Problema de los 3 cuerposManuel Lanz

Lunes, 29 de Diciembre de 2014

Se ha estudiado el problema de los tres cuerpos, que consiste en describirla posicin de tres partculas y su velocidad cuando interaccionan gravitato-riamente segn la ley de Newton. Se ha comenzado resolviendo problemasms simples (problema de Kepler y problema de los dos cuerpos) y se haestudiado qu aspectos de estas soluciones pueden generalizarse al problemade los tres cuerpos.

Posteriormente, se han analizado algunas soluciones exactas del problemade los tres cuerpos y se ha dado una clasificacin general de los tipos desoluciones que tiene este problema.Adems, se ha estudiado un caso particular de dicho problema: el pro-

blema restringido de los tres cuerpos, en el que una de las partculas tienemasa despreciable. Se ha profundizado en el caso en que la rbita de las dospartculas ms masivas es circular, hallando los puntos de equilibrio (puntosde Lagrange) y se ha discutido la existencia de rbitas peridicas para latercera partcula.

1. Problema de Kepler

Antes de comenzar con el problema de los tres cuerpos, vamos a resolver un problemams simple: el problema de Kepler, que consiste en una partcula de masam y posicin rsometida a una fuerza de la forma F = mM

r2r. Utilizamos unidades en las que G = 1.

El problema consiste en resolver la ecuacin:

r = Mr2r (1)

Para ello, vamos a buscar las constantes del movimiento. El espacio de fases tiene 6dimensiones (3 velocidades y 3 posiciones), por lo que necesitamos 5 constantes inde-pendientes para hallar su rbita (que es unidimensional).

Es fcil probar que el momento angular L es constante, dado que la fuerza gravitatoriaes central, con lo que determinamos 3 de las 5 constantes que necesitamos.

L = md(r r)

dt= m(r r + r r) = r (M

rr) = 0 (2)

1

Otra constante del movimiento es el vector de excentricidad e. Para hallarlo, calculamosel siguiente producto, utilizando a (b c) = b(a c) c(a b) [7].

d

dt(r L) = r L = M

r3(r (r r)) =

= Mr3

((r r)r r2r) =

= M(r

r2r r

r

)=

=Md

dt

(rr

)Donde se ha usado que

r r = 12

d

dt(r r) = 1

2

d(r2)

dt= 2rr (3)

De esta ecuacin obtenemos:d

dt

(r LM

rr

)= 0 (4)

Por lo que definimos:

e =r LM

r (5)Este vector, como veremos a continuacin, tiene mdulo igual a la excentricidad de la

rbita y la direccin de un semieje de la cnica que forma la rbita. Este vector suponedos nuevas constantes del movimiento, ya que puede verse con facilidad que cumplee L = 0, por lo que tiene que estar en el plano de la rbita.

Tenemos ya 5 constantes, por lo que podemos proceder a hallar la rbita. Usamos quea (b c) = c (a b) [7].

r e = er cos = r (r L)M

r

=L (r r)

M r

=L2

mM r

De modo que obtenemos la ecuacin de una cnica:1

r=mM

L2(1 + e cos ) (6)

Podramos pensar que la energa E = 12m r2 es otra constante, pero depende de las ya

calculadas de la siguiente forma. Para verlo, vasta con calcular e2.

e2 1 = 2L2

mM2E (7)

En la tabla 1 se muestra la forma de la rbita (ecuacin (6)) en funcin del valor de e yE y en figura 1 se muestran representaciones grficas de las rbitas.

2

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0-0.5

0.5

1.0

-

(a) Circunferencia

-3 -2 -1 1

-1.5-1.0-0.50.5

1.0

1.5

-

(b) Elipse

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-3-2-1

1

2

3

(c) Circunferencia

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-3-2-1

1

2

3

(d) 1b

Figura 1: Forma de las rbitas en el problema de Kepler. Se ha tomadoM = m = 1. Enestos casos se tiene que e = ex, en la direccin del semieje de la cnica.

