PROBLEMARIO ECUACIONES DIFERENCIALES

ACADEMIA: GEOFISICA, FORMACION BASICA DISCIPLINARIA

Autor: M. en C. ARTURO HERNANDEZ ROSALES ESIA U. TICOMAN IPN [email protected]

PROBLEMARIO DE: ECUACIONES DIFERENCIALES AREA: CLIMATOLOGIA, DINAMICA E INESTABILIDAD DE LA ATMOSFERA En los siguientes problemas determine el orden, grado y tipo de la ecuación diferencial:

txdtdx

dtxd 3cos2943.1 2

2

=++− (Vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología)

022.2 2

2

=+−− ydxdyx

dxyd (Ecuación de Hermite, mecánica cuántica, oscilador armónico)

)31()32(.3yxxx

dxdy

−−

=− (Competencia entre dos especies, ecología)

0.4 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

−yu

xu (Ecuación de Laplace, teoría de potencial, electricidad, calor, aerodinámica)

ctespkpPkpdtdP y ),(.5 −=− (Curva logística, epidemiología, economía)

)1)(4(.6 xxdtdx

−−=− (Velocidad de reacción química)

cteccdxdyy , ,1.7

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+− (Problema de la braquistocrona, calculo de variaciones)

021.8 2

2

=+−−dxdyx

dxydy (Ecuación de Kiddler, flujo de un gas a través de un medio poroso)

0.9 2

2

=++− xydxdy

dxydx (Aerodinámica, análisis de tensión mecánica)

)1(8.10 4

4

xxdxyd

−=− (Deflexión de vigas)

ctekkNrN

rrN

tN ,1.11 2

2

+∂∂

+∂∂

=∂∂

− (Fisión nuclear)

09)1(1.0.12 22

2

=+−−− ydxdyy

dxyd (Ecuación de Van der Pool, válvula triodo)

Averiguar si las siguientes funciones son solución de la ecuación diferencial correspondiente:

1).- xcey = de 0´ =−yy

2).- xxx eyyeey =++= − 2´ de 312 2

3).- 3

64´ de ln8xxycxy =+=

4.- 02''' de e2x21 =−−+= − yyycecy x

5).- 0'2'' de e8 x =+−+= yyyxey x

6).- xyysenxy cos' xde 3x

=+=

7).- 0tan' de 0cosx

1=−=− xyyy



8).- 23' de 23x

3 yyy =+

−=

9).- xxyyxcy =+−+= ')x-(1 de 11 22

10).- 32 84'y de 12 xxyxxy −=−= 11).- 05'8''4 de

21cos =++= − yyyxey x

12).- xeyyxey xx

21cos''' de

21cos

2 −− =+=

13).- tey

xyytx

=

=−

+= 01

' de cos3

14).- xxxyyxxy sectan' xde

cos2=−=

15).- senty

xytx2

04'y de cos=

=+=

16).- 0lntan' xde 21

=−=−

yyyey xsen

at

at

ebceacPsibPaP

dtdP

1

1

1 ),(.17

+=−=−

xBxAyyyxxyxxyyxyyx

xxy

xyyxyyx

xx

yxxyxyxyyx

xyxyy

xxyxxyxyyxeyxeyyyy

xeyeyyyyeeyeyyeyeyyy

xyxyyyeyyy

xyxy

xx

xx

xxx

xx

x

3sin3cos ;09'' .30)sin(ln),cos(ln ;02''' .29

ln,1 ;04'5'' .28

ln1,ln ;ln''' .27

11 ;02' .26

2cossin,2coscos ;2cos3'' .25sin,cos ;02'2'' .24

, ;04'4'' .23 ,2' .22

, ;9'' .21

2sin ,2cos ;04'' .203 ;02' .19

7 ;3' .18

212

22212

212

22

21

21

22

21

32

31

21

2

32

+==+−

===+−−

===++−

−=−==−+−

+==+−

−=−==+−

===+−−

===++−

−=+=−

===−

===+−

==+−

+==−

−−

−−

−

−



En cada uno de los problemas del 1: a) resolver la ecuación diferencial respectiva, b) determinar la solución del problema con valor inicial indicado en forma explicita, c) graficar la solución y d) determinar (al menos aproximadamente) el intervalo en el que esta definida la solución.

1)0( ,arcsin)1(.20 3/)2/( ,03cos2sin.191)0( ),43/()('.18 1)0( ),52/()3('.172/1)0( ,4/)1('.16 0)2( ),21/(2'.15

1)0( ,)1('.14 2)0( ),/(2'.132)1( ,//.12 1)0( ,0.11

2)1( ,)21('.10 6/1)0( ,)21('.9

3/1)3( ,1

.8 5)2( ,'.7

2/5)0( ,)1('.6 2)0( ),2)(cos(cos'.50)1( ),23/()13('.4 3)2( ,0sin'.3

1)2( ),1(/'.2 3)0( ,/'.1

2/122

2

32

2/1232

2

2

2

2

2/1222

22

222

==−−==+−

=+−=−=−−=−

−=+=−=+=−

=+=−−=+=−

==−==+−

−=−=−−=−=−

−=+

=−−=+−

=−

=−=−==−

=+−=−==+−

=+=−==−

−

−

−

−

yxdxdyxyyydyxdxyyeeyyyexy

yyxxyyyxy

yxxyyyyxyxyrrddrydyyexdx

yyxyyyxy

yyx

dxdyy

eyexy

yyxyyyxyyyxyyxyy

yxyxyyyxy

xxx

x

y

x

ππ

θθ

2)5( ,16

'2.40 2/)2/( ,tan.39

4/)4( ,cos'2.38 0)0( ,3'.37

1)2( ,32sin'.36 1)0( ,0ln.35

)( ,0'.34 5)2( ,3322'.33

3/2)1( ,5432'.32 0)2( ,'.31

1)2( ,'.30 1)0( ,)1(4.290)0( ,)cos1(sin)1(.28 2/)( ),cos2(cossin'.27

3)0( ,842

33'.26 2/1)0( ,)1()(.25

3/2)1( ,0)(cos2sin.24 5)0( ,0)1()1(.23

4)0( ,1ln.22 1)2( ,1

'.21

2

23/12

2

22

22/12

2

22

232

222

=−

=−==−

==−==−

−=−=−==−−

===−=−+−−−+

=−

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=−=+=−

−=−=−=+=−

=+=+−=−=−

=−+−−−+

=−=+=−−

==−+−==+++−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−=

+=−

−

−

−−−

−

−−

yxxyyyye

dxdyx

yyyxyxyex

yxyyyxdyydxy

yytgxyyxyxyxyxyy

yxyyyeeye

yxyyyxydxyxydyydyxxdxeyyyxy

yyxxyyxxyyyy

dxdyyxy

ydyyexxdxeydyeedxee

yxy

dxdyxyy

xyxy

y

y

yxyx

y

yyxxyy

ππ

π

ππ

ππ



En los problemas 1:30 use el método que se analizó en la solución de ecuaciones homogéneas y reducibles a la forma homogénea para solucionar cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 0)1(4132.30 24

