Apuntes sobre Empujes de Suelos -...

APUNTE DE EMPUJE SOBRE MUROS RIGIDOS

AREA GEOTECNIA

Ing. Augusto J. Leoni – Ing. Diego Skok FACULTAD DE INGENIERÍA UNLP

Ing. Augusto José Leoni – Ing. Diego Skok Área Geotecnia de la Facultad de Ingeniería UNLP

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EMPUJE DE SUELOS SOBRE MUROS RÍGIDOS Introducción Para definir el empuje de los suelos sobre las estructuras de retención, podemos decir en forma general, que en ellos se involucran todos los problemas que se le presentan al ingeniero para determinar las tensiones en la masa del suelo que actúan sobre una estructura. En este apunte daremos las nociones básicas para poder calcular los empujes laterales de los suelos contra las estructuras. Como primera medida debemos decir que el tipo de empuje depende, tanto de la naturaleza del suelo como del tipo de estructura, ya que se trata de un problema de interacción entre ambos. La mecánica de suelos se basa en varias teorías para calcular la distribución de tensiones que se producen en los suelos y sobre las estructuras de retención. Cronológicamente, Coulomb (1776) fue el primero que estudió la distribución de tensiones sobre muros. Posteriormente, Rankine (1875) publicó sus experiencias, y por último y ya en el siglo XX se conoce la teoría de la cuña, debida a varios autores, pero especialmente a Terzaghi. Teoría de Rankine Rankine hace referencia a las variaciones de tensiones que se producen en una masa de suelos, cuando se produce un relajamiento o un aumento de la tensión horizontal; considera esos dos casos extremos e impone ciertas condiciones de borde para un prisma elemental que se encuentra dentro de una masa semi infinita.

Fig. 1.

Las condiciones de borde impuestas por Rankine para determinar la relación entre tensiones principales en cada estado, fundamentalmente son:

1- Masa semi infinita y homogénea. 2- Superficie horizontal del terreno. 3- Superficie vertical del borde que admite desplazamiento. 4- Tensiones de corte nulas en el contacto entre la superficie que se desplaza y el suelo.

No existe un caso práctico en el cual se cumplan estrictamente con las condiciones de borde impuestas por la teoría de Rankine. El estudio teórico de Rankine se caracteriza entonces, como habíamos dicho anteriormente, por dos estados límites de equilibrio plástico. El estado original del terreno se presenta por un prisma


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elemental sometido a cierta profundidad a una presión vertical σv, igual al peso de la ‘tapada’ de suelo que está por encima, y que vale el producto de su peso unitario por la profundidad en la cual se encuentra el elemento prismático estudiado σv = γ . z (figura 1). A esta presión vertical σv, le corresponde una tensión horizontal σh. La relación entre ambas es un coeficiente K, que en el estado original – denominado estado de reposo – se lo denomina K0. Supongamos idealmente (figura 2a) que podemos insertar en ésta masa semi infinita, una pantalla rígida, de tal forma que si nosotros retiramos el suelo que se encuentra a la izquierda de la pantalla, no cambien las condiciones iniciales del terreno en la parte de la derecha de la misma

Fig. 2.

Si se permite que este paramento vertical se traslade una cierta magnitud hacia la izquierda a presión constante, se producirá una reducción de la presión horizontal (figura 2-b.). A medida que nos desplazamos a presión constante, para cierto corrimiento, toda la masa de suelo entra en equilibrio plástico; cada punto llega al límite de rotura, y en ese momento la relación entre las presiones horizontal y vertical se indica por el coeficiente de empuje activo de Rankine, Ka. Este coeficiente es entonces la relación entre las tensiones principales, cuando por disminución de la presión horizontal toda la masa semi infinita de suelo está al borde de la rotura, este es el primer estado límite. Si se corriera el paramento vertical hacia la derecha, la presión vertical prácticamente se mantendría constante, pero se produciría un incremento de la presión horizontal. También se llegaría al borde de la rotura, pero con una inversión de tensiones principales: ahora la tensión horizontal sería mayor que la vertical. Es otro estado límite característico de Rankine, para el cual la relación entre las dos presiones está dada por el coeficiente de empuje pasivo, Kp.


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Fig. 3.

En la figura 3 se indica la representación de los estados límites por círculos de rotura de Mohr. Si mantenemos la tensión vertical σv constante, se disminuye la tensión horizontal hasta llegar a la rotura, el segmento 0-σhmín de la figura representa la presión horizontal en ese momento. En cambio, si mantenemos la tensión vertical constante y aumentamos la tensión horizontal, el círculo va creciendo hacia la derecha, hasta que en el estado límite de Rankine toca la curva de resistencia intrínseca y se produce el estado límite de rotura. En la figura 4 se indican para el mismo diagrama las inclinaciones para las cuales se producen los estados límites. En el estado activo, la línea de rotura forma un ángulo de ( )2/45 φ+° con la horizontal. En el estado pasivo, las líneas de rotura en toda la masa que se encuentra en estado de equilibrio plástico, forman también un ángulo de ( )2/45 φ+° pero con la vertical.

Fig. 4-a.


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45º + φ/2 con el plano sobre el que actía σ1 = σv

φ

ESTADO ACTIVO ESTADO PASIVO

Orientación de las líneas de deslizamiento en los estados de Rankine

45º − φ/2 con el plano sobre el que actía σ1 = σv

Fig. 4-b.

Se ha demostrado experimentalmente (figura 5) que la deformación para alcanzar el estado límite activo es bastante pequeña; basta un leve desplazamiento del paramento que contiene a la masa de suelo para que ésta, entre en el estado límite de empuje activo, en cambio, para llegar al estado límite de empuje pasivo de Rankine, es necesario un desplazamiento mucho mayor, alrededor de 10 veces el que se necesita para llegar al estado límite de empuje activo.

Fig. 5: Variación del valor de Ko = σσσσh / σσσσv con las deformaciones

de las estructuras de soporte En la figura 5 se han representado las variaciones de los coeficientes Ka y Kp para distintas condiciones de densidad relativa del material (arena), en función del giro del paramento vertical que lo contiene. Se puede observar en dicha figura la gran deformación que se debe producir para generar Kp, que en el caso de las arenas densas tienen un pico máximo mientras que en el caso de las arenas sueltas dicho pico no se alcanza y la pendiente de crecimiento es muy débil.


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Por lo expuesto en los párrafos anteriores se aconseja para el cálculo del empuje pasivo, dividir el valor de Kp por un coeficiente de seguridad, ya que en la mayoría de los casos, las estructuras no pueden aceptar la gran deformación que se necesita para generar el empuje pasivo máximo. Por el contrario, se puede apreciar que en el caso del empuje activo Ka las deformaciones necesarias para alcanzar el valor mínimo de Ka son muy pequeñas.

Fig. 6

En la figura 6 se indica el diagrama de Mohr correspondiente a un suelo genérico. La ordenada al origen representa la cohesión (c), y la fricción (φ) está dada por la pendiente del ángulo que forma la recta con la horizontal. A partir de esta figura encontraremos la relación que existe entre las tensiones horizontales en función de las tensiones verticales y de los parámetros de corte del suelo, para el denominado “Estado activo de Rankine”. Del triángulo rectángulo podemos deducir que:

Desarrollando la ecuación (1), obtenemos:

Multiplicando todos los términos por 2 y haciendo el siguiente reemplazo en el tercer termino de la izquierda

Obtenemos

Agrupando términos:

ABC


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Dividiendo todos los términos por , tenemos que:

Puede demostrarse matemáticamente las siguientes identidades trigonométricas:

Reemplazando estas identidades en la ecuación (5), obtenemos:

La ecuación (6), es la expresión que relaciona las tensiones horizontales en función de las tensiones verticales y los parámetros de corte. Para los casos prácticos se suele utilizar las siguientes expresiones:

Con lo que la ecuación 6, queda:

En el caso del empuje activo la tensión principal menor es la horizontal (σ3); despejando σ3 para arenas donde la cohesión es nula (c = 0), se obtiene el valor del coeficiente de empuje activo de Rankine, denominado Ka. Por lo tanto, en la teoría de Rankine la distribución de presiones está afectada por un coeficiente constante, y la presión vertical crece con la profundidad. La distribución de empujes es triangular, ya que es:


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Fig. 7a. Empuje activo en arenas

Fig. 7b. Empuje activo en arcillas

En las figura 7-a) y 7-b) se han dibujado diagramas de empujes activos calculados mediante la teoría de Rankine, la figura 7-a), en un caso particular del empuje activo en arenas, donde existe agua a cierta altura, y la figura 7-b) representa el empuje activo en arcillas. En el caso de las arenas, la abscisa en la primer parte del diagrama es:

φ

γ

N

Hec

.1=

Cuando se entra en el agua, el valor de γ pasa a ser sumergido, y la pendiente varía. En este caso al valor del empuje del suelo es necesario sumarle el empuje del agua, que tiene un coeficiente K = 1, porque las presiones hidrostáticas son iguales en toda dirección. El empuje del agua es muy importante, por lo menos 3 o 6 veces mayor que el empuje del suelo; para arenas sueltas 'φ vale 30° como mínimo, y por lo tanto Ka es del orden de 0,33. Mientras que para el caso de las arenas densas 'φ es aproximadamente 45° lo cual nos da un valor de Ka = 0,17, dando un valor reducido del empuje activo. Al proyectar una estructura es muy importante conocer entonces, si


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existe agua actuando en el terreno; de lo contrario, la aparición en forma imprevista de un incremento del empuje de gran magnitud, provoca inmediatamente el colapso de la estructura. En la misma figura correspondiente a empuje activo para arenas, se ha supuesto la acción de una sobrecarga “q” sobre el terreno. En este caso, el empuje se incrementa en el valor de la sobrecarga multiplicado por el coeficiente Ka.

