PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

55
FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE BALANCEO DE LINEA EN U (UALBP-E) MINIMIZANDO EL COSTO DE PROCESO DE LAS TAREAS Y MAXIMIZANDO LA EFICIENCIA DE LA LÍNEA MAESTRIA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL JUAN DAVID MORA PABÓN 200912354 Asesor: JOSE FIDEL TORRES DELGADO UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL NOVIEMBRE DE 2015

Transcript of PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

Page 1: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE

BALANCEO DE LINEA EN U (UALBP-E) MINIMIZANDO EL COSTO DE

PROCESO DE LAS TAREAS Y MAXIMIZANDO LA EFICIENCIA DE LA LÍNEA

MAESTRIA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

JUAN DAVID MORA PABÓN

200912354

Asesor:

JOSE FIDEL TORRES DELGADO

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

NOVIEMBRE DE 2015

Page 2: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

Tabla de Contenido 1. Introducción ................................................................................................................................ 1

2. Importancia y relevancia del proyecto ........................................................................................ 2

3. Objetivos del proyecto ................................................................................................................ 3

3.1 General ..................................................................................................................................... 3

3.2 Específicos: ............................................................................................................................... 4

4. Revisión Bibliográfica................................................................................................................. 4

4.1 SALBP ................................................................................................................................ 7

4.2 GALBP ............................................................................................................................... 8

5. Descripción del problema y conceptos ...................................................................................... 10

5.1 Eficiencia .......................................................................................................................... 11

5.2 Costos flexibles de operación de las tareas .................................................................... 11

5.3 Costos de holgura del sistema ........................................................................................ 13

5.4 Costos del tiempo de ciclo ............................................................................................... 14

6. Modelos matemáticos ................................................................................................................ 15

6.1 Descripción supuestos, parámetros, conjuntos y variables de decisión de los

modelos ..................................................................................................................................... 15

6.2 Modelo matemático SALBP-E Mefi ............................................................... 22

6.3 Modelo matemático UALBP-E Mufi .................................................................. 24

6.4 Modelo de costos Mcos ............................................................................................. 27

7. Metodología .............................................................................................................................. 29

7.1 Fase I ............................................................................................................................ 30

7.2 Fase II ........................................................................................................................... 34

7.3 Fase III ......................................................................................................................... 35

7.4 Fase IV .......................................................................................................................... 35

7.5 Fase V ........................................................................................................................... 36

8. Resultados Computacionales ..................................................................................................... 36

8.1 Resultados SALBP-E Mefi ......................................................................................... 36

8.2 Resultados UALBP-E Mufi ........................................................................................ 40

8.3 Resultados de la Metodología propuesta con el modelo de costos Mcos ................ 44

Page 3: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

9. Conclusiones y trabajo futuro ................................................................................................... 48

10. Bibliografía ........................................................................................................................... 50

Page 4: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

1

1. Introducción

El problema de balanceo de línea, o como se conoce en la literatura por sus siglas en ingles

ALBP (Assembly Line Balancing Problem) es un problema que en las últimas décadas ha

sido tratado desde varios enfoques; desde los más simples como el SALBP (Simple Assembly

Line Balancing Problem) (Scholl & Becker, 2006)(Esmaeilbeigi & Naderi, 2015)(Restrepo,

P, & Cruz, 2008)(Fattahi & Turkay, 2015) hasta los más complejos como el SALDBP (Setup

Assembly Line Balancing and Scheduling Problem)(Scholl, Boysen, & Fliedner, 2013).

Siendo ampliamente estudiados, principalmente en su forma más simple (SALBP) (Becker

& Scholl, 2006).

Dada su naturaleza combinatoria, estos problemas son categorizados como problemas NP-

Hard (Betancourt & Moreno, 2004) por lo que son considerados problemas difíciles de

resolver a optimalidad y en el caso de problemas industriales, su solución se dificulta debido

al gran número de tareas y restricciones que componen un proceso productivo (Boysen,

Fliedner, & Scholl, 2007). Como extensión al SALBP, existen diferentes enfoques de

solución al problema de balanceo de línea, como el SALBP-E (Simple Assembly Line

Balancing Problem TypeE), en el cual se busca realizar un balanceo de línea maximizando

la eficiencia del sistema y el UALBP (U-Type Assembly Line Balancing Problem), en el

cual se considera la posibilidad de realizar el balanceo de la línea en forma de U para también

mejorar la eficiencia del sistema, que constituye uno de los objetivos del presente trabajo.

Para este tipo de problemas, se tienen posibilidades de estudio de los costos asociados al

tiempo de ejecución de tareas, que al ser variables logran una mejora en términos de costos

con un cambio asociado al tiempo de ciclo y la eficiencia del sistema.

En el presente trabajo, se busca proponer una programación matemática para maximizar la

eficiencia del sistema con una asignación apropiada de las tareas en las líneas de producción

en el enfoque simple (SALBP-E) y en el enfoque en U (UALBP-E). Como extensión a los

problemas básicos, se tendrán en cuenta los costos de procesos de las tareas con el fin de

Page 5: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

2

proponer una solución al problema de balanceo de línea minimizando los costos asociados a

la operación de tareas y a la eficiencia de la línea.

2. Importancia y relevancia del proyecto

En este trabajo, se plantea una aproximación al problema de balanceo de línea simple

(SALBP) y en U (UALBP) con un enfoque de costos que permita mejorar la eficiencia del

sistema. Para esto, se va a realizar la comparación del modelo básico de eficiencia (SALBP-

E) y la configuración en U (UALBP-E) con una propuesta relacionada a la extensión de

costos. Este trabajo cuenta con un enfoque que linealiza los problemas no lineales (SALBP-

E Y UALBP-E) (T. Urban, 1998) y un modelo nuevo de costos que contempla características

adicionales como la búsqueda de minimización de costos del sistema. Para lograr lo anterior,

se busca maximizar la eficiencia del sistema (la cual tiene un costo asociado) y minimizar el

costo asociado al tiempo de procesamiento de las tareas y los costos asociados al tiempo de

ciclo.

En los últimos años, se ha venido generalizando cada vez más la adopción de políticas de

manufactura esbelta como el enfoque Just in Time (JIT) que busca mejorar la eficiencia de

los sistemas al utilizar los recursos de la mejor forma posible para las empresas

manufactureras (Toksari, Işleyen, Güner, & Baykoç, 2008). Al analizar algunos casos reales,

se ha comprobado que este enfoque es adecuado en empresas cuyos modelos de producción

incluyen trabajos repetitivos o líneas de producción ya que mejora la productividad, la

calidad de los productos/procesos y finalmente termina representando mayores utilidades

económicas para las empresas (Gökçen & Aǧpak, 2006).

Dado que en la vida real es importante el enfoque Just in Time en el estudio de la líneas de

producción, el enfoque en U (UALBP) que se le va a dar al problema genera un mayor campo

de acción que el modelo SALBP. Este tipo de enfoque en U tiene varias ventajas sobre el

enfoque tradicional de línea recta, puesto que se ha podido demostrar que la configuración

en U mejora la eficiencia de las líneas de producción en comparación con las líneas

Page 6: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

3

tradicionales (Kriengkorakot & Pianthong, 2007). Adicionalmente, este tipo de

configuración es más compleja que el SALBP porque las tareas se pueden asignar

moviéndose hacia adelante o hacia atrás en la secuencia de las tareas.

Por otra parte, las empresas buscan disminuir los costos asociados a las operaciones en sus

líneas de producción (Amen, 2006). Algunas industrias tienen la capacidad de modificar los

tiempos de procesamiento de las operaciones, lo que podría llevar a una mejora en el tiempo

de ciclo. En muchas industrias, mejorar el tiempo de ciclo es importante ya que es posible

mejorar la tasa de producción (Scholl & Becker, 2005). Sin embargo, aumentar la velocidad

de las tareas conlleva un costo que puede llevar a problemas en el largo plazo, puesto que se

pueden empezar a presentar problemas de desgaste, corrosión, fatiga y daño lo cual reduciría

su tiempo de vida útil y aumentarían los costos de mantenimiento de las máquinas (Hamta,

Fatemi Ghomi, Jolai, & Bahalke, 2011). Por esta razón, el enfoque que se da en este trabajo

puede generar una oportunidad para mejorar el tiempo de ciclo aumentando la eficiencia del

sistema. Lo anterior, se puede modelar si se tienen en cuenta los costos asociados a reducir

los tiempos de las tareas, buscando un balance entre los costos de las tareas, los costos

asociados a la eficiencia y el tiempo de ciclo de todo el sistema.

Por lo anterior, en este trabajo se plantea un nuevo enfoque de estudio que agrupe las

características de costos en el enfoque de balanceo simple y de balanceo en U para poder

comparar los modelos y determinar los beneficios y ventajas de cada uno de ellos como una

aproximación del problema de balanceo de línea.

3. Objetivos del proyecto

3.1 General

Proponer una formulación para la programación lineal entera mixta para el

problema de balanceo de línea simple (SALBP-E) y en U (UALBP-E) que

Page 7: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

4

maximice la eficiencia del sistema con un modelo de costos que minimice los

costos asociados a los tiempos de ejecución de las tareas, el tiempo de ciclo y

maximice la eficiencia del sistema.

3.2 Específicos:

Modelar el problema de balanceo de lineal SABLP-E y UALBP-E que permita

obtener mejores resultados computacionales en tiempo computacional.

Modelar el problema de costos como una extensión que permita obtener mejores

resultados en términos de eficiencia y costos.

Generar una solución iterativa entre los modelos de balanceo línea y de costos que

permitan encontrar una mejor solución que maximice la holgura del sistema y

minimice a su vez los costos del mismo.

Codificar y solucionar en Gurobi – Python el problema planteado.

Comparar los resultados obtenidos en la solución del problema planteado con los

resultados de la literatura y los modelos básicos SALBP-E y UALBP-E.

4. Revisión Bibliográfica

Las líneas de producción, han sido un elemento fundamental en muchos sistemas de

producción desde los inicios de la era industrial. Este concepto apareció de acuerdo a las

ideas de la división del trabajo para la creación de partes de manera repetitiva, el cual fue

utilizado o propuesto por Eli Whitney quién en 1799 inventó el sistema de manufactura

americano, concepto base que en 1913 Henry Ford utilizó para la creación de la primera línea

de montaje móvil con el propósito de disminuir costos de producción (Betancourt & Moreno,

2004). Desde ese momento, las empresas de producción se vieron obligadas a evolucionar en

sus aspectos funcionales, con el fin de adaptarse a un mercado más competitivo y exigente,

el cual llevó al mejoramiento de los procesos de manufactura en cuanto a la optimización de

recursos, costos, mejoras de calidad y eficiencia.(Restrepo et al., 2008).

Page 8: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

5

Del mejoramiento de los procesos productivos en línea nació el concepto y el problema de

balanceo de líneas de producción, el cual consiste en distribuir las tareas necesarias para

realizar un proceso a través de un conjunto de estaciones que componen una línea de

producción. Este concepto en la literatura se conoce como ALBP (Assembly Line Balancing

Problem), que considera diferentes restricciones dependiendo del objetivo que se trabaje.

Estos problemas cuentan con un conjunto de tareas o actividades con un grafo de

precedencias1 asociado como se puede ver en la Ilustración 1.

Ilustración 1. Ejemplo de grafo de precedencia del problema Jackson 11

En la ilustración anterior, se presenta la secuencia de actividades para un sistema de la

literatura de 11 actividades. En este grafo, se puede observar que cada una de las tareas tiene

restricciones de precedencia, por lo que un adecuado balanceo de línea para este problema

debe respetar la secuencia de tareas predefinida al momento de definir la cantidad de

estaciones y las tareas que se procesan en las mismas. Estos grafos de precedencia están

asociados a cualquier problema de balanceo de línea, desde los más simples hasta los más

complejos, puesto que esto constituye uno de los supuestos básicos para estos estudios

(Baybars, 1986).

1 Grafo dirigido que representa el orden de tareas que se debe seguir en un proceso.

Page 9: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

6

Los enfoques clásicos de este problema, consideran diferentes supuestos en los sistemas, por

lo que todos los problemas de este tipo fueron categorizados en 1986 como SALBP (Baybars,

1986). Existen diferentes enfoques de estudio, como los que buscan minimizar el número de

estaciones del sistema dado un tiempo de ciclo definido (SALBP-1), minimizar el tiempo de

ciclo dado un número de estaciones (SALBP-2), maximizar la eficiencia del sistema

(SALBP-E) o buscar una solución factible a un problema dado un número de estaciones y un

tiempo de ciclo determinado (SALBP-F) (Betancourt & Moreno, 2004). Por otra parte, en la

literatura existe otro concepto asociado al balanceo de línea, el cual es conocido como

GALBP (General Assembly Line Balancing Problem). El GALBP, engloba y generaliza

todos los problemas de balanceo de línea que no son simples y que buscan otro tipo de

objetivos, ie, estaciones en paralelo, líneas en U, modelos mixtos, tiempos de procesos

variables, entre otros (Baybars, 1986)(Becker & Scholl, 2006)(Scholl & Becker,

2006)(Betancourt & Moreno, 2004).

