El problema de dos cuerpos y las leyes de Kepler · El problema de dos cuerpos consiste en ... Los...

Rafael Juan Alamañac Garrido

Oscar Ciaurri Ramírez

Facultad de Ciencia y Tecnología

Grado en Matemáticas

2015-2016

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

El problema de dos cuerpos y las leyes de Kepler

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

El problema de dos cuerpos y las leyes de Kepler, trabajo fin de gradode Rafael Juan Alamañac Garrido, dirigido por Oscar Ciaurri Ramírez (publicado por la

Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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Universidad de La Rioja

Facultad de Ciencia y Tecnología

Grado en Matemáticas

El problema de dos cuerposy

las leyes de Kepler

Trabajo fin de grado

realizado por

Rafael Juan Alamañac Garrido

y tutorizado por

Óscar Ciaurri Ramírez

Julio de 2016

Me gustaría dar las gracias a mi tutor Dr. Óscar Ciaurri Ramírez por habertenido la paciencia y la constancia necesarias para elaborar junto a mi estetrabajo fin de grado. Además, quisiera agradecer a mi familia y amigos el

apoyo incondicional que me han prestado durante estos años y, por supuesto, aItziar por estar ahí cuando más la necesitaba.

Resumen

Esta memoria está dividida en tres partes, la primera consiste en el estudiodel problema de dos cuerpos. La herramienta fundamental que usaremos seráel Lagrangiano de un sistema físico, del que expondremos diversas propiedades.En el siguiente capítulo y a partir de los resultados obtenidos en el primero, noscentraremos en la demostración de las tres leyes de Kepler. En el último capítuloobtendremos la denominada ecuación de Kepler que describe la posición de unplaneta que orbita alrededor del Sol en función del tiempo. Concluiremos dandouna solución a la ecuación de Kepler en términos de funciones de Bessel.

iii

Abstract

This report is divided into three parts, the first consist in the study of thetwo-body problem. The fundamental tool that we are going to use will be theLagrangian of a physical system, hence we will discuss various properties of it.In the next chapter and from the results obtained in the first one, we will focuson demonstrating the three laws of Kepler. In the last chapter we get the so-called Kepler equation which describes the position of a planet that orbits theSun in function of time. We will conclude giving a solution to Kepler’s equationin terms of Bessel functions.

v

Índice general

Introducción 1

1. El problema de dos cuerpos 3

1.1. Conceptos previos y resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Mecánica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. El problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2. Reducción a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4. Una última reducción de la ecuación para el movimientorelativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Las Leyes de Kepler 23

2.1. Primera Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Segunda ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Tercera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. La ecuación de Kepler 33

3.1. Deducción de la ecuación de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Las funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Resolución de la ecuación de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Conclusiones 41

Bibliografía 43

vii

Introducción

El problema de dos cuerpos consiste en determinar las trayectorias de doscuerpos aislados que se atraen mutuamente conociendo sus masas y velocidadesiniciales. Los cuerpos se mueven en un espacio de tres dimensiones y estánafectados únicamente por la fuerza de atracción que ejerce el uno sobre el otro.

Los primeros en estudiar este problema fueron los griegos que establecieronun modelo cosmológico en el que interpretaban las trayectorias del Sol y laTierra. En el siglo IV aC, desarrollaron la idea de que las estrellas estaban fijasen una esfera celeste que gira alrededor de la Tierra.

Este modelo evolucionó y culminó en el siglo II dC con el modelo de Ptolomeoque decía que el movimiento perfecto era circular y, por lo tanto, las estrellas ylos planetas tienen trayectorias circulares con respecto a la Tierra.

Figura 1: Una representación del modelo de Ptolomeo.

En el siglo XVI Copérnico propuso un sistema heliocéntrico en el que laTierra giraba con los otros planetas en una órbita circular alrededor del Sol.Inicialmente este modelo no se aceptó por completo, dado que los datos obteni-dos empíricamente favorecían al modelo de Ptolomeo, pero acabó por imponersecon el paso del tiempo.