φN

qga =

En el caso de las arcillas existe cohesión, de manera que hay que considerar los dos términos de la ecuación que da σ1 en función de σ3. El diagrama es la suma de uno triangular que crece con la profundidad, más un valor negativo constante. Resulta un diagrama negativo en su primer parte, que luego se hace positivo, lo cual indica, que para suelos cohesivos, la parte superior no solo no tiene empujes, sino que está sometida a tracción. Es por eso que las excavaciones en arcilla se pueden realizar en determinado momento y en cierto tiempo sin tener desmoronamientos, porque la parte superior está sometida a tracción y teóricamente no es necesario contener los empujes, ya que son inexistentes. Se llama altura crítica, al valor de la profundidad para el cual se igualan la parte negativa y la positiva, y en la figura se indica su expresión en función de 2 oz , que es la

altura a la cual se anula el empuje activo. Es necesario destacar que a la profundidad 2 oz se compensa el área negativa del diagrama de

empujes activos, con otra área similar positiva, lo que hace que a esa profundidad el empuje activo resultante sea nulo.

Fig. 8. Empuje pasivo en arcillas

Para el otro estado límite, de empujes pasivos, la estructura empuja contra el suelo, y la presión horizontal crece hasta llegar al estado de equilibrio plástico. La tensión principal mayor es la horizontal σ1. Por lo tanto despejando de la fórmula expresada en la figura 6 tendremos: Tensión principal mayor: σ1 = σp Tensión Principal menor: σ3 = γ . z

En la figura 8, se ilustra el diagrama de empuje pasivo para el caso más general de un suelo que tiene cohesión, fricción y sobrecarga. La presión horizontal es la suma de 3 términos; los dos últimos son constantes, y los diagramas correspondientes resultan rectangulares. El primer


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término crece con la profundidad, ya que es la presión vertical σv. El empuje resultante, se calcula como suma de las resultantes parciales de cada una de éstas áreas, o sea, componiendo las fuerzas P”p y P´p que se observan en la figura, actuantes en los baricentros de las áreas rectangular y triangular respectiva. Las condiciones de borde impuestas por la teoría de Rankine, como habíamos dicho anteriormente, limitan su aplicación en la realidad. Por ejemplo, la resistencia de corte en la interacción suelo – estructura, no es nula cuando se produce un desplazamiento; por otra parte siempre hay fricción, de manera que, esta simplificación conduce a cierto error en la determinación del empuje. También hay casos en los cuales las condiciones geométricas de verticalidad para la superficie del paramento y horizontalidad para el terreno, no se verifican. Sin embargo, el error que se comete al aplicar esta teoría, en los casos de empuje activo, es siempre a favor de la seguridad, ya que el valor de dicho empuje que surge de suponer tensión de corte nula es mayor que el real.

Conclusiones de la teoría de Rankine

Fig. 9. Empujes activos y pasivos. Supongamos, un muro rígido enterrado cierta altura en la masa de suelo que contiene. Se hace el relleno, y en cuanto el muro se corre una pequeña fracción toda la masa de suelo entra en empuje activo, tendiendo a volcar el muro. El empuje pasivo que tiende a sostenerlo, no se desarrolla totalmente, ya que requiere mayor deformación. De allí que en algunos casos reales no podamos alcanzar el valor del empuje pasivo que ayuda a la estabilidad del muro. Es por ello que siempre hay que dividir el empuje pasivo, por un coeficiente de seguridad, y calcular el empuje activo suponiendo que se manifiesta en su totalidad. La teoría de Rankine para empuje activo puede servir para calcular proyectos no muy onerosos, donde es suficiente una aproximación. Si el proyecto involucrado es realmente importante,


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conviene calcular el empuje mediante otra teoría, por ejemplo, con la teoría de Coulomb, con la cual, los valores de las secciones serán mucho menores. La figura 9 presenta los diagramas de equilibrio plástico de estructuras de suelos, cuando la tensión tangencial no es nula. En ella se han colocado las resultantes del diagrama de empuje que actúa sobre el parámetro vertical, aplicada a una altura H/3 del pie del muro, pues resulta de un diagrama triangular. A la izquierda (Fig. 9), se observan las superficies de rotura determinadas experimentalmente para dos casos de empuje activo: el primero de ellos (lado superior izquierdo), cuando el empuje está dirigido un ángulo δ hacia abajo de la horizontal, llamado empuje positivo- y el segundo (lado inferior izquierdo) cuando el empuje forma un ángulo δ hacia arriba de la horizontal, llamado empuje negativo. En el caso de δ positivo, la superficie es en realidad compuesta; inicialmente es curva, y luego plana, terminando con el mismo ángulo ( )2/45 φ+° que indicaba Rankine. En el caso de δ negativo, una parte de la superficie es curva, con curvatura inversa de la anterior, terminando en el mismo ángulo. Observando los desplazamientos relativos entre el suelo y un muro, se encuentra que en general –cuando el muro gira o se traslada- el suelo baja respecto del muro, e induce sobre éste una tensión tangencial dirigida hacia abajo. Por su parte, el muro induce sobre el suelo una tensión contraria, de modo que en las condiciones mas frecuentes la reacción del empuje está dirigida hacia arriba, desde el muro hacia el suelo. La convención de signos asigna a este caso el valor positivo. En el caso, menos frecuente, en que el muro baje respecto del suelo, la tensión tangencial cambia de sentido, y se le asigna el valor negativo de δ . El muro puede bajar respecto del suelo en casos muy particulares; por ejemplo, cuando hay una carga muy grande sobre la cresta del muro y éste desciende por asentamiento más que el suelo al cual debe contener. Para el empuje pasivo (lado derecho) también se observan en la figura 9, las superficies de deslizamiento y de equilibrio plástico, en los casos de ángulos positivos o negativos. Ahora el δ positivo tiene sentido contrario al que tenía en empuje activo, porque en este caso la estructura empuja contra el suelo. El suelo tiende a subir, de manera que tiene – respecto de la estructura- una tensión tangencial dirigida hacia arriba. Se asigna valor positivo al empuje pasivo que corresponde a un ángulo δ por encima de la horizontal. Coeficientes de los suelos en reposo para diferentes suelos Como se observa, el coeficiente K0 relaciona la presión horizontal con la presión vertical del terrenos en reposo, es decir en suelos en estado natural con edades geológicas muy importantes o materiales de relleno de los cuales puede suponerse que los asentamientos debidos a su propio peso ya se han definido.

v

hKoσ

σ=

De acuerdo a las experiencias realizadas por Terzaghi, los valores del coeficiente de empujes de suelo en reposo K0 podrían encontrarse en el entorno de los siguientes valores:

a- En arenas: K0 varía entre 0.40 y 0.55 ( 0.5 para 0.33)

b- Para suelos granulares, el coeficiente K0 puede estimarse utilizando la siguiente relación empírica

´)(1 φSenKo −= (Jaky, 1944)

Donde φ´ es el ángulo de fricción drenada


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c- En arcillas normalmente consolidadas: K0 es aproximadamente 0.60 a 0.8 (0.7 para

0.42).

Para suelos de grano fino, normalmente consolidados, el coeficiente K0 puede estimarse también utilizando la siguiente relación empírica:

100

(%)42.044.0

IPKo += (Massarsch, 1979)

Donde IP, es el índice de plasticidad

d- En arcillas preconsolidadas por lo general: K0 > 1

Para arcillas pre-consolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por

)() ()( OCRKoKo aconsolidadenormalmentdadapreconsoli =

OCR es la tasa de precompresión que se define como:

presenteefectivaasobrecdeesión

iónprecompresdeesiónOCR

arg Pr Pr

=

e- En un fluido: K0 = 1, debido a que

El hecho que K0 pueda ser mayor que 1 en las arcillas preconsolidadas está basado en el siguiente fenómeno físico: Al descargarse verticalmente (por ejemplo por erosión de sedimentos superiores) desde un cierto valor de hasta el valor de σ0 actual, por tratarse de una masa semi infinita disminuye muy poco con relación a la reducción ocurrida verticalmente, permaneciendo sensiblemente igual a la original. No se puede tomar esto como una ley general ya que hay arcillas preconsolidadas, por ejemplo por desecación, en las cuales K0 puede ser menor o igual a la unidad. Ello se debe a que las tensiones capilares que produce la desecación (que no actúan solo en dirección horizontal), original tensiones en la masa de suelos, reduciendo la relación de vacios y provocan en consecuencia un estado de fisuración interno, configurando una estructura similar a la de las gravas como la que se aprecia en la foto adjunta, por lo que en ciertos casos, K0 resulta próximo a los sugeridos para dichos materiales.


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Suelos de la Fm. Pampeano fisurados por desecación Teoría de Coulomb: Otra teoría que tiene aplicación práctica es la de Coulomb, completamente diferente a la de Rankine en cuanto a su enfoque. Coulomb introduce una simplificación importante para calcular el empuje: supone que la superficie de rotura se produce en el suelo, no a través de líneas sino de planos. La falla se produciría entonces a través de un plano potencial de rotura, lo cual no es cierto de acuerdo a lo ya explicado, pero permite calcular con rapidez el empuje. Por lo tanto, la teoría de Coulomb permite calcular problemas en los cuales el paramento no es vertical, y la superficie de relleno tiene cualquier forma. Introduce la superficie de rotura plana, y estudia el problema como el equilibrio de una cuña del suelo que falla, limitada de un lado por el paramento, y del otro por una superficie plana. La resolución es por tanteos, buscando cual de todas las superficies planas posibles conduce por ejemplo el empuje activo máximo que constituye el valor más desfavorable.

