2 hectáreas de cebollas.

b) Si siembra cualquier cultivo, debe sembrar mínimo 3 hectáreas.

c) Puede contratar horas extra de maquinaria a un precio de 10 pesos por jornada, pero debe pagar el costo del transporte hasta su predio que asciende a 1.000 pesos.

d) Si siembra porotos, debe sembrar un máximo de 100 hectáreas en el total de los demás cultivos.

e) Si siembra los 4 cultivos debe contratar a un segundo ingeniero agrónomo por 10.000 pesos.

f) En relación con el problema original, si gana más de 80.000 pesos brutos, debe pagar un impuesto adicional de 1.500 pesos, aunque se pase por 1 solo peso.

11.20.Los localidades se abastecen de dos centros mayoristas. Los costos medios de transporte son los que a continuación se señalan:

Mayorista Localidad 1 2 Oferta

1 3 + 2X 4 + X 200 2 6 + X 3 X 130


Demanda 110 120

donde X representa la cantidad que se transporta entre cada centro de origen y cada centro de consumo.

Se pide:

Plantee el problema de minimización de costo de transporte de tal forma que pueda ser resuelto con variables binarias.

11.21.Suponga que Ud. está sentado en este minuto frente a 100.000 melones de 1 kilo cada uno de su propiedad en su fundo en Melipilla.

Tiene la posibilidad de mandarlos ya sea a San Antonio, donde el precio de venta es de 28 pesos, o a Santiago donde el precio de venta es de 26 pesos por unidad.

Debido al reciente terremoto, existe un fuerte problema de transporte entre Melipilla y San Antonio por lo que las autoridades han decidido restringir los flujos entre ambas ciudades que no sean de emergencia (medicamentos y materiales de construcción). Para lograrlo, han decidido poner un impuesto unitario por kilo que transporte cualquier productor o empresa, creciente. Es decir, mientras más kilos Ud. decida transportar a San Antonio mayor será el impuesto unitario que Ud. deberá pagar. El impuesto unitario promedio al cual estará sujeto es:

T = 0,0001 X

donde X es el número de kilos transportados entre Melipilla y San Antonio y T es el impuesto promedio por unidad transportada expresado en pesos.

Suponga asimismo un costo de transporte unitario, excluído el impuesto, de 5 pesos por melón, que pesan 1 kilo cada uno, entre Melipilla y San Antonio y de 4 pesos por melón entre Melipilla y Santiago.

Se pide:

a) Plantee el problema de programación cuadrática correspondiente.

b) Escriba las condiciones de Kuhn Tucker correspondientes.

154 Trabajo Docente Nº 57 c) Determine cuánto debe enviar a cada mercado.

d) Un vecino suyo le ofrece un melón en 23 pesos. ¿Se lo compra?. Justifique.

11.22.Considere el siguiente problema de optimización:

Maximizar - X1 - 2X2 + 3X1 + X2

sujeto a:

X1 + X2 ≤ 8 X1, X2 ≥ 0

a) Demuestre si la función objetivo es cóncava, convexa, o ninguna de las dos.

b) Plantee el problema de Programación Cuadrática correspondiente.

11.23.Ud. es el único productor en Chile de trigo de color verde y de maíz colorado. Este es un mercado muy especial, que tiene la característica que hay miles de consumidores (es decir, Ud. es un monopolista que NO enfrenta un poder monopsónico por el lado de la demanda). Las demandas que Ud. enfrenta son :

Ptv = 100 - Qtv Pmc = 200 - 2Qmc

donde Ptv, Pmc, Qtv, Qmc son lo precios y cantidades vendidas de trigo de color verde y de maíz colorado respectivamente.

Los costos totales de producción se pueden expresar como:

CT = 10 + 2Qtv + 3Qmc

Por último, Ud. sabe que no puede producir más de 30 unidades considerando ambos productos.

Se pide:

Plantee el problema de Programación Cuadrática correspondiente.

Modelos de Optimización 155 11.24.Ud. tiene una verdulería y tiene 3 proveedores a los que puede comprar

tomates, lechugas, repollos, y zanahorias.

Los precios a los que Ud. puede vender, los precios que cobran los distintos proveedores, junto con las cantidades máximas que puede comprarle a cada uno, se presentan a continuación:

Precio Prov. 1 Prov. 2 Prov. 3 de venta P Q P Q P Q máx. máx. máx.

Tomates 200 150 40 100 30 80 50 Lechugas 150 100 100 40 40 200 30 Repollos 300 50 5 150 10 60 20 Zanahorias 400 260 35 300 20 40 10

Adicionalmente, Ud. sabe que no podrá vender a esos precios más de 80, 270, 400 y 38 Kg. de tomates, lechugas, repollos, y zanahorias respectivamente.

Se pide:

a) Plantee el problema de programación lineal correspondiente de tal forma de maximizar sus ingresos netos.

b) Si el costo de ir y volver donde cada proveedor es el siguiente:

Proveedor 1: 1.500 Proveedor 2: 6.000 Proveedor 3: 12.000

¿Cómo incorporaría este hecho en su planteamiento, de tal manera que pueda ser resuelto con el LINDO?

c) Ahora suponga que al proveedor 1 le carga el proveedor 2 por lo que exige que si Ud. decide comprarle a él (proveedor 1) entonces le debe comprar al menos el triple que al 2 en términos de kilos totales. ¿Cómo incorporaría este hecho en su planteamiento LINDO?

d) En relación con el problema planteado en (a), suponga que los tomates del proveedor 1 son de un tipo especial donde Ud. es un monopolista que enfrenta la siguiente curva de demanda:


Precio = 80 - 2Q

Plantee nuevamente el problema de tal forma que pueda ser resuelto con el LINDO.


REFERENCIAS

Chiang, Alpha C.: Fundamental Methods of Mathematical Economics, 2da. Edición, Mc Graw-Hill Book Company 1974.

Edwards, Gonzalo: Matemáticas y Estadística en Economía, Serie Docente No. 52, Instituto de Economía, P. Universidad Católica de Chile, 1992.

Hillier, F. y G.J. Lieberman: Introduction to Operations Research, 3a. Edición, Holden-Day, San Francisco, 1980.

Intrilligator, M.D.: Mathematical Optimization and Economic Theory, Prentice-Hall, New Jersey, 1971.

Philippi, Bruno: Introducción a la Optimización de Sistemas, Ediciones Universidad Católica de Chile, 1982.

(2) Optimizacion_programacion Lineal y No Lineal

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