1.29

0122.28 64.27

32412.26

112.25

64.24

32512.23

42.22

72.21

18'.20

86'.19

4723'.18 1'.17

042.16 0132.150241.14 01221.13

sin'.12 5.11

2.10 1'.9

1lnln'.8 3

.7

/sec.6 .5

02.4 0.30.2 03.1

3

2

22

222

2222

221322

=+−−+−++−+

=−

=−+−−−+++

=−

+−+−

=−+−+

=−

−−++

=−+−+−

=−

−+++

=−+−−−

=−

−−+−

=−+++−

=−

++−+

=−−++

=−

=+−+−+−=−+++−−

=+−+−−−=−++−+−

−=−+−=−

++=−−+=−

+−=−

−=−

+=−

++=−

=++−=+−−

=−+−=−+−− −

dyxdxyxyxyx

dxdy

dyydxyxyxyx

dxdy

xyyx

dxdy

yyx

dxdy

yxyx

dxdy

xyyx

dxdy

yxyx

dxdy

xyxy

dxdy

xyxyy

yxyxy

yxyxy

yxyxy

dyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyx

yxyyxdxdy

yxdxdyyxy

xxyyy

xyyx

dxdy

yyddy

txxttx

dtdx

xydydxyxdyxdxxyydyxdxyxydyyxxydxyx

θθθ

θ



En cada uno de los siguientes ejercicios 1:30 a) Determinar si las ecuaciones diferenciales son exactas, si lo son, entonces: b) Resolver la ecuación, c) con una computadora represente cada una de las soluciones.

[ ]

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ππ

π

ππ

ππ

π

π

π

π

ππ

==−−+−

=−=++−−

=−−

−=−

−==−++−

−==++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

==++−

−==+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−

==+++−

==+++−

=−=++−

==++−+−

==−−

==−++−

==−++−

=+−=+−

=++

−=−

−==+++−

==++−−

==++−−

==+++−

−==++−−

==−+−+−−

==−−++−−

)4/(,0sin33sin.280)(,0cos2cossin2sin.27

1)0(,3224'.26

2)1(,0')2()32(.25

4)2(,0121

.24

0)2(,0cos12cos2.23

2)0(,011.22

0)0(,0)sincos()cos(.21

3)3(,0211.20

0)0(,021

21.19

5)2(,0)(

1)(

1.18

0)1(,012

1.17

3/)(,0)cos()sin2(.160)0(,0)cos()sin2(.15

)4/(,0)cos()sin(.140)(,0))(cos(1)cos(.13

0)0(,0)sin()cos(.12)0(,0)2cosh()2cosh(.11

0)3/(,0)sin1cos()sin(sin.10

1)0(,)cos3()cos3(.9

0)2/(,)sin9()sin6('.8

2/)(,0)cos1()cos1(.7

4)1(,0)11()1(.6

0)2(,0)1()(.5

1)0(,0)()(.41)2(,0)28()316(.3

3)1(,0)43()3442(.21)0(,0)561()252(.1

22

2

2

2

2/3

2/3222/322

2

2

22

22

3

//2

//

22

223

ydyyexdxyyeydyxyedxxyye

yyxyxy

yyyyx

ydyxdxxx

xy

ydyxy

xydx

xy

xyx

ydyxey

dxyex

ydyyxyxdxxyy

ydyxydx

xy

ydyy

xdxyx

ydyyxydx

yxx

ydyyxdxy

ydyxeyxdxyeyxydyeyxdxyeyx

ydyeyedxyeydyyxdxyx

ydyyedxyeydyyxyxdxxxyy

ydyxy

xyxdx

xy

xyy

ydxxyyxdyxyxy

yxyxyxxyyxyy

ydyxyxdxxyy

ydyex

dxexy

ydyex

xdxexyy

ydyxedxyeydyyxdxxxy

ydyxyxdxxyxyydyxydxyx

xx

xx

xyxy

xyxy

xyxy

yxx

xx

xyxy

xyxy

yx

( ) ( )

4)3(,0)()(

.30

0)0(,032cos22sin22cos.29

2/3222/322 −==+

++

−

==−++−−

yyxydy

yxxdx

ydyxxedxxxexye xyxyxy



Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1:20 usando un factor de integración (determinar) apropiado:

( )

( )

( ) ( )

( ) ππ ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−−

==−+++−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−

==++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

==−+−−

==+++−

−==++++−

==−−++−

==+++−

==+−

)(,02cossin.10

0)3/2(,022ln1.9

3)2/3(,03ln11.8

5/4)3(,0ln112.7

1)2(,0)42()46(.63)2(,0)63()2(.51)2(,0)2()(.4

0)0(,0)2()(.3

4)2(,0)2(.22)0(,0)()sin(.1

2

32

2

33422

324

2

22

2

ydyxyxdxyx

ydyyxdxxxyy

ydyyxdxxy

y

ydyxyx

dxxy

ydyxyyxdxyyxydyxyxdxyxyydyyxdxyyxy

ydyyyexydxye

ydydxxyydyxydxxx

yx

( )

1)2(,4'.205/4)2(,sec5'.19

2)4(,sin3'.186)0(,53'.171)3(,232'.162/)(,coscos'.15

3)2/1(,3'.142/3)1(,'.13

2)2(,0.12

0)0(,0383.11

3

26

4

25

2

22

2

−=−=+−

==−−

=−=−−

=+=−−

=−+=−−

==+−

==+−

−==−−

−==−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

==+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

− yexyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxxyxyyxyxy

yxyxyyeyy

ydydxxyx

ydydxxy

x

x

ππ



Determine las soluciones de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1:30, si se da una condición inicial, determine la correspondiente solución particular, en todos los problemas mencionados las primas significan derivadas.