Fig. 10. Cálculo del empuje activo usando la teoría de Coulomb.


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Supongamos, que la cuña que desliza es la limitada por las rectas OA y OC , figura 10. Dicha cuña tiene un peso W que podemos calcular y representar con su dirección y sentido en una escala adecuada. Esta fuerza de gravedad deberá estar equilibrada por un lado, por la reacción P que se genera en

el plano OC y que está inclinada un ángulo δ = φ con respecto a la normal al mismo, ya que el deslizamiento es entre suelo y suelo, el empuje activo EA que tendrá una inclinación δ con

respecto a la normal al plano OA , que dependerá de la naturaleza del muro, especialmente su rugosidad, y del suelo. En los casos de suelos cohesivos tendremos que considerar también la resultante de la fuerza que

se origina por adherencia en el plano OA y en el OC . Estas fuerzas están representadas por Ca y por C en la figura 10 y se obtienen multiplicando el valor de la cohesión “C” por la superficie del

plano en el que actúa, en el caso del plano OC y multiplicando a la cohesión por el área del

plano OA y por un factor de reducción que depende de la naturaleza del muro, es decir:

C = c . OC

Ca = c . OA . F Obtenidas las fuerzas W, Ca, C, en el caso de los suelos cohesivos y W en el caso de los suelos granulares se dibuja a escala cada fuerza con su correspondiente dirección y sentido, lo que nos permitirá, encontrar el valor de la reacción al peso de la cuña P y el valor del empuje activo EA. Los valores EA así obtenidos para las distintas cuñas consideradas se representarán sobre un plano de referencia m-n y en coincidencia con el vértice de la cuña considerada (B; C;.....;D). Finalmente se unen los extremos libres de los vectores así representados, mediante una curva continua. Se obtendrá de esta forma un valor de EA máx que tomaremos como empuje activo ya que corresponde a la reacción que deberá movilizar el muro para impedir el deslizamiento de la cuña de suelo que tiene mayor posibilidades de hacerlo. El punto de aplicación del empuje activo se obtiene, primeramente hallando el baricentro de la cuña de falla, posteriormente se traza una paralela a la superficie de falla, que pase por el baricentro de la sección de la cuña de falla, y finalmente la intersección de esta recta con el muro, es el punto de aplicación del empuje activo. El punto de aplicación del empuje pasivo se obtiene de manera análoga. El método Coulomb, es muy práctico para resolver las combinaciones más variadas que se nos pueden presentar con respecto a estratificaciones, sobrecargas, presencia de napa freática e inclinación del talud natural.


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Fig. 11.

En la figura 12-a) podemos observar un ejemplo de este tipo de problema por el método gráfico de Coulomb.

Fig. 12-a)

Podemos notar que estamos en presencia de dos estratos con distintos parámetros de corte y distinta densidad, la superficie del terreno natural es totalmente irregular y soporta una


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sobrecarga. Tenemos además la presencia de la napa freática cuyo pelo libre no se alinea según un plano horizontal. Para resolver éste problema primeramente trazamos la cuña de prueba I que pase por el punto ‘O’ tal como se indica en la parte (b) de la figura y mediante el diagrama de fuerzas encontramos la cuña más desfavorable, que es la que nos da el mayor valor del EA1 (empuje activo).

Fig. 12-c)

El segundo paso consiste en encontrar la cuña de prueba II mas desfavorable trazada a partir del pie del muro, para ello tenemos que determinar primeramente otra cuña trazada en el manto superior a partir del punto ‘m’ que no tiene porqué tener la misma pendiente y que nos dé el máximo valor de ‘x’, tal como se indica en la parte ‘c’ de la figura. Nótese que en esta cuña se computa la resultante de la presión hidrostática como una fuerza ‘U’, que actúa en forma normal al plano de falla considerado.


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Fig. 12-d)

Por último obtenemos el valor máximo del empuje activo en el manto II según el esquema de la figura 12.d y luego componiendo EA1 y EA2 obtenemos el valor del empuje activo resultante. De la misma manera se puede determinar con esta teoría el empuje pasivo, cuidando de asignar a las fuerzas el sentido que les corresponde (fig. 11). La ventaja del método de Coulomb, sobre el de Rankine, es que aplicando el primero se pueden calcular muros con una inclinación cualquiera de paramento y de relleno. Sin embargo, la simplificación de suponer superficies planas de rotura conduce a errores. El empuje activo se puede calcular con bastante exactitud, pero en el cálculo del empuje pasivo – cuando realmente hay rozamiento – el trabajar con superficies planas favorece la inseguridad, y ésta aumenta a medida que se incrementa el ángulo δ . Cuando δ alcanza el valor del ángulo de fricción φ entre suelo y suelo, el error puede ser mayor del 30 %. De todos modos, el empuje pasivo queda limitado a un valor menor que el máximo, por lo que ya explicamos en la figura 5 con respecto a las deformaciones. Cuando el corrimiento de la cresta respecto de la arista inferior es del 1 por mil, ya se tiene empuje activo (figura 5), y cualquier estructura a la cual se coloca un relleno se mueve ese valor. El empuje pasivo requiere una deformación por lo menos 10 veces mayor. Por lo tanto la asignación de valores del empuje pasivo como elementos de cálculo queda limitada, no tanto en muros que admiten corrimientos importantes sin perjuicio de la estructura, pero sí en cilindros de fundación, cuya carga lateral está mantenida por empuje pasivo, para llegar al mismo, probablemente sea necesaria una deformación incompatible con la estructura. Esta limitación


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afecta notablemente los problemas actuales de ingeniería de fundaciones con cilindros o pilotes de gran diámetro, donde en general hay estructuras hiperestáticas muy sensibles. Empujes en suelos puramente friccionantes Hipótesis de Rankine Por aplicación de las hipótesis de Rankine, y del análisis de la ecuación que vincula las tensiones principales,

φφσσ NcN .2.31 += Habíamos determinado las expresiones de los empujes activos y pasivos siguientes: Empuje Pasivo:

)2/º45(...2/1)/1.(..2/1 222 φγφγ −== tgHNHEa (1)

Empuje Activo:

)2/º45(...2/1...2/1 222 φγγ φ +== tgHNHEp (2)

Si se mantienen las hipótesis de partida pero suponemos además que el terreno natural en superficie, tenga una inclinación tal que forma un ángulo β con la horizontal (que no podrá superar el valor del ángulo de fricción interna φ del material) podemos matemáticamente calcular el valor de los empujes con las siguientes expresiones:

−+

−−=

)cos(coscos

)cos(coscoscos..2/1

22

222

φββ

φβββγ HEa (3)

−−

−+=

)cos(coscos

)cos(coscoscos..2/1

22

222

φββ

φβββγ HEp (4)

La distribución de las tensiones sobre el muro tendrán una dirección paralela a la inclinación del terreno superficial, y su distribución en profundidad seguirá siendo triangular

Fig. 13.

Si β = 0 la ecuación (3) se transforma en la (1) y la (4) en la (2)


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Construcción gráfica de Culmann (1875) Culmann ideó un método expeditivo, para evaluar mediante construcciones gráficas, el método de Coulomb. Este método grafico nos permite calcular el empuje activo de arenas sobre muros con paramentos internos rugosos. A continuación, describiremos este método paso por paso, considerando un muro rígido genérico de altura H, el terreno natural tendrá una inclinación α, respecto de la horizontal. Este muro contiene a un relleno de arena cuyos parámetros de corte son: la cohesión que es igual a cero (c = 0) y el ángulo de fricción interna de la arena φ. Por otra parte deben considerarse la fricción entre suelo y muro δ (que puede tomarse generalmente 2/3 de φ) y el peso especifico unitario de la arena en condiciones naturales γ.

TN

Η

a

Η

α

c = 0 tn/mφ

Arena

b

a

βδ

Fig. 14.

1- Como primer paso, se traza una recta b por el pie del paramento interno del muro, que forme un

ángulo φ, con la horizontal que pasa también por el punto b. La recta bS, es conocida como “Línea de pendiente”, ya que representa la pendiente natural del suelo.

φ

Línea d

e pend

iente

TN

Η

α

c = 0 tn/mφ

2Arena

b

a

S

β

δγ

Fig. 15.


20

2- Se traza la línea de empujes bL, colocada por debajo de la línea de pendiente y formando con la misma, el ángulo θ, igual al que forma la vertical con la línea de acción del empuje Ea. El ángulo θ depende del ángulo δ de fricción entre muro y suelo y de la inclinación β del paramento interno del muro.

φ

Línea d

e pend

iente

TN

Η

α

c = 0 tn/mφ

2Arena

b

a

S

β

δ

θ

β

δ

θ

Línea de empujes L

γ

Fig. 16.

3- Para determinar el empuje E1, ejercido por el suelo situado dentro de la zona delimitada por un

plano de deslizamiento arbitrario bc1, es necesario computar primero el peso W1 de la cuña de suelo que, en cualquier escala conveniente, es luego representado sobre la línea bS. Se obtiene así el punto d1, por el cual se traza la recta d1e1 paralela a bL. El peso puede determinarse gráficamente calculando el área de la cuña abc1 trigonométricamente o gráficamente con un programa Cad y luego multiplicándolo por el peso especifico unitario de la arena en condiciones naturales, es decir: W1 = Área del triangulo abc1 . γ Este peso así determinado es un peso por longitud unitaria de muro.

