7/21/2019 Procesos Estocásticos- Procesos Gaussianos

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PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Un proceso estocástico es una secuencia de variables aleatorias

-

El término proceso estocástico puede hacer referencia tanto al proceso que genera la

secuencia como a la secuencia misma.

-

Se representa como X(k) ∈

Ω, k ∈

K .o

Ω es el espacio muestral, el conjunto de valores posibles que puede tomar X(k).

o

K es el indice que hace referencia a la posición dentro de la secuencia, y toma

valores en K.

-

La secuencia puede ser a lo largo del tiempo, o posiciones a lo largo de una linea, o en

general, parametros que indican posición relativa.

-

Nosotros vamos a estudiar procesos estocásticos en los que k indica tiempo, es decir,

X(k) son valores registrados a lo largo del tiempo. Por esta razón también se les conoce

como señales, y también como series temporales

-

Una realización del proceso son los valores que toman las variables aleatorias en un

experimento determinado.

VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real al resultado de un experimento

aleatorio.

-

Al lanzar dos monedas al aire, los resultados posibles son CC, CX, XC, XX

Se puede definir la siguiente variable aleatoria: C: “número de caras que se obtienen al

lanzar dos monedas al aire”. C 0,1,2 variable aleatoria discreta.

-

La mayoría de las veces el resultado del experimento aleatorio ya es un número, por lo

que la variable aleatoria es directamente el resultado:H: “altura de una persona elegida alazar”. H (0,+∞) Variable aleatoria continua.

-

En general, las variables donde el resultado se cuenta son v.a. discretas, y cuando el

resultado se mide son v.a. continuas.

EJEMPLO

Se ha registrado un dato cada 0.25 segundos durante 10 minutos Señales discretas

Podemos organizar los datos en forma matricial

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-

El valor que estamos registrando en un instante de tiempo ti depende de la señal que

observemos, V j(ti) ≠ Vk(ti). Son variables aleatorias.

El conjunto de los datos registrados (1) provienen de un proceso estocástico o aleatorio.

Tenemos una secuencia de variables aleatorias:

-

V (t j) es la variable aleatoria velocidad registrada en el instante de tiempo t j.

-

Una observación de los valores de las variables aleatorias se conoce como realización del

proceso estocástico. Cada realización es única.

Realización

El proceso estocástico viento se representa como

Toda variable aleatoria X tiene asociada una función de densidad de probabilidad, fx(x), que

cumple que:

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

-

f X(x) ≥ 0 para todo x.

- ∫ () = 1

+∞

−∞

- ( ≤ ≤ ) = ∫ ()

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ESPERANZA

Se define la esperanza o media de una variable aleatoria X continua como

VARIANZA

Se denomina varianza de una variable X

EJEMPLO

Sea X una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad dada por la figura. Calcular la

media y la varianza de X.

Según la figura () =

2

Como

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Por tanto:

La varianza también se puede calcular mediante

PROCESOS ESTACIONARIOS

Formalmente, un proceso X(t) se denomina estríctamente estacionario si para cualquier τ:

En otras palabras, los parámetros estadísticos en tj y en tk= tj + τ son iguales

Por otro lado, un proceso X(t) se denomina débilmente estacionario si

PROCESOS ERGÓDICOS

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PROCESOS GAUSSIANOS

Un P.A. X(t) es un proceso gaussiano, si cada función muestra de X(t) es una v.a. gaussiana.

Podemos decir que X(t) tiene una distribución gaussiana si su función de distribución de

probabilidad tiene la forma

Si la variable X(t), está normalizada, se tiene que

para N(0,1) = N(µ, σ2)

Propiedades

-

Si X(t) es un proceso gaussiano aplicado a la entrada de un sistema LIT, la salida también

es un proceso aleatorio gaussiano Y(t).

-

Si un P.A. X(t), es gaussiano, entonces las funciones muestra generadas por X(t) son

conjuntamente gaussianas, para cualquier n, siendo n, el orden del P.A.

-

Si el proceso gaussiano es estacionario, entonces el proceso es estrictamente estacionario.

-

Si las v.a. X(t1) X(t2) X(tn), son obtenidos de un proceso gaussiano X(t) en los tiempos t1 , t2,

… tn y son no correlacionados entonces las v.a. son estadísticamente independientes.