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PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRÍCA

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Elaboró: Profesor Abraham Gómez Avalos Academia de Matemáticas de la carrera de ICE ESIME Zacatenco

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PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

PARA LA CARRERA DE COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

DE LA ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA

DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ELABORADO POR EL LIC. ABRAHAM GÓMEZ AVALOS

PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

DICIEMBRE 2016




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Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

En la actualidad, las matemáticas son una base fuerte para la solución de problemas de cualquier índole por ello, la descripción del comportamiento de un fenómeno de la vida cotidiana (físicos, sociológicos, psicológicos, económicos, químicos, biológicos o sistémicos) se hace con expresiones matemáticas y esto es a lo que denominamos Modelo matemático, algunos de éstos modelos se muestran en la siguiente tabla:

En los últimos tres modelos matemáticos podemos observar que son ecuaciones con derivadas, las que se identifican como ecuaciones diferenciales, veamos la definición de una ecuación diferencial. Definición de ecuación diferencial Cuando el comportamiento a analizar en un fenómeno involucra “variación” o “movimiento” de una variable con respecto a otra, la forma de representarlo es a través de la derivada (Cambio de y con respecto a x) y en ese momento el modelo matemático será una Ecuación Diferencial, por ejemplo; en el caso de un circuito eléctrico RLC en serie, la carga que circula en éste cambia de acuerdo al tiempo y en el fenómeno del crecimiento poblacional, el cambio de la población se da con respecto a la tiempo.

Nombre Modelo matemático Comentarios

La segunda ley de Newton

F=ma La fuerza que produce un cuerpo en movimiento está determinada por su masa y la aceleración con que se

mueve.

La Ley de Ohm V=RI La diferencia de potencial V que aparece entre los extremos de un conductor determinado es proporcional a la intensidad de la corriente I que circula por el citado

conductor.

Movimiento uniforme acelerado

v=vo+at La velocidad final de una partícula bajo un movimiento uniforme acelerado está determinada por la velocidad inicial más la aceleración por el tiempo en que ocurre.

Ley de Newton del enfriamiento de un cuerpo (criminalística)

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚)

La rapidez a la que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del objeto en el

instante t y la temperatura Tm del medio ambiente o del entorno al objeto.

Crecimiento poblacional

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝑘𝑃

El ritmo de crecimiento de la población en un cierto lugar y tiempo es proporcional a la población total del

lugar en ese tiempo.

Circuito serie LRC

𝐸(𝑡) = 𝐿𝑑2𝑞

𝑑𝑡2+ 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡+

1

𝐶𝑞

Si utilizamos la ley de ohm y la 2ª ley de Kirchhoff (el voltaje en un lazo cerrado debe ser igual a la suma de las

caídas de voltaje en el lazo) En un circuito serie simple con una bobina (inductor) con inductancia L, un resistor

con resistencia R y un capacitor con capacitancia C, donde al cerrar el circuito circula una carga q(t) en el

tiempo t y donde tenemos un voltaje E(t).




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Temario del curso

Unidad 1. Introducción a las ED (Terminología y notación de las Ecuaciones diferenciales, clasificación según sus propiedades y ejemplos de aplicación). Unidad 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (Diferentes tipos de ED de primer orden, identificación y método de solución). Unidad 3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes. (ED de diferente orden y característica de homogeneidad o no, identificación y método de solución). Unidad 4. Ecuaciones Diferenciales Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Variables. (ED de diferente orden, resueltas con series de potencia, identificación y método de solución). Unidad 5. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes. Diferentes métodos de solución (Operador diferencial y Matriz Exponencial).

Bibliografía

Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias, Cengel y Palm, Editorial Mc Graw Hill, Primera edición 2014.

Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, Dennis G. Zill, Editorial Cengage Learning, Octava edición 2015.

Matemáticas avanzadas para ingeniería, Dennis G. Zill, Editorial Mc Graw Hill, Cuarta edición 2012.

Apuntes del Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME Zacatenco – ICE – Matemáticas 2007.

Ecuaciones diferenciales, un enfoque de modelado, Glenn Ledder, Editorial Mc Graw Hill, Primera edición 2006.

Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Boyce y Diprima, Editorial Limusa Wiley, Cuarta edición 2007.




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UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Para cada una de las ecuaciones diferenciales, indique las siguientes características: Orden, grado, tipo de coeficiente, tipo de derivada, cuál es la variable independiente y la dependiente, y si es o no lineal. Para cada afirmación o negación justificar con las definiciones correspondientes.

Solución ejercicio 1

a) 𝑒2𝑢(3) + 7𝑢′ + 𝑢5 = [𝑇𝑎𝑛 (𝜋

4) 𝑢(4)]

2 b) Tan−1(7𝑟)

𝜕𝑠

𝜕𝑟+ √10 − 𝑟

𝜕6𝑠

𝜕𝑟6 = 𝑠 𝐶𝑜𝑠(𝑟2)

c) 𝐶𝑜𝑠(6𝑥)𝑑5𝑦

𝑑𝑥5 + 200𝑑𝑦

𝑑𝑥− 10𝑦 = 𝑒5𝑥

d) ln(3𝑟) + √10 − 𝑣𝜕2𝑟

𝜕𝑣2 = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑣2)𝜕𝑟

𝜕𝑣

e) 𝑙𝑜𝑔|2𝑦|𝑑5𝑦

𝑑𝑥5 − 50𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 = 𝑦𝑒5𝑥 − 5𝑥 + 2 f) 45 𝑥(7) + 7𝑥(5) + 𝑡−2 = [𝑙𝑛|4|𝑥(9)]

3

g) 10 (𝑑6𝑥

𝑑𝑦6)8

− 19𝑑4𝑥

𝑑𝑦4 −√7

3𝑦′ = 6𝑦−4

h) 𝑆𝑒𝑐(0.5𝑟) − 𝑟−3 𝜕2𝑥

𝜕𝑟2 =10𝑟

4− 𝐶𝑠𝑐(√𝑟

3)

𝜕𝑥

𝜕𝑟

i) 𝐶𝑜𝑠(−20𝑦)𝑑5𝑥

𝑑𝑦5 + 56𝑑𝑥

𝑑𝑦+ 78𝑥 = 𝑒−4𝑦

j) ln(−2𝑢) + √𝑡 + 36𝜕3𝑢

𝜕𝑡3 = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑡2)𝜕𝑢

𝜕𝑡

k) 5𝑡2 𝑑2𝑞

𝑑𝑡2 = −10𝑡𝑑3𝑞

𝑑𝑡3 + 17𝑞 l) 7𝑤2 𝑑𝑡

𝑑𝑤= −14𝑡𝑤 + 10𝑤

𝑑4𝑡

𝑑𝑤4

m) 3

14𝑡2 𝜕𝑞

𝜕𝑡= 4𝑡𝑞 − 13𝑡6 𝜕5𝑞

𝜕𝑡5 n) −13

22𝑟2 𝜕2𝑠

𝜕𝑟2 − 11𝑠 = 22𝑟5 (𝜕4𝑠

𝜕𝑟4)5

o) 10𝑡4 (𝜕𝑠

𝜕𝑡)

3= 12𝑡𝑠 − 4𝑡2 𝜕4𝑠

𝜕𝑡4 p) Cos−1(2𝑥)

𝜕𝑟

𝜕𝑥= √𝑥 + 9

𝜕5𝑟

𝜕𝑥5 + 𝑒𝑟2

q) log (4)𝑡2 𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 2𝑡

1

2𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 + 𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑡) = 𝑥 r) 40