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) 2)0(,0tansin2cos1.302/)(,01cos)sin(cos.29

0)0(,2sin1'.28

3)0(,121.27

22'1.26)2('.25

1)0(,cos)(tan'.242)0(,2'.23

13'.221)0(,63'1.21

1)0(,3'4.20432'.19

5)0(,32'.18

0)2(,cos3'.170)0(,1'.16

coscos'.15cos2'.14

1)0(,cos'1.132)(,cos1'.12

0)1(,3'.1193'2.10

7)1(,'.93'3.84'.7

5)2(,25'.63)1(,32'.5

2'.4

23'.35)0(,32'.2

0)0(,2'.1

32

22

2

2

23

3

23

32

2

4

2

4

3

2/3

2

3

32

3

2

2

2

2

==−+−−

==−+−

==++−

−=+=+−−

=+++−

=++−

−==+−

=−+=−

=++−

==++−

==++−

=−+−

=+=−

=+=−

=+++=−

=+−

+=−

==++−

=−=−

==+−

=−−

==−−

=+−

=+−

==+−

==+−

=−−

=+−

==−−

==+−

−

−

−

−

−

−

−

ydxxxydyxydxxydyxx

yxeyxxy

yxydxdyx

xeyxyxeyxxyxyxyxyyeexyy

eyxxyyxeyxyx

yxxyyxxyxxyyexxyy

yxxyxyyxyyxyxxyyxxyxyyxyyx

yxyyyxyyxyxyxy

yxyxyeyxyxyxy

yxyxyyxyxxy

exyy

xeyyyexyy

yxyy

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

ππ

π

π



Resolver (1:30) las siguientes ecuaciones diferenciales de tipo Bernoulli, encontrar solución general y particular de los problemas propuestos.

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) 3/2)0(,32.30 2)0(),1(3243.29

2)0(,1.28 )cos()sin(.27

3)0(,4')2(.26 0)0(,54

2'.25

3)2(

.24 0)1(,0.23

5/4)0(,2.22 1)3(,.21

2)0(,0.20 0)2(,252

.19

2)3(,2

2.18 0)2(,.17

2)0(,.16 0)1(,2'3.15

2)3(,2'.14 2)0(,4'2.13

1)0(,'.12 5)0(,23

)2(1'.11

7)2(,2.10 2)0(,2.9

0)5(,1213.8 3/1)2(,1.7

3/2)2(,.6 0)1(,11.5

1)0(,32.4 3)0(,.3

1)2(,1.2 2)0(,1.1

2323

7/35

31352

9/532

3

2

22

7/39/7

7/52/332

3273

2/13/52

7/435/65/3

3/7

5/37/62/32/1

323/2

22

4222

32

−==+−−=−=+−

−==+−−=+−

==−+−==+

+−

=−

+−=−=++−

−=+

=−−==+−

==++−=−−=−

+−

=−+

=−=−=−−

==+−=−=−−

=−=−−−==++−

==+−−==+

+−

−=−=−=−=+−

=−=+−=−=+−−

==−−==+−

−==−−==+−

−=−=−==+−

−−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

vxvdxdvxvyyyt

dtdyt

yxyyxdxdyxyyx

dxdyx

yyxxyyxyyxyxxy

xxx

dxdyyxy

dxdy

rrrddryyey

dxdy

ttxtx

dtdxyyx

xy

dxdy

yyxxy

dxdyyyey

dxdy

yyxxy

dxdyyyxyxy

yxyxyyyxyxyyx

yxyyxyyyxyx

y

yyx

xy

dxdyyyy

dxdyxy

yyxydxdyxyxyyx

dxdyx

yyeydxdyy

dxdyxyxy

yyxydxdyxyxyy

dxdyx

yxyydxdyy

yy

dxdyx

x

x

x

ψψψ

θθ

θ



En los siguientes problemas implemente el método de Riccati para encontrar una segunda solución de la ecuación diferencial proporcionada.

( )

1,1.5

2,56.4

,21.3

2,14.2

2,2.1

12

12

132

12

2

12

=+−−=−

=++=−

−=+++=−

=+−−=−

=+−−=−

yxyyxdxdy

yyydxdy

eyyyeedxdy

xyyy

xxdxdy

yyydxdy

xxx

xyxydxdy

yxxyydxdy

xyyxydxdy

xyyyxxdxdy

xyyyx

xdxdy

2,24.10

2,42.9

2,22.8

tan,)(tansec.7

,212.6

122

12

12

122

122

=+−=−

−=−++=−

=+−=−

=+−=−

=−+=−

xxy

xyxyxy

xxyxyxx

y

=+−=−

=−+=−

)(,)('.12

)(,1'.11

123

1523



En los problemas siguientes se proporciona una ecuación diferencial y una solución )(1 xy . Utilice el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente

xxyxyxyyxexyxyyxyxxxyxyxyxxyx

exyyyyxxyxyxyyxxxyxyxyyx

x

x

=<<−=−++−

=−>=++−+−

=>=+++−−

==+−−

=>=+−−

=>=−+−

)( );11( 02'2'')1(.6

)( );1( 0')2('')1(.5

)( );0( 0)2(')2(''.4

)( ;0'4''4.3

)( );0( 09'5''.2

)( );0( 09'''.1

12

1

12

2/1

31

2

31

2

xexyyyyy ==+−−− )( ;06'5''2'''.7 1

)cos(ln)( ;05'3''.21

)sin(ln)( ;02'''.20

ln)( ;0''4.19

ln)( ;0'''.18)( ;06'2''.17

)( ;016'7''.16

)( ;0'''6.15

)( ;04'12''9.14

)( ;025''.13

cosh)( ;0''.123sin)( ;09''.11

4cos)( ;016''.10)( ;0'2''.9

)( ;04'4''.8

21

21

2

2/11

21

21

2

41

2

3/1

3/21

51

1

1

1

1

21

xxxyyxyyxxxxyyxyyx

xxxyyyxxxyyxy

xxyyxyyxxxyyxyyx

exyyyyexyyyy

exyyyxxyyyxxyyyxxyyy

xexyyyyexyyyy

x

x

x

x

x

==+−−

==+−−

==+−

==+−

==−+−

==+−−

==−+−

==+−−

==−−

==−−

==+−

==+−

==++−

==+−−−

xxxyyxxyyx

xxyyxyyxxyxyyx

xxyyyxyxx

cos)( ;0)41('''.25

)( ;02'2'')1(.24

1)( ;0'2'')1(.23

1)( ;02')1(2'')21(.22

2/11

22

12

12

12

−==−++−

==+−−−

==+−−

+==−++−−−



)( ;0'2''.36

0 )( ;0132

2'132

2''.35

0 )( ;0)21(')2(1''.34

20 )( ;0)2tan2(')2tan2(''.33

0cosx x

1)( ;0)11('1''.32

0 )( ;0)21(')21(''.31

)( ;012

4'12

4''.30

11 )( ;01

2'1

2''.29

0 )( ;01

2'1

2''.28

0 )( ;08'1''.27

0 )( ;04'3''.26

12

122

2

12

12

12

122

122

122

412

212

axexyyaayy

xxxyyxx

yxxxy

xxxyyxx

yxx

y

xxxyyxx

xyx

xy

xxyyx

yx

y

xxxyyxx

yx

y

xxxyyx

yxxy

xxxyyx

yxxy

xxxyyx

yxxy

xxxyyx

yx

y

xxxyyx

yx

y

−==++−

>∀==++

−++

+−

>∀==+++−−

<<∀==++++−

>∀==−++−

>∀==−−−+−

∀==+

++

−−

><−∀==−

−−

+−

>∀==+

++

−−

>∀==+−−

>∀==+−−

π



En los siguientes problemas, primero; verificar que las funciones que se proporcionan son soluciones de la ecuación diferencial, calcular el wronskiano de las soluciones e indicar si es linealmente dependiente o independiente, posteriormente determinar una solución particular de la forma )(...)()()( 2211 xycxycxycxy nnp +++= , que satisfaga las condiciones iniciales proporcionadas.