En el siguiente diagrama, se muestra un resumen de la clasificación de los problemas de

balanceo de línea propuestas por Baybars (1986), Ghosh y Gagnon (1989), Graves y Lamar

(1983), Scholl (2013), Becker y Scholl( 2006).

Ilustración 2. Resumen de los problemas de balanceo de línea

Esta ilustración, muestra un resumen de algunos de los problemas que se han trabajado en la

literatura y la clasificación de los mismos desde los enfoques simples hasta los más

complejos.

Page 10: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

7

4.1 SALBP

El problema de balanceo de línea simple (SALBP), consiste en asignar tareas a una secuencia

ordenada de estaciones de manera que las relaciones de precedencia entre las tareas se

cumplan y sea posible evaluar alguna medida de desempeño. Este problema ha sido estudiado

desde la década de los 50’s, siendo definido en primera instancia por Bryton en 1954 y

formulado matemáticamente por Salverson en 1955 (Aǧpak & Gökçen, 2005).

Posteriormente Gutjahr y Nemhauser 1964 establecieron que el SALBP es un problema de

optimización combinatorio NP-Hard, por lo que cualquier problema que tenga como base el

SALBP es NP-Hard, llevando a que muchos más investigadores decidieran empezar a

estudiarlo a fondo (Erel & Gokcen, 1999).

Existen diferentes formas en que se puede enfocar la solución de este problema, siendo las

más tradicionales:

SALBP-1: Busca minimizar el número de estaciones dada una tasa de producción

acordada.

SALBP-2: Partiendo de un número de estaciones predefinido, se busca distribuir las

tareas u operaciones de tal forma que se minimice el tiempo de ciclo de todo el

sistema.

SALBP-E: Es la unión de los dos anteriores, el cual busca maximizar la eficiencia del

sistema, buscando minimizar el número de estaciones y tiempo de ciclo de forma

simultánea(Boysen et al., 2007).

SALBP-F: Este problema busca alguna solución factible para la combinación de un

número de estaciones y un tiempo de ciclo definidos (Betancourt & Moreno, 2004).

La mayoría de los estudios se han hecho para SALBP-1 y SALBP-2, teniendo un gran

número de investigaciones. Entre éstas, se encuentran el primer modelo matemático

planteado y el uso de la programación entera por parte de Salverson, la programación

dinámica de Jackson para el SALBP-1, los modelos matemáticos de variables binarias de

Bowman, el uso de programación entera mixta por parte de Essafi, Delorme, Dolgui y

Page 11: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

8

Guschinskaya (Wei & Chao, 2011), algoritmos exactos como los que presenta Bayrbars

(1986) y metaheurísticas como algoritmos genéticos (Chong, Omar, & Bakar, 2008)(Hamta

et al., 2011).

Mientras tanto, el modelo SALBP-E, ha tenido una menor intensidad de investigación

posiblemente debido a su complejidad. A pesar de esto, se ha llegado a métodos heurísticos,

en los cuales se utiliza primero el modelo SALBP-1 para encontrar una cota superior para el

número mínimo de estaciones, luego de implementa iterativamente el modelo SALBP-2 al ir

disminuyendo en uno el número de estaciones (Wei & Chao, 2011) (Hamta et al., 2011

)(Plans & Corominas, 1999) (Amen, 2006). Igualmente, existen otros estudios en los cuales

se han realizado modelos de programación matemáticas para la solución este problema (Plans

& Corominas, 1999)(Esmaeilbeigi & Naderi, 2015)(Graves & Lamar, 1983). Por otra parte

al ser este un problema de mayor complejidad, en los últimos años, los investigadores se han

enfocado en el uso de metaheurísticas como algoritmos genéticos (Yolmeh & Kianfar, 2012)

(Zhang, Xu, & Gen, 2014) (Hamta et al., 2011) (Amen, 2000), colonia de hormigas

(Kucukkoc & Zhang, 2015)(Ze-qiang, Tang, & Bin, 2007), enfriamiento simulado (Cakir,

Altiparmak, & Dengiz, 2011), entre otras.

4.2 GALBP

El General Assembly Line Balancing Problem (GALBP) propuesto por Baybars en 1986 es

la generalización de los problemas clásicos (SALBP), en donde se busca la solución de

objetivos diferentes a los tradicionales de acuerdo a objetivos de costos como primera

aproximación a este concepto (Baybars, 1986). En 1989, Gnosh y Gagnon extendieron el

concepto propuesto en 1986, considerando un mayor número de restricciones, esto con el fin

de considerar un mayor número de características y enfoques de solución al balanceo de línea

(Ghosh & Gagnon, 1989). Del concepto general del GALBP se han generado diferentes

enfoques de trabajos como los presentados en la Ilustración 2.

Page 12: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

9

Uno de los enfoques más representativos del GALBP, es el U-Type Assembly Line

Balancing Problem (UALBP), este tipo de problemas es uno de los más trabajados en la

literatura debido a que el balanceo de línea no necesariamente puede realizarse en línea recta.

Para los sistemas de producción actuales, las líneas en forma de U han sustituido cada vez

más las líneas tradicionales como resultado de la filosofía (JIT) just-in-time (T. L Urban,

1998). Por otra parte, muchos investigadores coinciden en que la disposición en forma de U

es uno de los componentes más importantes para una implementación exitosa de la

producción JIT (J. Miltenburg, 2001)(Burns & Tou, 1989). La diferencia principal que se

puede observar entre las líneas de ensamble tradicionales y las líneas en U, es la entrada y

salida de los productos, ya que el producto sale del sistema por el mismo lugar en el que

ingresó (Burns & Tou, 1989)(Manavizadeh, Hosseini, Rabbani, & Jolai, 2013) por lo que se

tiene un caso de estudio diferente si se trabaja con el problema de balanceo de línea o el

balanceo de línea en U (UALBP).

En la literatura, algunos autores han trabajado el enfoque de línea en U con los mismos

objetivos que en el SALBP, por lo que se tienen enfoques que buscan minimizar el número

de estaciones (UABLP-1), y el tiempo de ciclo del sistema (UABLP-2) y maximizar la

eficiencia (UALBP-E), siendo los dos primeros los más trabajados (Gökçen & Aǧpak,

2006)(Kriengkorakot & Pianthong, 2007). Por otra parte, el enfoque de eficiencia no ha sido

ampliamente trabajado debido al tamaño y la dificultad de los problemas.

Los problemas tradicionalmente son orientados al tiempo, lo que quiere decir que su objetivo

se basa en minimizar tiempos (tiempo de ciclo, tiempos ociosos, etc.) por lo cual no tienen

en cuenta factores de costos como los asociados a salarios y a maquinaría(Amen, 2006). Así,

al buscar simplicidad para la resolución de los problemas estos tienden a ser altamente

restrictivos en sus supuestos y por tanto pueden no representar la realidad industrial. Esto

ocurre en líneas de producto de gran tamaño y volumen o en líneas, como las de bienes de

consumo duradero, donde se necesita gran intensidad de mano de obra (Betancourt &

Moreno, 2004). Por esta razón, han surgido un mayor número de investigaciones que buscan

plantear un balanceo de línea orientada a los costos cuyo objetivo sea minimizar los costos

Page 13: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

10

por unidad de producto (Amen, 2006)(Amen, 2000)(Hamta et al., 2011)(Scholl & Becker,

2005).

5. Descripción del problema y conceptos

El presente trabajo se dividirá en tres modelos. Cada modelo va a trabajar un tipo de problema

diferente. Los problemas a trabajar son el SALBP-E, el UALBP-E y un modelo de costos

asociado al tiempo de proceso de las tareas (utiliza como base la solución de los primeros

modelos). Al definir los modelos, se va a utilizar una metodología iterativa para alcanzar el

objetivo del presente trabajo el cual es minimizar los costos del sistema y maximizar la

eficiencia de la línea (Ver sección 7 Metodología).

Para el primer problema (SALBP-E), se va proponer un modelo de programación entera

mixta basada en el trabajo desarrollado por Esmaeilbeigi & Nader (2015), proponiendo

pequeños cambios al cálculo de algunos de los parámetros propuestos en la literatura con el

fin de reducir el tiempo computacional de la propuesta los cuales se explicaran más adelante.

Este problema, originalmente es un modelo no lineal, por lo que se utilizará como base la

linealización propuesta por Esmaeilbeigi. Este modelo busca realizar una asignación factible

de las tareas que minimice la holgura del sistema.

Para el segundo problema (UALBP-E), se va a proponer una extensión del modelo simple

(problema 1) que tenga en cuenta la posibilidad de ejecutar tareas en forma de U como se

observa en la ilustración 5.

Adicionalmente, el tercer modelo es un problema en el cual se busca minimizar los costos

del sistema. Para este caso, los costos que se van a tener en cuenta están asociados a los

tiempos de ejecución de cada tarea, los costos por holgura en el sistema y los costos por el

incumplimiento del tiempo de ciclo original.

Page 14: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

11

Para entender los modelos que se van a proponer se tendrán en cuenta los siguientes

conceptos.

5.1 Eficiencia

La eficiencia de las líneas de producción es uno de los factores más importantes (Kucukkoc

& Zhang, 2015), ya que busca utilizar los recursos disponibles de la mejor forma, con el fin

de obtener los mejores resultados en el proceso.

En los modelos clásicos SALBP-E y UALBP-E, se busca mejorar la eficiencia del sistema

como el producto del número de estaciones por el tiempo de ciclo, lo que hace que estos

problemas sean no lineales (Plans & Corominas, 1999)(Becker & Scholl, 2006). Como

solución alterna a maximizar la eficiencia, se puede buscar la minimización de la holgura2

del sistema. La búsqueda de este objetivo asegura que se logre maximizar la eficiencia del

sistema. Con esta solución, se puede solucionar el problema de no linealidad del modelo

(Esmaeilbeigi & Naderi, 2015) para el caso en que no se tengan definidos la cantidad de

estaciones o el tiempo de ciclo del sistema.

En este documento se va a trabajar con la holgura del sistema con el fin de maximizar la

eficiencia, teniendo en cuenta que la cantidad de estaciones y el tiempo de ciclo del sistema

no están definidos.

5.2 Costos flexibles de operación de las tareas

En los problemas de balanceo de línea se tienen secuencias de. En las instancias de la

literatura, los tiempos de las actividades fueron definidos al momento de la creación de las

mismas, sin embargo en los sistemas reales, los tiempos de tareas son definidos de acuerdo

2 Diferencia entre el tiempo de ciclo de las estaciones del sistema y el tiempo real de ejecución de todas las tareas en cada estación.

Page 15: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

12

al estudio del sistema y del proceso de cada una de las actividades que se realizan en el

mismo.

Dependiendo de las necesidades de las empresas, los tiempos de las tareas pueden variar de

acuerdo a las características que tengan. En ciertos casos, el tiempo de las tareas puede

reducirse con el fin de mejorar el tiempo de ciclo del sistema y así aumentar la tasa de

producción (Amen, 2000), pero para lograrlo se debe incurrir en un costo. El esfuerzo

realizado para la reducción de tiempos puede generar costos adicionales como la capacitación

de los operarios (en manufactura con mano de obra), costos de mantenimiento, ajuste,

corrosión de las máquinas, entre otros (Hamta et al., 2011). Es importante aclarar que los

tiempos de las tareas que se pueden reducir varían de sistema a sistema debido a las

características intrínsecas de cada uno, por lo que no se tiene un estándar en la magnitud en

que se pueden disminuir estos tiempos. Sin embargo, en sistemas productivos con estudios

eficientes de tiempos se pueden definir los tiempos mínimos de operación de las actividades

por las características de las tareas, y a su vez, se pueden establecer los máximos tiempos que

están dispuestos a tener las compañías en las diferentes tareas de acuerdo al estudio realizado.

Lo anterior es importante para las empresas, puesto que el tiempo de ciclo se ve afectado por

el tiempo de procesamiento de las tareas y esto afecta directamente las tasas de producción.

En este trabajo, los costos de las tareas se van a calcular con base al trabajo realizado por

Hamta et al. (2011). Los costos de las tareas van a ser definidos en función del tiempo, donde

el costo superior del proceso se da en el tiempo original de la tarea (instancias de la literatura)

y va a ser considerado como el costo en el tiempo mínimo de procesamiento según los

estudios de tiempo, por otra parte, el costo inferior se presenta en el máximo permitido por

la empresa para el procesamiento de una tarea (tiempo superior al original). Se va a tener en

cuenta una relación lineal para estos costos cómo se presenta en la Ilustración 3.

