Problemas básicos de empujes de suelos sobre

Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte

Eduardo De la Fuente Lavalle

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Problemas· básicos de empujes de suelos sobr·e · .estructuras de soporte

PROBLEMAS BÁSICOS DE EMPUJES DE SUELOS SOBRE ESTRUCTURAS DE SOPORTE

Autor: Eduardo De la Fuente Lavalle

© 2013 Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto, A.C.

Producción editorial: M. en A. Soledad Moliné Venanzi

En esta publicación se respetan escrupulosamente las ideas, puntos de vista y especificaciones originales. Por lo tanto, el Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto, A. C. no asume responsabilidad alguna (incluyendo, pero no limitando, la que se derive de riesgos, calidad de materiales, métodos constructivos, etc.) por la aplicación de los principios o procedimientos de este volumen.

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La presentación y disposición en con junto de PROBLEMAS BÁSICOS DE EMPUJES DE SUELOS SOBRE ESTRUCTURAS DE SOPORTE, son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, por algún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información), sin consentimiento por escrito del editor.

Derechos reservados:

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Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Registro# 1052

Impreso en México

ISBN 968-464-129-X

Prefacio

Este libro es en gran medida el resultado del empeño que la Universidad Autónoma Metropolitana y particularmente el Departamento de Materiales de la Dirección de Ciencias Bá

sicas, de la Unidad U.A.M. Azcapotzalco realizan al promover la publicación de libros de texto. Durante mi estancia como profesor invitado en el año de 1998 las autoridades me alentaron para que lo hiciera y proporcionaron todas las facilidades para que lo elaborará y publicará

Cuanto mayor sea la conexión entre el aprendizaje de la teo

ría y su aplicación en la solución de problemas que se presentan en la práctica, tanto mayor será la eficacia de la enseñanza. El tener que aprender un amplio abanico de

problemas básicos es un requisito que implícitamente debe satisfacer el estudiante para poder cumplir adecuadamente

lo solicitado en los programas de estudio en el tema de Empujes del Terreno sobre Elementos de Soporte. Sin embargo, es un hecho que el tiempo disponible en clase para hacerlos es muy escaso y muchas veces insuficiente. Una forma de mejorar esta situación es proporcionar a los estudiantes libros de consulta complementarios con problemas resueltos, que sean lo suficientemente sencillos y claros para que puedan estudiarlos por su cuenta, convenientemente apoyados en la asesoría de sus maestros. Esta publicación pretende cumplir con este propósito y les sea de utilidad.

El libro ha sido preparado especialmente para proporcionar al estudiante de la materia de Mecánica de Suelos toda una serie completa de problemas básicos resueltos del tema de Empujes del Terreno sobre Elementos de Soporte, para que adquieran la destreza mínima requerida en la solución de este tipo de problemas. Aunque también puede ser de utilidad a profesionistas que deseen afianzar sus conocimientos.

Esta publicación pretende ayudar en la enseñanza de una parte de los contenidos en los programas de estudio de la geotecnia. Está dirigida a los estudiantes a nivel licenciatura de las carreras de Ingeniería Civil y Arquitectura. Se procuró


\) 1mcyc

cubrir solamente el terreno de lo esencial y muy importante e~

el tema. Al margen quedaron el estudio de otros aspectos de detalle que pueden ser importantes o accidentales y objeto de programas de maestría o doctorado. Por otra parte, se buscó el

camino más sencillo para el aprendizaje, no el más eficiente para las soluciones. Los atajos vendrán después.

El principal objetivo del presente trabajo es proporcionar una serie completa de problemas básicos resueltos que, fortaleciendo la enseñanza de la teoría, permitan al futuro profesionista adquirir bases firmes y suficientes para poder solucionar los problemas que se le presenten durante su vida profesional. La forma de mostrarlos se estableció fuera clara y esquemática; se expusieron cada uno de los puntos principales con explicaciones y dibujos, que en ningún momento pretenden ser exhaustivos, pero sí suficientes para su comprensión.

El plan consistió en programar los problemas de tal manera que cubrieran las necesidades completamente, que siguie

ran el camino más fácil para aprender y en general añadieran al proceso de aprendizaje sólo un nuevo punto a la vez, para hacer énfasis en él, partiendo del más sencillo hasta el más difícil o complejo. Cada problema se ajusta al formato siguiente: a) Solución, con estrategias generales, instrucciones y croquis explicativos. b) Desarrollo de los cálculos, con las fórmulas requeridas y resultados. c) Comentarios, resúmenes y aclaraciones, encerrados al final en un cuadro.

Siguiendo la costumbre se utilizó principalmente el sistema métrico decimal, aunque también se incluyen problemas con el Sistema Internacional de Medidas (SI).

El ambiente de trabajo propicio es importante para desarrollar las obras intelectuales, es por ello que presento un especial y profundo tributo de agradecimiento a la Universidad Autónoma Metropolitana por su respeto irrestricto a la indispensable libertad de cátedra y de investigación, que hasta ahora ha mantenido, sin la cual estas actividades no pueden

V

G 1mcyc

desarrollarse cabalmente; con mi ferviente deseo de que siempre siga por este fecundo camino. También, por su tesón decidido en promover la cultura, se agradece a las autoridades de la Universidad Autónoma Metropolitana, U .A.M. Azcapotzalco las facilidades otorgadas para hacer este libro, principalmente al Ingeniero Jesús Antonio Flores Bustamante y al Ingeniero José Luis Pantoja Gallegos quie-

VI

nes me ayudaron a realizarlo con sugerencias, apoyo físico y su amistoso respaldo.

Finalmente, si algún mérito tiene esta obra, quédese en el deseo de ofrecer a los estudiantes una recopilación de problemas, que pretende ahorrarles la consulta de múltiples libros.

Es a ellos a quienes con mi mayor afecto les dedico esta obra.

EDUARDO DE LA FUENTE LAVALLE.


Sinopsis

En este trabajo se presenta una serie programada de problemas resueltos y propuestos sobre el tema: Empujes del Terreno sobre Elementos de Soporte, para el nivel de licenciatura; los cuales cubren la parte solicitada en los programas de estudio de la materia de Mecánica de Suelos o de Geotecnia correspondientes.

. El escrito consta de cinco capítulos: Muros, Tablestacas, Ademes, Dimensionamiento de muros y Problemas pro_ puestos, con un objetivo común: exponer ordenada y metódicamente la forma de resolver una serie de problemas bási-cos para cada punto considerado. Se trato fueran desarrollados en forma sencilla y al menos completos en lo

esencial.

El material cubierto en el primer capítulo corresponde a los

métodos tradicionales de Rankine, Coulomb y semi-empírico de Terzaghi para diferentes tipos de suelos, condiciones y casos de aplicación; con sus respectivos procedimientos de solución, tanto gráficos como analíticos. También se incluyen var~os procedimientos para analizar el efecto del flu-jo del agua y el drenaje, métodos para tomar en cuenta la

p~esión que causan diversas sobrecargas, métodos para tomar en cuenta el efecto de la·compactación tales como los de lngold, R. B. Peck y B. Broms y métodos de análisis para cuñas con bases curvas. Por otra parte, se describe y aplica el método de Monobe-Okabe y el procedimiento de Prakash-Saran para analizar la acción de los sismos. En el se-


gundo capítulo, se hace un análisis de las tablestacas, tanto ancladas como en cantiliver. Se explican y aplican los procedimientos de cálculo de tablestacas más usuales: Convencional o Clásico, Simplificado, del Apoyo Libre, del Apoyo Fijo, de la Viga Equivalente y de la Reducción de Momentos de Rowe. En el tercero, se explica el procedimiento de cálculo de los empujes sobre ademes, aplicado a distintos suelos. En el cuarto, se presentan los cálculos usuales para determinar el dimensionamiento de muros y finalmente en el quinto capítulo se presentan una serie programada de problemas propuestos, similares a los resueltos para que el estudiante los haga por su cuenta.

El propósito principal de los tres primeros capítulos esmostrar como se resuelven variados y escogidos problemas de empujes activos y pasivos sobre muros, ademes y tablestacas con los procedimientos y métodos más importantes. Se busco que juntos contengan el mínimo necesario para ejercitar la correcta aplicación de la teoría en problemas reales. Posteriormente, en el capítulo cuatro se describe el procedimiento de cálculo para el dimensionamiento de muros, con el objeto de mostrar al alumn"O la utilidad e importancia real del calculo de los empujes de tierras sobre las estructuras de retención y también para que le sirvan de introducción y liga conveniente para cursos más avanzados, en los cuales se les enseñará el diseño completo de los mismos. Por último, en el capítulo cinco se proponen toda una serie de problemas para que el alumno los resuelva por su cuenta y complemente su proceso de aprendizaje.

VII

Indice:· . . ...

Método.de Rankine

.Hipótesis ..... .' .l

Problema 1.1.1 . .

,Problema 1.1.2.

Problema 1.1.3.

Problema 1 .1 .4.

Problema 1.1.5.

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Problema 1.1.9:.' ·/': ,:.

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. Problema 1.1.13 ..

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1.- RELLENO ÓE ARENA: ..

11.- RELLENO DE ARCILLA: . .;_;·:

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111.- RELLENO DE LIMO ARENOSO: 14

Problema 1.1.14 .. ' .

Problema 1.1.15

Problema 1.1.16

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. Problema 1.1.1 7

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Problema 1.1.19 ; '':: '', _:.. . : ; ) ';

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.• .·.~ •" .: .. :; . :. 26

Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras'de soporte:

Problema 1.1.21

Problema 1.1.22

Método de Coulomb

Hipótesis ....

Problema 1.2.1 ..

Problema 1.2.2 .

Problema 1.2.3 ~

Problema 1.2.4 .

Problema 1.2.5 .

Problema 1.2.6 .

Procedimiento de Culmann

- ~ -. . ,.. . ~ . .

(para suelos puramente friccionantes)

Problema 1.2.7 .

Problema 1.2.8 .

Método de las cuñas en suelos··· ,puramente friccionantes .

Procedimiento .....

Método deJas·cúnas;en.~üelOs ·'> ' - · '·; ;;.". .

con cohesión y fricción .

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. Problema 1.2.9 ..

. P.roblerna 1.2.1 O -· - ~ . (.; .. \

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M.etodo semiempírkode Terzag~(· " .... \ . ~.' ; ~ . ~ . ~ : ·.

Tipos de material de relleno ............ 45

Geometría del relleno y condición de cargas'. '.'o, );<45'.;

·Problema 1.3.1 .. •••• !" .•.• :·· ......

IX.

G 1mcyc

Problema 1.3.2.

Problema 1.3.3 .

Problema 1.3.4 .

Problema 1.3.5.

Cuñas con bases curvas

Problema 1 .4.1 . .

Problema 1.4.2 .:. .

Problema 1 .4.3 . .

Método gráfico del círculo de fricción

Efecto de la compactación mecánica del relleno

• Estimación de las presiones que producen los rellenos compactados . .

Problema 1.5.1 .

Problema 1.5.2 .

Problema 1.5.3 .

Empuje de los suelos en muros de suelos mecánicamente estabilizados.

Problema 1.5.4 ...... .

Efecto de los sismos

Criterio de Monobe-Okabe (1929)

Problema 1.6.1 ..

Problema 1.6.2.

Método de Prakash - Sarao

Problema 1.6.4.. . . . . . . . . . . .

Efecto de la lluvia y el flujo del agua

Problema 1.7.1. . .............. .

. 50

. 51

51

53

55

56

56

60

61

. . 65

68

69

. 69

.. 70

71

72

72

. 75

77

Obtención de U por medio de la red de flujo. 80

Cálculo de U por el procedimiento de H. Gray. 82

Problema 1. 7 .2 . 82

Problema 1.7.3.. . 85

Tablestacas

Tablestacas en cantiliver .............. 87

X

Tablestacas ancladas ..•............. 87

Procedimientos de cálculo de empujes de terreno sobre tablestacas . . . . . . .

Método convencional o clásico para el cálculo de tablestacas en cantiliver ..

Procedimiento para arenas ..

87

89

. 89

Método simplificado para el cálculo de tablestacas en can ti 1 iver . . . . . . . . . 90

Procedimiento para arcillas. . . 90

Problema 2.1.1. . . 91

Problema 2.1.2 .

Problema 2.1.3 ..

Problema 2.1.4 .

Problema 2.1.5 .

Problema 2.1.6 .

Problema 2.1.7 . .

Problema 2.1.8 ....... .

2.2 Métodos para el cálculo de tablestacas ancladas . . . . . .

1. Método del soporte o apoyo libre

2. Método del soporte o apoyo fijo .

Trabajos de Rowe . . . . . . . . . .

Reducción de momentos al método de soporte 1 ibre, propuesto por Rowe

Tirantes y anclajes ..

Problema 2.2.1

Problema 2.2.2

Problema 2.2.3

Problema 2.2.4

Problema 2.2.5

Problema 2.2.6

Problema 2.2.7

Ademes

Problema 3.1

Problema 3.2

Problema 3.3

Reglas de R.B. Peck para determinar el diagrama de presiones sobre Ademes .

. 94

. .. 95

96

. 98

99

99

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103

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130

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134


'] '¡ .1 i>

Criterio del Instituto de Ingeniería de la UNAM para determinar los empujes sobre Ademes en las arcillas del Lago de México, cuando N ~ 4. . 134

Problema 3.4 ................... 134

Dimensionamiento de muros

Problema 4.1

Problema 4.2

Problemas propuestos

5.1.Problemas del Método de Rankine

Problema 5.1.1

Problema 5.1.2

Problema 5.1.3

Problema 5.1.4

Problema 5.1.5

Problema 5.1.6

Problema 5.1.7 .

Problema 5.1.8

Problema 5.1.9 .

Problema 5.1.1 O.

Problema 5.1.11. .

Problema 5.1.12.

Problema 5.1.13 ..

Problema 5.1.14. .

5.2 Problemas del Método de Coulomb.

Problema 5.2.1

Problema 5.2.2 .

Problema 5.2.3

Problema 5.2.4

5.3. Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi ... .

Problema 5.3.1 .... .

Problema 5.3.2 .

Problema 5.3.3

Problema 5.3.4

Problema 5.3.5

Problema 5.3.6 .

Problema 5.3.7 .

.....

.....

.....

.....

.....


137

139

143

143

143

143

143

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147

147

147

147

Q 1mcyc

Problema 5.3.8 .......... .

5.4 Problemas de cuñas con bases curvas . .

Problema 5.4.1

Problema 5.4.2

Problema 5.4.3

Problema 5.4.4 .

147

147

147

147

148

148

5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas. 148

Problema 5.5.1 ..... 148

Problema 5.5.2

Problema 5.5.3

Problema 5.5.4

5.6 Problemas del efecto de la compactación del relleno. . . .

Problema 5.6.1 ..... Problema 5.6.2

Problema 5.6.3

Problema 5.6.4

5.7 Problemas con efecto de los sismos ..... Problema 5.7.1

Problema 5.7.2

Problema 5.7.3

Problema 5.7.4 . ....... . ..... 5.8 Problemas del efecto de la lluvia y el flujo de agua .

Problema 5.8.1 . .... Problema 5.8.2 . ........ Problema 5.8.3 .........

5.9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo .....

Problema 5.9.1

Problema 5.9.2

Problema 5.9.3

Problema 5.9.4

....... . ....

5.1 O Problemas de tablestacas ancladas ..

Problema 5.10.1 . .

Problema 5.10.2.

Problema 5.10.3 ..

5.11 Problemas de Ademes .

Problema 5.11.1.

148

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XI

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· ··. Prornema 5.11.2. .· Problema 5.11.3 ~ ·.

Solución a los problemas propuestos · ·

5.1. Problemas del Método de Rankine . . ,., •'.

Problema 5.1.2

Problema 5.1.3

Problema 5.1.4

Problema 5.1.5

Problema 5.1.6

Problema 5.1.7

Problema 5.·1.8

Problema 5.1. 9

Problema 5.1.1 O.

Problema 5.1.11

Problema 5.1.12

Problema 5.1.13 .. ..

Problema 5.1.14

5.2. Problemas del Método de Coulomb

Problema 5.2.2

Problema 5.2.3

Problema 5.2.4

5.3 Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi ...

Problema 5.3.2

Problema 5.3.3

Problema 5.3.4 .. Problema 5.3.5

Problema 5.3.6 • .. ·. Problema 5.3.7

Problema 5.3.8

5.4 Problemas de cuñas con bases curvas

Problema 5.4;1 · ·. ... . . Problema 5.4.2 . . . .

.. i 5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas;.

Problema 5.5.1 .. Problema 5.5.2 ; . Problema 5.5.3 ...

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158

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5.6. Problemas del ef~cto de, la. compactación del relleno . . 158

Problema 5.6. 1

Problema 5.6:.·2 '.:'''; . . 158

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Problénia 5.6.3 158

Problema 5.6.4 158

5.7 Problemas con efectb de ··" · • : •• ; ·.~ ':. :;· ': ¡.

.los sismos . . ~- ... •. • .. •

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5.8 Problemas del efecto de la lluviá y el flujo de agua ..

Problema 5.8.1

5. 9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo.

Problema 5.9.1

Problema 5.9.2 ..

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5.1 O Problemas de tablestacas ancladas ...

Problema 5.10.1

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· 5.11 Problemas de Ademes . .·

Problema 5.11.1

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·Bibliografía. . . • . . . . . . : .... : .•. : •"" •. · 161

··:Problemas básicos de empujes de suelOs sobre estructuras de soporte

. ''·" ~

: Método de· Rankine

El método de Rankine establece que ·en¡·un¿úrfasá 'de súelo, . con superficie superior horizontal y a partir de un estado de

c;'reposo ideal;. con un pécfueño movimiento del paramento

·r1Iso de un múro que la contienga se alcanza la condición de

equilibrio plástico para :dos· posibles estados de fallá inci-

piente, denominados activo y pasivo.

.Al aplicar la teoría de Mohr-Coulomb a estos dos estados se · :'óbtiene~ las ·fórm.ulas que sirven para calculár los empujes

que ejercen diferentes tipos de suelos sobre estructuras de

contención.

:'? .. ¡t;"

-.:-Hipótesis :

::v. Los estados plásticos; tanto activo como pasivo,· se desa-i-rrollan po( completo en toda la masa del suelo ·cuando el

':'~müro cedeY-·sedeforma lo suficiente paraprovocarlos, para

ello se requiere un ligero desplazamiento o un pe'queño giro

en torno a su base, en el sentido conveniente.

z

1mcyc

2.- La superficie del relleno es horizontal y el respaldo del muro es vertical y liso .

Cuando la superficie del relleno es un plano inclinado a un

ángulo p con la horizontal, debe admitirse que el muro es

rugoso con un coeficiente de fricción con el suelo tal que las presiones resultantes sobre el respaldo vertical resulten in

clinadas al mismo ángulo p .

Problema 1.1.1

Determine el diagrama de presiones activa y además obtenga la magnitud y posición de lafuerza de_ empuje activa, EAI que produce un relleno de arena limpia sobre la pared

· vertical lisa interna (paramento) de un muro que tiene 5.60 m de altura.

El peso volumétrico seco de la arena es de 1680 kg/m3, el

ángulo de fricción interna de 29°, y el nivel de aguas freáticas, N.A.F., es profundo. (Figura 1.1.1)

ARENA LIMPIA 'Ym = 1680 kg/m

3

c=O $= 29°

NAF profundo

Figura 1.1.1

~ .. :. PUNTO" 2 . . \ . -----.li..---_., ______ .p. ................................................... '.:~~

"'Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte

~ 1mcyc

Propósito:

Calcular el empuje de un relleno puramente friccionante por el método de Rankine. 26

Solución:

Para desarrollar el diagrama de presiones, de forma triangular, en los puntos 1 y 2 se determina la presión aplicada por la fórmula de Rankine:

crA = KAcrv = Ka y z =y z tan2 (45° -Yi\

En el punto 1:

En el punto 2:

crA2 = 1680x5.60xtan2 (45º-29º/2)

= 9 408 x tan2 (30.5 º)

= 9 408 X 0.347

cr Ai = 3 264.3 kg/m2

La fuerza EA se encuentra aplicada a un tercio de la altura:

d =5.60/3

= 1JlZ m (a partir de la base).

fA = Y2 Ka y H2

= 0.5 X 0.347 X 1 680 X 5.62

= -9...14.0 kg por metro de ancho.

También, puede determinarse el empuje considerando el área del diagrama de presiones:

EA = Yi X (O + 3 264.3) X 5.6

= -9...14.0 kg/m. l.

Figura 1.1.2 Paso a desnivel

5.60m

LOSA

Método de Rankine 1

La presión activa sobre el muro se obtiene multiplicando la presión efectiva vertical (peso efectivo del terreno por encima del punto considerado) por el coeficiente de empuje activo. Para dibujar el diagrama de presiones, por ser una envolvente lineal, sólo es necesario dos puntos que por facilidad son: el inicial, donde el peso del terreno ~

vale cero y el punto final. Por otra parte, el valor del empuje es igual al área de presiones.

Terzagui demostró que basta un pequeño movimiento, paralelo o giratorio de la pared del muro, mayor a una milésima parte de su altura para que se alcance la condición de equilibrio plástico, bien sea activo si es hacia fuera o pasivo si lo es hacia adentro.

1

Problema 1.1.2. 1

Determine el diagrama de presiones y el valor del empuje! del suelo, cuando el muro indicado en el Problema 1.1.1 anterior se usará para un paso a desnivel. (Figura 1.1.2) 1

Propósito:

Calcular el empuje de una arena sobre un muro en la condición de estado de reposo.

Solución:

PUNTO 1

\ \ \

\

\ \

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~¡ 2 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte\

¡

Método de Rankine

Solución:

Se aplicará la fórmula:

crA = Ko y z

Ko se obtiene de las tablas, que presentan frecuentemente los libros de texto.

Por otra parte, también se puede obtener por fórmulas, como la de Jaky siguiente:

= 1-sen ~

= 1- 0.48

= 0.52

En el punto 1 :

En el punto 2:

crA2 = 1 680x5.60x0.52

= 4 892 kg/m 2

La fuerza E se encuentra aplicada a un tercio de la altura

d 5.60

=--3

= 1.87 m (a partir de la base).

E = ~ Ko y H2

= 0.5 X 0.52x 1 680 X 5.62

= 13 698 kg por metro de ancho.

PUNTO 1

n 1mcyc

Se hicieron los cálculos en forma semejante al del problema anterior; solamente cambio el coeficiente de empuje que aquí fue el de reposo en lugar del activo.

Obsérvese que el valor de empuje del terreno se incrementó 1.50 veces en comparación con el del problema 1.1.1, en el cual el muro giraba libremente sin restringir su movimiento, como en este ejemplo.

Problema 1.1.3

Determine el diagrama de presión activa y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa, EA, que produce un relleno de arena sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 5.60 m de altura. El peso volumétrico seco y saturado de la arena es de 980 kg/m3 y de 1680 kg/m3 respectivamente, el ángulo de fricción interna de 29 °. El nivel de aguas freáticas es profundo. El talud del relleno es de 20°.

Propósito:

Determinar el empuje activo por el método de Rankine cuando el talud superior esta inclinado.

Solución:

Para generar el diagrama de presiones, en los puntos 1 y 2 se aplicarán las fórmulas: crA = KA crv cos p

cos P - (cos2 p - cos2 ~)X

cos p + (cos2 p - cos2 ~)X

~=20º ·----------

ARENA LIMPIA Ym = 1 680 kg/m3

Figura 1 .1 .3

, Yd = 980 kg/m3

\\\ 5.60m

_\ e= O --\\ = 29°

.._ ____ \~_\_J~AF profundo \

roblemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 3

~ 1mcyc

[0.94-(0.942 -0.875 2)]){

= [0.94 + (0.942 -0.875 2 )]X

= 0.46

En el punto 1: _

()Al =·0

En el punto 2 :

En el caso que el suelo se mantuviera seco:

crA = KA y z cos p

crA2 ':= 0.46 X 980 X 5.60x 0.94

crA2 • = 2. 373.0,1 kg/m2

En el caso que el suelo se saturara completamente: ·

CJA2 , = 0.46 X 1680 ~ 5.60 X 0.94

dA2 = 4 068.02 kg/Íll2

El empuje activo, EA, se encuentra aplicado a un tercio de la altura

d 5.60

3

= 1.87 m (a partir de la base).

Se determinara considerando el área del diagrama de pre-· siones:

Para suelo completamente seco:

fA = Y2 X 2 373.01 X 5.6

= 6 644.43 kg/m.I.

Para suelo completamente saturado:

Figura 1.1.4

5.6m

4

= Y2 X 4068.02 X 5.6

= 11 390.46 kg/m.I.

Método de Rankine

En este problema el valor del coeficiente activo Üe:Ranki

ne pcira el casq,d~- un_ té'.11,ud exteri9r :!nclin~do,se o~tiene . por medio de una fórmula sencilla.

. ~ . •.

Problema i.1.4

-",l

Con los mismos datos del Problema 1.1.1: a) calcule la fuer- 1

za de empuje del terreno sobre el muro, si el ~.A.F. se en-1 cuentra localizado superficialmente en ambos' lados del . muro. Además b) calcule la fuerza cuando se abate el nivel j

exterior del agua por efecto de un bombeo. (Fig~ra 1.1.4) \:ll

Propósito: ,,

Analizar la influencia del agua en los empujes. • • ~ •. "'! . '. ;

El empuje total del relleno que actúa sobre el muro es igual a la suma del empuje que producen -las presion~s transmitidas por los granos del suelo mas el empuje ___ que p,rqducen las moléculas de agua sobre el respaldo.

La presión activa o pasiva en -Ún punt~; es igÚal al producto ;

de la presión vertical efectiva por el coeficierité·co~respon~ !1

diente, activo o pasivo. La presión vertical efectiva debe de- il terminarse adecuadamente. Si el.suelo esta parcialmente su- ' mergido debe considerir~e-el p~~o ~oium

1

etrico's~mergido, y' m, en la parte sumergida; y en la zona situada por arriba del nivel piezométrico el pe~o volumétric;p satura~o o seco, considerando su respectivo'grado de h~m~cfad.;_ a) En este problemacambiáel'pesovoluméfritó~a c:·onside- ·

rar en la fórmula; aquí es el sumergido, y' m, por estar el relleno bajo el NAF. Por otro lado, se debe analizar el efecto de

RELLENO DE J\RENA LIMPIA. C=O . <1> ~ 29°--- . ~ (KA= Ó~347)

~ 3 --'-Ym =~-l680~kg/m . .

__ a)N.A.F.sµperficial eJ\ ambo~ lados. b} N-A~~!-e#erior en er~ivel ~e la base y N.A.R interior superficial. ;

. '-~- ... ~, . . '..... : ~ ;· .. ···:~·., .. ,;., ~ ... ~· .:·~'"- .. , ... ···-·"". '·" ~: "'" . ..-'·

Problemas básicosde empUj~s de suelo; sobre estiucluras de sopórte:I

Método de Rankine

las presiones del agua que actúan sobre ambos lados del

muro y que en este caso particular se equilibran.

Solución:

Fórmulas:

E

E

E

= 0.5 X (KA X y' m X H2) + 0.5 X y w X H2

- 0.5 X y w X H2

= 0.5 X 0.347 X (1680 - 1 000) X 5.602

= 3700 kg por metro lineal de muro

b) Si se bombea el agua en el lado de afuera hasta que alcance el nivel de piso, entonces el efecto del agua que presiona

sobre el paramento interior del muro no se equilibra con el del exterior y el empuje ahora valdrá:

E = 0.5 X (KA Y' m H2) + 0.5 X Y w X H2

E = 3 700 + 1 5 680

E = 19 380 kg (por metro lineal de muro).

Comentario: Se puede observar que el empuje se incre

mentó notablemente pues el agua ejerce un fuerte efecto. Así, en estructuras, albercas, almacenamientos subterrá

neos y sótanos con NAF elevado, muelles de reparaciones a flote, entre otros, el caso mas desfavorable del em

puje se presentará cuando se vacie el agua que esta situada en la oarte exterior del muro y relleno.

ARENA C=O <t>=30°

o 1mcyc

Problema 1.1.5

Determine el empuje activo, EM de un relleno de arena limpia con superficie horizontal que actúa sobre el paramento vertical liso de un muro de mampostería de 6 m de altura. El N.A.F. esta profundo y el ángulo de fricción interna de la

arena es de 36°. y = 1.9 ton/m3•

Solución:

Se aplicará la formula:

= 0.5 X KA X y X H2

= tan2(45° - 36°/2);

KA = 0.26

= 0.5 X 0.26 X 1.9 X 62 ¡

EA = 8.89 ton (por metró lineal de muro)

Problema 1.1.6

Calcule los empujes activo y pasivo por el método de Rankine de un muro de 11 metros de altura, desplantado a 2 metros de profundidad, como se muestra en la figura. El relleno en ambos lados es una arena limpia con un ángulo de fricción interna de 30°, cohesión nula y peso volumétrico de 1.9 ton/m3

• El N.A.F. se encuentra profundo. (Figura 1.1.6)

Propósito.·

Determinar el empuje por el método de Rankine en un muro con relleno friccionante y respaldo inclinado utilizando un artificio.

ZONA QUE SE CONSIDERA PARTE DEL MUR

-·--

Figura 1.1.6

'Ym = 1.90 ton/m3 -------..-·---llm

H'

'= 11.95 m

Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 5

\) 1mcyc

Solución:

Para aplicar el método de Rankine se utilizará el siguiente esquema: considerara que la zona del relleno comprendida

en el triángulo a, by c forma parte del muro (tal como se indica en la figura pequeña). Una vez hecho esto podrá aplicar las fórmulas correspondientes.

Fórmulas:

Caso activo para empuje horizontal:

EAH = * y H2 Ka cos (3;

Para empuje vertical:

EAv = * y H2 Ka sen (3;

cos f3 - ~ cos2 f3 - cos2 $

cos f3 + ~ cos2 f3 - cos2 $

= 0.44

Caso pasivo para empuje horizontal:

EPH = * y H2 Kp cos f3

Para empuje vertical:

EPH = * y H2 KP sen f3

cos f3 + ~ cos2 f3 - cos2 $ =

cos f3 - ~ cos2 f3 - cos2 $

=2.27

EAH = 0.5 X 1.90X11.952 X 0.44 X COS 20°

Figura 1.1.7.1

10.30m

6

Método de Rankine

== .5..6Jl2 ton por metro ancho.

EAV = 0.5 X 1.90 X 11.952 X 0.44 X sen 20°

= .2ila.42 ton/m.I.

EPH = 0.5 X 1.90 X 22 X 2.27 X COS 20°

= .8..J1 ton/m. l.

Para la resolución de este problema se utilizó el artificio de considerar una parte del relleno adyacente como si formara parte del muro, ya que para aplicar Rankine el respaldo del muro debe ser vertical. Esta forma de proceder da un resultado suficientemente aproximado.

Problema 1.1.7 Determine el diagrama de presiones activas y obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa, EAI que produce un relleno de arcilla sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 10.30 m de altura. El peso vovolumétrico de la arcilla es de 1900 kg/m3

, la cohesión de 1.7 ton/m2 y el ángulo de fricción interna es nulo. El nivel de aguas freáticas está profundo. (Figura 1.1.7.1)

Propósito:

Calcular el empuje de un relleno puramente cohesivo por el método de Rankine.

Solución:

En los puntos 1 y 2 se aplica la fórmula:

3.40 ton/m2

PUNTO 1

ARCILLA 'Ym = 1900 kg/m3

e = l. 7 ton/m2

 = oº NAF profundo

Método de Rankine

Para el cálculo de la profundidad de agrietamiento:

2c z == -

y

En el punto 1: El esfuerzo es negativo lo que indica que el re

lleno de arcilla esta trabajando a tensión

.a:Al == O - 2 x 1 . 7 == :....3..A.ll ton/m2

En el punto 2:

.O:Al == 1 . 90 X 10.30 - 2 X 1 .7

crAl == 16.17 ton/m2

La profundidad del agrietamiento es:_

2 X 1.7 z =~

z == 1.79 m

El diagrama de esfuerzos se presenta en la figura 1.7.1 anterior.

d (1030 -1.79)

= 3

== 2.84 i

(1030-1.79)16.1 7

2

== .6..8.Jlil ton/m.I.

El cálculo, por el método de Rankine de muros con relle

nos puramente cohesivos se realiza en forma similar al de

los rellenos granulares, en el desarrollo de esta solución

sólo cambian las fórmulas utilizadas.

En estos problemas frecuentemente se obtienen en la

~ 1mcyc

gativos correspondientes a esfuerzos de tensión. Estos es

fuerzos en general se desprecian, pues se considera que

el suelo prácticamente no trabaja a tensión.

Observaciones realizadas tanto en el laboratorio como

en el campo en rellenos con suelos cohesivos señalan que los empujes obtenidos por el método de Rankine di

fieren de los reales del lado de la inseguridad .

Problema 1.1.8

Determine el diagrama de presiones activas y obtenga la magnitud y posición de la fuerza d~ empuje activa, EA, que produce un relleno de arena limosa sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 4.50 m de altura. El peso volumétrico de la arena limosa es de 1600 kg/m3

, la cohesión de 1.5 ton/m2 y el ángulo de fricción interna de 19º. Con un nivel de aguas freáticas profundo. (figura 1.1.8.1)

Propósito.·

Calcular el empuje de un relleno con cohesión y fricción por el método de Rankine.

Solución:

En los puntos 1 y 2 se aplica la fórmula:

=a, tan' ( 45º -~)-2c tan' ( 45º -~)

( 19º) == tan2 45º -2

zona superior de los diagramas de presiones valores ne aot-

PUNTO 1

t

4.SOm


ARENA LIMOSA Ym = 1600 kg/m3

e = 1.5 ton/m2

~= 19° NAF profundo

Figura 1.1.8.1

7

o 1mcyc

Para el cálculo de la profundidad de agrietamiento:

2cJK: z =---

y

En el punto 1: El esfuerzo obtenido es negativ9 lo que nos indica que esta trabajando a tensión.

o:Al = o - 2 x 1.5 x o.51 112

= - 2.14 kg/ml

En el punto 2.

O:az = 1.60 X 4.50 X 0.51 - 2 X 1.5 X 0.51 1'2

= + 1.53 kg/ml

La profundidad que alcanza el agrietamiento vale:

Z = 2 X 1.5 X (0.51 112 X 1.90)

= 1...13..m

Si se considera que el suelo prácticamente no trabaja a tensión o que esta es muy pequeña, por lo que se acostumbra despreciar este efecto.

La fuerza fase encuentra aplicada a un tercio de la altura del diagrama de esfuerzos a compresión.

EA = (4.50 - 1.13) X 1.53/2

= 2.57 ton/m.I.

d = (4.50 -1.13)/3

d = 1.12 m (a partir de la base).

Método de Rankine

El cálculo por el método de Rankine de muros con rellenos que presentan cohesión y fricción se hace en forma similar al de los rellenos granulares; sólo que en el desarrollo de la solución cambian las fórmulas utilizadas.

En estos problemas frecuentemente se obtienen en la zona superior valores negativos correspondientes a esfuerzos de tensión. Estos esfuerzos se desprecian, pues se considera que el suelo no trabaja a tensión.

Problema 1.1.9

Dibuje el diagrama de presiones activa que produce una arena sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 4.00 m de altura. La sobrecarga es de 3 ton/m2

• El peso volumétrico de la masa es de 1650 kg/m3

, la cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 35 °. Para los casos siguientes:

O Con un NAF, profundo, y

O Con un NAF, superficial.

Propósito:

Calcular por el método de Rankine el efecto de una carga externa uniformemente repartida en un relleno puramente friccionante; cuando el nivel de las aguas freáticas está alto y cuando está profundo. (Figura 1.1.9.1)

Se aplica la fórmula:

Presión total = Presión efectiva del terreno + Presión del agua + Presión horizontal causada por la sobrecarga.

Solución:

Las fórmulas aplicables para cada parte son las utilizadas an

teriormente para los suelos puramente friccionantes y para

SOBRE CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

Figura 1.1.9.1 PUNTOl~ q

4.00m

8

--PUNT02

ARENA 'Ym = 1650 k~m3

e= O ton/m <t> = 35° q =3 ton/m2

Método de Rankine

los casos en el que actúa el agua estáticamente, sólo queda

ría utilizar la correspondiente a la de la sobrecarga para suelos friccionantes:

En este caso se considera que la arena esta completamente saturada de agua el lugar de seca lo que da una condición mas desfavorable.

Para la sobrecarga se aplica:

crq = KA q

(Obsérvese que el valor del esfuerzo no depende de la profundidad, solamente del ángulo·de fricción interna y de la intensidad de la sobrecarga).

q = Carga uniformemente repartida.

= tan+s 0 -t} = 0.27

= 0.27 X 3

= .o.Jll ton/m2 constante en toda la profundidad.

Caso a) El NAF es profundo:

Presión debida al relleno:

En el punto 1,

=0

En el punto 2,

= 0.27 X 1.65 X 4

= 1 . 782 ton/m2

Presión debida a la sobrecarga:

!I.a; = 0.81 ton/ml...&

o 1mcyc

La presión debida al agua es nula, ya que el NAF esta profundo. (Figura 1.1.9.2)

El efecto sobre un muro de una sobrecarga colocada enci

de un relleno puramente friccionante es una presión horizontal constante, en toda la profundidad, que vale

cr<l = KA q.

Caso b) El NAF esta superficial.


En el punto 1,

=0

En el punto 2,

= KAy, H

= 0.27 X (1.65-1) X 4

= 0.702 ton/m2•

El peso volumetrico considerado es el sumergido,

y = Ym -1


Relleno + Sobrecarga = Presión total Figura 1.1.9.2 Diagrama de presiones. 0.81 0.81

=

+- t.78 ___. +- 0.81. ._ 2.59 ton/m2 ___.

o Método de Rankine

1mcyc

Figura 1.1.9.3 Diagrama de presiones: Relleno + Sobrecarga + Agua = Presión total

~0.70_.,

= 0.81 ton/m2 •

Presión debida al agua:

En el punto 1,

En el punto 2,

= Yw H

=1x4

= 4 ton/m2

En este ejemplo se observa que la profundidad del NAF

no influye en la magnitud de la presión horizontal en el

muro causada por la sobrecarga, aunque se incrementa

notablemente la presión total.

Problema 1.1.10

Dibuje el diagrama de presiones activas que produce un limo arenoso sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 5.00 m de altura. La sobrecarga es de 4 ton/m2

• El peso volumétrico de la masa es de 1850 kg/m3, la

cohesión es de 2 ton/m2 y el ángulo de fricción interna de 15 °. Para los casos siguientes:

10

a Cuando el NAF I es profundo.

O Cuando el NAF, es superficial.

0.81 0.81

+

.-0.81 + ~4.oo--. .----5.51 ton/m2 _.,

Propósito:

Calcular el efecto de una carga externa uniformemente repartida por el método de Rankine en un relleno con cohesión y fricción, cuando el nivel de las aguas freaticas esta alto y cuando esta profundo. (Figura 1. 1. 1O.1)

Presión total = Presión efectiva del terreno + Presión

del agua + Presión de la sobrecarga

La fórmula para calcular el efecto de la sobrecarga en estos

suelos es:

Donde:

q =Carga uniformemente repartida.

= tan' ( 45º -~)

= 0.59

crq =0.59 X 4

= 2.36 ton/m2

Obsérvese que el empuje causado por la sobrecarga, crq, es

constante en toda la profundidad y no es función de esta; de

pende solamente del ángulo de fricción interna y de la inten

sidad de la sobrecarga.

Caso a) El NAF esta profundo:

Presión debida al rellena:


Método de Rankine

5.00m

En el punto 1,

= KA y H - 2 e KA 112

= 0 - 2 X 2 X 0.77

= - 3.08 ton/m2

En el punto 2,

= 0.59 X 1.85 X 5 - 3.08

= + 2.38 ton/m2


Relleno +

-3.08

._2.38•

o 1mcyc

Figura 1. l.10.1 SOBRE CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

PUNTO 1 ! ! ! ! ! q

PUNT02

LIMO ARENOSO 'Ym = 1850 k~m3

c=2ton/m $= 15° q =4 ton/m2

= 2.36 ton/m2 •

La presión debida al agua es nula, pues el NAF es profundo. El diagrama de presiones resultantes se muestra en la figura 1.10.1.2.

Caso b) Cuando el NAF está superficial.


En el punto 1:

= - 3.08

Sobrecarga = Presión total Figura 1.10.1.2.