3)1(',2)1( );sin(ln),cos(ln ;0'''.12

15)2(',10)2( ;, ;06'2''.11

0)0(',2)0( ;2sin,2cos ;013'6''.10

13)0(',3)0( ;, ;025'10''.9

2)0(',4)0( ;,1 ;0'3''.8

8)0(',2)0( ;,1 ;0'''.7

1)0(',7)0( ;, ;0'6'''.6

0)0(',1)0( ;, ;02'3''.5

10)0(',10)0( ;5sin,5cos ;025''.48)0(',3)0( ;2sin,2cos ;04''.3

15)0(',1)0( ;, ;09''.2

5)0(',0)0( ;, ;0''.1

212

32

21

2

32

31

52

51

321

21

32

21

221

21

21

32

31

21

=====++−

=====−+−

=====++−

=====+−−

−=====−−

=−====+−

−=====−+−

=====+−−

−=====+−

=====+−

=−====−−

=====−−

−

−−

−

−

−

−

yyxyxyyxyyxyyxyxyyxyyx

yyxeyxeyyyyyyxeyeyyyy

yyeyyyyyyeyyyy

yyeyeyyyyyyeyeyyyy

yyxyxyyyyyxyxyyy

yyeyeyyyyyeyeyyy

xx

xx

x

x

xx

xx

xx

xx

11)1('',5)1(',1)1( ;ln)(,)(,)( ;04'4''6'''.20

22)1('',14)1(',6)1( ;)(,)(,)( ;06'6''3'''.19

0)0('',0)0(',1)0( ;sin)(,cos)(,)( ;02'4''3'''.18

2)0('',1)0(',3)0( ;3sin)(,3cos)(,1)( ;0'9'''.170)0('',4)0(',1)0( ;)(,)(,)( ;04'8''5'''.16

0)0('',0)0(',2)0( ;)(,)(,)( ;0'3''3'''.15

3)0('',0)0(',0)0( ;)(,)(,)( ;06'11''6'''.14

0)0('',2)0(',1)0( ;)(,)(,)( ;02'''2'''.13

23

221

23

33

221

23321

321

23

221

2321

33

221

2321

−=======−++−

=======−+−−

=======−+−−

=−======+−

=======−+−−

=======−+−−

=======−+−−

=======−−+−

−−

−−

yyyxxxyxxyxxyyxyyxyxyyyxxyxxyxxyyxyyxyx

yyyxexyxexyexyyyyyyyyxxyxxyxyyy

yyyxexyexyexyyyyyyyyexxyxexyexyyyyyyyyexyexyexyyyyyyyyexyexyexyyyyy

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx



En los problemas siguientes use el método de coeficientes constantes para determinar una solución general y particular de la ecuación diferencial sujeto a condiciones iniciales

3)0('',1)0(',0)0( ;06'5''2'''.200)0(',1)0( ;03'4''4.19

0)0('''',1)0(''',2)0('',1)0(',0)0( ;05'''10'''''''5'''''.187)0('',3)0(',4)0( ;018''7''''.17

8)0('',3)0(',2)0( ;09''24''''16.163)0('',1)0(',9)0( ;0''2''''.15

9)0('',8)5(',3)0( ;0'''''''''.149)0('',2)0(',5)0( ;08'12''6'''.13

7/9)0('',7/3)0(',3)0( ;01'3''3'''.129/4)0(',8/3)0( ;04'''''.11

7)0(',2/3)0( ;025'10''.103/5)0(',7/3)0( ;02'3''.9

1)0(',6)0( ;036''.85/6)0(',3)0( ;0'2''3.75/9)0(',2/3)0( ;05'4''.6

9/7)0(',7/4)0( ;09''.59)0(',2/5)0( ;02'5''12.45/6)0(',2)0( ;016'8''.3

7)0(',4)0( ;06'''.23/8)0(',5/1)0( ;0'''4.1

−=−===+−+−

===−−−

=−=−=−===++−−+−

−=−=−==−−−

−=−===++−

=−=−==+−−

−=−=−==+−−

−=−=−==−+−−

−=−=−==+++−

−===−−−

−=−==+−−

−=−==+−−

−=−==−−

−=−==++−

===+−−

−===+−

−===−−−

−=−==++−

−===−−−

=−==+−

yyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyyy

xxxxxyyyyy

yyyyyyyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyyyy

4)0(',7/3)0( ;04'2''.307)0(',4)0( ;04'4''.29

8)0(',1)0( ;04''.285)0(',0)0( ;03'2''.27

2)4/(',2)4/( ;02'2''.262)0(',3)0( ;025.1'''.254)3/(',2)3/( ;0''.24

2)2/(',0)2/( ;05'2''.230)0(',1)0( ;05'4''2.22

1)0(',0)0( ;04''.21

−=−==++−

−===+−−

−=−==+−

−===−+−

−===++−

===++−

−===+−

===+−−

===++−

===+−

yyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyy

yyyyyyyyy

ππ

ππππ

7/5)0(',7)0( ;04''4.407/9)0(',2/7)0( ;04'''2.39

5/4)0(',7/6)0( ;0'5''6.387/5)0(',3)0( ;04'12''9.379/4)3(',7/3)3( ;09'6''.36

3/2)0(',7/5)0( ;0'''.352)0(',5/2)0( ;05'4''.343/1)0(',9/8)0( ;02'''.33

9/6)0('.6)0( ;03'2''.327)1(',4)1( ;06'''.31

−===+−−

−=−==−+−

−===+−−

=−==+−−

=−==+−−

−=−==++−

−===+−−

−===−−−

−===+−−

===−−−

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy



En los problemas siguientes use la técnica del método de Cauchy-Euler para determinar solución general y particular de las ecuaciones diferenciales.