𝜕𝑣

𝜕𝑧= 104 𝜕4𝑣

𝜕𝑧4+ 𝑇𝑎𝑛(𝑧) + 5𝑣 − 𝑒3 𝜕2𝑣

𝜕𝑧2

s) 12𝑠 + 5𝑠−1 𝑑2𝑟

𝑑𝑠2 − 7𝑠7 𝑑3𝑟

𝑑𝑠3 = 𝑆𝑒𝑛(𝜋)𝑟 t) 𝑡2 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 +1

3𝑡3 𝑑3𝑥

𝑑𝑡3 − 1 − 𝑙𝑛 𝑡3 = −2𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡

a) Cuarto orden, 2º Grado, coeficientes constantes, derivada ordinaria, variable independiente no indicada, variable dependiente u y no lineal

b) Sexto orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente r, variable dependiente s y lineal.

c) Quinto orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente x, variable dependiente “y” y lineal

d) Segundo orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente v, variable dependiente r y no lineal.

e) Séptimo orden, 3er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente x, variable dependiente “y” y no lineal

f) Noveno orden, 4o Grado, coeficientes constantes, derivada ordinaria, variable independiente t, variable dependiente x y no lineal

g) Sexto orden, 8o Grado, coeficientes constantes, derivada ordinaria, variable independiente y, variable dependiente x y no lineal

h) Segundo orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente r, variable dependiente x y lineal

i) Décimo quinto orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente y, variable dependiente x y lineal

j) Tercer orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente t, variable dependiente u y no lineal

k) Tercer orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente t, variable dependiente q y lineal

l) Cuarto orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente w, variable dependiente t y lineal

m) Quinto orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente t, variable dependiente q y lineal

n) Cuarto orden, 5o Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente r, variable dependiente s y no lineal

o) Cuarto orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente t, variable dependiente s y no lineal

p) Décimo orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada parcial, variable independiente x, variable dependiente r y no lineal

q) Segundo orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente t, variable dependiente x y lineal

r) Cuarto orden, 1er Grado, coeficientes constantes, derivada parcial, variable independiente z, variable dependiente v y lineal

s) Tercer orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente s, variable dependiente r y lineal

t) Tercer orden, 1er Grado, coeficientes variables, derivada ordinaria, variable independiente t, variable dependiente x y lineal




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2. Determine si la función proporcionada es o no solución de la ecuación diferencial, para ello utilice derivación implícita.

a)

0282

085

12

4

5

dydxey

ceeye

x

xxx

Solución: Si

b)

dydxey

cxyee

x

xx

53

23

10

3

21

33

Solución: Si

c) dyyyxxdx

cexe yy

822

4

2

2 22

Solución: No

d) dxyedyyex

eyeyxye

xy

yyx

2

2

Solución: Si

2𝛼√𝑘

7𝑌 = ln |𝐶𝑜𝑠ℎ (

𝛼𝑡

2)| + 𝑐

e) √7

𝑘𝑌′ = 𝑇𝑎𝑛ℎ (

∝𝑡

2)

Solución: No

(1 − 𝑒𝑥)𝑦𝑦′ = 𝑒𝑥

f) 𝑦2 = −2 ln(1 − 𝑒𝑥) + 𝐶 Solución: Si

(5 − 𝑒𝑥)𝑦′ −1

3𝑦𝑒𝑥 = 0

g) 3𝑦2 − 𝑙𝑛|5 − 2𝑒𝑥| = 𝐶 Solución: No

𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥−

4𝑒𝑥

(𝑒𝑥−8)= 0

h) 𝑦2 + 𝐶 − ln(𝑒𝑥 − 8) = 0 Solución: No

(5 − 2𝑒𝑥)𝑦𝑦′ =1

3𝑒𝑥

i) 3

2𝑦2 = −

1

2𝑙𝑛|5 − 2𝑒𝑥| + 𝐶

Solución: Si

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑒𝑥

(2+3𝑒𝑥)5𝑦

j) 15

2𝑦2 − ln(3𝑒𝑥 + 2) = 𝐶

Solución: Si

𝑦2

9+ 𝐶 = 3 ln(2 + 6𝑒𝑥)

k) 𝑦′(2 + 3𝑒𝑥) =𝑒𝑥

7𝑦

Solución: No

1

4𝑦2 + 𝐶 = ln(3𝑒𝑥 − 7)

l) 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥−

6𝑒𝑥

(3𝑒𝑥−7)= 0

Solución: Si

−2𝑠𝑑𝑟

𝑑𝑠+ 8𝑠2

𝑑2𝑟

𝑑𝑠2− 4𝑠 = −2𝑟

m) 𝑠 + 20𝑠 ln 𝑠 + 3𝑠(ln 𝑠)2 − 3𝑟 = 0

Solución: No 5𝑦2 + 10 ln(1 + 𝑒𝑥) + 𝐶 = 0

n) 𝑦(1 + 𝑒𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒𝑥

Solución: No

−10𝑦 + 10𝑡𝑦′ − 5𝑡4𝑒𝑡 = 5𝑡2𝑦′′ o) 𝐶1𝑡 + 𝐶2𝑡 2 + 𝑡2𝑒𝑡 − 2𝑡𝑒𝑡 − 𝑦 = 0

Solución: No

5𝑦2 + 𝐶 = (ln 𝑥)2 + 2(ln 3) ln 𝑥 + (ln 3)2

p) 5𝑥𝑦′ −ln(3𝑥)

𝑦= 0

Solución: Si

8𝑥 − 5𝑦𝑑𝑥

𝑑𝑦− 8𝑦6 + 𝑦2

𝑑2𝑥

𝑑𝑦2= 0

q) −7

16𝑦2 −

1

2𝑦4 − 𝑥 + 𝑦6 = 0

Solución: Si

𝐶1𝑡 + 𝐶2𝑡 2 + 𝐶3𝑡3 −17

12−

ln 𝑡

2− 𝑥 = 0

r) 𝑡2 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 +1

3𝑡3 𝑑3𝑥

𝑑𝑡3 − 1 − 𝑙𝑛 𝑡3 = −2𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡 Solución: No

−𝑑𝑟

𝑑𝑡− 𝑒2𝑡𝐶𝑜𝑠(𝑒𝑡) =

𝑑2𝑟

𝑑𝑡2

s) 19 + 7𝑒𝑡 − 𝑟 − 𝐶𝑜𝑠(𝑒𝑡) = 0 Solución: No

5𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 2𝑡2 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 − 𝑡2 + 𝑡 = 𝑥

t) 𝐶1𝑡−1/2 + 𝐶2𝑡−1 +1

5𝑡2 −

1

2𝑡 − 3𝑥 = 0

Solución: No




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UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

3. Para cada una de las ecuaciones diferenciales, identifique que es del tipo de variables separables y resuélvala de acuerdo al método.