+2.36 -0.72

=

._2.36• .__4,74 ton/m2 ---+-


() 1mcyc

Figura 1.1.10.3. Diagrama de presiones

En el punto 2:

= 0.59 X (1.85- 1) X 5 - 3.08

crA = -0.57ton/m2•

Relleno + -3.08

-0.57

El peso volumétrico considerado es el sumergido, y'.


crq = 2.36 ton/m2 •

Presión debida al agua:

En el punto 1,

(JA = 0

En el punto 2,

=1x5

= 5 ton/m2

+

El diagrama de presiones resultantes se muestra en la figura 1.1.10.3.

Problema 1.1.11

Dibuje el diagrama de presiones activas que produce la arcilla sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 6.00 m de altura. Una sobrecarga de 2.50 ton/m2

• El peso volumétrico de la masa es de 1900 kg/m3

, la cohesión de 2.5 ton/m2 y el ángulo de fricción interna es nulo. El nivel de aguas freáticas está profundo.

Método de Rankine

Sobrecarga + Agua Presión total

+2.36 -0.72

+ =

+-2.36• +--s.oo--+ +- 6.79 ton/m2 -+

Propósito:

Calcular el efecto de una carga externa uniformemente repartida por el método de Rankine en un relleno puramente cohesivo.

Presión total = Presión efectiva del terreno + Presión del agua + Presión de la sobrecarga

La fórmula aplicable para calcular el efecto de la sobrecarga¡\ en estos estos suelos es:

=q

= Presión horizontal sobre el muro debida a la CJq

sobrecarga. 1

Obsérvese que en este caso el coeficiente de empuje horizontal K es uno y la presión no depende de la profundidad,¡ solamente de la intensidad de la sobrecarga uniformemente repartida, q.

= 1x 2.5

= 2.50 ton/m2, l l

Presión horizontal constante en toda la profundidad.(Figura 1

1.1.11.1) 1

1

Presión debida al relleno :

En el punto 1,

=yH-2c

= 0 - 2 X 2.5

= - 5.00 ton/m 2

En el punto 2,

CJA = 1.90 X 5 - 5.00

12 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte

Método de Rankine o 1mcyc

SOBRE CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA Figura 1.1.11.1

5.00m

UNT02

ARCILLA 3 'Ym = 1900 kg/m

2 e= 2.5 ton/m <!> = oº

2 q = 3.5 ton/m

Relleno + Sobrecarga Presión total

-5.00 +2.50 -2.50

=

+-2.5o•

= + 4.50 ton/m2


= 2.50 ton/m2 •

La presión debida al agua es nula, ya que el NAF está profundo. (Figura 1.1.11.2)

El efecto de una sobrecarga en un relleno puramente

cohesivo es una presión constante en toda la profundidad y vale sq = q, por lo que es considerable su efecto sobre

el muro ya que para este caso K = 1.


+-1.00 ton/m2 •

Problema 1.1.12

Figura 1.1.11.2 Diagrama de presiones.

Determine la magnitud de la presión activa sobre un muro de 1 O m de altura que ejerce un relleno de arena sobre la pared lisa interna de un muro en un punto situado a 6.80 m de profundidad a partir de la corona. La arena limpia tiene

un peso volumétrico seco deyd = 820 kg/ m3, peso volumé

trico totalmente saturado Ym = 1 980 kg/m3 y un ángulo de

fricción interna~ = 35 °. Las condiciones a la que estará sujeto el muro son:

O Caso a) El N.A.F. esta profundo.

13

\) 1mcyc

O Caso b) El N.A.F. se encuentra a dos metros de profundidad abajo de la corona, en ambos lados del muro.

O Caso c) El N.A.F. se situa a dos metros de prQfundidad abajo de la corona, únicamente del lado del relleno. En el otro lado este nivel está por abajo del desplante del muro.

Propósito:

Determinar la variación de la presión activa en un punto de contacto del muro con el relleno para diferentes posiciones del NAF.

Caso a)

N.A.F. profundo.

crA = yd x Z x KA

( 35ºJ KA = tan2 45º --

2-

= 0.27

crA = 820 X 6.80 X 0.27

qA = 1 505.5 kg/m2

Caso b)

N.A.F. a dos metros de profundidad de la corona en ambos lados

Nota: Cuando la arena se encuentre bajo el NAF, se debe considerar el peso sumergido al aplicar la formula correspondiente.

El peso sumergido es:

y'm = Ym - 1000

= 1980-1000

= 980 kg/m3

El esfuerzo efectivo vertical total en la profundidad considerada es igual a la suma de los pesos de la parte seca superior más los pesos correspondientes a la parte sumergida inferior.

Parte seca (O - 2 m de profundidad)

= 2 X 820

= 1 640 kg/m2

Parte sumergida (2 - 6.80 m)

14

= 4.80 X 980

= 4 704 kg/m2

= 6344 kg/m2

Método de Rankine

La presión sobre el muro es

= 0.27 X 6 344 :

.O:A = -1 712.9 kg/m2

Caso c)

El N.A.F. a dos metros de profundidad abajo de la corona solo del lado del relleno. El empuje total será igual al empuje del suelo en condición sumergida mas el empuje del agua. Se utiliza la Ley de las Presiones de Terzaghi:

crTOTAL = cr, EFECTIVA + U

= 1 712.9 + 4 800

.O:A = 6 512.9 kg/m2

El efecto de la posición del nivel freático en la presión total es considerable. Obsérvese que a mayor profundidad del nivel de agua es apreciablemente menor el empuje total sobre el muro, con respecto al caso del NAF superficial.

Problema 1.1.13. Un muro con paramento vertical liso en su interior sostiene el empuje activo de diferentes terrenos. Calcule el empuje por metro lineal de muro en los casos siguientes:

I.- RELLENO DE ARENA:

a) D = profundo. (Des la profundidad del N.A.F.)

b) D = 1.00 m

Cohesión c = O ;

Ángulo de fricción interna~ = 30°

II.- RELLENO DE ARCILLA:

a) D = profundo.

b) D = 1.00 m

Cohesión e = 2 ton/m2

Ángulo de fricción interna ~ = O

III.- RELLENO DE LIMO ARENOSO:

a) D = profundo.

b) D = 1.00 m

Cohesión e = 2 ton/m2 ;


Método de Rankine \)

1mcyc

SOBRECARGA q = 2 ton/m2

RELLENO

"{m 1.6 ton/m3

Ángulo de fricción interna <!> = 30°

Propósito:

Verificar la variación de los empujes por el método de Rankine cuando cambia el tipo de terreno y la posición de NAF. (Figura 1. 1.13. 1)

Caso 1.a. Relleno de arena con NAF profundo.

Se utilizarán las fórmulas:

crA = KAyh

Como en este problema se considera que la parte superior se encuentra seca, se aplicara en los cálculos el peso volumé

trico seco, yd.

crq = KA q , Donde q es la sobrecarga.

Suelo + Sobrecarga =

o 2 X 0.33

~ 3.33

2.50m

0.33 X 1.6 X 5 = 2.64 2 X 0.33 = 0.66


Figura 1.1.13.1

N.A.F.

5m

Para calcular la posición de la resultante se determinaran las áreas particulares de los diagramas y se multiplicaran por su

brazo de palanca correspondiente, para después dividir la suma de los momentos entre el valor de la resultante. (Figura 1.1.13.2)

Elemento Área Distancia Momento (ton) (m) (ton-m)·

Suelo 6.67 5/3 = 1.67 11.13

Sobrecarga 0.33 X 2.0 X 5 ... 3.33 512 - 2.50 8.25

EA "' 10.00 ton M-19.38 ton-m

d - M/EA d .. 19.38/10 d = 19~ rn

Caso 1 b. Profundidad del NAF a un metro.

Presión total

0.66

10.0 ton

1.94m

Figura 1.1.13 .. 2 Diagrama de presiones para el caso 1 a.

2.64 + 0.66 = 3.30 ton/m2

15

o 1mcyc

Se eligen para el análisis tres puntos del punto 2 y se calcu

lan las presiones por las fórmulas (Figura 1.1.13.c):

crs = KA X (y m hl + Y, m h2 ) Presión del suelo.

crq =KA X q Presión de la sobrecarga.

crw = Yw X h. Presión del agua.

Punto Suelo Sobrecarga Agua Total

(ton/m2) (ton/m2

) (ton/m2) (ton/m2

)

1 o 0.33 X 2 - 0.66 o 0.66

2 0.33x1 .6 x1 = 0.53 0.67 o 1.20

3 0.33(1.6 + 0.6 X 4) - 1.33 0.67 4.00 6.00

Para el cálculo del empuje total, E y de su posición se puede

subdividir el diagrama en varias áreas menores y calcular el

empuje, Ei, correspondiente a cada una y a su respectiva po

sición, di. Al tomar momentos con respecto a la base se tiene

que:

= SUMA DE LAS ÁREAS

~ (~ X dn) POSICIÓN, d, igual a L.J E

T

= 14.85 ton por unidad de ancho ;

= 1.77 m

11.a. Relleno de arcilla, con N.A.F. profundo.

Presión total = Presión del suelo + Presión de la sobre

carga.

Se considerará el suelo completamente saturado por las llu

vias.

Método de Rankine

crs = (ymx z) - 2 e Presión activa del

suelo cohesivo.

crq =KA X q (KA = 1) Presión de

la sobrecarga.

Punto Suelo Sobrecarga Total

(ton/m2) (ton/m2

) (ton/m2)

-2 X 2 = - 4.00 2 X 1 = 2.00 - 2.00 tensión

2 1 .6 X 5 - 2 X 2 = 4 2.00 + 6.00 com(:!resión

Nota: Como el suelo prácticamente no trabaja a tensión se

desprecia el esfuerzo presente en la zona superior.

La profundidad del agrietamiento, z, se puede obtener por

una simple regla de tres

2.00 6.00 z = (H-z) por lo que

H z =-

2

Profundidad del agrietamiento

z = 1.25 m

E =ÁREA

125 = 6x-

2

Posición d, igual a un tercio de (H - z)

E

d

= 3.75 ton por unidad de ancho:

= 1.25 m

11.b. Relleno de arcilla con nivel piezométrico alto.

Suelo+ Sobrecarga + Agua = Presión total

16

Figura 1.1.13.c Diagrama de presiones para el caso 1 b.

1.33 ton/m2 0.67

-1

2

3

4.00 0.67 + 1.33 + 4.00 + 6.00 ton/m2


Método de Rankine o 1mcyc

Suelo -4.00

+ Sobrecarga +2.00

Presión total -2.00

tensión z

(+)

zona de tensión que se desprecia

(+)

diagrama de presiones finales

Diagrama de presiones para el caso 11.a.

+ 4.0 ton/m2 +2.00 + 6.00 + 6.00

Presión total = Presión del suelo + Presión del agua + Presión de la sobrecarga.

Se eligen para el análisis tres puntos y se calculan las presio

nes por las fórmulas:

Punto

2

3

= (ym z) - 2 e Presión activa del suelo.

= KA q (KA= 1) Presión de la sobrecarga.

= Yw h. Presión del agua.

Suelo Sobre-

Agua Total (ton/m2

) carga

(ton/m2) (ton/m2

) (ton/m2

)

-4.0 +2.0 o -2.00

1.6 X 1 - 4.0 = - 2.4 +2.0 o -0.40

1.6 X 5 - 2 X 2 = 4.0 +2.0 5.0 + 11.00

Suelo -4.0

+ Sobrecarga + Agua + 2.0 o

tensión

zona de ( +}

+4 ton/m2 +2.00 + 5.00


En el punto 2, el diagrama de presiones del suelo cambia de

pendiente al variar el peso volumétrico totalmente saturado

a un peso volumétrico sumergido.

La profundidad del agrietamiento se obtiene con base en

cálculos o gráficamente, para este caso la profundidad del

agrietamiento, z, fue de:

z = 1.25 m

El empuje E igual al área a compresión igual a:

E

d

3.75 = 11 x-2

= 20.63 ton por m.I.

= 1.25 m

111.a. Relleno de limo arenoso, con N.A.F profundo.

Presión total = Presión del suelo + Presión de la sobre

carga.

= Total - 2.0

+

+ 11.00

Diagrama de presiones para el caso 11.b.

17


1mcyc

Suelo -2.30

+ Sobrecarga = Presión total +0.66

Diagrama de presiones para el caso 111.a.

+ 0.34 ton/m2

Se eligen para el análisis dos puntos y se calculan las presiones correspondientes por las fórmulas:

Punto Suelo

- 2 X 2 X 0.57 = - 2.30

2 0.33x X1 .6 x 5 - 2.30 = + 1.70

Empuje activo del suelo.

Empuje de la sobrecarga.

Sobrecarga Total

(ton/m2)

0.33 X 2.0 = + 0.66 - 1.64 tensión

+ 0.66 + 1.00 com~.

Notas: Como el suelo prácticamente no trabaja a tensión se desprecia este esfuerzo presente en la zona superior.

La profundidad del agrietamiento, Z, se puede obtener por una simple regla de tres.

(+)

- 1.64

l zona de

z tensión que se desprecia

( +).

+0.66 + 1.00

0.64 1.00 Z = (H-z) por lo que

z = 0.562 H


z =2.81 m

E =ÁREA

2.19 = 1x-

2

Posición d igual a un tercio de (H .. z)

diagrama de presiones finales

+ 1.00

E = 1.1 ton por unidad de ancho;

d = 0.73 m

111.b. Relleno de limo-arenoso, con N.A.F. superficial.

Presión total = Presión del suelo + Presión de la sobrecarga + Presión del agua.

Suelo + -2.30

Sobrecarga + Agua

+0.66

= Total

18

Diagrama de presiones para el caso 111.b.

- 0.98

1

(+)

3

+0.66

1.0m 1.91

+4.00 +3.68


Método de Rankine

Empuje activo del suelo.

Empuje de la sobrecarga.

Punto Suelo Sobre-carga

-2.30 2 X 0.33 - + 0.66

2 1.6 X 1 X 0.33 • 2.30 - • 1.77 + 0.66

3 0.53 + 0.6 X 4 X 0.33 • 2.3 - -0.96 + 0.66


z E

= 1.91 m

= ÁREA DE PRESIONES

3.09 = 3.68 x2

Posición d, igual a un tercio de 3.09 m

Empuje del agua

Agua Total

ton/m2

o - 1.64

o -1.11

+4 + 3.68

E = 5.69 ton por unidad de ancho;

d = 1.03 m

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO: Para cada tipo de suelo se descompone la presión total en: presión debida al empuje horizontal efectivo del suelo, mas la presión de las sobrecargas, mas la presión del agua. Para cada una de estas presiones, dependiendo del tipo de suelo, se usan las fórmulas de los empujes con los pesos volumétricos correspondientes. Se dibujan las presiones debidas a cada una de estas acciones y finalmente se integran en el diagrama final. El empuje total se puede obtener con el área de las presiones y la posición del empuje aplicando el teorema de Varignon, que dice que el momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes.

Figura 1.1.14.a

1.smt 4m

3m


o 1mcyc

Problema 1.1.14.

Un muro con paramento interior liso sostiene el empuje activo de diferentes terrenos, como se muestra en la figura 1.1.14.a Dibuje los diagramas de presiones, utilizando el criterio de Rankine, en los siguientes casos:

Caso a)

Estrato A:

Arena limpia: f = 30°; c = O

Peso volumétrico seco:

= 1.1 ton/m3•

= 1.9 ton/m3

Fórmulas aplicables

crq = KA x q

Estrato B:

Arcilla:~ = 0°; c = 1.5 ton/m2


yd = 1.05ton/m3•

Ym = 1.8 ton/m3


crq = q

Caso b)

Estrato A: Arcilla

Estrato B: Arena limpia

Caso c)

SOBRECARGA

Posición del N .A.F.

ESTRATO A

ESTRATOB

19

o 1mcyc

· Estrato A:

Arena limosa:~ = 20º; c = 1.5 ton/m2


= 0.90 ton/m3;

= 1.7 ton/m3


Estrato B: Arena limpia.

Caso d)

Estrato A:

Limo:~ = 0°; c = 1.5 ton/m2

Peso volumétrico seco

y d = 0.80 ton/m3;

Ym = 1.6 ton/m3


crq = q

Estrato B: Arena limosa

Donde:

cr A = Presión activa del suelo.

crq = Presión sobre el muro debido a la sobrecarga q.

crw = Presión debida al agua

crv = Presión vertical del suelo sobre el punto con-siderado.

Propósito:

Calcular y dibujar el diagrama de presiones de un muro que soporta dos estratos de diferentes suelos, utilizando el criterio de Rankine.

En este caso, en el cálculo de los pesos de la arena se despreciara la saturación por el efecto mínimo de la capilaridad; arriba del NAF se considerara el peso volumétrico seco. En cambio, en los suelos con cohesión se tomará en cuenta el efecto de capilaridad que es apr~ciable; como consecuencia para este caso se considerara el peso volumétrico del suelo completamente saturado,ym, (en caso necesario se puede calcular la altura capilar). Para el suelo sumergido se

20

Método de Rankine

considerara, y'm .. En todo caso deberán considerarse los pesos volumétricos reales que causen el mayor empuje.

Caso a) Arena y arcilla.

Solución:

En el método de Rankine conviene trabajar sólo con los puntos que son indispensables para el análisis en general, estos son:

O Principio y final 2 puntos

O Cambio de estrato 2 puntos (uno para el superior y otro para el inferior)

O Posición del N.A.F. 1 punto

Para este ejemplo analizaremos cinco puntos, tal como se indica en la anterior Figura 1.1.14.a .

Cálculo de las presiones activas según Rankine gara el Caso a

Estrato Punto Suelo Sobrecarga Agua Total

ton/m 2

Arena o 0.33 X 1.5 - 0.5 o +o.so Arena 2 0.33 X 1.5 X 1.9 - 0.95 0.5 o + 1.45

Arena 3 0.33(1.5 X 1.9 + 2.5 X 0.9) 0.5 2.5 + 4.70 - 1.70

Arcilla 4 (1.5 X 1.9 + 2.5 X .9) - 2 X 1.5 2.5 + 6.10 1.5 - 2.1

Arcilla 5 (1.5 X 1.9 + 2.5 X .9 1.5 5.5 + 11.50 + 3x.8l- 2xl.5 - 4.5

Caso b) Arcilla y arena.

Cálculo de las presiones activas según Rankine ~ara el Caso b


ton/m 2

Arcilla -2 X 1.5 - - 3.0 + 1.5 o -1.50

Arcilla 2 1.5 X 1.8 - 2 X 1.5 - - 0.30 + 1.5 o + 1.20

Arcilla 3 (1.5 X 1.8 + 2.5 X 0.8) - 3 + 1.5 + 2.5 + 5.70 - + 1.70

Arena 4 0.33 (1.5 X 1.8 + 2.5 X 0.8) + 0.5 + 2.5 + 4.55 - + 1.55

Arena 5 0.33 (1.5 X 1.8 + 2.5 X 0.8 + 0.5 + 5.5 + 8.44 + 3 X 0.9) - + 2.44

Nota:

El empuje debido a la sobrecarga q en el estrato de arcilla puede ser cuantioso, según el criterio de Rankine, ya que el coeficiente K = 1.

El diagrama de presiones en la figura siguiente, muestra como se desprecian los esfuerzos de tensión calculados en el diagrama final. (Figura 1.1.14.c)


Método de Rankine

SUELO + o

SUELO + -3.00

SOBRECARGA + AGUA = PRESIÓN ACTIVA TOTAL +0.5 +0.5

+ 1.50

+ 1.50

SOBRECARGA+ AGUA PRESIÓN ACTIVA TOTAL + 1.50 - 1.50

SUELO + SOBRECARGA +AGUA = PRESIÓN ACTIVA TOTAL - 2.10 + 0.74 ( - 1.36)

o

+2.33 +o.so


ZONA QUE SE DESPRECIA

+8.33

o 1mcyc

Figura. 1.1.14.b Diagrama de presiones para el Caso a)

Figura 1.1.14.c Diagramas de presiones para el caso b).

Figura 1.1.14.d. Diagrama de presiones para el caso e).

21

~ 1mcyc

Caso c) Arena limosa y arcilla.

Estrato Punto Suelo se Agua Total

Arena- 0-2 X 1.5 X 0.70 • • 2.1 0.49x 1.5 o -1.36 limosa

Arena- 2 0.49x 1.5x 1.7-2.1 --0.85 + 0.74 o - 0.11 limosa

Arena- 3 0.49 X (1.5 X 1.7 + 2.5 X + 0.74 + 2.5 + 3.24 limosa 0.7). 2.1 - o

Arena 4 0.33 X (1.5 X 1.7 + 2.5 X + 0.5 + 2.5 + 4.42 0.7) - + 1.42

Arena 5 0.33 X (1.5 X 1.7 + 2.5 X + 0.5 + 5.5 + 8.31 0.7 + 3 X 0.9) • + 2.31

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO: Para el cálculo de las

presiones se eligió el menor número posible de puntos de análisis. Posteriormente se definieron las fórmulas correspondientes a cada tipo de suelo. También se considero el peso volumétrico correspondiente en cada parte. Finalmente de forma ordenada se calcularon individualmente las gráficas para efectos del suelo, el agua y la sobrecarga para sumarlas e integrarlas en una gráfica final.

Problema 1.1.15

Un muro de 9 m de altura y paramento interior vertical y liso sostiene el empuje activo que ejerce el terreno compuesto por tres estratos según se indica en la ilustración. Dibuje el diagrama de presiones activas.

Propósito:

Dibujar el diagrama de presiones activas que induce un suelo compuesto por tres estratos sobre un muro, utilizando el criterio de Rankine.

Método de Rankine

Solución:

En el método de Rankine conviene trabajar con el menor número posible de puntos, solo los indispensables para hacer el dibujo completo del diagrama de presiones, en general, estos son:

O Principio y final 2 puntos

a Cambio de estrato (2 X 2 *) 4 puntos *{uno para el superior y otro para el inferior)

O Posición del N.A.F. 1 punto

En este ejempo analizaremos siete puntos, tal como se indica a continuación, {Figura 1.1.14.e).

A ªas= KA xav ªaq =KA xav ªw=YwXh Fórmulas

aplicables B ªas= ªV - 2c ªaq = q ªw=YwXh

0.5 c a as = KA ªV - 2c x (KA ) ªaq =KA xav ªw=YwXh

Cálculo de las ~resiones activas según Rankine


ton/m 2

A o + 0.83 o +0.83

A 2 0.33 X 1.1 X 2 • + 0.73 + 0.83 o + 1.56

A 3 0.33(1.lx2 + 0.9x2) - + + 0.83 + 2.0 + 4.15 1.32

B 4 (1.lx2+0.9x2)·2x1.5 - + 2.5 +2.0 + 5.50 + 1.00

B 5 (1. lx2 + 0.9x2 + O.Bx3) + 2.5 + 5.0 + 10.90 - 2 xl.5 - + 3.40

SOBRECARGA 2

q = 2.5 ton/m

Figura 1.1.14.e ! ! ! ! ! ! ! ! . ~

2m [

• r N.A.F. ARENA LIMPIA; e= O , <j> = 3pº • 'Vd = 1.1 ton/m

4m 3 "fm = 1.9 ton/m

3 • 4 • ARCILLA; e= 1.5 ton/m2

, <j> =Oº 3

3m "fd = 1.0 ton/m 3

"fm = 1.8 ton/m 5 ... 6 • •

LIMO; e = l. O ton/m2 , <l> = 25°

2m 3 3 7 • "fd = 1.05 ton/m, "fm = 1.7 ton/m

Método de Rankine ~

1mcyc

SUELO + SOBRECARGA + AGUA o +0.83

PRESIÓN ACTIVA TOTAL +0.83 Figura 1.1.14.f

+2.5

.41

e 6 .406(1.1 x2 +0.9x2 + 0.8x3)· + 0.41 + 5.0 + 6.73 2xlx0.406

o.s- -1.32

e 7 .406(1.1x2 +0.9x2+0.8x3. + 0.41 + 7.0 + 9.30 7x2) •

o.s- +1.89 2xlx0.406

Véase la figura 1.1.14.f

Nota: Se desprecio el efecto de la elevación del agua capilar

en el estrato de arena superior, por conocer de antemano

que es escaso.

Problema 1.1.16

Calcule el efecto de una sobrecarga lineal paralela a la corona del muro de 3 toneladas por metro lineal, ubicada a 2 metros de distancia de ésta, para el muro indicado en el problema 1.

Caso a) Utilice el criterio empírico de Terzaghi y Peck.

Caso b) Usar el criterio teórico de Terzaghi.

Propósito:

Calcular el efecto de una sobrecarga lineal sobre el relleno de un muro, utilizando los criterios empírico de Terzaghi y Peck y Terzaghi.( Figura 1.1.16.a)

Solución:

a) Procedimiento empírico propuesto por Terzaghi y Peck para calcular la carga lineal.

Considere que el empuje de la sobrecarga se encuentra apli

caao en la intersección del paramento del muro con una lí-


nea que parte del punto de aplicación de la carga y tiene un

ángulo de inclinación igual a 40°.

Se aplicarán las fórmulas:

Empuje debido al efecto de la sobrecarga:

Eq = Ka q

= 0.347 X 3.0;

Eq - 1.04 ton

Distancia del punto de aplicación con respecto a la corona,

dq = x x tan 40 ° dq

= 2 x tan 40°

dq = 1.68 ro

b) Criterio teórico propuesto por Terzaghi (1954).

Se aplicará la fórmula propuesta por Terzaghi que se indica

en la figuras 1.1.16.b y 1.1.16.c según sea el caso a conside

rar.

Para este problema

2.0 m

5.6

= 0.36~0.4.

Por lo que:

0.203q n

crh= H (0.16 +n2 ) 2

Para facilitar los cálculos se utilizará una tabla donde varia la

profundidad z, como se ·señala a continuación.

23

o 1mcyc

Figura 1.1.16.a

Figura 1.1.16.b

Figura 1.1.16.c

24

5.60m

Método de Rankine

q = 3 ton

ARENA LIMPIA 'Ym = 1680 kg/m3

c=O ~= 29° NAF profundo

-------1--1-----......_ ..........

z=

H

z=

H

x=mH q.- Carga lineal paralela a la

-------- corona del muro.

Para m > 0.4

Param~0.4

0203q n O' -

H - H (0.16 + n2 ) 2

x=mH Q.- Carga concentrada

l.77Q m2 n2

cr - Para m>0.4 n - H2 (m2 +n2)3

Param~0.4 +-- O'H

0.28Q n cr -H - H2 (0.16 + n2)3


1 1

; ¡

1

.1 ¡ i

Método de Rankine

n=f 0.203 X 5~6 n O'H z (0.16+n 2

) 2

(ton/m2)

o o 0.1087S o o 0.70 0.12S 0.1087S 4.0S 0.44 1.40 0.2S 0.1087S S.04 O.SS 2.10 0.37S 0.1087S 4.1S 0.4S 2.80 o.s 0.1087S 2.97 0.32 3.50 0.62S 0.1087S 2.06 0.22 4.20 0.7S 0.1087S 1.44 0.16 4.90 0.87S 0.1087S 1.02 0.11 5.60 1.0 0.1087S 0.74 0.08

La variación de las presiones horizontales sobre el muro con la profundidad se muestra en esta tabla.

Tanto el criterio empírico de Terzaghi y Peck como el teórico de Terzaghi para calcular es efecto de una carga lineal concentrada son fáciles de utilizar.

Problema 1.1.17

Se pretende realizar un corte vertical en la arcilla de la Ciudad de México. El laboratorio reporta en la prueba de compresión simple un valor de qu = 2.3 ton/m2

• El peso volumétrico, Ymi es de 1.65 ton/m3 y el NAF localiza a 7.50 m de profundidad. Encuentre el valor de la profundidad a la que puede alcanzarse temporalmente sin soportes y derrumbes la altura crítica, según el criterio de Rankine.

Propósito:

Calcular la altura crítica en un suelo puramente cohesivo utilizando e/ método de Rankine.

Según este método para suelos puramente cohesivos la altu

ra crítica, Her, a la que puede excavarse sin que se produzca

la falla es:

4c Her -

y

e =~ 2

qu - Resistencia a la compresión simple.

(4x 2.3) =

(2x 1.65)

Se utiliza el método de Rankine para determinar aproximadamente la altura crítica en un suelo puramente cohe

sivo.


o 1mcyc

Problema 1.1.18

Se pretende realizar un corte vertical en una arena limosa. El laboratorio reporta que la cohesión es de 1.2 ton/m2 y el ángulo de fricción interna de 20°. Un peso volumétrico, Ym, de 1.75 ton/m3 y el NAF ubicado a 9.00 m de profundidad. Encuentre el valor de la profundidad que puede alcanzarse temporalmente sin soportes y derrumbes (altura crítica), según el criterio de Rankine.

Propósito:

Calcular la altura crítica en un suelo con cohesión y fricción, utilizando e/ método de Rankine.

Según la teoría de Rankine para suelos con cohesión y fric

ción la altura crítica, Her, a la que puede excavarse sin que se produzca una falla es:

HCR

4cK¡, ){ ---

y

KA = 2.04

4 X 1.2 X 2.04){ Her 1.75

H.u = 3.92 m

Se puede utilizar el método de Rankine para determinar

aproximadamente la altura crítica, en un suelo con cohesión y fricción.

Problema 1.1.19

Se pretende realizar un corte de 7.00 m para una excavaéión en un estrato de arcilla. El laboratorio informa que tiene una capacidad a la compresión simple de qu = 12 ton/m2, un peso volumétrico Ym = 1.9 ton/m3 y el N.A.F. está profundo. Encuentre el factor de seguridad contra la falla por los criterios de:

O Caso a) Rankine

O Caso b) Fellenius

O Caso e) Terzaghi

Propósito:

Calcular la altura crítica en un suelo puramente cohesivo utilizando e/ método de Rankine con las adiciones propuestas por Fellenius y Terzaghi.

25

~ 1mcyc

Solución:

Caso a) Según la teoría de Rankine para suelos puramente

cohesivos la altura crítica a la que puede excavarse sin que se produzca la falla es:

4c

y

Por otra parte se tiene que la cohesión ces la mitad del valor obtenido qu obtenido en la prueba de compresión simple:

c qu

- 2

de donde:

= 2qu y

= (2 X 12)/1.9

=12.63m

El factor de seguridad es:

F.S.

F.S.

F.S.

Caso b)

HcR - H

12.63

7.00

= 1.80

Las observaciones de fallas en el campo demostraron que los deslizamientos ocurren a lo largo de superficies curvas, ello indujo a Fellenius a proponer una expresión más realista:

F.S.

E.S.

Caso c)

3.86c ---

y

1.93qu ---y

= 12.19 m

12.19

7.00

= 1.74

Este valor es únicamente 3.5% más bajo que el obtenido en el análisis de Rankine. Sin embargo, las experiencias en campo de muestran que ambos valores son demasiado altos cuando los esfuerzos de tensión cercanos a la superficie de

bilitan el suelo y lo agrietan en esta zona. Para este caso Terzaghi propone que la altura crítica se modifique a un valor:

26

Método de Rankine

2 H'cR ---

3 HcR

2.57c =--

y

1.29 qu

y

1.29 X 12 H'cR 1.9

= 8.13 m

8.13 F.S.

7.00

E.S = 1.16

Al utilizar la teoría de Rankine el cálculo de la altura crítica se puede quedar del lado de la inseguridad por lo cual conviene utilizar las recomendaciones de Fellenius yTerzaghi. Además se debe ser muy cuidadoso al determinar los valores de la cohesión y fricción que usará, pues la cohesión puede disminuir con el tiempo. En este caso particular por hacerle la prueba de compresión simple al suelo en su condición inicial, el factor de seguridad es el que se obtiene inmediatamente después de efectuada la excavación., únicamente.

Es conveniente hacer un análisis de la variación del factor de seguridad contra el tiempo.

Problema 1.1.20

Un corte vertical se realiza en un suelo puramente arcilloso con un peso volumétrico de Ym = 1.9 ton/m3

, cohesión de 4 ton/m2

, y ángulo de fricción interna nulo. Estos parámetros fueron obtenidos en una prueba rápida consolidada. El NAF esta profundo. Calcule la máxima altura a la cual puede estar temporalmente sin soporte. (Figura 1.1.20)

Propósito.·

Calcular la altura crítica en un suelo puramente cohesivo utilizando el método de Rankine y las adiciones propuestas por Terzaghi y Fellenius

H'cR 2

3 HcR

2.57c =--

y


Método de Rankine \)

1mcyc

Figura 1.1.20

EXCAVACIÓN

Her ARCILLA:

'Ym = 1.9 ton/m3

e= 4 ton/m2

 =o o

H'cR 2.57 X 4

1.9

= 5.41 m

En un suelo con cohesión resulta sencillo determinar la altura crítca con el método de Rankine y la adiciones de Terzaghi y Fellenius.

Problema 1.1.21

Calcule la altura crítica de una excavación similar a la del problema anterior, pero con un suelo limo-arenoso, con peso volumétrico Ym = 1.6 ton/m3

, cohesión de 2 ton/m2 y

un ángulo de fricción interna<!> = 20°.

Propósito:

Calcular la altura crítica en un suelo con cohesión y fricción

utilizando Rankine y las adiciones propuestas por Terzaghi y Fellenius.

Para analizar este caso sólo se consideran las reducciones indicadas anteriormente en el término de la cohesión.

Las fórmulas utilizadas son:

Rankine:

4cl<pX 4c =-=-!Nf

y y

2qul<pX

y

Rankine + Fellenius:

3.86 cl<pX =

Rankine + Fellenius + Terzaghi


HCR 2.57 cl<pX

= y

1.29 qul<pX

y

KP 1 +sen<!>

= 1- sen <!>

Kr = 2.04

K ~ p = 1.43

2 HCR = 2.57 X 1.60 X 1.43

~ =4.59 m

En un suelo con cohesión y fricción resulta sencillo determinar la altura crítica con el método de Rankine y las adiciones de Terzaghi y Fellenius, sólo se requiere la aplicación de las fórmulas adecuadas.

Problema 1.1.22

Calcule los empujes activo y pasivo por los métodos de Rankine y de Coulomb de un muro de concreto armado de 1 O m de altura como el mostrado en la ilustración. Este muro esta desplantado a 2 metros de profundidad sobre roca dura. El relleno por ambos lados es una arena fina con un ángulo de fricción interna de 36 °, cohesión nula y peso volumétrico de 1.7 ton/m3

• El N.A.F. se encuentra profundo (Figura 1.22.1)

Propósito:

Determinar los empujes activo>.:' pasivo por Rankine y Coulomb.

Rankine:

cos J3 - ~ cos2 J3 - cos2 <!>

cos J3 + .J cos2 J3 - cos2 <!> 27


1mcyc

··-··-···-...... __ ~ !

lOm

ARENA C=O f =36° ~ = 1.70 ton/m3

H1=10+3sen(l5°)=10.78 m

La zona de relleno comprendida en el polígono a, b, c y d se considerara como si formara parte del muro.

Figura 1.22.1

~3m

Se considerara: :......----- f =36. d=O W=O b=tSº

e

cos P + ~ cos2 p - cos2 ~ cos P - ~ cos2 p - cos2 ~

=0.283

=3.53

= 0.5 X 0.283 X 1.70 X 10.782

= 27.95 ton por metro de ancho.

= 0.5 X 3.53 X 1.70 X 22


ROCA

2 1/ 2 cos 06 - O)

=12 yH 2 í 111

2 t {sen(0+36)sen(36+15)}/2J cos Ocos(36 + O 1 -cos(O - O) cos(O - 15)

= YiyH/x 8.294

El empuje activo vale:

= 0.5 X 1.70 X 10.782 X 0.304

EA = 30.02 ton/m.I.

El empuje pasivo vale:

EP = 0.5 X 1.70 X 22 X 8.294 X 2/3

= 18.80 ton/m.I. EP

fe~~---=-1~8~.8-0.._....to~n~/~m~.I..._.

Coulomb:

Se utilizarán las fórmulas de Muller-Breslaw.

El cálculo del empuje establecido por Rankine y Coulomb es igual cuando el paramento del muro es liso y vertical con talud horizontal y difiere cuando el paramento

del muro no es liso, ni vertical y el talud está inclinado, en este último caso es preferible utilizar únicamente el mé

todo de Coulomb. cos

2 06 - O) =YiyH211-~~~~--'---'-~--=-~~~~~11

1 í 111 2 t {sen(O +36)sen(36+15)}/ij cos Ocos(36 +O 1 -

cos(O - 0) cos(O - 15)

= YiyH/x 0.376

¡

1 -28~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~P-ro_b_le_m_a_s-bá-s-ic-os_d_e_e_m_pu-j-es_d_e-su_e_lo-s-so-b-re-e-st_ru_c_tu_ra_s_d_e-so-p~orte¡

1

Método de Coulomb

Hipótesis

El empuje sobre un muro se produce debido a la cuña de suelo limitada por el paramento del muro, la superficie del relleno y una superficie de falla desarrollada dentro del mismo relleno, a la cual se supone plana.

b

[ lOm


o 1mcyc

Problema 1.2.1.

a) Calcule por el método de Coulomb el empuje de la cuña que actúa sobre el muro de 1 O metros de altura mostrada en la ilustración. El relleno es una arena con un ángulo de fricción interna de 36°, cohesión nula y peso volumétrico de 1.9 ton/m3

• El N.A.F. se encuentra profundo.

b) Explique como se determina el empuje máximo que actúa sobre el muro. ( Figura 1.2.1.1)

Propósito:

Determinare/ empuje de una cuña de suelo friccionante por el método de Coulomb y explicar la obtención del máximo.

ARENA C=O <1>=36°

3 'Ym = 1.90 ton/m

POLÍGONO DE FUERZAS

Figura 1.2.1.1

29

~ 1mcyc

Caso a)

La cuña de suelo debe mantener el equilibrio bajo la acción

de tres fuerzas que son: el peso de la cuña, W, la fuerza de fricción, FR, que actúa en la. base de la cuña con un ángulo

en la normal igual a$ y el empuje, E que presenta un ángulo

de fricción o con la normal al respaldo del muro. La fuerza

W es conocida en magnitud, posición y dirección. La fuerza

FR solamente activa conocida en dirección. La fuerza E es desconocida. Sin embargo, la dirección de la fuerza E se puede estimar con la recomendación de Terzaghi:

!.<o<th 2 - -'!' Se propondrá que o = 20°.

El valor del peso W se obtiene multiplicando el volumen de

la cuña por el peso volumétrico.

W = 26.32 X 1 X 1.90

= 50 ton, por metro de ancho.

Obsérvese que las tres fuerzas son concurrentes, lo cual es necesario para que exista el equilibrio.

Método analítico:

¿ Fx =O

FRcos60º = Ecos30º

0.5 FR = 0.866 E

FR = 1.732E

¿ Fv =O

FR sen 60° + E sen 30° = W

0.866 FR + 0.5 E = 50

0.866 X 1.732 E + 0.5 E= 50

E = 25 toneladas por metro de ancho

Método gráfico:

A una escala conveniente, se dibuja el polígono de fuerzas,

con la W conocida totalmente y sólo las direcciones de las E y FR, lo cual es suficiente para determinar el valor del empuje E, tal como se ilustra en la figura 1.2.1.2

Caso b) Determinación del empuje máximo

Para obtenerlo se requiere analizar una serie de suficientes y diferentes cuñas, con la finalidad de que proporcione el máximo empuje. Para realizar los cálculos se tiene los caminos siguientes:

30

1. Cuando el muro tiene la geometría y condiciones de carga adecuadas se puede aplicar una fórmula; como la propuesta por Muller-Breslaw. Esta se considera la forma más sencilla de trabajar.

Método dé Coulomb

W=50ton

Figura 1.2.1.2 Polígono de fuerzas

2. Aplicar el procedimiento analítico sólo cuando sea necesario analizar un buen número de cuñas, este procedimiento resulta tardado y engorroso.

3. Utilizar un procedimiento gráfico. Se utiliza profusamente, por su sencillez.

4. Utilización de programas de computadora, se recomienda cuando se dominan los métodos comunes de cálculo y se puede estar seguro de que funcionan adecuadamente en los casos que se van a usar.

El método de Coulomb requiere analizar varias cuñas ara determinar la ue roduce el em uje máximo.

Problema 1.2.2

Por el método de Coulomb determine los empujes activo y pasivo que producen un relleno de arena limpia sobre la pared interna y externa rugosas de un muro que tiene 5.60 m de altura y una inclinación con respecto a la vertical de 10°. El peso volumétrico seco de la arena es de 1680 kg/m3

y el ángulo de fricción interna de 35 °. El nivel de aguas freáticas, N.A.F., está profundo.(Figura 1.2.2)

Propósito:

Calcular el empuje activo y pasivo de un suelo puramente friccionante por el método de Coulomb.