3

Curva Excentricidad Energa

Hiprbola e > 1 E > 0Parbola e = 1 E = 0Elipse 0 e < 1 E < 0Crculo e = 0 E = mM2

2L2

Tabla 1: Forma de la rbita en funcin de la excentricidad e y la energa E.

2. Problema de los dos cuerpos

El problema de dos cuerpos describe la interaccin gravitatoria entre dos masasm1 ym2.

r1 = m2r2 r12r21

r2 = m1r1 r22r12

(8)

Puede reducirse fcilmente al problema de Kepler. SeaM = m1 +m2 la masa totaly = m1m1M la masa reducida. La posicin del centro de masas es R =

m1r1+m2r2M , y

r = r2 r1 es la distancia entre los cuerpos.Operando con ecuacin (8), se obtiene:

R = 0

r = m1m2r2

r(9)

Como el centro de masas no est acelerado, su velocidad y su posicin inicial sonconstantes, podemos tomar un sistema de referencia inercial donde ambas sean 0. Lasegunda ecuacin no es ms que el problema de Kepler (ecuacin (1)), que ya hemosresuelto. Se muestran ejemplos en figuras 2 y 3.

3. Problema de los tres cuerpos

Al intentar resolver el problema de los tres cuerpos, nos encontramos que el espaciode fases tiene 3 6 = 18 grados de libertad. Puede probarse que la posicin inicial y lavelocidad del centro de masas son constantes, y tambin la energa y el momento angulartotal. Con esto, tenemos 10 constantes, por lo que an quedan 8 grados de libertad. Dehecho, se ha demostrado (Ernst Bruns y Henri Poincar)[1, p 37][4, p. 399] que no hayms constantes de movimiento que puedan obtenerse a partir de las condiciones inicialescon expresiones algebraicas (polinomios) o integrales. Tampoco se han encontrado otrotipo de constantes del movimiento.

Para resolver el problema, en general se requieren mtodos perturbativos. El matemti-co Karl Fritiof Sundman, encontr [6] una solucin exacta en forma de serie de potencias

4

-1.0 -0.5 0.5-0.5

0.5

-

(a) Elipses

-1.0 -0.5 0.5

-2-1

1

2

(b) Parbolas

Figura 2: Forma de las rbitas en el problema de dos cuerpos. Las lneas azul y naranjarepresentan la trayectoria de las partculas 1 y 2, respectivamente. La lnea depuntos gris es la representacin grfica de la trayectoria del vector r, que es lasolucin al problema de Kepler para una partcula con masa . Se ha tomadoque = 1 ym2 = 2m1.

-0.5 0.5

-0.6-0.4-0.20.2

0.4

0.6

-

Figura 3: rbitas del problema de los dos cuerpos cuando la velocidad del centro demasas no es 0. Esta figura representa la misma solucin para r que la figu-ra 2a, pero con un movimiento a velocidad uniforme del centro de masas en ladireccin del eje y, con un momento p = 0.15y.

5

de t1/3 vlida siempre que el momento angular L 6= 0. Sin embargo, la convergencia deesta serie es lenta, por lo que tiene poco inters prctico.

Sin embargo, se conocen soluciones en forma cerrada para algunos casos particulares.Las ecuaciones del problema tienen esta forma:

ri = mj ri rjri rj3mk ri rkri rk3

(10)

Donde (i, j, k) son las permutaciones cclicas de (1, 2, 3).De nuevo, tomamos el centro de masas en el origen:

i

miri = 0 (11)

Si hacemos un cambio de variable similar al del problema de los dos cuerpos:

si = rj rk (12)Con esta definicin es sencillo comprobar que las coordenadas estn relacionadas por:

i

si = 0 (13)

De hecho, estos vectores son los lados de un tringulo equiltero con vrtices en las trespartculas.