4. Para cada de las siguientes ecuaciones diferenciales, identifique que es de coeficientes

homogéneos y resuélvala de acuerdo al método. En los casos que aplique, obtenga la solución particular de acuerdo a la condición inicial.

a) 𝑦′ = −𝑦/3 b) 8𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑒𝑦𝑥 = 0

c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥𝑦 − 4𝑦𝑥2 = 0

d) 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 =

1

𝑦2

e) 𝑦′ + 2𝑦𝑆𝑒𝑛(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) f) −2𝑥𝑦𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 2𝑦𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 2𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑦′ = 0

g) 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥=

ln(𝑥)

2𝑦 h) 3𝑥𝑦

1

2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦

3

2 = 2

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4

𝑆𝑒𝑛(𝑥)

𝐶𝑜𝑠(𝑦)= 0

j) 𝑦′ +9𝑥𝑦

3𝑥2−6= 0

k) 𝑑𝑥

𝑑𝑦=

𝑇𝑎𝑛(𝑦)

𝐶𝑜𝑠(𝑥)+3

l) 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑒5𝑥−3𝑦 = 0

m) 𝑒3𝑥𝑦𝑦′ = 𝑒−6𝑦 + 𝑒3𝑥−6𝑦 n) 𝑑𝑥

𝑑𝑡=

1

3+𝑒𝑥

a) 𝑦 = 𝑐 𝑒−𝑥

3 b) −𝑒−𝑦 =

𝑥2

8+ 𝑐

c) 𝑦 = 𝑐 𝑒4𝑥3

3+

𝑥2

2 d) 𝑦3 =

𝑐

𝑥3 + 1

e) 𝑦 = 𝑐 𝑒2 𝐶𝑜𝑠(𝑥) +1

2 f) 𝑦 =

𝑐

𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

g) 𝑦2 = 𝑐 +(ln (𝑥))2

2 h) 𝑦

3

2 =𝑐

√𝑥+ 2

i) 𝑆𝑒𝑛(𝑦) = 𝑐 − 4 𝐶𝑜𝑠(𝑥) j) 𝑦 =

𝑐

(𝑥2−2)32

k) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 3𝑥 = 𝑐 − ln ( 𝐶𝑜𝑠(𝑦)) l) 𝑒3𝑦

3=

𝑒5𝑥

5+ 𝑐

m) (𝑦

6−

1

36) 𝑒6𝑦 =

−𝑒−3𝑥

3+ 𝑥 + 𝑐 n) 𝑒𝑥 + 3𝑥 = 𝑡 + 𝑐

a) 5𝑦𝑥𝑑𝑦 = −11𝑥𝑦𝑑𝑥 b) 7𝑥𝑦𝑑𝑦 = −20𝑥𝑦𝑑𝑥

c) −8𝑥𝑦𝑑𝑦 − 14𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0 d) (𝑦 − 𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (3𝑥 − 𝑦) = 0

e) 02 dyxyydx f) (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0

g) xyyx 2' h) (−𝑦 + 5𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0




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i) 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥− (2𝑦 − 𝑥) = 0

j) (1

2𝑥 + 3𝑦) 𝑑𝑥 + (−2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0

k) (𝑦 + 5𝑥)𝑑𝑦 + (𝑥 − 4𝑦)𝑑𝑥 = 0 l) 9𝑥𝑦𝑑𝑦 = −10𝑥𝑦𝑑𝑥

𝑠. 𝑎 𝑦 (1

√6) = 1

m) 5𝑦𝑡𝑑𝑡 = −(𝑦2 + 𝑡2)𝑑𝑦

𝑠. 𝑎 𝑦(6) = −3

n) 𝑦𝑑𝑥 = (3𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑦

𝑠. 𝑎 𝑦(1) = 1

o) −2𝑦𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 𝑠. 𝑎 𝑦(1) = −1

p) (1

2𝑦 + 𝑥) 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑑𝑦 = 0

𝑠. 𝑎 𝑦(−3) = 1

q) −3𝑥𝑦2𝑦′ + 2𝑥3 = 0

𝑠. 𝑎 𝑦 (

1

2) = 3

r) 𝑦′

𝑥+

8

𝑦= 0

𝑠. 𝑎 𝑦(9) = −4

s) 6𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= −(5𝑥 + 3𝑦)

𝑠. 𝑎 𝑤 (√3

7) = 1

t) 8𝑤𝑥𝑑𝑥 − (𝑤2 + 𝑥2)𝑑𝑤 = 0

a) 𝑦 = 𝑐 −11𝑥

5 b) 𝑦 = 𝑐 −

20𝑥

7

c) 𝑦 = 𝑐 −7𝑥

4 d)

3𝑥2

2− 𝑥𝑦 +

𝑦2

2= 𝑐

e) 2𝑥√𝑦 +2𝑦2

3= 𝑐

f) −(𝑙𝑛(

𝑥2+𝑦2

𝑥2 )+2𝑇𝑎𝑛−1(𝑦

𝑥))

2= 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐

g) −(𝑙𝑛(

−(2𝑥−𝑦)

𝑥)+2 𝑙𝑛(

𝑥+𝑦

𝑥))

3= 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐

h) 1

4𝑦4 −𝑥

𝑦5 = 𝑐

i) − (𝑙𝑛 (−(𝑥−𝑦)

𝑥)) −

𝑥

𝑥−𝑦= 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐

j) 10𝑇𝑎𝑛−1(

𝑥+2𝑦

𝑥)−𝑙𝑛(

𝑥2+2𝑥𝑦+2𝑦2

𝑥2 )

2= 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐

k)

−(𝑙𝑛(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2

𝑥2 )+6√3 𝑇𝑎𝑛−1(√3(𝑥+2𝑦

3𝑥))

2= 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐

l) 𝑦 = 𝑐 −10𝑥

9

m) 5𝑡2𝑦

25

2+

5𝑦125

12=

5

6

n) −𝑥

𝑦2 −3

𝑦=

1

3

o) −2𝑥√𝑦 +2𝑦

32

3= −

4

3 p) 𝑦 =

−5

7

𝑥16

−2𝑥

7

q) 𝑦3 = 19 +2𝑥3

3 r) 𝑦2 = 11 − 8𝑥2

s) 𝑦 =3

√𝑥−

5𝑥

9 t)

1

7𝑤2 − 𝑥2 = −

2

7𝑦

1

4




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5. Para cada de las siguientes ecuaciones diferenciales, identifique que es exacta y resuélvala de

acuerdo al método.


6. Para cada de las siguientes ecuaciones diferenciales, obtenga el factor integrante para hacerla exacta y resuélvala de acuerdo al método.


a) 3𝑥2𝑦𝑑𝑥 + (𝑥3 − 4)𝑑𝑦 = 0 b) (𝐶𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑆𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 + (𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0

c) (4𝑥3𝑦 + 𝑒𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 𝑥𝑒𝑦 − 5𝑦)𝑑𝑦 = 0 d) (𝑥 + 3𝑦)2𝑑𝑥 + (18𝑥𝑦 + 3𝑥2)𝑑𝑦 = 0

e) 𝑥2𝑦4𝑑𝑥 = −4

3𝑥3𝑦3𝑑𝑦

f) (𝑥5 + 𝑦5)𝑑𝑥

𝑑𝑦+ 5𝑥𝑦4 = 0

g) (3𝑦 + 4)𝑑𝑦

𝑑𝑥= (7𝑥 − 8)

h) (8𝑥 + 10𝑦)𝑑𝑥 = −(10𝑥 + 5𝑦)𝑑𝑦

i) (𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦 +1

𝑦) 𝑑𝑦 + (𝑦𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝐶𝑜𝑠𝑦 +

1

𝑥) 𝑑𝑥 = 0 j) (4𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦 + 𝑒𝑦𝑆𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑦 + (−4𝐶𝑜𝑠𝑦 + 𝑒𝑦𝐶𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = 0

a) (𝑥3 − 4)𝑦 = 𝑐 b) 𝑦 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑦) −𝑦2

2= 𝑐

c) 𝑥4𝑦 + 𝑥𝑒𝑦 −5𝑦2

2= 𝑐 d)