Línea d

e pend

iente

TN

Η

c = 0 tn/mφ

2Arena

b

a

S

β

δ

θ

βδ

Línea de empujes L

γ

c1

Ea

Cuña Nº1

W1

d1

e1

Fig. 17.


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Como el triángulo e1d1b es semejante al polígono de fuerzas estudiado en el método de Coulomb, la distancia d1e1 es igual al empuje correspondiente a la superficie de deslizamiento bc1.

b

W

d1

e1

F

E

1

1

1

Fig. 18.

4- Para determinar el empuje activo Ea, se repite la construcción para diferentes planos bc2, bc3,

etc y los puntos e1, e2, e3, etc, que se obtienen son unidos por medio de una curva conocida como “Curva de Culmann”.

Línea d

e pend

iente

TN

Η

α

b

a

S

β

δ

θLínea de empujes L

Ea

c1c2

c3c4c5c6c7c8c9c10

c = 0 tn/mφ

Arena

δγ

d1

e1

e2

e3

e4e5

e6e7

e8

d2

d3d4

d5d6

d7d8

d9d10

e9e10

Curva

de Cu

lmann

Parale

la a la

línea d

e empuj

es

WWW 123

Fig. 19.

5- Se traza la tangente a la Curva de Culmann paralela a bs y la distancia ed (multiplicada por la

escala que elegimos para graficar los pesos de las cuñas de rotura W) representa el empuje Ea. La superficie de deslizamiento pasa por el punto e.


22

Línea d

e pend

iente

TN

Η

α

b

a

S

β

δ


Ea

c1c2

c3c4

c5c6c7c8c9c10

c = 0 tn/mφ

Arena

δγ

d1

e1

e2

e3

e4e5

e6e7

e8

d2

d3d4

d5d6

d7d8

d9d10

e9e10

Paralel

a a la l

ínea d

e empuj

es

WWW 123

e

d

Curva

de Cu

lmann

Parale

la a la

Línea d

e pend

iente

Fig. 20.

6- Finalmente, podemos determinar el punto de aplicación del empuje activo sobre el muro. Un vez

encontrada la superficie de deslizamiento abc, que como mencionamos pasa por el punto e, debemos hallar el baricentro G de esta superficie y trazar por el mismo una recta paralela a la línea. El punto de aplicación del empuje activo es la intersección de la línea del paramento interno del muro ab con la línea paralela a bc que pasa por el baricentro G.

TN

Η

b

a

S

β

δ


Ea

c

c = 0 tn/mφ

Arena

δγ

W

d

eG

Línea d

e pend

iente

Para

lela

b-c

Fig. 21.

Empuje producido por una carga lineal La figura 22 representa la sección transversal de un muro que sostiene una masa de arena con superficie límite horizontal. A lo largo de una línea paralela al paramento interno del muro y a una distancia ac’, la superficie de la arena soporta una carga lineal q por unidad de longitud.


23

Η

TN

q

Η

a

d

c = 0 tn/mφ

Arena

b

δ

c'

Fig. 22.

El procedimiento para determinar el empuje activo es en este caso esencialmente el mismo que el ilustrado en el apartado precedente, con la única diferencia de que cuando el plano de deslizamiento encierra una carga lineal q, en la cuña, la distancia a tomar sobre la línea de pendiente, debe ser proporcional al peso de la arena, que constituye la cuña de deslizamiento, más la carga lineal q.

Η

TN

Η

a

d

c = 0 tn/mφ

Arena

b

δ

q

φ

θ

Línea de empujes

θ

Eaδ

c7c5c4c3c2c1

Línea

de pen

diente

W + q

e

d

W

o2

c'C1

C2 c8

o1A

Ac6

Fig. 23.

Si la superficie límite de la arena no lleva sobrecarga, la curva C de Culmann, correspondería a la curva C1. En el caso de que exista una sobrecarga lineal q aplicada en un punto c’, la curva de Culmann consta de dos partes.


24

Parte a: situada a la izquierda del plano b-O1-c’ es idéntica a la C1, ya que las cuñas limitadas por planos a la izquierda de dicho plano no llevan sobrecarga. Parte b: situada la derecha de b-O2-c’, la curva de Culmann está situada por arriba de la curva C1, como lo indica la curva C2, ya que todas estas cuñas encierran la carga lineal q. El punto O2, es la intersección entre la recta bc’ y la recta A-A paralela a la línea de pendiente (tangente a C1) que determina el empuje activo de la arena Ea, sin considerar la carga lineal q. El punto O1, es la intersección de la Curva C1 con una recta paralela a la línea de empujes, que pasa por O2. Por consiguiente la curva completa de Culmann consiste, a la de izquierda de bc’, en la curva C1 y a la derecha, en la curva C2, presentando una discontinuidad en el plano bc’ que pasa por el punto de aplicación de la sobrecarga lineal.

d

Η

TN

Η

a

c = 0 tn/mφ

Arena

b

δ

q

Línea

de pen

diente

Línea de empujes

θ

Eaδ

c' c''

e2

e2'

fe

C1

C2

W + q

d''d

d2'

e3

c

d3

K

∆Pa ∆Pa

AB

AB

c2'

Fig. 24. Si la sobrecarga está situada a la izquierda del punto c2’, el empuje activo viene dado por la distancia máxima entre la curva C2 y línea de pendiente, medida paralelamente a la línea de empujes. Cuando la sobrecarga actúa en cualquier punto entre a y c’’, la mayor distancia es d’’e2 y el deslizamiento se produce a lo largo del plano bc’’ que pasa por e2. La distancia d’’e2 – de = fe2, que representa la parte ∆Pa del empuje debido a la sobrecarga lineal q. Las ordenadas de la curva K, referidas a la superficie del terraplén, representan los valores de ∆Pa que corresponden a distintas posiciones de la sobrecarga q’. Entre a y c”, K es una línea recta paralela a la superficie del terraplén, ya que, en esos dos puntos, ∆Pa es independiente de la posición de carga lineal q. Cuando la sobrecarga lineal q está situada más allá de c’’, en la posición c, por ejemplo, la curva de Culmann consta de la línea punteada C1 a la izquierda de bc y de la línea llena C2 a la derecha. El valor máximo del empuje activo Ea viene dado por el segmento d3e3, el plano de rotura pasa por el punto e3 e intercepta la superficie del terraplén en el punto de la carga lineal q, en este caso el punto c. Como puede observarse en la figura 24, si el punto de aplicación de la carga lineal q


25

se desplaza hacia la derecha, el valor ∆Ea disminuye, como lo indican las ordenadas de la curva K y se hace cero cuando la carga lineal q alcanza la posición c2’. El punto c2’se obtiene a partir de la recta be2’ que intercepta al terreno natural T.N. Para hallarse c2’, primeramente debe determinarse el punto e2’, dicho punto es la intersección de la curva C2, con la recta A-A paralela a la línea de pendiente (tangente a C1) que determina el empuje activo de la arena Ea, sin considerar la carga lineal q. Finalmente, si la línea de acción de la carga lineal q se encuentra en c2’, el valor del empuje activo e2’d2’ determinado con la curva C1 es igual al valor ed, que representa dicho empuje cuando la sobrecarga es nula. Si q se desplaza a la derecha de c2’, el empuje determinado con C1, se hace menor que ed. Por consiguiente, cuando la sobrecarga lineal actúa a la derecha de c2’, no tiene efecto alguno sobre el empuje activo y la superficie de deslizamiento adquiere la misma posición bc que tiene el terraplén descargado. Cuanto mayor sea la sobrecarga lineal q, c2’ se encuentra más alejado del muro, es decir, que la distancia dentro de la cual la sobrecarga influye sobre el empuje depende de la magnitud de la misma. El procedimiento de Culmann se utiliza principalmente en lo casos en que el muro es de paramento interno quebrado, o cuando el terraplén tiene forma irregular o lleva sobrecarga. Punto de aplicación del empuje

d

TN

Η

a

c = 0 tn/mφ

Arena

b

δ

q

Línea

de pen

diente

Línea de empujes

θ

Eaδ

c' c''

K

∆Ea ∆Eac2'

G

o

o'∆Ea

δ

g'

g'1/3 de g-g'

c

Fig. 25.


26

d

TN

Η

a

c = 0 tn/mφ

Arena

b

δLínea

de pe

ndient

e

Línea de empujes

θ

Eaδ

c''

K

∆Ea ∆Eac2'

oo'∆Ea

δ

g'

1/3 de b-g'

q

c'

G

c

Fig. 26.

Las figuras 25 y 26 ilustran un método simplificado para estimar la posición del punto de aplicación del empuje adicional ∆Ea, producido por una carga lineal q. Las rectas bc, y bc’’, etc, corresponden a las rectas bc, y bc’’, etc., de la figura 20. Si q está situada entre a y c’’, se traza b’c’ paralela a la superficie de deslizamiento bc’’ y a’c’ paralela a la línea de pendiente bs. El punto de aplicación de ∆Ea se encuentra en el tercio superior de a’b’. Si q’ está situada entre c’’ y c’2, se traza a’c’ paralela a bs y el punto de aplicación de ∆Ea se encuentra en el tercio superior de a’b, como lo indica la figura. Todos estos procedimientos están basados en la hipótesis hecha por Coulomb de que todo punto del paramento interno representa el pie de la superficie potencial de deslizamiento. La hipótesis es correcta en el caso de los muros de contención, pues ningún muro de este tipo puede ceder sin antes desplazarse de modo tal que se cumplan las condiciones de deformación del estado plástico. Coulomb no especifico, sin embargo, esta condición de deformación, así que la teoría fue con frecuencia utilizada para calcular el empuje activo contra estructuras de contención que no cumplan con esas condiciones, tales como las entibaciones de excavaciones a cielo abierto. Ahora bien muchos ingenieros experimentados llegaron a la conclusión de que la teoría no era del todo correcta. Por ello es necesario destacar que, si se satisfacen las condiciones de deformación para su validez, la teoría de Coulomb es tan satisfactoria como lo pueda ser cualquier otra teoría de la ingeniera de estructuras.