Durante el siglo XVII Johannes Kepler publicó sus tres famosas leyes. Laprimera postulaba que la órbita de cada planeta del sistema solar es una elipsecon el Sol en uno de sus focos. Kepler basó sus resultados en las observaciones de

1

2 INTRODUCCIÓN

Tycho Brahe pero, a pesar de sus esfuerzos, no fue capaz de definir las ecuacionesde las trayectorias elípticas.

La determinación exacta de la trayectoria elíptica de los planetas tuvo queesperar a la obra de Isaac Newton Philosophiæ naturalis principia mathematicaen 1687. En ella obtenía la trayectoria usando la ley de la gravitación universal.Además, su solución era un caso particular para el problema de dos cuerpos. Lateoría fue tachada inicialmente de irrisoria e innatural, debido a la existencia deuna fuerza invisible, pero los hechos acabarían por ratificar la teoría de Newton.

Figura 2: Johannes Kepler e Isaac Newton quienes marcaron un antes y undespués en el mundo de la física.

Esta memoria estará dividida en tres partes. En la primera, describiremosel problema de dos cuerpos y daremos su solución para una fuerza general ba-sándonos en las referencias [1], [7] y [5]. En el siguiente capítulo, utilizaremos lasolución previamente obtenida para demostrar las leyes de Kepler sustituyendola fuerza general por la fuerza de gravitación universal. En este caso hemos se-guido las referencias [7] y [4]. En el último capítulo estudiaremos la ecuación deKepler, que describe la posición relativa de un planeta con respecto al Sol comofunción del tiempo. Esta última parte está desarrollada siguiendo los trabajos[6] y [2].

Capítulo 1

El problema de dos cuerpos

1.1. Conceptos previos y resultados básicos

Antes de empezar con la resolución del problema de dos cuerpos daremosuna serie de definiciones y resultados básicos.

Un campo de fuerza representa la distribución de una magnitud física enlos puntos del espacio. Matemáticamente, los campos se representan medianteuna función vectorial definida en R3. De manera más precisa podemos pensaren una aplicación

~F : R3 −→ R3,

que se conoce como campo vectorial.1

Recordemos que dado un campo escalar f ; es decir, una función f : R3 −→ R,su gradiente, que denotaremos por ∇f , es un campo vectorial dado por

∇f : R3 −→ R3

(x, y, z) −→ ∇f =(∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)En esta memoria consideraremos fuerzas conservativas, es decir, fuerzas re-

presentables por campos vectoriales conservativos. Dados δ1 y δ2 dos caminoscon los mismos puntos iniciales y finales, entonces se dice que un campo vectorial~F es conservativo si ∫

δ1

~F d~r =∫δ2

~F d~r.

Los campos conservativos se pueden caracterizar del siguiente modo.

Lema 1. Sea ~F un campo vectorial, entonces son equivalentes los siguienteshechos:

(a) ~F es conservativo1Por nuestro interés particular definiremos todas nuestras aplicaciones en R3 pero todas

ellas pueden extenderse de manera obvia a Rn.

3

4 CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE DOS CUERPOS

(b) Existe una función u : R3 −→ R tal que ~F = −∇u.

Demostración.

(a) =⇒ (b) Consideremos la función

u(x) = −∫C

~F d~r,

donde C es una curva simple con extremo inicial en un punto fijo de R3 yextremo final en un punto (x, y, z) ∈ R3. Notar que esta función está definidade manera única para cada punto (x, y, z) por ser ~F un campo conservativo.Ahora, por el teorema fundamental del cálculo, se tiene que ~F = −∇u

(b) =⇒ (a) Sean dos curvas

δ1, δ2 : (0, 1) −→ R3,

tales que δ1(0) = δ2(0) = (x, y, z) y δ1(1) = δ2(1) = (x′, y′, z′). Entonces tene-mos que ∫

δ1

~F d~r =∫δ2

~F d~r = u(x, y, z)− u(x′, y′, z′),

lo que implica que ~F es un campo conservativo.

La función u que ha aparecido en el lema previo se denomina función poten-cial.

Las principales leyes físicas que utilizaremos en esta memoria son las leyesde Newton. Recordemos su formulación:

Primera Ley de Newton. Un cuerpo permanece en estado de reposo, o demovimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante, si no actúanfuerzas externas sobre él.

