Programación lineal

Investigación de Operaciones 1

Programación lineal:Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a los gerentes a tomar decisiones.

Pueden encontrarse numerosas aplicaciones para la programación lineal en un ambiente de negocios tan competitivo como el actual.

Ejemplos:• GE Capital usa la programación lineal para

ayudar a determinar la estructuración óptima del arrendamiento.

• Marathon Oil Company emplea la programación lineal para elaborar la gasolina y para evaluar la economía de nuevas terminales u oleoductos.

• Hanshin Expressway Public Corporation utiliza programación lineal para el control de tránsito en una autopista urbana de cuota en Osaka Japón.

Propiedades en común de los problemas de P.L.1. Un fabricante desea elaborar un programa de producción y

una política de inventarios que satisfagan la demanda de ventas en periodos futuros. Idealmente, el programa y la política permitirán a la compañía satisfacer la demanda y al mismo tiempo minimizar la producción total y los costos de inventario.

2. Un analista financiero debe seleccionar un portafolios de inversión elegido de entre varias alternativas de acciones y bonos. En analista le gustaría establecer el portafolios que maximice el retornos de la inversión.

3. Un gerente de mercadotecnia desea determinar cómo asignar mejor un presupuesto de publicidad fijo entre medios alternativos como radio, televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar la mezcla de medios que maximiza la efectividad de la publicidad.

Problema de maximización simple

Problema de maximización simpleRMC es una pequeña empresa que fábrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. Es un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo para combustible se vende en compañías petroleras y se usa en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de empresas químicas y se emplea en producto para limpieza en el hogar e industriales. Los tres materias primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y base para solvente, tal como se indica en la tabla 7.1. Ésta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 0.4 toneladas de material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la base para solvente es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del material 3.La producción de RMC está restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las siguientes cantidades de cada materia prima.

Problema de maximización simpleRequerimientos materiales por tonelada para

el problema de RMC

Tipo de material

Producto

Aditivo para combustible

Base para solvente

Material 1 0.4 0.5

Material 2 0.2

Material 3 0.6 0.3

Problema de maximización simpleMaterial Cantidad disponible para la

producción

Material 1 20 Toneladas

Material 2 5 Toneladas

Material 3 21 Toneladas

Problema de maximización simpleDebido a los desechos y a la naturaleza del proceso de producción, los materiales que no se lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden almacenar para las subsiguientes, son inútiles y deben desecharse.

El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, asignó todos los costos relevantes y llegó a precios que, para ambos productos, producirán una contribución a la utilidad de $40 por cada tonelada de aditivo de combustible producida y $30 por cada tonelada producida de base para solvente. Ahora usaremos la programación lineal para determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente por producir a fin de maximizar la contribución a la ganancia total.

Formulación del problemaLa formulación del problema es el proceso de traducir la declaración verbal del mismo en una definición matemática. La declaración matemática del problema se denomina modelo matemático. Elaborar un modelo matemático apropiado es un arte que solo se puede dominarse con practica y experiencia. Aunque todos los problemas tienen al menos algunas características únicas, la mayoría de ellos también tienen muchas características comunes o similares. Como resultado, pueden ser útiles algunos lineamientos generales para la elaboración de un modelo matemático.

Lineamientos para elaborar un modelo matemático• Entender el problema a fondo. El problema

RMC es relativamente fácil de entender. RMC desea determinar cuánto de cada producto producir para maximizar la contribución total a la utilidad. Las toneladas disponibles de los tres materiales que se requieren para elaborar los dos productos delimitan la cantidad de toneladas de cada producto que pueden producirse. Entender problemas mas complejos requerirá más trabajo, sin embargo, entender el problema a fondo es el primer paso para elaborar cualquier modelo matemático.

Lineamientos para elaborar un modelo matemático• Describir el objetivo. El objetivo de RMC es

maximizar la contribución total a la ganancia.

• Describir cada restricción. Tres restricciones limitan la cantidad de toneladas de aditivo para combustible y base para solvente que pueden producirse.

• Restricción 1: La cantidad del material 1 que se use debe ser menor o igual que las 30 toneladas disponibles.

Lineamientos para elaborar un modelo matemático• Restricción 2: La cantidad del material 2

que se use debe ser menor o igual que las 5 toneladas disponibles.

• Restricción 3: La cantidad del material 3 que se use debe ser menor o igual que las 21 toneladas disponibles.

Lineamientos para elaborar un modelo matemático• Definir las variables de decisión. Las variables

de decisión son las entradas controlables en el problema. Para el problema de RMC las dos variables de decisión son: 1) la cantidad de aditivo para combustible por producir y 2) la cantidad de toneladas de base para solvente por producir. Al elaborar el modelo matemático para el problema de RMC, usaremos la siguiente notación para las variables de decisión.

• F = cantidad de toneladas de aditivo para combustible.

• S = cantidad de toneladas de base para solvente.

Lineamientos para elaborar un modelo matemático• Escribir el objetivo en función de las

variables de decisión. La contribución a la utilidad de RMC proviene de la producción de F toneladas de aditivo para combustible y 5 toneladas de base para solvente. Debido a que RMC gana $40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y $30 por cada tonelada de base para solvente producida, la compañía ganará $40F de la producción del aditivo para combustible y $30S de la producción de la base para solvente.