𝑥3

3+ 3𝑥2𝑦 + 9𝑥𝑦2 = 𝑐

e) 𝑦 𝑥3

4 = 𝑐 f) 𝑦5 =𝑐

𝑥−

𝑥5

6

g) 3𝑦2

2+ 4𝑦 −

7

2𝑥2 + 8𝑥 = 𝑐 h) 4𝑥2 + 10𝑥𝑦 +

5

2𝑦2 = 𝑐

i) 𝑦 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑦) + ln|𝑥| + 𝑙𝑛|𝑦| = 𝑐 j) 𝑒𝑦 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 4𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑦) = 𝑐

a) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑦 b) (2𝑦 − 3) = −𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥

c) (2𝑦 − 5) − 𝑥𝑦′ = 0 d) 3𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 2)𝑑𝑦 = 0

e) 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑦)𝑑𝑥 = −𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 f) (4𝑥 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥2𝑑𝑦

g) (𝑥 + 1) = −𝑥𝑦′ h) 4𝑦𝑑𝑥 + (−2𝑥 + 2𝑦 − 5)𝑑𝑦 = 0

i) (1

2𝑦 + 𝑥) 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑑𝑦 = 0 j) (3𝑥2 − 10)𝑑𝑥 = −2𝑥𝑑𝑦

k) (−3𝑥3 + 4)𝑑𝑥 + 8𝑥2𝑑𝑦 = 0 l) 6𝑑𝑦

𝑑𝑥= −(5 +

3𝑦

𝑥)

a) 𝑦 = 𝑐 + ln (𝑆𝑒𝑛(𝑥)) b) 𝑦𝑥2 −3

2𝑥2 = 𝑐

c) 𝑦 = 𝑐𝑥2 +5

2 d) ln(𝑦) + 2𝑦 +

3𝑥

2= 𝑐




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7. Para cada de las siguientes ecuaciones diferenciales, identifique que es lineal y resuélvala de

acuerdo al método.


8. Para cada de las siguientes ecuaciones diferenciales, identifique que es de Bernoulli y

resuélvala de acuerdo al método.

e) 𝑥 − ln|𝐶𝑜𝑠(𝑦)| = 𝑐 f) 𝑦

𝑥+

4

𝑥= 𝑐

g) 𝑦 + 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑥 = 𝑐 h) −4𝑥

√𝑦−

(4𝑦+10)

√𝑦= 𝑐

i) 𝑦𝑥1

6 +2

7𝑥

7

6 = 𝑐 j) 𝑦 −5

2𝑙𝑛|𝑥| +

3𝑥2

2= 𝑐

k) 𝑦 −3

16𝑥2 −

1

2𝑥= 𝑐 l) 𝑦𝑥

1

2 +5

9𝑥

3

2 = 𝑐

a) 𝑑𝑢

𝑑𝑧+ 𝑢 = 5𝑒3𝑧 b)

1

2

𝑑𝑤

𝑑𝑡+ 2𝑤 = 𝑒−2𝑡

c) −6 +1

2𝑒10𝑡 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑒10𝑡𝑞 = 0

d) 3𝑒5𝑡 𝑑𝑞

𝑑𝑡= −15𝑒5𝑡𝑞 + 30

e) 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑥𝑦 = 10𝑥

f) 𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 9𝑥 = 0

g) 6

𝑥𝑦′ + 3𝑦 = −8

h) 2

7

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 + 6

i) 2𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 16𝑥3 j) 3

𝑥2 𝑦′ = 3𝑦 − 9

a) 𝑢 =5

4𝑒3𝑧 + 𝑐 𝑒−𝑧 b) 𝑤 = (2𝑡 + 𝑐)𝑒−2𝑡

c) 𝑞 = 𝑐𝑒−2𝑡 −3

2𝑒−10𝑡 d) 𝑞 = 𝑐𝑒−5𝑡 + 10𝑡𝑒−5𝑡

e) 𝑦 = 𝑐𝑒2𝑥2−

5

2 f) 𝑥 = 𝑐𝑒−9𝑡

g) 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥2

4 −8

3 h) 𝑦 = 𝑐𝑒

7𝑥

2 − 6

i) 𝑦 =8

5𝑥3 +

𝑐

𝑥2 j) 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥3

3 + 3

a) −𝑥𝑦 + 8𝑑𝑦

𝑑𝑥= −3𝑥𝑦5 b) 0 =

𝑑𝑡

𝑑𝑣− 9𝑣𝑡 + 𝑡7𝑣

c) −2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦2 + 15𝑥2𝑦4

d) 𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 𝑢 + 𝑥𝑢4 = 0

e) 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 − 𝑥𝑦3 = 0

f) −4𝑦

𝑥− 2𝑦3𝑥 = −

𝑑𝑦

𝑑𝑥

g) −5𝑤

𝑥+

𝑑𝑤

𝑑𝑥+ 𝑤3𝑥2 = 0

h) 3𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 9𝑥3𝑦6 − 𝑦

i) 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 + 𝑥2𝑦2

j) 3𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 𝑦4




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9. Para cada familia de curvas (campo de aplicación), determine sus trayectorias ortogonales o

para cada ecuación diferencial, obtenga su campo de aplicación y sus trayectorias ortogonales.


UNIDAD 3 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES, COEFICIENTES CONSTANTES DE

ENÉSIMO ORDEN 10. Resuelva la ecuación diferencial homogénea, mostrando la solución general y la solución

particular donde aplique.

a) 1

𝑦4 = c𝑒−𝑥2

4 + 3 b) 1

𝑡6= 𝑐𝑒−27𝑣2

+1

9

c) 1

𝑦2= 15𝑥2 + 𝑐𝑥 d) 𝑢 =

1

𝑐𝑒𝑥−𝑥−1

e) 1

𝑦2= c𝑒4𝑥 +

4𝑥+1

8 f)

1

𝑦2= 𝑐𝑥8 +

2𝑥2

3

g) 1

𝑤2 =2𝑥3

13+

𝑐

𝑥10 h) 1

𝑦5= 𝑐𝑥

10

3 + 45𝑥3

i) 𝑦 = −3𝑥

𝑥3−3𝑐 j)

1

𝑦3= 𝑐𝑥

15

7 +1

5

a) 𝑦 = 𝑐 + 𝑒−3𝑥 b) 𝑦 = 𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑐

c) 𝑦 = 𝑐 − 𝑥1

3 d) 𝑦 = (𝑥 − 5)2 + 𝑐

e) 𝑦 + 2 = √−(𝑥 + 1)2 + 𝑐 f)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 5𝑥𝑦 = 0

g) 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥− 3𝑦2 = 0

h) 𝑦

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 7𝑥 = 0

i) 4𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑥𝑦 = 0

j) (1 − 4𝑥)𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 0

a) 𝑦 =1

9𝑒3𝑥 + 𝑐 b) 𝑦 =

−𝑥2

2− 2𝑥 + 𝑐

c) 𝑦 =9

5𝑥

5

3 + 𝑐 d) 𝑦 = −1

2𝐿𝑛|𝑥 − 5| + 𝑐

e) 𝑦 = c(x + 1) − 2 f) 𝐶𝐴: 𝑦 = 𝑐𝑒−5

2𝑥2

, 𝑇𝑂: 𝑦 = √2

5𝐿𝑛|𝑥| + 𝑐

g) 𝐶𝐴: 𝑦 = −1

3 𝐿𝑛|𝑥|+𝑐, 𝑇𝑂: 𝑦3 = −

𝑥2

2+ 𝑐 h) 𝐶𝐴: 𝑦 = √−

14

3𝑥3 + 𝑐 𝑇𝑂: 𝐿𝑛|𝑦| = −

2

7𝑥−3 + 𝑐

i) 𝐶𝐴: 𝑦 = 𝑐 −3

4𝑥2, 𝑇𝑂: 𝑦 = 𝑐 +

2

3𝐿𝑛|𝑥| j) 𝐶𝐴: 𝐿𝑛|𝑦| = 𝑐 +

1

4𝐿𝑛|4𝑥 − 1| 𝑇𝑂: 𝑦2 = 2𝑥 − 4𝑥2 + 𝑐




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11. Resuelva la ecuación diferencial homogénea de orden superior.


a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 3𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑦 = 0, 𝑠. 𝑎. 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1 b) 𝟒