Segunda Ley de Newton. Para un cuerpo de masa m con velocidad ~v, elproducto ~P = m~v se denomina momento lineal del cuerpo, entonces la suma delas fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, ~F, es igual a la derivada conrespecto del tiempo del momento lineal, es decir, ~F = d~P

dt . En particular, paraun cuerpo de masa constante m se satisface que ~F = md~v

dt = m~a, donde ~a es laaceleración del cuerpo.

Tercera Ley de Newton. Si un cuerpo A ejerce una fuerza ~F sobre uncuerpo B, entonces el cuerpo B ejerce una fuerza −~F sobre A.

Puesto que aplicaremos el problema de dos cuerpos a la determinación delas leyes de Kepler, deberemos hacer uso de la fuerza de gravitación universal.

Fuerza de Gravitación Universal. Sea A un cuerpo con masa mA y otrocuerpo B con masa mB, entonces tenemos que la fuerza gravitacional tiene unamagnitud igual a

F = GmAmB

r2 ,

1.2. MECÁNICA LAGRANGIANA 5

donde r es la distancia de la que están separados y G es la constante de gravi-tación universal.2

1.2. Mecánica Lagrangiana

Una magnitud que será fundamental para analizar el problema de los doscuerpos es el Lagrangiano, que denotaremos por L, dado por la diferencia entrela energía cinética y la energía potencial de un sistema físico. Si suponemos queel sistema físico está sujeto a una única fuerza que supondremos conservativa,la energía potencial estará dada por la función potencial U . De este modo,denotando por T la energía cinética del sistema, tendremos que

L = T − U.

Suponiendo que el sistema está constituido por una única partícula cuyaposición viene dada en coordenadas cartesianas la energía cinética es

T = m

2

∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2 = m

2

[(dx

dt

)2+(dy

dt

)2+(dz

dt

)2]

y la energía potencial está dada por

U = U(x, y, z).

De esta forma

L = L(x, y, z,

dx

dt,dy

dt,dz

dt

)= m

2

((dx

dt

)2+(dy

dt

)2+(dz

dt

)2)− U(x, y, z).

Puesto que tenemos la relación ~F = −∇u se verifica que

∂L∂x

= −∂U∂x

= Fx y ∂L∂x′

= ∂T

∂x′= mx′ = Px,

donde x′ representa la derivada de x con respecto a t y Px es la primera com-ponente del momento lineal ~P.

Utilizando la segunda ley de Newton tenemos que

dPxdt

= Fx,

lo que nos lleva a∂L∂x

= d

dt

∂L∂x′

.

2G determina la intensidad de la fuerza de atracción gravitatoria entre los cuerpos, su valor

aproximado es G = 6,673× 10−11 N ·m2

kg2 .


Siguiendo el mismo razonamiento para las otras componentes deducimos que

∂L∂y

= d

dt

∂L∂y′

y ∂L∂z

= d

dt

∂L∂z′

.

Las relaciones anteriores se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange. Si elsistema estuviese constituido por más de una partícula, las ecuaciones de Euler-Lagrange serían las mismas pero teniendo en cuenta las posiciones y velocidadesde dichas partículas. En realidad podemos suponer que el Lagrangiano L esfunción de x(t) y x′(t) siendo x(t) el vector de posición y x′(t) el vector develocidad de las distintas partículas.3

Asociado con el Lagrangiano aparece la integral de acción del sistema, quedenotamos como S, dada por

S =∫ t1

t2

L(t, x(t), x′(t)) dt,

donde [t1, t2] es un cierto intervalo de tiempo. La integral de acción S describeel movimiento del sistema como afirma el principio de Hamilton

Principio de Hamilton. La evolución de un sistema físico asociado conuna integral de acción S se corresponde con un estado estacionario de S.

Un estado estacionario de un funcional de la forma

I =∫ t1

t2

F (t, x(t), x′(t)) dt

es una función vectorial x : [t1, t2] −→ Rn, para la que el funcional alcanza unextremo y tal que x(t1) = x1 y x(t2) = x2 para x1, x2 ∈ Rn fijos. El siguientelema, en el que hemos considerado n = 1 por simplicidad, muestra que el estadoestacionario de un funcional está dado por las soluciones de las ecuaciones deEuler-Lagrange.