27

Empuje Pasivo Método de la Espiral Logarítmica.

TN

z

TN

EXACTO

PLANO

TN

EXACTO PLANO

E

E

z

Fig. 27. Comparación entre las zonas de rotura pasivas entre superficies curvas y planas

La figura 27 recalca la diferencia que existe entre suponer una superficie de deslizamiento plana – como en la teoría de Coulomb – y la superficie real de equilibrio de la cuña involucrada. En muchos textos se expone otra solución, consistente en suponer que la superficie de deslizamiento o de rotura está compuesta por un sector curvo b-d1 y otro plano d1-e1, (fig. 28). La superficie curva – por determinación experimental y teórica – está comprendida entre un arco de círculo y un arco de espiral logarítmica. Para aprovechar ciertas ventajas geométricas, Terzaghi toma un arco de espiral logarítmica para el sector b1-d1 y un plano para el sector d1-e1, y calcula el equilibrio en la superficie formada por ambos sectores.


28

l

01

a f1

d1

e1

45 -

φ/2

W

b

45 - φ/2

δ

E''p1

E'p1

Ep1

hH

H/2H/3

r1

r0 P''p1CA Pp1

C

P'p1

φ90

°

Curva de deslizamieno

lEp1lPp1

DF

1

lw1

CA

Fig. 28. Fuerzas intervinientes en la determinación del Empuje Pasivo

En el equilibrio de este prisma, la parte triangular a-d1-e1 tiene un plano de simetría en el cual se puede suponer que no actúan tensiones de corte, ya que el prisma a-d1-e1 se encuentra en el estado pasivo de Rankine. Por lo tanto se suprime el triángulo f1-e1-d1 para colocar en su lugar la resultante calculada mediante la teoría de Rankine, limitando el estudio a la cuña determinada por a-f1-d1-b. Las fuerzas que actúan sobre dicha superficie son: el empuje pasivo, que forma un ángulo δ con el paramento del muro; la cohesión y la adherencia, cuando existen; el peso de la cuña; la fuerza Pp que reemplaza al triángulo f1-e1-d1. La resultante F forma un ángulo φ con la normal a la tangente a la espiral, y por lo tanto pasa por el centro de la espiral. Como el método se basa en tomar momentos respecto del centro de la espiral, el momento de la reacción F se anula. A los efectos de su cálculo, el empuje pasivo se descompone en dos direcciones extremas: se considera – por una parte – el empuje pasivo proveniente del suelo con peso y sin cohesión, y por otra el suelo sin peso y con cohesión. Esta descomposición permite calcular los empujes E’P y E”P correspondientes a cada caso, y obtener de su suma el empuje pasivo. Para aplicar el método se toma el suelo en la primera condición mencionada – cohesión nula – en cuyo caso las fuerzas solamente derivan del peso. El empuje que deseamos calcular está ubicado a una profundidad H/3. Se procede por tanteos, considerando en primer término el equilibrio de una cuña cualquiera; tomando momentos respecto de 01 se calcula el valor de E’p1. A continuación pasamos a detallar el cálculo del empuje pasivo según ésta teoría. Para ello consideraremos primeramente el caso de suelo con peso y sin cohesión (fig. 29).


29

0

a f1

d1

e1

45 -

φ/2

W1

b

45 - φ/2

δ E'p1

hH

H/3

r1

r0

P'p1


lP'p1

h /3

lE'p1

D

1

1

lw1

Fig. 29. Suelo con peso y sin cohesión

En ella observamos que el prisma a-b-d1-f1 se encuentra en equilibrio bajo la acción de las siguientes fuerzas: su peso propio W1, el empuje pasivo del muro E’p1 que actúa en el tercio inferior de la cara a-b y con una inclinación δ respecto a la normal a dicha cara, la fuerza de fricción F1 y el empuje P’p1 que podemos calcular utilizando la ecuación del empuje pasivo de Rankine. P’p1 = ½ .γ . h1

2 . Nφ Podemos ahora tomar momento de todas estas fuerzas respecto del punto 01 (centro de la espiral logarítmica), recordando que por una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que une los puntos bd1 de ecuación: r1 = ro.e

θ.tg(φ), todos los radios vectores de la espiral forman un ángulo φ con la normal a la curva en el punto de intersección. Como φ es el ángulo de fricción interna del material, la resultante F’1 coincide en su dirección con un radio vector de dicha espiral y por lo tanto pasa por el centro 01 de la misma, lo que hace que su momento respecto de éste punto sea nulo. Nos queda en definitiva: E’p1. lE’p1 = W1.lw1 + P’p1.lP’p1 de donde obtenemos: E’p1 = (W1.lw1 + P’p1.lP’p1)/lE’p1 Esta resultante se debe representar en una escala adecuada, a partir de un plano de comparación y en correspondencia con el punto f1 obteniendo el punto C’1 (fig. 29). Repitiendo todos los pasos hasta acá detallados, pero con distintas superficies de deslizamiento, obtendremos una curva P’ cuyo valor mínimo nos da el valor del empuje pasivo PP para el caso de un suelo con peso y sin cohesión (c = 0) (fig. 29). La superficie de deslizamiento en este caso para por el punto ‘d1’ situado sobre a-D en la proyección vertical C’: ya que el triángulo a-d1-e1 debe ser en todos los casos isósceles y los ángulos en a y e1 de (45° - φ /2). Por este motivo para


30

todas las superficies de deslizamiento que analicemos, la línea a-D permanece invariable y todos los puntos d se encuentran sobre ella. Si el suelo que estamos considerando tiene cohesión (c ≠ 0) debemos también calcular E’’p1 (suelo sin peso y con cohesión).

0

a f1

d1

e1

45 -

φ/2

b45 - φ/2

δ

E''p1

Ep

h

HH

/2

r1

r0 P''p1CA

C


h /2

lE''p1lP"p1

D

φ

θ

Mc

d

c.ds.Cos φ

c.ds.Cos φc.ds.

01

r0

Mc = momento producido por la cohesión c

90º

1

1

lCA

Fig. 30. Suelo sin peso y con cohesión Para calcular E”p1 (fig. 30) debemos analizar el equilibrio de una superficie de deslizamiento elegida arbitrariamente, y que puede ser la a-b-d1-e1. El prisma encerrado por éste superficie está solicitado por la fuerza P”p1, cuyo punto de acción se encuentra en el punto medio de la cara d1-f1, ya que es la resultante de un diagrama rectangular que se obtiene haciendo γ = 0; q = 0 y H = Hd1 con lo cual tenemos: P”p1 = 2 . c . h1 . Nφ

0,5 Para calcular la influencia de la cohesión frente al equilibrio del prisma, consideraremos un elemento de longitud ds correspondiente a la superficie b-d1. La fuerza de cohesión en ds que se opone al deslizamiento es c.ds y el momento con respecto al punto 01 es:

θφφ

θφ dcr

rdcrdscrdMc ..)cos(.

)cos(..)cos(... 2===

ya que de la figura 14 vemos que:

θφ drds .)cos(.. = por lo que )cos(

.

φ

θdrds =

Integrando obtenemos el momento total de la cohesión sobre bd1

)(..2

221

0

1 oc rrc

dMMc −== ∫=

θ

θφπ


31

Como la componente c.ds.senφ pasa por 01 tomando momentos respecto de éste punto se obtiene: E”p1. lE”p1 = Mc1 + P”p1 . lP”p1 – CA . lCA E”p1= (Mc1 + P”p1 . lP”p1 – CA . lCA) / lE”p1 El valor así calculado de E”p1 se debe representar en la misma escala de E’p1 y a partir de allí encontramos el punto C’’1. Por hipótesis de partida E’p1 y E”p1 representan las fuerzas necesarias para vencer a las dos partes en que hemos descompuesto a la resistencia total al deslizamiento a lo largo de la misma superficie arbitraria b-d1-e1 operando de manera similar podemos obtener el valor de E”p para otras superficies de deslizamiento y uniendo todos los puntos C” representados obtener la curva E”. Haciendo la suma E’p1 + E”p1, obtenemos el empuje pasivo Ep correspondiente a la cuña 1; el mencionado empuje se debe representar en la misma escala de E’p1 y E”p1, y a partir de allí encontramos el punto C1, de la curva E. El empuje pasivo EP lo da la ordenada mínima de la curva E, ya que es el mínimo esfuerzo necesario para movilizar a la masa de suelo. La superficie de deslizamiento pasará entonces por el punto ‘d’ ubicado en la intersección de la recta a-D y la vertical que pasa por el punto C de la curva E. El método es laborioso, y no siempre se aplica. La superposición y suma de los diagramas tampoco es rigurosamente correcto, porque las superficies de deslizamiento no son las más desfavorables en cada caso. Sin embargo, en lo que respecta a la forma adoptada por la superficie de rotura, la aproximación es mucho mayor que en la teoría anterior. Fundamentalmente, este método se aplica para resolver en forma más rigurosa el problema del empuje pasivo con valores de fricción elevados. Hemos considerado – entonces – los empujes en suelos, y su cálculo con distintas teorías. En todos los casos se han estudiado estructuras rígidas, en las cuales la traslación o el giro se producen en conjunto, sin desplazamiento de las partes. Los muros de gravedad son ejemplos típicos de este tipo de estructuras. Las tres teorías fundamentales tienen su aplicación práctica y sus limitaciones, y para todas ellas es necesaria una deformación del suelo para alcanzar los estados límites. Si esta deformación no está dada por el vínculo correspondiente a la superestructura o por otra acción de tipo exterior, el empuje no se puede calcular empleando el coeficiente Ka sino el Ko, que es la relación entre las presiones iniciales horizontal y vertical ya que, al no existir desplazamiento, se supone que la tensión horizontal sigue siendo la de origen.


