Problema programación lineal gráfico y algebráico

HUGO EFRAÍN GARZÓNIngeniero Industrial

http://rihelmio.blogspot.com.co


SOLCUIÓN DE UN PROBLEMA DE

PROGRAMACIÓN LINEAL

MÉTODOS ALGEBRAÍCO Y GRÁFICO


TABLA DE CONTENIDO

ÍTEM TEMA1. Introducción2. Presentación del problema3. Organización de la información4. Planteamiento del problema de PL5. Solción Algebráica y gráfica6. Conclusiones7. Bibliografía


INTRODUCCIÓN

En esta oportunidad presento un excelente problema de progrmación lineal, que originalmente lo encontramos en la obra de Render y Otros (2012), y que es de gran ayuda para un docente en cualquier curso de Programación Lineal o Investigación Operativa en el momento de trabajar una solución utilizando el método algebraico y gráfico.

Con el desarrollo de este problema se pretende mostrar al estudiante un paso a paso desde la formulación, pasando por la preapración para el método gráfico, la obtención de una solución con el método algebráico, la interpretación de la solución obtenida y la redacción de la respuesta al problema.

Espero sea de gran utilidad para todos aquellos estudiantes que están iniciando en el aprendizaje de esta hermosa temática.

1.


2.

La corporación Electrocomp fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y ventiladores de gran tamaño. El proceso de ensamblado para cada uno es similar en tanto que requieren una cierta cantidad de cableado y de perforación. Cada acondicionador de aire tarda 3 horas de cableado y 2 horas de perforación. Cada ventilador tiene que pasar por 2 horas de cableado y 1 hora de perforación. En el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de cableado y hasta 140 horas de tiempo de perforación que se pueden utilizar. Cada aparato de acondicionador de aire vendido genera una utilidad de $25. Cada ventilador ensamblado se puede vender con una utilidad de $15. Formule y resuelva esta situación de la mezcla producción de PL para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que genera la mayor utilidad.

PROBLEMA ELECTROCOPM (I)


3. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN

La información procedente de la lectura del problema debe ser organizada para facilitar la detrerminación de la función objetivo y las diferentes restricciones. Esto se aprecia en la siguiente tabla:

ProductosAcondicionador

de AireVentilador gran

tamaño Disponibilidad

Cableado (Horas) 3 2 240

Perforación (Horas) 2 1 140

Utilidad Unitaria ($) 25 15


4.

4. 1 DEFINIR LAS VARIABLES DE DECISIÓN

Para el plantemiento de los tres casos que presenta este problema se definen las siguientes variables:

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE PL

x = Cantidad de acondicionadores de aire a fabricar

y = Cantidad de ventiladores de gran tamaño a fabricar


4. 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Parte 1 Parte 2A Parte 2B


SOLUCIÓN METODO GRÁFICO Y ALGEBRAICO 5.

PASOS

1. Graficar las restricciones como igualdades, utilizando el método de los dos puntos.

2. Obtener la región factible, señalando los puntos extremos.

3. Definir las coordenadas de cada uno de los puntos extremos.

4. Calcular la función objetivo en cada uno de los puntos extremos de la región factible.

5. Seleccionar el valor más alto de la funcíon objetivo, ya que estamos maximizando.

A continuación desarrollamos cada uno de los pasos para cada una de las tres partes :


5. 1 GRAFICO LAS RESTRICCIONES


5. 2 OBTENER LA REGIÓN FACTIBLE

5. 2.1 Gráfica de las inecuaciones


5. 2.2 Gráfica de la región factible

La región factible es la intersección del las áreas solución de cada una de las inecuaciones y está delimitada por los puntos A (0,120) , C (70,0), F (0,0) y E cuyas coordenadas se debn establecer algebraicamente, si la gráfica no lo permitiera por su falta de precisión.

E n e s t e e j e r c i c i o a m a n e r a d e i lus t rac ión determinaremos las coordenadas de l punto E por e l método algebríaco.