Page 16: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

13

Ilustración 3. Ejemplo. Relación lineal entre tiempo de la tarea y costos de procesamiento de la tarea

Cómo se muestra en la Ilustración 3, se busca modelar el comportamiento de los costos de

los tiempos de proceso de las tareas. Para esto, se tendrán en cuenta los límites superiores e

inferiores para los costos y los tiempos de las tareas los cuales se propondrán más adelante.

5.3 Costos de holgura del sistema

En los sistemas de producción, la eficiencia puede tener un enfoque relacionado con la

holgura3, por lo que en este trabajo se busca minimizar la holgura del sistema con el fin de

maximizar la eficiencia del mismo.

Para el funcionamiento de una línea de producción, es necesario tener en cuenta la asignación

de las tareas para realizar los procesos productivos. Las compañías normalmente buscan tener

un proceso que sea lo más eficiente posible y que tenga una tasa de producción alta, pero en

los casos prácticos esto no siempre se puede lograr, ya sea por restricciones reales o porque

se prefiere tener una tasa de producción mayor sacrificando la eficiencia de todo el sistema.

3 Ejemplo. Un sistema con holgura 0 es una línea con eficiencia de 100%,

7

3

Tli TUi

Tiempo de tarea

Costo de

cada tarea

Page 17: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

14

Según Pinto, Dannenbring, & Khumawala (1983), en un sistema de producción no solo se

debe tener en cuenta el tiempo total de trabajo, sino también el tiempo libre de cada estación

como medida de eficiencia de las alternativas de diseño, por lo que ese tiempo ocioso afecta

directamente los costos de la línea. A razón de lo anterior, se tendrá en cuenta un costo

asociado al tiempo de holgura del sistema, en el cual las empresas están incurriendo en costos

por el trabajo de recursos que no están en uso durante todo el tiempo de ciclo, por lo que

están incurriendo en costos adicionales al tener recursos que no están operando.

5.4 Costos del tiempo de ciclo

En este trabajo, se va a considerar un costo asociado al tiempo de ciclo del sistema. Este

costo, está relacionado con el tiempo disponible que tiene la línea de producción para

completar todas las actividades de un producto. Este tiempo de ciclo se puede asociar

directamente con la tasa de producción de las empresas, que a su vez se relaciona con los

niveles de producción deseados por la empresa.

En la práctica, las compañías buscan definir un tiempo de ciclo que les permita cumplir o

superar las tasas de producción al menor costo posible, por lo que cualquier tiempo de ciclo

mayor al nivel deseado generará porcentajes de sobre tiempo, lo que implica que las empresas

deben pagar niveles de salarios más altos (Betancourt & Moreno, 2004).

En estos modelos, se considera un costo asociado al cambio en el tiempo de ciclo del sistema

de cada una de las líneas de producción. Lo anterior se refiere a que este costo va a estar

asociado a la diferencia entre el tiempo de ciclo deseado por las empresas (tiempo mínimo

de procesamiento de las tareas) Tc1 y el tiempo de ciclo obtenido al modificar los tiempos de

las tareas Tc2 (Ver sección 5.2). Este costo se puede considerar en el modelo ya que al no

cumplir con tiempo de ciclo definido las empresas pueden llegar a tener un costo por no

cumplir la tasa de producción esperada.

Page 18: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

15

6. Modelos matemáticos

Como anteriormente se mencionó, en la presente investigación se trabajará con 3 modelos.

En esta sección se van a definir cada uno de los modelos que se van a utilizar, adicionalmente

se van a presentar los supuestos, conjuntos y parámetros que se van a utilizar en cada modelo.

Los modelos son los siguientes:

Mefi: Modelo matemático entero mixto SALBP-E.

Mufi: Modelo matemático entero mixtoUALBP-E.

Mcos: Modelo matemático entero de costos.

6.1 Descripción supuestos, parámetros, conjuntos y variables de decisión de los

modelos

En esta sección se van a presentar los supuestos, parámetros, conjuntos y variables de

decisión para los modelos que se van a trabajar. Los supuestos generales van a ser para todos

los modelos, sin embargo los parámetros, conjuntos y variables de decisión no son los

mismos para todos aunque compartan algunos de ellos, por lo que en esta sección se va a

discriminar que datos utiliza cada modelo.

6.1.1 Supuestos Generales

Los supuestos que se van a trabajar en los tres modelos son los siguientes.

Los tiempos de operación de las tareas son conocidos.

Las relaciones de precedencia de las tareas son conocidas.

Cada tarea debe llevarse a cabo sólo una vez en cada corrida de producción.

Se va a tener en cuenta el caso de un solo producto.

No se consideran los tiempos de setup de las máquinas.

Se permite el tiempo de holgura en las estaciones.

Page 19: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

16

Sólo puede procesarse una tarea al mismo tiempo en cada estación.

Todas las tareas deben realizarse para completar el proceso de producción.

Una tarea solo se puede hacer en una única estación.

Se va a considerar que existe un grafo fantasma de tareas para el modelo de balanceo

de línea con forma de U.

Se van a tener en cuenta costos por unidad de tiempo de operación para cada tarea.

Se va a considerar un costo por cada unidad de holgura del sistema.

Se va a considerar un costo asociado al incumplimiento del tiempo de ciclo base.

6.1.2 Parámetros

Para los 3 modelos matemáticos, se van a utilizar las instancias de la literatura recuperadas

de http://alb.mansci.de. En estas instancias solo se tienen definido el número de tareas, las

relaciones de precedencia, los tiempos de las tareas y el límite inferiores del número de

estaciones del sistema.

Los demás parámetros que se van a utilizar en los modelos, se van a calcular de acuerdo a

los valores iníciales de las instancias. La descripción de los parámetros se puede ver en la

Tabla 1. En esta tabla, se puede ver cuales parámetros van a ser calculados y utilizados en

cada uno de los modelos.

Los parámetros 1 y 2 son valores obtenidos de las instancias, mientras que del 3 al 5 son

parámetros calculados de acuerdo al parámetro 2 (Ver ejemplo en la Tabla 1). Para el número

mínimo de estaciones, que en este caso es el parámetro 6, se utilizó el valor calculado en las

instancias. El número máximo de estaciones, que en este caso es el parámetro 7, se calculó a

partir de los parámetros 4 y 5. Para calcular los límites del tiempo de ciclo (8) y (9) se hizo

uso del modelo SALBP-2 (Minimiza el tiempo de ciclo de acuerdo a un número de estaciones

dado).

Los demás parámetros se calcularon a partir de los conjuntos que se definen en la Tabla2.

Con lo anterior, los parámetros 10 y 11 se calcularon respecto a los conjuntos que se definen

Page 20: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

17

en la sección 6.1.3, que a su vez sirvió para calcular las estaciones más tempranas y tardías

en las que pueden iniciar las tareas (parámetros 12 y 13).

Los parámetros del 1 al 13 son parámetros calculados con base al trabajo de Esmaeilbeigi &

Naderi ( 2015). Sin embargo, se hizo una pequeña modificación a los parámetros 12 y 13

como se muestra en (Scholl & Becker, 2006).Los parámetros del 14 al 17, únicamente los

utiliza el modelo Mufi. Estos parámetros, también calculan las estaciones más tempranas y

más tardías en las que puede iniciar una tarea pero en el grafo fantasma.

Los parámetros del 18 al 23 son parámetros para el modelo de costos únicamente, sin

embargo para poder comparar los tres modelos se van a usar en los modelos Mefi y Mufi.

Para los modelos Mefi y Mufi los parámetros 18 y el 19 representa el tiempo de proceso de

cada tarea obtenido de las instancias, sin embargo, para el modelo Mcos el tiempo de proceso

de cada tarea cambia y se tiene en cuenta el tiempo de la holgura obtenida en los modelos

Mefi y Mufi para el cálculo del parámetro 19.

Page 21: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

18

Tabla 1. Parámetros de los modelos

Parámetros Mefi Mufi Mcos

1 x x x

2 x x

3 x x

4 x x

5 x x

6 x x x

7 x x x

8 x x x

9 x x x

x x12

13 x x

10 x x

11 x x

Page 22: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

19

19 xx x

x

x x x

22

23

x x

20 x x x

21 x x x

x x x18

x16

x17

14 x

15 x

Page 23: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

20

6.1.3 Conjuntos

En cada uno de los modelos se trabajará con varios conjuntos. . El conjunto 1 representa el

conjunto de tareas, las estaciones se separaron entre mínimas (conjunto 2), máximas

(conjunto 3) y un conjunto de estaciones totales (conjunto 4). El conjunto 5 representa las

precedencias de las tareas, el 6 y el 7 representan conjuntos con las precedencias directas e

indirectas de cada una de las tareas. Los conjuntos 8 y 9 se crearon con el fin de reducir la

cantidad de variables a crear en el modelo, ya que no todas las tareas se pueden hacer en

todas las estaciones.

Los conjuntos del 10 al 14 son conjuntos que solo utiliza el modelo Mufi y se calculan igual

que los conjuntos del 1 al 9, pero en este caso se tiene en cuenta que se calculan respecto al

grafo fantasma.

Los conjuntos 15 y 16 son conjuntos para el modelo Mcos, los cuales se generan respecto a

la solución obtenida de los modelos Mufi y Mefi. Para estos conjuntos se tiene en cuenta el

valor (1,0) de la asignación de las tareas a las estaciones creadas.

Estos conjuntos se crearon con base al trabajo de Esmaeilbeigi & Naderi (2015)y se pueden

ver en la Tabla 2. Conjuntos de los modelos.

Page 24: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

21

Tabla 2. Conjuntos de los modelos

Conjuntos Mefi Mufi Mcos

1 x x x

2 x x x

4 x x x

16 x

14 x

15 x

12 x

13 x

10 x

11 x

x

9 x x

x x

8

7 x x

x

6

x x x3

5 x x

Page 25: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

22

6.1.4 Variables de decisión

Las variables de decisión que se van a usar en los diferentes modelos son las siguientes:

Tabla 3. Variables aleatorias de los modelos

En la Tabla 3. Variables aleatorias de los modelos se presentan como se definen las variables

que se van a utilizar en los diferentes modelos.

6.2 Modelo matemático SALBP-E Mefi

El modelo que se va a utilizar para maximizar la eficiencia del sistema y el cual se va a

modelar minimizando la holgura de la línea basado en el trabajo de (Esmaeilbeigi &

Naderi, 2015) es el siguiente:

min ∑ ℎ𝑘 (1)

𝑘 ∈𝑆𝑒𝑡𝐾

𝒔 . 𝒂

∑ 𝑥𝑖𝑘 = 1 ∀ 𝑖 ∈ 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠 (2)

𝑘 ∈ 𝐹𝑠𝑖

∑ 𝑘𝑥𝑖𝑘 ≤ ∑ 𝑘𝑥𝑗𝑘

𝑘 ∈ 𝐹𝑠𝑗

∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝑃𝐷 (3)

𝑘 ∈ 𝐹𝑠𝑖

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ℎ𝑘 = 𝑐 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑖𝑛𝑓 (4)

𝑖 ∈ 𝐹𝑡𝑘

Variables de decisión Mefi Mufi Mcos

3 x x x

4 x x x

6 x

7 x

x x

x

5 x

x

1

2

Page 26: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

23

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ℎ𝑘 ≤ 𝑐 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (5)

𝑖 ∈ 𝐹𝑡𝑘

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ℎ𝑘 ≥ 𝑐 + 𝑐𝑠𝑢𝑝(𝑢𝑘 − 1) ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (6)

𝑖 ∈ 𝐹𝑡𝑘

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ℎ𝑘 ≤ 𝑐𝑠𝑢𝑝𝑢𝑘 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (7)

𝑖 ∈ 𝐹𝑡𝑘

𝑢𝑘+1 ≤ 𝑢𝑘 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 ∪ 𝑚𝑖𝑛𝑓 (8)

ℎ𝑘 ≥ 0 ∀ 𝑘 ∈ 𝑆𝑒𝑡𝐾 (9)

𝑐𝑖𝑛𝑓 ≤ 𝑐 ≤ 𝑐𝑠𝑢𝑝 𝑐 ∈ ℤ+ (10)

𝑥𝑖𝑘 ∈ {0,1} ∀𝑖, 𝑘 ∈ 𝑃𝐷 (11)

𝑢𝑘 ∈ {0,1} ∀ 𝑘 ∈ 𝑆𝑒𝑡𝐾 (12)

En el modelo SABLP-E, la función objetivo (1) busca minimizar la holgura del sistema, esto

se hace para todas las estaciones. Se busca minimizar la holgura ya que la minimización de

esta variable asegura que se maximice la eficiencia del sistema. La restricción (2), asegura

que cada tarea debe estar asignada a una estación. La restricción (3), se encarga de probar

que la asignación de las tareas a las estaciones respete las relaciones de precedencia de las

tareas. Las restricciones (4), (5), (6), y (7) capturan la holgura del sistema cuando se tiene el

número mínimo de estaciones y cuando se llega al límite superior de estas. La restricción (4)

se tiene en cuenta solo para las estaciones que se van a crear siempre, es decir las que son el

mínimo de estaciones en el sistema y capturar así la holgura. Por otra parte las restricciones

(5, 6 y 7) capturan la holgura únicamente para las estaciones adicionales al mínimo, esto

sucede puesto que el modelo va a decidir que estaciones van a crearse y por cada estación

adicional creada se captura la holgura de la estación. Lo anterior se hizo con el fin de reducir

el número de variables al tener fijo un número de estaciones a crear (minf), por lo que se

reduce el número de variables en una cantidad igual a minf.