Operando, puede obtenerse que:

si = M sis3i

+miG (14)

DondeM =

imi es la masa total y el vectorG viene dado por:

G =i

sis3i

(15)

SiG = 0, las ecuaciones (14) se transforman en:

si = Ms2isi (16)

Similares al problema de Kepler (ecuacin (1)) y cuya solucin conocemos (ecua-cin (6)).

3.1. Soluciones triangulares

Si se cumple s1 = s2 = s3 = s y utilizando que s1+s2+s3 = 0, se tiene queG = 0. Estasolucin fue descubierta por Lagrange [3, p. 123]. Las tres masas se mueven formandoun tringulo equiltero de lado s, pero el tamao del tringulo y su orientacin en elplano puede variar. Si la energa total es negativa, las rbitas sern elpticas. Se muestranejemplos en figura 4.

6

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5-1.0-0.5

0.5

1.0

1.5

-

(a) Elipses

-2 2 4

-4

-2

2

4

(b) Parbolas

Figura 4: Soluciones triangulares al problema de los tres cuerpos. Se ha tomado que lamasa total vale 1 y que las masas de todas las partculas son iguales.

3.2. Soluciones colineales

Euler descubri otra familia de soluciones exactas [4, p. 402]. Estas soluciones son dela forma siguiente, suponiendo que la partcula 2 est en medio:

s1 = s3

s2 = (1 )s3(17)

Insertando esto en ecuacin (14), se eliminan s1 y s2 cuando es solucin de el siguienteecuacin polinmica:

(m1+m2)5+(3m1+2m2)

4+(3m1+m2)3(m2+3m3)2(2m2+3m3)(m2+m3) = 0

(18)Dicho polinomio tiene una raz nica positiva, por lo que puede obtenerse un nico apartir de las masasm1,m2,m3.

Pueden obtenerse otras 2 soluciones de este tipo, cambiando la partcula que se en-cuentra en el medio.

En este tipo de soluciones, las 3 partculas estn siempre contenidas en una recta y conun ratio fijo entre sus distancias, como puede verse en la ecuacin (17).

3.3. Clasificacin de las soluciones

Las soluciones anteriores tienen un inters fsico limitado, ya que requieren unascondiciones iniciales muy concretas. Es necesario utilizar otro tipo de mtodos para

7

Tabla 2: Clasificacin de las soluciones del problema de los tres cuerpos en funcin de laenerga total E segn su comportamiento asinttico.

E > 0 Explosin HiperblicoHiperblico-parablico

Escape Hiperblico-elptico

E = 0 Explosin ParablicoEscape Hiperblico-elptico

E < 0 Escape Hiperblico-elpticoParablico-elptico

Movimiento acotado InteraccinExpulsinRevolucinEquilibrioPeridico

Movimiento oscilatorio

estudiar las soluciones. A continuacin se describir el comportamiento asinttico (t) de las soluciones [4]. Al aumentar t, el comportamiento de los 3 cuerpos puedeaproximarse por dos problemas de dos cuerpos (uno consiste de dos partculas y elotro de una). El movimiento de los subsistemas puede describirse como hiperblico,parablico o elptico, aunque esta descripcin solo es exacta en el lmite.

Existen tres posibilidades: que los tres cuerpos escapen al infinito (explosin), que sloescape uno con uno (escape) o que la posicin de los tres cuerpos permanezca acotada(movimiento ligado). En la tabla 2 se muestran todos los casos.

Cuando la energa total E es positiva, la energa de al menos uno de los subsistemastiene que ser positiva, luego al menos el movimiento de un cuerpo ser hiperblico. Elotro subsistema podr realizar cualquiera de los otros tres movimientos.

En el caso de E = 0 los casos son similares, pero no existe la posibilidad de que ambosmovimientos sean hiperblicos. Sin embargo, los dos sistemas pueden tener movimientoparablico, aunque es poco probable ya que se necesitan unas condiciones iniciales muyespecficas para que la energa lmite de cada subsistema sea 0. Este caso se da en lafigura 4b.

