Problemas Resueltos Problemas Resueltos

“Campo Magnético”“Campo Magnético”

PROBLEMA 1: Un electrón cuya velocidad es el 1% de la velocidad de la luz,

penetra en un campo magnético uniforme, formando un ángulo recto con el campo B.

a) ¿Cuál es el valor de B si el electrón se mueve en una orbita de radio 10 cm?

b) ¿Cuál es el periodo del electrón en su orbita?

SOLUCION

En este caso se tiene un electrón, que debido a la acción de un campo magnético

uniforme, perpendicular a la dirección de la velocidad, es obligado a describir una

trayectoria circular.

Se desea obtener el valor de dicho campo magnético y el periodo para el cual el electrón

da una revolución.

a) Como la trayectoria descripta por el electrón es una circunferencia, actuara sobre el

una fuerza centrípeta igual a la fuerza magnética.

Recordando la ecuación del movimiento circular uniforme

La fuerza magnética cuando B es normal a la velocidad es

, de donde (1)

Conociendo los valores de la masa del electrón (9,1.10-31 kg), la carga elemental

(1,6.10-19 C), y el radio de la orbita, queda calcular el valor de la velocidad de la

partícula, a partir del dato dado por el problema.

Siendo la constante de la velocidad de la luz c, igual a 3.108 m/seg

Reemplazando todas las constantes en (1) obtenemos el valor del campo B

b) En un periodo de tiempo, el electrón da una revolución completa siguiendo la

trayectoria circular. Entonces conociendo la velocidad tangencial, se puede obtener la

velocidad angular, y luego, el periodo.

Partimos de la ecuación del movimiento circular uniforme que vincula las velocidades

tangencial y angular

, de donde

PROBLEMA 2: La figura muestra 2 hilos rectos paralelos muy largos, que portan

corriente eléctrica del mismo valor, igual a 0,5 Amp en los sentidos mostrados (entrante

y saliente).

Encontrar el campo de inducción magnética B, creado por estas corrientes en el punto P.

SOLUCION

En este caso hay 2 conductores paralelos separados entre si una distancia d, por los

cuales circula corriente en sentidos opuestos. Se desea obtener el valor del campo

magnético en el punto P, que se encuentra equidistante de ambos conductores.

Ambos hilos, al transportar corriente eléctrica, generan los campos magnéticos B1 y B2,

cuyas líneas rodean a cada conductor, formando círculos concéntricos.

El sentido de circulación de los campos, esta dado por la regla de la mano derecha, que

consiste en envolver con los dedos el conductor. El pulgar indica el sentido la corriente

mientras que el sentido de giro de la mano indica el sentido de la circulación B.

Para obtener la expresión del campo hay que utilizar la ley de Biot-Savart.

Considerando un conductor filiforme recto muy largo,

por el cual circula una corriente i, se quiere determinar

el campo B en el punto P. Tomando un elemento de corriente i.dl, y teniendo en cuenta

que dl=dx, la ley se escribe

Siendo sen φ= cos θ

Se debe sumar los campos elementales de todos los elementos de corriente,

relacionando las variables θ, r y x del siguiente modo

(1)

Sustituyendo (1) en la ley de Biot

Integrando desde θ= θ1 a θ= θ2

Si el conductor se considera infinito, θ2 tiende a -90° y θ1 tiende a +90°

(2)

Trasladamos esta conclusión al problema, considerando que en este caso queremos

obtener el campo en P producido por dos conductores

filiformes.

Se debe tener en cuenta que el vector inducción B es

tangente a las líneas de campo que envuelven a cada

conductor.

Como los hilos son equidistantes del punto P, trabajamos

solo con el vector B1 y luego se traslada el resultado a B2.

Descomponiendo B1, obtenemos las componentes By1 y Bx1.

Luego, By1= By2 y -Bx1= Bx2.

El campo total que actúa en P en la dirección del eje y es la suma de las componentes

(3)En la dirección del eje x las componentes Bx1 y Bx2 se anulan.