Teorema 1. Sea F (t, x, x′) ∈ C2(D), con D ⊆ R3. Si el funcional I alcanza unextremo relativo para x(t) ∈ C2([t1, t2]) con x(t1) = x1 y x(t2) = x2, entonces

d

dt

(∂

∂x′F (t, x(t), x′(t))

)− ∂

∂xF (t, x(t), x′(t)) = 0.

Demostración. Supongamos que el funcional I alcanza un extremo relativo parauna cierta función x(t) ∈ C2([t1, t2]) tal que x(t1) = x1 y x(t2) = x2. Considera-mos ahora una cierta función η ∈ C2([t1, t2]) satisfaciendo que η(t1) = η(t2) = 0.Haciendo uso de η(t) y x(t) podemos definir la familia de funciones {xα}α∈R enC2([t1, t2]) definidas por

xα(t) = x(t) + αη(t).

Considerando la acción del funcional sobre la familia de funciones {xα}α∈R seobtiene una función que depende únicamente de α

I(α) =∫ t2

t1

F (t, xα(t), x′α(t)) dt =∫ t2

t1

F (t, x(t) + αη(t), x′(t) + αη′(t)) dt,

3En el caso de tener m partículas en R3, se tendría que x(t), x′(t) ∈ R3m.


que alcanza un extremo relativo para α = 0; por tanto I ′(0) = 0. Por derivaciónbajo el signo integral tenemos que

I ′(α) =∫ t2

t1

∂

∂αF (t, xα(t), x′α(t)) dt.

Con la identidad

∂

∂αF (t, xα(t),x′α(t))

= ∂

∂xF (t, xα(t), x′α(t))dxα(t)

dα+ ∂

∂x′F (t, xα(t), x′α(t))dx

′α(t)dα

= ∂

∂xF (t, xα(t), x′α(t))η(t) + ∂

∂x′F (t, xα(t), x′α(t))η′(t),

llegamos a la expresión

I ′(α) =∫ t2

t1

(∂

∂xF (t, xα(t), x′α(t))η(t) + ∂

∂x′F (t, xα(t), x′α(t))η′(t)

)dt.

De donde, tomando α = 0, concluimos que

0 =∫ t2

t1

(∂

∂xF (t, x(t), x′(t))η(t) + ∂

∂x′F (t, x(t), x′(t))η′(t)

)dt.

Ahora, aplicando integración por partes al segundo sumando, se deduce que∫ t2

t1

∂

∂x′F (t, x(t), x′(t))η′(t) dt

= ∂

∂x′F (t, x(t), x′(t)η(t)

∣∣∣∣t=t2t=t1−∫ t2

t1

d

dt

(∂

∂x′F (t, x(t), x′(t))

)η(t) dt

= −∫ t2

t1

d

dt

(∂

∂x′F (t, x(t), x′(t)

)η(t) dt,

donde el último paso hemos usado que η(t1) = η(t2) = 0. De este modo

0 =∫ t2

t1

(∂

∂xF (t, x(t), x′(t))− d

dt

∂

∂x′F (t, x(t), x′(t))

)η(t) dt

y usando la arbitrariedad de η(t), obtenemos la igualdad

d

dt

(∂

∂xF (t, x(t), x′(t))

)− ∂

∂x′F (t, x(t), x′(t)) = 0.

En efecto, si existiese un punto t0 ∈ [t1, t2] tal que

d

dt

(∂

∂xF (t, x(t), x′(t))

)− ∂

∂x′F (t, x(t), x′(t)) > 0

(daría igual que fuese negativa), por continuidad podríamos asegurar la exis-tencia de ε > 0 de tal forma que para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε) se verificaría la


misma desigualdad. Entonces, eligiendo una función η(t) positiva en el intervalo(t0 − ε, t0 + ε) y nula fuera de él, llegaríamos a que∫ t2

t1

(∂

∂xF (t, x(t), x′(t))− d

dt

∂

∂x′F (t, x(t), x′(t))

)η(t) dt

=∫ t0+ε

t0−ε

(∂

∂xF (t, x(t), x′(t))− d

dt

∂

∂x′F (t, x(t), x′(t))

)η(t) dt > 0,

lo que es absurdo.