Método de Coulomb

Figura 1.2.2

5.60m

Solución:

Se aplicaran las fórmulas de Muller-Breslaw:

=YiyH211 ______ co_~_(~~-_ro_) ____ ~11

2 (!:!· )[ { sen(O+p)sen(d>-B }){J cos ro cos vrro 1+ cos(a+ ro) cos( ro-p

1/ 2 cos2 ("'+ro) =hyH 11---------'-~-----~11 2 (0- )[ { sen(O+p)sen(p+B }){J

cos rocas ro 1- cos(O-ro)cos(ro-p

Donde:

EA, Ep Empujes activo y pasivo respectivamente.

~Ángulo de fricción interna de la arena.

ro Ángulo entre el respaldo y la vertical.

p Ángulo del talud, entre la superficie plana del relleno y la

horizontal.

8 Ángulo de fricción entre muro y relleno (Yi~ :::;8:::;3{ ~).

Para este cálculo se considerará

8 = 23°.


o 1mcyc


c=O = 35º

NAF profundo

d

0.5 x 1680 x 5.6 2 11------c_o_s2--'-(3_5-_1 º-'-~ -----.,...11

2 [ { sen(23+35)sen(35-20) }){]2

cos (IO)cos(23+10) 1+ cos(23+10)cos(10-20)

0.5 x 1680 x 5.6 2 11------c_o_s2_(3_5+_10-~ ------11

2 (l O) (23-10,,[ { sen(23+35)sen(35+20) }){]2

cos cos ~ 1+ cos(23-10)cos(10-20)

Teóricamente el empuje pasivo vale EP = 626,580.3 kg (por metro lineal de muro), sin embargo investigaciones realizadas indican que este valor puede quedar del lado de la inseguridad, por lo cual se recomienda multiplicar el coeficiente pasivo por un factor de reducción de dos tercios. Quedando el pasivo corregido en:

Ef = 41 7 720 2 kg (por metro lineal de muro)


Eti = 11 590 7 kg (por metro lineal de muro)

En el método de Coulomb se requiere analizar el efecto de varias cuñas para encontrar la que produce el empuje máximo. Sin embargo, anteriormente en los casos de geometría sencilla es posible aplicar fórmulas, como se señala.

En el caso del empuje pasivo se ha observado que los valores reales del este pueden diferir significativamente del obtenido teóricamente, por el lado de la inseguridad, por lo que si no se hacen los análisis e investigaciones apropiadas es recomendable disminuir el valor teórico en una

31

.() 1mcyc

tercera parte, quedando a 2/3 partes de su valor teórico. Los valores que puede alcanzar el empuje pasivo se aprovechan positivamente en estructuras que osportan fuerzas considerables, como SOJ1 los muelles con el impacto de las embarcaciones.

Problema 1.2.3

Un muro de mampostería de 5 metros de alto y respaldo vertical sostiene el empuje de una arena fina. El terreno de cimentación es una toba dura y permeable. La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 34 °. El peso volumétrico seco es de 1200 kg/m3

• La relación de vacíos igual a 0.68. La densidad relativa de 2.65. Se desea conocer la magnitud del empuje del terreno en las siguientes condiciones:

Caso a)

Arena seca. NAF profundo.

Caso b)

Arena saturada parcialmente por lluvia, con un grado de saturación G = 60%. NAF profundo.

Caso c)

Arena completamente saturada por agua de lluvia, con el nivel piezométrico por debajo de la base del muro.

Caso d)

Arena completamente saturada por agua de lluvia y escurrimientos superficiales, con el nivel piezométrico en la corona del muro.

Propósito:

Calcular el empuje activo de una arena por el método de Coulomb, para las diferentes condiciones de saturación.

Caso a): Véase la figura 1.2.3

Figura 1.2.3.

5.00m

32

Método de Coulomb

Solución:

Se aplicará la fórmula para el determinar el empuje activo de Muller-Breslau (1906): Esta fórmula permite obtener el empuje máximo de la cuña crítica.

cos2(<j>-ro) =YiyH211~~~~~~~~~~~~~11

2 . (a+ >[ { sen(a+d>lsen(<f>-B }r]2

cos ro cos ro i+ cos(a+ ro) cos( ro-p

=YiyH2K¡,c

t< 0 <21"' 2 - -7.3'1'

Aplicando la fórmula se obtiene:

Kt. =o 256

para:

~ = 34°

o = 17°

p =Oº

(1) =Oº

Caso a) Arena seca. NAF profundo.

El valor del empuje es:

E = Yi KA yd H2

= 0.5 X 0.256 X 1.2 X 52

_E __ =_...3~8 ....... 4 ton/m.I.

Caso b) Arena saturada parcialmente por lluvia, con un grado de saturación G = 60% y NAF profundo.

El peso ym vale:

Ge+S 5

Ym 1+e Yw

corona

d

ARENA LIMPIA 'Yrl = 1200 kg/m

3

c=O <!> = 34º e = 0.68 ; Ss = 2.65 NAF profundo

Método de Coulomb

0.6 X 0.68 + 2.65 ------1

1+0.68

= 1 .82 ton/m3


E = Yi KA yd H2

= 0.5 X 0.256 X 1.82 X 52

...._E _--==;;..__,,¿_5 L.\.18~2 ton/m. l.

Caso c) Arena completamente saturada por agua de lluvia, con el nivel piezométrico en la base.

Ym = 1.98 ton/m3


E = Yi KA yd H2

= 0.5 X 0.256 X 1.98 X 52

E = 6 34 ton/m.I

Caso d) Arena completamente saturada por agua de lluvia y escurrimientos superficiales, con el nivel piezométrico en la corona.

Como el nivel piezométrico esta en la parte superior se debe

considera empuje del agua y el peso volumétrico sumergi

do.

y'm =ym-1

= 1.98 - 1 = 0.98 ton/m3

El empuje del suelo es:

E = Yi KA y' m H2

= 0.5 X 0.256 X 0.98 X 52

E = 3 13 ton/m.I

El empuje del agua es:

5.00m

Filtro


t d

o 1mcyc

= 0.5 X 1 X 52

= 12 SO ton/m.I

El empuje total será igual al empuje del relleno más el del

agua.

= E + Ew

= 3.13 + 12.50

S--=__._1.w..5 ...,..6""""3__..to...,n ........ / ....... mLL.1.1

El empuje del relleno depende de las condiciones de hu

medad y la posición del nivel piezométrico del agua, así

como de las características de permeabilidad de la ci

mentación.

En el caso c), el agua puede escurrir hacia abajo por así

permitirlo las condiciones del relleno, la cimentación

permeable y por tanto, no produce empuje de agua.

El caso d) no se presenta frecuentemente. Lo hará sola

mente en aquellos casos en que la velocidad de filtración

en la cimentación es menor que la velocidad de aporte

del agua. Esta situación requeriría de una inundación ex

traordinaria, fuerte y prolongada, o bien de una rotura en

una tubería colocada en la parte superior del relleno que

ocasione fugas importantes y suficientes para poder satu

rarlo completamente.

Problema 1.2.4 Un muro de mampostería de 5 m de alto sostiene el empuje de una arena fina. El terreno de cimentación es una roca dura e impermeable. La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 34 °. El peso volumétrico seco es de 1200 kg/m3

• Se desea conocer la magnitud del empuje de la arena en las condiciones siguientes:

ARENA LIMPIA 'Yd = 1200 kg/m

3

c=O <!> = 34º e = 0.58 ; Ss = 2.65 NAF profundo

Figura 1.2.4

33

G 1mcyc

Caso a) Arena completamente saturada por agua de lluvia y por escurrimientos superficiales, sin que actúe ningún sistema de drenaje.

Caso b) Arena completamente saturada por agua de lluvia y escurrimientos superficiales, con un dren vertical en el respaldo del muro.

Propósito:

Calcular el empuje activo de una arena por el método de Coulomb, con diferentes condiciones de drenaje. (Figura 1.2.4)

Solución:

Caso a):

El caso a) es idéntico al caso d) del anterio problema 1.2.3 sólo difiere en que ahora probablemente se presente una condición de completa saturación, pues por ser impermeable la cimentación, el agua se podrá acumular fácilmente en el relleno.

En este ejemplo no existe el filtro y los tubos de drenaje en el muro.

El empuje del suelo será:

E = Yi KAcYd H2

= 0.5 X 0.256 X 0.98 X 52

E = 3.13 ton/m.I

El empuje del agua será:

= 0.5 X 1 X 52

~ = 12.50 ton/m.I

El empuje total será igual al empuje del relleno mas el empuje del agua.

= E + Ew

= 3.13 + 12.50

.Ei = 15.63 ton/m.I

Caso b):

La solución dependerá del sistema de drenaje utilizado. Un drenaje adecuado neutralizará el efecto que produce el empuje del agua.

Para este caso, consideraremos un drenaje frontal consistente en una capa de filtro pegado a todo lo largo del respaldo

34

Método de Coulomb

del muro con sus respectivos drenes, consistentes en tubos que atraviesan el muro. Se hará el drenaje con las_ dimensiones adecuadas para impedir que se acumule agua detrás del muro.

El peso volumétrico dependerá del grado de saturación alcanzado. Se considerara por seguridad un grado de saturación del 100%, se obtiene que aplicando las fórmulas para determinar los pesos volumétricos:

Ge+S 5

Ym l+e Yw

E

1 X 0.58 + 2.65 ------x1

1 +0.58

= 2.04

= 0.5 X 0.256 X 2.04 X 52

E = 6.53 ton/m.I.

El empuje del relleno saturado es la condición más desfavorable, disminuye notablemente por la construcción del sistema de drenaje, en este caso fue de 2.39 veces menor.

Problema 1.2.5 Un muro de mampostería de 6 m de alto sostiene el empuje de una arena fina y limpia. La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 34 °. El peso volumétrico de la masa es de 1. 90 ton/m3

• El terreno de cimentación es una roca muy dura. Se desea conocer la magnitud del empuje sobre el muro.

Propósito.·

Calcular el empuje activo de un suelo puramente friccio- · nante con el talud exterior inclinado por el método de Coulomb. (Figura 1.2.5)

Solución:

Se aplicaran las fórmulas de Muller-Breslau:

=YiyH211~----c_o_J_($~--ro_) _____ 11

2 (a+ )[ { sen(a+d>)sen(d>-B }X]2

cos ro cos ro 1+ cos(a+ ro) cos( ro-p

Para:

<f> = 34°,

p = 15°,

Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte·

Método de Coulomb

Figura 1.2.5

6.00m

·----·-··-·-··--··---------~-".:'.1.f _____ , __ ,, __

ARENA LIMPIA 'Yd = 1 900 kg/m3

c=O f = 34º

NAF profundo

o 1mcyc

ROCA MUY DURA

ro = 10º

= 0.412

EA = Yi X 0.412 X 1.90 X 62

El empuje vale:

EA = 14.09 ton/mZ

Para este caso, la distancia del punto de aplicación con respecto a la base es:

d H

3

6

3

= 2.00 m

Para los casos en que la geometría resulta apropiada se recomienda la aplicación de la fórmula de MullerBreslau por su sencillez.

Problema 1.2.6

Un muro de gravedad de 6.5 m de altura sostiene un relleno de arena suelta, con superficie horizontal, que

tiene un peso volumétrico ym = 1.6 ton/m3, <!> = 32°, 8 =

20° y ro = 0°. Calcule el empuje activo:

Caso a) Utilizando la fórmula de Muller-Breslau

Caso b) Por el procedimiento gráfico de Culmann

Caso c) Por el procedimiento gráfico de Culmann, cuando existe además una sobrecarga lineal uniforme de 3.44 ton/m.I. aplicada a 3.71 m de distancia y paralela a la corona del muro


Propósito:

Determinar el empuje activo de un suelo friccionante con una sobrecarga.

Caso a) Utilizando la fórmula de Muller-Breslaw.

1/ 2 cos2 ("'-co) =hyH 11-~~~~~--'-~~~~~~~11 2 (a+ )[ { sen(a+p)sen(p-~ }X]

2

cos co cos co 1+ cos(a+ co) cos( co-p

0.7192

[ ¡0.7880 X 0.5299ly]2

1.0xo.9396

1+ 0.9396 X 1.000

(ro = p = O)

KAC = 0.2755

EA = Yi X 1.6 X 6.52 X 0.2755

EA - 9.31 ton/m.I.

Caso b) Procedimiento gráfico de Culmann

(Véase página# 52 para seguir el procedimiento que ahí se indica)

Cuña Peso de la cuña, ton

ABC1 11.96

ABC2 18.98

ABC3 21.32

ABC4 28.08

35

o Método de Coulomb

1mcyc !k = 9.26 ton/m.l.

B Cl

De la figura 1.2.6.1, midiendo a escala, se obtiene:

EA = 9.26 ton/m.I

Caso c) Procedimiento gráfico de Culmann

Considerando una sobrecarga lineal uniforme de 3.44 ton/m.I. aplicada a 3.71 m y paralela a la corona del muro.

De la figura 1.2.6.2, midiendo a escala, se tiene:

EA ± AE = 11.00 ton/m.I.

por lo que:

L'.lE = 11.00 - 9.26

Figura 1.2.6.2

36

B

A

Figura 1.2.6.1

Ea= 9.26 t

AE - 1.34 ton/m.I.

El procedimiento de Culmann permite encontrar fácilmente el máximo empuje en una superficie irregular y determinar cuál es la cuña crítica.

Procedimiento de Culmann {para suelos puramente friccionantes) 1. Se Dibuja la línea$. A partir de la horizontal se mide un

ángulo$ y se traza una línea con esa dirección. Véase la figura 1.2.6.3 siguiente.

3.44 ton/mi C2 C3 C4

11.96 /w cp : 32 o

\

~E= 11- 9.26

ilE = 1.34 t


Método de Coulomb

Traza de la cuña que produce el empuje máximo.

w

o 1mcyc

Figura 1.2.6.3 Procedimiento gráfico de Culmann.

Horizontal

r Línea8

2. Se dibuja la línea e. A partir de la línea~ se mide un ángulo e y se traza una línea con esa dirección.

3. Se dibujan las cuñas 1,2, ... ,n que se propongan y que tendrán un ángµlo b¡ con la horizontal, tal como se muestra en la figura 1.2.6.3.

4. Se dibujan los vectores W¡ sobre la línea~- Considerando una escala conveniente se dibujan los vectores W¡, teniendo cuidado de iniciarlos a partir del origen. Los vectores W¡ representan los pesos de las cuñas respectivas.

5. Se dibujan los vectores E¡, a partir de la punta de las flechas de los vectores W¡ con una dirección paralela a la línea e. En donde intercepta esta línea a la línea de la cuña correspondiente terminara este vector E¡; que representa el empuje de esta cuña.

6. Se determina el empuje máximo Emax. Se dibuja una curva que pase por la punta de los vectores E y se determina el empuje máximo con una paralela a la línea e tal como se muestra en la figura. Por la punta de este vector Emax pasara la traza de la cuña que proporciona el empuje máximo.

Problema 1.2.7 Calcule el empuje activo que produce un relleno de arena fina y limpia sobre el respaldo vertical de un muro de 6.20 m de alto. El relleno tiene en su parte superior una pendien

te de J3 = 10° y las propiedades siguientes:~ = 30°, c = O,

y = 2.0 ton/m3, 8 = 20°. Utilice:


Caso a) El procedimiento de Culmann

Caso b) Fórmula de Muller-Breslaw.

Caso c) El procedimiento de Culmann aplicando una sobre-carga lineal de 4 ton, a una distancia horizontal de 8 m de la corona del muro

Propósito:

Calcular el empuje activo de un suelo granular por el méto"T do de Coulomb, utilizando las fórmulas y el procedimi~nto gráfico de Culmann. Además, establezca el procedimiento para determinar el efecto de una sobrecarga uniformemente repartida y lineal paralela a la corona del muro.

Caso a)

W 1 = Yi X 1.35 X 6.20 X 2

== 8.37 ton por metro lineal de muro

W2 == Yi X 2.70 X 6.20 X 2


W 3 = Yi X 4.05 X 6.20 X 2


W4 = Yi X 5.40 X 6.20 X 2.


W 5• = Yi X 6.75 X 6.20 X 2

37

v 1mcyc

38

Figura 1.2.7.1

Figura 1.2.7.2

Figura 1.2.7.3 Localización de E y ~p

1 6.20

j

~p queda localizado en el tercio superior de ab

cMp

l

Método de Coulomb

Línea<!>

Línea <1>

IE=16.88 ton

Empuje máximo

LOCALIZACIÓN DE E Y ~p

Método de Coulomb

H

= 41.85 ton por metro lineal de muro

El empuje máximo vale EA = 16.30 ton por m.I. de muro y

esta aplicado a 2.00 m de altura a partir de la base. (Figura 1.2.7.1)

Caso b)

Véanse las Figuras 1.2.7.2 y 1.2.7.3.

Caso c) Utilizando la fórmula de Muller-Breslaw

= 0.464

E = Vi X 2 X 6.202 X 0.464

= 17.83 ton (por metro de ancho) Véase la Figura 1.2.7.4

El procedimiento gráfico de Culmann, permite resolver problemas con superficies superiores irregulares. Tiene la ventaja de determinar fácilmente la cuña crítica y permite considerar el efecto de las sobrecargas.

Problema 1.2.8 Calcule el empuje que produce el mismo muro del problema anterior 1.2.6 pero con el relleno de arena fina y limpia y cuando se le aplica una sobrecarga uniformemente repartida de 3 ton/m2

•

Propósito:

Calcular el empuje activo de un suelo granular por el método de Coulomb, utilizando la suposición de que la sobrecarga uniformemente repartida se pueda considerar como una


~ 1mcyc

Figura 1.2.7.4 Localización del punto de aplicación del empuje E.

porción (imaginaria) del mismo terreno, de forna que proporcione el mismo efecto que la sobrecarga.

Para resolver este caso, se puede recurrir al artificio de transformar a la sobrecarga en una porción adicional del mismo terreno.

El punto de aplicación del empuje se obtiene trazando una paralela a la base de la cuña crítica como se indica en la figura 1.2.7.4. En este caso particular es aproximadamente igual a H/3. Se despreciará el efecto del triángulo 2, 3 y 4.

Utilizando la fórmula de Muller-Breslau tenemos:

E

=0.4197

= Vi X 2 X (6.20 + 1.50)2 X 0.4197

= 24.88 ton (por metro de ancho).

Aplicada a una altura, a partir de la base de H '/3:

H' = H + 1.50

= 7.70

d = 2.57 m.

La suposición de cambiar la sobrecarga por una porción de terreno adicional que producirá un efecto igual permite simplificar los cálculos.

Método de las cuñas en suelos puramente friccionantes

Procedimiento

1. En una escala adecuada se dibujan el muro y las cuñas a analizar.

39

v 1mcyc

2 3

1 I

E

2. Determinar el área de cada cuña y multiplicar por el ancho para obtener el volumen de cada una. Este volumen se multiplica por el peso volumétrico correspondiente y obtendrá el peso de cada cuña.

3. En una escala adecuada se dibujan los pesos de las cuñas ubicadas sobre una misma vertical, como se muestra en la figura.

4. Partiendo del origen se dibujan líneas paralelas a cada una de las fuerzas de fricción, FR. Para facilitar el trabajo puede hacerse una construcción auxiliar como se ilustra en la figura.

5. A partir de la punta del vector W¡ correspondiente se traza una paralela a la fuerza de empuje E.

6. Los puntos de intersección de las fuerzas E y FR de cada cuña generaran una curva. La máxima longitud del vector E dará el Emáximo.

Método de las cuñas en suelos con cohesión y fricción

Es similar al método de la cuña para suelos puramente friccionante, pero aqui se agregan dos nuevas fuerzas:

40

Método de Coulomb

POLÍGONO DE FUERZAS

4 s 6 7

¡w~l _ ... -·······-····' t,..,~•~•·ri

auxiliar

Método de las cuñas en suelos puramente friccionantes.

1. Fuerza de cohesión que obra en el contacto del muro con el relleno, Cm, se conoce totalmente. Su magnitud es igual a la cohesión del relleno, por la longitud del respaldo por una unidad de longitud de ancho.

2. Fuerza de cohesión que obra en la base de la cuña, Cs, se conoce totalmente una vez definida la cuña. Su magnitud es igual a la cohesión del relleno por la longitud de la base de la cuña, por una unidad de longitud de ancho.

Problema 1.2.9 Un muro de paramento interior vertical de 9.00 m de altura contiene los empujes de un limo arenoso con un peso volumétrico ym = 1. 9 ton/m3

, cohesión de c = 1.45 ton/m2, y án

gulo de fricción interna $ = 25 °. Calcule el empuje activo y su punto de aplicación por el procedimiento de las cuñas.

Propósito:

Calcular el empuje sobre un muro de un relleno con cohesión y fricción por el procedimiento de las cuñas.


Método de Coulomb

Método de las cuñas en suelos con cohesión y fricción

o

o 1mcyc

Ht = profundidad de las grietas de tensión

(e J

MÉTODO DE LAS CURAS PARA UN SUELO CON COHESIÓN Y FRICCIÓN

En primer termino se calculara el efecto de la profundidad

de las grietas que se pueden producir en el suelo cohesivo.

Profundidad de las grietas

z

KA = 0.59 ;

KA112 = 0.767

z 2 X 0.767 X 1.45

1.9

= 1.17 m.

a) Método gráfico

Se utilizará el procedimiento de la cuñas.

1.17m 1 9.0m

B


1. Peso de la cuña, W = área x y.

2. Fuerza de adherencia entre muro y suelo

Se considerara igual a ex área del paramento vertical:

Cm = 1.45 x (9 - 1.17) x 1

= 11.35ton.

3. Fuerza de cohesión en el plano hipotético de falla

Cs = 1.45 XL;

L = longitud del plano de falla

4. Fuerza de fricción de reacción, F~, en la base de la cuña

LIMO-ARENOSO. Cl¡ = 26.60° Cl2= 18.40° Cl3=13.11°

Figura 1.2.9.1

41

~ 1mcyc

S. Empuje del terreno sobre el muro, EA,, cuya dirección for-ma un ángulo 8 = <j>, supuesto para este caso

Las magnitudes y direcciones de las fuerzas indicados en los incisos 1,2, y 3 son conocidas.~Por otra parte, también seconocen las direcciones de las fuerzas indicadas en los puntos 4 y 5 anteriores.

En el procedimiento de las cuñas se completara y cerrara el polígono de las fuerzas indicadas, para lograr el equilibrio de cada cuña. Se analizan varias cuñas y eligirá el valor mayor del empuje activo, considerando el más desfavorable y por tanto, el que deberá tomar para diseñar el muro (Figura 1.2.9.2). Los valores de las tres cuñas analizadas se mues-tran en la tabla siguiente:

Área y Peso Long.de Fuerza

Cuña (m2) (ton/m3) (ton) la base, Cs (ton)

L (m)

AB1 19.91 1.9 37.83 8.09 11.73 AB2 39.82 1.9 75.66 10.09 14.64 AB3 53.08 1.9 100.85 11.68 16.94

El procedimiento es similar al de los suelos puramente friccionantes, pero aqui se agregan dos fuerzas cohesivas totalmente conocidas.

Problema 1.2.10 Calcule los empujes activo y pasivo por el método de Coulomb que actúan sobre un muro de concreto armado de 1 O m de altura que se muestra en la figura. Esta desplantado a 2 metros de profundidad sobre roca dura. El relleno en ambos lados es de arena fina con un ángulo de fricción interna

Figura 1.2.1 O.

lOm

42

3m

Método de Coulomb

16.94

Paralela a B - 2

37.83-

3 2 Paralela a B-3 a.-.= 13.11"

75.66-

Figura 1.2.9.2

EMAX = 22.S ton

Paralela a E

de 36°, cohesión nula y peso volumétrico de 1.7 ton/m3• El

N.A.F. esta profundo.

ARENA C=O <!>=36º "(m = l. 70 ton/m

15•

3

H1=10+3sen(15°)=10.78 m

La zona de relleno comprendida en el polígono a, b, c y d se considerara como si formara parte del muro.

Se considerara: q> = 36º o= 24· ro= o (3 = 1s·

Método de Coulomb

Propósito:

Determinar los empujes activo y pasivo por Coulomb, utilizando el artificio de considerar un respaldo vertical ficticio ubicado en el relleno. (Figura 1.2.1 O).

Solución:

Para solucionar este tipo de problema se considera que las áreas ubicadas en las polígonales encerradas la primera, entre los puntos a,b,c y d y la segunda entre los puntos e,f,g y h son parte integrante del muro con el peso del relleno correspondiente.

Considerando como "muro ficticio" la parte comprendida entre los puntos a,b,e y f juntos con la parte del muro real, se aplican las siguientes fórmulas:

cos2(36-0) =Yi'yH,211--------'---..;..._-----11 2 0 (36 0,,[ {senCo+36)senC36-15}X]

2

cos cos + / l+ cos(o+O)cos(0-15

=Yi'yH,2x 0.282

cos2(36+0) = Yi yH2 2 11-------_;...--'-------11 2 0 (36_0~[ {sen(o+36)sen(36+15}X]

2

cos cos / l+ cos( o+ 0) cos( 0-15

= Yi yH2 2 X 44.65


= 0.5 X 1.70 X 10.782 X 0.282

= 27.86 ton/m.I.

El empuje pasivo vale:

EP = 0.5 X 1.70 X 22 X 6.71 X 2/3

Ef - 101.21 ton/m.I.

Los resultados obtenidos por el artificio son lo suficientemente aproximados, según las comparaciones teóricas,

por lo cual se usa frecuentemente sin presentar problemas.

En el cálculo del empuje pasivo se consideró un factor de

reducción de 2/3 aplicado al coeficiente de empuje.


\) 1mcyc

ÁNGULO DE FRICCIÓN ENTRE MURO Y RELLENO

Materiales en contacto

CONCRETO O MAMPOSTERÍA CON:

- Roca dura. - Grava ,arena gruesa, mezclas de gravas y arenas limpias. - Arena media a fina, arenas gruesas limosas, gravas o arcillosa - Arena fina limpia, arena fina a media limosa o arcillosa. - Aréna fina limosa, limos no plásticos. - Arcilla preconsolidada muy dura. - Arcillas y arcillas-limosas medianamente duras.

PILOTES DE ACERO CON:

- Grava limpia, grava arenosa, rellenos de roca bien graduados con fragmentos o lajas. -Arena limpia, mezclas de gravas arenas y limos, rellenos de pedacería de roca dura. -Arena limosa, gravas o arenas mezcladas con limos o arcillas. - Arena fina limosa, limos no plásticos.

CONCRETO COLOCADO EN EL LUGAR O TABLESTACAS DE CONCRETO CON:

- Grava limpia, mezclas de grava y arena, rellenos de rocas bien graduados con fragmentos o lajas. -Arena limpia, mezclas de gravas arenas y limos, rellenos de pedacería uniforme de roca dura. -Arena limosa, gravas o arenas mezcladas con limos o arcillas.

- Arena fina limosa, limos no plásticos.

MATERIALES DIVERSOS.

Mampostería contra mampostería o contra rocas: - Roca suave acomodada sobre roca suave mamposteada - Roca dura acomodada sobre roca suave mamposteada - Roca dura acomodada contra roca dura mamposteada - Mampostería contra madera. - Acero contra acero en tablestacas. -Madera contra suelo.

Valores aproximados

~)(o)

35 29- 31

24- 29

19- 24

17 - 19 22-26 17-19

22

17

14

11

22- 26

17 - 22

17

14

35

33

29

26 17

14 -16

43

. \) 1mcyc

Método semiempírico de Terzaghi

Tipos de material de relleno l. Suelo granular grueso sin finos.

11. Suelo granular grueso, con finos limosos.

111. Suelo residual, con cantos, bloques de piedra, gravas, arenas finas y finos arcillosos en cantidades apreciables.

IV. Arcillas plásticas blandas, limos orgánicos o arcillas mosas.

V. Fragmentos de arcilla dura o medianamente dura, protegidos de modo que el agua proveniente de cualquier fuente no penetra entre los fragmentos.


Geometría del relleno y condición de cargas 1. La superficie del relleno es plana, inclinada o no y sin

sobrecarga alguna.

2. La superficie del relleno es inclinada a partir de la corona del muro, hasta un cierto nivel, en el cual se torna horizontal.

3. La superficie del relleno es plana y sobre ella actúa una sobrecarga uniformemente repartida.

4. La superficie del relleno es plana y sobre ella actúa una sobrecarga lineal paralela a la corona del muro y uniformemente repartida.

45

~ 1mcyc

46

b

1/2KvH2

1/2KhH2 H

H/3

E -N

E

~ e • ~

Método scmicmpírico de Terzaghi

1550

1200

900

@ 600

300

o

2100-------------------------------------,-----

1 11/2KvH2

H ~KhH2 1 ---,

1 H/3

b

Los números en las curvas Indican el tipo de material.

E -N

E -.,. ~ e • .e ~

Para los materiales del tipo 5 los cálculos se realizan con una altura, H, menor que la real en 1.20 metros.

2400

2100

1800

1500

1200

300

6 3: 2:1 1112 1 º.._ _______ __.~--------.._ __ __.. ________ __.~----º 10 20 30 40

Ángulo del talud,ft

Figura 1.3.a Gráficas del método semiempírico de Terzaghi (Relleno con superficie plana)


"'ti g. ñ 3 e; c-e;-ñ' o tll

o. ('1)

('1)

3 "O ..::. ~ o. ('1)

tll = ('1)

[ tll o o-@

~ 2 n 8' ~ o. ('1)

tll o

"O o ::l. ('1)

.i:.. -..J

"TI ciQ' e @ ..... w OC)

~ ñ' tll UI

~ 1 1 1500 3 ro. o

H1 -~------ J. 1

fl¡ 1

1 H2 11/2 Kv H

1/2K~r 1 1

H/3 1 ______ , __ _ ~- b

SUELO TIPO 1

g- 1 1 1200 l---1---+--t--;---. UI ro 3 ¡:¡;· 3 ~-¡::)' o c.. ro -1 ro N tll

~-~ ~ ro::i o (") o ::J UI e

"O ro 3-: (") ¡:¡;·

"O pj'" ::J ~

E Ñ" 900 E -C> ~ z w ~

Kh

300 1 111 1

o o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 o

H1

:.P - -·· 1

1 2

' 1/2 KvH H

E~h~ 1 : H/3 1 , ___ _

1 -----:b

SUELOTIP02

Kh

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 o

Valores de la relación H1/H

a

1 1

H1 =O

• 1/2 KvH2

~KhH2 H ·n ~ H/3 ::::::i __ _ b

SUELO TIPO 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

§ n

~ ~-

º Q. o {/l ~

8 r;· 8

"CI s: n o Q. ~

~ ~

;:¡ ~

(l'Q

e:

~, .

~ 1mcyc

E .._ N E .._ en ~ z w ~

2700

2400

2100

1800

1500

1200

900

600

300

o o

Kh

Método semiempírico de Terzaghi ,

SUELO TIPO IV SUELO TIPO V

Talud máx. 3:1

Ky =O

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

VALORES DE LA RELACIÓN H1/H

Figura 1.3.c Gráficas del método semiempírico de Terzaghi (rellenos en terraplén). En los cálculos para rellenos del tipo V el valor de H que se debe considerar es menor en 1.20 que el real.



Problema 1.3.1 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el empuje activo que produce una arena gruesa sobre el muro que se presenta. Con un NAF profundo.

Propósito:

Calcular el empuje activo de un material granular sobre un muro por el método semiempírico de Terzaghi.

Figura 1.3.1

7.00

6.00m

Solución:

Se aplicará el método semiempírico de Terzaghi, para lo cual se utilizará la gráfica presentada en la figura 1.3.1.

Por las características del relleno de considera un relleno tipo l.

De la gráfica se obtiene:

KH = 600 kg/m2/m.I. de muro

Kv = 290 kg/m2/m.I. de muro

Las fórmulas aplicables son:

EH = Yi X KH X H2

Ev = Yi X Kv X H 2

Eti_ = Yi X 600 X 72

= 14 ZOO kg por metro lineal de muro

E~- = Yi X 290 X 72

= 7 105 kg por metro lineal de muro

?roblemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte

0.40m

Ev

RELLENO DE ARENA GRUESA

EH

H/3

NAF profundo

~ 1mcyc

Cimentación firme

KH

KV

Se escogen las curvas tipo 1

Obsérvese que no es necesario conocer los parámetros del suelo como son: el peso, la cohesión y la fricción; lo cual simplifica mucho los trabajos, pues no se necesitan hacerse pruebas de campo y de laboratorio.

En el método semiempírico de Terzaghi proporciona resultados conservadores del lado de la seguridad. No se

pide conocer los parámetros de calculo de y, c y$, pero se requiere suficiente criterio para escoger el tipo de suelo adecuado.

49

~ 1mcyc

Problema 1.3.2 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el

empuje activo que prodm;;e un relleno de pedacerías, gravas, arenas y finos arcillosos en cantidades apreciables (cascajo) sobre el muro que se presenta.

Propósito:


Método semienipírico de Terzaghi

RELLENO DE CASCAJO: Bloques de piedra, gravas arenas finas y finos arcillosos

Figura 1.3.2

Ev 6.00m

H/3

Cimentación en terreno blando

Solución:

Se aplicará el método semiempírico de Terzaghi, para lo cual se utilizará las gráficas presentadas en la figura 1.3.a. Por sus características el relleno de considerara tipo 111.

De las gráficas se obtiene para p = O:

= 730 kg/m 2/m.I. de muro

Kv = O kg/m 2/m.I. de muro


EH = Yi X KH X H2

Ev = Yi x KV x H2

EH = Yi X 730 X 62

Eli =17.885 kg por metro lineal de muro

Ev = Yi x O x 62

Ey = O kg por metro de ancho.

Por estar desplantado el muro sobre terreno blando Terzaghi recomienda que los valores obtenidos de sus gráficas se incrementen en 50%. Por tanto:

EH = 17 885 x 1.5 = 26 827.5 Kg/m.I. EV = O kg/m.1.

50

EH

NAF profundo

KV


Si el muro esta desplantado sobre terreno blando las deformaciones producidas pueden provocar un aumento considerable en las presiones sobre él, por lo que Terzaghi recomienda que se incrementen en un 50% sus valores.



Problema 1.3.3 Calcule el empuje que produce una arena limosa sobre el muro que se presenta.

Propósito:

Calcular el empuje activo de un material granular grueso, con finos limosos, sobre un muro por el método semiempírico de Terzaghi.

Figura 1.3.3 1.00m f

).40m

7.00

6.00m

o 1mcyc

2

Arena limosa

EV

EH

H/3

NAF profundo

Terreno firme

Solución:

Se aplicará el método semiempírico de terzaghi, para lo cual se utilizará las gráficas presentadas en la figura 1.3.3 anterior.

Por las características del relleno de considerara un relleno del tipo 11.

De las gráficas se obtiene:

H/H 1 = 1.00/7.00

= 0.143 (con estos valores se entran en estas gráficas).

KH = 605 kg/m 2/m.I. de muro

Kv = 80 kg/m 2/m.I. de muro


EH = Y1 X KH X H2

= Y1 X KV X H2

= Y2 X 605 X 72



= Y2 X 80 X 72


En este tipo de geometría de terreno en terraplén deberá tener cuidado al calcular la altura H, indicada en las · gráficas. En caso de duda conviene acudir a las gráficas y verlas detenidamente, pues en ellas se representan claramente las variables.

Problema 1.3.4 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el empuje activo que produce un relleno de arcilla limosa sobre el muro que se presenta. Además, obra sobre el relleno una sobrecarga uniformemente repartida de 1.7 ton/m2 y otra sobrecarga lineal paralela a la corona de 7 ton/m.I. a 2.1 O m de separación.

Propósito:

Calcular el empuje activo de un material arcillo limoso sobre un muro y el efecto de sobrecargas, una

51

~ Método semiempírico de Terzaghi

1mcyc

~2

ilm~li='i"'t1 l rrtorum' Figura 1.3.4

40· y /I

' 1 P=co

6.00m l 1Ev

! H/3

1 ........

1

EH

----------------------Cimentación firme

<Jw

uniformemente repartida y otra lineal, por el método semiempírico de Terzaghi.

Solución:

Se aplicará el método semiempírico de Terzaghi, para lo

cual se utilizará las gráficas presentadas en la figura 1.3.4.

Por sus características el relleno se considera un relleno tipo IV.

De las gráficas se obtiene para p = O:

KH = 1650 kg/m2/m.I. de muro

= O kg/m 2/m.I. de muro


EH = Yi X KH X H2

= Yi X KV X H2

= Yi X 1650 X 62


= Yi X 0 X 62

= O kg por metro lineal de muro

El empuje activo horizontal debido al terreno esta aplicado

a un tercio de la altura, medido a partir de la base. Los empujes producidos por sobrecargas, se calculan de la siguiente manera.

a) Sobrecarga lineal, uniformemente repartida.


e = Cq

donde el coeficiente c se obtiene de la siguiente tabla

propuesta por Terzaghi:

52

ARCILLA LIMOSA

NAF profundo

KH

KV

Tipo de relleno

1

11

111

IV

V

Para este caso:

p = Cq

= 1.00 X 7

e = 7 ton/mi


VALORES DE C

e 0.27

0.30

0.39

1.00

1.00

La ubicación del punto de aplicación del empuje esta en la intersección del muro y la recta que parte del punto de aplicación de la carga con una dirección de 40°.

b) Efecto de la sobrecarga uniformemente repartida.

Produce una presión horizontal constante en toda la vertical

del muro con valor:

= Cw.

El valor de C se obtiene de la tabla anterior.


Para este caso

= 1.00 X 1.7

= 1.70 ton/m 2•

= 1.70 ton/ml~

Terzaghi recomienda evitar en la medida de lo posible el tipo de relleno IV.

El cálculo del efecto de las sobrecargas uniformemente repartidas y lineal es bastante sencillo. Se utilizan las fórmulas en función de un coeficiente que se da en una tabla.

Problema 1.3.5 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el empuje activo que produce un relleno de fragmentos de arcilla dura, protegidos contra la acción del agua, sobre el muro que se presenta. Existe una sobrecarga lineal y

uniforme de 3.1 toneladas por metro lineal. El NAF esta profundo.

Propósito:


Solución.·

Se aplicará el método semiempírico de terzaghi, para lo cual se utilizará las gráfica presentada en la figura 1.3.5.1

Por las características del relleno se clasifica como un

relleno tipo V.

Figura 1.3.5.1

6.00m

1 .60

De las gráficas se obtiene:

= 1900 kg/m2/m.l.ide muro

= O kg/m 2/m.I. de muro

Las fórmulas aplicables sÓn:

= Yi X KH X (H-1 .20)2

= Yi X KV X (H- 1.20)2

fli = Yz X 1900 X 4.802

= 21..filIB kg por metro lineal de muro

Ev =O

v 1mcyc

Para este tipo de relleno la altura H de cálculo es igual a la altura real menos 1.20 m.

Kv


Por otra parte, Terzaghi indica que en este tipo de relleno la distancia del punto de aplicación del empuje, a partir de la base, se reduce a:

d

d

= 1 /3 (H - 1.20) en metros.

= 1/3 ( 6.00 - 1.20)

1.50 ~

o

B

q = 3 ton/m.l.

A

Fragmentos de arcilla dura

¡ ,.E_v ___ EH

!

e! 1

H/3

NAF profundo

t Cimentación firme


o 1mcyc

Sobrecarga sobre el pie del muro, W1

d = 1.60 ro

El efecto de la sobrecarga es

p = Cxq

= 1.00 X 3

p = 3 ton/m.I.

54

/

Í60·\ I \

/ \

L

Figura 1.3.5.2


Cuando, la sobrecarga esta en la zona OA produce una presión vertical en la base del pie del muro, BC, que debe tomar en cuenta en el diseño. Una forma de hacerlo es considerar una influencia de 60° a partir del punto de aplicación de la carga q, tal como se muestra en el croquis explicativo de la figura 1.3.5.2.

q w1 =L

3x2tan(30º) w1 6-0.6

w1 = 0.64 ton/m2

El relleno tipo V no es recomendable cuando existe el riesgo que fragmentos de la arcilla puedan humedecerse, pues la expansión y presiones generadas son demasiado grandes para que puedan ser resistidos por cualquier muro.


Procedimiento de Cuaquot y Kerisel

Círculo de Fricción

o 1mcyc

· Problema 1.4.1 Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa, EA, producida por un relleno de arena sobre la pared vertical lisa interna de un muro con 6.0 m de altura. El peso volumétrico seco de la arena es de 1 700 kg/m3 y el ángulo de fricción interna de 34 °. el nivel de aguas freáticas esta profundo. El talud superior del relleno es de 20°. Utilice el método propuesto por Cuaquot y Kerisel. (NA VDOCK).