La restricción (8), se encarga de que si la estación k no existe la estación k+1 no se va a

crear. Finalmente, las restricciones (9), (10), (11) y (12) se encargan de definir las variables

objetivo del modelo.

Page 27: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

24

6.3 Modelo matemático UALBP-E Mufi

Este modelo es una extensión del modelo SALBP-E el cual tiene una categoría diferente en

la literatura (GALBP). En este modelo se va a considerar la existencia de un grafo fantasma

de las actividades, el cual se presenta en Ilustración 4.

Ilustración 4. Representación del grafo fantasma en la instancia Jackson 11(T. Urban, 1998)

En la ilustración anterior, se observa la representación del diagrama de precedencias con el

grafo fantasma y el original. En el lado derecho de la gráfica, se muestra el grafo original con

la secuencia de las tareas A-K. En el lado izquierdo, se presenta el grafo fantasma en el cual

la secuencia de las tareas se hace de forma inversa de las tareas K-A. Con el grafo fantasma,

se generan nuevas relaciones de precedencia en la línea, lo anterior se hace para modelar la

línea en forma de U, debido a que en este tipo de línea es posible que la última tarea pueda

realizarse en la misma estación que la primera tarea.

Page 28: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

25

Ilustración 5. Ejemplo de asignación Jackson 11 maximizando la eficiencia. (a) Balanceo simple. (b) Balanceo en U

En la gráfica anterior, se presenta la diferencia de asignaciones de las tareas dependiendo si

se hace el balanceo de la línea simple o en U (con el grafo fantasma). Se puede observar que

en el balanceo en U, las últimas tareas se pueden asignar a las primeras estaciones siempre y

cuando las relaciones de precedencia originales se cumplan (Kriengkorakot & Pianthong,

2007).

En este modelo, la cantidad de las variables se va a duplicar, debido a que se van a tener en

cuenta las relaciones de precedencia para el grafo fantasma (G. Miltenburg & Winjngaard,

2001), por lo que el tiempo computacional del modelo aumenta. Sin embargo, en este modelo

se va a reducir el número total de variables aleatorias que representan el grafo fantasma,

puesto que se van a definir nuevos conjuntos, los cuales van a tener la información de qué

tareas son factibles a realizarse en la estación seleccionada (ver conjuntos 13 y 14 en la Tabla

2). Estos conjuntos se definen de acuerdo a los valores originales de las instancias y las

precedencias del grafo fantasma.

Este modelo se plantea debido a que en casos reales se ha comprobado que el balanceo en U

está ligado al concepto Just in Time, por lo que es posible obtener una mejora en la eficiencia

del sistema (Sparling, 1998).

A B F H I J

G C D K

E

A H F B G

K J E I D C

(b)

Estación 1 Estación 2 Estación 3

Estación 1 Estación 2 Estación 3

(a)

Page 29: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

26

Es importante decir que este modelo es una extensión al trabajo de Esmaeilbeigi & Naderi

(2015) ya que se va a trabajar con líneas en U, problema que no se trató en el trabajo original.

El modelo propuesto para realizar el balanceo de línea en U minimizando la eficiencia del

sistema es el siguiente:

min ∑ ℎ𝑘 (13)

𝑘 ∈𝑆𝑒𝑡𝐾

𝒔 . 𝒂 (8), (9), (10), (11), (12)

∑ 𝑥𝑖𝑘 + ∑ 𝑦𝑖𝑘

𝑘 ∈ 𝐹𝐹𝑠𝑖

= 1 ∀ 𝑖 ∈ 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠 (14)

𝑘 ∈ 𝐹𝑠𝑖

∑ (𝑚𝑠𝑢𝑝 − 𝑘 + 1)(𝑥𝑖𝑘 − 𝑥𝑗𝑘) ≥ 0 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝑃𝐷 (15)

𝑘 ∈ 𝐹𝑠𝑖

∑ (𝑚𝑠𝑢𝑝 − 𝑘 + 1)(𝑦𝑖𝑘 − 𝑦𝑗𝑘) ≥ 0 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝑃𝐷𝐹 (17)

𝑘 ∈ 𝐹𝐹𝑠𝑖

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ∑ 𝑡𝑖𝑦𝑖𝑘

𝑖 ∈𝐹𝐹𝑇𝑘

+ ℎ𝑘 = 𝑐 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑖𝑛𝑓 (18)

𝑖 ∈ 𝐹𝑇𝑘

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ∑ 𝑡𝑖𝑦𝑖𝑘

𝑖 ∈FF𝑇𝑘

+ ℎ𝑘 ≤ 𝑐 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (19)

𝑖 ∈ 𝐹𝑇𝑘

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ∑ 𝑡𝑖𝑦𝑖𝑘

𝑖 ∈FF𝑇𝑘

+ ℎ𝑘 ≥ 𝑐 + 𝑐𝑠𝑢𝑝(𝑢𝑘 − 1) ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (20)

𝑖 ∈ 𝐹𝑇𝑘

∑ 𝑡𝑖𝑥𝑖𝑘 + ∑ 𝑡𝑖𝑦𝑖𝑘

𝑖 ∈𝐹𝐹𝑇𝑘

+ ℎ𝑘 ≤ 𝑐𝑠𝑢𝑝𝑢𝑘 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (21)

𝑖 ∈ 𝐹𝑇𝑘

𝑦𝑖𝑘 ∈ {0,1} ∀ 𝑘 ∈ 𝑆𝑒𝑡𝐾 (22)

En el modelo UABLP-E (Mufi) la función objetivo (13) busca minimizar la holgura del

sistema. La restricción (14), asegura que cada tarea deba estar asignada a una estación, para

esta restricción se tiene en cuenta la asignación de las tareas en el grafo fantasma. Las

restricciones (15) y (17), se encargan de probar que la asignación de las tareas a las estaciones

respete las relaciones de precedencia de las tareas. En estas restricciones se tienen en cuenta

Page 30: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

27

las asignaciones en el grafo fantasma por lo que las tareas deben cumplir sus precedencias

hacia adelante y hacia atrás en el grafo (Ver conjuntos 6 y 10 de la Tabla 2).

Las restricciones (18), (19), (20), y (21) capturan la holgura del sistema cuando se tiene el

número mínimo de estaciones y cuando se llega al límite superior. De igual manera se tiene

en cuenta la posible asignación que se hace en el grafo fantasma. Estas restricciones se

proponen de la misma forma en que se hizo en el modelo Mefi. Finalmente, la restricción

(22) se encarga de definir las variables objetivo del modelo para el grafo fantasma. Se debe

tener en cuenta que los conjuntos adicionales propuestos que se utilizan, buscan reducir el

número de variables a crear en el modelo.

6.4 Modelo de costos Mcos

Para este modelo, se va a utilizar el tiempo de las tareas 𝑡𝑒𝑖 como una variable, ya que se

pretende minimizar el costo asociado a los tiempos de tareas en el sistema. El modelo va a

utilizar las asignaciones de los modelos anteriores como parámetros para la solución del

mismo, esto con el fin de realizar una mejora al sistema enfocada a costos a la solución que

maximiza la eficiencia de la línea. Con esta asignación, se soluciona el problema de no

linealidad que puede resultar al tratar los tiempos de las tareas y las asignaciones de las

mismas como variables. Adicional a lo anterior, la cantidad de variables que utiliza el modelo

se va a reducir y se puede obtener un resultado adicional al modelo básico de balanceo.

Con este modelo se busca proponer mejoras a un balanceo de línea teórico que no tiene en

cuenta los costos de trabajo, por lo que la idea es proponer mejoras según los resultados del

modelo que puedan llevar al sistema a tener la mayor eficiencia posible reduciendo costos.

Para este modelo, se va a utilizar el supuesto de que el costo de las tareas disminuirá de forma

lineal (como se explicó en la sección 5.2), es decir que entre mayor sea el tiempo de

procesamiento de la tarea menor es el costo de la tarea(Amen, 2000)(Amen, 2006)(Hamta et

al., 2011). Lo anterior se hace bajo el supuesto de que entre más rápido se termine una tarea

Page 31: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

28

se va incurrir en mayores costos. Por otra parte, se tiene el supuesto de un costo asociado al

tiempo de holgura en el sistema. Los costos de las tareas y de la holgura se van a proponer

en este trabajo. De otro lado, se tiene un costo asociado al tiempo de ciclo en el que se incurre

si este no se cumple al momento de mejorar la eficiencia del sistema (como se explicó en la

sección 5.3).

Este modelo va a ser utilizado para el balanceo de línea simple y el balanceo en U con el fin

de comparar los resultados de las configuraciones (Conjuntos 15 y 16 de la Tabla 2.

Conjuntos de los modelos).

Para el modelo se debe tener en cuenta lo siguiente:

El tiempo de ciclo sigue siendo variable y puede llegar a aumentar.

El número de estaciones y las asignaciones de las tareas no se modificará en este

modelo. El modelo va a utilizar los resultados de los modelos SALBP-E y UALBP-

E propuestos.

Los costos de las tareas pueden llegar a modificar el tiempo de holgura del sistema,

buscando maximizar la eficiencia minimizando los costos de la línea.

El modelo propuesto de costos es el siguiente:

min ∑ ℎ𝑘𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜ℎ + ∑ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑝𝑖

𝑖 ∈𝑡𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠

+ 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑡𝑐(𝑐𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑀𝑒𝑓𝑖 𝑜 𝑀𝑢𝑓𝑖 − 𝑐) (23)

𝑘 ∈𝑆𝑒𝑡𝐾

𝒔 . 𝒂 (9), (10)

∑ tei + ℎ𝑘 = 𝑐 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑖𝑛𝑓 (24)

𝑖 ∈ 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑖𝑘

∑ tei + ℎ𝑘 ≤ 𝑐 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (25)

𝑖 ∈ 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑖𝑘

∑ tei + ℎ𝑘 ≥ 𝑐 + 𝑐𝑠𝑢𝑝(e𝑢𝑘 − 1) ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (26)

𝑖 ∈ 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑖𝑘

Page 32: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

29

∑ tei + ℎ𝑘 ≤ 𝑐𝑠𝑢𝑝𝑒𝑢𝑘 ∀ 𝑘 ∈ 𝐾𝑠𝑢𝑝 (27)

𝑖 ∈ 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑖𝑘

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑝𝑖 =(𝑠𝑢𝑝𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑖 − 𝑖𝑛𝑓𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑖)

(𝑖𝑛𝑓𝑡𝑖 − 𝑠𝑢𝑝𝑡𝑖)(tei − 𝑖𝑛𝑓𝑡𝑖) + 𝑠𝑢𝑝𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑖 ∀ 𝑖 ∈ 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠 (28)

sup𝑡𝑖 ≤ 𝑡𝑒𝑖 ≤ 𝑖𝑛𝑓𝑡𝑖 ∀ 𝑖 ∈ 𝑇𝑎𝑟𝑒𝑎𝑠 (29)

𝑡𝑒𝑖 𝑡𝑒𝑖 ∈ ℤ+ (30)

𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑝𝑖 ∈ ℤ+ (31)

En el modelo de costos, la función objetivo (23) busca minimizar los costos del sistema

dándole una ponderación a los costos la holgura del sistema, los costos del tiempo de

procesamiento de las tareas y los costos asociados a incumplir con el tiempo de ciclo base de

la línea (solución original del tiempo de ciclo del modelo Mefi o Mufi). Las restricciones

(24), (25), (26), y (27) capturan la holgura del sistema cuando se tiene el número mínimo de

estaciones y cuando se llega al límite superior de estaciones. Estas restricciones, ya tienen en

cuenta la asignación de las tareas que es un parámetro para este modelo. La restricción (28)

define el comportamiento de la variable de costos de procesamiento de las tareas. En esta

restricción, se tiene la relación de la función de tiempo vs costos como factor para asignar un

costo al tiempo asignado a la tarea en el modelo, en caso de no existir un cambio en el tiempo

el costo asociado va a ser el original (costo superior), esta restricción se hizo con base al

trabajo de Hamta et al. ( 2011). Las restricciones (29), (30) y (31) definen las variables del

tiempo de proceso de las tareas y el costo por proceso de las mismas.