Es evidente que si el funcional I es la integral de acción S y n > 1, lasecuaciones de Euler-Lagrange se convierten en

d

dt

(∂L∂x′i

)= ∂L∂xi

, i = 1, . . . , n. (1.1)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange que hemos presentado están basadas enel uso de coordenadas cartesianas para la posición. Sin embargo, este tipo decoordenadas no se adapta adecuadamente al estudio de ciertos problemas físicos,en los que resulta más útil el uso de coordenadas cilíndricas o esféricas. Seríadeseable que las ecuaciones de Euler-Lagrange también se cumpliesen en estassituaciones.

Comprobemos que si consideramos cualquier otro sistema de coordenadas,las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange (en las nuevas coordenadas)continuan dando un estado estacionario para la integral de acción donde elLagrangiano aparece expresado en las nuevas coordenadas.

Sean (q1, q2, q3) las nuevas coordenadas que deseamos considerar y sea g eldifeomorfismo4

g : R3 −→ R3

(x, y, z) −→ (q1, q2, q3),

donde (q1, q2, q3) = (q1(x, y, z), q2(x, y, z), q3(x, y, z)).

Puesto que g es invertible con inversa diferenciable tendremos que (x, y, z) =(q1(x, y, z), q2(x, y, z), q3(x, y, z)) y, por lo tanto, tendremos que

dx

dt= ∂x

∂q1

dq1

dt+ ∂x

∂q2

dq2

dt+ ∂x

∂q3

dq3

dt,

y las expresiones análogas para dy/dt y dz/dt. De este modo

L = L(x, y, z, x′, y′, z′)

= L(q1, q2, q3,

∂x

∂q1

dq1

dt+ ∂x

∂q2

dq2

dt+ ∂x

∂q3

dq3

dt, . . .

)= L(q1, q2, q3, q

′1, q′2, q′3),

4Dadas dos variedades M y N , una aplicación diferenciable f : M −→ N es un difeomor-fismo si es una aplicación biyectiva y su inversa f−1 : N −→M también es diferenciable.


para alguna función L.

Utilizando la identidad anterior tenemos que

S =∫ t1

t2

L(x, y, z, x′, y′, z′) dt =∫ t1

t2

L(q1, q2, q3, q′1, q′2, q′3) dt.

Veamos que el estado estacionario de S está dado por las ecuaciones de Euler-Lagrange de L respecto a las nuevas variables.

Proposición 1. Si se cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange dadas en (1.1)para las coordenadas cartesianas xi y las nuevas coordenadas qi están relacio-nadas con el difeomorfismo g descrito anteriormente,5 entonces se tiene que lasnuevas coordenadas qi también cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange, esdecir,

d

dt

(∂L∂q′m

)= ∂L∂qm

, m = 1, . . . , n.

Demostración. Dado que L depende de q′m, con m = 1, . . . , n, tenemos que

∂L∂q′m

=n∑i=1

∂L∂x′i

∂x′i∂q′m

. (1.2)

Como xi = xi(q1, . . . , qn), es claro que

x′i =n∑

m=1

∂xi∂qm

q′m.

y, por lo tanto,∂x′i∂q′m

= ∂xi∂qm

.

Sustituyendo la identidad anterior en (1.2) y derivando con respecto a t enambos lados, se cumple que

d

dt

(∂L∂q′m

)=

n∑i=1

d

dt

(∂L∂x′i

)∂xi∂qm

+n∑i=1

∂L∂x′i

d

dt

(∂xi∂qm

). (1.3)

Puesto que

d

dt

(∂xi∂qm

)=

n∑k=1

∂

∂qk

(∂xi∂qm

)q′k

= ∂

∂qm

(n∑k=1

∂xi∂qk

q′k

)

= ∂x′i∂qm

,

5Generalizando g para las n coordenadas.


la ecuación (1.3) se reescribe como

d

dt

(∂L∂q′m

)=

n∑i=1

d

dt

(∂L∂x′i

)∂xi∂qm

+n∑i=1

∂L∂x′i

∂x′i∂qm

.