Determinar el empuje activo por el Método de Cuaquot y Kerisel para un suelo puramente friccionante.

Propósito:

6.0m


Solución:

Se utilizará la figura 1.4 (pag. 58) propuesta por los investigadores Cuaquot y Kerisel.

EA = PA

= Yí KA y H2

EAH = EA cos ()

EAV = EA sen 8


c=O <!>= 34°

NAF profundo

Figura 1.4.1

55

~j 1mcyc

ll ¡ = 20/34

= 0.59

= + 0.6 (supuesto)

= 0.43 obtenido de la gráfica.

= PA

= Yi X 0.43 X 1.7 X6 X 6

= 13 16 ton

= + 0.6 ~

= 20.4°

EAH = 13.16 cos 20.4º

= 12 33 ton

E: = 13.16 sen 20.4º

= 4 58 ton

aplicados a un tercio de la altura

d =20m

El método de Cuaqot y Kerisel propone utizar una

superficie curva en la base. Se aplica en suelos

puramente friccionantes, por su sencillez en la

aplicación.

Problema 1.4.2

Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasivo, Er, cuando al muro indicado en el problema 1.4.1 anterior es sujetado a un estado de presiones pasivo con el ángulo de fricción entre muro y suelo negativo.

Propósito:

Calcular el empuje pasivo por el método propuesto por Cuaqot y Kerisel.

Solución:

Se utilizará la figura 1.4 propuesta por los investigadores

Cuaquot y Kerisel.

Er = Pr

= Yi Kr y H2

EPH = Er coso

EPV = Er sen o

ll = 20/34 ¡

56


= + 0.59

= - 0.6 (supuesto)

= 3.4 obtenido de la gráfica.

Obtención del factor de reducción al pasivo, R.

De la tabla mostrada en la parte superior de la figura 1.4, se

tiene:

Interpolando

R = 0.840

= PA

= Yi X 3.4 X 1.7 X 6 X 6 X 0.84

= 87 39 ton

EPH = 87.39 cos 20.4°

= 81.90....ton

= 87.39 sen 20.4°

= 30 46 ton por metro de ancho

Aplicados a un tercio de la altura

d = 2 O m

En el método de Cuaquot y Kerisel se hace una reducción al

pasivo. El factor de reducción se muestra en la figura 1.4.

Problema 1.4.3 Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva,Ep, producida por un relleno de arena limpia sobre la pared vertical de un muro que tiene 5.60 m de altura. El peso volumétrico seco de la arena es de 1680 kg/m3 y el ángulo de fricción interna de 30°. El nivel de aguas freáticas, esta profundo. Utilice el método propuesto por Cuaquot y Kerisel (NA VDOCK).

Propósito:

Determinar el empuje pasivo, por el método de Cuaquot y Kerisel, cuando la superficie del talud superior r~cto esta inclinado.

Solución:

Se utilizará la gráfica propuesta por Cuaquot y Kerisel

mostrada en la figura 1.4

Cuando el ángulo o este colocado hacia arriba de la

horizontal deberá considerarse como negativo y positivo

cuando o este hacia abajo. En este caso es negativo.


5.60m

curvas para b/$ = - 1

El valor de

+ 18/30

+ 0.6

De la gráfica se obtiene que:

Kf = 12 5

Para encontrar el factor de reducción R de KP se utiliza la tabla pequeña ubicada en el margen superior izquierdo de la gráfica.

Se considerara que

o = 21 o y

= - 0.7 por lo que:

=o 878


ARENA LIMPIA Ym = 1680 kg/m3

c=O <t> = 30°

NAF profundo

El valor de KP reducido es:

Kp = 12.5 X 0.811

= 10.98

EP = Yi KP y H2

Figura 1.4.3

Ep = Yi X 10.98 X 1680 X 5.602

ff = 289. 240 Kg.

El empuje pasivo horizontal vale:

EPH = Ep coso

y el vertical

EPH = EP sen o

= 289,240 cos(21 º )

= 272,796 kg

= 289,240 sen(21 ° )

= 98,926 kg

La posición del punto de aplicación es

d H

3

5.60 - 3

= 1....8.Lm

Q 1mcyc

El método se aplica para suelos puramente friccionantes. En el método se considera una base curva con forma de espiral logaritmica.

57

\) Cuñas con bases curvas

1mcyc

58

68

• 10 15 20 25 30 35 40 45

FACTOR DE REDUCCION R DE Kt PARA VARIAS RELACIONES DE B

4J.7 4J.6

0.978 0.962 0.961 0.934 0.939 0.901 0.912 0.880 0.878 0.811 0.838 0.752 0.783 0.682 0.718 0.800

20.0

10.0 9.0 8.0

4J.5 4J.4 4J.3

0.946 0.929 0.907 0.881 0.862 0.824 0.803 0.759 0.746 0.688 0.674 0.803 0.592 0.512 0.500 0.414

7.0 - o-p• Kp YH

8.0 · Presión pasiva

4J.2 4J.1

0.898 0.881

90.0 80.0 70.0

4J.O 60.0

0.864 50.0

40.0

Kp 5.0 Pp • i<pYH212; PH • Pp cosQ; P v • Pp al~O ---1--"'~..Jf-...-q~;__-11/l.~-.W-:~-4-4-.~--I~

Lu curvas moatradu aon para

4.0 Ot••-1.0 Ejemplo:•• 25";J/• • • 0.2 __ ___,,,..,.~~~~~~_,,,,.~---J.-+...oiiq..---J.--1--4--1--~

Ot••·0.3 4.0 l<p•R(Kpara0t••·0.1)

R- 0.711 --~~~N~llF--2'~--t:=airfll'C.-t-f--t--i--t-~""""'lF-Jl~--I l<p. (Ot•. -1.0). 3.12

4.0 l<p • 0.711X3.12-2.50

/(IJ = +0.6

1.0l~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 0.9~

0.8 --+-~.,.

0.1 o=(IJ }- JJ/(IJ = +1 u ~

0.51---l--+--+-f--+-3lloli.~~_,..,_,,.:¡~~~,..,;¡~::::-=::~a..r..--+--J--4-..J-.1..

0.4 Ka

0.3

0.2

0.1 o 10 ~ ~ 40 45

ÁNGULO DE FRICCIÓN INTERNA, GRADOS.

Figura 1.4 Coeficientes activos y pasivos NAVFAC (1982). Caquot y Kerisel (1949) Nota: Las curvas mostradas son para valores de ;=-1, para otros valores de¡ úsese los factores de reducción indicados en la tabla superior izquierda de la figura.

MÉTODO DEL CIRCULO DE FRICCIÓN

PO LIGO NO DE FUERZAS

j

/ i

i Í

Í

/ !

\

\ \ \ \ \ \

\

E

w


f

/ / / / ~ \

a DIAGRAMA

W.- Peso. C.- Fuerza de cohesión entre suelo y suelo, en la base del circulo. C'.- Fuerza de cohesión entre muro y relleno. FR.- Fuerza de fricción que se desarrolla en la base del circulo. E.- Empuje del relleno sobre el muro.

~· 1mcyc

59

G 1mcyc

Método gráfico del círculo de fricción 1. Determinación del valor de las fuerzas que intervienen y

de su punto de aplicación.

W Peso de la sección circular, aplicado en el centroide.

El peso de la sección se determina multiplicando su volumen,

área por ancho, por su respectivo peso volumétrico.

C Fuerza de la cohesión que actúa en la base de la sección.

Por lo que es igual a la longitud de la cuerda de la sección

circular, Le, por la unidad de ancho y por el valor de la

cohesión c. C =e Le

Actúa a una distancia X del centro, tal como se indica en la

figura, con un valor de: Le

X =-R Lª

La = Longitud del arco.

R = Radio.

C' =Fuerza· de cohesión que actúa entre el muro y el

relleno. Es igual al producto de la cohesión del terreno por

el área de contacto.

C' = e Lr ( por unidad de ancho) ,

La dirección de C' es la del respaldo del muro, si esta es recta.

EA= Empuje activo. Se conocen su dirección y su posición.

FR =Fuerza de fricción que actúa en la base circular. Se

desconocen: magnitud, posición y dirección.

2. Dibujo dél polígono funicular.

A una escala adecuada se dibuja el polígono de las fuerzas.

Conviene empezar con el peso W que es vertical. A

60

Encontrar el mínimo factor de seguridad de una sección

circular resulta laborioso y requiere la realización de

muchos tanteos para encontrarlo.


continuación se dibujan las fuerzas de cohesión e y e,¡ que

son paralelas a la dirección de la cuerda de la base circular y

del respaldo del muro, respectivamente. Con la dirección de

la resultante de estas fuerzas que esta aplicada en el punto, a,

se traza una línea que interceptara a la fuerza W en el punto b.

Es conveniente recordar que para que un sistema de fuerzas

no paralelas este en equilibrio es condición necesaria que

sean concurrentes.

La resultante1de las tres fuerzas C, C' y W, indicada en el polígono

funicular con el vector ~' en el diagrama pasará, paralelamente a

este vector, por el punto b. La suma de la fuerza resuítante anterior

con la fuerza E nos dará una nueva resultante de las fuerzas E; C; C" y W, que pasara por el punto e del diagrama. Para cerrar finalmente

el polígono y así asegurar que pueda existir el equilibrio será

suficiente conocer la dirección de la fuerza FR. Sin embargo como

esta dirección no se conoce Taylor propuso el seguimiento

delartificio descrito en el párrafo siguiente.

Obsérvese que si la fuerza es tangente a un circulo que pasa por el

centro y tiene un radio igual a R sen~ tendrá un ángulo ~ con la

dirección de la normal al círculo en el punto de aplicación de FR.

Por lo que se dibuja un círculo con el mismo centro y un radio

igual R sen~, al que se llama círculo de fricción. A continuación

se traza una línea que pase por el punto e y tenga una dirección

tal que sea tangente a este círculo de fricción. Una vez obtenido

en el diagrama la dirección de FR con esta misma dirección se

traza una línea que pase por el inicio de la fuerza e que esta

ubicado en el punto e del polígono de fuerzas. Esta líne_a

interceptará a la dirección del vector E en el punto d y con ello se

cerrara el poi ígono de fuerzas y se conocerán todas las fuerzas ..

El valor del empuje E así obtenido representa una sección,

pero no necesariamente la que produce el empuje máximo,

por lo que será necesario hacer un buen número de

secciones para lograr una aproximación suficiente, tal como

se indica.

F.S. \5!)1.4 Líneas que unen los valores de los F.S. mínimos

Para cada punto se debe encontrar el F.S. mínimo.


o 1mcyc


El efecto del procedimiento de construcción en el empuje producido por los rellenos sobre los elementos de soporte es grande, sobre todo, el referente a la compactación, ya que incrementan substancialmente el valor de los empujes. Actualmente, es muy utilizada la compactación mecánica en los muros de tierra armada y los construidos con geotextiles.

Los métodos de cálculo para tomar en cuenta el efecto de la compactación, son poco conocidos y relativamente nuevos. Los más conocidos son los de Broms, Murray, lngold y R. B. Peck.

Estimación de las presiones que producen los rellenos compactados Cuando los rellenos se compactan en capas con máquinas compactadoras, placas vibratorias o bailarinas dentro del suelo la presión horizontal se incrementa. Durante la compactación las fuerzas ejercidas por el equipo aumenta las presiones horizontales y verticales con valores por encima de los que producen las cargas estáticas. Después de retirado el equipo estas presiones disminuirán, pero siempre permanecerá una cierta presión residual por encima de la que produce la condición estática, que suele ser bastante mayor que ésta.

La estimación de las presiones que ejercen los rellenos compactados sobre los muros es complicada y difícil. Principalmente por el significativo efecto del procedimiento de construcción, por ello se recurre a estimarlas con procedimientos simplificados.

Existen varios procedimientos para estimar el efecto de la compactación de los rellenos, los más importantes pueden clasificarse en:


1.Procedimientos de cálculo en los que se propone una forma para el diagrama de presiones y conjuntamente se proporciona las fórmulas para definir las líneas envolventes. Actualmente los más usuales, entre otros, son los propuestos por:

O Broms rs Y 61 •

O Murrayr251 •

O lngoldr201 •

O Peck y Mesri¡251•

En estos procedimientos se define el diagrama de presiones que debe aplicarse determinando las líneas envolventes por medio de las fórmulas propuestas por los investigadores.

2. Procedimiento de cálculo que propone el diagrama de presiones por cartas y tablas proporcionadas por Duncan & Seed et al [l ll.

Diagrama envolvente de presiones típico, cuando existe compactación.

61

\; 1mcyc

a) Criterio de Broms

En el criterio de Broms la determinación del incremento de

carga debido al efecto del compactador, /j.crv, se realiza comúnmente utilizando los criterios elásticos de cálculo.

Se utiliza usualmente la solución de Newmark (1935) para

determinar el esfuerzo /j.crv en la esquina de un área rectangular uniformemente cargado.(véase fig. 1.5.2) Por otra parte, para el mismo caso anterior Murray, R.T. (1980) propone

otras fórmulas, C20 a C22, para el cálculo de /j.crH max que se darán en el problema 1.5.1.


ESFUERZO HORIZONTAL,cr8

z

Ka (s v + Os v) íC1l Z z e = L:::..:J

e K = 1/K Kc"f ----..: e o 1 C2 1

______,___~ \_K = 1 - sen f

~nea con ecuacióJ CJ 1

s =K cr H C V ~ C4

'\ B Línea con ecuación 1-----------... s = K cr

H º v 1 cs I

.ó.cr v .- Incremento de carga debido al efecto del compactador. Kc.- Coeficiente de empuje debido al efecto del compactador

Figura 1.5.1 Diagrama de presiones simplificado propuesto por Broms.

Muro

Figura 1.5.2



a '---4111-.. 11----L ----+

COMPACTADOR MURO

1 He

j z

Capas compactadas CTv = "(z

ó.av.- Efecto del compactador =

Carga estática + Carga dinámica vibratoria.

ESFUERZO HORIZONTAL,au

\\

'\

1-~--_.;:s.,A zc Zc =KA {2P" 1 c1 I t--~------~~ v-;r '\

', ' +-

(jHMAX

,, ',, t

P.- Carga por unidad de ......_ longitud, paralela al muro.

Línea con ecuación

s H = ~ ª v 1 cs I

Línea con ecuación s =K a

H A V

He = -1 fY (}" Hmax = PPy K.4 V"iiY 7t

~ 1mcyc

Figura 1.5.3Criterio lngold.

Figura 1.5.4 Criterio lngold. Envolvene de esfuerzo horizontales.

b) Criterio de lngold (1979).

Propone utiizar· las fórmulas que se presentan en las figuras

1.5.3 y 1.5.4

compactador. Con los vibradores modernos el efecto vibra

torio puede exceder de 5 a 6 veces su peso muerto.

p

p

Peso del compactador

Ancho del compactador

w L

El peso efectivo del compactador es igual a la suma del peso

muerto más el efecto de la vibración desarrollado por el


Si el compactador tiene varias ruedas, entonces la suma de

los anchos se toma como el ancho total del compactador.

En el caso en el que la orilla del compactador este a una dis

tancia a, del muro y para un a.ncho del compactador, L, ln

gold propone usar la fórmula:

63

~ Efecto de la compactación mecánica del relleno

1mcyc

ESFUERZO HORIZONTAL,cra

Figura 1.5.5

z 1- 3/ 4sen

µ= 2- sen<!>

El criterio de lngold es el más sencillo de aplicar.

c) Criterio de R.B. Peck y Mesri(1987).

Para el cálculo de ~crH propone las fórmulas de la figura 1.5.5

Notas:

Cuando la compactación se hace en sentido transversal y hacia el muro los esfuerzos se pueden incrementar notable

mente. Peck recomienda que se compacte en forma paralela a la corona del muro. La forma de hacer la compactación in-

Figura 1.5.6

64

Línea con ecuación ___ ..., crH = Kr crv = Kr Yz 1 Ct4 I

Línea con ecuación f)..crH//)..z = 'YKo/4(5-51.2 senf) 1 C15 1

crH= Ko Yz + 1/4(51.2 senf -1)/)..crH 1 C16 1

f)..crH .- Incremento de carga hori-zontal debido al efecto del com

Línea con ecuación

1 ClS 1 CRITERIO DE PECK Y MESRI

fluye mucho en el resultado final, una práctica incorrecta produce esfuerzos innecesariamente excesivos.

--------LIMITACIONES:

Los criterios de Broms, lngold y Peck se pueden utilizar en muros de hasta 9.00 metros de altura. -- -La compactación se realiza en el sentido longitudinal al eje del muro. En el sentido transversal y compactando hacia el_ muro se incrementan demasiado las presiones sobre las estructuras por lo que se considera una práctica indeseable.

P.- Carga del compactador.

X2 - X1 .- Ancho del compactador que trabaja en sentido paralelo al muro.

------------------


Problema 1.5.1 Dibuje el diagrama de presiones que ejerce un relleno mezcla de arena y grava compactado longitudinalmente en capas detrás del muro. La altura del muro es de 9.00 m y esta desplantado sobre un estrato de arena. Se usara un compactador que trabajara pegado al muro y en sentido longitudinal, cuyo peso es de 7.5 ton, longitud de 2.40 m y ancho de 1.20 m. Utilice los criterios de: a) lngold. b) Broms. c) Peck.

Propósito:

Analizar el efecto de los trabajos de compactación del relleno por los métodos de análisis de lngold, Broms, Peck y comparar/os.

T 8m

lm

RELLENO :MEZCLA DE GRAVA Y ARENA. c=O 4> = 40° {KA= 0.217) 'Y= 2 ton/m2

ESTRATO DE ~RENA: e = O cj> = 35• 'Y= 2 ton/m2

Figura 1.5.1.1

a) Criterio de lngold.

Determinación del diagrama de presiones sobre el muro.

=~

=~2x711.Sx2 O"Hmax

= 3.09 ton/m 2

=0217~2;:~5

= 0.34 m


~ 1mcyc

0.34m 3.09 ton/m2

\ \ \

6.78m \ \

3.09 ton/m2

l.88m

DIAGRAMA DE PRESIONES

Figura 1.5.1.2

1 {2;7.5" = 0.217 -y-¡;;;-

= 7.12 m

La presión en la base del muro es:

crHv = KA y H

E

= 0.217 X 2 X 9

= 3.91 ton/m2

= 0.34 X 3.09/2 + 3.09 (6.78 + 1.88) +

+ 1.88/2 (3.91 - 3.09)

= 28 05 ton

El empuje activo debido a Rankine es:

= Yi kAyH 2

= Yi X 2 X 0.21 7 X 92

= 17.58 ton (por metro lineal de muro)

65

o 1mcyc

El empuje activo E de Rankine se incrementó 28.05/17.58 = 1.60 veces por el efecto de la compactación.

b) Criterio de Broms

Para el cálculo del valor del esfuerzo horizontal en el punto de quiebre A, se puede calcular el incremenento de la pre-

crH = Ko ('YH + fl.crv)


fl.crv se calcula haciendo una tabla para calcular los esfuerzos verticales sobre un plano horizontal para el caso de una carga uniforme sobre un area rectangular a diferentes profundidades z.

w = P/(LxB) Muro

Compactador

z

Figura 1.5.1.3

sión vertical causado por el compactador por el criterio de R.W. Fadum para la distribución de esfuerzos bajo una superficie uniformemente cargada.

Tablal Criterio de Fadum

wx 2 licrv KoC~crv + yz) cruz z m n yz Kcyz

0.10 12 12 0.248 5.20 1.29 0.20 0.54 0.55

0.12 10 10 0.247 5.20 1.28 0.24 0.55 0.67

O.lOm

0.66m

8.24m

KoYz = 0.36 x 2 x 9 = 6.48 ton/m2


Figura 1.5.1.4

66

Se eligen los valores de z = 0.1 O m y crH = 0.55 ton/m2 para el punto A.

El valor del empuje E es:

E = 0.1 Ox0.55/2 + 0.55(0.66 + 8.24) +

+ 8.24/2(6.48 - 0.55)

E = 29 35 ton(por metro lineaD

El valor del empuje E es un poco mayor que el de 28.25

ton, calculado con el criterio de lngold.

Criterio de Broms-Murray. ·Proposición de Murray, R.T. (1980) para determinar el punto de quiebre A. Para ello, utiliza las fórmulas siguientes aplicables para una carga unifor- .. memente distribuida en un ancho de banda paralelo al muro y de longitud infinita:

P 1 x3 { 1-2 µ) l a+ l

/icr = 7tZ L RJ - R + z x J [C20] a

r '(x)3 (x)l lx 1 P 1 'R - 2 'R 1 •·L 1

zA =~-1 K 1 r [c211

l "Y l K: -l J. J

crH = Koyz + /icrHmax [C22]

Donde:


Efecto de Ja compactación mecánica del relleno

L = Ancho del compactador.

a = Distancia de la orilla del compactador a la esqui-na de la corona del muro.

R = (x2 + z2)112

Kc = 1/K0

La relación de Poissons

µ

Para este problema a = O.

p r L3 (1-2µ) i = rrz L R3 - R + z L J

µ = 0.56 ; L = 1.20 m ; P = 7.5 ton ; R = (z2 + 1.202)112

Ko = 0.36 ; KP = 2.78.

Se construye la tabla siguiente, en dónde se deben igualar

crH y Kryz.

Tablal Criterio de Murrar

z ,1crH Koyz SH KpyZ

0.25 9.64 0.18 6.11 1.39

o.so 7.10 0.36 7.46 2.78

0.61 3.01 0.44 3.45 3.39 Se elige

0.62 2.94 0.45 3.39 3.45 z = 0.61

0.63 2.87 0.45 3.32 3.50 OH = 3.45

El valor del empuje E es:

E = 0.61x3.45/2 + 3.45(4.18 +4.21) +

0.61 m

3.45 ton/m2

4.18m

3.45 ton/m2

4.21 m

Ko'Yz = 0.36 x 2 x 9 = 6.48 ton/m2


Figura 1.5.1.5


~ 1mcyc

+ 4.21/2(6.48 - 3.45)

E = 36 38 ton(por metro lineaD

El valores un 24 % mayor que el de 29.35 ton/m 2 calculado con el criterio de Broms.

d) Criterio de R.B. Peck

µ = (1- % sen ~)/(2 - sen ~)

= 0.38

L = 1.20 m

= 0.36

P = 7.5 ton ; x1 = O

= 1/KA

= 1/ 0.217

= 4.61

MjM = (0.36 x 2)/4(5 - 5u x o.64)

= 0.12

Determinación del punto de quiebre:

z 0.25

o.so 10.82

7.10

0.18

0.36

(1) Se aplicó la fórmula [ C19]

(2) Se aplicó la fórmula [ C16]

6.83

4.56

= 4.56 + 0.28 ( z = 0.50 m)

0.50m

8.50m

1.15

4.61 Se elige

6.94 ton/m2

1.00m ._____\ DIAGRAMA DE PRESIONES

Figura 1.5.1.6

67

~ 1mcyc

A la profundidad de 9 m

crH = 6.94 ton (por metro lineal)

E

E

= 4.56x0.50/2 + (4.56 + 6.94)8.5/2

= 50.02 ton (por metro lineall

El empuje E se incrementó 1.78 veces con respecto a lngold.

Problema 1.5.2 El relleno del mismo muro del problema anterior 1.5.1 se compactará dejando un espacio mínimo entre la corona del muro y el compactador de un metro. Dibuje el diagrama de presiones y encuentre el valor del empuje usando el criterio de lngold.

Propósito.·

Analizar el efecto de dejar un espacio entre muro y compac

tador en las presiones que ejerce un relleno sobre un muro.

La fórmula que se aplica es:

0.34m

6.78m

l.88m

2 2.19 ton/m

2 2.19 ton/m

4.12 ton/m2


Figura 1.5.1.7

68


L Longitud del compactador = 2.40 m

a Distancia de la traza del compactador al muro = 1.00 m

( L ) 2.40

a+ L = (1.00 + 2.40)

= 0.71

Los valores de crHmax encontrados anteriormente se multiplican por 0.71:

crHmax = 0.71 X 3.09

= 2.19 ton/m2

Los otros valores permanecen iguales.

E = 0.34 X 2.19/2 + 2.19 (6.78 + 1.88) +

+ 1.88/2 (4.12 - 2.19)

= 21 1 5 ton (por metro ljneall

Comparando este valor con el obtenido al compactar desde la orilla, se tiene: 21.15/28.25 = 0.75

El empuje disminuyó 25% al separar el compactador un metro de la orilla del muro.

0.34m

8.66m

15.45 ton/m2

15.45 ton/m2

4.12 ton/m2


Figura 1.5.1.8

Problemas básicos de empujes de ~uelos sobre estructuras de soporte


Problema 1.5.3 El relleno del mismo muro del problema anterior 1.5.1 se compactará adicionándole al compactador un sistema vibratorio que incrementa el empuje estático cinco veces. Se desea dibujar el diagrama de presiones y encontrar el valor del empuje utilizando el criterio de lngold.

Propósito:

Analizar el efecto de la compactación por vibración.

Cálculo de empuje horizontal máximo.

~'t~x2 = 5 X 3.09

= 15.45 ton/m 2

E = 0.34 X 15.45/2 + 15.45 X 8.66

K!Ka

o 1

I / I I

/ ¿ I /

/B ' I / I I

/

/

/ ¡

I I z

/ / I / I ,

I / I / I /

/ / I

I /

6.lOm

I , ¡l l'

1.5

• I / I ' I • I

/ I • I • I

/1 • I . ,

¡, ,•/

2

J) /

,i I

I I

I I

I I

I

I

o 1mcyc

E = 136 42 ton (por metro linean

Comparando este valor con el obtenido por el criterio de Rankine, se tiene:

136.42/28.25 = 4.83

El empuje se incrementó 4.83 veces con respecto a la compactación estática ..

Empuje de los suelos en muros de suelos mecánicamente estabilizados

El empuje de los suelos sobre este tipo de muros, cuyos rellenos son predominantemente granulares, dependerá principalmente del procedimiento de construcción, tipo de refuerzo y restricciones que se usen. Los tipos de refuerzo pueden ser desde rígidos hasta bastanteflexibles. Si el muro cede lo suficiente al empuje entonces la presión activa de

I I

I I

I I

I

I

/E

3 Coeficiente de empuje real

Coeficiente de empuje activo

A. Geotextil. B. Geomalla. C. Tiras metálicas. D. Mallas de barras E. Mallas de alambre

Profundidad, en metros

RECOMENDACIONES DE VALORES DE K/KA PROPUESTOS POR EL TRANSPORTATION

RESEARCH BOARD

Fig.1.5.2 Empuje de los suelos en muros de suelos mecánicamente estabilizados.


~ Efecto de la compactación mecánica del relleno

1mcyc

Tabla 1.5.4.1

Punto Proff Geotextil Geomalla

o 1.0 X 0 = 0 1.50 X 0 = 0

2 1.52 1 x(1.7 x 1.52L= 2.58 1.37 X 2.58 = 3.53

3 3,05 1 X(1.7 X 3.05) = 5.18 1,25 X (1.7 X 3.05) = 6.47

4 4.57 1 X(1.7 X 4.57) = 7.77 1.12 X 7.77 = 8.70

5 6.10 1 x(1.7 x 6.1 O) = 10.37 1.0 X 10.37 = 10.37

6 8.00 1 X(1.7 X 8) = 13.60 13.60

Rankine puede ser la apropiada, como es el caso de los muros hechos con geotextiles, para otro tipos de muros con restricciones más rígidas los empujes son mayores.

Los valores recomendados por el Transportation Reseach Board (1995) para el coeficiente de empuje lateral sobre un muro me

cánicamente estabilizado se muestran en la figura 1.5.2:

Problema 1.5.4. Calcule el diagrama de presiones que ejerce el suelo pura

mente friccionante, <!> = 30°, y = 1.70 ton/m3 y 8.00 m de altura, en un muro mecánicamente estabilizado con el criterio del Transportation Reseach Board para las alternativas de:

70

A. Geotextil.

B. Geomalla.

C. Tiras metálicas.

D. Mallas de barras.

E. Mallas de alambre

Tiras metálicas Mallas de barras Malla de alambre

2.00 X 0 == 0 2.50 X 0 == 0 3.00 X 0 = 0

1.87 X 2.58 = 4.82 2.25 X 2.58 = 5.80 2.62 X 2.58 = 6.76

1.50 X 5.18 = 7.77 2.00 X 5.18 = 10.36 2.25 X 5.18 = 11.65

1.25 X 7.77 == 9.71 1.75 X 7.77 = 13.60 1.87 X 7.77 = 14.53

1.0 X 10.37 = 10.37 1.50x 10.37 = 15.55 ¡.5o x 10.37 = 15.55

13.60 13.6 X 1.50 = 20.40 13.6 X 1.50 = 20.40

Propósito:

Estimar las presiones que ejerce un suelo granular sobre un muro mecánicamente estabilizado utilizando un determinado criterio para analizar diferentes alternativas.

Solución:

Se hará la tabla 1.5.4.1 para calcular el valor de la presión en diferentes profundidades. A cada profundidad se le apli

cara la ecuación:

crH = Ky H

La K que se aplicaráerá la que nos indica la Transportation

Reseach Board para cada profundidad.

Con estos valores se puede dibujar el diagrama de presiones sobre los muros y los valores de los empujes respectivos.

El cálculo de las presiones siguiendo las recomendaciones del Transportation Reseach Board es sencillo. El pro

cedimiento de construcción, como es la compactación del relleno es muy importante y deben seguirse las reco

mendaciones al caso que proporcionan diferentes institu

ciones.


En 1970 durante la 2a. Conferencia Especial de la ASCE se

sugirió (Seed y Whitman) emplear la ecuacion de Monobe

Okabe como base del método estándar para el diseño de es

tructuras de contención.

En 1990 durante la Conferencia Especial de la ASCE en la

publicación, Geotechnical Special Publication no. 25, Ro

bert V Whitman en su artículo: Seismic Design And Behavoir Retaining Wal/s nos dice: "El comportamiento de Jos muros de gravedad y otras estructuras de retención es bastante más complicado que lo propuesto por el modelo físico y matemático de Monobe-Okabe, sin embargo, esta venerable ecuación cuando es bien aplicada y se introducen los parametros y factores de seguridad correctos da una sólida base de diseño de muchas estructuras de retención".

En las conclusiones afirma:"f/ resultado de las investigaciones permiten concluir que es satisfactorio el uso de la ecuación de Monobe-Okabe para el diseño de muros simples de hasta 9 metros (30 pies) de altura, para muros de mayor altura deben hacerse análisis más cuidadosos".

Como el Método de Monobe-Okabe se utiliza solamente en

suelos puramente ficcionantes se puede utilizar una exten

sión de este método para el caso de suelos con cohesión

propuesto por Prakash y Saran (1966 y 1968).

Estos dos métodos se utilizan en casos que el nivel freático

está profundo,· para el caso de NAF superficial se requieren

análisis cuidadosos bastante más complicados.

El movimiento de los terrenos durante los sismos tiende a in

crementar las presiones que actúan sobre los muros. Varios

autores, entre ellos T. H. Wu consideran que: muros con fac

tores de seguridad mayor de 1.5 para cargas estáticas pue

den soportar una aceleración horizontal de 0.2g y que para

aceleraciones mayores se deben considerar las fuerzas sís

micas adicionales.


~ 1mcyc

Criterio de Monobe-Okabe (1929)

Es el más usado para considerar el efecto sísmico. Conside

ra una cuña tipo Coulomb sujeta adicionalmente a fuerzas

horizontales y verticales inducidas por el sismo, que se cal

culan por las fórmulas:

EAt = EAE + EAD

EAT Empuje activo total.

EAE Empuje activo estático.

EAo Empuje activo dinámico, actuando a 0.6 Ha partir de la base (Seed y Whitman).

Empuje activo total (estático mas dinámico):

EAT = Yz H2 (1 - k) KAD

Empuje pasivo total (estático mas dinámico):

EPT = Yz H2 (1 - k) KPD

Donde:

2 J ( sen(~+O)sen(~-0-Pl )X ]2

COS CO cos9 COS(8+9+co;¡_1 + cos!&tro+al cos!w-Pl

cos2 (~-e +co)

2 J ( sen(~+O)sen(~+O-Pl )X ]2

COS co COS 9 cos(8 + 9 - CO't_ 1- cos!l>-w+OJ cos!w-Pl

kH Coeficiente sísmico de aceleración horizontal

kv Coeficiente sísmico de aceleración vertical

componente horizontal de la aceleración sísmica g(aceleración de la gravedad)

-componente vertical de la aceleración sísmica

kv - g(aceleración de Ja gravedad)

71

~ 1mcyc

Figura 1.6.1 Empuje dinámico. Cirterio de Monobe-Okabe.

Problema 1.6.1. Un muro de retención de 4.00 m de altura soporta una gra

va arenosa con un peso volumétrico y = 1.55 ton/m3• La

cohesión es nula y el ángulo de fricción es de~ = 30º. El

muro es de respaldo vertical, co = Oº y se considerara que el ángulo de fricción entre el muro y el relleno es de

8 = ~/2 = 15º. Determine la presión sobre el muro del relleno si el sismo de diseño induce una kv = O y una kH = 0.2. Además determine la posición de la resultante.

Propósito:

Calcular el efecto de un sismo sobre un muro utilizando el criterio de Monobe-Okabe para un suelo friccionante.

Solución:

La componente vertical del sismo es igual a cero (kv = O).

Aplicando la fórmula de Monobe-Okabe con:

~=30º, co=P=Oº, N8=15º y 8= tan·1(kH1/1-kv) = tan-1(0.2/1) = 11.31º

obtenemos:

KAU = 0.452

El empuje total debido al empuje estático mas el del sismo

vale:

EAT = Yi y H2 (1 - k) KAD

EAT = Yi X 1.55 X 42 (1 - O) X 0.452

.EAI = 5.61 ton/m.I.

El empuje estático vale:

72


0.6H

l = Yi X 1.55 X 42 X 0.30 (KA = 0.30)

.EAL = 3.74 ton/m.I.

aplicado a

4/3 = 1.33 m

El empuje, debido al sismo, es igual al empuje total menos el empuje estático.

EAD = 5.61 - 3.74

.EAU = 1.87 ton/m.I.

aplicado a

0.6 X 4 = 2.4 m

La posición de la fuerza resultante de la estática y la dinámi

ca es:

d X EAT = EA H/3 + EAD X 0.6 H

= 3.74 X 4/3 + 1.87 X 0.6 X 4

= d X 5.61

d = 1.69m

El método de Monobe-Okabe es recomendado por la

A.S.C.E. (1970 y 1990) como un método estándar para

evaluar las fuerzas dinámicas sobre los muros por los

aceptables resultados obtenidos en la práctica.

Problema 1.6.2 Un muro de retención de 6.00 m de altura soporta un relleno de arena, con talud inclinado de la superficie de 1 Oº,

que tiene un peso volumétrico y = 1.75 ton/m3• La cohe

sión es nula y el ángulo de fricción es de~ = 35°. El muro es



de respaldo vertical, ro = Oº y se considera que el ángulo de

fricción entre muro y relleno es de 8 = 2~/3 = 23.33º. Determine la presión del relleno sobre el muro si el sismo de diseño induce una kv = O y una kH = 0.2. Además determine la posición de la resultante.

Propósito:

Calcular el efecto de un sismo sobre un muro utilizando el criterio de Monobe-Okabe.

Solución:

La componente vertical del sismo es igual a cero (kv = O).

Aplicando la fórmula de Monobe-Okabe con:~= 35º, ro= Oº,

p = 1 Oº, 8 = 23.33º

y 8 = tan·1(kH1/1-kv) = tan·1(0.2/1)=11.31 º

Aplicando la fórmula obtenemos:

KAll = 0.464.

El empuje total debido al empuje estático más el del sismo vale:

EAT = Yi Y H 2 (1 - k) KaT

EAT = Yi X 1.75 X 62 (1 - O) X 0.464

.EAI = 14.49 ton/m.I.

El empuje estático vale:

EA = Yi X 1.75 X 62 X 0.271 (KA = 0.288)

.EAL = 9.07 ton/m.I.


\') 1mcyc

aplicado a

6/3 = 2.00 m

El empuje debido al sismo es igual al empuje total menos el empuje estático.

EAD_ =14.49-9.07

.EAO.. = 5.42 ton/m.I.

aplicado. a

0.6 X 6 = 3.6 m

La posición de la fuerza resultante de la estática y la dinámi

ca es:

d X E AT = E A H/3 + E AD X o. 6 H

d X 14.49 = 9.07 X 6/3 + 5.42 X 0.6 X 6

d = 2.59 m

El método de Monobe-Okabe es muy sencillo de aplicar y ofrece resultados aceptables en la práctica.

El método de Monobe-Okabe se aplica en suelos puramente friccionantes con NAF profundo.

El efecto del agua cuando suceden sismos es importante y requiere de consideraciones cu!dadosas que estan fuera del alcance de este libro. Existen reportes de numerosas fallas por esta causa, en zonas sísmicas costeras y fluviales, sobre todo en suelos y rellenos cohesivos.

73

Método de Prakash - Saran

SOBRECARGA,q

11 .. llr, ZONA1filE 11 11 AGRIE;'rAMIENTO :1

1 :11 fü

_____ J __________ ! __________ J ___ r --------

Wkh ,,

1 e ,," :~.-" FR 1 ,. 1 ,. ;

1 ;

~ ;' ;'

; ;

" ;

f'.igura 1.6.4 Empuje Dinámico. Criterio de Prakash-Saran. Aplicable a suelos con cohesión.

H

o 1mcyc

La fórmula propuesta para calcular el empuje dinámico es: {(n + Yi)[tan(ro) + tan(xl + 4- tan( ro)]} · [cos(x + ~) + KHserl.x + ~ )]

EAo =yH2 [N Ay] +qH[N Aq]-cH[N Ac1 1.6.1

Los coeficientes NA1 , Naq y NAc se determinan aplicando las fórmulas siguientes:

n = H/H

[ cos(x + $ +ro) sec(ro) + cos($ )se(x)] N -~__:_;:...._.:..._~~~~~--'-~--'-

Ac sen(x +$+ro +8) 1.6.2

[(n+ 1) tan(ro) + tan(x)][cos(x +$) + KHsen(x +$)] NA - 1.6.3

q sen(x +$+ro +8)


NAy = ser( x + ~ + ro + o)

1.6.4

Problema 1.6.4. Un muro de retención de 6.00 111 de altura y respaldo inclinado ro = 10° con respecto a la vertical soporta un limo arenoso que tiene un peso volumétrico y= 1.55 ton/m3 sobre el cual existe una sobrecarga de 2 ton/m2

• La cohesión

es 1.7 ton/m2 y el ángulo de fricción es de $ = 12º. Se consi-

75

o Método de Prakash - Sacan

1mcyc

1 1 q = 2 ton/m2

11 11 1, Figura 1.6.4.1 Criterio de Prakash-Saran.

ZONA •füE 1 , 1 , ... ·r,

AGRIEif AMIENTO :,' :,' fü -----~----------! __________ ]___ --------

Wkh /

M ,' .......... e:

, , ,

-11 ...... •c.G. /:

', , ' LIMO-ARENOSO

1 ,'' <1>=12° í--c ,' F c=2ton/m2 1 .. ~, R : / ',

45º NAF Profundo

: , , ' \ kH = 0.2

H

HT =6m

_________ ........ ------ -·- ---- - --------- ----

derara que el ángulo de fricción entre muro y el relleno es

de o= ~/2 = 6. Determine el empuje activo dinámico producido sobre el muro por una cuña cuya base esta inclinada 45° con respecto a la horizontal, si el sismo de diseño induce una kv= O y una kH = 0.2. Además determine la posición de la resultante.

Propósito:

Calcular el efecto de un sismo sobre un muro utilizando el

criterio de Prakash-Saran para un suelo con cohesión y fric

ción.

