PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL Consideremos el siguiente proyecto que consta de 12 tareas estrictamente necesarias, donde la relacin de predecesores, tiempos (en semanas) y costos se resume en la tabla a continuacin:

DIAGRAMA (REDES CON ACTIVIDADES EN LOS NODOS)

El proyecto tiene una duracin estimada de15,5 semanasy existe una nicaruta crtica:A-B-D-G-H-I-K-L(notar que todas las actividades en esta ruta tienen holgura igual a cero). El costo del proyecto es de$2.620y se obtiene simplemente sumando los costos normales de cada una de las actividades.

En este contexto, el siguiente modelo de Programacin Lineal permite abordar de forma ptima el problema de cmo reducir la duracin del proyecto de la forma ms econmica posible, mediante la reduccin del tiempo de las actividades (en particular de las actividades pertenecientes a la(s) ruta(s) crtica(s)).

Funcin Objetivo:Se buscar minimizar el costo adicional asociado al proyecto luego de hacer elcrashingnecesario para completar el proyecto en un tiempo determinado.

Restricciones:Cada actividad se puede reducir (de ser posible) dentro del lmite mximo de reduccin permisible:

Relaciones de predecesores entre las actividades y el tiempo de inicio y reduccin:

Por ejemplo en conjunto las inecuaciones(3)y(4)representan que la semana de inicio para la actividad D ser mayor o igual a la semana de trmino (luego de una eventual reduccin) de la que termine ms tarde entre sus actividades predecesoras (B y C). Adicionalmente hemos definido una actividadficticiao de trmino llamadaMla cual tiene como predecesoras a aquellas actividades que terminan una ruta para el proyecto (no necesariamente crtica) y nos permitir estimar la duracin del proyecto.Definicin del tiempo objetivo para el proyecto:

En la resolucin computacional conSolver de Excelse puede simular para distintos valores del parmetro K de modo de ver cmo cambian los resultados. La mnima duracin del proyecto estar dada por el menor valor de K que permite generar una instancia factible para el modelo de optimizacin.

No negatividad de las variables de decisin:

Los resultados se muestran en la tabla a continuacin donde la mnima duracin del proyecto corresponde a8,5 semanascon un costo total de$3.295($675 adicional al costo normal del proyecto). En las celdas color amarillo (variables de decisin) se puede apreciar la solucin ptima donde queda explcito cundo comienza la actividad y cunto se reduce respecto a su tiempo normal. Por ejemplo la actividad G comienza al cabo de 2,5 semanas (a contar del inicio del proyecto) y su duracin normal se reduce en 1,5 semanas (es decir pasamos de un tiempo normal de 3 a 1,5 semanas).