32

01

02

03

d1

e1a f1 f2 f3

d2

d3

e2 e3

b

f4 e4

04

E''p

2E

'p2

E'p

3

E'p

1E

''p1

E''p

3

Ep2

Ep1

Ep3

Emín

Emín

Emín

D

C'1 Curva E'

Curva E''C''1

Curva E

E = E' + E''

C1C

d

Fig. 31. Determinación del Empuje Pasivo Cálculo del diagrama de presiones originado por una carga lineal paralela al muro o una carga concentrada. Para resolver los problemas que se presentan a menudo en el cálculo de la distribución de presiones sobre un muro, cuando en la superficie del relleno actúa una sobrecarga lineal QL paralela al muro y ubicada a una distancia x del mismo o cuando se trata de una carga concentrada QP ubicada a una distancia x del muro. Aconsejamos calcular el incremento de tensiones que las mismas producen, (que a su vez deberán sumarse a las tensiones originadas por el propio terraplén) mediante los procedimientos que se detallan a continuación y que se deben a la ecuación de Boussinesq modificada a través de experiencias y de mediciones reales en estructuras a escala natural. Para ello primeramente debemos obtener el valor de:

H

xm = y de

H

zn =

Con éste par de valores podemos conocer a una profundidad Z (fig. 32) el valor de σH.

(QL

H2

) o el valor de σH . (QP

H2

) (fig. 20). También podemos obtener la distancia “R” a partir de la


33

base del muro, donde se encuentra aplicada la resultante del diagrama de incremento de presiones “PN”. Podemos también conocer para cualquier profundidad “Z” a lo largo de la altura H el incremento de presiones originado por la sobrecarga, aplicando las fórmulas se observan en las figuras 32 y 33 extractadas del Design Manual 7.02 de Naval Facilities Engineering Command .

Fig. 32.


34

Fig. 33.


35

Aspectos generales para calcular la estabilidad del muro Como hemos expresado en la página N° 3 es de suma importancia para el cálculo del empuje activo sobre los muros, el tener la seguridad de que no existirán presiones hidrostáticas en el parámetro interior del mismo, ya que ello podría llegar a quintuplicar el valor del empuje activo. Para ello tenemos que ser cuidadosos al diseñar el sistema de drenaje que nos evite este incremento de presiones. El agua puede acceder al parámetro interno del muro, fundamentalmente de dos maneras; la primera es por un aporte directo de la napa de agua o por un ascenso fuera de lo común de la misma, la segunda se produce por el aporte pluvial en la superficie del terreno natural que se filtra a través de un relleno permeable, (rellenos por refulado) o por las grietas de desecación que comúnmente se observan en la superficie de los rellenos cohesivos, sobre todo en la cercanía del muro y paralelas a la línea de coronamiento. Para evitar la acumulación del agua, en estos casos debemos diseñar un sistema de drenaje que nos asegure un rápido escurrimiento de las mismas ya sea por gravedad hacia el parámetro externo del muro o por gravedad o bombeo mediante tubos colectores hacia otros sectores de la obra.

Fig.34.

1: Filtro 2: Dren colector 3: Colector superficial 4: Napa freática 5: Barbacana En la figura 34 podemos observar muy esquemáticamente, lo que sería una solución apropiada para un muro que debe ser construido en una zona donde la napa de agua se encuentra elevada. En esta solución se ha proyectado un filtro que se apoya sobre el nivel del terreno natural, de tal forma que nos permita el escurrimiento del agua y que a su vez haga de filtro del suelo. Para ello conociendo l a granulometría de los materiales que estarán en contacto con él (suelo natural y relleno) y haciendo uso de la ley de filtros podemos proyectarlo convenientemente. El filtro así proyectado permite que las aguas por gravedad escurran hacia un dren colector. Para resolver el problema del agua proveniente de la superficie se ha dispuesto en este caso una calzada impermeable que con una cierta pendiente hace escurrir a las mismas hacia otro dren colector. Esta última solución que se les ha dado a las aguas de superficie no siempre es posible de implementar, por lo tanto en la figura 35 podemos observar otros tipos de proyectos que resuelven este problema.


36

Fig. 35.

Por último daremos a continuación algunas consideraciones que deberemos tener en cuenta cuando analicemos la estabilidad del muro una vez que hayamos determinado los diagramas de empuje que tratan de producir su deslizamiento y también su volcamiento. Para ello según se puede observar en la figura 34 y 35 analizaremos la estabilidad de un muro de gravedad y otro de contrafuerte respectivamente. En el primer caso el diagrama de empujes actúa en forma directa sobre el muro y su resultante tiene una inclinación δ con respecto a la normal del muro. En el segundo caso existe un volumen importante de suelo que colabora con su peso a la estabilidad del muro y el diagrama de empuje actúa sobre un plano vertical que pasa por el borde interno del pie del mismo y su resultante está inclinada un ángulo φδ = con respecto a la normal a este plano ya que se trata de un deslizamiento entre suelo y suelo por lo tanto en todos estos casos el ángulo δ adopta su valor máximo que es igual a φ .

Fig. 36.


37

Fig. 37.

La primera ecuación que debemos plantear es la que nos da la ubicación de la resultante “R”. Para ello tomamos momento de las fuerzas actuantes con respecto al punto “o”, para lo cual asumimos que el valor de PP = o por razones de seguridad. Tendremos entonces:

PvW

bPhePvaWd

+

−+=

...

con esta distancia “d” tenemos ubicada a la resultante “R” que tiene una componente vertical igual a W + Pv y otra horizontal igual a PH. Esto nos permite, procediendo por tanteos, calcular el ancho “B” del pie del muro aplicando la fórmula general de “BRINCH-HANSEN”. La seguridad al volcamiento deberá ser tal que se cumpla:

5,1..

.≥

−=

ePvbPh

aWFs

La verificación de la seguridad que nos ofrece el muro con respecto al deslizamiento del mismo sobre su plano de fundación se hará teniendo en cuenta que el valor de la fuerza “F” es:

BCatgPvWF .)().( ++= δ donde “tg . δ ” es el factor que nos indica la fricción que se produce entre el suelo y la base del muro y que depende de la naturaleza de ambos. Y “Ca” representa la adhesión entre la base y el suelo y que únicamente se manifiesta en el caso de los suelos cohesivos. Ca también depende del tipo de material de la base del muro y puede alcanzar un valor máximo igual a la cohesión “C” del mismo. El coeficiente de seguridad en este caso será:

5,1.)().(

≥++

=Ph

BCatgPvWFs

δ


38

DETERMINACIÓN DEL EMPUJE PASIVO MÉTODO DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA EJERCICIO: Determinar el empuje pasivo que se produce en el muerto de anclaje de una tablestaca como se muestra en la Figura 1, utilizando el método de la espiral logarítmica. El muerto de anclaje se encuentra enterrado en un estrato homogéneo de un suelo limo arenoso, del tipo ML, cuyos parámetros de corte son: c = 5 tn/m2 φ = 20º Adoptar los siguientes parámetros para la interacción entre suelo y muro: Fricción: δp = 3/4 φ Cohesión: cp = 3/4 c

2.80

0,50

15°

2.00

1,25

4.80

c = 5.00 tn/m²φ = 20º

δp = 3/4 φcp = 3/4 c

TENSOR

TN

z

Figura 38.

RESOLUCIÓN CONDICIONES GENERALES Para determinar el empuje pasivo del suelo, se elige arbitrariamente una superficie de rotura b-d-e, como se muestra en la Figura 39, donde: 1- b-d es un segmento de espiral logarítmica con centro 0, que también es un punto arbitrario sobre la recta que pasa por a y que forma un ángulo de 45-φ/2 con la horizontal) 2- d-e es una recta que forma con la horizontal un ángulo 45-φ/2. 3- a-d-e, es siempre un triángulo isósceles, cuyos lados iguales son a-d y d-e.


39

0,50

15°

1,25

TN

0

ea

35°

b

35°

45 - φ/2

d

Espiral logaritmica con centro en O1

Recta

f

z

Figura 39.