Solución:

Se aplicaran las fórmulas de Prakash-Saran, donde:

La profundidad de las grietas de tensión es:

2c.ji<; HA=

y

HA y n =

H

HA = 2 X 2 X ( 0.656) 112/1.55

= 2.09 m

:. H = 6- 2.09

= 3.91 m

n = 2.09/3.91

= 0.53

o= ~12 = 12/2 = 6° ; X= 45° ;~ = 12° ; co = 10 º;

[cos(45 º + 12 º + 10 º) sec(10 º) + cos(12 º) sec(45 º)]

sen(45º +12º +10º +6º)

= 1.867

76

o o o o o o [(0534+1)tan(10 )+tan(45 )][cos(45 +12 )+0.2scn(45 +12 ))

N Aq = o o o o scn(45 +12 +10 +6 )

NAq = 0.946

NAy =

{ 0.532 }

(053 + OS)[tan(lO) + tan(45) + -2

- tan(lO)) [cos(45 + 12) + 0.2scn(45+12))

scn(45+12+10 + 6)

= 0.811

= 1.55 X 3.91 2 X 0.811 + 2 X 3.91 X 0.946+

- 2 X 3.91 X 1.867

.EAll = 12.02 ton

El empuje dinámico es de 12.02 toneladas aplicado en el

centroide de la cuña analizada y con un ángulo con la hori

zontal igual a o + co = 6° + 1 Oº = 16º. Para encontrar el em

puje máximo será necesario encontrar la cuña que produce

el empuje estático máximo y determinar su empuje para su

marle el empuje dinámico.

El método de Prakash-Saran se aplica a suelos cohesivos

como arcillas, limos, arcillas arenosas, arcillas limos y limos arenosos, entre otros.

El método pretende ser una extensión del establecido por

Monobe-Okabe que sólo se aplica en suelos puramente

friccionantes, pero no tiene todavía la suficiente compro

bación práctica del método Monobe-Okabe.

o 1mcyc


EMPUJES DEL AGUA

Problema 1.7.1. El relleno del muro que se muestra primero esta _seco y después se satura completamente de agua a causa de fuertes lluvias y escurrimientos superficiales. Determine la presión que ejerce el agua sobre una cuña del relleno que se muestra en la figura, cuya base esta a 60° con la horizontal, para los casos siguientes: a) El relleno esta seco.


b) El nivel piezométrico del agua se mantiene en la superficie durante un tiempo.

c) Se coloca un dren horizontal en el desplante del relleno.

d) Se coloca un dren inclinado 3~º con respecto a la horizontal.

e) Se coloca un dren vertical pegado al respaldo del muro.

77

~ Efecto de la lluvia y el flujo del agua

1mcyc

Figura 1.7.1 Suelo natural impermeable. 1

Arena fina: 'Ym = 1.60 ton/m3

'Yd = 1.05 ton/m3

<1>=30° c=O

Rjm L=0.33 muro liso.

«------1'-SUELO NATURAL IMPERMEABLE

Propósito:

Determinar la influencia del flujo del agua en el relleno sobre la estabilidad del muro. Además determinar la influencia de la colocación de drenes en diferentes posiciones. a) El relleno esta seco.

f = YiKAydH 2

f = Yi X 0.33 X 1.05 X 82

= 11.09 ton por metro de ancho. b) El nivel piezométrico del agua se mantiene en la superficie.

f = YiKAy 'mH2

f = Yi X 0.33 X (1.60 - 1) X 82

= 6.34 ton por metro de ancho. Además se debe considerar el empuje horizontal del agua U.

.U = Yi X 1 X 82

= 32 ton por metro de ancho,

f 1_ = E + U

= 32 + 6.34

E101ª1 = 38.34 ton por metro de ancho. c) Colocación de un dren horizontal.

Figura 1.7.2

1

Solución.·

Se dibuja la red de flujo para la condición dada.

La fuerzas de filtración son verticales y no ocasionan ningún empuje horizontal sobre el muro. Por lo que el empuje vale:

f = Yi KA Ym H2

= 0.5 X 0.33 X 1.6 X 82

= 16.90 ton por metro de ancho. En esta solución se utilizo el peso volumétrico de la masa comple

tamente saturada, ym. En el caso de haber utilizado el peso volumé

trico sumergido, y·m,, adicionándole la fuerza de filtración, sucedería que: como aquí el gradiente hidráulico, i , vale la unidad

entonces la fuerza de filtración por unidad de volumen Uw= i xyw),

actuando hacia abajo y para yw = 1, evidentemente también vale

uno, por lo que quedaría: y·m + 1 = ym y el resultado seria el mismo. Puede observarse que el empuje de la condición b disminuyo hasta casi la mitad.

d) Colocación de un dren inclinado 30º

Solución:

Se dibuja la red de flujo para la condición dada.

Como las líneas de flujo son verticales y las equipotenciales horizontales igual que el inciso b) el resultado es el mismo:

f = Yi KA Ym H2

Líneas de flujo

Rlm Líneas equipotenciales

/;;;.~T=u=bº:::===JE5Eii!.llillEtEEE:as:!rEZBEE:I:iE:E!EElE~:E:EEE'E~ . ...--nren


= 0.5 X 0.33 X 1.6 X 82

= 16.....9..0. ton por metro de ancho. e) Colocación de un dren vertical pegado al respaldo del muro.

Solución:

Para la determinación del empuje del agua U, Comúnmente se uti

lizan dos procedimientos:

\) 1mcyc

Líneas de flujo

Líneas equipotenciales Figura 1.7.3

1) Utilización de la red de flujo para la cuña que produce el máxi

mo empuje, según el método de Coulomb; para lo cual se requiere probar diversas cuñas para obtener el máximo empuje.

2) Procedimiento propuesto por Gray para el caso de un muro con

dren vertical pegado al muro.

Superficie de falla

EMPUJE HIDRODIN~MICO SOBRE LA SUPERFICIE DE FALLA {Gray, 1958)

f=U/2 Y .. H2

1

04

1 1 1

1 1

1

l

~V / 0.2

/ ,.

~

o 10 20

Figura 1.7.4 Gráfica propuesta por Gray.


/ i 1 i

y /

,,,,. 1

30 40 a, GRADOS

./

1

1 1

50

79

o 1mcyc

Obtención de U por medio de la red de flujo

El caso a) es el del polígono de relleno seco.

El caso b) es el del polígono de relleno sumergido. En el peso su

mergido W' dará el empuje del suelo y UH el del agua que es considerable.

Los casos c) y d) corresponden al caso del relleno con flujo vertical.

B

7

Sm

A

B e

e

}m m

El área se considerará igual al promedio de las Hp por el segmento ~L1 correspondiente.

Figura 1.7.5 Cálculo del empuje del agua sobre una cuña.

80


',,/equipoten iales

' ' ' ' ' ' ' ' ' \ \ \

~ 12m

Líneas de flyjo

PUNTO Hp {m}

o o

1 0.84

2 1.37

3 1.73

4 2.10

5 2.31

6 2.21

7 1.58

8 o

\ \ \

AL {m}

0.60

0.80

0.90

1.00

1.23

1.40

1.60

1.70

ÁREA {~HpXL}

0.25

0.88

1.40

1.92

2.71

3.16

3.03

1.34

Área total = 14.69 U =Área x ancho x Yw = 14.69 x 1 x 1 = 14.69


RELLENO CON OREN VERTICAL

Cuando O= O el empuje ::sobre el muro valdrá E + UH

Figura 1.7.6 Polígonos de fuerza para diferentes casos de drenaje en muros.

Para el caso e) se utilizará el polígono correspondiente al caso del relleno con dren vertical. En nuestro problema el ángulo de fricción entre muro y suelo vale cero.

LFY =O;

+ 14.69 x sen 30° + FR x sen 60° - 25.60 = O;

E

U=14.69 ton


POLfGONO DE FUERZA

<1Ws F~

RELLENO SECO

W'

RELLENO SUMERGIDO

RELLENO CON FLUJO VERTICAL

FR = 21.26 ton

LF =O· X I

- 14.69 X cos 30° - FR X cos 60° + E = o Resolviendo las ecuaciones:

E = 23.24 ton por metro de ancho

Figura 1.7.7

W=25.60ton

~ 1mcyc

81

"i 1mcyc

Cálculo de U por el procedimiento de H. Gray. Considerando la gráfica de la Gray con:

a = 30° -obtenemos:

f = 0.27 Aplicando la fórmula indicada f = U/2ywH 2

, obtenemos:

U = 2ywH 2f

LJ = 2 X 1 X 82 X 0.27


LFY = O;

+ 34.56 x sen 30° + F R x sen 60° - 25.60 = O

:¿fx = O;

- 34.56 X cos 30° - F R X cos 60° + E = o Resolviendo las ecuaciones:

E = 34.73 ton por metro de ancho

Cuando la cimentación es impermeable, la introducción del agua en el relleno por lluvia intensa o por escurrimien

tos superficiales puede saturar completamente el relleno e

incrementar substancialmente el empuje sobre el muro. Por otra parte, como se vio en este ejemplo, la colocación de drenes disminuye considerablemente el empuje de re

llenos sobresaturados. La colocación de drenes horizontales son los más efectivos, pero también los más problemá

ticos de construir por lo que se prefiere por razones


gados al muro, pues aunque son menos efectivos disminuyen bastante el empuje. El resultado para este caso del método que utiliza el dibujo

de la red de flujo fue bastante menor el propuesto por H. Gra ara el dren vertical e ado al res aldo en 1.49 veces.

Problema 1.7.2

Calcule los empujes que se generan por presión del relleno, _del agua y de la sobrecarga sobre la tablestaca que se muestra en la figura.

Propósito.·

Determinar la influencia del flujo del agua en el relleno sobre la estabilidad de la tablestaca.

Solución.·

Considerar los siguientes pasos:

1) Determinación de los empujes del agua por el flujo hidrodinámi

co. Para ello, se hace el trazo de la red de flujo partiendo de ella deberá hacer los cálculos pertinentes. Otro camino a seguir es utilizar la proposición hecha por Terzaghi.

2) Se determinara la presión activa en el respaldo debida al empuje

del suelo y la sobrecarga en diferentes puntos.

CJA = KAcr'v+ KA q

1

2.70m 1.50m t ... _____________ __ Tirante

Figura 1.7.8 Hw=2.90m

11.00 m

7.lOm E

82

Variación de las mareas

Arena gruesa: =30° c=O 'Ym = 1.85 ton/m3

'Yd = 1.15 ton/m3

KA= 0.33 Kp=3

Efecto de Ja lluvia y el flujo del agua

Para calcular las presiones efectivas verticales, cr 'v, se utilizara la

Ley de las Presiones de Terzaghi que indica: La presión total es

igual a la suma de la presión efectiva y la del agua.

cr=cr'+U Por tanto es necesario determinar las presiones del agua U, previa

mente.

3) Se determina la presión pasiva hacia el frente de la tablestaca en

diferentes puntos.

4) La presión total es igual a la presión del suelo más la de la sobre

carga, más la debida al agua.

1) Determinación de las presiones del agua sobre la tablestaca por el flujo hidrodinámico.

Se dibuja la red de flujo como se indica en la figura 1.7.9

Se calcularan las presiones del agua en el respaldo del muro.

Se tienen 9 caídas de potencial y Hw = 2.90 m por lo que:

.6H = 2.90/9 = 0.32 m Para determinar las presiones en el punto considerado:

a) Se medirá la distancia entre el punto considerado y el nivel supe

rior del agua, punto 1, sobre el lado del respaldo de la tablestaca. A

esta distancia se le restara el número de caídas del potencial multi

plicado por yw.

b) Si existe presión del agua en la parte frontal de la tablestaca se le restara a la presión ejercida en la parte posterior. En la parte del suelo esta

presión es igual a la distancia medida en este punto menos las caídas de

potencial por ~Hyw correspondientes.

TABLESTACA

En el punto 1 .

u, =o En el punto de baja marea.

u2.90 = 2.90 ton/m 2

En el punto 2.

u 2 = 3.80 - 0.80 - o.32

= 2.68 ton/m 2•

En el punto 3.

U3 = 7.00 - 2 X 0.32 - 3.90

= 2 .46 ton/m 2•

En el punto 4.

LJ 4 = 8.30 - 2.6 X 0.32 - 5.40

= 2.07 ton/m 2•

En el punto 5.

LJ 5 = 9.30 - 3 X 0.32 - (930 - 8.4 X 0.32) = 1 .73 ton/m 2

En el punto 6.

LJ 6 = 11 . 10- 4 X 0. 3 2 - ( 11 . 10 + 2. 3 X 0. 3 2) = 0.88 ton/m 2

En el punto 7.

LJ 7 = 11.40 - 5.6 X 0.32 - (11.40 - 5.6 X 0.32) = O ton/m2

o 1mcyc

La determinación de las presiones del agua para suelos permeables

propuesta porTerzaghi se muestra en la figura. Como puede obser

varse es muy sencilla, el error que produce no es muy grande y esta del lado de la seguridad.

SIMPLIFICACIÓN PROPUESTA POR TERZAGHI

VARIACIÓN G---~-------,..._ ___ ....___.......,...__,...., Hw

DE LAS MAREAS

Hw

J. CIMENTACIÓN IMPERMEABLE

Figura 1.7.9 Tablestaca sujeta a presión del agua por un flujo causado por la variación de las mareas.


\i 1mcyc

2) Determinación de las presiones activas provocadas por el suelo

y la sobrecarga.

Punto A~ O+ 0.33 x 3 = 1.00 ton/m2•

Punto B cm = 0.33 x 1.15 x 2.70 + 0.33 x 3 = 2.02 ton/m2•

Punto e O"AC = 0.33 X (1.85 X 5.60 - Uc) + 0.33 X 3 = 4.42 - Ud3 ton/m2

•

a.A.e--==. 4.42 - 2.90/3 = JA5. ton/m2

Punto D ~ = 0.33 x (1.85 x 11.00- Uo) + 0.33 x 3 = 7.72- Uo/3 ton/m2

•

a~ 7.72 - 2.07/3 = L0.3. ton/m2

Punto E O"AE = 0.33 x (1.85 x 14.10 - Ue) + 0.33 x 3 = 9.61- Ue/3 ton/m 2

•

a~ 9.61-0/3 = ~ ton/m2•

3) Determinación de las presiones pasivas hacia el frente de la ta

blestaca:

Punto D crro = O

Punto E crre = 3 x (1.85 x 3.1 O - Ue) = 17.21 - 3Ue ton/m2•

crPE = 17.21 - 3 x O = 17.21 ton/m2. Sin embargo, Terzaghi indica que por efecto del flujo del empuje hi

drodinámico, que en la salida es hacia arriba, se provoca una dismi

nución del peso. Para considerar este efecto propone lo siguiente:

Se considere una reducción al peso en la salida de la tablestaca, 11y.

/ly = 0.32 H)D (ton/m3)

Hw Diferencias de alturas en las mareas alta y baja.

D Profundidad de hincado.

SUELO IMPERMEABLE

SUELOS COHESIVOS IMPERMEABLES

Efecto de Ja lluvia y el flujo del agua

Por lo que en los empujes pasivos únicamente, se tiene para los

puntos:

/ly = 0.32 x 2.90/3.1 O = 0.3.0 (ton/m3)

Punto D crPo = O

Punto E me = 3 x (1.85 - 0.30) x 3.1 O = 14.42 ton/m2•

4) Determinación de las presiones totales.

Punto A crAA = 1.00 + O= 1.00 ton/m2•

Punto B ~ 2.02 + 0= 2.02 ton/m 2•

Punto e O"AC = 3.45 + 2. 90 = 6.35 ton/m2

Punto D crAo = 7.03 + 2.07 = 9.10 ton/m2

Punto E crAE = 9.01 + O = 9.01 ton/m2•

Presiones pasivas:

Punto D. crpo = O

Punto E. crre = 14.42 ton/m2•

Resumen del procedimiento:

Para calcular los empujes horizontales, cuando ocurre un flujo de

agua en un relleno que empuja una estructura de contención, es

necesario considerar que los coeficientes activos o pasivos se apli

can solo sobre las presiones efectivas verticales, esto significa que

es necesario determinar estas presiones. Por otra parte, para hacer

el cálculo de las presiones efectivas verticales se debe aplicar la Ley

de las Presiones de Terzaghi (cr' = cr - u), lo que a su vez requiere

tener como dato la magnitud de las presiones que ejerce el agua u,

en cualquier punto del respaldo de la estructura y la presión total

SUELO PERMEABLE

SUELO IMPERMEABLE

'YH

SUELO PERMEABLE EN LA PARTE SUPERIOR E IMPERMEABLE EN LA INFERIOR

PRESIONES DEL AGUA SOBRE EL RESPALDO

Figura 1.7.10.- Simplificación propuesta por Terzaghi.



· que se determina fácilmente con la fórmula, cr= yz. Mientras que,

para determinar las presiones del agua se debe trazar la red de flujo

pertinente o bien, en el caso, utilizar la simplificación de las pre

siones ejercidas por el agua sobre un respaldo vertical propuesta

porTerzaghi; que es conservadora y suficientemente aproximada, además de sencilla.

Cuando ocurre un flujo en una estructura de contención para poder calcular los empujes es necesario considerar que los coeficientes activos o pasivos se aplican sobre las presiones efectivas verticales. Por otra parte, para calcular las presiones efectivas es necesario aplicar la Ley de la Presiones de Terzaghi que requiere del conocimiento de las presiones del agua.

A su vez, para determinar las presiones del agua se requiere trazar la red de flujo o también utilizar la simplificación propuesta por Terzaghi, que es conservadora y suficientemente aproximada.

Problema 1.7.3.

Calcule los empujes generados por presión del relleno, del agua y de la sobrecarga sobre la tablestaca que se muestra en la figura.

' 2.70m l.50m

l l

B

Hw=2.90m ,¡, e

11.00 m TABLESTACA

V

3.lOm

7.lOm E

Roca dura


~ 1mcyc

Propósito:

Determinar la influencia del flujo del agua en el relleno sobre la estabilidad de la tablestaca. Sobrecarga q = 3 ton/m 2

Solución:

Se seguirán los pasos siguientes:

1) Determinación de los empujes del agua por el flujo hidrodinámico.

Para ello se utilizara la proposición de Terzagui para suelos cohesi

vos impermeables, la cual se puede ver en el croquis de la fig. # de

la pagina anterior.

En el punto A.- UA = O ton/m2•

En el punto B.- Us = O ton/m2•

En el punto de baja marea.- U2.9o = 2. 90 ton/m2

En el punto C.- Uc = 2.90 ton/m 2•

En el punto D.- Uo = 2.90 ton/m2•

En el punto E.- Ue = 2.90 ton/m2

2) Determinación de las presiones del suelo y la sobrecarga.

Punto A. crAA = O + 0.33 x 3 = 1.00 ton/m2•

~~ ~-

Punto B. ~ 0.33 x 1.15 x 2.70 + 0.33 x 3 = 2.02 ton/m2•

Punto C. crAc = 0.33 x (1.85 x 5.60- Uc) + 0.33 x 3 = 4.42 - Ud3 ton/m2

•

dJ-M:; = 4.42 - 2.90/3 = .3....4.5. ton/m 2

Punto D. En la arena.

crA01 = 0.33 x (1.85 x 11.00 - U0 ) + 0.33 x 3

Tirante

Figura 1.7.11

85

~ .. 1mcyc

= 7.72 - UJ3 ton/m2.

O"AD = 7.72 - 2.90/3

= .6..15. ton/m2

Punto D. En la arcilla.

crAD2 = ªvo - 2c + q

O"A02 = (1.15 X 2.70 + (1.85-1) X 9.50)-2 X 2 + 3

= 10.18 ton/m2. Punto E

O"AE = (1.15 X 2.70 + (1.85-1) X 9.50 + 3.1X0.75)-2 x 2 + 3 = 12.51 ·ton/m2.

e) Determinación de la presión total.

Presión total = Presión del suelo + presión de la sobrecarga + presión del agua.

Punto A crrA = 1.00 + O = 1.00 ton/m2• --- -~

Punto B Q_rs.....::.. 2.02 + O = 2.02 ton/m2•

86

Punto e O'AC = 3.45 + 2.90 = 6.35 ton/m2

Punto D En la arena.

cr A1ll = 6.75 + 2. 90 = ~ ton/m2

Punto D En la arcilla.

.a:Aill = 10.18 +2.90 = 1.3.JIB. ton/m2. Punto E

.a&- = 12.51 + 2.90 = 15..Af ton/m2. Presión pasiva:

Punto D En la arcilla.

crA02 = (1.15 x 3.10) + 2 x 2 = L5l ton/m2. Punto E

cr AE = O + 2 x 2 = .4..fill ton/m2

La utilización de las simplificaciones propuestas por Terzagui facilitan bastante los cálculos ya que no requieren se dibuje la red de flujo y son conservadoras por lo que son muy usuales para resolver estos tipos de problemas.


Tablestacas

Tablestacas en cantiliver O Método convencional o clásico.

O Método simplificado.

Tablestacas ancladas O Método del apoyo libre.

O Método del apoyo fijo:

t Método del apoyo fijo.

t Reducciones propuestas por Rowe.

t Método de la viga equivalente.

Procedimientos de cálculo de empujes de terreno sobre tablestacas

Dependiendo del tipo de terreno o relleno se dividrn:i-eii.tr.a-.. blestacas ancladas dentro de:

O Suelos puramente friccionantes.

O Suelos puramente cohesivos .

O Suelos con cohesión y fricción.

Dependiendo de las características estructurales, las tablestacas pueden ser:

O Tablestacas en cantiliver o voladizo.

O Tablestacas ancladas.

O Tablestacas que sbportan losas de carga superiores.

O Coferdams.


~ 1mcyc

Las tablestacas en cantiliver se calculan comúnmente por los métodos:

O Convencional o clásico.

O Simplificado.

En las tablestacas ancladas para el cálculo se pueden utilizar los métodos:

O Apoyo libre en el terreno.

O Apoyo libre con las modificaciones de Rowe.

O Apoyo fijo en el terreno.

O Apoyo fijo con la simplificación de la viga equivalente.

O Procedimiento de Brinch Hansen.

O Procedimiento de Meyerhoff.

O Reglas Danesas.

O Métodos numéricos.:elemento finito, diferencias finitas, etc.

En las tablestacas ancladas se calculan además:

O Anclas o tirantes.

O Muertos.

O Pilotes de anclaje.

O Apoyos.

O Uniones.

O Efecto de la corrosión, en las metálicas.

Véanse figuras 2.1 y 2.2

87

·~ 1mcyc

TABLESTACAS EN CANTILIVER

Deformación de la tablestaca, Elástica ~

Longitud de hincado insuficiente

j EMPUJEPASIVO

Figura 2.1 Tablestaca inestable por falta de hincado.

Deformación de la tablestaca, Elástica

Longitud de hincado suficiente

EMPUJE PASIVO EXTERIOR

TABLESTACA ESTABLE

EMPUJE ACTIVO

SISTEMA RESULTANTE DELAS DOS FUERZAS DE EMPUJE

EMPUJE ACTIVO

CONDICIÓN DE ESTABILIDAD: l:M=O I:Fx =O

LA TABLESTACA ES ESTABLE SI PUEDE DESARROLLARSE UN EMPUJE PASIVO INTERIOR DE MAGNITUD SUFICIENTE PARA PRODUCIR EL EQUILIBRIO.

Punto de cambio de signo de la pendiente de la elástica ... Pivote··.

EMPUJE PASIVO INTERIOR

SI TI ENE SUFICIENTE LONGITUD DE HINCA -DO, LA BASE PUEDE CONSIDERARSE SIMILAR A UN EMPOTRAMIENTO. La pendiente de la elástica es vertical en determinado punto.

Figura 2.2.Tablestaca estable con longitud de hincado suficiente.


Método convencional o clásico para el cálculo de tablestacas en cantiliver

Procedimiento para arenas

1.Determine la presión pasiva en el frente de la tablestaca. Si es necesario tome en cuenta el efecto de disminución del peso del suelo en el frente, en el caso de que se presente un empuje hidrodinámico hacia arriba por causa de algún flujo.

2.Determine el diagrama de presiones debidos a los empujes activos y pasivos del terreno; además, los correspondientes al efecto del agua, de las sobrecargas y de todas las fuerzas que actúan sobre la tablestaca.

3.Dibuje el diagrama de presiones netas; que se obtiene al restar las presiones activas de las pasivas.

4.Determine el máximo de la presión pasiva neta que ocurre en la base de la tablestaca.

5.Cheque el equilibrio estático de las fuerzas que actúan a lo largo de la tablestaca. Si no se cumple la condición de equilibrio entonces la profundidad de anclaje es insufi-

\ \ \ i i \ \ \ \ 1

\ Empuje pasivo exterior

\

\ \

b

\ .. \

Empuje activo

Empuje pasivo interior

G 1mcyc

ciente y se debe aumentar, procediendo por tanteos hasta que se logre.

6. Una vez que se tenga la profundidad mínima suficiente para la estabilidad proporcione una longitud adicional por seguridad, en general se adiciona un 20 a 40 % de profundidad de penetración, lo que va a proporcionar un factor de seguridad entre 1.5 a 2.0 de los momentos flexionantes y fuerzas cortantes, aproximadamente. Un procedimiento alternativo también recomendable es reducir de un tercio a un medio el valor del empuje pasivo y con el hacer los cálculos.

7. Calcule el máximo momento flexionante, que ocurre donde el valor del esfuerzo cortante es cero.

8. En los catálogos de los fabricantes escoja un tipo y sección de tablestaca que pueda soportar las acciones máximas calculadas, tanto por momento flexionante como por esfuerzo cortante, considerando el efecto que la corrosión pueda causar durante su vida útil.

9. Determine si las deflexiones de la tablestacas son tolerables. Si no lo son elija una sección que cumpla con este requisito.

Presiones ..__ __ ......;;;;:=---pasivas

interiores

EMPUJES DIAGRAMA DE PRESIONES REAL

DIAGRAMA DE PRESIONES DE RANKINE

Figura 2.3 Tablestacas en cantiliver.

Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte . 89

o 1mcyc

Figura 2.4 Sustitución de las presiones pasivas interiores por una fuerza, en el

·método simplificado.

Presión pasiva exterior

Método simplificado para el cálculo de tablestacas en cantiliver

Se utiliza solo en arenas. -- '

Sigue los mismos pasos anteriores del método anterior pero

en este método se substituye el triángulo de presiones netas pasivas internas por una sola fuerza concentrada, que es equivalente en el efecto al que producen estas presiones, tal como se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.5 Tablestacas en cantiliver y en arcillas.

90

Presión negativa de tensión que se desprecia.

EXCAVACIÓN EN ARCILLA


Fuerza que substituye al efecto de la presión pasiva interior exterior

La simplificación produce un pequeño error, comparándolo con respecto el método clásico, pero no es de consideración.

Procedimiento para arcillas

Las presiones se calculan usando las fórmulas pertinentes a

los suelos cohesivos. En estos suelos debe tener especial cuidado en considerar los cambios que con el tiempo sufren sus propiedades mecánicas. Por otra parte, se acostumbra

desechar las presiones negativas que se presentan en la par-

activa

esión pasiva interior


o 1mcyc

SOBRECARGA

RELLENO DE ARENA Figura 2.6 Tablestacas en arcilla con relleno de arena.

Presión activa

ARCILLA


Presión pasiva interior

te superior del suelo, pues se considera que este no trabaja a tensión.

Las fórmulas de Rankine para calcular las presiones en suelos cohesivos son:

crH = crv - 2c = crH - 2c Presión activa

crH = ªv + 2c = crH + 2c Presión pasiva

Es necesario determinar adecuadamente el valor de la cohe

sión c, ya que es variable en el tiempo y además es función de los cambios que tendrá el suelo durante la vida útil de la

obra. Por ejemplo, serán diferentes las consideraciones que hay que hacer para determinar la cohesión, en el laborato

rio, si en el suelo original se hace una excavación o si se le

coloca un relleno encima. Por otra parte, también se debe to

mar en cuenta el agrietamiento y el efecto de la presión del agua dentro de las grietas.

Problema 2.1.1

Calcule la longitud de empotramiento aproximada de una tablestaca en voladizo de 4 m de altura, hincada en arena limpia media que tiene un peso volumétrico de 1.65 ton/m3

y un ángulo de fricción interna de 34°. Utilice:

a) El procedimiento de considerar la distribución de presiones netas de Rankine.

Figura 2.1.1.1 l TABLESTACA

H=4m

ARENA MEDIA LIMPIA Y= 1.65 ton/m3

Profundidad de hincado


 =34° c=O KA= 0.283 KP = 3.537

91

Q 1mcyc

Figura 2.1.1.2 DEFLEXIÓN DE . LA TABLESTACA

DIAGRAMA DE PRESIONES REAL

DIAGRAMA DE PRESIONES DE RANKINE

·---·-·t·----·-· --·-····--·-·-·-·--·--····-----·-----·---- -·----·-··--·-·---·--·-···-··--···------·-·--····-·-·-·---·-·-·--··-·-··--·-· ···--·····-··-·

PIVOTE

1

\ \ \

\ \ \ 1 1

\ \ 1

\

b) El procedimiento de la distribución simplificada.

Propósito:

Calcular la profundidad de hincado de una tablestaca en voladizo utilizando la distribución de presiones propuesta por Rankine y el procedimiento simplificado. Véase figura 2.1.1.1

Procedimiento A.

Solución:

Considerar los siguientes pasos siguientes:

a) Se dibuja el diagrama de presiones netas, calculando sus elementos.

Figura 2.1.1.3 r H=4m

l

b) Se aplican las ecuaciones de equilibrio IFx =0, IM =Ó en la base de la tablestaca.

c) Se resuelve la ecuación resultante de aplicar las ecuaciones, que queda en función de la profundidad, para obtener la profundidad de hincado.

d) Se da una ampliación a la profundidad obtenida, para proporcionar un factor de seguridad conveniente.

En el punto A, se tiene que

En el punto B,

= 0.283 X 1.65 X 4

= 1.87 ton/m2

r Y-!

D l .~~J~~L ________ :.~-~ 'YK.r(H + D) - 'YDKA


En el punto C,

HKA a

(Kp -KA)

4x0183 a

3537-0183

a = Q 35 rn

Para establecer la ecuación pasemos al punto E donde se

debe cumplir que: LFx = O , LM = O, LFx = O,

EA + EPI - EPE = o

Observando que:

EP1 - EPE = (crp1 + crPE)(z/2) - crPE Y/2

y que

EA + (crp1 + crPE)z/2 - crPE Y/2 = O

de estas dos últimas ecuaciones se despeja z:

crPEy-2EA Z=

crPE +crp, ( 1 )

En la ecuación anterior se tienen dos incógnitas: z y Y.

De la figura:

= Kpy(H + Y + a) - KAy(Y + a)

= yY(Kp - KA)

H

d D

!

( 2)

( 3 )

~ 1mcyc

Tomando momentos de los empujes con respecto a la base,

LME =o.

EA(Y +Y A) + z2(crp1 + crPE)(z/2 x z/3) - crPE (Y/2 x Y/3) = O

simplificando:

( 4)

Introduciendo las ecuaciones ( 1 ), ( 2) y ( 3) en ( 4) obtene

mos:

A Y4 + BY3 - CY2

- DY - E = o

Donde:

A = 1

HKp B= -a

y(Kp -KA)

Introduciendo valores obtenemos:

A = 1, B = 4, C = - 6.05, D - 19.74, E = - 23.35

La ecuación queda:

Y4 + 4Y3 - 6.05Y2 - 19.74Y -23.35 = O

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos:

Figura 2.1.1.4

( 5)

PRESIONES ACTUANTES TOTALES DIAGRAMAS DE PRESIONES NETAS DE RANKINE Y SIMPLIFICADO


~ 1mcyc

l A

Figura 2.1.1.5

H=4m

1 B

d

D l R 1 Kr'Yd Kp"(d D KAY(H + d)

y = 2 60 m

D = Y+a

D = 2 95 m

D se incrementa del 20% al 40% por seguridad. También, se puede aplicar el factor de seguridad de 1.5 a los Kr y KA. Aunque el primer procedimiento es el preferido.

Aumentando la profundidad de hincado en un 20 % se tiene:

Du = 3.54 m

La solución es laboriosa, requiere establecer una ecua-ción de cuarto rado roceder a resolverla.

b) Analisis simplificado

El diagrama de presiones simplificado se presenta en la figura 2.1.1.4

El efecto de la presión pasiva interior Er1 se substituye por una fuerza R que es aproximadamente equivalente. En el

punto de aplicación de la fuerza R se considera que :EFx = O, :EM = O. Véase figura 2.1.1.5.

Tomando momentos en el punto C, tenemos:

:EM =O.

1/2Kryd2(d/3) = 1/2KAy(H +d)2x(H +d)/3

Kpd3 = KA(H +d)2 X (H +d)

3.537 d3 = 0.283 (4 +d)3

resolviendo esta ecuación cúbica se tiene:

d = 3.03 m

94

Considerando un 20% de incremento:

D = 3.64 m

La solución es menos laboriosa que la anterior en la cual se utiliza el diagrama de presiones netas de Rankine. Aunque teóricamente la profundidad de hincado se incremento un poco.

Problema 2.1.2

Calcule teóricamente la longitud de empotramiento aproximada de una viga en voladizo en material friccionante, utilizando la distribución simplificada.

Propósito:

Obtener una ecuación que permita encontrar aproximadamente la longitud de empotramiento de una tab_lestaca en arenas.

Para el análisis se supone que la tablestaca puede fallar por momento con respecto al punto C. Además, que la resistencia pasiva se genera frente al muro en el tramo B-C y detrás en el C-D. Por lo que la distribución de presiones teórica es la que se muestra. Para dar una solución sencilla bastante aproximada se acostumbra utilizar la distribución simplificada, que se analizara a continuación:

= Vi KA y (H + 0)2

= Vi KryD2

= Ep - EA

Tomando la condición de equilibrio por momentos


1 H

'

1.2 D ¡ Figura 2.1.2.1

:LMc =O

se tiene:

i D

!

R

c

D

DISTRIBUCION TEORICADE RANKINEO COULOMB

EPE

1/3 X EP X o = 1/3 X EA X (H + 0)

substituyendo valores:

1 /6 KA y (H + 0)3 = 1 /6 KP y 0 3

Considerando que KP = 1/KA y stmplificando se tiene:

(H + 0)3/Kp = KP X 0 3

despejando queda:

D = H l<K pm ..::...11

Generalmente se aumenta ese valor en un 20% (aunque a

veces alcance hasta el 40%) para obtener la longitud de empotramiento total E.

E = 1.2 D

Con este valor la profundidad de hincado aproximado de

la tablestaca del problema 2.1.1 anterior seria de 3.0 m,

que es una aproximación bastante aceptable.

Nota: No se tomo en cuenta la fricción del suelo contra la ta

blestaca.


G 1mcyc

A A

\,'······.,, DISTRIBUCION SIMPLIFICADA

'\\\

\ ~-A

.\\\

\\

c \,\-••

D..._ ...... __ _

Problema 2.1.3. Calcule la longitud de empotramiento de una tablestaca en cantiliver que soporta un suelo arenoso excavado 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15 m respectivamente. La cohesión del suelo es

nula y el ángulo de fricción interna es~= 34º. El peso volu

métrico estimado es y = 1. 9 ton/m3• Por seguridad aumen

te un 20% la profundidad obtenida.

Propósito:

Calcular por el método simplificado la profundidad de em

potramiento de una tablestaca que se hinca en arenas a dife

rentes profundidades.

Solución:

Se utilizará la fórmula encontrada en el problema anterior

2.1.2:

O = H/(KP213 - 1)

= 0.28

= 3.54

95

o 1mcyc

Aplicando la ecuación se tiene:

D = H/(3.54213 - 1)

= H/1.32 m

Haciendo una tabla se tiene:

Altura Profundidad de tablestaca (m} hincadoi D. (m}

1 0.76

3 2.27

5 3.79

7 5.30

9 6.82

11 8.33

13 9.85

15 11.36

Profundidad de hincado finali E. (m}

0.91

2.73

4.55

6.36

8.18

10.00

11.82

13.64

El método simplificado nos permite deducir una fórmula para obtener fácilmente una profundidad de hincado aproximada para diferentes alturas de una tablestaca en cantiliver, en un suelo granular; posteriormente se puede ajustar aplicando un procedimiento mas detallado.

Problema 2.1.4

Encuentre la profundidad de hincado mínima de la tablestaca hincada en arena limpia que se muestra en la figura, considere un factor de seguridad igual a 2.

Propósito:

Figura 2.1.4.1

1 H=lOm.

Calcular la profundidad de hincado mínima de una tablestaca en cantiliver en un suelo friccionante y analizar el factor de seguridad.

Notas sobre el FACTOR DE SEGURIDAD:

Existen varias maneras de considerar el factor de seguridad:

1) Aplicarlo en el coeficiente de presión pasiva.

2) Aplicarlo sobre la presión pasiva neta, (dividiéndola entre un FS).

3) Aplicarlo en los parámetros: c y tan ~-

c = dFS;

~·=tan-'(1~~~)

4) Incrementar la profundidad de hincado, para dar mayor · seguridad.

5) Aplicarlo en los momentos flexionantes y fuerzas cortantes:

FS

FS

Momento resistente de la tablestaca

Máximo momento actuante

Fuerza cortante resistente de la tablestaca

Máxima fuerza cortante actuante

La elección depende de las especificaciones, países, costumbre, tipo de problema, habilidad del calculista, etc.

Solución:

Se dibujará el diagrama de presiones de simplificado. Figura 2.1.4.2

Relleno de ARENA: C=O <t>1=32° 'Ymt = l. 75 ton/m3

Terreno natural: ARENA LIMPIA:

. Longitud r hincado, D. C=O <t>2 = 30°

3 'Ym2 = 1.65 ton/m

l 10.0 m

d

l D

l B

e 9.98 +0.940

' La profundidad del pivote, d, se calcula por la condición de

que la suma de momentos en este punto sea igual a cero:

MPIVOTE = o ; Mp - MA = o ; Epd p- EAdA = o El factor de seguridad se considerara aplicado en el ángulo de fricción:

tan<!> - tan<j>' = -

F.S.

Para determinar los E se calcularan las áreas:

<1>1 = 32° ; <1>1, = 17.35° KA1 = 0.54; KP1 = 1.85

<1>2 = 30° ; <1>2, = 16.10° KA2 = 0.57; KP2 = 1.75

CTAA = 0.54 X 1.75 X 10

= 9.45 ton/m2

= (1.75 X 10 + 1.65 d) 0.57

(jBA = 9.98 + 0.94 d

CTBPE = 1.65 X d X 1.75

= 2.89 d

(jBPI = (10x1.75 + d x 1.65) 0.57

= 9.98+0.94d

ªcPt = (1 O x1 .75 + Ox 1.65) 0.57

= 9.98+0.940

EA = 47.25 + 9.72d + 0.47d2

EPE = 2.89/2(02)

= 1.45 d2

. Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte

~ 1mcyc

Figura 2.1.4.2

= d/3

= 9.98(0 - d) + 0.47(0 - d)2

EPXdp = 1.45 d2 X d/3 = 0.48 d3

EA X dA = 47.25(d + 3.33) + 9.72 t +(0.94d +(9.98-9.45))f

EA = 0.31 d2 + 52.15d + 157.34

0.48d3·- 0.31 d2-52.15d-157.34 =O

d3 - 0.653 d2 - 108.65 d - 327.79 = o Resolviendo esta ecuación cubica se tiene que:

d = 11.99 m

= 47.25 + 9.72 x11.99 +0.47 X 11.992

= 231.36 ton

= 1 .45 X 11 . 992

= 208.45 ton

= 231.36.45 - 208.45

= 22.91 ton

22.91=9.98(0-11.99) +0.47(0-11.99)2

o = 14.07 m

El procedimiento de cálculo simplificado para suelos granu

lares es ampliamente usado en la Gran Bretaña y esta descri

to en: CIRIA REPORT No. 104 de 1984 y posteriores.

~

El criterio de aplicar el FS en los parámetros de esfuerzos

efectivos se usa en arenas con un FS = 1.5 a 2 para el ter

mino (tan<j>)/FS; y en arcillas con un FS = 1.2 a 1.5 para el

termino dFS .

97

~ 1mcyc

Figura 2.1.5.1

.o.

~6.6m

D

El criterio menos recomendable es el de aplicar el FS en la

presión pasiva neta.

Problema 2.1.5

Una tablestaca metálica de 6.60 m de altura se hinca en una arena con objeto de retenerla. La arena es uniforme y tiene un ángulo de fricción interna~ = 30° y cohesión nula. El peso volumétrico es de 1.90 ton/m2 y por seguridad se considerara que solamente se desarrollara dos tercios de la resistencia pasiva del terreno. Encuentre la profundidad mínima que debe ser hincada la tablestaca para poder soportar los empujes.

Propósito:

Encontrar una fórmula para determinar la profundidad de hincado de una tablestaca en cantiliver.

KA = ){

KP = 1/KA

= 3 (teórico);

KPR = 3{ X 3

= 2 (supuesto por seguridad).