7. Metodología

Para este trabajo, se va proponer una metodología de trabajo entre el cálculo de los

parámetros, conjuntos y la solución de los modelos. La metodología del trabajo va a ser de

forma iterativa entre los modelos, por lo que cada uno de los modelos se va a alimentar de

los resultados de otro.

Page 33: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

30

Es importante hacer iterativo el proceso con el fin de explorar nuevas soluciones en la

iteración i de acuerdo a lo encontrado en la iteración i-1. El trabajo se va a dividir en dos

procesos iterativos diferentes. El primero va a ser para la solución del problema SALBP-E,

por lo que se va a iterar entre los modelos Mefi y Mcos. Cada uno de estos modelos se va a

alimentar de los resultados del otro. Por otra parte, el segundo proceso va a ser para resolver

el problema UALBP-E y se va a realizar el proceso iterativo entre los modelos Mufi y Mcos.

Es importante recordar, que para la iteración 0 del modelo Mefi o Mufi los parámetros y

conjuntos son calculados únicamente con la información de la instancia, pero desde la

iteración 1 el cálculo de estos valores iniciales va a ser una combinación entre la instancia y

el resultado del modelo Mcos.

Es muy importante recordar que este tipo de problema es NP-Hard por lo que el tiempo

computacional es muy alto en las instancias más grandes por lo que se propone un criterio de

parada de 900 segundos para cada una de las instancias.

Para explicar mejor lo anterior, la metodología se va a dividir en 5 fases:

Fase I. Cálculo de parámetros y conjuntos Mefi o Mufi.

Fase II. Implementación del modelo matemático Mefi o Mufi.

Fase III. Cálculo de parámetros y conjuntos Mcos.

Fase IV. Implementación del modelo matemático Mcos.

Fase V. Comparar con la Fase II (vuelve a la Fase I si hay un cambio en la solución del

modelo Mcos, termina de lo contrario)

7.1 Fase I

La primera fase del trabajo, es el cálculo de los parámetros y los conjuntos para los modelos

Mefi o Mufi. esta fase es muy importante ya que con estos cálculos se va a reducir la cantidad

de variables a crear en los modelos (Ver Tabla 1. Parámetros de los modelos y Tabla 2.

Conjuntos de los modelos).

Page 34: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

31

En esta fase se definen y se calculan todos los parámetros y conjuntos por iteración, sin

embargo, existen diferencias en algunos parámetros en los modelos Mefi y Mufi que se

explicarán a continuación.

7.1.1 Fase I Mefi

Para esta fase, en la primera iteración el cálculo se va a realizar únicamente con los valores

obtenidos de la instancia (Parámetros 1, 2 y 6 - Conjunto 5). Con los valores de la instancia

se procede a calcular los 9 parámetros restantes y a definir los 8 conjuntos adicionales para

el modelo Mefi. Desde la iteración 2 el parámetro 2 cambia por el resultado del tiempo de

las tareas del modelo Mcos. Para el cálculo de los parámetros ver Tabla 1. Parámetros de los

modelos del 1 al 12 y para los conjuntos ver Tabla 2. Conjuntos de los modelos Conjuntos

del 1 al 9.

En esta fase, las modificaciones que se hicieron al trabajo propuesto por (Esmaeilbeigi &

Naderi, 2015) fueron en la definición de los conjuntos 8 y 9 y en el método de búsqueda que

se utiliza. El autor originalmente generaba los conjuntos en listas y el método de búsqueda

era exhaustivo. La propuesta de este trabajo fue generar los conjuntos como tuplas con el fin

de realizar una búsqueda denominada Sparse, donde se buscan solo los términos de las tuplas

y permite una búsqueda más rápida que la exhaustiva (“Tutorial: Modeling with the Gurobi

Python Interface - YouTube,” n.d.).

La velocidad de búsqueda en los conjuntos afecta el tiempo computacional de los modelos

propuestos por lo que fue importante hacer este cambio en el cálculo y búsqueda de los

parámetros y los conjuntos al momento de definirlos y al usarlos en la implementación de los

modelos.

Adicionalmente, se va a hacer uso del modelo SALBP-2 para el cálculo de los parámetros 8

y 9 ya que cada vez que se aumenten los tiempos de las tareas los tiempos de ciclo que son

parámetros del problemas se van a ajustar. Para más información del problema SALBP-2 ver

Page 35: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

32

(Restrepo et al., 2008). Este modelo también va a tener el mismo criterio de parada de 900

segundos ya que también es un problema NP-Hard.

7.1.2 Fase I Mufi

Para el modelo Mufi en esta fase, la primera iteración se va a realizar únicamente con los

valores obtenidos de la instancia (Parámetros 1, 2 y 6 - Conjunto 5). Con los valores de la

instancia se procede a calcular los 14 parámetros restantes y a definir los 13 conjuntos

adicionales para el modelo Mufi. Desde la iteración 2, el parámetro 2 cambia por el resultado

del tiempo de las tareas del modelo Mcos. Es importante recordar que el modelo UALBP-E

es una extensión del modelo SALBP-E por lo que el modelo Mufi utiliza los mismos

conjuntos y parámetros que el modelo Mefi y se deben considerar los datos adicionales del

nuevo enfoque con el grafo fantasma. Para el cálculo de los parámetros ver Tabla 1 y para

el cálculo de los conjuntos ver la Tabla 2.

En esta fase, las modificaciones que se hicieron al trabajo propuesto por Esmaeilbeigi &

Naderi (2015) fueron en la definición de los conjuntos 8 y 9 como se explicó anteriormente

y se agregó el cálculo de los conjuntos 11 y 12 que representan la extensión al modelo en U.

En la Ilustración 6. Predecesores directos e indirectos en el grafo fantasma se muestra un

ejemplo de cómo se definieron los conjuntos de los predecesores directos e indirectos en el

grafo fantasma (conjunto 11).

Ilustración 6. Predecesores directos e indirectos en el grafo fantasma

Page 36: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

33

Para definir los predecesores directos e indirectos, se proponen 3 reglas. La primera es para

los nodos finales (que no tienen otra conexiones salientes a nodos reales como el nodo K

fantasma) los cuales van a tener conexión con los nodos iníciales (que no tienen conexiones

entrantes de nodos fantasma como el nodo A real). i.e, El nodo final K (fantasma) es

predecesor al nodo inicial A (real). La segunda regla es para los nodos iniciales como el nodo

A fantasma (en caso de que exista más de una), los cuales van a tener como precedencias

directas e indirectas a todos los nodos con conexión hasta llegar a los nodos finales como el

K fantasma. La tercera regla, es para los nodos intermedios los cuales van a tener

precedencias únicamente hasta el nodo final fantasma (k fantasma).

Lo anterior se puede ver en la Ilustración 6. En rojo se presenta el ejemplo de la primera

regla, en verde el ejemplo de la segunda regla y la tercera regla se puede ver en amarillo en

donde un nodo intermedio solo tiene precedencias hasta el nodo final. Se definieron estas

reglas con el fin de reducir el número de variables del modelo al momento de calcular el

parámetro 19 que permiten saber cuáles son las estaciones más tempranas en las que se puede

realizar la tarea en el grafo fantasma.

Ilustración 7. Sucesores directos e indirectos en el grafo fantasma

Por otra parte, para definir el conjunto 12 se definieron dos reglas. La primera regla para

definir el conjunto de los sucesores directos e indirectos de las tareas, es que los nodos reales

que no tengan conexiones reales entrantes (línea continua) tienen como sucesores todos los

nodos fantasmas con conexiones. La segunda regla es que para todos los nodos intermedios

fantasmas, sus sucesores son todos los nodos con conexiones hasta llegar a un nodo final

fantasma.

Page 37: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

34

En la Ilustración 7 se muestra la representación de un ejemplo para el cálculo del conjunto

12. En esta gráfica, se puede ver en verde el ejemplo de la primera regla y en amarillo el

ejemplo de la segunda regla definida. Al igual que con los predecesores, se definieron estas

reglas con el fin de reducir el número de variables del modelo al momento de calcular el

parámetro 17 que permiten saber cuáles son las estaciones más tardías en las que se puede

realizar la tarea.

Adicionalmente, se va a hacer uso del modelo UALBP-2 para el cálculo de los parámetros 8

y 9 ya que cada vez que se aumenten los tiempos de las tareas los tiempos de ciclo que son

parámetros del problemas se van a ajustar. Para más información del problema UALBP-2

ver (Timothy L. Urban & Chiang, 2006)(T. Urban, 1998). Este modelo también va a tener el

mismo criterio de parada de 900 segundos ya que también es un problema NP-Hard.

7.2 Fase II

La fase dos consiste en la implementación de los modelos Mefi o Mufi. Esta implementación

se va a realizar para cada uno de los modelos por separado. Por lo anterior es importante

realizar la fase I de manera adecuada para cada modelo por separado.

Para el modelo Mefi los 12 parámetros y los 9 conjuntos permiten una implementación del

modelo Mefi que permita minimizar la holgura del sistema maximizando así la eficiencia del

mismo.

Para el modelo Mufi los 14 parámetros y los 13 conjuntos permiten una implementación del

modelo Mefi que permita minimizar la holgura del sistema maximizando así la eficiencia del

mismo. La cantidad de variables en este problema aumenta por el grafo fantasma, sin

embargo se logró una reducción a partir del cálculo de los parámetros y conjuntos explicados

en la fase I.

Page 38: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

35

7.3 Fase III

Esta fase no es muy compleja pero es necesaria para la implementación de la fase IV. En esta

fase se definen los conjuntos que se van a utilizar en el modelo de costos de acuerdo a los

resultados de los modelos Mefi y Mufi.

De acuerdo a los resultados de las asignaciones de las tareas a las estaciones obtenidas en los

modelos Mefi y Mufi se definen los conjuntos 15 y 16. Estos conjuntos son importantes ya

que el modelo Mcos va a utilizar una solución inicial (sea SALBP-E o UALBP-E).

Por otra parte, para el modelo de costos es importante el valor de la holgura que es uno de

los resultados de los modelos Mefi y Mufi, esto es relevante ya que este valor de holgura a

va a permitir tomar la decisión de la variación en los tiempos de las tareas (ver parámetro

19).

7.4 Fase IV

En esta fase se implementa el modelo de costos Mcos. Para esta fase es necesario la fase III

en la cual se calculan los parámetros y los conjuntos necesarios para la decisión del modelo.

El modelo Mcos busca reducir los costos de la línea (explicados en la sección 5) variando el

tiempo de las tareas entre un rango específico pero con la mayor eficiencia posible. El rango

en que varían los tiempos de las tareas son, el tiempo original de procesamiento ti (de las

instancias) y un tiempo superior el cual se propone en este modelo como ti + holgura

promedio del sistema (del modelo Mefi o Mufi). Lo anterior se hace bajo el supuesto que las

empresas tienen la posibilidad de aumentar el tiempo de las tareas y disminuir los costos

asociados al tiempo de procesamiento de estas.

Este modelo da como resultado los costos mínimos de acuerdo a una asignación fija, por lo

que es necesario comprobar si existe una mejor asignación con los nuevos tiempos de tareas

que el modelo Mcos genera. Esta comprobación se realiza mediante el recalculo de la

asignación de las tareas a las estaciones que maximicen la eficiencia del sistema.

Page 39: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

36

7.5 Fase V

La última fase de la metodología es hacer una comparación de los resultados obtenidos en la

Fase II y la Fase IV. En caso de que los costos obtenidos con la asignación de los modelos

Mefi o Mufi con el modelo Mcos sean diferentes se procede a hacer un proceso iterativo y

comenzar nuevamente con la fase I, lo que incluye nuevamente el cálculo de los parámetros.

Por el contrario si los resultados de costos de la Fase II y la Fase IV son los mismos se detiene

el proceso y se termina la metodología del trabajo. Esto equivale al criterio de parada puesto

que continuar iterando entre los modelos no va a mejorar los resultados.

8. Resultados Computacionales

En esta sección se evalúa el desempeño de los modelos matemáticos. Los modelos se han

codificado y compilado en Gurobi 6.5 con lenguaje Python API en un computador con

procesador Intel (R) Core (TM)i7-4702MQ 2.20 GHz 16 GB RAM.

Como se dijo anteriormente para los modelos 3 matemáticos, se van a utilizar las instancias

de la literatura recuperadas de http://alb.mansci.de.

En esta sección se va a realizar un análisis de los modelos Mefi y Mufi por separado con el

fin de compararlos con los resultados óptimos de la literatura. Adicionalmente, se van a

realizar las pruebas de la metodología propuesta para el modelo de costos con el fin de probar

la validez del trabajo iterativo que se propone.