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 + 𝟑𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟕𝒚, 𝒔. 𝒂. 𝒚(𝟎) = 𝟐, 𝒚′(𝟎) = 𝟏

c) 𝟐𝒅𝟐𝒘

𝒅𝒗𝟐 = 𝟑𝒅𝒘

𝒅𝒗+ 𝟐𝒘, 𝒔. 𝒂. 𝒘(𝟎) = 𝟑, 𝒘′(𝟎) = 𝟐

d) −𝟖𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 + 𝟐𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟔𝒚 = 𝟎, 𝒔. 𝒂. 𝒚(𝟎) = 𝟏, 𝒚′(𝟎) = 𝟐

e) 𝒅𝒙

𝒅𝒕− 𝟔𝒙 =

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐 f) 𝟐𝒚′′ + 𝟑𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝟎

g) 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 + 𝟑𝒚 = 𝟎 h) 𝟏𝟎

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 + 𝟓𝒚 = 𝟎

i) 𝟗𝒚′′ + 𝟔𝒚′ + 𝒚 = 𝟎, 𝑠. 𝑎. 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1 j) 𝟐𝟓𝒚′′ − 𝟐𝟎𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎, 𝑠. 𝑎. 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 1

k) 𝒚′′ − 𝟏𝟐𝒚′ + 𝟑𝟔𝒚 = 𝟎, 𝑠. 𝑎. 𝑦(0) = 3, 𝑦′(0) = 0 l) 𝒚′′ + 𝟏𝟒𝒚′ + 𝟒𝟗𝒚 = 𝟎, 𝑠. 𝑎. 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 0

a) 𝑦 = 𝐶1𝑒−4𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥, 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑦 = 𝑒𝑥 b) 𝑦 = 𝐶1𝑒− 7

4𝑥 + 𝐶2𝑒𝑥 , 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑦 =

4

11𝑒−

7

4𝑥 +

18

4𝑒𝑥

c) 𝑤 = 𝐶1𝑒− 1

2𝑣 + 𝐶2𝑒2𝑣, 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑤 =

8

5𝑒−

1

2𝑣 +

7

5𝑒2𝑣 d) 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑒−

3

4𝑥, 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑦 =

11

7𝑒𝑥 −

4

7𝑒−

3

4𝑥

e) 𝑥 = 𝐶1𝑒1

2𝑡𝐶𝑜𝑠(

√23

2𝑡) + 𝐶2𝑒

1

2𝑡𝑆𝑒𝑛(

√23

2𝑡) f) 𝑦 = 𝐶1𝑒

−3

4𝑥𝐶𝑜𝑠(

3√7

4𝑥) + 𝐶2𝑒

−3

4𝑥𝑆𝑒𝑛(

3√7

4𝑥)

g) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(√3𝑥) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(√3𝑥) h) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(√2

2𝑥) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(

√2

2𝑥)

i) 𝑦 = 𝐶1𝑒− 1

3𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒−

1

3𝑥, 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑦 = 𝑒−

1

3𝑥 2

3𝑥𝑒−

1

3𝑥 j) 𝑦 = 𝐶1𝑒

2

5𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

2

5𝑥, 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑦 =

5

3𝑒

2

5𝑥 +

1

3𝑥𝑒

2

5𝑥

k) 𝑦 = 𝐶1𝑒6𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒6𝑥, 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑦 = −3

5𝑒6𝑥 +

18

5𝑥𝑒6𝑥 l) 𝑦 = 𝐶1𝑒−7𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒−7𝑥, 𝑆𝑜𝑙. 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑦 =

1

4𝑒−7𝑥 +

7

4𝑥𝑒−7𝑥

a) 3𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 + 4𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 − 5𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = 0 b) 2𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 −𝑑3𝑦


𝑑𝑥2 = 0

c) 3𝑦(5) + 3𝑦(4) + 𝑦(3) = 0 d) 4𝑦(5) − 5𝑦(4) + 2𝑦(3) = 0

e) 2𝑦(4) − 𝑦(3) + 𝑦(2) = 0 f) 3𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 − 4𝑑3𝑦


𝑑𝑥2 = 0

g) 3𝑦′′′ − 2𝑦′′ + 𝑦′ − 2𝑦 = 0 h) 3𝑦(3) − 9𝑦′ = −6𝑦

i) 𝑦(5) − 2𝑦(4) + 2𝑦(3) − 2𝑦(2) + 𝑦′ = 0 j) 10𝑦(4) + 30𝑦(3) = −5𝑦(2) − 15𝑦′

k) 𝑦(5) + 5𝑦(4) + 2𝑦(3) + 10𝑦(2) = 0 l) 3𝑦(4) − 2𝑦(3) + 15𝑦(2) = 10𝑦′

a) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3 𝑒−√19−2

3𝑥 + 𝐶4 𝑒

√19−2

3𝑥 b) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3 𝑒

1

4𝑥𝐶𝑜𝑠 (

√15

4𝑥) + 𝐶4 𝑒

1

4𝑥𝑆𝑒𝑛(

√15

4𝑥)

c) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3𝑥2 + 𝐶4 𝑒−1

2𝑥𝐶𝑜𝑠(

√3

6𝑥) + 𝐶5 𝑒

−1

2𝑥𝑆𝑒𝑛(

√3

6𝑥) d) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3𝑥2 + 𝐶4 𝑒

5

8𝑥𝐶𝑜𝑠(

√7

8𝑥) + 𝐶5 𝑒

5

8𝑥𝑆𝑒𝑛(

√7

8𝑥)

e) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3 𝑒1

4𝑥𝐶𝑜𝑠 (

√7

4𝑥) + 𝐶4𝑒

1

4𝑥𝑆𝑒𝑛(

√7

4𝑥) f) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3 𝑒

2

3𝑥𝐶𝑜𝑠(

√2

3𝑥) + 𝐶4 𝑒

2

3𝑥𝑆𝑒𝑛(

√2

3𝑥)




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12. Resuelva la ecuación diferencial no homogénea utilizando el método de coeficientes

indeterminados en la parte correspondiente.


13. Resuelva la ecuación diferencial no homogénea utilizando el método de variación de

parámetros en la parte correspondiente.


g) 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2 𝑒−1

6𝑥𝐶𝑜𝑠(

√23

6𝑥) + 𝐶3 𝑒

−1

6𝑥𝑆𝑒𝑛(

√23

6𝑥) h) 𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒𝑥 + 𝐶3 𝑒−2𝑥

i) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒𝑥+𝐶3𝑥𝑒𝑥 + 𝐶4𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶5𝑆𝑒𝑛(𝑥) j) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒−3𝑥 + 𝐶3𝐶𝑜𝑠(√2

2𝑥) + 𝐶4𝑆𝑒𝑛(

√2

2𝑥)

k) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3 𝑒−5𝑥 + 𝐶4𝐶𝑜𝑠(√2𝑥) + 𝐶5𝑆𝑒𝑛(√2𝑥) l) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒2

3𝑥 + 𝐶3𝐶𝑜𝑠(√5𝑥) + 𝐶4𝑆𝑒𝑛(√5𝑥)

a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 − 2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 10𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 6𝑦 = −𝑒−𝑥

c) 𝑦′′ + 𝑦′ + 2𝑦 = 4𝑒3𝑥 d) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 4𝑦 = 𝑆𝑒𝑛3𝑥

e) 𝑦′′ + 3𝑦′ + 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) f) 2𝑦(4) + 3𝑦(3) + 5𝑦(2) = −2𝑥 + 1

g) 3𝑦(4) + 𝑦(3) + 3𝑦(2) = −4𝑥 + 1 h) 3𝑦(2) + 𝑦(1) + 2𝑦 = 𝑥𝑒𝑥

i) 5𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 8𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥) j) 𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 − 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 0

a) 𝑦 = 𝐶1 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 𝐶2 𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛(3𝑥) +2