OBTENCIÓN DE LA ESPIRAL LOGARÍTMICA Como primera medida, debemos dibujar la espiral logarítmica para el ángulo de fricción φ = 20º. En este método, el trazado de la espiral logarítmica es dependiente del ángulo de fricción interna del suelo y varía con el mismo, es decir que para cada ángulo de fricción interna del suelo habrá que graficar una espiral logarítmica). La porción bd1 de la superficie de rotura es una espiral logarítmica de ecuación:

φθ tgo err

..=

Considerando que ro = 1 se tiene,

etgrr o log...log φθ=

etgr log).º20(..1log θ= )43.0).(36.0.(log θ=r

)1548.0.(log θ=r )1548.0.(logθantir = (1)

Obtenida la formula (1), calcularemos para los diferentes radios, para los diferentes ángulos θ, para luego graficar la espiral logarítmica en coordenadas polares, para un ángulo de fricción interna del suelo φ = 20º. Figuras 40 y 41. φ = 20º


40

θ º θ (rad) tan φ log e θ . tan φ . log e r = antilog (θ . tan φ . log e)

0 0.000 0.364 0.434 0.000 1.000 15 0.262 0.364 0.434 0.041 1.100 30 0.524 0.364 0.434 0.083 1.210 45 0.785 0.364 0.434 0.124 1.330 60 1.047 0.364 0.434 0.166 1.465 75 1.309 0.364 0.434 0.207 1.610 90 1.571 0.364 0.434 0.248 1.770 105 1.833 0.364 0.434 0.290 1.949 120 2.094 0.364 0.434 0.331 2.142 135 2.356 0.364 0.434 0.372 2.355 150 2.618 0.364 0.434 0.414 2.594 165 2.880 0.364 0.434 0.455 2.851 180 3.142 0.364 0.434 0.497 3.140 195 3.403 0.364 0.434 0.538 3.451 210 3.665 0.364 0.434 0.579 3.793 225 3.927 0.364 0.434 0.621 4.178 240 4.189 0.364 0.434 0.662 4.591 255 4.451 0.364 0.434 0.704 5.058 270 4.712 0.364 0.434 0.745 5.559 285 4.974 0.364 0.434 0.786 6.109 300 5.236 0.364 0.434 0.828 6.729 315 5.498 0.364 0.434 0.869 7.396 330 5.760 0.364 0.434 0.910 8.128 345 6.021 0.364 0.434 0.952 8.953 360 6.283 0.364 0.434 0.993 9.840 375 6.545 0.364 0.434 1.035 10.839 390 6.807 0.364 0.434 1.076 11.912 405 7.069 0.364 0.434 1.117 13.091 420 7.330 0.364 0.434 1.159 14.421 435 7.592 0.364 0.434 1.200 15.848 450 7.854 0.364 0.434 1.241 17.418 465 8.116 0.364 0.434 1.283 19.186 480 8.378 0.364 0.434 1.324 21.086 495 8.639 0.364 0.434 1.366 23.227 510 8.901 0.364 0.434 1.407 25.527 525 9.163 0.364 0.434 1.448 28.054 540 9.425 0.364 0.434 1.490 30.902 555 9.687 0.364 0.434 1.531 33.962 570 9.948 0.364 0.434 1.573 37.411 585 10.210 0.364 0.434 1.614 41.114 600 10.472 0.364 0.434 1.655 45.185 615 10.734 0.364 0.434 1.697 49.773 630 10.996 0.364 0.434 1.738 54.701 645 11.257 0.364 0.434 1.779 60.117 660 11.519 0.364 0.434 1.821 66.221 675 11.781 0.364 0.434 1.862 72.777 690 12.043 0.364 0.434 1.904 80.167 705 12.305 0.364 0.434 1.945 88.104


41

720 12.566 0.364 0.434 1.986 96.827

15°30°

45°60°

75°

90°

105°

120°

135°

150°

165°

180°

1.000

1.100

1.210

1.330

1.465

1.610

1.7701.9492.142

2.355

2.594

2.851

3.140

Figura 40

La espiral terminada queda como se muestra en la figura.

Figura 41.

0


42

OBTENCIÓN DE LA POSIBLES SUPERFICIES DE ROTURA Una vez obtenida la espiral logarítmica, elegimos un punto arbitrario que esté sobre la recta a-d, en este caso 0; dicha recta forma siempre un ángulo de 45º-φ/2 con la horizontal, en nuestra ejemplo 45º-20º/2 =35º. La espiral logarítmica pasa por el punto b del muro y es tangente a la recta d-e en el punto d. Cabe destacarse que haciendo centro en el punto 0, habrá que ir moviendo rotando la espiral, para obtener los puntos de tangencia que se mencionan en el párrafo anterior, como se ve en la Figura 42.

0,50

15°

1,25

TN

0

ea

35°

b

35°45 - φ/2

51°

d

Espiral logaritmica con centro en O

Recta

f

Figura 42. De esta manera hemos obtenido una posible superficie de rotura, pero no sabemos a priori si es la que nos da mayor empuje, que es la que en definitiva estamos buscando, posteriormente se deberán evaluar otras posibles superficies de rotura operando del mismo modo, es decir, eligiendo puntos arbitrarios que estén sobre la recta a-d, que forma siempre un ángulo de 45º-φ/2 con la horizontal, para luego poder hacer centro con la espiral logarítmica, y así obtener otra posible superficie de rotura; los segmentos de espiral logarítmica pasan siempre por el punto b del muro y son tangentes a la recta d-e en el punto d y el segmento de recta d-e siempre tiene igual al segmento a-d, por ser a-d-e un triangulo isósceles. Vemos en la figura 43, posibles superficies de rotura, obtenidas de la forma detallada anteriormente, en las que habrá que determinar el empuje. La que nos dé mayor empuje será la superficie de rotura a adoptar


43

01

2,8

0,5

15°

02

03

d1

e1a f1 f2 f3

d2

d3

e2 e3

35°

45 -

φ/2

Q1Q2 Q3

2.00

1,25

b

35°45 - φ/2

51°

TN

z

68°

90°

0,35

0,53

Cuña

Nº 1

Cuña

Nº 2

Cuña

Nº 3

Figura 43.

Nota: a continuación los subíndices 1, 2 y 3 harán referencia a las cuñas Nº 1, Nº 2 y Nº 3 respectivamente. A continuación se evaluará en detalle la cuña Nº 1, hasta obtener el empuje pasivo, finalmente se darán lo resultados de la cuña Nº 2 y Nº 3 y podrá determinarse cuál es el empuje pasivo para el problema presentado. CALCULO DE LAS FUERZAS INTERVIENENTES

01

0,5

15°

d1

e1a f1

Q1

W1P''p1

P'p1Ca

δδ

1,25

b51°

TN

20°F

90°

E''p

E'pEp

Pp1

z

h =

2.8

0

2.00

H

C1

Figura 44.

Observando la figura 44 y la superficie de rotura del muro, podemos estudiar lo siguiente:


44

a-b representa la superficie de contacto hacia la masa de un suelo cohesivo ideal, cuya resistencia al corte viene expresada por la ecuación φστ tgc .+=

δδδδ es el ángulo de fricción entre suelo y paramento interno del muro b-d1-e1 es la superficie de deslizamiento donde: b-d1 es un segmento de espiral logarítmica. d-e1 es una recta. La masa de suelo a-b-d1-f1 se encuentra entonces sometida a las siguientes fuerzas (fig. 45):

1- El peso W1 2- El empuje Ep 3- La resultante C de la cohesión a lo largo de b-d1 4- Ca es fuerza de adherencia total entre muro y suelo en la cara a-b 5- La resultante F de las tensiones normales y de fricción a lo largo de b-d1. 6- La resultante Pp de la componente normal y tangencial del empuje pasivo. 7- Q1 del a fuerza resultante del peso del suelo por encima del segmento a-f1

El suelo situado en a-d1-e1 (triangulo isósceles) se encuentra el estado pasivo de Rankine, por consiguiente, las tensiones de corte y de fricción en la sección vertical d1-f1 son iguales a cero, de modo que Pp1 es horizontal y es igual a:

)...2.(...2

11

211 φφφγ NqNcHNHPp ++=

H

01

h =

2.8

0

d1

e1a f 1

Q1

W1P''p1

P'p1CA1

2.00

1,25

b51°

TN

F1

E''p1

E'p1Ep

Pp1

z

lCA1

lw1

lq1

lp

ll

E'p1

E"p1

lEp1 ll

l

P"p1Pp1

P'p1

C1

r1

r010,5

1

Figura 45.

Para calcular el Empuje Pasivo, se divide la cuña divide en dos sectores, tal como se muestra en la figura 46:


45

a- Sector 1: porción de la cuña en la zona pasiva de Rankine a-b-d1-f1 b- Sector 2: delimitado por los puntos d1-e1-f1

TN

e1a

b

d1

1 2

f1

E''p

E'pEp

Figura 46. Como el punto de aplicación de Ep1 no es conocido, se utiliza un artificio que consiste en descomponer a Ep1 en dos fuerzas E'p1 y E"p1 (ambas fuerzas forman un ángulo con la normal a la superficie de contacto). La fuerza E'p1 está en equilibrio con el peso de la masa a-b-d1-f1 y las fuerzas de fricción debidas a dicho peso. Y tiene su punto de aplicación a 1/3 H1. La fuerza E"p1 está en equilibrio con la cohesión en la superficie de deslizamiento y la fricción debida a las fuerzas que no dependen del peso de la masa del suelo, con un punto de aplicación a 1/2 H1. Conocidos los puntos de aplicación y las direcciones de ambas fuerzas, las mismas se pueden calcular independientemente y su resultante representa el empuje total Ep. Expuestas cada una de las fuerzas que interviene en el problema, procederemos a continuación a calcular cada una de ellas, para luego, a través de equilibrio de momentos, respecto al centro de la espiral por determinar el empuje Ep1.

1- Cálculo de sobrecarga Se toma como sobrecarga el peso de suelo por encima del muro

m

tnmm

m

tnmlqq 91.800.2.62.2.70.100.2..

311=== γ

2- Cálculo del peso en la porción de la cuña en la zona pasiva de Ranking, delimitada por los puntos a-b-d1-f1

m

tn

m

tnmAW 33.970.1.49.5.