=KA y H

=){y H

crP = KPR y H

= 2y D

98

EA

EP

= Vi (){ y H) x H

=Jí y H2

= Vi (2 y D) X D

=y D2

H

11/3 H

RESULTANTE ~ ·~

Para que exista equilibrio los empujes pasivo y activo deben

estar equilibrados por la fuerza resultante; que en estos pro

blemas se hace la suposición de que se encuentra situada en

la base de la tablestaca (MÉTODO SIMPLIFICADO).

- Para satisfacer la condición de momentos nulos se tiene

que:

()Í y H2 ) X (~) - (y D2) X ( °Á) = 0

()Í H2 ) X (~) = ( D2) X ( °Á)

Haciendo operaciones queda :

H/D = 1.82

En nuestro problema se tiene la condición:

H = D + 6.6 m;

por lo que:

1 + 6·%= 1.82

D - 8.05 m

El problema se resolvió aplicando únicamente las herra

mientas de la estática. El factor de seguridad se aplico en

el coeficiente de presión pasiva.


Problema 2.1.6

Calcule la longitud de empotramiento de una tablestaca en cantiliver que soporta un suelo arenoso excavado 3 m. La cohesión del suelo es nula y el ángulo de fricción interna es ~ = 30º. El peso volumétrico estimado y = 1.9 ton/m3 y el factor de seguridad contra la fricción de 1.4.

Propósito:

Calcular aproximadamente la profundidad de hincado con la fórmula obtenida.

Solución

tan~'m --=FS tan~

tan ~' m = (1/1.4) tan ~

= 22.41°

= 2.23

= 0.448

Aplicando la ecuación

b

D

= H/(KP2' 3 - 1) se tiene:

= 3.00/(2.23 213 - 1)

= 4.24 m

La profundidad conveniente de empotramiento, considerando un 20% adicional, será

D = 1.2 X 4.24

D - 5.09 m

El cálculo fue muy simple, comparándolo con los proce

dimientos simplificado y del diagrama de presionés netas de Rankine.

Problema 2.1.7

Encuentre la profundidad de hincado mínima de la tablestaca hincada en arcilla que se muestra en la figura, considere un incremento del 30% en la profundidad de hincado como seguridad.

Propósito:

Calcular Ja profundidad de hincado mínima de una tablestaca en cantiliver en un suelo puramente cohesivo. Figura 2.1.7.1


\; 1mcyc

Solución:

1) Se establece el diagrama de presiones adecuado. Figura 2.1.7.2

2) Se aplican las ecuaciones de equilibrio :

í:Mc = 0

í:Fx = 0,

de donde:

:EFX =EA+ (EPE-EPI)

=0

De la figura se deduce que:

(EPE - Ep1) = (4c - q + 4c + q)z/2 - (4c - q)D

(EPE - Ep1) = (4c )z - (4c - q)D,

introduciendo en ( 1 ) se tiene:

EA + (4c )z - (4c - q)D = O, despejando z:

(4c-q)D-E Z A 4c

Tornando momentos con respecto a la base:

:EMC =O

EA(y + O) - (4c - q)d(%) + Bc((Yi) %' = O

Substituyendo z y simplificando obtenemos:

D2(4c - q) - 2DEA - EA(12cy + EA)/(2c + q) = O

(1)

( 2 )

( 3 )

Aplicando esta formula ( 3) que es una cuadratica podemos encontrar la profundidad de hincado D.

Nota: Esta fórmula también se puede aplicar para el caso de que el relleno sea puramente friccionante y la cimentación puramente cohesiva.

3) Se aplican las fórmulas:

r H=Sm

Longitud de hincado, D.

l Figura 2.1.7.1

Arcilla: C= 2.5 ton/m2

<!>=Oº 'Ym = l. 70 ton/m3

99

~ 1mcyc

¡ Presión negativa que se desprecia

H Presión activa

D

a

q

y

j Presión pasiva exterior

2c

y

2 x25 =1.70

= 2.94 m

= yH

= 1.70 X 5

= 8.5 ton/m2

(q - 2c)(H - a)(H - a)

2x3

= (~)(q - 2c)(H-a)2

= (~)(8.5 - 5)(5 - 2.94)2

= 2.48 ton

= (~)(H - a)

= ~(5 - 2.94)

= 1.37 m

- 2c

e

Aplicando la ecuación ( 3) tenemos:

A t a Figura 2.1.7.2

---t-q ='YH ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Presión pasiva interior

M---iiillll-[!lllllEPI

4c+q

Incrementando la profundidad un 30 % por seguridad se tiene:

0' = 4.5 X 1.30

= 5.85 m

El cálculo es similar pero más sencillo que los utilizados

para tablestacas en materiales puramente friccionantes.

El diagrama de presiones corresponde a las condiciones

iniciales, para el tiempo al final de la vida util se requiere

obtener los valores c y <!> para esta condición.

Problema 2.1.8

Encuentre la profundidad de hincado mínima de la tablestaca hincada en arcilla, que contiene un relleno de arena limpia, tal como se muestra en la figura. Considere un in· cremento del 30 % en la profundidad de hincado como seguridad.

Propósito.·

(4x2.S - 8.S)D2 - 4.96D - 2.48(12x2.Sx1 .37 + 2.48)/(2x2.5 + 8.5) Calcular la profundidad de hincado de una tablestaca en cantiliver hincada en un suelo puramente cohesivo y con relleno de suelo friccionante. Figura 2.1.8.1 1.5D2 - 4.96D - 8 = O

D = 4 50 m

H=5m


Figura 2.1.8.1

Solución:

Arena limpia: C= O ton/m2

<1>=30° 'Ym = 1.60 ton/m3


<!>=o· 'Ym = 1.70 ton/m3

1) Se establece el diagrama de presiones adecuado tal como se indica en la figura siguiente. Figura 2.1.8.2

2) Se establecen las fórmulas respectivas:

(4c-q)O-EA z

4c

0 2(4c - q) - 20EA - EA (12cy + EA)/(2c + q) = O

Obsérvese que son las mismas obtenidas en el problema anterior.

3) Se aplican las ecuaciones:

q = yH

= 1.60 X 5

= 8.0 ton/m2

EA = Yi X 0.33 X 1.60 X 52

= 6.67 ton

y = ){H

= %'

= 1.67 m

Aplicando la ecuación ( 3) tenemos:

o 1mcyc

(4x3 - 8.0)02 - 2 x 6.670 - 6.67(12x3x1 .67 + 6.67)/(2x3 + 8.0)

402 - 13.340 - 31.82 = o

D

D'

= 4.96 m

= 1.30 X 4.96

= 6.45 m

El cálculo es similar al que se hace con relleno del mismo material arcilloso.

1 A._------------------------------ Figura 2.1.8.2 Diagrama de

presiones para suelos cohesivos con relleno friccionante.

H

~ B

D K'YH

l Pre~ión pasiva z.¡ exterior e 4c+q


Presión activa

EA

EPI

q =YH

i * * * *

101

o 1mcyc

Profundidad de hincado aproximada de tablestacas en cantiliver.

Numero de golpes en Densidad relativa

Profundidad de hin-la prueba de penetra-

!;JR cado

ción estándar. D

0-4 muy suelta 2.0 H

5 -10 suelta 1.5 H

11 - 30 media 1.25 H

31 - 50 densa 1.0 H

> 50 muy densa 0.75 H

2.2 Métodos para el cálculo de tablestacas ancladas

En el cálculo de las tablestacas ancladas hay que distinguir dos casos: El primero cuando la profundidad de hincado no es suficiente para producir un empotramiento .. perfecto .. y se denomina de SOPORTE O APOYO LIBRE. En el segundo, la profundidad de hincado es suficiente para producir un empotramiento .. perfecto .. y se denomina de SOPORTE O

APOYO FIJO. Se considera que alcanza la condición de ··empotramiento perfecto .. cuando la elástica es vertical.

En el cálculo de tablestacas de Soporte Libre la tablestaca puede girar alrededor del punto de anclaje. El diagrama de presiones a ambos lados depende de la amplitud de la rotación, del desplazamiento que sufra el anclaje y de la flexibilidad de la tablestaca. En el procedimiento usual estos últimos factores no se consideran y se utilizan por simplicidad los diagramas de presiones de Rankine y Boussinesq. De esta manera el problema es isostático y presenta dos incógnitas: la profundidad de hincado y la fuerza en el tirante.

El empuje pasivo es la única fuerza que impide a la pantalla fallar por rotación alrededor del punto de anclaje y por tanto es indispensable dar un factor de seguridad adecuado. Sobretodo tomando en cuenta que en numerosas investigaciones se ha obtenido diferencias del lado de la inseguridad al comparar el empuje pasivo teórico calculado por Rankine o Coulomb y el medido en las pruebas de investigación hechas tanto en los laboratorios y como en los sitios.

En el cálculo de tablestacas de Soporte o Apoyo Fijo el MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA es el general. En el la tablestaca puede girar alrededor del punto de anclaje pero queda fijo en su base o parte inferior. Ahora hay tres incógnitas: la profundidad de hincado, la fuerza sobre el tirante y la presión pasiva interior.

El análisis de la deformación de la tablestaca flexible permite resolver la indeterminación, ya que con varias hipótesis

de partida se puede obligar a que la elástica satisfaga teóri-

102

camente determinadas condiciones, como son: a) que el pie de la tablestaca quede fijo. Aquí el momento flexionante es cero. b) La tangente a la elástica en el punto de empotramiento es vertical. c) La elástica pasa por el punto de anclaje

del tirante con la tablestaca.

Este Método de la Línea Elástica se considera demasiado laborioso, sin embargo, actualmente, la posibilidad de hacer cálculos con computadoras personales, facilita bastante el

trabajo, tal que ahora puede ser usado con ventaja; ya que se permite adicionalmente determinar con prontitud los momentos flexionantes, fuerzas cortantes y deflexiones de la tablestaca, elementos que son necesarios para el diseño.

Para facilitar los cálculos el Dr. Blum propuso para suelos puramente friccionantes un procedimiento mas rápido. La idea de Blum consistió en reducir el problema a uno isostático fijando a priori el punto de empotramiento. Aplicando el procedimiento de la línea elástica a numerosos casos que midió estableció una relación empírica entre el ángulo de . fricción interna y la profundidad en la cual se produce el punto de inflexión y por tanto donde el momento flexionante es nulo. Esta relacióp se muestra en la figura 2.8. Por otra parte, también demuestra que se puede reemplazar con muy poco error la zona de empuje pasivo interior por una

sola fuerza; que se localiza con la condición que en este

punto nuevamente :EM = O. Una vez transformado a problema isostático se procede al cálculo; a este procedimiento se le llama MÉTODO DEL APOYO FIJO o MÉTODO DEL SOPORTE FIJO.

Todavía para facilitar mas los cálculos Blum propuso el MÉTODO DE LA VIGA EQUIVALENTE que consiste en dividir por comodidad la tablestaca en dos vigas, tal como se muestra más adelante.

PUNTO DE UNIÓN

EMPUJE PASIVO

TIRANTE

GIRO

EMPUJE ACTIVO

Se permite el giro pero no el desplazamiento del punto de unión.

Figura 2.7 Tablestaca con soporte libre.


PUNTO DE UNIÓN

EMPUJE PASIVO

Punto supuesto fijo en la vertical

TIRANTE

•~---EMPUJE ACTIVO

b, Punto de inflexión

1-----EMPUJE PASIVO INTERIOR

Se permite el giro pero no el desplazamiento del punto de unión. La posición de punto b es conocida o se calcula con la condición de que aquí el momento flexionante es nulo.

Figura 2.8 Tablestaca con apoyo fijo.

l. Método del soporte o apoyo libre

Utiliza las hipótesis siguientes:

O La tablestaca es rígida en comparación con el terreno.

O Las presiones se pueden calcular por Rankine o Coulomb.

O La tablestaca sólo puede girar en el punto de unión del tirante con ella, pero no desplazarse.

O La tablestaca falla por un movimiento de rotación con respecto al punto de unión.

~ 1mcyc

2. Método del soporte o apoyo fijo

Se puede calcular por los métodos de la línea elástica o el método de la viga equivalente.

El método clásico de cálculo es el del método de la línea elástica. En este se supone que el tablestacado se flexiona con un punto fijo en la base y uno de inflexión en h.

Utiliza la siguiente hipótesis de partida:

El punto inferior de la base de la tablestaca queda bajo la vertical por efecto de la restricción que producen las presiones del suelo que la rodea y restringe.

El problema puede resolverse por procedimientos estáticos aplicados, en general se utilizan soluciones gráficas y a veces analíticas; sin embargo, en arenas, a veces por ser muy laborioso puede substituirse con ventaja por el método de la viga equivalente, que se aplica solo en suelos puramente friccionantes.

2.a. Método de la línea elástica

El diagrama de presiones netas, los momentos flexionantes y la elástica que se calculan con este método se presenta en la figura 2.11

Blum demuestra que la profundidad total de penetración requerida es aproximadamente:

= u + (1.05 a 1 .20)x

-------·---·------·------·----·-----·---------·-··--··-- ·----·------·-··--·-·---··----·--··--.. -·---·········-·······-···--·····----···--·····-·-·······-·········

DIAGRAMA DE MOMENTOS CARGAS

Figura 2.9 Arenas


~ 1mcyc

Fuerza de anclaje

.. . 4c - Sv DIAGRAMA DE MOMENTOS CARGAS

Figura 2.1 O Método del apoyo libre.

Procedimiento de cálculo del método de la línea elástica:

1. Seleccione los valores de las presiones activa y pasiva para dibujar el diagrama de presiones netas que actúan sobre la tablestaca.

2. Determine la posición del punto de presión nula, a.

3. Determine x, que es la posición del punto de inflexión, b, utilizando la condición de que en este punto el momento flexionante es nulo. Whitlow propone la tabla siguiente:

15º 20° 25° 30° 35° 40°

0.37 0.25 0.15 0.08 0.033 - 0.01

4. Calcule la profundidad de hincado por tanteos o estableciendo una fórmula.

5. Incremente por seguridad la profundidad de hincado.

2.b. Método de la viga equivalente

Utiliza las hipótesis siguientes:

O Las presiones se pueden calcular por Rankine o Coulomb.

O La tablestaca sólo puede girar en el punto de unión del tirante con ella, pero no desplazarse.

O La tablestaca es flexible y se conoce el punto de inflexión b, debajo del nivel inferior del terreno, que es función del ángulo de fricción interna del suelo.

O La presión pasiva neta interior es substituida por una fuerz2 concentrada.

O El punto inferior de la tablestaca queda bajo la vertical por efecto de la restricción que producen las presiones del suelo que la rodea.

104

Procedimiento de cálculo del método de la viga equivalente:

1. Seleccione los valores de las presiones activa y pasiva para dibuj ar el diagrama de presiones netas que actúan sobre la tablestaca.

2. Determine la posición del punto de presión nula a.

3. Determine x, que es la posición del punto de inflexión b, utilizando la gráfica propuesta por Blum.

4. Determine la fuerza cortante horizontal en el punto de inflexión, R 'b.

S. Considere la parte superior al punto de inflexión como una viga y calcúlela como tal.

6. Considere la parte inferior al punto de inflexión como otra viga y calcúlela.

La dimensión de total de la tablestaca se determina considerando que la suma de los momentos flexionantes en él punto inferior es igual a cero. Restando a la longitud total la longitud de la viga superior se encuentra la longitud de la viga in

ferior. Puede hacerse analíticamente o bien por tanteos, en los que se puede escoger como determinar la longitud total para cada tanteo utilizando las fórmulas:

Htotal= H + D

D. Profundidad de hincado.

7. Proporcione el factor de seguridad. Puede utilizar los procedimientos siguientes:

a) Incremente de un 20 a 40% o más la profundidad de hincado D.


Sobrecarga q

A

Cambio de presión _ _.,... __

Activa a pasiva

Base >

Figura 2.11 Tablestaca anclada.

Problemas básicos de emnujes de suelos sobre estructuras de soporte

e

~ Altura equivalente por

sobrecarga q/kaY

Presión activa

Profundidad de hincado

D= u + (1.05 a 1.20) X

' o 1mcyc

H

105

~ 1mcyc

/ Sobrecarga.

N.A.F.

.: : ,\ " .. ~ :: : : : \ '• .. ---------------- ..: : .. \ - I ::: : : :, ...... •\

Momento flexionante máximo 1 >

r .: : : : : : , . s ~ :. :. :. ~ :. : l,...111111~L-----.... _,_ ... 1 " .... : :,

Diagrama de presiones

1 : : : : : : : : l ..: : .. : : , .. . . .