5.2.3 Región factible y Función Objetivo

La función objetivo Z = 25x + 15 y, es la recta de color rojo en la gráfica y se m u e v e e n f o r m a p a r a l e l a h a s t a alcanzar cada uno de los puntos, en el punto en que Z tenga el mayor valor se encuentra la solución al problema. E s t e p r o c e s o l o r e a l i z a r e m o s d e t e m i n a n d o , p r i m e r o l a s coordenadas del punto y luego en una tabla los valores de la función objetivo en cada punto.


5. 3 DEFINIR LAS COORDENADAS DE PUNTO E


5. 4 RESPUESTA PARTE No 1

Máx Z= 25x +15y S.A

3x +2y ≤ 240 2x + v y ≤ 140 x, y ≥ 0

Parte 1


2.La gerencia de Electrocomp se da cuenta que olvidó incluir dos restricciones fundamentales (véase el problema 1). En particular, la gerencia decide que debería haber un número mínimo de equipos de acondicionador de aire producidos con la finalidad de cumplir un contrato. Además, debido a un exceso de oferta de ventiladores en el periodo anterior, se debería poner un límite en el número total de ventiladores producidos.

1. Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 20 acondicionadores de aire, pero no más de 80 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima?, ¿Cuánta holgura hay para cada una de las cuatro restricciones?

2. Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 30 acondicionadores de aire, pero no más de 50 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima?, ¿Cuánta holgura hay en cada una de las cuatro restricciones en la solución óptima?

PROBLEMA ELECTROCOPM (II)


PREGUNTA 2A

Si Electrocomp decide que se deberían fabricar por lo menos 20 acondicionadores de aire, pero no más de 80 ventiladores, ¿cuál sería la solución óptima?, ¿Cuánta holgura hay para cada una de las cuatro restricciones?


3x +2y ≤ 240 2x + y ≤ 140

x, y ≥ 0

x ≥ 20 y ≤ 80

PLanteamiento 2A


Gráfico de las restricciones como igualdades


Gráfica de las inecuaciones

3x + 2y ≤ 240 2x + y ≤ 140


Gráfica de las inecuaciones

x ≥ 20 y ≤ 80


Gráfica de la región factible


Solución Punto 2A


PREGUNTA 2B

Si Electrocomp decide que se deberían f a b r i c a r p o r l o m e n o s 3 0 acondicionadores de aire, pero no más de 50 venti ladores, ¿cuál ser ía la solución óptima?, ¿Cuánta holgura hay en cada una de las cuatro restricciones en la solución óptima?


3x +2y ≤ 240 2x + y ≤ 140

x, y ≥ 0

x ≥ 30 y ≤ 50

Planteamiento Parte 2B


Gráfico de las restricciones como igualdades


Gráfica de la región factible


Solución Punto 2A


CONCLUSIÓN 6.

El problema presentado ha permitido poner en práctica algunas de las competencias y saberes adquiridos por el estudiante no sólo en la asignatura de Investigación de Operaciones o programación lineal, sino en otras propias de la carrera que estén cursando.

Queda muy clara la complejidad de los problemas que el ingeniero debe resolver en la realidad, a pesar de que se trate de modelos y la importancia de la lectura comprensiva y crítica para entender el problema y poder realizar el plantemaineto del mismo.

Los métodos gráfico y algebráico se complementan para permitirnos encontrar soluciones a los problemas de PL , péro es labor de la mayor importancia para el ingeniero analizar la información obtenida, comprender y redactar adecuadamente la solución al problema.


BIBLIOGRAFÍA 7. RENDER, STAIR, HANNA. (2012). Métodos cuantitativos para los negocios. PEARSON, Mexico. Undecima Edición. 674 pp. Recuperado de: https://goo.gl/jmTFt4

IMÁGNES: PIXABAY https://pixabay.com/


http://rihelmio.blogspot.com.co

Problema programación lineal gráfico y algebráico

Engineering

Transcript of Problema programación lineal gráfico y algebráico