8.1 Resultados SALBP-E Mefi

De las instancias obtenidas en la literatura, se tienen instancias de tamaño pequeño (menos

de 30 tareas), medio (entre 30 y 70 tareas) y grande (más de 70 tareas).

Inicialmente para el modelo SALBP-E se va a hacer una comparación con los resultados

óptimos obtenidos en las instancias. La idea de esto es probar si el modelo matemático llega

al óptimo en cada uno de los problemas que están propuestos en la literatura.

Adicionalmente, se va a hacer la comparación con el trabajo de (Esmaeilbeigi & Naderi,

2015) quien propuso 4 modelos diferentes para el SALBP-E que son comparables por la

función objetivo que trabajan (minimizar la holgura del sistema). La comparación se va a

realizar en tiempo computacional, nodos de búsqueda y valor del GAP obtenido por los

modelos propuestos en el trabajo de Esmaeilbeigi.

Page 40: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

37

Para la primera comparación con los resultados óptimos conocidos de las instancias se tienen los

siguientes resultados del modelo propuesto en este trabajo.

Tabla 4. Comparación de los resultados de la asignación del modelo Mefi con los resultados de las instancias

Mefi

Tamaño de la

instancia

NOMBRE DE LA

INSTANCIA # Tareas

# Estaciones

Tiempo de Ciclo (Seg)

Holgura

Cumple el valor

Optimo obtenido

en la literatura

Eficiencia (%)

Pequeña

Mertens 7 3 10 1 SI 96,55

Bowman 8 5 17 10 SI 86,67

Jaeschke 9 3 13 2 SI 94,59

Jackson 11 3 16 2 SI 95,65

Mansoor 11 3 62 1 SI 99,46

Mitchell 21 5 21 0 SI 100,00

Roszieg 25 3 42 1 SI 99,20

Heskiaoff 28 4 256 0 SI 100,00

Buxey 29 3 108 0 SI 100,00

Sawyer 30 3 108 0 SI 100,00

Mediana

Lutz1 32 4 3574 156 SI 98,90

Gunther 35 3 161 0 SI 100,00

Kilbridge 45 6 92 0 SI 100,00

Hahn 53 5 2823 89 SI 99,37

Warnecke 58 3 516 0 SI 100,00

Tonge 70 3 1170 0 SI 100,00

Grande

Wee-Mag 75 3 500 1 SI 99,93

Arcus1 83 4 18927 1 SI 100,00

Lutz2 89 3 162 1 SI 99,79

Lutz3 89 3 548 0 SI 100,00

Arcus2 111 3 50133 0 SI 100,00

Barthold 148 3 1878 0 SI 100,00

Barthol2 148 3 1412 2 NO 99,95

Scholl 297 3 23219 2 NO 99,99

En la tabla anterior se puede observar que para todas las instancias pequeñas y medianas el

modelo matemático propuesto llega al óptimo conocido para cada una de ellas. Por otra

parte, para las instancias grandes, no se alcanza el óptimo (GAP 100%) de las dos más

grandes, superior a 140 tareas. La tabla 4 presenta el número de estaciones, el tiempo de

ciclo, la holgura y la eficiencia puesto que son los valores que el modelo Mefi calcula al

minimizar la holgura del sistema. De estos resultados, se puede observar que para algunas de

Page 41: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

38

las instancias no se obtiene una asignación con una eficiencia del 100%, por lo que esta es la

razón de proponer un modelo de costos que busque aumentar la eficiencia de la línea al tener

en cuenta que los tiempos de las tareas pueden ser variables.

Adicionalmente, la asignación realizada con el modelo Mefi es adecuada y se tiene la

posibilidad de implementar el modelo en ejemplos reales con el fin de optimizar la asignación

de las tareas maximizando la eficiencia de las líneas de producción.

Por otra parte, se realiza la comparación con el trabajo realizado por Esmaeilbeigi con el fin

de hacer una comparación del desempeño del modelo propuesto por el autor y el modelo que

se trabajó en este documento. Es importante recordar que el autor trabajo con 4 modelos para

la solución del problema. Tres de los modelos propuestos por el autor (FE1-FE2-FE3) los

utilizó para probar las instancias hasta 45 tareas. Para las demás instancias de tamaño

mediano y grande el autor utilizo los modelos (FE3-FE4). El autor hizo uso de varios modelos

con el fin de reducir el tiempo computacional agregando restricciones de enteros (FE2),

desigualdades asociadas a la holgura (FE3) y restricciones adicionales para reducir el número

de variables que crea el modelo para su solución (FE4).

Page 42: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

39

Tabla 5. Comparación de los resultados computacionales del modelo Mefi con el autor Esmaeilbeigi. Instancias pequeñas y medianas

Tabla 6. Comparación de los resultados computacionales del modelo Mefi con el autor Esmaeilbeigi. Instancias medianas y grandes

Tamaño de

la instanciaINSTANCIA # Tareas

Tiempo

Computacional

(segundos)

GAP# Nodos

Explorados

Tiempo

Computacional

(segundos)

GAP# Nodos

Explorados

Tiempo

Computacional

(segundos)

# Nodos

Explorados

Tiempo

Computacional

(segundos)

# Nodos

Explorados

Mertens 7 0,023 0% 1 0,1 0% 103 0,1 68 0.1 68

Bowman 8 0,016 0% 0 0,1 0% 13 0,1 14 0.1 5

Jaeschke 9 0,032 0% 40 0,1 0% 100 0,1 69 0.2 23

Jackson 11 0,083 0% 438 0,2 0% 460 0,2 270 0.1 32

Mansoor 11 0,049 0% 54 0,1 0% 107 0,1 89 0.1 15

Mitchell 21 0,11 0% 682 0,4 0% 381 0,8 774 0.4 100

Roszieg 25 0,28 0% 187 3,5 0% 3850 3,6 4470 0.8 485

Heskiaoff 28 0,1 0% 0 289,2 0% 696182 27,7 55220 17.4 20775

Buxey 29 0,25 0% 1290 207,7 0% 169244 45,9 32853 7.8 4883

Sawyer 30 0,18 0% 455 714,6 25% 528396 44,7 44816 34 31361

Lutz1 32 7,38 0% 10291 57,6 0% 27324 46,1 23975 8,8 5550

Gunther 35 0,09 0% 0 301,8 0% 132851 67,6 35008 19,3 8185

Kilbridge 45 3,47 0% 7559 647,9 33% 861801 5 3091 2,7 1025

Promedio 0,93 0,00 1615,15 171,02 4,5% 186216,31 18,62 15439,77 16,20 5577,46

Mefi FE1. FE2. FE3.

Pequeña

Mediana

Tamaño de

la instanciaINSTANCIA # Tareas

Tiempo

Computacional

(segundos)

GAP# Nodos

Explorados

Tiempo

Computacional

(segundos)

GAP# Nodos

Explorados

Tiempo

Computacional

(segundos)

GAP# Nodos

Explorados

Hahn 53 0,98 0% 1150 1,5 0% 531 1,5 0% 379

Warnecke 58 0,182 0% 0 1380 69% 79959 1157,8 56% 200129

Tonge 70 1,27 0% 1105 1781,1 85% 553871 1650,6 84% 533367

Wee-Mag 75 48,2 0% 9694 1557,7 79% 135882 1444,3 71% 111403

Arcus1 83 144,38 0% 281831 1679,7 54% 275812 1663,9 53% 447361

Lutz2 89 103,007 0% 12243 1488,2 66% 39710 1438,9 61% 140658

Lutz3 89 0,144 0% 0 833,5 14% 81564 386,1 0% 67547

Arcus2 111 23,93 0% 4060

Barthold 148 0,22 0% 0

Promedio 35,81 0,00 34453,67 1245,96 52% 166761,29 1106,16 46% 214406,29

FE3. FE4.

Mediana

Grande

Mefi

Page 43: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

40

De las tablas anteriores, se puede observar que el modelo Mefi trabajado en este documento

obtiene mejores resultados computacionales para los problemas SALBP-E que los reportados

en el trabajo de Esmaeilbeigi & Nader (2015). En todas las instancias probadas, se puede

observar que el tiempo computacional es menor en promedio un 96%, por otra parte el

número de nodos explorados en promedio es menor en un 85%. En la tabla 6, se puede ver

que el modelo propuesto en este trabajo llega al óptimo, mientras que el autor reporta un

GAP de más del 60% en las instancias medianas y grandes, adicionalmente en este trabajo

se presentan resultados de las instancias grandes (111-148 tareas) de la literatura. No se pudo

obtener resultados de la instancia de 297 tareas por el tamaño del problema y el tiempo

computacional asociado a este.

Esta comparación se realiza debido a que el trabajo propuesto por el autor buscaba reducir

el tiempo computacional y la cantidad de nodos a explorar con sus modelos propuestos. En

este trabajo, la modificación hecha para el cálculo de los parámetros y el tipo de búsqueda

realizada permitió una mejora en tiempo computacional. Sin embargo, es importante aclarar

que la mejora en los tiempos y en la búsqueda no se hizo únicamente con el tipo de búsqueda

utilizada, el autor utilizó Cplex para correr los modelos y en este trabajo se utilizó Gurobi

por lo que existe una diferencia de 1,6 veces en la velocidad de solución de los problemas

debido a que el optimizador utilizado en este trabajo es mejor en términos de tiempo

computacional y búsqueda (“Gurobi 5.1 Performance Benchmarks vs. CPLEX and XPRESS

- Benchmarks 5.1b.pdf,” n.d.). Por otra parte, se tiene una diferencia en el equipo utilizado

por el autor y este trabajo ya que hay una diferencia en la capacidad de la memoria (4 GB

RAM Vs. 16 GB RAM) y en el procesador utilizado (Single-Core 2,5 GHz Vs. I7 2,2 GHz)

lo que también permite explicar la diferencia en el tiempo computacional de este trabajo.

De lo anterior, se puede observar que el modelo básico trabajado en este documento con los

cambios en el cálculo de algunos de los parámetros permite obtener resultados óptimos en

tiempos computacionales razonables hasta las instancias de 148 tareas por lo que es un

modelo apropiado para utilizar.

8.2 Resultados UALBP-E Mufi

De la implementación del modelo de programación entera mixta propuesta en este trabajo

para el problema de balanceo de línea en U se obtuvieron los siguientes resultados.

Page 44: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

41

Tabla 7. Resultados computacionales Modelo Mufi

Ilustración 8. Número de estaciones en las soluciones de los modelos Mefi y Mufi

Tamaño de

la instancia

NOMBRE

DE LA

INSTANCIA

# Tareas

Tiempo

Computaci

onal

(segundos)

# EstacionesTiempo de

Ciclo (Seg)Holgura

Eficiencia

(%)

Mertens 7 0,02 3 10 1 96,55

Bowman 8 0,02 5 17 10 86,67

Jaeschke 9 0,18 3 13 2 94,59

Jackson 11 1,79 3 16 2 95,65

Mansoor 11 0,08 3 62 1 99,46

Mitchell 21 0,17 3 35 0 100

Roszieg 25 1,11 5 25 0 100

Heskiaoff 28 1,46 4 256 0 100

Buxey 29 0,26 3 108 0 100

Sawyer 30 0,03 3 108 0 100

Lutz1 32 87,01 3 4714 2 99,99

Gunther 35 0,04 3 161 0 100,00

Kilbridge 45 0,32 4 138 0 100,00

Hahn 53 33,23 3 4676 2 99,99

Warnecke 58 1,31 4 387 0 100,00

Tonge 70 1,71 3 1170 0 100,00

Wee-Mag 75

Arcus1 83

Lutz2 89 35,27 5 97 0 100

Lutz3 89 56,21 3 548 0 100

Arcus2 111 7,89 3 50133 0 100

Barthold 148 68,68 3 1878 0 100

Barthol2 148

Scholl 297

Mufi

Pequeña

Mediana

Grande

2

3

4

5

6

Mer

ten

s

Bo

wm

an

Jaes

chke

Jack

son

Man

soo

r

Mit

chel

l

Ro

szie

g

Hes

kiao

ff

Bu

xey

Saw

yer

Lutz

1

Gu

nth

er

Kilb

rid

ge

Hah

n

War

ne

cke

Ton

ge

Wee

-Mag

Arc

us1

Lutz

2

Lutz

3

Arc

us2

Bar

tho

ld

Bar

tho

l2

Sch

oll

Estaciones

Mefi Mufi

Page 45: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

42

De la tabla anterior se puede observar que el modelo en U propuesto como extensión al

balanceo simple genera soluciones para casi todas las instancias. En las instancias más

grandes por el tamaño del problema y por la cantidad de variables que se crean en el modelo

no se logra obtener un resultado, pero este modelo permite obtener buenos resultados incluso

en instancias de 148 tareas por lo que podría ser utilizado en ejemplos reales de un tamaño

mediano y pequeño.