Si la energa E es negativa, existe la posibilidad de que uno de los cuerpos escape conun movimiento parablico o hiperblico y los otros dos permanezcan ligados realizan-do rbitas elpticas. Sin embargo, tambin es posible que los tres cuerpos realicen unmovimiento ligado.Hay varios tipos de movimiento ligado. Se denomina interaccin al caso en el que las

partculas se aproximan entre s repetidamente. Expulsin si dos partculas forman unsistema binario, mientras la tercera se acerca y aleja en rbitas casi elpticas (como loscometas en el sistema solar). En las soluciones de revolucin, una de las partcula orbitaalrededor de un sistema binario (esto puede ocurrir en sistemas estelares triples [2]).

8

1 2 3

-3-2-1

-

(a) Interaccin y expulsin

-3 -2 -1 1 2 3-1

1

2

3

4

-

(b) Revolucin

Figura 5: rbitas con energa negativa (E < 0. En la primera se produce un escape dela partcula 3 (verde)) despus de una fase de interaccin. La segunda es unasolucin de revolucin.

Las soluciones de equilibrio son del tipo de las explicadas anteriormente (triangularesy colineales). Las soluciones peridicas pueden ser de cualquiera de los tipos antesmencionados.

Tambin existe una solucin oscilatoria (descubierta en 1960) en la que una partcula semueve en perpendicular al plano del sistema binario formado por las otras dos partculas,pasando por el centro de masas. El cuerpo que est libre, llega hasta el infinito en untiempo finito, mientras su velocidad tiende a 0. La partcula vuelve, repitindose estecomportamiento indefinidamente.En la mayora de los casos, las soluciones ligadas son inestables, a no ser que las

diferencias entre masas sean grandes. Para condiciones iniciales arbitrarias, lo msprobable es que escape la masa ms pequea. Normalmente, el movimiento pasa porfases de interaccin y expulsin hasta que se produce el escape.Se muestran ejemplos de movimientos con E < 0 en figura 5.

3.4. Problema restringido de los tres cuerpos

En este caso, consideramos que la masa de uno de los 3 cuerpos es despreciable frentea las otras dos [4, p. 406-418]. Este problema tiene un gran inters prctico, puesto que esun buen modelo, por ejemplo, para describir el comportamiento de una nave espacial oun satlite movindose entre la Tierra y la Luna.

Este problema puede considerarse una perturbacin del problema de dos cuerpos. Ental caso, es conveniente utilizar coordenadas de Jacobi, x y r, donde x es la posicin de

9

la tercera partcula respecto al centro de masas de las otras dos y r es el vector que va dela partcula 1 a la 2. Se pueden usar dos coordenadas de posicin auxiliares: la posicinrelativa de la tercera partcula respecto a las dos primeras: r1, r2, que podemos escribiren funcin de x y r:

r1 = x+m2r

r2 = x m1r

(19)

Con estos cambios de variable, las ecuaciones del movimiento quedan de la siguienteforma, si despreciamosm3 frente am1 ym2:

r = rr3

(20)

x = m1 r1r31m2 r1

r31(21)

Donde = m1 +m2. La primera ecuacin se corresponde a un problema de dos cuerpospara las dos primeras partculas, mientras que la segunda es la ecuacin de movimientopara la tercera partcula.

3.5. Problema restringido circular

En este caso, la solucin a la ecuacin (20) es un movimiento circular de frecuenciaangular = z. La frecuencia angular viene dada por la tercera ley de Kepler:

2 =

r3(22)

Si cambiamos el sistema de referencia a uno en el que las dos masas estn en reposo,hay que aadir una aceleraciones ficticias debido al teorema de Coriolis [3, p 174] aC =2 x ( x).

x+ 2 x = ( x)m1 r1r31m2 r1

r31= F(x) (23)

Donde ahora x, r, ri estn escritos en el sistema de referencia en rotacin (no son losmismos vectores que en el apartado anterior, que estn escritos en el sistema inercial,sino que estn rotados un ngulo t).Puede comprobarse que existe una funcin potencial U tal que

F = U (24)Esa funcin es:

U(x) = 12( x)2 m1

r1 m2

r2(25)

La siguiente cantidad es una constante del movimiento, conocida como la integral deJacobi, que no es ms que la energa total del sistema, eliminando las contribuciones de losdos cuerpos ms masivos. Puede obtenerse multiplicando escalarmente la ecuacin (23)por x.