4/7)1(',4/3)1( ;06'''.207/5)2(',4/3)2( ;0'''.19

5)2(',4)2( ;041'7''.183/7)1(',5/4)1( ;0'6''3.177/6)1(',6/1)1( ;06'8''.16

3/7)3(',4)3( ;04'5''.152/5)1(',2/3)1( ;0'4''4.14

12)1(',0)1( ;04'3''.135)1(',4)1( ;03'5''.12

5)2(',7/1)2( ;02'3''.113/5)3(',4)3( ;04'''.10

5)1(',4)1( ;02''.9013'13''2'''.8

04'4''2'''6''''.7;02'2'''''.6

5)1(',4)1( ;05'3''.54)1(',3)1( ;017'9''.4

2/5)1(',7/3)1( ;06'3''.3

5/3)0(',3)0( ;062.2

5)1(',4)1( ;07'7''.1

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

23

234

23

2

2

2

2

22

2

===−−

−=−==−+−

−=−==++−

−=−==++−

−=−==++−

−=−==++−

−=−==−+−

===−+−

−=−==++−

−=−==−−−

−=−==++−

−=−==−−

=−+−−

=+−++−

=+−+−

−=−==++−

=−==++−

−=−==+−−

=−==−+−

−=−==−+−

yyyyxyyyxyyxyyyxyyxyyyxyyxyyyxyyx

yyyxyyxyyyxyyx

yyyxyyxyyyxyyxyyyxyyx

yyyxyyxyyyyx

yxyyxyxyxyyxyxyx

yxyyxyxyyyxyyxyyyxyyxyyyxyyx

yyydxdyx

dxydx

yyyxyyx

3/4)2(',9/5)2( ;06'4''.304)1(',7/3)1( ;0''4.29

7/5)1(',9/7)1( ;04'3''.285/6)1(',4/7)1( ;0'''.27

7/5)2(',40)2( ;08'5''.259)1(',5/3)1( ;0'''6''''.24

3)1(',0)1( ;07'5''.234)1(',0)1( ;0'3''.22

020'9''.21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−=−=−=+−−

−=−=−=+−

−=−==+−−

−===++−

−===+−−

−===+−

===+−−

===+−

=−+−

yyyxyyxyyyyx

yyyxyyxyyyxyyxyyyxyyxyyyyxyyyxyyx

yyxyyxyxyyx



En los problemas siguientes use el método de coeficientes indeterminados para determinar solución general y particular de las ecuaciones diferenciales sujeto a condiciones iniciales.

5)0(',2)0( ;16''.100)0('',0)0(',3)0( ;34610163410'3''2'''.9

5)0('',1)0(',4)0( ;24'5''2'''.812)0('',8)0(',2)0( ;22181818'9''2'''.7

2sin26'''4'''.6'3''3'''.5

12'''''.44''3'''.3

sin3'5'''''.26'5''2'''.1

3

222

3

2

3

2

2

−===+−

===++−−=+−−−

−=−==−=+−−

−=−=−=+−−=−−+−

+=−++−

=−+−−

+=−+−

=−+−

+=+−+−

+=+−−−

−−

−

−

−

yyeyyyyyxxexeyyyy

yyyeyyyyyyxxyyyy

xxeyyyyeyyyy

xeyyyeyyy

xeyyyyxeyyyy

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

( )( )

4)0(',5)0( ;3cos6'3''4.307)0(',1)0( ;53'2''3.291)0(';0)0( ;3cos45'2''.28

5)0(',5)0( ;2sin34''.273)0(',1)0( ;33'2''.26

9)0(',6)0( ;4'2''.257)0(',5)0( ;34''.245/3)0(',3)0( ;22'''.232/cosh;2cosh2'''.222/sinh;sinh24'''.21

cos''.20

;cos''.19

5/7)0(',9)0( ;3cos3sin2''.185)0(',2)0( ;3sin3'3''2.17

5)0(',9)0( ;2'2''.161)0(',2)0( ;69''.15

4)0(',3)0( ;3sin43'2''.145/6)0(',5)0( ;33'2''.13

2)0(',3)0( ;4sin35'2''.125)0(',2)0( ;33'2''.11

2

22

2

3

020

20

220

2

52

2

−=−==−+−

−=−=+=+−−

===++−

=−==+−

−==+=−−−

−=−=+=+−−

−=−=+=+−

−===−+−

+==−−−

−==++−

=+−

≠=+−

==+=+−

−==+=++−

−===++−

−=−=+=+−

−=−=+=+−

−==−=−−−

−===++−

−===−−−

−

−

−

−

−

yyttyyyyytyyyyyteyyy

yytyyyyetyyyyyteyyy

yytetyyyytyyy

eettyyyeettyyy

twuwuwwwtuwu

yytttyyyyttyyy

yyeyyyyyetyyyytyyyyteyyyyytyyy

yyeyyy

t

t

t

t

tt

tt

t

t

t

t



En los siguientes problemas use el método de variación de parámetros para hallar una solución general de la forma )()()( xyxyxy hp += de la ecuación diferencial proporcionada sujeto a condiciones iniciales

2/0 ;tansec''''.62/0 ;tan''''.5

'3''3'''.44''3'''.3

'''2'''.24''3'''.1

2

2

πθθθπ<<=+−

<<=+−

=−+−−

=−+−

=+−−

=+−−

yyxxyy

eyyyyezzzxyyyeyyy

x

x

x

3/5)3(',7/2)2( ;643'2''.352/1)0(',5/6)0( ;'3''2.34

)1(2'3''.332sec5'2''.32

3)1(',5/4)2( ;ln'2''.316/5)0(',3)0( ;cscsec''.30

9)5(',4/2)9( ;2'2''.295/7)0(,9/2)0( ;)612(4'4''.28

7/4)0(',5/3)0( ;2'''2.273)0(',1)0( ;''4.26

2sec'4'''.251'4''4.24

sec6'6''3.234''2''2.22

2)2(',3)1( ;ln'2''.219)2(',4)2( ;arctan'2''.20

7)0(',3)0( );sin('2'3''.19

4)2(',2/3)3( ;1

'2''.18

3)1(',3/2)2( ;1

12'3''.17

99''.16

2sinh''.15sec''.14

tansec''.13tan''.12

4''.11

cosh''.10cos''.9

3)0(',1)0( ;sin''.89/7)0(',3)0( ;sec''.7

3

1

22

2

2/

22/

2

3

2

2

2

−===−−−

−=−==++−

+=+−−

=++−

−=−==++−

−===+−

−===+−−

−=−=−=+−−

−==−=−+−

===−−

=+−

−=+−−

=+−−

=++−

−===++−

−=−==+−−

−=−==++−

−=−=+

=+−−

=−=+

=++−

=−−

=−−

=+−

=+−

=+−

=−−

=−−

=+−

=−==+−

−=−==+−

−

−

−−

−

−

−−

−

yyxeyyyyyeyyy

eyyyxeyyy

yyxeyyyyyxxyyyyxyyy

yyexxyyyyyeeyyy

yyxeyyxyy

xeyyy

xeyyyxyyy

yyteyyyyyteyyyyyeyyy

yyxeyyy

yye

yyy

exyy

xyyxyy

yyxyyxeyy

xyyxyy

yyxyyyyxyy

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

t

t

x

x

x

x

x

θθ



ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMATICOS: En los siguientes problemas describir el comportamiento o fenómeno físico y determine su

solución en base a la construcción del modelo.