El problema UALBP-E casi no ha sido estudiado en la literatura ya que se centran

principalmente en la solución de los problemas para minimizar el tiempo de ciclo (UALBP-

2) y el cálculo del número de estaciones (UALBP-1) por lo que no se tiene un Benchmark

adecuado para realizar una comparación. Sin embargo, al utilizar las instancias de la literatura

se puede hacer un símil entre los resultados del modelo simple SALBP-E (Mefi) y la

extensión propuesta UABLP-E (Mufi) en términos de tiempo computacional y solución

(asignación de estaciones, tiempo de ciclo y eficiencia del sistema). Para poder hacer esta

comparación, primero se realizó manualmente la prueba de las relaciones de precedencia ya

que no se tiene una base comparativa de las soluciones. De la revisión de las restricciones de

precedencia en la configuración en U de las tareas para todas las instancias probadas, se

encontró que cada una cumplía sus precedencias, por lo que se puede decir que la solución

es factible. Por otra parte se obtuvo un GAP del 0% para todas las instancias por lo que el

modelo encontró el óptimo para el problema trabajado en todas las instancias con resultados.

En la tabla 7 se pueden observar unos cambios entre la solución del modelo Mefi (tablas 4-5

-6) y el modelo Mufi. La primera diferencia radica en los tiempos computacionales de los

modelos, puesto que al tener el grafo fantasma en el modelo en U la cantidad de restricciones

y variables de cada uno de los modelos aumenta y el tiempo computacional aumenta de la

misma forma, pero con el trabajo previo del cálculo de los parámetros la diferencia no es tan

grande. Al trabajar el modelo básico propuesto por Urban y tener en cuenta el grafo fantasma

la cantidad de variables aumentaba al doble (T. Urban, 1998), lo que no sucede en este caso,

ya que el modelo Mufi crea variables de acuerdo a los resultados de los parámetros 16 y 17.

Lo anterior se puede observar en la tabla 8 donde se presentan los resultados de la creación

de variables de los modelos Mefi y Mufi. La tabla 8 presenta que la cantidad de variables

creadas para la solución del modelo en U ya no es el doble al modelo simple. Con el

tratamiento de los parámetros se logró en promedio la creación de 1,88 variables y 1,84

restricciones al modelo simple sin afectar la calidad de la solución en U.

En la tabla 7 (en verde) y en la ilustración 8, se puede observar que la solución del modelo

en U genera diferencias en la cantidad de estaciones y tiempo de ciclo en algunas de las

instancias. Lo anterior se da debido a la mejora obtenida en la holgura (color azul) y la

Page 46: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

43

eficiencia de las instancias (amarillo) ya que el modelo Mufi trata de maximizar por defecto

la eficiencia en el sistema (Toksari et al., 2008) y esa mejora se logra con la asignación de

las tareas en U aumentando en algunos casos la cantidad de estaciones utilizadas.

Tabla 8. Comparación del número de variables y restricciones de los modelos

Mefi Mufi

Tamaño de la

instancia

NOMBRE DE LA

INSTANCIA # Tareas # Variables

# Restricciones

# Variables #

Restricciones

Pequeña

Mertens 7 39 25 67 42

Bowman 8 25 25 51 72

Jaeschke 9 65 40 112 68

Jackson 11 83 44 146 74

Mansoor 11 58 34 93 56

Mitchell 21 183 76 351 130

Roszieg 25 244 89 466 157

Heskiaoff 28 292 99 563 168

Buxey 29 387 109 731 188

Sawyer 30 402 106 765 194

Mediana

Lutz1 32 336 106 644 108

Gunther 35 456 124 885 215

Kilbridge 45 495 143 963 252

Hahn 53 430 163 733 263

Warnecke 58 1761 240 3425 440

Tonge 70 1600 240 3133 446

Grande

Wee-Mag 75

Arcus1 83

Lutz2 89 4382 395 8662 703

Lutz3 89 2011 291 3975 495

Arcus2 111 2987 387 5939 660

Barthold 148 2245 375 4373 1378

De los resultados de este modelos se puede ver que en algunos de ellos existe una mejora en

eficiencia generando en algunos casos (depende de la instancia o el problema) la creación

de estaciones adicionales. Sin embargo, el obtener una mayor eficiencia podría ser benéfico

para algunas empresas por lo que el modelo propuesto es adecuado y se podría utilizar ya

que cumple los requerimientos de factibilidad y genera un resultado óptimo.

Page 47: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

44

8.3 Resultados de la Metodología propuesta con el modelo de costos Mcos

Para la metodología propuesta, se va a realizar una comparación de los resultados de los modelos

Mefi y Mufi con la solución del modelo de costos para cada una de las instancias. Inicialmente, se

va realizar una prueba con costos propuestos para probar si existe una mejora asociada a la

eficiencia y a los costos de todo el sistema.

Para esta prueba se va utilizar un costo de holgura de 848 (parametrizable), un costo mínimo para

realizar una tarea de 5000 y un máximo de 14000. Sin embargo, se va a realizar un análisis de

sensibilidad para estos costos.

Tabla 9. Comparación modelo Mefi con el modelo de costos Mcos

Tabla 10. Comparación modelo Mufi con el modelo de costos Mcos

Las tablas 9 y 10 muestran los resultados de la metodología propuesta en este trabajo con los

parámetros de costos mencionados anteriormente. En las tablas, se puede observar un

resumen de las instancias en las que aplicando la metodología se obtiene un mejor resultado

en términos de costos y de eficiencia en el sistema. Es importante recordar, que al

implementar los modelos básicos Mefi y Mufi, algunos de los resultados de las instancias ya

llegaban a una eficiencia del 100 % (12 instancias con el modelo Mefi y 13 instancias con

el modelo Mufi de un total de 22 instancias) por lo que la metodología no genera mejores

resultados cuando se tiene una eficiencia del 100%.

La tabla 9 muestra los resultados de la metodología en relación al modelo Mefi y la tabla 10

respecto al modelo Mufi. Todos los resultados obtenidos se presentan en las instancias que

tenían holgura. Adicionalmente, se puede observar que entre mayor es la holgura la cantidad

de iteraciones que se necesitan para tener el mínimo costo con la mayor eficiencia aumenta.

Se puede observar, que el trabajo propuesto genera mejores resultados en la configuración

en U en las instancias pequeñas lo cual muestra que la propuesta puede ser implementada.

Tamaño de

la instanciaINSTANCIA # Tareas # Estaciones

Tiempo de

Ciclo (Seg)Holgura Costo Total

Eficiencia

(%)

#

Iteraciones# Estaciones

Tiempo de

CicloHolgura Costo Final

Eficiencia

Final (%)

Pequeña Bowman 8 5 17 10 120480 86,67 5 5 22 0,00 118360 100,00

Mediana Lutz1 32 4 3574 156 580288 98,90 1 4 3.574 0,00 411964 100,00

Mediana Hahn 53 5 2823 89 817472 99,37 2 5 2.898 0,00 683957 100,00

Mefi Mcos

Tamaño de

la instanciaINSTANCIA # Tareas # Estaciones

Tiempo de

Ciclo (Seg)Holgura Costo Total

Eficiencia

(%)

#

Iteraciones# Estaciones

Tiempo de

CicloHolgura Costo Final

Eficiencia

Final (%)

Mertens 7 3 10 1 98.848 96,55 0 3 10 0 89.000 100

Bowman 8 5 17 10 120.480 86,67 2 4 25 0 122.176 100

Jaeschke 9 3 13 2 127.696 94,59 1 3 13 0 126.000 100

Jackson 11 3 16 2 155.696 95,65 1 3 16 0 154.000 100

Mansoor 11 3 62 1 154.848 99,46 0 3 62 0 145.000 100

Lutz1 32 3 4714 2 449.696 99,99 1 3 4714 0 448.000 100

Hahn 53 3 4676 2 743.696 99,99 1 3 4676 0 742.000 100 Mediana

Mufi Mcos

Pequeña

Page 48: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

45

Variación de los costos Metodología Mefi-Mcos

Para la metodología se hizo un análisis de los costos de holgura en el modelo y los

costos de procesamiento de las tareas. Para lo anterior, se probaron los siguientes

valores en el costo de holgura (0, 500, 848, 100 y 2000) ya que es un parámetro

propuesto para este trabajo y que puede cambiar dependiendo del sistema que se esté

estudiando. Por otra parte, para el costo de las tareas se utilizaron los siguientes

rangos (100-200, 1000-5000, 5000-14000), estos rangos representan el costo de las

tareas por unidad de tiempo en variación permitida para cada tarea (Ver sección 5.2).

Las pruebas se hicieron para la instancia Hahn de 53 tareas. La prueba se realizó en

esta instancia porque es la instancia donde se puede observar mejor el

comportamiento de la metodología debido a la holgura inicial al correr el modelo

Mefi. De las pruebas realizadas para la instancia, se obtuvo el resultado de aumentar

la eficiencia del sistema a un 100%, sin embargo, se tuvieron algunos cambios en los

resultados por el cambio del parámetro de los costos. Los cambios observados se

presentaron en el tiempo de proceso de todas las tareas y la cantidad de iteraciones

realizadas por la metodología. Lo anterior se puede observar en las ilustraciones 9 y

10.

Ilustración 9. Iteraciones por instancia según el costo de holgura Metodología Mefi

En la ilustración 9 se puede observar el cambio en la cantidad de iteraciones de la

metodología con el cambio de los costos de la holgura. La grafica presenta que a

menor costo de holgura mayor es la cantidad de las iteraciones necesarias para tener

0

2

4

6

8

10

12

14

16

CostoHolgura 0

CostoHolgura 500

CostoHolgura 848

CostoHolgura 1000

CostoHolgura 2000

# iteraciones

Variación de los costos de Holgura del sistema

Hahn 100-2000

Hahn 1000-5000

Hahn 5000-14000

Rangos del costo de las

operaciones

Page 49: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

46

una eficiencia del 100%, sin embargo, la cantidad de iteraciones no cambia de forma

significativa al variar los costos de operación de las tareas, por lo que se puede decir

que para cualquier configuración de costos la metodología busca el mejor resultado

sin aumentar los cálculos. A su vez, En el modelo de costos se puede observar que a

menor costo de holgura el modelo buscará aumentar el tiempo de proceso de las tareas

para minimizar los costos del sistema (no tiene gran influencia el parámetro del costo

de las operaciones).

Ilustración 10. Cambio porcentual en el tiempo total de las operaciones según el costo de holgura Metodología Mefi

En la ilustración 10 se muestra el aumento porcentual en el tiempo total de las

operaciones del sistema en relación a la solución original obtenida con el modelo

Mefi. De la gráfica, se puede observar que entre menor sea el costo de holgura, el

tiempo de proceso de las tareas va a aumentar en mayor proporción. De lo anterior,

se puede ver que la variación de los costos de las tareas no presenta un efecto

significativo en la variación del tiempo de las operaciones.

Variación de los costos Metodología Mufi-Mcos

Para la metodología con relación a la configuración de la línea en U, se hicieron las

mismas pruebas para la instancia Hahn, sin embargo en esta configuración no se

observa mejoras aparentes con la metodología ya que al aplicar el modelo Mufi la

holgura del sistema es pequeña (holgura de 2). Esto se puede observar en las

ilustraciones 11 y 12.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

CostoHolgura 0

CostoHolgura

500

CostoHolgura

848

CostoHolgura

1000

CostoHolgura

2000

Cambio porcentual en el tiempo total de las

operaciones

Variación de los costos de Holgura del sistema

Hahn 1000-5000

Hahn 5000-14000

Hahn 100-2000

Rangos del costo de las

operaciones

Page 50: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

47

Ilustración 11.Iteraciones por instancia según el costo de holgura Metodología Mufi

En la ilustración 11, se puede ver que no hay ningún cambio en la cantidad de

iteraciones de la metodología para ninguna de las configuraciones de costos. La

metodología se implementa y se consigue una eficiencia del 100%, pero no es

necesario hacer más cálculos ya que el resultado del modelo Mufi ya está muy cerca

de una eficiencia del 100%.

Ilustración 12. Cambio porcentual en el tiempo total de las operaciones según el costo de holgura Metodología Mefi

De la ilustración 12, se puede observar que no existe un cambio evidente en el

aumento de los tiempos de las tareas. Lo anterior se presenta debido a que el tiempo

0

1

2

3

4

5

CostoHolgura 0

CostoHolgura 500

CostoHolgura 848

CostoHolgura 1000

CostoHolgura 2000

# iteraciones

Variación de los costos de Holgura del sistema

Hahn 100-2000

Hahn 1000-5000

Hahn 5000-14000

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0009

0,001

CostoHolgura 0

CostoHolgura

500

CostoHolgura

848

CostoHolgura

1000

CostoHolgura

2000

Cambio porcentual en el tiempo total de las

operaciones

Variación de los costos de Holgura del sistema

Hahn 1000-5000

Hahn 5000-14000

Hahn 100-2000

Rangos del costo de las

operaciones

Rangos del costo de las

operaciones

Page 51: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

48

de holgura del sistema obtenido originalmente con el modelo Mufi es pequeño. Existe

una variación en los tiempos y se obtienen mejores costos con la metodología y

debido a la configuración en U no se presenta una variación en los tiempos de las

tareas y el tiempo de ciclo (Ver Tabla 10) tan grande como ocurre al utilizar la

metodología con el modelo Mefi.