Reemplazando (2) en (3)

Siendo y

(4)

Reemplazando los valores correspondientes en (4)

que es el valor del campo magnético en el punto P debido a los dos conductores

paralelos.

Fuente: Tipler-Mosca, Capitulo 27, pagina 801

PROBLEMA 3: Aplicando la Ley de Ampere encuentre el campo de inducción

magnética:

a) En el eje de un solenoide muy largo de longitud L y de N espiras, por el que

circula una corriente I.

b) En el interior de un solenoide toroidal de N espiras cuyo radio medio es “a”, que

porta una corriente I.

SOLUCION

a) Un solenoide es un alambre largo devanado en una hélice fuertemente apretada, que

conduce una cierta corriente, siendo la hélice muy larga en relación con su diámetro, y

que suele utilizarse para crear campos magnéticos uniformes. El campo del mismo, es la

suma vectorial de todos los campos creados por todas las espiras que conforman el

solenoide. Como puede observarse en la figura , el espaciamiento de las líneas de campo

magnético en el centro, demuestra que el campo externo es mucho más débil que el

interno, por lo que se lo considera nulo.

Imagen extraída de Resnick- Halliday

Si se desea obtener la expresión del campo magnético en el centro del solenoide, es

decir, en el eje, se considera un rectángulo abcd como el de la figura 2, que encierra una

porción de un solenoide muy largo, y se aplica la ley de Ampere

Figura 2Como se observa, la primera integral coincide en dirección y sentido con el campo

dentro del solenoide, que es constante en su sección transversal, por lo tanto y siendo

“L” el ancho del rectángulo, la integral en ese tramo es B.L

La segunda y la cuarta integral, se anulan, debido a que las trayectorias bc y da, son

perpendiculares a la dirección del campo B. Recordemos que el producto escalar de dos

vectores perpendiculares es cero, ya que el cos 90° = 0.

La tercera integral también se anula, porque el campo fuera del solenoide es nulo.

Una consideración muy importante a tener en cuenta es que la ley de Ampere esta

aplicada a solamente una espira, pero el solenoide tiene N espiras.

Entonces, el campo magnético en el eje del solenoide queda expresado como

b) El toroide se debe considerar como un solenoide enroscado. Para conocer el campo

en el interior del mismo, se deben hacer algunas consideraciones de simetría.

Se toma un camino medio, de radio “a”, y de esta forma, la ley de Ampere queda

El campo fuera del toroide es cero, y en el interior no es

constante en la sección transversal. Todo esto se

demuestra con la regla de la mano derecha, cerrando los

dedos en dirección de la corriente, y el dedo pulgar

apunta en la dirección del campo magnético.

Fuente: E-Book Resnick- Halliday, Cap. 35, Pág. 197

PROBLEMA 4: Una espira rectangular esta colocada en una región donde existe un

campo magnético uniforme y transporta una corriente de 50 Amp.

c) Calcular las fuerzas magnéticas sobre cada lado si la normal de la espira forma

un ángulo de 30° con la dirección del campo.

d) Encontrar el par que experimenta la espira indicando cuanto vale el momento

bipolar magnético.

Datos: a=5 cm; b= 6cm; B=0,4 T

SOLUCION

Si se coloca una espira de alambre que porta una corriente dentro de un campo

magnético, esa espira experimenta un momento de

torsión, el cual tiende a hacerla girar alrededor de un

eje.

El plano de la espira se indica con el versor n que forma

un ángulo θ con la dirección del campo magnético B.

La fuerza neta sobre la espira puede determinarse con la

ecuación

Como se observa en la figura, las fuerzas sobre cada lado, son normales a la dirección

del campo y a la de la corriente. De esta forma, y suponiendo que la espira es de altura

“a” y ancho “b”, se tiene que

Imagen modificada de Resnick- Halliday

Imagen modificada Resnick- Halliday

Estas fuerzas son iguales y opuestas por lo tanto se anulan.