C =1

2x2 + U(x) (26)

10

3.6. Puntos de Lagrange

Un punto de equilibrio x0 es aquel en el que la fuerza se anula F(x0) = 0. En elproblema restringido de los tres cuerpos, se conocen como puntos de Lagrange.

F(x0) = 12 xm1 r1

r31m2 r2

r32= 0 (27)

Donder1 = x+

m2r

r2 = x m1r

(28)

Multiplicando las tres ecuaciones anteriores por y sabiendo que r = 0, se puedever que

r1 = r2 = x (29)Lo cual significa que los puntos de Lagrange tiene que estar en el plano de la rbitacircular de los dos cuerpos.Ahora podramos proceder a buscar soluciones a la ecuacin (27), sin embargo, ya

hemos resuelto el problema de otra forma. Para ello, vamos a reintroducir los vectoress1, s2, s3. Estos vectores son los lados de un tringulo con vrtices en las partculas. Salvoalgn cambio de signo, se corresponden a r2, r1, r, respectivamente. Los vectores si estnescritos en el sistema inercial, mientras que los ri estn en el sistema en rotacin. Comodifieren por una rotacin, las tres parejas de vectores tienen el mismo mdulo.Como estamos en el caso circular s3 = r es constante. Dos soluciones del problema

de 3 cuerpos son las soluciones en forma de tringulo equiltero halladas por Lagrange.En estas soluciones se tiene si = ri = r. Los vectores ri, r tambin forman un tringuloequiltero de lado fijo. El tercer vrtice de los dos tringulos que se pueden conm1 ym2en la base son los puntos L4 y L5.Los puntos L1, L2 y L3 se corresponden a las 3 soluciones colineales de Euler. Una

conm3 la derecha dem1,m2, otra en el centro y otra a la izquierda. Los puntos exactosdependen dem1 ym2 (se puede considerarm3 = 0). Se pueden determinar resolviendo laecuacin ecuacin (18), intercambiando los papeles de las partculas 1, 2 y 3 dependiendode cual est en el centro, segn ecuacin (17).

Puede demostrarse estudiando desplazamientos infinitesimales a partir de los puntosde equilibrio [4] que L4 y L5 son mximos de potencial, sin embargo, son estables bajociertas condiciones sobre las masas debido al trmino de Coriolis presente en la parteizquierda de ecuacin (23) que no se tiene en cuenta en U y contrarresta la aceleracincreada por F. L1, L2, L3, sin embargo son siempre inestables a desplazamientos en eleje, y son puntos de silla (mximos o mnimos dependiendo de la direccin en la que seatraviesen). Se muestran los puntos de Lagrange en la figura 6.

11

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-2.75-2.50-2.25-2.00-1.75-1.50

Figura 6: Representacin del potencial y lneas de fuerza en el problema de tres cuerposcircular restringido en el sistema de referencia en rotacin. En rojo aparecenlas masas m1 = 0.9 y m2 = 0.1 (Se han tomado unidades en las que la masatotal es 1). En verde aparecen los puntos de Lagrange. L1, L2, L3 estn en el ejede abscisas y puede verse que son inestables con respecto a desplazamientoshorizontales. Los puntosL4, L5 forman tringulos equilteros con las partculas.Su posicin se ha hallado resolviendo numricamente la ecuacin (27).

12

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.0-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 7: Solucin peridica al problema restringido de los tres cuerpos en el sistema dereferencia en rotacin para dos masasm1 = m1. Figura obtenida de [5]

.