32

11 === γ


46

A1 es el área de la sección delimitada por los puntos a-b-d1-f1, puede calcularse utilizando algún programa Cad que calcule áreas, también del mismo modo, podemos encontrar su baricentro, lo que nos permitirá calcular la distancia lw1

3- Cálculo del momento producido por las fuerzas de cohesión

La influencia de la cohesión sobre la superficie bd1 puede calcularse considerando un elemento de longitud ds. La cohesión es c.ds y el momento respecto a 01.

θφφ

θφ drcCos

Cos

drcrCosdscrdMc ...

...... 2===

El momento de la cohesión total sobre bd1 es entonces

).(.2

.. 202

10 0

21

1 1

rrtg

cdrcdMcMc −=== ∫ ∫ φθ

θ θ

m

tnmmm

tg

m

tn

rrtg

cM 40.69))76.6()43.7.((

)20(.2

00.5).(

)(.222

22

012

11 =−=−=φ

4- Cálculo de la fuerza de cohesión Ca en el muro

Debido a que la interacción suelo – estructura, no es igual a la interacción suelo – suelo, habrá que reducir la cohesión sobre el paramento del muro en ¾ c

m

tnm

m

tnlpclpcpCa 88.1090.2.00.5.

4

3..

4

3..

2====

5- Cálculo del empuje sobre la sección f1-d1 Como habíamos dicho anteriormente, separaremos por un lado las fuerzas se producen por el la cohesión y las sobrecargas y por otro lado las fuerzas que se producen por el peso del suelos, cabe destacarse en este caso que el peso por encima del muro se toma como sobrecarga.

TN

e1a

b

d1

2 1

f12.c . Nφ + q . Nφ

Tensiones debido a la cohesión y a la sobrecarga

γ H . NφTensiones al peso del suelo

Figura 47.

Las tensiones pasivas en la sección d1-f1, se puede calcular a través de la expresión:


47

φγφσ NzqNch )..(..2 ++=

Y el empuje total por metro en la sección d1-f1 estará dado por la siguiente expresión

φγφ NHHqNHcPp )..2

1.(..2 21111 ++=

Donde:

43.1)2

2045()

245( =+=+= tgtgN

φφ

04.2)2

2045()

245( 22 =+=+= tgtgN

φφ

Por lo expuesto precedentemente, descomponemos el empuje pasivo Pp1 en dos fuerzas P'p1 y P"p1 y medimos el valor de H de la figura en nuestro caso H = 1.83 m

φγφ NHHqNHcPp )..2

1.(..2 21111 ++=

P'p1, se obtiene a través del diagrama triangular de tensiones de la figura 8

m

tnm

m

tnNHP p 81.504.2.)83.1.(70.1.2

1..

2

1' 2

32

11 === φγ

P"p1, se obtiene a través del diagrama rectangular de tensiones de la figura 8

m

tnm

m

tnmm

m

tnNHqNHcP p 86.3804.2.83.1.70.1.00.243.1.83.1.00.5.2....2" 32111 =+=+= φφ Nó

tese que el peso por encima de la cuña se toma como sobrecarga q. 6- Cálculo de la fuerza F Como φ es el ángulo de fricción interna del material, la resultante de la tensión normal y de la fricción, correspondiente a cualquier elemento diferencial de la superficie de deslizamiento, forma también un ángulo de φ con la normal al elemento, por lo tanto, su dirección coincide con la del radio vector al centro de la espiral. Por lo tanto, todas las fuerzas elementales ∆F pasan por el punto 0, así que la resultante F de todas las fuerzas normales y de fricción que actúan sobre b-d también pasa por 0. Como el empuje y su punto de aplicación se obtendrán a partir de un equilibrio de momentos con respecto al centro de la espiral, el cálculo de esta fuerza no nos interesa. OBTENCIÓN DEL EMPUJE PASIVO 1- Equilibrio de la cuña 1 (Sin Peso γγγγ = 0) En la figura se muestra la fuerzas intervinientes para este estado y por consiguientes las distancias a considerarse


48

H

01

h =

2.8

0

d

ea f

Q1

P''p1

Ca

2.00

1,25

b51°

TN

E''p

z

lCA1

lq1

lp

lE"p

C1

lP"p1

r1

r0

Figura 48.

Para que la cuña esté en equilibrio bajo estas fuerzas, deberá haber equilibrio de momentos respecto al centro de la espiral 01, por lo tanto debe cumplirse:

"...."111

"1

"11

pEcapp lElCaMlPlqQ =+++

Donde nuestra única incógnita es "1P , ya que las distancias salen constructivamente.

"

11"

1"

11"1

...

pE

capp

l

lCaMlPlqQE

+++=

m

tn

m

mm

tn

m

tnmm

m

tnm

m

tn

E 97.7385.3

75.2.50.1430.6552.3.86.3881.4.90.8"1 =

+++

=

2- Equilibrio de la cuña 1 (Sin c y q)


49

H

01

h =

2.8

0

d

ea f

W1 P'p1

2.00

1,25

b51°

TN

E'p

z

lw1

lp

lE'p lP'p1

Figura 49.

Para que la cuña esté en equilibrio bajo estas fuerzas, deberá haber equilibrio de momentos respecto al centro de la espiral 01, por lo tanto debe cumplirse:

'...'1

'1

'11

pEppW lElPlW =+

Donde nuestra única incógnita es '1P , ya que las distancias salen constructivamente.

'

'1

'11'

1

..

pE

ppW

l

lPlWE

+=

El valor del empuje será igual a:

m

tn

m

tn

m

tnEEEp 79.8982.1597.73'1

"1 =+=+=

Y su punto de aplicación será:

mm

tnm

m

tnlElElEp

ppp EEE 32.4.82.1585.3.97.73... '"

'1

"1 +=+=

m

m

tn

mm

tnm

m

tn

Ep

lElEl

pp

p

EE

E 93.379.89

32.4.82.1585.3.97.73.. '"'1

"1

=

+

=+

=

m

tn

m

mm

tnm

m

tn

E 82.1532.4

86.3.835.591.4.33.9'1 =

+=


50

La superficie de deslizamiento verdadera es una situación intermedia entre un arco de circulo y una espiral logarítmica. La diferencia entre ambos es pequeña y el error de reemplazar la curva real por un círculo a espiral logarítmica es ínfimo. A continuación se da los valores para dos curvas más: Áreas Cuña 1 Cuña 2 Cuña 3 Cuña 4 A1 5.49 A2 6.60 A3L 8.50 A4 Longitudes (m) Cuña 1 Cuña 2 Cuña 3 Cuña 4 r01 7.47 r02 4.19 r03 3.23 r04 r1 6.76 r2 3.39 r3 2.27 r4 H1 1.83 H2 2.05 H3 2.38 H4 lw1 4.91 lw2 2.08 lw3 1.10 lw4 lq1 2.62 lq2 2.93 lq3 3.40 lq4 lQ1 4.81 lQ2 1.97 lQ3 0.95 lQ4 lcA1 2.75 LcA2 0.39 lca3 0.59 lcA4 lp1 2.90 lp2 2.90 lp3 2.90 lp4 2.90 lpp1 - lpp2 - lpp3 - lpp4 - lp’p1 3.86 lp’p2 1.72 lp’p3 1.06 lp’p4 lp’’p1 3.52 lp’’p2 1.38 lp’’p3 0.66 lp’’p4 lEp1 3.93 lEp2 lEp3 lEp4 lE’p1 4.32 lE’p2 2.22 lE’p3 1.34 lE’p4 lE’’p1 3.85 lE’’p2 1.75 lE’’p3 0.87 lE’’p4 Fuerzas Cuña 1 Cuña 2 Cuña 3 Cuña 4 Pp1 44.67 Pp2 50.82 Pp3 60.31 Pp4 P’p1 5.81 P’p2 7.29 P’p3 9.82 P’p4 P’’p1 38.86 P’’p2 43.53 P’’p3 50.49 P’’p4 q1 8.91 q2 9.96 q3 11.56 q4 W1 9.33 W2 11.22 W3 14.45 W4 Ca1 10.88 Ca2 10.88 Ca3 10.875 Ca4 10.88 Ep1 87.19 Ep2 87.92 Ep3 104.87 Ep4 E’p1 15.80 E’p2 16.16 E’p3 19.63 E’p4 E’’p1 71.39 E’’p2 71.76 E’’p3 85.24 E’’p4 Momentos Cuña 1 Cuña 2 Cuña 3 Cuña 4 M1 69.40 M2 41.65 M3 36.27 M4


51

GRÁFICOS DE EMPUJES

01

2,8

0,5

15°

02

03

d1

e1a f1 f2 f3

d2

d3

e2 e3

35°

45 -

φ/2

2.00

1,25

b

35°

45 - φ/251

°TN

z

68°

90°

0,35

0,53

Cuña

Nº 1

Cuña

Nº 2

Cuña

Nº 3

E''p

2E

'p2

E'p

3

E'p

1E

''p1

E''p

3

04

62°

f4 e4

Empuje mínino

87,2

Cuña

Nº 4

Figura 50.

De lo que se observa en el grafico de empujes, consideramos que puede tomarse como valor del empuje pasivo, el empuje de la cuña Nº 4, el cual el alumno deberá verificar. Como se pudo ver en la figura Nº 5, para que se desarrolle la totalidad del empuje pasivo son necesarias deformaciones relativamente importantes, en la mayoría de los casos, los movimientos que pueden experimentar las estructuras están limitadas por razones constructivas, es por ello que se aconseja disminuir el empuje pasivo entre un 30% y un 50 %, del valor obtenido gráficamente.

Apuntes sobre Empujes de Suelos -...

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