Ahora, las fuerzas F1 y F3, también cumplen con las mismas ecuaciones, son iguales y

opuestas, con la diferencia que el factor es iaB, por lo tanto la fuerza neta total aplicada

sobre la espira es cero. Pero como las fuerzas no están sobre la misma recta de acción,

estas tienden a hacer girar la espira alrededor del eje z., y se dice que existe un momento

de torsión., que trata de llevar a la espira a su posición de equilibrio, con el campo

paralelo al versor n.

El momento de torsión sobre la espira es

Si se lo desea calcular en función del momento dipolar magnético, considerando que

este, por analogía con el caso eléctrico, equivale a

siendo N=1, el número de espiras.

* El problema planteado, dice que la normal a la espira forma un ángulo θ=30° con el B

y se desea conocer las fuerzas magnéticas sobre cada lado de la misma

El item b) solicita el par que actúa sobre la espira

siendo el momento dipolar magnético

Fuente: E-book Resnick-Halliday Vol.2, Cap.34, Pág. 174

PROBLEMA 5 : En un espectrógrafo de masas se estudian los isótopos de un

elemento simplemente ionizado. En su selector de velocidades actúan un campo B=

0,01T y un E=200 volt/cm. En la cámara de deflexión existe un B=1T; los iones

impresionan una película fotográfica dejando trazas separadas 8,28cm. El radio menor

de las orbitas es 60,17 cm.

a) ¿Cuál es la masa en gramos de cada isótopo?

b) ¿Que números masicos tienen?

SOLUCION

En los espectrógrafos de masas, se aceleran las partículas cargadas con un campo

eléctrico, hasta adquirir una determinada energía. Luego se introducen en un espacio en

el que existe un campo magnético perpendicular a la velocidad de los iones, lo que

provoca que estos describan una trayectoria circular, y éstos se separan según sus masas

e impactan sobre una película fotográfica. Midiendo los radios de las trayectorias

descritas, podemos determinar su masa.

El esquema de un espectrógrafo de masas es el que muestra la figura.

En el selector de velocidades coexisten un campo eléctrico

E y uno magnético B, que se encuentran en forma

perpendicular. Entonces la fuerza que actúa sobre la

partícula se denomina fuerza de Lorentz, cuya expresión es

La condición para que la partícula no se desvíe es que la

fuerza sobre ella debe ser nula

de aquí que la velocidad con la cual las partículas ingresan al semicírculo será

Una vez que entran en el campo magnético de la D, sobre dichos iones aparece una

fuerza magnética, perpendicular a v y a B por lo que actuará como centrípeta,

cambiando la dirección de v. La trayectoria descrita será una semicircunferencia hasta

incidir en la placa

Se dijo que la Fm actúa como centrípeta, por lo tanto

siendo R el radio de la semicircunferencia descrita.

 

Imagen modificada http://cerezo.pntic.mec.es/~jgrima/Espectrografo.htm

* Para el problema que se plantea, necesitamos hallar las masas de las partículas, a

partir de los datos suministrados.

a) La velocidad con la que salen del selector es

Se especifica en el problema que se trata de un elemento simplemente ionizado, lo que

significa que pierde un solo electrón, por lo tanto las partícula quedan cargadas

positivamente con una carga e+=1,6.10-19Coul

El radio de la primera partícula se da como dato, al igual que la separación entre

impresión e impresión, lo que nos permite calcular el radio de la segunda partícula

   y la masa de la primera partícula será

.

  b) Pasando la masa a unidades de masa atómicas

 

Fuente: http://cerezo.pntic.mec.es/~jgrima/Espectrografo.htm

Bibliografía utilizada

FISICA Volumen 2, Tipler –Mosca, 5ta edición FISICA Volumen 2, Resnick- Halliday- Krane, 5ta edición FUNDAMENTOS DE FISICA II, Sears, 6ta edición

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO, Sampallo http://cerezo.pntic.mec.es/~jgrima/Espectrografo.htm