Problemario Ecuaciones diferenciales

FORMACION BÁSICA DISCIPLINARIA

PROBLEMARIO DE: ECUACIONES DIFERENCIALESACADEMIA DE CIENCIAS BASICAS FORMATIVAS E INTERDISCIPLINARIAS

En los siguientes problemas determine el orden, grado y tipo de la ecuación diferencial:

(Vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología)

(Ecuación de Hermite, mecánica cuántica, oscilador armónico)

(Competencia entre dos especies, ecología)

(Ecuación de Laplace, teoría de potencial, electricidad, calor, aerodinámica)

(Curva logística, epidemiología, economía)

(Velocidad de reacción química)

(Problema de la braquistocrona, calculo de variaciones)

(Ecuación de Kiddler, flujo de un gas a través de un medio poroso)

(Aerodinámica, análisis de tensión mecánica)

(Deflexión de vigas)

(Fisión nuclear)

(Ecuación de Van der Pool, válvula triodo)

Averiguar si las siguientes funciones son solución de la ecuación diferencial correspondiente:

1).- de

2).-

3).-

4.- 5).-

6).-

7).-

8).-

9).-

10).-

Autor: ARTURO HERNANDEZ ROSALES - 1 – [email protected]

mailto:[email protected]


11).-

12).-

13).-

14).-

15).-

16).-

En cada uno de los problemas del 1: a) resolver la ecuación diferencial respectiva, b) determinar la solución del problema con valor inicial indicado en forma explicita, c) graficar la solución y d) determinar (al menos aproximadamente) el intervalo en el que esta definida la solución.




En los problemas 1:30 use el método que se analizó en la solución de ecuaciones homogéneas y reducibles a la forma homogénea para solucionar cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.




En cada uno de los siguientes ejercicios 1:30 a) Determinar si las ecuaciones diferenciales son exactas, si lo son, entonces: b) Resolver la ecuación, c) con una computadora represente cada una de las soluciones.




Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1:20 usando un factor de integración (determinar) apropiado:

Determine las soluciones de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1:30, si se da una condición inicial, determine la correspondiente solución particular, en todos los problemas mencionados las primas significan derivadas.




Resolver (1:30) las siguientes ecuaciones diferenciales de tipo Bernoulli, encontrar solución general y particular de los problemas propuestos.




En los siguientes problemas implemente el método de Riccati para encontrar una segunda solución de la ecuación diferencial proporcionada.




En los problemas siguientes se proporciona una ecuación diferencial y una solución . Utilice el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente




En los siguientes problemas, primero; verificar que las funciones que se proporcionan son soluciones de la ecuación diferencial, calcular el wronskiano de las soluciones e indicar si es linealmente dependiente o independiente, posteriormente determinar una solución particular de la forma , que satisfaga las condiciones iniciales proporcionadas.




En los problemas siguientes use el método de coeficientes constantes para determinar una solución general y particular de la ecuación diferencial sujeto a condiciones iniciales




En los problemas siguientes use la técnica del método de Cauchy-Euler para determinar solución general y particular de las ecuaciones diferenciales.




En los problemas siguientes use el método de coeficientes indeterminados para determinar solución general y particular de las ecuaciones diferenciales sujeto a condiciones iniciales.




En los siguientes problemas use el método de variación de parámetros para hallar una solución general de la forma de la ecuación diferencial proporcionada sujeto a condiciones iniciales




ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMATICOS:En los siguientes problemas describir el comportamiento o fenómeno físico y determine su

solución en base a la construcción del modelo.

1.- La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a la cantidad de bacterias presentes en el tiempo t. Después de 5 horas se observó que están presentes 600 bacterias. Después de 25 horas hay 6000 bacterias. ¿Cuál fue el número inicial de bacterias?

2.- El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este isótopo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%?

3.- El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, muchas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. En 1988 el




Vaticano concedió permiso para datar con carbono el sudario. Tres laboratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenia una antigüedad de 660 años (no real), una antigüedad consistente con su aparición histórica. Usando esta antigüedad determine que porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988.

4.- Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de 24 horas.