85𝐶𝑜𝑠(𝑥) +

9

85𝑆𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 𝐶1 𝑒2𝑥𝐶𝑜𝑠(√2𝑥) + 𝐶2 𝑒2𝑥𝑆𝑒𝑛(√2𝑥) −

𝑒−𝑥

11

c) 𝑦 = 𝐶1 𝑒− 𝑥

2𝐶𝑜𝑠 (√7𝑥

2) + 𝐶2 𝑒−

𝑥

2𝑆𝑒𝑛 (√7𝑥

2) +

2 𝑒3𝑥

7 d) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−𝑥𝐶𝑜𝑠(√3𝑥) + 𝐶2 𝑒−𝑥𝑆𝑒𝑛(√3𝑥) −

6

61𝐶𝑜𝑠(3𝑥) −

5

61𝑆𝑒𝑛(3𝑥)

e) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−0.382𝑥 + 𝐶2 𝑒−2.618𝑥 −8

145𝐶𝑜𝑠(3𝑥) +

9

145𝑆𝑒𝑛(3𝑥) f) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3 𝑒

−3

4𝑥𝐶𝑜𝑠 (

√31

4𝑥) + 𝐶4 𝑒

−3

4𝑥𝑆𝑒𝑛 (

√31

4𝑥) −

1

15𝑥3 +

11

50𝑥2

g) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥+𝐶3 𝑒−1

6𝑥𝐶𝑜𝑠 (

√35

6𝑥) + 𝐶4 𝑒

−1

6𝑥𝑆𝑒𝑛 (

√35

6𝑥) −

2

9𝑥3 +

7

18𝑥2 h) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−

𝑥

6𝐶𝑜𝑠 (√23

6𝑥) + 𝐶2 𝑒−

𝑥

6𝑆𝑒𝑛 (√23

6𝑥) +

(6𝑥−7)𝑒𝑥

36

i) 𝑦 = 𝐶1 𝑒− 𝑥

6𝐶𝑜𝑠 (√23𝑥

6) + 𝐶2 𝑒−

𝑥

6𝑆𝑒𝑛 (√23𝑥

6) − 4(𝑥 − 6)𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 4(𝑥 + 1)𝑆𝑒𝑛(𝑥) j) 𝑦 = 𝐶1 𝑒3𝑥 + 𝐶2 𝑒−𝑥 −

𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥)

5

a) 𝑦′′ + 2𝑦′ − 4𝑦 = 6 b) 𝑦′′ + 6𝑦′ + 4𝑦 = 7𝑥 + 2

c) −𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 − 3𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) d)

𝑑2𝑦


𝑑𝑥− 10𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(5𝑥)

e) 4𝑦′′ − 25𝑦′ + 6𝑦 = 𝑒−𝑥 f) 2𝑦′′ − 7𝑦′ − 15𝑦 = 3𝑥𝑒𝑥

g) 3𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥) h) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑇𝑎𝑛(𝑥)

i) 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑆𝑒𝑐(𝑥) j) 𝑑2𝑦


𝑑𝑥+ 𝑦 = 2𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

a) 𝑦 = 𝐶1 𝑒(−√5−1)𝑥 + 𝐶2 𝑒(√5−1)𝑥 −3

2 b) 𝑦 = 𝐶1 𝑒(−√5−3)𝑥 + 𝐶2 𝑒(√5−3)𝑥 +

7𝑥

4−

17

8

c) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−√13−3

2𝑥 + 𝐶2 𝑒

√13−3

2𝑥 −

3 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

13 d) 𝑦 = 𝐶1 𝑒2𝑥 + 𝐶2 𝑒−5𝑥 −

7 𝐶𝑜𝑠(5𝑥)

290+

3 𝑆𝑒𝑛 (5𝑥)

290

e) 𝑦 = 𝐶1 𝑒1

4𝑥 + 𝐶2 𝑒6𝑥 −

𝑒−𝑥

35 f) 𝑦 = 𝐶1 𝑒

− 3

2𝑥 + 𝐶2 𝑒5𝑥 + (

9

400−

3𝑥

20)𝑒𝑥




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14. Ecuaciones diferenciales de circuitos eléctricos RLC en serie.

El comportamiento de un circuito eléctrico RLC en serie está determinado por el siguiente modelo matemático. Determine la función de carga y donde aplique, obtenga la solución particular de acuerdo a las condiciones iniciales que se indican.


g) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−2𝑥 + 𝐶2 𝑒− 1

3𝑥 + (

19

250−

7𝑥

50) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + (

21

125−

𝑥

50) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) h) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) ln (

−𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑆𝑒𝑛(𝑥)−1)

i) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(2𝑥) −𝐶𝑜𝑠(𝑥) (Sen(x) ln(

𝑆𝑒𝑛(𝑥)+1

𝑆𝑒𝑛(𝑥)−1)−2)

2 j) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒−𝑥 + 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + (𝑥 − 1)𝑆𝑒𝑛(𝑥)

a) 2𝑑2𝑞

𝑑𝑡2 + 7𝑑𝑞

𝑑𝑡− 4𝑞 = 0 𝑠. 𝑎. 𝑞(0) = 4, 𝑖(0) = 4 b) 2

𝑑2𝑞


𝑑𝑡− 10𝑞 = 0, 𝑠. 𝑎. 𝑞(0) = 5, 𝑖(0) = 4

c) 0.05𝑑2𝑞


𝑑𝑡−

1

0.007𝑞 = 0, 𝑠. 𝑎. 𝑞(0) = 3, 𝑖(0) = 0

d) 𝑑2𝑞


𝑑𝑡−

1

0.001𝑞 = 0, 𝑠. 𝑎. 𝑞(0) = 4, 𝑖(0) = −1

e) 5𝑑2𝑞


𝑑𝑡− 2𝑞 = 2, 𝑠. 𝑎 𝑞(0) = 3, 𝑖(0) = 2

f) 3.2𝑑2𝑞

𝑑𝑡2 + 250𝑞 = 𝑆𝑒𝑛(4𝑡)

Resuelva los siguientes problema de circuitos eléctricos

g) Un oscilador LC consta de una fuente de alimentación variable dada por 𝐸(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(3𝑡), un capacitor de 0.01

faradios y un inductor de 4 henrios, todos en serie. Encuentre las funciones que definen la carga y la corriente del circuito. Resuelva la parte no homogénea mediante el método de coeficientes indeterminados.

h) Un oscilador LC consta de una fuente de alimentación variable dada por E(t) = Sen(2t), un capacitor de 0.02

faradios y un inductor de 9 henrios, todos en serie. Encuentre las funciones que definen la carga y la corriente del circuito. Resuelva la parte no homogénea mediante el método de coeficientes indeterminados.

i) Un circuito RLC en serie tiene una fuente de alimentación de 0.5t volts, una resistencia de 6 ohms, un inductor de 1.0 henrio y un capacitor de 0.125 faradios. Encuentre la función de carga del circuito. Utilice el método de variación de parámetros para obtener la solución correspondiente.

j) Determine las funciones que definen la carga y la corriente en un circuito RLC en serie, donde el inductor es de 0.09 henrios, la resistencia es de 30 ohms, el capacitor es de 0.08 faradios y la fuente de alimentación es de 3t volts.

a) 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒1

2𝑡 + 𝐶2 𝑒−4𝑡 𝑆𝑜𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑞(𝑡) =

40

9 𝑒

1

2𝑡 −

4

9 𝑒−4𝑡

b) 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒−5𝑡 + 𝐶2 𝑒𝑡 𝑆𝑜𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑞(𝑡) =1