1.- La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a la cantidad de bacterias presentes en el tiempo t. Después de 5 horas se observó que están presentes 600 bacterias. Después de 25 horas hay 6000 bacterias. ¿Cuál fue el número inicial de bacterias? 2.- El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este isótopo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? 3.- El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, muchas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. En 1988 el Vaticano concedió permiso para datar con carbono el sudario. Tres laboratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenia una antigüedad de 660 años (no real), una antigüedad consistente con su aparición histórica. Usando esta antigüedad determine que porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988. 4.- Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de 24 horas. 5.- Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 75°F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 15°F después de medio minuto el termómetro marca 65°F ¿Cuál es la lectura del termómetro en t = 1 minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar 35°F. 6.- Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de 30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación? 7.- Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego de un minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál es la temperatura del horno? 8.- Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0° C y a 100° C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 100° C, se sumerge dentro del tanque A, después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90° C, después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10° C ¿cuanto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomara a la barra alcanzar los 99° C? 9.- Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70° F, al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determino de 85° F, una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F. suponga que el tiempo de la muerte corresponde a 0=t y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° F. determine ¿Cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [sugerencia: sea 01 >t denote el tiempo en que se encontró el cadáver.]



10.- Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el que se han disuelto 30g de sal, salmuera que contiene 1g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad )(tA de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t . 11.- Un tanque grande se llena parcialmente con 100 galones de fluido en los cuales están disueltas 10 libras de sal. Al tanque se bombea salmuera, conteniendo ½ libra de sal por galón, a velocidad de 6 gal/min. Encuentre la cantidad de libras de sal presentes en el tanque después de 30 minutos. 12.- Un tanque grande se llena a toda su capacidad con 500 galones de agua pura. Hacia el tanque se bombea salmuera conteniendo 2 libras de sal, a velocidad de 5 galones por minuto. Perfectamente mezclada, la solución se bombea hacia fuera a la misma velocidad. Encuentre la cantidad )(tA de libras de sal presentes en el tanque en el tiempo t , ¿Cuál es la concentración )(tc de sal en el tanque en el tiempo t ¿en t=5 minutos? ¿Cual es la concentración de sal en el tanque después de un largo tiempo, es decir cuando ∞→t ? ¿En que tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor limite? 13.- Resolver el problema 11 bajo el supuesto de que la solución se bombea hacia fuera a una mayor velocidad de 10 gal/min, ¿Cuándo se vacía el tanque? 14.- En las exposiciones grupales se determino que una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa cayendo sujeto a consideraciones de resistencia del aire, la cual es proporcional a la

velocidad instantánea, es kvmgdtdvm −= , donde 0>k es una constante de proporcionalidad. ¿Qué tan

alto? (Sin resistencia del aire) suponga que una bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de sftv /3000 = . ¿Que tan alto puede llegar la bala? Esta respuesta depende de si se toma en cuenta la resistencia del aire. a) suponga que se ignora la resistencia del aire, si la dirección positiva es ascendente, entonces el modelo para el estado de la bala de cañón estará dado por gdtsd −=22 / y dado que )(/ tvdtds = , esta ultima ecuación diferencial es igual a gdtdv −=/ , de donde tomamos que 2/32 sftg = . Encontrar la velocidad )(tv de la bala de cañón en el tiempo t . b) Utilizar el resultado para determinar la altura )(ts de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo, determinar la altura máxima que alcanzo esta bala. 15.- Repetir el problema 13, pero ahora considerando que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por la bala de cañón debe ser menor que la de la parte del inciso (b), demostrar esto suponiendo que la constante de proporcionalidad es 0025.0=k . 16.- Un paracaidista pesa 180 libras, y su paracaídas y equipo juntos pesan otras 50 libras. Después de salir del avión a una altitud de 15000 pies, espera 25 segundos y abre su paracaídas, considere que la constante 75.0=k durante la caída libre y 25=k después de abrirse el paracaídas, ¿Cuál es su velocidad y cuan lejos se ha trasladado el paracaidista después de 48 segundos después de abandonar el avión? ¿Cómo se compara su velocidad a 48 segundos con su velocidad terminal? ¿en cuanto tiempo llegara al suelo? [sugerencia: piense en términos de dos problemas de valor inicial distintos].



17.- A medida que una gota de lluvia cae se evapora, pero mientras eso sucede conserva su forma esférica. Si suponemos adicionalmente que la velocidad de evaporación de la gota de lluvia es proporcional a su área superficial y la resistencia del aire es insignificante, entonces un modelo de velocidad )(tv de la gota es

gvrtk

kdtdv

=+

+0)/()/(3

ρρ

aquí ρ es la densidad del agua, 0r es el radio de la gota de lluvia cuando 0=t , 0<k es la constante de proporcionalidad y la dirección hacia abajo se toma como positiva.

a) Resolver para )(tv si la gota cae desde el reposo. b) Demostrar que el radio de la gota en el tiempo t es 0)/()( rtktr += ρ c) Si ftr 01.00 = y ftr 007.0= , 10 segundos después que la gota cae de una nube, determinar el

tiempo en que la gota se vaporara por completo. 18.- Cierto modelo matemático de la tasa a la que un medicamento se difunde en el torrente sanguíneo esta dado por kxrdtdx −=/ donde r y k son constantes positivas. La función )(tx describe la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo en el tiempo t . a) resolver la ecuación diferencial sujeto a condiciones iniciales de la forma 0)0( =x trazar una grafica de )(tx ¿en que tiempo la concentración es la mitad de este valor limitante? 19.- Considere que un cuerpo moviéndose con velocidad v encuentra una resistencia de la forma

2/3/ kvdtdv −= . Demostrar que ktvvtv0

0

14)(+

= y que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+=

2212)(0

00 vktv

kxtx

Observe que bajo una resistencia elevada a la 3/2 el cuerpo se desvía solamente una distancia finita antes de que se detenga. 20.- Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es de 16Lb/pie. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? 21.- Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación del movimiento. 22.- Una masa que pesa 20 libras alarga 6 pulgadas un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto 6 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos st 32/9,4/,6/,8/,12/ πππππ= b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando st 16/3π= ? c) ¿en que tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio? 23.- Una masa que pesa 16 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s. a) Encuentre la ecuación de movimiento b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? c) ¿Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al final de π3 segundos?