5.- Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 75°F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 15°F después de medio minuto el termómetro marca 65°F ¿Cuál es la lectura del termómetro en t = 1 minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar 35°F.

6.- Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de 30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?

7.- Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego de un minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál es la temperatura del horno?

8.- Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0° C y a 100° C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 100° C, se sumerge dentro del tanque A, después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90° C, después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10° C ¿cuanto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomara a la barra alcanzar los 99° C?

9.- Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70° F, al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determino de 85° F, una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F. suponga que el tiempo de la muerte corresponde a y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° F. determine ¿Cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [sugerencia: sea denote el tiempo en que se encontró el cadáver.]

10.- Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el que se han disuelto 30g de sal, salmuera que contiene 1g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo . 11.- Un tanque grande se llena parcialmente con 100 galones de fluido en los cuales están disueltas 10 libras de sal. Al tanque se bombea salmuera, conteniendo ½ libra de sal por galón, a velocidad de 6 gal/min. Encuentre la cantidad de libras de sal presentes en el tanque después de 30 minutos.

12.- Un tanque grande se llena a toda su capacidad con 500 galones de agua pura. Hacia el tanque se bombea salmuera conteniendo 2 libras de sal, a velocidad de 5 galones por minuto. Perfectamente mezclada, la solución se bombea hacia fuera a la misma velocidad. Encuentre la cantidad de libras de sal presentes en el tanque en el tiempo , ¿Cuál es la concentración de sal en el tanque en el tiempo ¿en t=5 minutos? ¿Cual es la concentración de sal en el tanque después de un largo tiempo,




es decir cuando ? ¿En que tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor limite? 13.- Resolver el problema 11 bajo el supuesto de que la solución se bombea hacia fuera a una mayor velocidad de 10 gal/min, ¿Cuándo se vacía el tanque?

14.- En las exposiciones grupales se determino que una ecuación diferencial que describe la velocidad de una masa cayendo sujeto a consideraciones de resistencia del aire, la cual es proporcional a la

velocidad instantánea, es , donde es una constante de proporcionalidad. ¿Qué tal

alto? (Sin resistencia del) suponga que una bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de . ¿Que tan alto puede llegar la bala? Esta respuesta depende de si se toma en cuenta la resistencia del aire. a) suponga que se ignora la resistencia del aire, si la dirección positiva es ascendente, entonces el modelo para el estado de la bala de cañón estará dado por y dado que , esta ultima ecuación diferencial es igual a , de donde tomamos que . Encontrar la velocidad de la bala de cañón en el tiempo . b) Utilizar el resultado para determinar la altura de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo, determinar la altura máxima que alcanzo esta bala.

15.- Repetir el problema 13, pero ahora considerando que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por la bala de cañón debe ser menor que la de la parte del inciso (b), demostrar esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es .

16.- Un paracaidista pesa 180 libras, y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 50 libras. Después de salir del avión a una altitud de 15000 pies, espera 25 segundos y abre su paracaídas, considere que la constante durante la caída libre y después de abrirse el paracaídas, ¿Cuál es su velocidad y cuan lejos se ha trasladado el paracaidista después de 48 segundos después de abandonar el avión? ¿Cómo se compara su velocidad a 48 segundos con su velocidad terminal? ¿en cuanto tiempo llegara al suelo? [sugerencia: piense en términos de dos problemas de valor inicial distintos].

17.- A medida que una gota de lluvia cae se evapora, pero mientras eso sucede conserva su forma esférica. Si suponemos adicionalmente que la velocidad de evaporación de la gota de lluvia es proporcional a su área superficial y la resistencia del aire es insignificante, entonces un modelo de velocidad de la gota es

aquí es la densidad del agua, es el radio de la gota de lluvia cuando , es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se toma como positiva.

a) Resolver para si la gota cae desde el reposo.b) Demostrar que el radio de la gota en el tiempo es c) Si y , 10 segundos después que la gota cae de una nube, determinar el

tiempo en que la gota se vaporara por completo.