3.6.1. rbitas peridicas

El movimiento de una partcula en este sistema puede ser ligado. De hecho, nunca vaa poder estar en una zona en la que la constante de Jacobi C sea mayor que el potencialU (ecuacin (26)).Adems, existen soluciones peridicas a este problema, que podran describir las

rbitas de planetas en sistemas binarios. Un ejemplo se muestra en figura 7.

4. Resolucin numrica

Se ha resuelto numricamente el problema de los n-cuerpos utilizando mtodo deRunge-Kutta implementado en el programa Mathematica de Wolfram [8]. Este tipo desimulaciones se han utilizado en todas las representaciones grficas, excepto en las delproblema restringido de los tres cuerpos.

La simulacin se basa en la resolucin del siguiente sistema de ecuaciones diferencialesde primer orden:

vi =j 6=i

mj(rj ri)rj ri3

(30)

vi = ri (31)

Donde vi y ri se refieren a la posicin y a la velocidad de la partcula i-sima. En lasimulacin se han utilizado slo dos dimensiones espaciales por ser ms sencillo devisualizar, pero en el problema de n cuerpos con n > 2 el movimiento no est restringidoen un plano, ya que la fuerza no es central, ni se puede reducir a un problema de fuerzascentrales.A continuacin se muestra el cdigo empleado en las simulaciones:

13

1 %Definir previamente r0 (posiciones iniciales), v0 (velocidades iniciales),m0 (masas) y T (tiempo total)

2 n = Length[r0];3 r = Table[r[i, j][t], {i, Length[r0]}, {j, 2}];4 v = Table[v[i, j][t], {i, Length[r0]}, {j, 2}];5

6 ecuaciones =7 Flatten@Table[Thread /@ {8 D[v[[i]], t] ==9 Sum[

10 m[[j]] (r[[j]] - r[[i]])/Norm[r[[i]] - r[[j]]]^3,11 {j, Delete[Range[n], i]}12 ],13 v[[i]] == D[r[[i]], t]14 }, {i, n}15 ];16 condicionesIniciales = Thread@(Flatten /@ ({r, v} == {r0, v0} /. t -> 0));17 solucion = NDSolve[18 ecuaciones~Join~condicionesIniciales,19 Flatten@{r, v},20 {t, -T, T},21 Method -> "ExplicitRungeKutta"22 ];23

24 {r, v, m, T} /. First@solucion

Referencias

[1] Florin Diacu. Singularities of the TV-Body Problem. En: Classical and CelestialMechanics: The Recife Lectures (2002), pg. 35.

[2] David S Evans. Stars of higher multiplicity. En: Quarterly Journal of the RoyalAstronomical Society 9 (1968), pg. 388.

[3] Goldstein, Poole y Safko. Classical mechanics. Addison Wesley, 2002.[4] David Hestenes.New foundations for classical mechanics. Kluwer Academic Publishers,

1999.[5] Robert M Lurie. Restricted Three-Body Problem Wolfram Demonstrations Proect.

[Online; accessed 27-December-2014]. 2014. url: http://demonstrations.wolfram.com/RestrictedThreeBodyProblem/.

[6] Wikipedia. Three-body problem Wikipedia, The Free Encyclopedia. [Online; accessed24-December-2014]. 2014. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Three-body_problem&oldid=636656843.

14

[7] Wikipedia. Vector calculus identities Wikipedia, The Free Encyclopedia. [Online; acces-sed 23-December-2014]. 2014. url: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vector_calculus_identities&oldid=639154110.

[8] Wolfram. ExplicitRungeKutta Method for NDSolve Wolfram Language & SystemDocumentation Center. [Online; accessed 27-December-2014]. 2014. url: http://demonstrations.wolfram.com/RestrictedThreeBodyProblem/.

15

Problema de KeplerProblema de los dos cuerposProblema de los tres cuerposSoluciones triangularesSoluciones colinealesClasificacin de las solucionesProblema restringido de los tres cuerposProblema restringido circularPuntos de Lagrangerbitas peridicas

Resolucin numrica