PROBLEMES DEL TEMA 3: ESPAIS VECTORIALS I APLICACIONS LINEALS

3.1 Tenim els vectors )1,7,2( −=u , )4,0,3(−=v i )8,5,0( −=w . Trobeu: a) 3u – 4v. b) 2u + 3v – 5w. c) |u|. d) |v|. e) |w|. f) |v|v - 2u + 3w.

3.2 Trobeu x i y en els següents casos: a) ),2()3,( yxx += . b) )3,2(),4( xy = .

3.3 Determineu si els següents conjunts de vectors són linealment dependents o linealment independents: a) )1,1,1(=u , )3,1,2( −=v i )3,5,1( −=w . b) )3,2,1( −−=u , )1,3,2( −=v i )1,2,3(=w .

3.4 Determineu el valor del paràmetre k per tal que els següents conjunts de vectors siguin linealment independents: a) )2,3,1( −=u , ),4,2( kv −= i )1,2,3( −−=w . b) )3,,1( ku = , ),1,1( kv = i )1,1,2( −=w . c) )2,3,1( −=u , ),,1( kkv −= i )4,6,2( −−=w .

3.5 En les següents situacions, escriviu el vector v com a combinació lineal dels vectors 1u , 2u i

3u , és a dir, trobeu x , y i z de manera que 321 zuyuxuv ++= :

a) )5,6,1( −=v , )3,2,1(1 =u , )8,5,2(2 =u , )3,2,3(3 =u .

b) )5,2,1( −=v , )1,1,1(1 =u , )3,2,1(2 =u , )1,1,2(3 −=u .

c) )5,3,2( −=v , )3,2,1(1 −=u , )4,1,2(2 −−=u , )5,7,1(3 −=u .

3.6 Determineu si els vectors donats en cada cas formen base de l’espai indicat en cada cas: a) Espai 3ℜ . Vectors (1, 1, 1), (1, 2, 3) i (2, -1, 1). b) Espai 2ℜ . Vectors (1, 1, 1) i (1, 2, 3). c) Espai 2ℜ . Vectors (1, 1) i (2, 2). d) Espai 2ℜ . Vectors (1, 1) i (2, -2). e) Espai 2ℜ . Vectors (1, 2), (-1, 3) i (2, -2). f) Espai 3ℜ . Vectors (1, 1, 1) i (1, 2, 3). g) Espai 3ℜ . Vectors (1, 1,), (-1, 3) i (2, -1). h) Espai 3ℜ . Vectors (1, 1, 1), (1, 2, 3) i (2, 3, 4). i) Espai 4ℜ . Vectors (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 2), (2, 5, 6, 4) i (2, 6, 8, 5).

3.7 Determineu quina condició han de complir les components del vector ),,(3 cbau = per tal que

els vectors (1, -1, 2), (2, -1, 3) i 3u formin base de 3ℜ .

3.8 Trobeu les coordenades dels vectors u , dels quals tenim les seves coordenades en la base canònica, respecte la base que es dóna en cada cas: a) Espai 2ℜ . )3,1(=u . Base formada pels vectors )1,1(1 =v i )0,1(2 −=v .

b) Espai 2ℜ . )3,1(=u . Base formada pels vectors )1,2(1 −=v i )2,1(2 =v .

c) Espai 3ℜ . )2,1,3( −=u . Base formada pels vectors )1,0,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v i )3,2,1(3 =v .

d) Espai 3ℜ . )2,1,3( −=u . Base formada pels vectors )1,2,3(1 −−=v , )2,1,2(2 −=v i

)1,0,0(3 =v .

3.9 Trobeu les coordenades en la base canònica dels vectors u , dels quals tenim les seves coordenades en la base que es dóna en cada cas: a) Espai 2ℜ . )3,1(=u en la base formada pels vectors )1,1(1 =v i )0,1(2 −=v .

b) Espai 2ℜ . )3,1(=u en la base formada pels vectors )1,2(1 −=v i )2,1(2 =v .

c) Espai 3ℜ . )2,1,3( −=u en la base formada pels vectors )1,0,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v i

)3,2,1(3 =v .

d) Espai 3ℜ . )2,1,3( −=u en la base formada pels vectors )1,2,3(1 −−=v , )2,1,2(2 −=v i

)1,0,0(3 =v .