18.- Cierto modelo matemático de la tasa a la que un medicamento se difunde en el torrente sanguíneo esta dado por donde y son constantes positivas. La función describe la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo en el tiempo . a) resolver la ecuación diferencial sujeto a condiciones iniciales de la forma trazar una grafica de ¿en que tiempo la concentración es la mitad de este valor limitante?

19.- Considere que un cuerpo moviéndose con velocidad encuentra una resistencia de la forma

. Demostrar que y que

Observe que bajo una resistencia elevada a la 3/2 el cuerpo se desvía solamente una distancia finita antes de que se detenga.

20.- Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es de 16Lb/pie. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple?

21.- Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación del movimiento.

22.- Una masa que pesa 20 libras alarga 6 pulgadas un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto 6 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando ? c) ¿en que tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio?

23.- Una masa que pesa 16 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s. a) Encuentre la ecuación de movimiento b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? c) ¿Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al final de segundos?

24.- Presuma que la Tierra es una esfera sólida de densidad uniforme, con masa y radio . Para una partícula de masa dentro de la tierra a una distancia desde el centro de la

misma, la fuerza gravitacional que atrae a hacia el centro es , donde es la masa de la parte de la Tierra contenida en una esfera de radio . a) Muestre que b) Ahora suponga que se perfora un pequeño agujero directamente hacia el centro de la Tierra para conectar dos puntos opuestos de su superficie. La partícula de masa se suelta en el tiempo dentro de este hoyo con velocidad inicial cero, y sea la distancia desde el centro del planeta en el tiempo (ver figura). Concluya, a partir de la segunda ley de Newton y del inciso a), que , donde . c) Considere , y concluya del inciso b) que la partícula experimenta un movimiento armonico simple de un lado a otro entre los puntos extremos del agujero, con un periodo de alrededor de 84 min.




d) Obtenga (o demuestre) el periodo de un satélite que pasa justo rozando la superficie de la Tierra, comparar con el resultado del inciso c), ¿Cómo explicar la coincidencia? ¿Es realmente una coincidencia?. e) ¿con que velocidad (en mi/h) la partícula pasa a través del centro de la Tierra? f) Obtenga (o demuestre) la velocidad orbital de un satélite que pasa justo rozando la superficie del planeta; compare con el resultado del inciso e) ¿Cómo explica la coincidencia? ¿Es realmente una coincidencia?.

Fig. 1 Masa cayendo hacia abajo en un hoyo a través del centro de la Tierra

25.- Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente i(t) si i(0)=0 Determine la corriente cuando

26.- Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10-4 farad. Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(o)=0

27.- Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 x 10 - 6 farad. Determine la carga q(t) en el capacitor si i(0)= 0 .4 determine la carga y la corriente en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando

28.- En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980 y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el año 2020 suponiendo que siga esta tendencia?

29.- Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la corriente inicial es cero.


R



30.- Considere un circuito ; esto es, un circuito RCL con y un voltaje de entrada . Muestre que se presentan oscilaciones no acotadas de corriente para una cierta

frecuencia de resonancia; exprese estas frecuencias en términos de y de .

TRANSFORMADAS DE LAPLACEImplemente la definición de transformadas de Laplace para solucionar las siguientes

funciones




En los problemas siguientes use la definición de transformada de una función continua por tramos para determinar , en cada caso, determine si es continua, continua por secciones o ninguno de los dos, en el intervalo proporcionado de la forma .

Determine la de las graficas siguientes; los intervalos son arbitrarios.




Aplique el teorema de traslación para determinar las transformadas de Laplace de las funciones en los problemas siguientes.


f(t)

t

f(t)

t

f(t)

t

f(t)

t

f(t)

t



En los problemas siguientes 1:20 determine la transformada inversa de Laplace




En los siguientes problemas aplicar el teorema de transformadas de integrales de Laplace para calcular la inversa de las siguientes funciones

En cada uno de los problemas sugeridos use la linealidad de la transformada de Laplace, así como el desarrollo en fracciones parciales para determinar la transformada inversa de Laplace




En los siguientes problemas use la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones con coeficientes constantes sujeto a condiciones iniciales



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