6 𝑒−5𝑡 +

29

6 𝑒𝑡

c) 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒31.3𝑡 + 𝐶2 𝑒−91.3𝑡 𝑆𝑜𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑞(𝑡) = 2.234 𝑒31.3𝑡 + 0.766 𝑒−91.3𝑡

d) 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒20𝑡 + 𝐶2 𝑒−50𝑡 𝑆𝑜𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑞(𝑡) =199

70 𝑒20𝑡 +

81

70 𝑒−50𝑡

e) 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒2

5𝑡 + 𝐶2 𝑒−𝑡 − 1 𝑆𝑜𝑙 𝑃𝑎𝑟𝑡: 𝑞(𝑡) =

30

7 𝑒

2

5𝑡 −

2

7 𝑒−𝑡

f) 𝑞(𝑡) = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(8.84𝑡) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(8.84𝑡) + 0.005 𝑆𝑒𝑛(4𝑡)

g) 𝑞(𝑡) = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(5𝑡) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(5𝑡) +1

91𝐶𝑜𝑠(3𝑡), 𝑖(𝑡) = −5𝐶1𝑆𝑒𝑛(5𝑡) + 5𝐶2𝐶𝑜𝑠(5𝑡) −

3

91𝑆𝑒𝑛(3𝑡)

h) 𝑞(𝑡) = 𝐶1𝐶𝑜𝑠(2.36𝑡) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛(2.36𝑡) +1

14 𝑆𝑒𝑛(2𝑡) 𝑖(𝑡) = −2.36𝐶1𝑆𝑒𝑛(2.36𝑡) + 2.36𝐶2𝐶𝑜𝑠(2.36𝑡) +

3

14𝐶𝑜𝑠(2𝑡)

i) 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒−2𝑡 + 𝐶2 𝑒−4𝑡 +𝑡

16−

3

64

j) 𝑞(𝑡) = 𝐶1 𝑒−0.42𝑡 + 𝐶2 𝑒−332.92𝑡 + 0.24𝑡 − 0.58 𝑖(𝑡) = −0.42𝐶1 𝑒−0.42𝑡 − 332.92𝐶2 𝑒−332.92𝑡 + 0.24




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UNIDAD 4 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES, COEFICIENTES VARIABLES DE ENÉSIMO ORDEN

15. Para cada de las siguientes ecuaciones diferenciales, identifique que es de Cauchy-Euler y

resuélvala de acuerdo al método.


16. Resuelva la ecuación diferencial en el punto ordinario a.


a) 𝑥2 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 3𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥− 3𝑦 = −1 b) 𝑥2 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑦 = 6

c) −10𝑥𝑦′ = 10𝑥2𝑦′′ + 5𝑦 d) 6𝑥2𝑦′′ + 6𝑥𝑦′ + 1 = −𝑦

e) 3𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ = −7𝑦 f) 2𝑥2𝑦′′ − 4𝑦 = 19

g) 2𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 0 h) 3𝑥2𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 7𝑦 = 0

i) 𝑥2𝑦′′ + 7𝑥𝑦′ + 9𝑦 = 0 j) 5𝑥2𝑦′′ + 15𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 0

a) 𝑦 = 𝐶1 𝑥−3 + 𝐶2 𝑥 +1

3 b) 𝑦 = 𝐶1 𝑥2 + 𝐶2 𝑥−2 −

3

2

c) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠 (1

√2ln (𝑥)) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛 (

1

√2ln (𝑥)) d) 𝑦 = 𝐶1𝐶𝑜𝑠 (

1

√6ln (𝑥)) + 𝐶2𝑆𝑒𝑛 (

1

√6ln (𝑥)) −

3

7𝑥

e) 𝑦 = 𝐶1𝑥− 1

6 𝐶𝑜𝑠 (√83

6ln (𝑥)) + 𝐶2𝑥−

1

6 𝑆𝑒𝑛 (√83

6ln (𝑥)) f) 𝑦 = 𝐶1 𝑥2 + 𝐶2 𝑥−1 −

57

12

g) 𝑦 = 𝐶1𝑥 3

2 𝐶𝑜𝑠 (1

2ln (𝑥)) + 𝐶2𝑥

3

2 𝑆𝑒𝑛 (1

2ln (𝑥)) h) 𝑦 = 𝐶1𝑥

2

3 𝐶𝑜𝑠 (√17

3ln (𝑥)) + 𝐶2𝑥

2

3 𝑆𝑒𝑛 (√17

3ln (𝑥))

i) 𝑦 = 𝐶1 𝑥−3 + 𝐶2 𝑥−3ln (𝑥) j) 𝑦 = 𝐶1 𝑥−1 + 𝐶2 𝑥−1 ln (𝑥)

a) 𝑦′′ + (𝑥 − 3)𝑦′ + (𝑥 − 3)𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 3 b) 𝑦′′ − 40(𝑥 + 7)𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = −7

c) 3𝑦′′ − (𝑥 + 2)𝑦′ = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = −2 d) 𝑦′′ + (𝑥 − 2)𝑦′ = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 2

e) 𝑦′′ + (𝑥 + 10)𝑦′ = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = −10 f) −5𝑦(2) + (𝑥 + 8)𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = −8

g) 4𝑦′′ − (𝑥 − 3)𝑦′ = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 3 h) −3𝑦′′ − (𝑥 + 5)𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = −5

i) 𝑦′′ + 10(𝑥 + 4)𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = −4 j) 𝑦′′ + (𝑥 + 1)𝑦′ + (𝑥 + 1)𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = −1

a) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 −1

3! (𝑥 − 3)3 +

3

5! (𝑥 − 3)5 +

4

6! (𝑥 − 3)6 + ⋯ ) + 𝑐1 ((𝑥 − 3) −

1

3! (𝑥 − 3)3 −

2

4! (𝑥 − 3)4 +

3

5! (𝑥 − 3)5 + ⋯ )

b) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 +40

3! (𝑥 + 7)3 +

4∙402

6! (𝑥 + 7)6 + ⋯ ) + 𝑐1 ((𝑥 + 7) +

2∙40

4! (𝑥 + 7)4 +

10∙402

7! (𝑥 + 7)7 + ⋯ )

c) 𝑦 = 𝑐𝑜 + 𝑐1 ((𝑥 + 2) +1

3∙3! (𝑥 + 2)3 +

3

32∙5! (𝑥 + 2)5 +

5∙3

33∙7! (𝑥 + 2)7 + ⋯ )

d) 𝑦 = 𝑐𝑜 + 𝑐1 ((𝑥 − 2) −1

3! (𝑥 − 2)3 +

3

5! (𝑥 − 2)5 + ⋯ )

e) 𝑦 = 𝑐𝑜 + 𝑐1 ((𝑥 + 10) −1

3! (𝑥 + 10)3 +

3

5! (𝑥 + 10)5 + ⋯ )




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17. Resuelva la ecuación diferencial en el punto singular regular a.


UNIDAD 5 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES.

18. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales utilizando el método de operadores

diferenciales o el de matriz exponencial y compruebe el resultado utilizando el otro método.

f) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 −1

5 (𝑥 + 8)2 ) + 𝑐1 ((𝑥 + 8) −

1

5∙3! (𝑥 + 8)3 −

2

52∙5! (𝑥 + 8)5 −

3

53∙7! (𝑥 + 8)7 + ⋯ )

g) 𝑦 = 𝑐𝑜 + 𝑐1 ((𝑥 − 3) +1

4∙3! (𝑥 − 3)3 +

3

42∙5! (𝑥 − 3)5 +

5∙3

43∙7! (𝑥 − 3)7 + ⋯ )

h) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 −1

3∙3! (𝑥 + 5)3 +

4

32∙6! (𝑥 + 5)6 + ⋯ ) + 𝑐1 ((𝑥 + 5) −

2

3∙4! (𝑥 + 5)4 +

10

32∙7! (𝑥 + 8)7 + ⋯ )

i) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 −10

3! (𝑥 + 4)3 +

400

6! (𝑥 + 4)6 + ⋯ ) + 𝑐1 ((𝑥 + 4) −

20

4! (𝑥 + 4)4 +

1000

7! (𝑥 + 7)7 + ⋯ )

j) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 −1

3! (𝑥 + 1)3 +

3

5! (𝑥 + 1)5 + ⋯ ) + 𝑐1 ((𝑥 + 1) −

1

3! (𝑥 + 1)3 −

2

4! (𝑥 + 1)4 +

3

5! (𝑥 + 1)5 + ⋯ )

a) (𝑥 − 2)𝑦′′ +1

3𝑦′ = −6𝑦, 𝑒𝑛 𝑎 = 2 b) (𝑥 − 3)𝑦′′ +

1

5𝑦′ = −4𝑦, 𝑒𝑛 𝑎 = 3

c) 6𝑥𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 0 d) (𝑥 + 4)𝑦′′ +1

7𝑦′ = −5𝑦, 𝑒𝑛 𝑎 = −4

e) (𝑥 + 7)𝑦′′ +1

6𝑦′ = −2𝑦, 𝑒𝑛 𝑎 = −7 f) 𝑥(𝑥 − 2)𝑦′′ + (𝑥 − 1)𝑦′ = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 0

g) 2𝑥(𝑥 − 3)𝑦′′ + 4(𝑥 − 2)𝑦′ = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 0 h) 3𝑥(𝑥 + 5)𝑦′′ + (𝑥 − 3)𝑦′ = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 0

i) 2𝑥𝑦′′ + 𝑦′ − 3𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑎 = 0

a) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 − 18 (𝑥 − 2) +81

2 (𝑥 − 2)2 + ⋯ ) + 𝑏0(𝑥 − 2)

2

3 (1 −18

5(𝑥 − 2) +

81

20 (𝑥 − 2)2 + ⋯ )

b) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 − 20 (𝑥 − 3) +100

3 (𝑥 − 3)2 + ⋯ ) + 𝑏0(𝑥 − 3)

4

5 (1 −20

9(𝑥 − 3) +

100

63 (𝑥 − 3)2 + ⋯ )

c) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 − 𝑥 +1

14 𝑥2 −

1

546𝑥3 + ⋯ ) + 𝑏0𝑥

5

6 (1 −1

11𝑥 +

1

374 𝑥2 −

1

25806𝑥3 + ⋯ )

d) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 − 35(𝑥 + 4) +1225

16 (𝑥 + 4)2 + ⋯ ) + 𝑏0(𝑥 + 4)

6

7 (1 −35

13(𝑥 + 4) +

245

104 (𝑥 + 4)2 + ⋯ )

e) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 − 3𝑥 +9

10 𝑥2 −

1

10𝑥3 + ⋯ ) + 𝑏0𝑥

3

4 (1 −3

7𝑥 +

9

154 𝑥2 −

3

770𝑥3 + ⋯ )

f) 𝑦 = 𝑐𝑜 + 𝑏0𝑥3

2 (1 +33

5!𝑥 +

52∙33∙2

7! 𝑥2 +

52∙35

9!𝑥3 + ⋯ )

g) 𝑦 = 𝑐𝑜 + 𝑏0𝑥−1

3 (1 +2

32 𝑥 −22

34 𝑥2 +23∙5

37 𝑥3 − ⋯ )

h) 𝑦 = 𝑐𝑜 + 𝑏0𝑥16

15 (1 −25

7∙52∙3𝑥 +

7 ∙22

∙54∙32 𝑥2 −7 ∙26

17∙56 𝑥3 + ⋯ )

i) 𝑦 = 𝑐𝑜 (1 + 3𝑥 +3

2 𝑥2 +

3

5∙2𝑥3 + ⋯ ) + 𝑏0𝑥

1

2 (1 + 𝑥 +3

5∙2 𝑥2 +

3

7∙5∙2𝑥3 + ⋯ )




Página 16 de 16


a)

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 2𝑥 − 𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 3𝑥 + 3𝑦 = 0

b)

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 3𝑥 + 𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 2𝑥 + 𝑦 = 0

c)

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥 + 4𝑦 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑥 − 3𝑦 = 0

d)

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 4𝑦 = 3𝑒𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 3𝑥 = 𝑒𝑡

e)

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 2𝑦 = −1

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 𝑥 − 2 = 0

f) −3 + 4𝑦 −

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 2𝑥 + 10 = 0

g)

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 2𝑦 = 𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 3𝑥 = 2𝑡 + 1

h) −5𝑥 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 3𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 2𝑦 = −2𝑡

i)

𝑑𝑦

𝑑𝑡− 7𝑥 = −5𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 4𝑦 = 6𝑡

a) 𝑋 = 𝑐1 (1

−5.5414) 𝑒−3.5414𝑡 + 𝑐2 (

10.5414

) 𝑒2.5414𝑡

b) 𝑋 = 𝑐1 (1

−1 + √3) 𝑒(−2−√3)𝑡 + 𝑐2 (

1

−1 − √3) 𝑒(−2+√3)𝑡

c) 𝑋 = 𝑐1 (1

−1

2+

√2

2

) 𝑒(−2√2+1)𝑡 + 𝑐2 (1

−1

2−

√2

2

) 𝑒(2√2+1)𝑡

d) 𝑋 = 𝑐1 [(10

) 𝐶𝑜𝑠(2√3𝑡) − (0

−1

2

) 𝑆𝑒𝑛(2√3𝑡)] + 𝑐2 [(0

−1

2

) 𝐶𝑜𝑠(2√3𝑡) + (10

) 𝑆𝑒𝑛(2√3𝑡)] + (−

1

1310

13

) 𝑒𝑡

e) 𝑋 = 𝑐1 (1

√2

2

) 𝑒√2𝑡 + 𝑐2 (1

−√2

2

) 𝑒−√2𝑡 + (−2

1

2

)

f) 𝑋 = 𝑐1 (1

√2

2

) 𝑒2√2𝑡 + 𝑐2 (1

−√2

2

) 𝑒−2√2𝑡 + (53

4

)

g) 𝑋 = 𝑐1 [(10

) 𝐶𝑜𝑠(√6𝑡) − (0

√6

2

) 𝑆𝑒𝑛(√6𝑡)] + 𝑐2 [(0

√6

2

) 𝐶𝑜𝑠(√6𝑡) + (10

) 𝑆𝑒𝑛(√6𝑡)] + (

2

3𝑡 +

1

2−1

2𝑡 +

1

3

)

h) 𝑋 = 𝑐1 [(10

) 𝐶𝑜𝑠(√10𝑡) − (0

−√10

2

) 𝑆𝑒𝑛(√10𝑡)] + 𝑐2 [(0

−√10

2

) 𝐶𝑜𝑠(√10𝑡) + (10

) 𝑆𝑒𝑛(√10𝑡)] + (

−3

5𝑡 −

1

5

−𝑡 +3

10

)

i) 𝑋 = 𝑐1 [(10

) 𝐶𝑜𝑠(2√7𝑡) − (0

−√7

2

) 𝑆𝑒𝑛(2√7𝑡)] + 𝑐2 [(0

√7

2

) 𝐶𝑜𝑠(2√7𝑡) + (10

) 𝑆𝑒𝑛(2√7𝑡)] + (

5

7𝑡 +

3

143

2𝑡 −

5

28

)

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