3.10 Trobeu les coordenades dels vectors u , dels quals tenim les seves coordenades en la base que es dóna en cada cas, en la base formada pels vectors w : a) Espai 2ℜ . )3,1(=u en la base formada pels vectors )1,0(1 −=v i )1,2(2 =v . Nova base:

)0,2(1 −=w i )1,1(2 −=w .

b) Espai 2ℜ . )1,2(−=u en la base formada pels vectors )2,3(1 −=v i )2,1(2 −=v . Nova base:

)1,2(1 −=w i )1,1(2 −=w .

c) Espai 3ℜ . )2,1,4( −=u en la base formada pels vectors )1,0,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v i

)3,2,1(3 =v . Nova base: )1,0,2(1 −=w , )1,1,1(2 −=w i )0,2,3(3 −=w .

d) Espai 3ℜ . )2,1,3( −=u en la base formada pels vectors )1,2,3(1 −−=v , )2,1,2(2 −=v i

)1,1,2(3 −=v . Nova base: )1,3,1(1 −=w , )1,2,1(2 −=w i )3,4,2(3 −=w .

3.11 Busqueu les matrius associades en la base canònica de les aplicacions lineals següents: a) L’aplicació lineal 22: ℜ→ℜf definida per )3,2(),( yxyyxf −= .

b) L’aplicació lineal 33: ℜ→ℜf definida per )3,4,2(),,( xyxzyzyxf −+= .

c) L’aplicació lineal 42: ℜ→ℜf definida per )2,,32,3(),( yyxyxxyxf −+−−= .

d) L’aplicació lineal 23: ℜ→ℜf definida per )2,233(),,( zyxzyxzyxf ++−+−= .

3.12 Calculeu les expressions de les aplicacions lineals f que tenen per matrius associades en la base canònica les matrius següents:

a)

−22

01.

b)

−−−

002

020

231

.

c)

−−

−−−

521

175

453

082

.

d)

−−−−

03

17

64

19

.

3.13 Busqueu les matrius associades en les bases donades de les aplicacions lineals següents: a) L’aplicació lineal 22: ℜ→ℜf definida per )3,2(),( yxyyxf −= en la base formada pels

vectors )3,1(1 =v i )5,2(2 =v .

b) L’aplicació lineal 33: ℜ→ℜf definida per )3,4,2(),,( xyxzyzyxf −+= en la base

formada pels vectors )1,1,1(1 =v , )0,1,1(2 =v i )0,0,1(3 =v .

3.14 Considereu l’aplicació lineal f corresponent a la matriu

−−

=31

12A . Trobeu el vector

),( yx que compleix que )1,3(),( =yxf .

3.15 Donada la matriu

=

32

41A , comproveu si els valors i vectors següents són valors propis de

la matriu A amb el seu corresponent vector propi: a) Valor = 2, vector = (2 , -1). b) Valor = 5, vector = (2 , -1). c) Valor = -1, vector = (2 , -1). d) Valor = 5, vector = (2 , 2). e) Valor = 5, vector = (-1 , -1). f) Valor = -1, vector = (3 , -2).

3.16 Donada la matriu

−=

23

65A :

a) Calculeu el polinomi característic. b) Calculeu els valors propis. c) Calculeu els vectors propis associats a cada valor propi. d) És diagonalitzable la matriu A? Per què? e) Poseu la matriu A en funció de la matriu diagonal D i de la matriu de canvi de base P.

3.17 Donada la matriu

−=

31

15A :

a) Calculeu el polinomi característic. b) Calculeu els valors propis. c) Calculeu els vectors propis associats a cada valor propi. d) És diagonalitzable la matriu A? Per què?

3.18 Donada la matriu

−=

32

15A :

a) Calculeu el polinomi característic. b) Calculeu els valors propis. c) És diagonalitzable la matriu A? Per què?

3.19 Donada la matriu

−−−=133

353

331

A :

a) Calculeu el polinomi característic. b) Calculeu els valors propis. c) Calculeu els vectors propis associats a cada valor propi. d) És diagonalitzable la matriu A? e) Poseu la matriu A en funció de la matriu diagonal D i de la matriu de canvi de base P.

3.20 Donada la matriu

−−

−−=

313

043

241

A :

a) Calculeu el polinomi característic. b) Calculeu els valors propis. c) Calculeu els vectors propis associats a cada valor propi. d) És diagonalitzable la matriu A? e) Poseu la matriu A en funció de la matriu diagonal D i de la matriu de canvi de base P.

3.21 En certa zona s’observa que, de manera aproximada, el 95% dels que eren seguidors del R. Madrid un any ho segueixen sent l’any següent (i el 5% es passen al Barça) i que el 97% dels que eren seguidors del Barça un any ho segueixen sent l’any següent (i un 3% es passen al R. Madrid). Suposant que inicialment hi ha un 60% de seguidors del R. Madrid i un 40% de seguidors del Barça, quin percentatge de seguidors de cada equip hi haurà a llarg termini?