24.- Presuma que la Tierra es una esfera sólida de densidad uniforme, con masa M y radio

)(3960 miR = . Para una partícula de masa m dentro de la tierra a una distancia r desde el centro de la misma, la fuerza gravitacional que atrae a m hacia el centro es 2/ rmGMF rr −= , donde rM es la masa de la parte de la Tierra contenida en una esfera de radio r . a) Muestre que 3/ RGMrmFr −= b) Ahora suponga que se perfora un pequeño agujero directamente hacia el centro de la Tierra para conectar dos puntos opuestos de su superficie. La partícula de masa m se suelta en el tiempo 0=t dentro de este hoyo con velocidad inicial cero, y sea )(tr la distancia desde el centro del planeta

en el tiempo t (ver figura). Concluya, a partir de la segunda ley de Newton y del inciso a), que )()('' 2 trktr −= , donde RgRGMk // 32 == .

c) Considere 2/2.32 sftg = , y concluya del inciso b) que la partícula experimenta un movimiento armonico simple de un lado a otro entre los puntos extremos del agujero, con un periodo de alrededor de 84 min. d) Obtenga (o demuestre) el periodo de un satélite que pasa justo rozando la superficie de la Tierra, comparar con el resultado del inciso c), ¿Cómo explicar la coincidencia? ¿Es realmente una coincidencia?. e) ¿con que velocidad (en mi/h) la partícula pasa a través del centro de la Tierra? f) Obtenga (o demuestre) la velocidad orbital de un satélite que pasa justo rozando la superficie del planeta; compare con el resultado del inciso e) ¿Cómo explica la coincidencia? ¿Es realmente una coincidencia?.

Fig. 1 Masa m cayendo hacia abajo en un hoyo a través del centro de la Tierra 25.- Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente i(t) si i(0)=0 Determine la corriente cuando t→∞ 26.- Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 10-4 farad. Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(o)=0

m r RF R



27.- Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 x 10- 6 farad. Determine la carga q(t) en el capacitor si i(0)= 0 .4 determine la carga y la corriente en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando t→∞ 28.- En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980 y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el año 2020 suponiendo que siga esta tendencia? 29.- Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la corriente inicial es cero. 30.- Considere un circuito LC ; esto es, un circuito RCL con 0=R y un voltaje de entrada

wtEtE sin)( 0= . Muestre que se presentan oscilaciones no acotadas de corriente para una cierta frecuencia de resonancia; exprese estas frecuencias en términos de L y de C .



TRANSFORMADAS DE LAPLACE Implemente la definición de transformadas de Laplace para solucionar las siguientes

funciones

( )

tetftetf

ettfttftttftttf

ttfeetf

tetftttf

tttfttf

tttfetf

ettfktetf

tttfettf

tttftetf

ttfettf

ttftetf

ttfttf

ettfetf

tttfttf

tt

t

tt

t

t

tat

t

t

t

t

tt

7cos54)(.30 4sin)(.15

5)(.29 )54sin()(.149164)(.28 2cos2sin)(.13

4sinh)(.27 )()(.12

)(.26 87sin

35cos)(.11

3cos3sin)(.25 )1()(.1037cos

54sin)(.24 1)(.9

)(.23 cosh)(.8

43)(.22 35)(.7

3cos)(.21 8sin)(.6

)1()(.20 )(.5

2cos)(.19 76cos)(.4

5cosh1)(.18 97cos)(.3

2)(.17 )(.2

3)(.16 )(.1

354

92

2

2233

4

3

22

102/3

32/532

3

43

352

223

375

7/3

−−

−

−

−

−−

−

−

−

=−=−

+−=−+=−

++−=−=−

=−−=−

=−+=−

=−+=−

+=−+=−

−=−=−

−=−=−

=−=−

+=−=−

=−=−

+=−=−

−=−=−

+=−=−



En los problemas siguientes use la definición de transformada de una función continua por

tramos para determinar { })(tfℑ , en cada caso, determine si f es continua, continua por secciones o ninguno de los dos, en el intervalo proporcionado de la forma βα ≤≤ t .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<≤−

<

=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<

<<

≤<

=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≤<−

≤≤

=−

⎩⎨⎧

<

≤≤=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≤<

≤≤

=−

⎩⎨⎧

<

≤≤=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<

≤<−

≤≤

=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<−

≤<

≤≤

=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<

≤<−

≤≤

=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<−

≤<+

≤≤

=−

−

−

3 ,432 ,1

2 ,0)(.10

32 ,221 ,110 ,0

)(.9

2 ,121 ,3

10 ,)(.8

1 ,10 ,0

)(.7

2 ,021 ,110 ,0

)(.6

1 ,110 ,

)(.5

32 ,121 ,310 ,

)(.4

32 ,321 ,110 ,

)(.3

32 ,121 ,)1(10 ,

)(.2

32 ,621 ,210 ,

)(.1

2

3

1

2

2

ttt

ttf

ttt

tf

ttttt

tf

tet

tf

ttt

tf

ttt

tf

ttttt

tf

ttttt

tf

ttttt

tf

tttttt

tf

t



Determine la { })(tfℑ de las graficas siguientes; los intervalos son arbitrarios.



Aplique el teorema de traslación para determinar las transformadas de Laplace de las

funciones en los problemas siguientes.

f(t) t f(t) t f(t) t f(t) t f(t) t



[ ][ ]

[ ][ ]

( )

4

3

4

3

4

7

2

2

5/4

47

26

4

3

7/57/6

2/

42/3

2

4

)(.20

)2sin()(.19

)(.18

7cosh)(.17

cosh)(.16

)(.15

5sin)(.14)(.13

sinh)(.12)(.11

12)(.10cosh1)(.9

sin1)(.8cos)(.7)2()(.6

)(.5812cos)(.4

)(.33sin)(.2

)(.1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−

=−

=−

=−

=−

=−

=−

+=−

=−

=−

−+=−

−=−

+−=−

−=−

−=−

=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−

=−

=−

=−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

ettf

tetfettf

tetftttf

tetf

tetfettf

tttftetf

ttetftetf

ttetfttetf

tetfettf

tetf

ettftetf

ettf

π

π

π

En los problemas siguientes 1:20 determine la transformada inversa de Laplace



( )