9. Conclusiones y trabajo futuro

En este trabajo, se presentó un modelo matemático entero mixto para la el problema de

balanceo de líneas en U (UALBP-E), que busca maximizar la eficiencia del sistema como

extensión al modelo simple (SALBP-E) trabajado por Esmaeilbeigi y presentado en este

trabajo con modificaciones en el cálculo de algunos parámetros con los que se mejoraron los

tiempos computacionales del modelo original. Adicionalmente, se propuso un modelo de

costos que tiene en cuenta costo de los procesos de las operaciones, el costo de holgura del

sistema y un costo asociado al tiempo de ciclo deseado por el sistema que busca maximizar

la eficiencia del sistema variando los tiempos de trabajo de las tareas.

Con los tres modelos desarrollados, se propuso una metodología para la solución de los

modelos de balanceo de línea y costos, con el fin de buscar una mejor configuración de los

sistemas que permitieran disminuir los costos totales del sistema y maximizar a su vez la

eficiencia del sistema.

Para el modelo simple de balanceo de línea (Mefi), se propusieron cambios en el cálculo de

los parámetros 12 y 13 (en el tipo de búsqueda utilizada), generando como resultado una

mejora en el tiempo computacional (96%), nodos explorados (86%) y GAP (en las instancias

grandes se logró el óptimo) en comparación con el trabajo propuesto por Esmaeilbeigi.

En la implementación del modelo de línea en U (Mufi), se pudo observar una mejora en la

eficiencia de los sistemas en comparación a los resultados obtenidos en el modelo Mefi. La

Page 52: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

49

mejora en la eficiencia es el resultado de la configuración en U y en el cambio que se presentó

en algunas instancias por la cantidad de estaciones a utilizar (disminuyeron).

Para el modelo Mufi, se realizó la extensión al modelo simple y se propusieron 3 reglas para

el cálculo de los parámetros 14 y 15, con lo que se logró una disminución en la creación de

variables y restricciones. Esta comparación se pudo realizar ya que en los modelos originales

de líneas en U (Urban, 1998) la creación de variables y restricciones de los modelos en U

eran del doble a la de los modelos simples, en este trabajo se logró disminuir en promedio a

1,88 variables y a 1,84 restricciones lo que reduce el tiempo computacional del modelo

propuesto. Por otra parte se obtuvo resultados incluso en las instancias de más de 70 tareas

por lo que es un modelo apropiado para ser utilizado.

Para los modelos Mefi y Mufi las pruebas se realizaron para 22 instancias y se encontraron

los óptimos para 20, las 2 restantes son instancias grandes mayores a 100 tareas.

La metodología propuesta, utiliza los modelos Mefi-Mcos y Mufi-Mcos para solucionar los

problemas de balanceo simple y en U con un enfoque de costos asociado al tiempo de trabajo

de las tareas. Para cada problema, se utilizó la metodología iterando entre los modelos

propuestos con el fin de obtener la mejor configuración de costos y eficiencia al variar los

tiempos de las tareas. Para los dos tipos de problemas, se encontraron nuevas asignaciones

para las instancias que permiten mejorar los costos del sistema y la eficiencia del mismo. Se

obtuvo una mejora mayor en el balanceo simple debido a que tiene una mayor oportunidad

de mejora que el balanceo en U (por defecto maximiza la eficiencia del sistema).

Para futuras investigaciones, se recomienda la prueba de la metodología en sistemas reales

en los que se pueda estimar de manera apropiada los costos de holgura de los sistemas, los

costos de operación de las tareas y los rangos de variación de los tiempos de las operaciones

que en este trabajo fueron propuestos. Por otra parte se puede generar un método alternativo

para la solución de las instancias más grandes,

Page 53: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

50

10. Bibliografía

Aǧpak, K., & Gökçen, H. (2005). Assembly line balancing: Two resource constrained cases. International Journal of Production Economics, 96(1), 129–140. http://doi.org/10.1016/j.ijpe.2004.03.008

Amen, M. (2000). Heuristic methods for cost-oriented assembly line balancing: A survey. International Journal of Production Economics, 68(1), 1–14. http://doi.org/10.1016/S0925-5273(99)00095-X

Amen, M. (2006). Cost-oriented assembly line balancing: Model formulations, solution difficulty, upper and lower bounds. European Journal of Operational Research, 168(3), 747–770. http://doi.org/10.1016/j.ejor.2004.07.026

Baybars, I. (1986). A Survey of Exact Algorithms for the Simple Assembly Line Balancing Problem. Management Science, 32(8), 909–

932. http://doi.org/10.1287/mnsc.32.8.909

Becker, C., & Scholl, A. (2006). A survey on problems and methods in generalized assembly line balancing. European Journal of Operational Research, 168(3), 694–715. http://doi.org/10.1016/j.ejor.2004.07.023

Betancourt, L. C., & Moreno, R. P. (2004). Generación de secuencias de montaje y equilibrado de líneas.

Boysen, N., Fliedner, M., & Scholl, A. (2007). A classification of assembly line balancing problems. European Journal of Operational

Research, 183(2), 674–693. http://doi.org/10.1016/j.ejor.2006.10.010

Burns, N., & Tou, K. (1989). Book Reviews. International Journal Of Production Research, 36(3), x.

http://doi.org/10.1080/14616700220145650

Cakir, B., Altiparmak, F., & Dengiz, B. (2011). Multi-objective optimization of a stochastic assembly line balancing: A hybrid simulated

annealing algorithm. Computers & Industrial Engineering, 60(3), 376–384. http://doi.org/10.1016/j.cie.2010.08.013

Chong, K. E., Omar, M. K., & Bakar, N. A. (2008). Solving Assembly Line Balancing Problem using Genetic Algorithm with Heuristics-

Treated Initial Population. Engineering, II, 1–5.

Erel, E., & Gokcen, H. (1999). Shortest-route formulation of mixed-model assembly line balancing problem. European Journal of

Operational Research, 116(1), 194–204. http://doi.org/10.1016/S0377-2217(98)00115-5

Esmaeilbeigi, R., & Naderi, B. (2015). The type E simple assembly line balancing problem : A mixed integer linear programming formulation. Computers & Operations Research, 64, 1–22.

Fattahi, A., & Turkay, M. (2015). On the MILP model for the U-shaped assembly line balancing problems. European Journal of Operational Research, 242(1), 343–346. http://doi.org/10.1016/j.ejor.2014.10.036

Ghosh, S., & Gagnon, R. (1989). A comprehensive literature review and analysis of the design, balancing and scheduling of assembly systems. International Journal of Production Research, 27(4), 637.

Gökçen, H., & Aǧpak, K. (2006). A goal programming approach to simple U-line balancing problem. European Journal of Operational Research, 171(2), 577–585. http://doi.org/10.1016/j.ejor.2004.09.021

Graves, S. C., & Lamar, B. W. (1983). An Integer Programming Procedure for Assembly System Design Problems. Operations Research, 31(3), 522–545. http://doi.org/10.1287/opre.31.3.522

Gurobi 5.1 Performance Benchmarks vs. CPLEX and XPRESS - Benchmarks 5.1b.pdf. (n.d.). Retrieved November 8, 2015, from http://www.sat-ag.com/Benchmarks 5.1b.pdf

Hamta, N., Fatemi Ghomi, S. M. T., Jolai, F., & Bahalke, U. (2011). Bi-criteria assembly line balancing by considering flexible operation times. Applied Mathematical Modelling, 35(12), 5592–5608. http://doi.org/10.1016/j.apm.2011.05.016

Kriengkorakot, N., & Pianthong, N. (2007). The U-line Assembly Line Balancing. KKKU Enginnering Journal, 34(June), 267–274.

Page 54: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

51

Kucukkoc, I., & Zhang, D. Z. (2015). Type-E parallel two-sided assembly line balancing problem: Mathematical model and ant colony

optimisation based approach with optimised parameters. Computers & Industrial Engineering, 84, 56–69.

http://doi.org/10.1016/j.cie.2014.12.037

Manavizadeh, N., Hosseini, N. S., Rabbani, M., & Jolai, F. (2013). A Simulated Annealing algorithm for a mixed model assembly U-line

balancing type-I problem considering human efficiency and Just-In-Time approach. Computers and Industrial Engineering, 64(2), 669–685. http://doi.org/10.1016/j.cie.2012.11.010

Miltenburg, G., & Winjngaard, J. (2001). The U-Line Balancing Problem. Issn: 00178012, Volume: 65(Issue:), Pages: 43–59.

Miltenburg, J. (2001). U-shaped production lines : A review of theory and practice. Int. J. Production Economics, 70(September 1999),

201–214. http://doi.org/10.1016/S0925-5273(00)00064-5

Pinto, P. a, Dannenbring, D. G., & Khumawala, B. M. (1983). Assembly Line Balancing With Processing Alternatives: an Application.

Management Science, 29(7), 817–830. http://doi.org/10.1287/mnsc.29.7.817

Plans, J., & Corominas, a. (1999). Modelling and solving the SALBP-E problem. Proceedings of the 1999 IEEE International

Symposium on Assembly and Task Planning, (July), 356–360.

Restrepo, J., P, M., & Cruz, E. (2008). Assembly balancing line problem SALBP-1 and SALBP-2 : a case of study. Scientia Et Technica,

(40), 105–110.

Scholl, A., & Becker, C. (2005). A note on “an exact method for cost-oriented assembly line balancing.” International Journal of

Production Economics, 97(3), 343–352. http://doi.org/10.1016/j.ijpe.2004.09.009

Scholl, A., & Becker, C. (2006). State-of-the-art exact and heuristic solution procedures for simple assembly line balancing. European

Journal of Operational Research, 168(3), 666–693. http://doi.org/10.1016/j.ejor.2004.07.022

Scholl, A., Boysen, N., & Fliedner, M. (2013). The assembly line balancing and scheduling problem with sequence-dependent setup

times: Problem extension, model formulation and efficient heuristics. OR Spectrum, 35(1), 291–320. http://doi.org/10.1007/s00291-011-0265-0

Sparling, D. (1998). Balancing just-in-time production units: The N U-line balancing problem. Infor, 36(4), 215–237. Retrieved from http://eserv.uum.edu.my/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=bth&AN=1599606&site=ehost-

live&scope=site

Toksari, M. D., Işleyen, S. K., Güner, E., & Baykoç, Ö. F. (2008). Simple and U-type assembly line balancing problems with a learning

effect. Applied Mathematical Modelling, 32(12), 2954–2961. http://doi.org/10.1016/j.apm.2007.10.007

Tutorial: Modeling with the Gurobi Python Interface - YouTube. (n.d.). Retrieved November 1, 2015, from

https://www.youtube.com/watch?v=aKsfqB-ONfk

Urban, T. (1998). Optimal Balancing of U-Shaped Assembly Lines. Management Science, 44(5), 4.

Urban, T. L. (1998). Note. Optimal balancing of U-shaped assembly lines. Management Science, 44(5), 738–741.

Urban, T. L., & Chiang, W. C. (2006). An optimal piecewise-linear program for the U-line balancing problem with stochastic task times.

European Journal of Operational Research, 168(3), 771–782. http://doi.org/10.1016/j.ejor.2004.07.027

Wei, N.-C., & Chao, I.-M. (2011). A solution procedure for type E simple assembly line balancing problem. Computers & Industrial

Engineering, 61(3), 824–830. http://doi.org/10.1016/j.cie.2011.05.015

Yolmeh, A., & Kianfar, F. (2012). An efficient hybrid genetic algorithm to solve assembly line balancing problem with sequence-

dependent setup times. Computers & Industrial Engineering, 62(4), 936–945. http://doi.org/10.1016/j.cie.2011.12.017

Ze-qiang, Z., Tang, C. W., & Bin, L. Z. (2007). Ant Algorithm with Summation Rules for Assembly Line Balancing Problem, (2006),

369–374.

Page 55: PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA PARA EL PROBLEMA DE ...

FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SEMESTRE 2015-20

52

Zhang, W., Xu, W., & Gen, M. (2014). Hybrid Multiobjective Evolutionary Algorithm for Assembly Line Balancing Problem with

Stochastic Processing Time. Procedia Computer Science, 36(3), 587–592. http://doi.org/10.1016/j.procs.2014.09.058