\ ..: : . .: :O\ " ....... \ :: : : : : : : : i .. : : .. : : . :, .. . . .

~~~------~~ ..... " ....... ~ ..: : .. : ., --» s\

Punto de inflexión ~ r ~ t: momento flexionante nulo ;. ~<: ~ ~ ~ \ ,,, ....... .

~ i-:~ ~n r ¡: ¡ : : ¡:: : : : ; •••••••••••••• 1 ••••

" .... ,. " ... , ··,.'

~~ < 1 r ¡1 rn r: 111 ¡ · I ¡ I ·:. : . · 1: ~ ~: i ,.tt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

Fuerza del tirante

.. . .. . . . . . . . . . . . . . . . llllE , F ,;_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - • 1 e

/ :: C¡~ Diagrama de momentos ,,/ cuando la tablestaca F se hinc~ hasta F.

Figura 2.12 Tablestacas ancladas presiones, momentos flexionantes y elástica.

aJ ____,.. T

b·-1 -H~. Hw t:=j

1

--~

H

La posición del punto ·. -M de inflexión, C, esta a

una profundidad x que se encuentra con la gráfica de BLillvL

__ ...._..., ____ __,.-----i -----1--- En el punto de inflexión el momento flexionante X

es nulo. D' D l -~ '...;._..,; -~___.¡ ----~---~~'E-----~--L~

Iv1ETODO DEL APOYO FIJO -

1\

35 \ ' t\. \ ~

~ · Grados

~ \ 30

\

\ ~

\ ~

\ 25 \

f\

"' "" 20 ~

""-

0.lH 0..:2/-1 0.3H · VALORES DE x

Figura 2.13 Gráfica propuesta por Blum.


\) 1mcyc

107

o 1mcyc

Figura 2.14 Método de la viga equivalente T T

punto de inflexión R VIGA INFERIOR

b) Reduzca el valor de las presiones pasivas con factores de seguridad comprendidos entre 1.5 y 2.

Trabajos de Rowe

Se ha observado que la distribución de presiones en el respaldo de una tablestaca no es la que corresponde a la ley de Coulomb o la de Rankine, sino que depende principalmente de las deformaciones que sufre la tablestaca.Sin embargo, Rowe encontró que si el anclaje cedía 0.1 % de su altura total H, la distribución de presiones se acercaba a la ley lineal de presiones; sin que por otra parte se modifique sensiblemente el empuje total. Lo anterior justifica el hecho de que en

aH H

0.9 H-" 1 1 ,__ Suelto yJ\ . ,·" ~ 0.8

Factor de 0.1

Reducción 0.6

0.5 M/Mmax

0.4

0.3

0.2

0.1

... ... --

1 1 1 ' Denso/._? ' !":--f- " ...

!'.. '

b-.R

' l'\I"

'~ ~·o .. 7'5 ~·?

'"r--.,

/ i: RC

este tipo de tablestacas se considere como una buena aproximación de la ley de variación lineal en los cálculos de las presiones activas. Pero en el caso de las presiones pasivas las investigaciones han demostrado que la distribución lineal no da buenos resultados, quedando del lado de la inseguridad, lo que se acostrumba aplicarles un factor de seguridad para adaptarlas a la presión real.

Rowe investigó las relaciones entre el momento flexionante y la flexibilidad de la tablesca cuyos resultados útiles para los cálculos proporciona en forma de gráficas, mostradas en las figuras 2.15.a y 2.15.b.

En las tablestacas ancladas en arena suelta o muy suelta se recomienda no hacer la reducción propuesta por Rowe (NAVFAC, 1982).

~ .. ~'.:!d' ~·' K-...... " ':."". " -...... r--.. .... '-':-.... ""' ....... _

.... ,..,. ....... l ....... --

r-. ~ ...... ,...... -...... r-_

~r-- -

o - 1.0 -0 .. 5 o 0.5 1.0 1.5

log10 p (m3/kN) (p = H4 /El)

Figura 2.15.a. Factor de reducción propuesto por Rowe.


,,

M Mo 0.6

0.41--~~~-+-~~~~+-~---'~~_;.::o,.~~~-.-~~~--1

a=0.8 a=0.7

0.21----+-----+----+-----+- a= 0.6

O.__~~_._~~~--~~~..__~~___...~~~_.

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5

!l. log p; p = H I EI

Para p < - 3.0, Incremente M/M0

por10%

1.0 Para arena densa

~ =o, 0.1, 0.2, 0.3 0.8

M 0.6

M o 0.4

0.2

o -4.0 -3.5 -3.0 -2.5

!l. log p; p = H I EI

Figura 2.15.b Factores de reducción de momentos para arenas curvas propuestas por Rowe.


-2.0

H en pies. E en libras/pulg2

I en pulg4

-1.5

-2.0 -1.5

G 1mcyc

109

G 1mcyc

En teoría puede aplicarse a cualquier tipo de suelo pero del análisis de los resultados de sus pruebas Skempton (1953)

sugiere que no se use en arcillas.

Reducción de momentos al método de soporte libre, propuesto por Rowe

Debe usarse únicamente en depósitos homogéneos de arenas, de compactación media a densa y en suelos limo-arenosos densos. También puede usarse en arcillas homogéneas en obras provisionales.

1. Se hacen los cálculos en forma similar al método del soporte fijo y posteriormente se aplican los factores de corrección.

2. Se determinan los factores de corrección.

Los parámetros a considerar para determinar los factores de corrección son los siguientes:

a. La densidad relativa de los suelos granulares, suelta o densa.

b. El número de estabilidad Sn, de suelos cohesivos:

q

p

125c

q

= yH

c.- El número de flexibilidad, p:

L14

El

Lt, Long. total de la tablestaca (H + O).

E, Mod. elasticidad.

1, Momento de inercia.

Figura 2.16 Efecto de la localización del muerto

45° + $12

ANCLAJE O TIRANTE

d. Con base en estos números se obtienen en las gráficas propuestas por Rowe los factores de reducción, MIMMAX·

3. Con base en el coeficiente de reducción se calcula el momento flexionante de diseño, Mo1SEÑO, que ocurre sobre la tablestaca. En las tablas que proporcionan los fabricantes de tablestacas se obtienen los momentos que pueden resistir las diferentes secciones y tipos de tablestacas. En caso de no usar secciones comerciales se pueden calcular las características de las secciones propuestas.

MDISEÑO = Coeficiente de reducción x Momento máximo calculado.

4. Se escoge de lo que ofrece el mercado o se diseña la sección y tipo de tablestaca que convenga.

5. Se revisa el diseño para todas las acciones. Tomando especial cuidado con la corrosión, el sismo y la erosión.

Nota: Al entrar en la gráficas se debe tener especial cuidado con las unidades.

Tirantes y anclajes Los tirantes que transmiten la fuerza de tensión que en ellos actúa a determinadas estructuras que generalmente están situados a una distancia igual unas de otras. Pueden estar anclados a estructuras rígidas (pilotes, edificios, etc.) o bien a estructuras flexibles (muertos), que permiten ciertas deformaciones. Cuando están sujetas a estructuras rígidas la experiencia de muestra que las fuerzas reales actuantes sobre ellas son mayores a las obtenidas en los cálculos teóricos

Zona que no proporciona resistencia

Zona que proporciona resistencia parcial

[!] Zona que proporciona resistencia ., ____ ___.. _______ completa

Punto de movimiento nulo


por lo cual se acostumbra multiplicarlas por un coeficiente de ajuste mayor a 1.50 m para evitar su colapso. En cambio, cuando se anclan a muertos esto no sucede debido a los pequeños desplazamientos y ajustes que admite esta estructura, pero por seguridad conviene multiplicarlos por un coeficiente extra de seguridad de 1.20 m.

Los muertos deben resistir el tirón del anclaje y consecuentemente desarrollar en el terreno un empuje pasivo completo, por lo cual debe tener un espacio suficiente para desarrollarse. Para poder obtener esta fuerza pasiva el muerto debe: colocarse en una zona adecuada, darle las dimensiones necesarias y colocar el tirante correctamente (Figura 2.16).

Problema 2.2.1

Encuentre la profundidad mínima de hincado de una tablestaca hincada en arena limpia,' similar a la mostrada en el problema anterior 2.1.1 con la tablestaca en cantiliver, pero en la cual se introduce un anclaje anclado a un muerto, situado a 1.50 m por debajo de la superficie.

a) Por el Procedimiento de Apoyo Libre. Compare los resultados obtenidos en los dos problemas.

b) Utilice la reducción propuesta por Rowe.

Propósito:

Calcular la profundidad mínima de hincado de una tablestaca anclada con Apoyo Libre en un suelo puramente friccionante, aplicando la simplificación de Rowe. Además, comparar con una similar en la de condición de apoyo en cantiliver. Figura 2.2.1.1

1

~ 1mcyc

Solución:

El diagrama de presiones para la tablestaca anclada con Apoyo Libre se muestra en la figura 2.2.1.2.

Para encontrar el mínimo de hincado se puede aumentar paulatinamente la profundidad D hasta alcanzar el equilibrio o bien establecer una ecuación y resolverla, este es el procedimiento que utilizaremos. Para ello se tomaran momentos con respecto al punto de aplicación del ancla en la tablestaca.

LMB =o En primer término, calcularemos el valor de a, que es la distancia entre el fondo C y el punto donde la presión activa es igual a la presión pasiva, o sea donde la presión neta es cero. En este punto se produce el momento máximo flexionante.

KA2ªv - KP2y2a = O KA2(Y, H + Y2a) - KP2Y2ª = O

a KA2Y ,H

y 2 (K P2 - K A2 )

030X1.75 X 10

1.65(3-033)

= 1.19m

Se aplican las ecuaciones de equilibrio LMs = O, LFx = O

Tomando momentos con respecto al punto de anclaje B, se tiene:

EA,dl + EA2d2 + EA3d3 - EPEd4 = o Donde:

1.50 tp B

--------------------------------

H=lOm

e


D

Relleno de ARENA: C=O ~l = 32° 'Ymt = l. 75 ton/m3

KA= 0.31

Terreno natural: ARENA LIMPIA: C=O ~2 = 30° 'Ym2 = 1.65 ton/m3

KA = 0.33 Kp = 3


Figura 2.2.1.1

MUERTO

111

\) 1mcyc

A.--------han el a

Figura 2.2.1.2

H

D

e

A1=1/2ScH A1 = l/2Sca AJ= 1/2Y2(KP2 - KA2)(D - a)2

dA1=5.17 m dA2 = 8.91 ffi

dp = 8.91+2/3D

PRESIONES ACTUANTES DERANKINE

DIAGRAMAS DE PRESIONES NETAS

= 0.31X1.75 X 10

= 5.425 ton/m2

= 1/2crcH

= 0.5 X 5.425 X 10

= 27.13 ton

= 1/2crca

= 0.5 X 5.425 X 1.19

= 3.23 ton

= 1/2y2(KP2 - KA2HO - a)2

= 0.5(3 - 0.33)(0 -1.19)2

= 1.3402-3.190 + 1.9

Por lo que la ecuación queda:

27.13 X 5.17 + 3.23 x 8.91 - (1.3402 - 3.190 + 1.9)(8.91 + 2/30) - 0

Simplificando:

0 3 + 11.02 0 2 - 30.530 - 170.91 = o Resolviendo la ecuación cúbica obtenemos:

o = 4.45 m

Incrementando la profundidad de hincado 30% por seguridad, obtenemos:

O' = 5.79 m < 13.93 m

La profundidad de hincado obtenida en la tablestaca en cantiliver de 13.93 mes considerablemente mayor que la obtenida en la solución con base en tablestaca anclada.

112

La tensión en el ancla se obtiene de

:EFx = 0

Fancla = Al + A2 - A3

Fancla = 27.13 + 3.23-(1.34x4.452 -3.19x4.45 + 1.9)

filll.W = 14.24 ton (por metro lineal de ancho)

El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo si.tuado a una profundidad de de la corona.

1/2KA1_1d/- 14.24 = 0;

0.5 X 0.31 X 1.75 X d/ = 14.24

de = 7.24 m

Tomando momentos en este punto hacia la parte superior del diagrama de presiones tenemos:

MMAX == - 14.24 X (7.24 - 1.50) + 1/2KA1Y1d/ X d/3

MMAX = -81.74 + 0.5 X 0.31X1.75 X 7.243/3 = -81.74 + 34.31

MMAx = - 47.43 ton-m (por metro lineal de tablestaca).

El momento máximo flexionante en la solución de la tablestaca en cantiliver ocurre en C' a la profundidad a y es:

MMAx= 27.13x(1.19+10/3)+3.23x(1.19 x 2/3)= +125.28 ton-m > 47.43 ton-m

El momento máximo flexionante es mucho mayor en la ta-. blestaca en cantiliver que en la anclada y por tanto, la sección transversal de la misma es bastante menor, lo cual permite una economía substancial.

b) Reducción propuesta por Rowe

En este caso particular, por tener anclada la tablestaca en

arena suelta, no se debe hacer la reducción propuesta por Rowe (NAVFAC, 1982).

La solución de tablestaca anclada permite obtener secciones más ligeras y menores profundidades de hincado

que las tablestacas en cantiliver y por tanto economías

substanciales, para las mismas condiciones.

Sin embargo, como adicionalmente es necesario cons

truir el sistema de anclaje se reduce la ventaja; y por otra parte, en ciertos lugares, la erosión del agua sea por co

rrientes, Tsunamis, oleajes por huracanes o por acción de las embarcaciones puede ser tan importante que para garantizar la seguridad convenga la solución de tablestacas

en cantiliver que alcanzan mayores profundidades.

Problema 2.2.2

Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando una arena que presenta nula cohesión y un ángulo de fricción interna de ~ = 36º, así como un peso volumétrico de y = 1.90 ton/m2

• Deduzca por el procedimiento denominado de "soporte libre del terreno" la profundidad de hincado mínima necesaria y la segura, utilizando los coeficientes de empujes de Coulomb.

Propósito:

Calcular la profundidad de hincado utilizando el método del Soporte Libre y la fuerza que obra sobre el anclaje.

,.

~ 1mcyc

Para determinar el valor de los coeficientes de empuje se si

guió la recomendación de Terzaghi al considerar:

8 = 2/3 ~ Para el pasivo

8 = 1/2 ~Para el activo

KA y KP se obtuvieron de las ecuaciones de Muller-Breslaw, considerando

= 24° para el pasivo y

=Yix36°

= 18° para el activo.

Solución:

Se analizara un ancho de tablestaca de 2.5 m.

1) Dibujo del diagrama de presiones véase figura 2.2.2.2

2) Cálculo del punto donde la presión neta vale cero, a:

KA(yH +ya) - KPya = O

a KAH

(Kp -KA)

0236 x10

(932-0236)

=0.16m

3) Cálculo de la profundidad de hincado:

1.20m

I Anclas a 2.5 m separación

6m

~ , ..

D

',

--------------------------'~A ,

ARENA LIMPIA: C=O $2= 36° ' KA= 0.236 'Kp = 9.32 'Ym = 1.90 ton/m3

ProbI6riiás básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte

Figura 2.2.2.1

113

o 1mcyc

¡ + han el a

A

B

H

e

D

1 PRESIONES ACTUANTES

DERANKINE

Figura 2.2.2.2

Se aplican las ecuaciones de equilibrio LMB =O, }2Fx =O

Sumando momentos con respecto al punto de anclaje B, se tiene:

EAldl + EA2d2 + - EPEd4 = o Donde:

ªe = KA yH

114

= 0.236 X 1.90 X 6

= 2.69 ton/m 2

= 1/2crcH

= 0.5 X 2.69 X 6

= 8.07 ton;

= 2.80 m

= 1/2crca

= 0.5 X 2.69 X 0.16

= 0.22 ton

= 4.85 m

= 1 /2y(KP - KA)(D - a)2

= 0.5 X 1.9(3.85 - 0.26)(0 - 0.16)2

= 8.6302- 2.760 + 0.22

(1)

RANCLA

O'c= 2.69 ton/m2

A1=1/2<JcH A1 = 1/20'ca AJ= 1/2'Y(Kp - KA)(D - a)2

dA1= 2.80 ffi dA2 = 4.85 ffi dr = 4.89 + 2/3D

DIAGRAMAS DE PRESIONES NETAS

= 4.89 + 2/30 m

Por lo que la ecuación (1) queda:

8.07 X 2.80 + 0.22 X 4.85 - (B.6302 - 2.760 + 0.22)(4.89 + 2/30)=0

Simplificando:

0 3 + 6.99 0 2 - 2.320 - 3.92 = o

Resolviendo la ecuación cúbica obtenemos :

D = 0.87 m

Incrementando la profundidad de hincado un 30% por seguridad, obtenemos:

D' =1.13m

4) Cálculo de la fuerza que actúa sobre el tirante:

La tensión en el ancla se obtiene de LFx = O

~

F ancla = 8.07 + 0.22 - (8.63 X 0.862 - 2.76 X 0.86 + 0.22)

= 4.06 ton/m2 (por metro de ancho)

Eilllcla = 4.53 X 2.5

= 10.15 ton (en cada ancla, separadas 2.5 m entre si)

5) Cálculo del momento máximo flexionante:

El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo

ubicado a una profundidad de de la corona.

1/2KAyd/ - 4.53 = 0;

0.5 X 0.236 X 1.90 X d/ = 4.53

de= 4.50 m

Tomando momentos en este punto de la parte superior del diagrama tenemos:

MMAX = - 4.53 X (4.50 - 1.20) + 1/2KAyd/ X d/3

MMAX = - 14.45 + 0.5 X 0.236 X 1.90 X 4.503/3

=-14.95 + 6.81

MMAX = - 8.14 ton-ro (por metro lineal de tablestaca).

La profundidad final de hincado obtenida con el criterio de seguridad al aumentar un porcentaje la profundidad

calculada puede, en ciertos casos, dar profundidades de

hincado demasiado reducidas e inseguras; por lo cual estas tablestacas será necesario garantizar que no exista una socavación que la sobrepase.

Problema 2.2.3

Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando una arena que presenta nula cohesión y un ángulo de fricción interna de <!> = 36°, así como un peso volumétrico dey = 1.90 ton/m2

• El nivel piezométrico queda a 3 ro abajo de la corona y la variación de mareas V = 1.0 ro.

~ 1mcyc

a) Deduzca por el procedimiento denominado de Nsoporte libre del terreno" la profundidad de hincado conveniente.

Propósito.·

Calcular la profundidad de hincado utilizando el método

del Soporte Libre, así como Ja fuerza que obra sobre el anclaje.

Solución:

Se analizará un ancho de tablestaca de un metro.

1) Dibujo del diagrama de presiones totales:

Para resolver este problema se utilizara el diagrama de pre

siones totales en vez del de las presiones netas, sabiendo que los resultados finales serán los mismos.

En el problema se incluirán las presiones del agua por efecto

de la variación de mareas, que frecuentemente ocurren en las obras marítimas o fluviales.

2) Cálculo de la profundidad de hincado.

Se toman momentos con respecto al punto de anclaje B,

l:M8 = 0

- A1d 1 + A2d2 + A3d3 + A4d4 + A5d5 - A6d6 = O

- 2.22 X 1 + (10.36 + 1.4813)(3.5 + 13/2) + (0.12132 + 1.631) + 5.74)(7 X 2/3

213/3) + (0.5 X 2/3) + (7 + 13)(7/2 + 13/2)-(1.9313 2)(2/30) - 0

Simplificando y haciendo operaciones se obtiene:

0 3-2.3913 2-23.8013-70.81 =o

3.00m Anclas a 1.0 m separación

,A Figura 2.2.3.1

VM=l.O

lOm

D


/

ARENA LIMPIA: C=O <!>2= 36° ' KA = 0.26 ' Kp = 3.85 Ym = 1.90 ton/m3

115

v 1mcyc

A----------han el a

V

lOm

D

E"'

CALCULO DE LAS AREAS: O'AB = 0.26 X 1.9 X 3= 1.48 ton/m2

A1 = l/20'ah = 2.22 ton

A1 = O'Aa(IO + D - 3) Ai = 10.36 + 1.48D ton

A3 = l/2(KAO'VE - 1.48)(10 + D - 3) O'vE .- Presión vertical en E. O'vE = (1.9 x 3) + 0.9(10+ D -3) O'vE = 12 + 0.9D A3 = 0.12D2 + l.63D + 5.74 ton

A4 = Yi x lx 1 = 0.5 ton

As = 1 ( 10 + D - 3) As = 7 + D ton

---KAO'VE 1-

A6 = Yi 3.85 Q'D2

A6=1.9.3 D2

PRESIQNES TOTALES DE RANKINE

Figura 2.2.3.2

Resolviendo la ecuación obtenemos:

O = 713 m

Incrementando la profundidad por seguridad un 20%.

O' = 8 56 m

3) Cálculo de la fuerza que actúa sobre el tirante:

Se aplica la ecuación de equilibrio :EMEP = O en el punto de

aplicación del empuje pasivo Ep. Se puede aplicar la ecua

ción anterior en otro punto, pero por facilidad de cálculo lo

aplicaremos en éste.

-EA' d 1 - EA2 d2 - EA-3 d3· EA4 d4-EA-5 d5

+ T dT = 0 (1)

E Al = 2.22 ton;

d, = 1O+2/3x7.13-2/3x3

=12.75 m

EA2 = (10.36 + 1.63 X 7.13)

= 21.98 ton;

d2 = (7 + 7.13)/2-2/3x3

=5.07m

EA3 = (0.12 X 7.132 + 1.63 X 7.13 + 5.74)

= 23.46 ton;

d3 = (7 + 7.13)/3-2/3x3

=2.71 m

116

EA4 = 0.5 ton,

d4 = 7.13x2,/3 +4+0.33

=9.08m

E As =(7+7.13)

= 14.13 ton

ds =(4+ 7.13)12 +4-2

=4.60 m

dT = 9.20x2/3 + 7

=7.57 m

-2.22x12.75-21.98x5.07-23.46x2.71-0.Sx9.08-14.13x7.57 +FTX 13.13-0

La fuerza sobre el ancla es:

IAriCLA.lf...:= 23.20 ton

4) Cálculo del momento máximo flexionante:

El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo situado a una profundidad d, de la corona, por lo que primero

calcularemos su localización y después el momento flexionante en el mismo punto.

Considerando que el punto de cortante nulo queda entre los puntos C y O a una distancia del punto de anclaje C. Toman

do momentos flexionantes de la parte superior tenemos que la ecuación es :

A1 - T +crAB y+ (KAy'y)y/2 + A4 + Yw (y- 1) = O


Propiedad

p

Log1op

Modulo de sección, S

Momento flexionante resistente

MRIMMAX

Unidad por pie de ancho

Pulg4

Pulg3

Kip-pie

TablestacaPZ38

280.8

1.63 'x 10·3

-2.78 1

46.8

97.50

0.65

2.22-23.20 + 1.48y+(0.26xu.9)y2 /2 +0.5+y-1=0

0.117y2 + 2.48y- 21.48 =0

Resolviendo la ecuación cuadratica obtenemos:

y= 6.10 m

·El punto en el que ocurre el máximo momento queda a 9.60 ' abajo de la corona.

La ecuación para encontrar el momento flexionante máximo es:

Al (y + ?{) + (j AB y{/{ ) + (KAy'y)/{ ~) + A/y - 3{) + y(y -33')/2 -T y = M

2.22(7.1 O) + 0.75x6.102 + 0.04(6.103) + 0.5(5.77) + 3.05(5.77) -23.20x6. 1 O =M

MMAX.: = - 68.28 ton-ro Por metro lineal de tablestaca

MMAX = -150.5 Kips-pie por pie lineal de tablestaca

Reducción propuesta por Rowe

Se hará una tabla que muestre Log10p contra la relación

M/MMAx: donde p se obtiene por la fórmula de Rowe y la relación M/MAx se encuentra a partir de los datos proporcionados por los fabricantes de tablestacas o de las propiedades de la tablestaca, además del valor de MMAX obtenido ante-

TablestacaPZ27 TablestacaPDA27

184.2

4.16x 10·3

-2.38

30.2

62.9

0.42

39.8

1.15 X 10-2

-1.94

10.7

22.29

0.15

~ 1mcyc

Obtención propiedad

Fabricante

Fórmula 2.2

TablaFabricante

cr S

riormente. Finalmente, en una gráfica se compararan los resultados obtenidos para elegir la sección más recomendable. La gráfica incluirá los datos de la tabla construida y la curva pertinente propuesta por Rowe.

Elaboración de la tabla: Se tomarán los datos del catálogo de un fabricante.

L =H+D'

p

=10+8.56

= 18.56m

=60.89 pies

(H +0) 4

El

60.89 4

= 3x10 7 /

0.458 =-,-1 en pulg4 (2.2)

5) Elaboración de una gráfica que permita comparar los resultados y elegir la sección de tablestaca mas conveniente. Se utiliza la propuesta por Rowe indicada por el número

1.Qi---~~~~-.--~~~~~.--~P-ar_a_a-rc_n_a-dc-n-sa~~~~~~~~~~

/3=0, 0.1,0.2,0.3

M 0.6

Mo 0.4 ~~~~~-+-~~_;::==-~t-=--.....=-=--==:-'-~~~~--~~~~~-1 PZ27 J. 8

- et' === o"'J::::::::::: o. 2 1-------+-----+-----;--- Q' ===ºti

PDA27 O.__~~~~_.__~~~~~'--~~~~-'-~~~~~'--~~~~-l

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 log p; p = H'?ÉI


Figura 2.2.3.5

117

~ 1mcyc

2.51 y se le agregan los puntos que representan a cada tablestaca analizada.

Del análisis de la figura 2.2.3.5 se concluye que la tablestaca

PDA 27 queda abajo de la cueva o sea del lado de la inseguridad, la PZ38 es la más conservadora y de las 3 estudiadas la PZ27 es la más conveniente con una reducción del momento máximo actuante del 42%.

Procediendo de esta manera se pueden analizar las tablestacas que se quieran.

La reducción propuesta por Rowe se aplica mejor en el diseño de la tablestaca y no para calcular las presiones que actúan sobre ella.

Problema 2.2.4

Encuentre la profundidad mínima de hincado de la tablestaca anclada que se hinca en arcilla y que contiene un relleno de arena limpia, tal como se muestra en la figura. Considere un incremento del 30 % en la profundidad de hincado como seguridad.

Propósito:

Calcular la profundidad de hincado de una tablestaca con

apoyo I ibre colocada en un suelo puramente cohesivo y con

relleno de suelo friccionante. Figura 2.2.4.1

Solución:

1) Se establece el diagrama de presiones tal como se indica en la figura 2.2.4.2 a continuación.

l.20m 1 Figura 2.2.4.1

2) Cálculo de la profundidad de hincado Se aplican las ecua- · dones de equilibrio LMB = O, LFX = O

Tomando momentos con respecto al punto de anclaje B, se tiene:

EAdl - EPEdi = o; Donde:

= 1/2KAyH2

= 0.5 X 0.33 X 52

= 4.13 ton

= (4c -yH)D

= (4 X 3 - 1.70 X 5)D

= 3.5D ton

= 2/3 X 5 - 1.20

= 2.13 m

= 5 - 1.20 + D/2

= 3.80 + D/2

Por lo que la ecuación queda:

4.13 X 2.13 - (3.5D)(3.80 + D/2)

Simplificando:

D2 + 7.6 D - 5.02 = O

Resolviendo la ecuación cuadratica obtenemos:

o - 0.61 m

Incrementando la profundidad de hincado un 30% por se-·

guridad, obtenemos:

Tirante

H=5m Arena limpia:


, ,

118

C= O ton/m2

<!> =30° Ym = 1.60 ton/m3


<!>=oº Ym = 1.70 ton/m3

H Presión activa

Tirante

~ 1mcyc

Figura 2.2.4.2

d2 q =yH

D

1

Presión . pasiva exterior

***** EPE

'---D

DIAGRAMA DE PRESIONES NETAS PARA SUELOS COHESIVOS

O' = 0.79 m

La profundidad calculada es mucho menor que la de la tablestaca en cantiliver cuya D' fue de 6.45 m.

3) Cálculo de la fuerza que obra sobre el tirante:

La tensión en el ancla se obtiene de

Lf x = O

F ancla = 4. 1 3 - 3. 5 X O. 61

fílllda = 2.00 ton por metro de ancho:

4) Cálculo del momento flexionante máximo:

El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo ubicado a una profundidad de de la corona.

1/2KAy1d/ - 2.0 = 0;

0.5 X 0.33 X 1.70.X d/ = 2.0

de= 2.67 m

Tomando momentos en este punto hacia la parte superior del diagrama de presiones tenemos:

MMAX = - 2.x (2.67 - 1.20) + 1/2KAyd/ x d/3

MMAX = - 2.94 + 0.5 X 0.33 X 1.70 X 2.673/3

=-2.94 + 1.78


MMAX = - 1.16 ton-m (por metro lineal de tablestaca).

La tablestaca anclada permitió obtener una menor profundidad y momento flexionante que la obtenida en una tablestaca similar, pero en cantiliver.

Problema 2.2.5

Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando un relleno de arena, que tiene un ángulo de fricción interna~ = 36º, cohesión nula y un peso volumétrico de y = 1.90 ton/m2

•

a) Calcule por el procedimiento denominado de "soporte fijo del terreno" la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado, utilizando el procedimiento de Coulomb para calcular los empujes.

b) Calcule por el procedimiento denominado de "fa viga equivalente" la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado.

c) Compare los resultados obtenidos.

Propósito.·

Calcular la fuerza que actua sobre el anclaje y la profundidad de hincado utilizando el método del Soporte Fijo y de la Viga Equivalente.

119

v 1mcyc

Figura 2.2.5.1 1.20m ¡ 6.0m

D"

a) Método del soporte o apoyo fijo.

Solución:

Anclas a 2.5 m separación

--------------------------~' A /

8

KP

ARENA LIMPIA: C=O <!> = 36° 'KA= 0.236 'Kp = 9.32 Ym = 1.90 ton/m3

= Yi ~ Para el activo

= 9.320

En este problema para determinar el valor de los coeficientes de empuje se siguira la recomendación de Terzagui de considerar:

KA y KP se obtuvieron aplicando la fórmula de Muller-Bres

law, considerando 8 = 3{ 36º= 24º para el pasivo y 8 = ~

36º = 18º para el activo.

8 = 3{ ~ Para el pasivo

= 0.236

Figura 2.2.5.2

6.0m

D

120

Utilizar los coeficientes de empuje por Coulomb es más ventajoso que usar los de Rankine, pues permiten analizar en forma aproximada el efecto de los movimientos del relle-

DIAGRAMA DE PRESIONES SIMPLIFICADO

t t A

1.20m

+ B -----------....

i 2.80m

1

no y de la cimentación sobre los valores de los empujes activo y pasivo.

1) Dibujo del diagrama de presiones.

= 0.236 X 1.90 X 6 X COS b

= 2.56 ton/m2

= 2.56 X 6/2

= 7.68 ton

2) Cálculo de la profundidad del punto de inflexión.

Para localizar la profundidad x del punto de inflexión, D, se utilizará la grafica propu~sta por Blum.

De la gráfica

X . = 0.002 H

= 0.002 X 6

= 0.012 m

3) Cálculo de la profundidad del punto de presiones nula, E.

cr a

1.90(9320-0236)

= 0.15 m

4) Cálculo del empuje EA2.

= 2.56 X 0.15/2

= 0.19 ton por metro de ancho

5) Cálculo del empuje pasivo EPE.

= y (KP - KA)(D-a)

= 1/2 y (KP - KA)(D - a)D

= Yi X 1.90 (9.32 - 0.236)(D2 - 0.15D)

=8.63D2-1.29D [1]

6) Cálculo de la fuerza en el tirante. Para ello se tomaran mo

mentos con respecto al punto de inflexión D. :EMo = O.

:EM0 = F r x dr - EA1 x (2 + x) - 0.02 x (2/3 x)

:EMD = FT (4.80 +. 0.01) - 7.68 (2.00 + 0.01) - 0.02 X 0.01 = o

FA = 3.21 ton por metro de ancho;

fA_--=-~3:..u.2.._1L..'1.x _..2 ...... 5¿_

= 8.03 ton por ancla

7) Cálculo de la profundidad de anclaje.

Tomando momentos con respecto a la_ base F, tenemos:


\) 1mcyc

:EMF = 0.

:EMF = FT X (D + 4.80) - EAl X (D + %') -EA2 X (D-X

a)+ EPExdPE =o

3.21x(D + 4.80)-7.68x(D + 2)-0.19x(D-0.05) + EPEx(D-0.15)/3 - O

= (4.66D - 0.04)/(D/3 - 0.5) [2]

Igualando [1] y [2] tenemos:

8.63D2 - 1.29D = ( 4.66D - 0.04)/(D/3 - 0.5)

Resolviendo la ecuación:

O = 1.49 ro

Blum propone que la profundidad se incremente de 1.05 a 1.20 veces

(D - a) y agregarle u como se indica en la figura 2.11, para este caso se considerara 1.20 veces.

1.20 (1.49 - 0.15) + 0.15 = D'

O' = 1.76 ro

= 8.69 X 1.492 - 2.59 X 1.49 + 0.02

= 1 5 .45 ton por metro de ancho.

8) Cálculo del máximo momento flexionante.

El máximo momento flexionante ocurre en donde el esfuerzo cortante que actua sobre la tablestaca es igual a cero.

FA - 1/2yKªz2 = O;

3.21- 0.5 x 1.90 z2 = O;

z = 3.38 m a partir de la corona

MMAX = 3.21(3.38 - 1.20) - 0.5 X 1.90 X 3.382 X (3.38 - 1.20)

MMAX:= 16.66 ton-ro por metro de ancho.

b) Método de la viga equivalente.

1) Dibujo del diagrama de presiones. Se realiza en la misma forma que en el inciso anterior.

2) Cálculo de la profundidad del punto de inflexión. Se hace en la misma forma que en el inciso anterior.

X = 0.012 m

pero además se calcula la presión que existe en este punto. Se puede obtener por una simple regla de tres:

crJa = crJ(a-0.01 );

cr0 = 2.56 X (0.15 - 0.01 )/0.15

= 2.39 ton/m2

3) Cálculo de la profundidad del punto de presiones nula, E. Se hace en la misma forma que en el inciso anterior.

121

\) 1mcyc

Figura 2.2.5.3

VIGA SUPERIOR

x=O.OlD~Rn cro =2.39

0.14 - - - - - - - - - - - - EAI f------------ D Rn

y VIGA INFERIOR

! L...-""'"'"'."".:-::-:-·__...... __ O"F = yY(KP - KA) F

EPI

a = 0.15 m

4) Se dibujan las vigas superior e inferior con sus respectivas cargas.

5) Cálculo de la viga superior.

Fuerza en el tirante: se toman momentos con respecto al punto D.

LMD = FT (4.80 + 0.01) - 7.68 (2.00 + 0.01) - 0.02 X 0.01 = o

Fr == 3.21 ton por metro de ancho;

f1. __ =__..._.3 • .__2_._1 ..... x ....... 2 ........ 5 ....

- 8.03 ton por anda

Cálculo de Ro. LFx = O.

= EAS - FT

= (7.68 + 0.01 X 0.5(2.56 + 2.39)) - 3.21;

= 4.49 ton

= 0.5 X 2.39 X 0.14

= 0.17 ton

6) Cálculo de la viga inferior.

Cálculo de EPF. Tomando momentos con respecto a la base

122

R0 (Y + 0.14) + EA1 (Y + 0.67 X 0.14) - EPF x Y/3 = O

4.49(Y + 0.14) + 0.17(Y + 0.09) - Vz X y X 1.90 X Y(9.32 - 0.236) X Y/3 - o

2.87 Y3 - 4.66 Y - 0.65 = O;

y

D

o

= 1.34 m

=Y+a

= 1.34 +0.15

= 1.49 ro

Siguiendo el criterio de Blum

D' = 1.20 (1.49 - 0.15) + 0.15;

O' = 1.76 ro

7) Cálculo del momento flexionante máximo. Se calcula en forma igual que en el inciso anterior.

MMAX:= 16.66 ton-ro por metro de ancho

e) Comparación de resultados.

Los resultados de los dos procedimientos son iguales.

Se utiliza con mayor frecuencia el método de la viga equivalente que el simplificado, los dos propuestos por Blum, por considerarse de fácil aplicación.


1 • 1.50m

A

t ~B------------------------Relleno de ARENA: C=O

Figura 2.2.6.1

H=lOm $t = 32° MUERTO

e

3 'Yml = 1.75 ton/m KA= 0.31

Terreno natural:ARENA LIMPIA: Longitud de hincado, D. C=O

1 $2 = 30°

3 ym2 = 1.65 ton/m

D KA=0.33 KP=3

Problema 2.2.6

Encuentre la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado por el Método del Apoyo o Soporte Fijo de la tablestaca mostrada en la figura. Comparelo con el resultado obtenido con el método del apoyo libre en el problema 2.2.1

Propósito:

Calcular la profundidad de hincado mínima de una tablestaca con apoyo fijo en un suelo puramente friccionante. Figura 2.2.6.1

· 1) Dibujo de las presiones netas

En los puntos de anclaje, A, de pivote, B, y en la base; C, se

tiene la condición de que el momento flexionante de la ta

blestaca en estos punto es igual a cero.

En B:

= 2.67(1.75 x10+1.65 x)

CJ'PB = 46.73 + 4.41 X

En C:

crPC = (KP2-KA2 )y(D-a)

= 2.67 X 1.75 X (0-a)

crrc = 4.67 (D-a)

E Al

EA2

EPE

5.43x1 O

2

= 27.15 ton

5.43xa2

2

= crrc x (O-a)

= 2.33(0-a)2

1 1.50 m !

10.0m

D

f x t PIVOTE

ª•

1 O'PC

Considerando las áreas, tenemos: Figura 2.2.6.2


A T

EA2

e

\) 1mcyc

EAt

123

o 1mcyc

EPI = T-EAl - EA2 + EPE

2) Cálculo de la profundidad del punto donde las presiones son nulas:

cr a

1.65(3-.033)

=1.23 m

3) La profundidad del pivote x, se calcula utilizando la gráfica 2.13 de Blum.

X = 0.07 H

X = 0.07 X 10

= 0.7 m

X = 0.70 ID

crx = (1-Ya)5.43

= 2.34 ton/m2

4) La fuerza en el tirante se obtiene por la condición de que la suma de momentos en este punto B sea igual a cero,

LMB = O. Tomando momentos de la parte superior de la tablestaca al punto B, tenemos:

MPIVOTE = o ;

FTdT- EA1d A1-(5.43 + cr)(a-x)d8/2 =O

FT(0.70 + 1 O - 1.50) - 27.15 x(0.70 + 19{¡ + (5.43 + 2.34)(1.23 - 0.70)x03%

La fuerza en el anclaje es:

f 1 - 11.91 ton

5) Para calcular O tomamos momentos con respecto a· 1a base, _Me = O.

FTX dT- EA, X dAl - EA2X dA2 + EPEX dPE = o

FTXdT = 11.91(0+10-1.50)

= 11.91 O + 101.23

EAl X dAl = 27.15(0 + 10/3)

= 27.150 + 90.49

EA2 X dA2 = (5.43 X 1.232/2) X (O - 1.23/3)

= 4. 11 O - 1.68

EPE X dPE = 2.33(0 - 1.23)2 (O - 1.23)/3

= 0.78(0 - 1.23)3

11.910+101.23-( 27.150 + 90.49)-(4. 1 lD - 1.68) + 0.78(0 - 1.23)3 - O

124

Resolviendo esta ecuación cubica se tiene que:

D = 6.47 m

Blum propone que la profundidad se incremente de 1.05 a

1.20 veces

(O - a). Considerando 1.20 veces.

1.20 (6.47 - 1.23) + 1.23 = O'

D' = 7.52 m

La aplicación del método propuesto por Blum es relativa

mente sencillo y po ello, utilizado frecuentemente.

Problema 2.2.7

Una excavación de 7.00 m de profundidad se hará en un suelo puramente friccionante, con ~ = 28 ° y ym = 1.8 ton/m3

• La pared de soporte esta formada por una hilera de pilotes que a una profundidad de 1.20 m se sujetan por anclas a "muertos" colocados convenientemente. Sup.oniendo que la base de la ataguía esta fija y utilizando el método de la viga equivalente. Determine la longitud mínima que deben tener los pilotes para mantenerse en equilibrio y no deslizarse.

Propósito:

Calcular una tablestaca por el método de la viga equivalente y analizar la longitud de anclaje y colocación del muerto correctamente. Figura 2.2.7.1

Solución:

Para un suelo friccionante, en la práctica, si ~ queda com

prendido entre 25° y 35° entonces el punto de contrafle

xión O se recomienda quede a 0.1 H por debajo del punto C del suelo.

CD = 0.10 X H

H = 0.70 m.,

KA = 0.36,

KP = 2.77.


o 1mcyc

A F 1 / ,, /

TIRANTE O ANCLA ,/' ·-·-·,,·,,-,,~ , ___ /,/ MUER~TO B ! / H--/-··,,-·,. ----

Í; ,/// '------.,' .. , / / ,,

// /./ ....................... . / // ·- .. , G

/ COLo/ACION DEL MUERTO / E12,gulo a debe ser igual a 45° - cj>/2 y el

/ ángulo b mínimo igual a 45 º + cj>/2 y el más / /~onveniente igual a cj>.

/ / El muerto debe quedar en la zona superior a ,,/ .// F - G. para que funcione eficientemente.

o. 7 m 1--. ----n // // ·-,,,\ A j /

'/

--------------·-x _,. ___ ,_E_l_~__.__P_---i<I\ _________ _

7.00m

1.2m 1 ..

.. e

Figura 2.2.7.1

A

T B

VIGAA-D VIGAD-E

EA

Da D Db

Da D Db Re

Figura 2.2.7.2

\) 1mcyc

Para determinar el valor de las presiones en los puntos importantes, se utilizara la tabla siguiente:

Punto Presión activa Presión pasiva

A o o e 0.36 X 1.8 X 7.0 = 4.54 o D 0.36 X 1.8 X 7.70 = 5.0 2.77 X 1.8 X 0.70 = 3.49

E 5.0 + 0.36 X 1.8 X X - 5.0 + 0.65 X X 3.49+2.77x1.Bx X- 3.49 + 5x X

Se consideraran las vigas equivalentes de la figura 2.2.7.2

EMPUJE ACTIVO ton

0.5 X 5 X 7.7.,. 19.25

EMPUJE PASIVO ton

0.5 X 3.49 X 0.7 = 1.22

VIGAA-D

PUNTO DE APLICACION MOMENTOS

. • (con respecto a B) (d1stanc1a con respecto a B)

7.7 - (7.7/3) - 1.20 = 3.94 19.25 X 3.94

MOMENTOS PUNTO DE

APLICACION (con respecto a B)

(con respecto al punto BJ

(0.7/3) = 0.23 1.22 X 0.23

Para calcular RC se tomaran momentos con respecto al punto, B, de colocación del anclaje.

RC X (7.7 -1.2) = 19.25 X 3.94 - 1.22 X 0.23

RC = 11.63 ton por m.I.

126

VIGA D-E

EMPUJE ACTIVO PUNTO DE

MOMENTOS

ton APLICACION

(con respecto a E) (distancia con respecto a E)

5 X X ~ 2.5 X X2

0.65 X~{ ~ (º·6%) X X3

EMPUJE PASIVO PUNTO DE

MOMENTOS

ton APLICACION

(con respecto a EJ (con respecto al punto E)

3.49 X X ~ (3·4~x x2

2.50 X 2 ~ e5%)

Para calcular X se tomaran momentos con respecto al punto E de todas las fuerzas, incluyendo la fuerza RC calculada anteriormente y se igualaran a cero para tener equilibrio.

11.63 X (X+ 0.7) + 2.5 X X2 + (º· 6%) X X3 - ~· 4%')x X2- (2s'.}{)x X

3 = 0

-0.725X3 + 0.75X2 + 11.63X + 8.14 = O

X = 4.84 ro

La profundidad de empotramiento será igual a

4.84 + 0.7 = 5.54 m

La longitud mínima de la tablestaca es igual a

5.54 + 7 = 12.54 m.

La colocación correcta del muerto se muestra en la figura# 2.2.7.1. Para que quede dentro de la zona G,H y Y se debe conocer las dimensiones del muerto y hacer los calculas geometricos pertinentes.

Para este caso se utilizo un diagrama de presiones totales en lugar del diagrama de presiones netas. El resultado final es el mismo.

La colocación correcta de los muertos es importante ya que si no se colocan adecuadamente puede hacer inefectiva o deficiente su función.


Ademes

El cálculo de los empujes del suelo sobre los ademes se basa en la propuesta de Karl Terzaghi de utilizar ENVOLVENTES DE PRESIONES.

Posteriormente a Terzaghi varios investigadores han propuesto diferentes envolventes de presiones.

La envolvente que debe utilizarse la que más se adapte a las presiones de los suelos del sitio, para ello se requiere experiencia y buen juicio. Lo más conveniente es utilizar los re

sultados de las instrumentaciones realizadas en los suelos del lugar.

El Instituto de Ingeniería de la Universidad Autónoma de

México ha realizado una serie de investigaciones en los sue

los de la ciudad de México y ha propuesto una serie de envolventes de presiones para aplicarse a ellos.

PUNTAL 1

0.5m

PUNTAL2

ARENA: 2.0

~ 1mcyc

Problema 3.1

Se pretende hacer una excavación y ademar en una arena fina limpia con un peso volumétrico de y = 1.8 ton/m3 y ángulo de fricción interna de ~ = 35º, con cohesión nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 5 puntales, separados horizontalmente dos metros entre sí y colocados según se muestra en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales empleando las envolventes de presiones siguientes:

a) Envolvente propuesta por Terzaghi para las arenas de Berlin.

b) Envolvente propuesta por Peck para arenas (1969).

Propósito:

0.2 H Figura 3. l.1 (1.70 m)

<!>=35º ENVOLVENTE

c=O PUNTAL3 Ym = 1.8 ton/m

3 2.0m

KA=0.271 NAF Profundo

PUNTAL4

2.0m

PUNTALS 2.0m


DE PRESIONES PROPUESTA POR TERZAGUI

0.8 yH KA

0.6 H (5.10 m)

0.2H (1.70 m)

127

G 1mcyc

P2a

P3a

P4a

Figura 3.1.2

1.13 m

0.97m

0.40m

1.00m

1.00m

1.00m

1.00m

0.15 m

0.72m

1.13 m

Figura 3.1.3

128

Ademes

PI~

P2b :i ~ _. P_2_ª..,.------.

P3a ]

PI

P2b

P3b

P4b Los puntales inferiores se calculan en forma similar

P5 CALCULO DE LOS PUNTALES

ANÁLISIS POR METRO LINEAL DE ADEME

,,.

,., ,,.

...

·~

' .. '~

·~

P2a e ~

...

f ~

....

P3b ~ ... g

P3a g ~

...

h ~

....

P4b ~ .

í:Me =O; P1(2) = 2.82 (1.37) + 2.66 (0.40); PI= 2.46 t

Yi (3.32) (1.70) = 2.82 ton (Area) = F 1

0.2 (3.32) = 2.66 ton (Area) = F2

P2b = 2.83 + 2,66 - 2.46 = 3.03 ton

P2a = P3b = 3.32 ton

_? (3.32) = 6.64 ton= f3

P3b = P3a = 3.32 ton

P3b = P3a = 3.32 ton

2 (3.32) = 6.64 ton= F 4

P4b = 3.32 ton

P4a = 2.82 + 0.99 - 1.28 = 2.59 ton

0.6 (3.32) = 1 ton= Fs

Yi (3.32) (1. 7) = 2.82 ton= F 6

Ps = 1.0 + 2.82 - 2.59 = 1.23 ton


Ademes

Calcular las cargas que actúan sobre los puntales que sostienen el ademe de una excavación en arenas.

a) T erzaghi.

crmax = 0.8 KA Ym

H = 0.8 X 0.271 X 1.80 X 8.5

= 3.32 ton/m2

CALCULO DE LOS PUNTALES

Los puntales inferiores se calculan en forma similar

P3a

P5

P4a P4b

Superponiendo las fuerzas obtenemos:

P1

P2

P3

P4

= 2.46 ton,

= P2a + P2b = 3.03 + 3.32

= 6.35 ton,

= 3.32 + 3.32

= 6.64 ton,

= 2.59 + 3.32

= 5.91 ton,

PUNTAL 1

PUNTAL2 ARENA: <t> = 35°

PUNTAL3 · c=O y= 1.8 ton/m KA= 0.271

PUNTAL4

PUNTALS

0.2m

0.6m

3 O.Sm

2.0m

2.0m


~ 1mcyc

P5 = 1.23.

Como los puntales estan separados dos metros entre si, debemos multiplicar por 2 los resultados anteriores que fueron obtenidos para un metro de ancho.

P1 = 4.90 ton

P2 = 12.70 ton

= 13.38 ton

= 11.82 ton

P5 = 2.46 ton

b) Utilizando la.envolvente propuesta por Peck para arenas, con NAF profundo. Figura 3.1.5

Solución:

Se calculan los volúmenes que le corresponden a cada puntal.

crmax = 0.65 X 0.271 X 1.8 X 8.5

= 2.70 ton/m 2 •

Puntal 1 [(0.5 + 1 )1 x 2.70] x 2 = 9.10 ton.

Puntal 2 [(1 + 1) 1 x 2.70] x 2 = 10.80 ton.

Puntal 3 [(1 + 1)1 x 2.70] x2 = 10.80 ton.

Puntal 4 [(1 + 1 )1 x 2.70] x2 = 10.80 ton.

Puntal 5 [(1 + 0)1 x 2.70] x2 = 5.40 ton.

Figura 3.1.4

ENVOLVENTE PROPUESTA POR PECK

-0.65KAyH

129

~ 1mcyc

La utilización de la envolvente Propuesta porTerzaghi es más conservadora que la propuesta por Peck. Sin embargo, conviene recordar que de todas las propuestas se debe utilizar la que se ajuste más al comportamiento del suelo en el sitio; para lo cual será conveniente hacer mediciones, instrumentando el sistema de ademado y con los datos reales obtenidos caracterizar el comportamiento del suelo de la zona con una envolvente mas real y precisa. Si no es posible hacer esto se debe utilizar la experiencia.

Problema 3.2

Se pretende hacer una excavación de 7 .5 m de profundidad en una arcilla blanda que tiene un peso volumétrico de

y= 1.78 ton/m3, con cohesión de 2.5 ton/m2 y ángulo de

fricción interna nulo. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 5 puntales, colocados según se muestran en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales utilizando la envolvente propuesta por Peck para arcillas blandas (1969).

Propósito:

Calcular las cargas que actúan sobre los puntales que sostienen el ademe de una excavación en arcilla blanda. Figura 3.2.1

N = (yH + ql/c ;

q

N

= O (sobrecarga);

= 1. 78 X 7.5/2.5

= 5.34 > 4

Por lo que m < 1 y

Figura 3.2.1

PUNTAL 1

PUNTAL2

PUNTAL3

KA 4c

=1-myH

4x25 =1- 0·80 1.78x75

= 0.40

Ademes

En este problema, el valor de m = 0.8 se obtuvo de mediciones en el campo de la instrumentación de excavaciones en este tipo de suelos arcillosos.

Arcilla de la ciudad

Oslo, Noruega

Chicago, U.S.A.

México, Mex. Véase figura 3.3.4

Véase figura 3.2.2

Se analizará un metro de ancho.

E, = 5.34 X 1.88/2

= 5.02 ton

d, = 1.25 m.

Valor de m

0.40

1.00

La distancia con respecto al punto de aplicación del puntal 2

es:

= 0.62 X 5.34

= 3.31 ton.

= 0.31 m (con respecto al puntal 2).

Para el cálculo del puntal 1 se tomaran momentos con respecto al punto de aplicación del puntal 2. Para el puntal 2

con respecto al punto 1.

LM2 =O;

l.Om + 0.25H

1.5 m i

l.5m 7.5m

PUNTAL4 ARCILLA ENVOLVENTE DE PRESIONES PROPUESTA POR PECK PARA ARCILLAS BLANDAS

0.75 H

PUNTAL5

130

BLANDA 1.5 m

e = 2.5 ton/m 2

<!>=O 3 y=l. 78 ton/m 1.5 m

io.5m

KA= 1-4mc/yH m = 1 si N = yH/c E 4 m< 1 si N>4

Ademes o 1mcyc

P3a

·--·--·--.. ·-·----------·-·

] P3b P3a

] 5.62m

l P4b E4 P4a

---------·-·---

:i P5b P5a --1 .. E'.6

P4a

P5a Es

KAyH

5.34 ton/m2 CALCULO DE LAS FUERZAS SOBRE LOS PUNTALES

· Figura 3.2.2

P1 X 1.50 + P2b X 0 - 5.02 X 1.25 - 3.31 X 0.31 = 0;

P, = 4.87 ton

:EM, =O;

P2b X 1.50 + P1 X o - 5.02 X 0.25 - 3.31 X 1.19 = o; = 3.46 ton

Por simetría:

P2a = P3a;

P3b = P4b;

P4a = P5a.

P2a = P3a

= 1.50 X 5.34/2

= 4.00 ton

P3b = P4b

= 4.00 ton

P4a = P5a

= 4.00 ton

P5b = 0.50 X 5.34

= 2.67 ton

Las fuerzas aplicadas sobre los puntales son:

= 4.87 ton

= P2a + P2b

= 3.46 + 4.00

= 7.46 ton


= P3a + P3b