( )

621)(.20

21)(.10

1042153)(.19 1)(.9

1)(.18 412)(.8

134162)(.17

2)(.7

523)(.16

33)(.6

841)(.15 68)(.5

94)(.14 4)(.4

1021)(.13 1)(.3

42)(.12 )(.2

46)(.11

32)(.1

22

2

2

3

52

22

52

27

2

2

2

2

2

++−

=−+

=−

+−−

=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−

=−++

=−

+++

=−−

=−

+=−

−−

=−

++=−

−=−

+=−=−

+++

=−=−

+=−=−

−=−

−=−

SSSSF

SSF

SSSSF

SSSF

SSF

SSSF

SSSSF

SSSF

SSF

SSSF

SSSF

SSSF

SSF

SSF

SSSSF

SSF

SSF

SSF

SSF

SSF

π

π

En los siguientes problemas aplicar el teorema de transformadas de integrales de Laplace

para calcular la inversa de las siguientes funciones

( )

)2(1)(.20

)(1)(.10

)114()(.19

)2(1)(.9

)44(42)(.18

)2)(1(1)(.8

)910(3)(.17

)9(1)(.7

)16(2)(.16

)9(12)(.6

)108(4)(.15

)5(3)(.5

)54(1)(.14

)1(1)(.4

1241)(.13

)1(1)(.3

)204(4)(.12

)4(1)(.2

)4(2)(.11

)3(1)(.1

2333

222

2

222

22

22

2223

223

222

23

+=−

+=−

+−=−

−+=−

+−+

=−++

=−

++−

=−−

=−

−++

=−++

=−

+−−

=−+

=−

+−=−

−=−

++=−

+=−

++=−

+=−

+=−

−=−

SSSF

SSSSF

SSSSSF

SSSSF

SSSSSF

SSSSF

SSSSSF

SSSF

SSSSSF

SSSSF

SSSSSF

SSSF

SSSSF

SSSF

SSSSF

SSSF

SSSSF

SSSF

SSSF

SSSF

En cada uno de los problemas sugeridos use la linealidad de la transformada de Laplace, así como el desarrollo en fracciones parciales para determinar la transformada inversa de Laplace



( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )11)(.30

413432)(.15

353)(.29 22

662)(.14

52230237)(.28

3841134)(.13

26327)(.27

22822)(.12

134184417)(.26

122233)(.11

1353345)(.25

10232)(.10

3111)(.24

5421)(.9

612136)(.23

41248)(.8

136882)(.22

2212)(.7

521583)(.21

432)(.6

22)(.20 52

22)(.5

4414323)(.19

63)(.4

243)(.18

432)(.3

3218)(.17

14)(.2

223)(.16

43)(.1

222

3

34

2

22

23

2

2

2

2

3

23

2

23

2

2

2

2

2

2

2

2

2

23

2

2

2

2

3

2

2

22

22

3

22

2

2

−−=−

+++++

=−

+++

=−++

−−−=−

++−++

=−++−

+−=−

−+−−

=−+−+−

=−

+−−+−

=−++−

+=−

++

++=−

++−

=−

+−+

=−++

−=−

−−+−

=−++−

=−

++++−−

=−+−

+=−

+−++−

=−−−

=−

++=−

+++

=−

++−+−

=−−−

=−

+

+=−

−+=−

−+−

=−−

=−

++

+=−

+=−

SSSSF

SSSSSSF

SSSSSF

SSSSSSSF

SSSSSSF

SSSSSSF

SSSSSSF

SSSSSSF

SSSSSSF

SSSSSF

SSSSSF

SSSSF

SSSSF

SSSSF

SSSSSSF

SSSSSF

SSSSSSSF

SSSSF

SSSSSSF

SSSF

SSSSF

SSSSF

SSSSSF

SSSSF

SSSF

SSSF

SSSSF

SSF

SSSSF

SSF

En los siguientes problemas use la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones

con coeficientes constantes sujeto a condiciones iniciales



5)0(',2)0(;3cos72'2''.201)0(',3)0(;4'2''.190;0)0(',1)0(;7cos''.181)0(',2)0(;3sin5'2''.17

1)0(',1)0(;06'''.160)0(',1)0(;7cos5'2''.151)0(',2)0(;4sin34''.14

0)0(',1)0(;43'2''.131)0(',1)0(;42'2''.12

0)0(',4)0(;'5''6.115)0(',0)0(;7/32'3''.10

2)0(',0)0(;sin3'4''.90)0(')0(;49''.8

0)0(';1)0(;3cos2''.70)0(')0(;4cos4''.60)0(',0)0(;2sin''.5

3)0(',2)0(;015'8''.42)0(',0)0(;02'''.3

4)0(',3)0(;09''.20)0(',5)0(;04''.1

3

2

3

2

4

2

2

−===+−−

−===++−

≠===+−

−===++−

−===−−−

===++−

−===+−

==+=−−−

==+=+−−

===++−

−===++−

===++−

===+−

===+−

===+−

===+−

−===++−

===−−−

===+−

===+−

−

−

−

yytyyyyyeyyy

wyytywyyyteyyy

yyyyyyyttyyyyyteyyyytyyyyyetyyy

xxtxxxxxtxxxxxtxxx

xxtxxxxtxxxxtxxxxtxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

t

t

t

t

1)0(,1)0(;63'4

0'2'.350)0()0(;4'2'

0''.340)0()0(;2'2'

''.330)0()0(;4cos2''

0''.320)0()0(;0'2'

'2'.310)0()0(;''

04'.300)0()0(;'

0'2'.290)0()0(;2'

0'4'.280)0()0(;0''

2'3.270)0()0(;1''2

4'.260)0(,2)0(;03''

13'.250)0()0(;0'2'

2cos''.240)0()0(;0'2

1'2'.230)0()0(;'

0''3'2.220)0()0(;0'

1'2'.21

2

=−=−=++

=−+−

===++

=−++−

===+

=++−

===++

=−+−

===+

=−+−

===+

=−−−

===++

=−+−

===+

=−+−

===−+

=−−

===−

=−−−

===++

=−+−

===+

=−+−

===+

=−+−

===+

=+−−

===−+

=−−

−

yxyyxxyx

yxxyxyxyx

yxyxtxyx

yxtyyxxyx

yxyxtyyx

yxtyxyxx

yxtxyxyxx

yxeyxyyx

yxyyxtyx

yxyxtyxx

yxxyxyxx

yxyxtxyxyxyx

yyxyxtyx

yyxyxxyx

yx

t

PROBLEMARIO ECUACIONES DIFERENCIALES

Documents

Transcript of PROBLEMARIO ECUACIONES DIFERENCIALES