Lineamientos para elaborar un modelo matemático• Por tanto:

• Contribución a la ganancia total = 40F ₊ 30S

Debido a que el objetivo, maximizar la contribución a la utilidad total, es una función de las variables de decisión F y S, nos referimos a 40F ₊ 30S como función objetivo. Usando: Max como una abreviatura para maximizar, podemos escribir el objetivo de RMC como sigue:

Max 40F ₊ 30S (7.1)

Lineamientos para elaborar un modelo matemático• Escribir las restricciones en función de las

variables de decisión.

Restricción 1:Toneladas del material 1 usado ≤ toneladas del material 1 disponible

Cada tonelada de aditivo para combustible que produzca RMC usará 0.4 toneladas del material 1. Por tanto, 0.4F toneladas de material 1 se usan para producir F toneladas del aditivo.

Lineamientos para elaborar un modelo matemáticoDel mismo modo, cada tonelada de base para solvente que produzca RMC usará 0.5 toneladas de material 1. Por tanto, 0.55 toneladas de material 1 se usan para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, las toneladas de material 1 que se usen para producir F toneladas del aditivo y S toneladas de base es:

Toneladas de material 1 usado ₌ 0.4F ₊ 0.5 S

Debido a que se dispone de 20 toneladas de material 1 para usar en la producción, la declaración matemática de la restricción 1 es:

0.4F ₊ 0.5 S ≤ 20 (7.2)

Lineamientos para elaborar un modelo matemáticoRestricción 2:

Toneladas de material 2 usadas ≤ Toneladas de material 2 disponibles.

El aditivo para combustible no usa el material 2. si embargo, cada tonelada de base para solvente que produzca RMC usará 0.2 toneladas de este material 2; por tanto, 0.2S toneladas del material 2 se emplean para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, la cantidad de toneladas de material 2 usado para producir F toneladas de aditivo para combustible y S toneladas de base para solvente es:

Toneladas de material 2 usado = 0.2S

Debido a que se dispone de 5 toneladas del material 2 para la producción, la declaración matemática de la restricción 2 es:

0.2S ≤ 5 (7.3)

Lineamientos para elaborar un modelo matemáticoRestricción 3:

Toneladas del material 3 usado ≤ Toneladas del material 3 disponibles

Cada tonelada de aditivo de combustible que produzca RMC usará 0.6 toneladas del material 3; por tanto, 0.6F toneladas del material 3 se emplean para producir F toneladas de aditivo. Del mismo modo, cada tonelada de base para solvente que produzca RMC usará 0.3 toneladas del material 3; por tanto, 0.3S toneladas del material 3 se emplean para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, la cantidad de toneladas del material 3 usado para producir F toneladas de aditivo y S toneladas de base es:

Toneladas de material 3 usado = 0.6F ₊ 0.3S

Debido a que se dispone de 21 toneladas del material 3 para la producción, la declaración matemática de la restricción 3 es:

0.6F ₊ 0.3S ≤ 21 (7.4)

Lineamientos para elaborar un modelo matemáticoAgregar las restricciones de no negatividad. RMC no puede producir una cantidad negativa de toneladas de aditivo para combustible ni una cantidad negativa de toneladas de base para solvente; por consiguiente, deben agregarse restricciones de no negatividad para prevenir que las variables de decisión F y S tengan valores negativos. Estas restricciones de no negatividad son:

F ≥ 0 y S ≥ 0

Las restricciones de no negatividad son una característica general de los problemas de programación lineal y pueden escribirse de la forma abreviada:

• F, S ≥ 0 (7.5)

Modelo matemáticoModelo matemático para el problema de RMC

Ahora está completa la formulación del problema. Hemos tenido éxito en traducir la declaración verbal del problema de RMC en el siguiente modelo matemático.

Max 40F ₊ 30SSujeto a (s.a)0.4F ₊ 0.5S ≤ 20 Material 1

0.2S ≤ 5 Material 20.6F ₊ 0.3S ≤ 21 Material 3F, S ≥ 0

Modelo matemáticoAhora, nuestro trabajo es encontrar la mezcla de productos (es decir, la combinación de F y S) que satisfaga las restricciones y, al mismo tiempo, produzca un valor máximo para la función objetivo. Una vez que se han calculado estos valores de F y S, habremos encontrado la solución optima del problema.

Este modelo matemático del problema de RMC es un programa lineal. Y una característica que lo hace un programa lineal es que la función objetivo y todas las funciones de restricciones (los lados izquierdos de las desigualdades de restricción) son funciones lineales de las variables de decisión.

Modelo matemáticoLas funciones matemáticas en las que cada variable aparece en un término separado y se eleva a la primera potencia se llaman funciones lineales. Por tanto, las formulación matemática se denomina programa lineal.

La programación lineal no tiene nada que ver con la programación de computadoras. El uso de la palabra programación aquí significa “elegir un curso de acción” La programación lineal implica elegir un curso de acción cuando el modelo matemático del problema solo contiene funciones lineales.

Procedimiento de solución gráfica