= 4.00 + 4.00

= 8.00 ton

= P4a + P4b

= 4.00 + 4.00

= 8.00 ton

= P5a + P5b

= 4.00 + 2.67

= 6.67 ton

El criterio de aplicación de la fórmula adecuada lo da el

valor de N, que es la función del peso volumétrico, la al

tura de la excavación, la cohesión y la sobrecarga.

Problema 3.3

Se pretende hacer una excavación ademada de 8.5 m de profundidad en una arcilla dura y fisurada, con un peso vo

lumétrico de y = 1.8 ton/m3, cohesión c = 3 ton/m2 y ángu

lo de fricción interna nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 5 puntales colocados según se muestran en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales.

Propósito:

Calcular las cargas que actúan sobre los puntales que sostienen el ademe de una excavación en arcilla, utilizando la envolvente de Peck.

131

~ 1mcyc

a PUNTAL 1 0.2 m

Figura 3.3.1

ARCILLA DURA 0.6m PUNTAL2 YFISURADA

2 e= 3 ton/m

PUNTAL3 <j>=O Ym = 1.8 ton/m

PUNTAL4 NAF profundo

PUNTALS

La forma del diagrama de presión y la magnitud de las pre

siones dependen del número de estabilidad N =(yH + q)/c. Las fórmulas para calcular las presiones y el empuje se indican en la tabla siguiente:

:: ;cj·<·N;:<.:s.'.;;:s)::/N ·¿fo7 /1o<dN:<~2o·::· f.: ~:iN·:~2ó:~:\=. ::

. ·~· ·.·· y~·~!~~i8)c.. : O;~~r;H•··~·;:~it~:~~~~t····· •· 'º•:¡;~Hr · 'ª ·0:55 H · 'o.55.H ··0:·1~o:os5N)H · · ::,:º::':;:.'/

·C ·0.46H .Q.46H· 0.3BH; ·0.33H·.··

En nuestro problema tenemos:

N = (1.8 X 8.S)/3

= S.1

q =Ü

De la tabla anterior obtenemos el valor máximo de la presión:

P3a P3b

A

0.5 m H

2.0m

2.0m

= yH-4c

ENVOLVENTE DE PRESIONES PROPUESTA PORPECKPARA ARCILLAS DU,_ RAS Y FISURA -DAS

-ah~

= 1 .8 X 8.S - 4 X 'j

= 3.3 ton/m 2

= 0.78 H O'H

= 0.78 X 8.S X 3.3

= 21.88 ton

= 0.1S H

= 0.1S X 8.S

= 1.28 m

B =O.SS H

= 4.68 m

e = 0.46 H

= 3.91 m

::: ] P4a Los puntales inferiores se calculan en forma similar.

O'max = 3.3 ton/m2

P5 CALCULO DE LOS PUNTALES

Figura 3.3.2

Ademes

b --í B

e e

1 A

+

J

Ademes

Las fuerzas que están aplicadas sobre los puntales son:

1.95x15 P, = -2-

f1

= 1.46 ton

(254x33)

P2ª + P2b= 2

-1.46 + 0.96x3.3

= 3.04 ton

f 2 = 3.04 ton

p3a + p3b = 2 X 3.3

= 6.6 ton

.el = 6.60 ton

(128X3)

p4a + p4b = -2- -1.29 + 1.72 X 3.3

= 6.50 ton

P~ - 6.50 ton

P, _ (lüx~.58)

= 1.29 ton.

f1

- 1.29 ton

H

~ 1mcyc

Existen diferentes envolventes propuestas y el criterio

para elegir una de ellas lo dará la respuesta del suelo, por lo que es conveniente instrumentar para realizar los ajustes pertinentes.

En las envolventes de presiones propuestas por Peck el número de estabilidad N dará la fórmula requerida para aplicar.

Es importante considerar que las reglas empíricas propuestas porTerzaghi, Peck y otros autores para las e11vol

ventes se aplican sólo cuando el nivel freático esta profundo. En el caso de NAF superficial se requiere utilizar otros criterios.

t b1H

1

Figura 3.3.3

b2H

bJH

---------------·---·-----------· ·---·-------·---··-·--·········-·-····· .. ----··-·--······-·········---¡ EL NIVEL FREATICO ESTA PROFUNDO


I~ 1mcyc

Reglas de R.B. Peck para determinar el diagrama de presiones sobre Ademes

Véase Figura 3.3.3

Resumen de recomendaciones

Tipo de suelo b1 b2 b3 Ecuación de 13 Valor

típico de 13

Arenas o 1.0 o 13=0.65KAY 0.2y

Arcillas blandas a 0.25 0.75 o 13=0.65KAry 0.4y a O.By medias Ns > 5 ó 6

Arcillas duras y 0.25 0.50 0.25 13 = 0.2y a 0.4y 0.3y fisuradas Ns < 4

KAT = 1 - 4mS/yH ;

y = Peso volumetrico total (ym)

Su = Promedio de resistencia al corte, en prueba no consolidada, no drenada.

Criterio del Instituto de Ingeniería de la UNAM para determinar los empujes sobre Ademes en las arcillas del Lago de México, cuando N :s; 4.

Véase la figura 3.3.4

Ademes

Resumen de recomendaciones [ 1 ]:

1. Cuando el número de estabilidad, N~4, el empuje lateral sobre el muro puede dividirse en dos partes: empuje hidrostático del agua y empuje del suelo en función de los esfuerzos efectivos con un coeficiente de empuje igual a Ko = 4.

2. En caso de que N > 4 los desplazamientos de la tablestaca son grandes y ocurren concentraciones de carga en los puntales de apoyo. También se forma cerca del fondo de la excavación una zona plástica, cuyas dimensiones aumentan, al aumentar N, hasta alcanzar la falla de fondo. Por tanto, es preciso, en este caso, basarse en una teoría de falla para calcular las presiones laterales.

3. J. Al berro hace mención en reporte posterior [2] que el valor del número de estabilidad depende principalmente del procedimiento de construcción.

Problema 3.4

Se pretende hacer una excavación ademada de 7 .O m de profundidad en la arcilla blanda del Valle de México, que tiene un peso volumétrico de ym = 1.5 ton/m3

, cohesión e= 3 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El N.A.F. esta a 1.50 m de profundidad a partir de la superficie, Dibuje el diagrama de presiones de diseño que actua sobre el ademe.

Figura 3.3.4

Presión

del suelo

¡ _ _r_:__ Para calcular la presión del

suelo se utiliza el coeficiente de empuje en reposo, K.o.

H

h Presión del agua

(JH = ymh + 0.4(ymH - ywh)

Este criterio se utiliza solo cuando el número de estabilidad N ~ 4 Los valores se obtuvieron de la instrumentación de ademes en la construcción del tren metropolitano

Ademes

l h= 1.5 m

~ 1mcyc

ARCILLA BLANDA DEL VALLE DE MÉXICO NAF

Figura 3.4.1

Propósito:

2 e= 2.5 ton/m <!>=o

3 "(m = 1.4 ton/m

ÑAF profundo

H=7m

Dibujar el diagrama de presiones para el diseño de un ademe que se utilizara en una excavación en arcilla del Valle de México. Figura 3.4.1

La forma del diagrama del diagrama de presión y la magnitud de las presiones dependen del número de estabilidad:

N

N

= (yH + q)/c.

= (1.4 X 7 + 0)/2.5

= 3.92 < 4

por lo que se utilizara el diagrama propuesto por el Instituto

de Ingeniería de la UNAM.

Problemas básicos de empujes de sucios sobre estructuras de soporte

d

En el punto e:

2 O"H = 1.82 ton/m

(j'H = Ywh + 0.4{ymH -ywh)

<JHC = 1.0 X 1.5 + 0.4(1.4 X 7 -1.0 X 1.5)

= 1.82 ton/m2

En el punto b:

crHb = Koyh

<JHb = 0.4 X 1.4 X 1.5

= 0.84 ton/m2

e

El diagrama de presiones propuesto por el Instituto de lneniería de la UNAM es el mas a ro iado ara este caso.

135

Dimensionamiento de muros

Muro de gravedad

Muro de concreto reforzado

Problema 4.1 Se desea determinar la seguridad del muro de gravedad que se muestra contra volteamiento (F.S. = 1.5 mínimo), deslizamiento (F.S. = 2 mínimo) y revisar la seguridad contra la capacidad de carga del terreno. La capacidad admisible de carga del terreno es de 20 ton/m2

•

Propósito:

Revisar las dimensiones de un muro de gravedad.

Solución:

El coeficiente de empuje activo del relleno

~ 1mcyc

KA = 0.316 (considerando la inclinación del talud) .

Figura 4.1.1

6.70 5.80

0.45 ~

------3.00-------

Las dimensiones están en metros. El concreto tiene Y= 2.2 ton/m3


• 0.33 t Relleno de arena:

2 Y= 1.76 ton/m = 32°

c=O

137

\í 1mcyc

Momento positivo con respecto al punto B que evita el vuelco

Punto B

Momento negativo con respecto al punto B que provoca el vuelco

Punto B

Figura 4.1.2 Cálculo de los momentos positivos que evitan el vuelco.

El empuje activo del relleno es

= Yi X 0.316 X 1.76 X 6.972

= 13.51 ton, por metro de ancho.

La componente horizontal es

EAH = 13.51 X cos 10°

= 13 31 ton

La componente vertical es

EAv = 13.51 x sen 10°

= 2 35 ton

El empuje pasivo del terreno en la parte frontal del muro es:

EPH = Yi X 3.25 X 1.80 X 1.202

= 4 12 ton

El peso del relleno en la zona 4 y 5 inmediatamente detrás del muro es:

W 4 = 6.07 X 1.55/2 X 1.76

= 8 28 ton.

W 5 = 0,32 X (6.07 + 6.13)/2 X 1.76

= 3 43 ton

138

Cálculo del momento negativo que provoca el vuelco

El momento será igual al producto del empuje activo horizontal por su brazo de palanca:

M = 13.31 X 2.32

= 30.88 ton-m

Factor de seguridad contra volteamiento

F.S. M+ M

78.44 F.S. ---

30.88

E.S. = 2.5~ > 2

Factor de seguridad contra deslizamiento

El factor de seguridad se calcula dividiendo las fuerzas que inducen un deslizamiento hacia afuera, EaH, entre las que se oponen, EPH y FR. Véanse figura 4.1.3. y 4.1.4

El factor de seguridad se calcula dividiendo las fuerzas que inducen un deslizamiento hacia afuera, Eatt, entre las que se oponen, Eptt y F R •

EaH

EpH

Punto B F F d .. fri . , R·- uerza e cc1on

entre muro y suelo

Figura 4.1.3


Figura 4.1.4

F R = LFuerzas verticales x f

f

f

F.S.

= tan <3{ ~)

= tan(~ x 36)

= 0.444

= (3.06+5.74+ 10.35 +8.28+ +3.43 + 5.84+2.35) X 0.4444

= 19.17ton

19.17 + 4.12

1331

F.S. = 1.75 > 1.5

La fórmula que se aplica es:

V. Resultante de las fuerzas verticales.

e. Excentricidad.

Revisión por capacidad de carga:

crm . Presión máxima y mínima que produce el muro en el terreno.

e

e

M 8 =---

V 2

78.44- 30.88 ----- 1.50= - 0.28 m

39.05

- 39.05 { + 028] - 3x1 L 6x 3.0

~ = 20 30 ton/m.2.

=:20 ton/m2.

Queda un poco escaso pero aceptable.

.amin = 5 73 ton/m.2.


~ 1mcyc

La pres1on que aplica el muro excede muy poco la capacidad de carga admisible del terreno.

El muro es estable

El dimensionamiento de muros forma una primera parte de los cálculos realizados ara el diseño com leto del mismo.

Problema 4.2

Se desea dimensionar el muro de concreto que se muestra. El factor de seguridad contra volteamiento debe ser E.S. ~ 1.5, contra deslizamiento E.S. ~ 2 y revisar la capacidad de carga. La capacidad admisible de carga del terreno es de 25 ton/m2

•

Propósito:

Dimensionar un muro de concreto en cantiliver. Figura 4.2.1

Solución.·

El coeficiente de empuje activo del relleno

KA = 0.35

El empuje activo del relleno es

= Yz X 0.35 X 1.80 X (6.70 + 0.46)2

= 1 6 1 5 ton, por metro de ancho.

La componente horizontal es

EAH = 16.15 X cos 10°

= 1 5 90 ton

La componente vertical es

EAv = 16.15 x sen 10°

= 2 80 ton

El empuje pasivo del terreno de cimentación en la parte frontal del muro es:

KP = tan2(45° + 20°/2 ) = 2.04

EPH = Yz x KP x y2 x H2 + 2cH 1'2

EPH = Yz X 2.04 X 1.90 X 1.502 + 2 X 4 X (1.50)112

= 14 1 5 ton

Considerando un factor de reducción del pasivo de 213

EPH = 14.15 x 0.67 = 9 48 ton

= 0.5 X 0.2 X 6.0 X 2.4 = 1 44 ton .

139

o 1mcyc

6.70m 6.00 5.20

__ ._º.s_~ _____ =------_ITLI 0.46

Relleno: 'Y= 1.80 ton/m2

<1> = 30° c=O

Eav

1 0 r?I!

10

• Eau

01, [TI

1 ~2.72 .......... .

...-----------------------------.._; ;; O O

Ep __ .,.. '61 2 60 ---~· ;; .7 ~ · ; Terreno·

·-·-···-· ·-·····--······ .. ---··---·-···-·-·--·----·---···---···---·--·-B·--------------------------'""";; . 'Y= 1.90 ton/m2

~-------4.00------· <1>=20° Las dimensiones están en metros. El concreto tiene"{= 2.4 ton/m3

e= 4 ton/m2

Figura 4.2.1

= 0.5 x 6.0 x 2.4 = 7 20 ton.

W3 = 2.6 X 6.0 X 1.8

= 28 08 ton.

= 0.5 X 0.46 X2.6 X 1.8

= 1 08 ton

= 0.7 X 0.7 X 1.8

= 1 01 ton

= 0.7 X 4.0 X 2.4 <_;

= 6 72 ton.

Cálculo del momento resistente al volteamiento, con respecto al punto B:

140

Cálculo del momento negativo que provoca el vuelco

El momento será igual al producto del empuje activo horizontal por su brazo de palanca:

M = 15.40 X 2.72

= 43 25 ton-m

Factor de seguridad contra volteamiento:

F.S.

F.S.

M+ M_

117.16

4325

......... F ..... S...__=_2 ...... 7__._1 > 2 cumple

Factor de seguridad contra deslizamiento:

F.S.

f

f

F+ F_

= :EFuerzas verticales x f

=tan 6{ ~)

= tan (3{ x 30°)

= 0.36

FR = 45.56 X 0.36

FR = 16.39 ton

1639+14.15 F.S.

15.90

F.S. = 1.92 > 1.50 cumple

Revisión por capacidad de carga:

crm. Presión máxima y mínima que produce el muro en el terreno.

e

= v{1+ 6e] A -a

M B =---

V 2

M. Momento resistente menos momento actuante.


G 1mcyc

V. Suma de fuerzas verticales que actuan en la base.

M = 117.16 - 43.25

= 73.91

117.16-4325 4 e

4553 2

= - 0.38 m

4553 { 038] ~ 1±6x 40

ª™ = + 17.87 ton/m2_ < 25 ton/m2 cumple

c:rmiu = + 4.89 ton/m2

En este caso, el muro cumple con las condiciones de seguridad. En caso que no hacerlo se proponen otras dimensiones para ir probando hasta que se cumplan las condiciones

141

5.1.Problemas del Método de Rankine

Problema 5.1.1

Explique la teoría del Método de Rankine. Hipótesis de partida. Desarrollo. Aplicabilidad. Limitaciones.

Problema 5.1.2

Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa EA, por metro de ancho que produce un relleno de arena limpia, con talud superior horizontal sobre la pared vertical lisa interna (paramento) de un muro con la altura indicada. El peso

volumétrico seco de la arena es de 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se indica. El nivel de aguas freáticas, (N.A.F.) esta profundo.

5.1.2.1. H = 3 m, <!> = 28°

5.1.2.2. H = 4 m.) -=31°

5.1.2.3. H = J m, <!> = 35°

5.1.2.4. H = 6 m, <!> = 40°

Problema 5.1.3

Dibuje el diagrama de presiones en reposo y además obten

ga la magnitud y posición de la fuerza de empuje por metro de ancho que produce un relleno de arena limpia, con talud superior horizontal, sobre la pared vertical lisa de los muros

para pasos a desnivel con las alturas indicadas. El peso volumétrico seco de la arena es de 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se indica. El nivel de aguas freáticas (N.A.F.) esta profundo.


5.1.3.1. H = 3 m, <!> = 28°

5.1.3.2. H = 4 m, <!> = 31°

5.1.3.3. H = 5 m, <!> = 35°

5.1.3.4. H = 6 m, <!> = 40°

Problema 5.1.4

Q 1mcyc

Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA), por metro de ancho producida por un relleno de arena limpia, con talud superior horizontal, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétri

co de la masa es ym = 1 7 50 kg/m3, el peso seco de la arena es

de yd = 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna se indica. El nivel de aguas freáticas (N.A.F.) esta a 1.50 m abajo de la corona únicamente del lado del relleno.

5.1.4.1. H = 3 m, <!> = 28°

5.1.4.2. H = 4 m, <!>=31°

5.1.4.3. H = 5 m, <!> = 35°

5.1.4.4. H = 6 m, <!> = 40°

Problema 5.1.5

Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA)

por metro de ancho producidª por un relleno de arena limpia, con talud superior variable, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétrico seco de la arena es de 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se indica. El N.A.F. esta profundo.

143

\) 1mcyc

5.1.5.1. H = 3 m, <!> = 28°, p = 5°

5.1.5.2. H = 4 m, <!> = 31°, p = 10°

5.1.5.3. H = 5 m, <!> = 35°. ~ = 15°

5.1.5.4. H = 6 m, <!> = 40°. p = 20°

Problema 5.1.6

Dibuje el diagrama de presiones pasivas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva (EP),

por metro de ancho producida por un relleno de arena lim

pia, con talud superior variable, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétri

co seco de la arena es de 1180 kg/m 3 y el ángulo de fricción

interna también se indica. El N.A.F. esta profundo.

5.1.6.1. H = 3 m, <!> = 28°, p = 0°

5. 1 . 6.2. H = 4 m, <!> = 31 °, p = 0°

5.1.6.3. H = 5 m, <!> = 35°. p = 5°

5.1.6.4. H = 6 m, <!> = 40°. p = 10°

Problema 5.1.7

Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la · magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA) por

metro de ancho producida un relleno de limo arenoso, con talud superior horizontal, sobre la pared vertical lisa interna

de un muro con la altura indicada. El peso volumétrico seco

del limo arenoso es de 1050 kg/m3• la cohesión y el ángulo de

fricción interna también se indican. El N.A.F. esta profundo.

5.1.7.1. H = 2 m, c = 0.5 ton/m2, <!> = 18°

5.1.7.2. H = 6 m, c = 0.75 ton/m 2, <!> = 17°

5.1.7.3. H = 7 m, c = 1.0 ton/m2, <!> = 12°

5.1.7.4. H = 8 m, c = 1.2 ton/m2, <!> = 10°

Problema 5.1.8

Dibuje el diagrama de presiones pasivas y además obtenga la

magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva Er, por metro de ancho para cada uno de los incisos del problema anterior.

Problema 5.1.9

Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga

la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa EA, por metro de ancho producida un relleno de arcilla, con talud

144


superior horizontal, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétrico seco de la arcilla es de 1080 kg/m3

, el ángulo de fricción interna y la

cohesión también se indican. El N.A.F. esta profundo.

5.1.9.1. H = 5 m, c = 0.50 ton/m2, <!> = 18°

5.1.9.2. H = 6 m, c = 0.75 ton/m2, <!> = 17°

5.1.9.3. H = 7 m, c = 1.00 ton/m2, <!> = 12°

5.1.9.4. H = 8 m, c = 1.20 ton/m2, <!> = 10°

Problema 5.1.10

Dibuje el diagrama de presiones pasivas y además obtenga

la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva, EP por

metro de ancho para el problema anterior.

Problema 5.1.11

Dibuje el diagrama de presiones activa y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje, por metro de ancho, producida por relleno con talud superior horizontal

sobre la pared vertical lisa interna de un muro, con una altura de 5 m. El peso volumétrico seco del relleno es de 1080

kg/m3, el peso volumétrico de la masa _m = 1750 kg/m3

, el

ángulo de fricción interna y la cohesión se indican. El N.A.F. esta a un metro de profundidad. Existe una sobrecarga w = 2

ton/m 2• Los rellenos tienen los parámetros siguientes:

5.1.11.1-c = 1.20ton/m2, <!> = 0°

5.1.11.2. c = 1.00 ton/m2, <!> = 17°

Problema 5.1.12

Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje, por metro de

ancho.1 m

5.1.12.1

Estrato 1. Arena gruesa: c =O ton/m2, <!> = 32°

Estrato 2. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, <!> = 18°

5.1.12.2

Estrato 1. Arena limosa: e = 1.2 ton/m2, <!> = 18°

Estrato 2. Arena gruesa: e =O ton/m2, <!> = 32°

5.1.12.3

Estrato 1 . Arena gruesa: e =O ton/m2, <!> = 32°

Estrato 2. Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°

5.1.12.4


Estrato 2. Arena gruesa: c =O ton/m2, $ = 32°

5.1.12.5

Estrato 1. Arena gruesa: c =O ton/m 2, $ = 32°

Estrato 2. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, $ = 18°

Problema 5.1.13

Dibuje el diagrama de presiones activas. El muro que se muestra en la figura sostiene tres estratos diferentes de suelo.1 m

5.1.13.1

Estrato 1. Arena gruesa: c =0 ton/m2, $ = 32°



5.1.13.2

i 3m

t 4m

12m

~ 5m

¡_


~ 1mcyc

ESTRATO 1 3

'Ymt = 1.8 ton/m . Figura problema 5.1.12

'Ydt = 1.05 ton/m3

Ct = ?; <J>1 =? ESTRAT02 'Ym2 = 1.9 ton/m3

C2 =?; <J>2 = ?

Estrato 1 . Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°

Estrato 2. Arena limosa: c = 1.2 ton/m 2, $ = 18°


5.1.13.3


Estrato 2. Arena gruesa: c =O ton/m 2, $ = 32°


5.1.13.4




5.1.13.5

Estrato 1. Arena gruesa: c =O ton/m2, $ = 32°



. ESTRATO 1 3

'Ymt = 1.8 ton/m . 3

'Ydt = 1.05 ton/m Ct = ?; $1 =? ESTRAT02

3 'Ym2 = 1.9 ton/m C2 =?; $2 = ?

ESTRAT03 3

'Ym3 = 2 ton/m C3 =?; cj>3 = ?

Figura problema 5.1.13

145

~ 1mcyc

Problema 5.1.14

Calcule la altura crítica de las excavaciones hechas en cada

uno de los estratos que tienen las siguientes propiedades:

Estrato 1. limo: c = 3 ton/m2, = 12°, Ym = 1.90 ton/m3

Estrato 2. Arcilla: c = 2 ton/m2, = Oº,ym = 1.80 ton/m 3

Estrato 3. Arena limosa: c = 1.2 ton/m 2, <!> = 18°,

Ym = 1.70 ton/m3 •

El NAF esta profundo.

5.2Problemas del Método de Coulomb

Problema 5.2.1

Explique la teoría del Método de Coulomb. Hipótesis de

partida. Desarrollo. Aplicabilidad. Limitaciones.

Problema 5.2.2

Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA) por metro de ancho, prodttcida por un relleno de are

na limpia, con talud superior de J3 = 20º, sobre la pared.

5.2.2.1 H = 3 m, <!> = 28°

5.2.2.2 H = 4 m, <!> = 31°

5.2.2.3 H = 5 m, <!> = 35°

5.2.2.4 H = 6 m, <!> = 40°

Problema 5.2.3

Obtenga las magnitudes y posiciones de la fuerza de empuje activa y la debida a la sobrecarga, por metro de ancho, producida por el relleno con superficie horizontal de arena

limpia al que se le aplica una sobrecarga lineal de 4 tonela

das, ubicada a una distancia de 2 m de la corona del muro. El

ángulo con la vertical es de w = 1 Oº y altura de 4.50 m. El

peso volumétrico seco de la arena es de 1080 kg/m3 y el án

gulo de fricción interna<!>= 36º. El N.A.F. esta profundo.

Problema 5 .2.4

Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje acti

va EA, por metro de ancho, que produce un relleno de arena

limosa, con talud superior de J3 = 15º, sobre la pared interna

de un muro con un ángulo con la vertical de w = 5º y que tie

ne la altura indicada. El peso volumétrico seco de la arena es

146


de 1100 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se in

dica. El N.A.F. esta profundo. Utilice el procedimiento de las cuñas.

5.2.2.1 H = 3.50 m, <!> = 29°

5.2.2.2 H = 4.50 m, <!> = 32°

5.2.2.3 H = 5.0 50 m, <!> = 37°

5.2.2.4 H = 6.50 m, <!> = 40°

5.3. Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi

Problema 5.3.1

Explique la teoría del Método semiempirico de Terzaghi. Hipótesis de partida. Desarrollo. Aplicabilidad. Limitaciones.

Problema 5.3.2

Calcule el empuje horizontal y vertical sobre el muro usando el método semiempiírico de Terzaghi mostrado en la fi

gura 5.3.2 para los casos indicados. El relleno es un suelo granular grueso, sin finos.

5.3.2.1 H = 5 m; 9 = 90°; n = O (Superficie horizontal)

5.3.2.2 H = 6 m; 9= 75°; n = 2

5.3.2.3 H = 7 m; 9= 90°; n = 1

Problema 5.3.3

Calcule el empuje horizontal y vertical sobre el muro usando el método semiempírico de Terzaghi mostrado en la figura 5.3.2 para los casos indicados. El relleno es un suelo gra

nular grueso, con finos limosos.

RELLENO

Figura 5.3.2


5.3.3.1 H = 7 m; 9 = 90°¡ n = O (Superficie horizontal)

5.3.3.2 H = 5 m; 9 = 75°¡ n = 2

5.3.3.3 H = 6 m; 9 = 90°¡ n = 1

Problema 5.3.4

Calcule el empuje horizontal y vertical sobre el muro usando el método semiempírico de Terzaghi mostrado en la figura 5.3.2 para los casos indicados. El relleno es un suelo resi

dual con cantos, bloques de piedra, gravas, arenas finas y finos arcillosos, en cantidad apreciable.


5.3.4.2 H = 7 m; 9 = 75°¡ n = 2

5.3.4.3 H = 5 m; 9 = 90°; n = 1

Problema 5.3.5

Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempírico de Terzagui, que se muestra en la figura 5.3.5

para los casos indicados. El relleno es un suelo residual con

cantos, bloques de piedra, gravas, arenas finas y finos arcillosos, en cantidad apreciable.


5.3.5.2 H = 7 m; 9 = 75°¡ n = 2

5.3.5.3 H = 5 m; 9 = 90°; n = 1

RELLENO

H

q , . I

Figura 5.3.5


~ 1mcyc

Problema 5.3.6

Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno

y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempírico de Terzaghi, que se muestra en la figura 5.3.5

para los casos indicados. El relleno es un suelo granular grueso, con finos limosos.

5.3.6.1 H = 5 m; 9 = 90°¡ n = O (Superficie horizontal)

5.3.6.2 H = 6 m; 9 = 75°; n = 2

5.3.6.3H = 7 m; 9 = 90°; n = 1

Problema 5.3.7

Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempí

rico de Terzaghi, que se muestra en la figura 5.3.5 para los casos indicados. El relleno es un suelo granular grueso.


5.3.6.2 H = 5 m; 9 = 75°¡ n = 1/2

5.3.6.3 H = 6 m; 9 = 90°; n = 213 (11/2:1)

Problema 5.3.8

Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno

y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempírico de Terzaghi, que se muestra en la figura 5.3.5. El relleno es una arcilla plástica blanda.

H = 7 m; 9 = 90°¡ n = O ( Superficie horizontal)

5.4 Problemas de cuñas con base curva

Problema 5 .4.1

Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa EA, que produce un relleno de arena sobre la pared verti

cal lisa interna de un muro con 5.0 m de altura. El peso volumétrico seco de la arena es de 1 650 kg/m3 y el ángulo de

fricción interna de 33º. El nivel de aguas freaticas esta profundo. El talud superior del relleno es de 1 Oº. Utilice el mé

todo propuesto por Cuaquot y Kerisel. (NAVDOCK).

Problema 5.4.2

Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasi

vo, EP, cuando al muro indicado en el problema anterior

147

~ Problemas propuestos

1mcyc

Figura 5.4.3

r----------- LIMO ARENOSO: <!> = 21 o.

' 2 e = 2.1 ton/m ; Ym = l. 75 ton/m3

NAF profundo. H=9.00m

5.4.1 se le sujeta a un estado de presiones pasivos con el án

gulo de fricción entre muro y suelo negativo.

Problema 5.4.3

Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje por

el método del círculo de fricción del muro indicado.

Problema 5 .4.4

Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje por el

método de Coulomb del muro señalado en el problema anterior

5.4.3 y compárelo con el obtenido por el círculo de fricción.

5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas

Problema 5.5.1

Figura 5.5.1

148

H=7.50m

0=75°

Calcule la magnitud y posición de la fuerza de empuje produci

da por el efecto de una sobrecarga lineal paralela a la corona del

muro de 5 ton por metro lineal, ubicada a X = 1, 3, 5 y 7 metros

de distancia de ésta, para el muro indicado en la figura 5.5.1.

Caso a) Utilice el criterio empírico de Terzaghi y Peck.

Caso b) Utilice el criterio de Terzaghi.

Caso c) Utilice el criterio el procedimiento de Culmann.

Caso d) Utilice el criterio del método semiempírico de Terzaghi.

Problema 5.5.2

Calcule el efecto de una sobrecarga uniformemente reparti

da de 5 ton/m 2, para el muro indicado en la figura 5.5.2.

Caso a) Utilice el criterio Rankine.

Caso b) Utilice el criterio de Coulomb. c) Utilice el criterio del procedimiento de Culmann. d) Utilice el criterio del método semiempirico de Terzagui.

X

e ... I

P = 5 ton/m.l.

ARENA LIMPIA: <!> = 31 o.

' 2 e= O ton/m; Ym = 1.65 ton/m3

NAF profundo. 9=70°

Problemas propuestos ~ 1mcyc

w= 5 ton/m2

ARENA LIMPIA: <!> = 31°;

Figura 5.5.2

e= O ton/m2;

e ~ I

'Ym = 1.65 ton/m3

NAF profundo. 0=70°

Problema 5.5.3

Calcule el efecto de una sobrecarga uniformemente repartida de 5 ton/m2

, para el muro indicado en el problema 5.5.2, para un relleno de limo arenoso que tiene las propiedades siguien

tes:~ = 11 º; c = 1.5 ton/m2;ym = 1.65 ton/m3; NAF profundo.

Problema 5 .5 .4

Calcule el efecto de una sobrecarga uniformemente repartida de 5 ton/m2

, para el muro indicado en el problema 5.5.2, con

un relleno de arcilla que tiene las propiedades siguientes:~ = Oº; c = 3.2 ton/m2;ym = 1.65 ton/m3; NAF profundo.

5.6 Problemas del efecto de la compactación del relleno

Problema 5.6.1

Dibuje el diagrama de presiones y calcule el empuje que ejerce un relleno de arena media que se compacta longitudinalmente en capas detrás del muro. La altura del muro es de 7 m y se desplanta sobre un estrato duro. El ángulo de fricción interna es de 36º, la cohesión nula y el peso volumétrico de 1.68 ton/m3

• Se usara un compactador que trabajara pegado al muro en sentido longitudinal, cuyo peso es de 8 ton, longitud de 2.40 m y ancho de 1.20 m.

Utilice los criterios de: a) lngold, b) Broms y c) Peck.

Problema 5.6.2

El relleno del muro anterior se compactará dejando un espacio entre la corona y el compactador de 0.80 m. Dibuje el diagrama de presiones y encuentre el valor del empuje usando el criterio de lngold.


Problema 5.6.3

Dibuje el diagrama de presiones y calcule el empuje que ejerce un relleno de grava arenosa que se compacta longitudinalmente en capas detrás del muro. La altura del muro es de 7 m y se desplanta sobre un estrato duro. El ángulo de fricción interna es de 35º, la cohesión nula y el peso volumétrico de 1.80 ton/m 3

• Se usara un compactador que trabajara pegado al muro en sentido longitudinal, cuyo peso es de 9 ton, longitud de 3.60 m y ancho de 1.20 m.

Utilice los criterios de: a) lngold, b) Broms y c) Peck.

Problema 5.6.4

El relleno del muro anterior se compactará dejando un espacio entre la corona y el compactador de 1.20 m. Dibuje el diagrama de presiones y encuentre el valor del empuje usando el criterio de lngold.

5.7 Problemas con efecto de los sismos

Problema 5.7.1

Un muro de retención de 5 m de altura y respaldo vertical so

porta una arena media con un peso volumétrico de y= 1.70

ton/m3• La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna~

= 32º. Determine la presión activa sobre el muro si el sismo de diseño induce un coeficiente sísmico de aceleración vertical Kv = O y un coeficiente sísmico de aceleración horizontal KH = 1.80. Además determine la posición de la resultante.

Problema 5.7.2

Un muro de retención de 6 rñ de altura y respaldo vertical soporta una arena gruesa con un peso volumétrico de

y= 1.80 ton/m3• La cohesión es nula y el ángulo de fricción

interna~= 34º. Determine la presión activa sobre el muro si

149

v 1mcyc

el sismo de diseño induce un coeficiente sísmico de aceleración vertical Kv = O y un coeficiente sísmico de aceleración horizontal KH = 1.50. Además determine la posición de la resultante.

Problema 5.7.3

Un muro de retención de 5 m de altura y respaldo inclinado w = 15º con la vertical soporta una grava arenosa que tiene

un peso volumétrico de y= 1.70ton/m3• La cohesión es nula

y el ángulo de fricción interna~ = 35º. Determine la presión activa sobre el muro si el sismo de diseño induce un coeficiente sísmico de aceleración vertical Kv = O y un coeficiente sísmico de aceleración horizontal KH = 2.0. Además determine la posición de la resultante.

Problema 5.7.4

Al muro de retención de 5 m de altura del problema anterior 5.7.3 se le agrega una sobrecarga de 3 ton/m3

• Utilice un subterfugio para resolverlo, usted debe proponerlo.

5.8 Problemas del efecto de la lluvia y el flujo de agua

Problema 5.8.1

Un muro de 7 m de altura y respaldo liso vertical contiene un relleno de arena gruesa, con un peso volumétrico de la

masa ym = 1.80 ton/m3 y peso seco yd = 1.1 O ton/m3• El án

gulo de fricción interna es de 32º y la cohesión nula. El relleno del muro se satura completamente de agua a causa de las lluvias y escurrimientos superficiales. Determine la presión que ejerce el agua sobre una cuña cuya base esta a 65º con la

horizontal, para los casos siguientes:

a) El relleno esta seco.

b) El nivel piezométrico del agua se mantiene en la superficie durante un tiempo.

c) Se coloca un dren horizontal en el desplante del relleno.

d) Se coloca un dren inclinado 30° con respecto a la horizontal.

e) Se coloca un dren vertical pegado al respaldo del muro.

Problema 5.8.2

Determine la presión contra la tablestaca del problema anterior cuando la base de la cuña esta a 60º con la horizontal.

150


Problema 5.8.3

Calcule los empujes que se generan por presión del relleno, del agua y de la sobrecarga sobre la tablestaca que se muestra en la figura 5.8.3.

5.9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo

Problema 5.9.1

Calcule la longitud de empotramiento aproximada de una tablestaca en voladizo de 5 m de altura, hincada en arena limpia media con un peso volumétrico de 1.75 ton/m3 y angulo de fricción interna de 32º. utilizando:

a) El procedimiento de considerar la distribución de presiones netas de Rankine.

b) El procedimiento de la distribución simplificada.

Problema 5.9.2

Calcule la longitud de empotramiento de una tablestaca en cantiliver con diferentes alturas en su largo, que soporta un suelo arenoso excavado 5, 9, 11 y 15 m respectivamente. El peso vo

lumétrico estimado es y = 1.8 ton/m3• Por seguridad aumente

20% la profundidad obtenida. Para los casos siguientes:

a) La cohesión del suelo es nula y el ángulo de fricción interna es ~ = 28°.

b) La cohesión del suelo es nula y el ángulo de fricción interna es~ = 32°.

Problema 5.9.3

Encuentre la profundidad mínima de hincado de la tablestaca en arena limpia mostrada en la figura, considere un factor de seguridad igual a 2.

Problema 5.9.4

Encuentre la profundidad mínima de hincado de la tablesta-. ca del problema 5.9.3 en arcilla en lugar de la arena limpia, que contiene un relleno de arena limpia. La arcilla tiene una cohesión de 3 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El

peso volumétrico ym2 = 1.75 ton/m3• Considere un incre

mento de 30% en la profundidad de hincado como seguridad.


Problemas propuestos ~

1mcyc

2.70m 1.50 t 1----------------..illl~ Tirante

Hw=3.20

10.00m

3.00m i

8.lOm E

Variación de las mareas

Arena gruesa: = 34º c=O Ym = 1.80 ton/m3

Yd = 1.05 ton/m3

SUELOIMPERMEAB

Figura 5.8.3

5.10 Problemas de tablestacas ancladas

Problema 5.10.1

rior problema 5.9.3 con la tablestaca en cantiliver, pero en la cual ahora se introduce un anclaje situado a 1.50 m por debajo de la superficie.

a) Por el Procedimiento del Apoyo Libre. Compare los resultados obtenidos en los dos problemas.

· Encuentre'la profundidad mínima de hincado de una tablestaca. en arena limpia, similar a la que se muestra en el ante-


¡ H= 11 m

Loneitud fe hincado. D.

Relleno de ARENA: C=O <l>1=34º 'Ym1 = 1.85 ton/m3

Terreno natural: ARENA LIMPIA: C=O <l>2 = 33º 'Ym2 = l. 75 ton/m3


Figura 5.9.3

151

G 1mcyc

Problema 5.10.2

Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando una _?rena que presenta nula cohe

sión y un ángulo de fricción interna de$ = 33º, así como un

peso volumétrico de y = 1.80 ton/m 2•

·a) Deduzca por el procedimiento denominado de "soporte libre del terreno" que profundidad de hincado, utilizando los coeficientes de empujes de Coulomb.


Problema 5.10.3

Encuentre la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado por el Método del Apoyo o Soporte Fijo y el de la Viga Equivalente de la tablestaca que se muestra en la figura 5.10.2

5.11 Problemas de Ademes

Problema 5.11.1

Se pretende realizar una excavación de 11.5 m de profundidad y ademar en una arena fina limpia que tiene un peso vo

lumétrico de y = 1.9 ton/m3 y ángulo de fricción interna de

$ = 33º, con cohesión nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 6 puntales equidistantes. Calcule las cargas que deben soportar los puntales empleando las envolventes de presiones siguientes:

a) Envolvente propuesta por Terzaghi para las arenas de Berlin.

b) Envolvente propuesta por Peck para arenas (1969).

l.20m

Figura 5.10.2

6.0m

....

D

,.,

152


Problema 5 .11.2

Se pretende hacer una excavación de 13 m de profundidad en una arcilla blanda que tiene un peso volumétrico de

y= 1.87 ton/m3 con cohesión de 1.7 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 7 puntales, colocados a 1,3,5,7,9, 11 y 13 metros a partir de la corona. Calcule las cargas que deben soportar los puntales utilizando la envolvente propuesta por Peck para arcillas (1969).

Problema 5.11.3

Se pretende hacer una excavación de 13 m de profundidad

en una arcilla dura y fisurada con un peso volumétrico de

y= 1.78 ton/m3 con cohesión de 3.5 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 7 puntales, colocados según se muestran en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales utilizando la envolvente propuesta por Peck para arcillas (1969) para los casos siguientes:

a) Los puntales estan colocados a 1,3,5,7,9, 11 y 13 metros.

b) Los 7 puntales estan colocados de tal manera que todos reciben el mismo empuje.

I Anclas a 2.0 m separación

--------------------------------'--.A. ,

ARENA LIMPIA: C=O <t>2= 33º 'Ym = 1.80 ton/m3

G 1mcyc

Solución a los problemas propuestos

5.1. Problemas del Método de Rankine d == 1.67 m

Problema 5.1.2 5.1.3.4

Eº == 7587 kg/m.I.

5.1.2.1 d ==2.00m

EA == 1917 kg/m.I.

d == 1.00 m Problema 5 .1.4 5.1.2.2

5.1.4.1 EA == 3022 kg/m.I.

d == 1.33m EA == 3274 kg/m.I.

d ==0.94m 5.1.2.3

EA == 3997 kg/m.I. 5.1.4.2

d == 1.67m EA == 6938 kg/m.I.

5.1.2.4 d == 1.27 m

EA == 4618 kg/m. l. 5.1.4.3

d ==2.00m EA == 11067 kg/m.I.

d == 1.64m

Problema 5.1.3 5.1.4.4

5.1.3.1 EA == 15 997 kg/m.1.

Eº == 2817kg/m.I. d == 1.94m

d == 1.00 m Problema 5.1.5

5.1.3.2

Eº == 5678kg/m.I. 5.1.5.1

d == 1.33 m EA == 1949 kg/m.I.

5.1.3.3 d == 1.00m

Eº == 6290 kg/m.I.


\) 1mcyc


5.1.5.2 5.1.7.3

EA = 3212 kg/m.I. EA = 0.23 ton/m.I.

d = 1.33 m d =0.31 m

5.1.5.3 5.1.7.4

EA = 4532 kg/m.I. EA = 0.39 ton/m.I.

d = 1.67 m d =40m

5.1.5.4

EA = 5660kg/m.I. Problema5.1.8

d = 2.00 m 5.1.8.1

Problema 5.1.6 EP = 10.39 ton/m.1.

d =1.08 m 5.1.6.1

5.1.8.2

EPH = 14708 kg/m.I. EP = 9.70 ton/m.1.

EPV = O kg/m.I. d = 1.06 m

d = 1.00 m 5.1.8.3

5.1.6.2

EPH = 29491 kg/m.I. EP = 9.11 ton/m.I.

d =1.12 m EPV = O kg/m.I.

5.1.8.4 d = 1.33 m

5.1.6.3 EP = 7.66 ton/m.I.

EPH = 53708 kg/m.1. d = 1.07 m

EPV = O kg/m.I. Problema 5.1.9

d = 1.67 m

5.1.6.4 5.1.9.1

EPH = 91673 kg/m.I. EA = 3.94 ton/m.I.

EPv = O kg/m.I. d = 1.24 m

d =2.00m 5.1.9.2

EA = 5.03 ton/m.I.

Problema 5.1.7 d = 1.37 m

5.1.7.1 5.1.9.3

EA = 0.16 ton/m.I. E..\ = 7.87 ton/m.I.

d =0.25 m d = 1.57m

5.1.7.2 5.1.9.4

EA = 0.21 ton/m.I. EA = 10.90 ton/m.I.

d =0.28 m d = 1.78 m


Solución a lus problemas propuestos

Problema 5.1.10

5.1.10.1

EP = 19.14 ton/m.I.

d = 1.44 m

5.1.10.2

EP = 24.38 ton/m.I.

d = 1.66 m

5.1.10.3.

EP = 24.92 ton/m.I.

d =1.83 m

5.1.10.4.

EA = 28.27 ton/m.I.

d =2.05 m

Problema 5.1.11

5.1.11.1

EA = 35.38 ton1 m.I.

d = 2.12 m

5.1.11.2

EA = 24.22 ton/m.I.

d = 1.95 m

5.1.11.3

EA = 32.93 ton/m.I.

d =2.48 m

.Problema 5.1.12

5.1.12.1

EA = 23.88 ton/m.I.

d =2.14 m

5.1.12.2

EA = 23.62 ton/in. l.

d = 1.84 m

5.1.12.3

EA = 21.10 ton/m.I.

d = 196 m

Problemas básicos.de empujes de suelos sobre estructuras de soporte

5.1.12.4

= 22.94 ton/m.I.

d =1.76 m

Problema 5.1.13

5.1.13.1

EA = 95.97 ton/m.1.

d =3.13 m

5.1.13.2

EA = 77.65 tonim.I.

d =3.43 m

5.1.13.3

E = 118.87 ton/m.I.

d =3.03 m

5.1.13.4

EA = 79.37 ton/m.I.

d =3.34 m

5.1.13.5

EA = 77.98 ton/m.I.

d = 3.50 m

Problema 5.1.14

5.1.14.1

He =5.01 m

5.1.14.2.

He =4.44 m

5.1.14.3

He =2.50 m

5.2. Problemas del Método de Coulomb

Problema 5.2.2

( Para 8 = 20°)

5.2.2.1

= 2 771.80 kg/m.I.

~ 1mcyc

155

\) 1mcyc

d = 1.00 m

5.2.2.2

EA = 4 257.40 kg/m.I. ~

d =1.3m

5.2.2.3

EA = 5 531.20 kg/m.I.

d = 1.67m

5.2.2.4

EA = 6 329.50 kg/m.I.

d =2.00m

Problema 5.2.3

(Para 8= Yi) EA = 3 411. 70 kg%m.I.

d = 1.50 m

E5

= 1 248 kg/m.I.

d = 1.68m

Problema 5.2.4

5.2.4.1

EA = 2964 kg/m.I.

d = 1.17m

5.2.4.2

EA = 4 321 kg/m.I.

d = 1.50 m

5.2.4.3

EA = 5 241 kg/m.I.

d = 1.83m

5.2.4.4

EA = 6 437 kg/m.I.

d =2.17m

156


5.3 Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi

Problema 5.3.2

5.3.2.1

EH = 5.75 ton/m.I.

Ev· = O ton/m.I.

5.3.2.2

EH = 13.18 ton/m.I.

Ev = 2.31 ton/m.I.

Problema 5.3.3

5.3.3.1

EH = 13.48 ton/m.I.

Ev = O ton/m.I.

5.3.3.2

EH = 11.09 ton/m.I.

Ev = 1.93 ton/m.I.

5.3.3.3

EH = 20.03 ton/m.1.

Ev = 3.90 ton/m.I.

Problema 5.3.4

5.3.4.1

EH = 12.96 ton/m.I.

Ev = O ton/m.I.

5.3.4.2

EH = 26.16 ton/m.I.

Ev = 3.15 ton/m.I.

5.3.4.3

EH = 119.09 ton/m.I.

Ev = 3.90 ton/m.I.

Problema 5.3.5

5.3.5.1



EH = 12.96 ton/m.I.

Ev = O ton/m.I.

p = 1.56ton

crw = 0.78 ton/m2

5.3.5.2

EH = 29.63 ton/m.I.

Ep = 12.92 ton/m.I.

p = 1.56 ton

crw = O. 78 ton/m2

5.3.5.3

EH = 27.36 ton/m.I.

Ep = 19.92 ton/m.I.

p = 1.56 ton

crw = 0.78 ton/m2

Problema 5.3.6

5.3.6.1

EH = 8.63 ton/m.I.

E· V = 4.13 ton/m.I.

p = 1.20 ton

crw = 0.60ton/m2

5.3.6.2

EH = 16.18 ton/m.I.

Ev = 7.63 ton/m.I.

p = 1.20 ton

crw = 0.60 ton/m2

5.3.6.3

EH = 40.12 ton/m.I.

Ev == 24.22 ton/m.I.

p = 1.20 ton

crw = 0.60 ton/m2

Problema 5.3.7

5.3.7.1

= 11.27 ton/m.1.


G 1mcyc

Ev = O ton/m.I.

p = 1.08 ton

crw = 2.54 ton/m 2

5.3.7.2

EH = 9.64 ton/m.I.

Ev = 4.82 ton/m.1.

p = 1.08 ton

crw = 0.54 ton/m2

5.3.7.3

EH = 11.27 ton/m.1.

Ev =O ton/m.1.

p = 1.08 ton

crw = 0.54 ton/m2

Problema 5.3.8

EH = 38.96 ton/m.I.

Ep· = O ton/m.I.

p =4ton

crw =2 ton/m2

5.4 Problemas de cuñas con base curva

Problema 5.4.1

P AH = 6.58 ton

PAv = 1. 75 ton

Problema 5.4.2

P AH = 60.91 ton

P A v = 16.1 5 ton

5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas

Problema 5.5.1

5.5.1.a

= 1.37 ton

157

o 1mcyc

5.5.1.b

E q = 1.37 ton

X d

0.73

3 2.18

5 3.63

7 5.09

Problema 5.5.2

5.5.2.a

Ew = 9.38 ton

5.5.2. d

Ew = 10.13 ton

Problema 5.5.3

5.5.3. a

Ew = 12.75 ton

5.5.3. d

Ew = 7.50 ton

Problema 5.5.4

5.5.2.a

= 37.50 ton

5.5.2.d

Ew = 37.50 ton

5.6. Problemas del efecto de la compactación del relleno

Problema 5.6. 1

5.6.1.a

E = 20.01 ton/m.I.

5.6.1.b

E = 13.77 ton/m.I.


Problema 5.6.2

5.6.2.a

E = 14.16 ton/m.I.

Problema 5.6.3

5.6.3.a

E =21.89ton/m.I.

Problema 5.6.4

5.6A.a

E = 16.80 ton/m.I.

5. 7 Problemas con efecto de los sismos

Problema 5.7.1

EAE = 6.53 ton/m2

EAD = 2.06 ton/m2

EAT = 8.59 ton/m2

d = 1.97 m

Problema 5.7.2

EAE = 9.16 ton/m2

EAD = 11.43 ton/m2

EAT = 20.59 ton/m2

d =2.32m

Problema 5.7.3

EAE = 5.76 ton/m2

EAD = 14.03 ton/m2

EAT = 19.79 ton/m2

d =2.45m

Problema 5.7.4

EAE = 10.53 ton/m2


Solución a Jos problemas propuestos

EA0 = 25.63 ton/m2

EAT = 36.16 ton/m 2

d =3.32m

Problema 5.7.5

EA0 = 41.99 ton/m2

Problema 5.7.6

EA0 = 43.66 ton/m2

5.8 Problemas del efecto de la lluvia y el flujo de agua

Problema 5.8.1

a) E = 5.66 ton

b) E = 28.81 ton

e) E = 9.70 ton

d) E = 9.70 ton

5.9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo

Problema 5.9.1

a)D1.2 = 5.83m

b)D,,2 = 5.82m

Problema 5.9.2

a)

Altura de la tablestaca (m) Profundidad de hincado (m) 5

9

11

5.95

10.71

13.09

7 1


5.10 Problemas de tablestacas ancladas

Problema 5.10.1

a)

o =2.76m

O' = 3.31

T = 16.5 ton

Problema 5.10.2

a)

o = 1.02m

O' = 1.33

b)

T = 9.06 ton

Problema 5.10.3

T =5.26ton

O =0.70m

5.11 Problemas de Ademes

Problema 5 .11.1

a)

Puntal# 1 2

3

4 5

b)

Puntal# 1 2

3 4 5

Carga <ton) 2.68 7.39 8.04

8.04 7.39

Carga (ton) 5.72 6.54 6.54 6.54 6.54

\) 1mcyc

159

G 1mcyc

Problema 5.11.2

a)

160

Puntal#

2

3

4

5

6

7

Carga (ton)

13.31

38.05

43.25

43.25

43.25

43.25

43.25

Problema 5 .11.3

a)

Puntal#

1

2

3

4

5

6

7

b)

Puntal#

1

2

3

4

5

6

Problema 5 .11.4

Puntal#

2

3


Carga (ton)

4.69

14.03

18.28

18.28

18.28

18.28

9.37

Carga (ton)

13.15

13.15

13.15

13.15

13.15

13.15

Carga (ton)

13.40

16.60

13.40 .


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