Finalmente, usando (1.1), concluimos que

d

dt

(∂L∂q′m

)=

n∑i=1

∂L∂xi

∂xi∂qm

+n∑i=1

∂L∂x′i

∂x′i∂qm

.

= ∂L∂qm

.

La proposición anterior nos está diciendo, esencialmente, que si las ecuacio-nes de Euler-Lagrange se cumplen para las coordenadas cartesianas, entonces,utilizando nuestro difeomorfismo g, también se verifican para las nuevas varia-bles. Es decir, las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange en las nuevascoordenadas también nos permitirán conocer la evolución de nuestro sistema fí-sico. Este hecho nos da libertad para elegir las coordenadas que más simplifiquenel planteamiento de nuestro problema.

1.3. El problema de dos cuerpos

Consideramos dos cuerpos C1 y C2 con masas m1 y m2, que supondremosque son lo suficientemente pequeños para ser considerados como partículas pun-tuales, cuyas posiciones, en relación con el origen O de algún marco de referenciaque supondremos inercial,6 son ~r1 y ~r2 como se muestra en la figura (1.1).

Supongamos que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo una fuerza ~F12y que este último ejerce sobre el primero una fuerza ~F21, de tal forma que~F21 = −~F12. Consideraremos que la fuerza es conservativa y función de ladiferencia ~r = ~r1 −~r2, por tanto, podemos suponer que la fuerza está generadapor una función potencial U(~r).

En el caso particular de la fuerza gravitacional se tiene que

~F12 = −Gm1m2

|~r|2~r|~r| .

Obviamente se trata de una fuerza conservativa cuya función potencial es

U(~r) = −Gm1m2

|~r| .

El Lagrangiano asociado al problema de dos cuerpos será

L = T − U = 12m1

∣∣∣∣d~r1

dt

∣∣∣∣2 + 12m2

∣∣∣∣d~r2

dt

∣∣∣∣2 − U(~r).

6Un sistema de referencia inercial es un sistema en el que se cumplen las tres leyes deNewton. Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro sistema de referencia que sedesplace con velocidad lineal y constante con respecto al dado, sigue siendo inercial.

1.3. EL PROBLEMA DE DOS CUERPOS 11

O

C2

C1

F21

F12

r×

1r×

2

Figura 1.1: En este gráfico vemos las posiciones r1 y r2 con respecto a un origende coordenadas O.

Por la forma que toma el lagrangiano utilizaremos la posición relativa~r = ~r1−~r2,que será independiente del sistema de referencia dado, como una de nuestrasnuevas coordenadas. Esto viene sugerido porque la energía potencial toma unaforma muy simple en términos de ~r.

Para la otra coordenada elegiremos la posición del centro de masas ~R de losdos cuerpos, que definiremos de la siguiente manera

~R = m1 ~r1 +m2 ~r2

M,

donde M = m1 +m2.

O

C2

C1

R

Centro de masas

r×

1r×

2

Figura 1.2: El centro de masas ~R se encuentra en la línea uniendo los doscuerpos.

El centro de masas se encuentra en la línea uniendo los dos cuerpos comopodemos observar en la figura 1.2 y además está más próximo al cuerpo conmayor masa.

Veamos ahora como el momento lineal de los cuerpos C1 y C2 nos permitededucir que el centro de masas se mueve con velocidad constante. Sea ~P elmomento lineal total de los dos cuerpos, que en este caso es la suma de losmomentos de ambos cuerpos.

~P = ~P1 + ~P2.


Como

~P1 = m1~v1 = m1d~r1

dty ~P2 = m2~v2 = d~r2

dt,

derivando ~R con respecto a t tenemos que

d~Rdt

= m1

M

d~r1

dt+ m2

M

d~r2

dt= m1~v1 +m2~v2

M=~P1 + ~P2

M

y

~P = Md~Rdt. (1.4)

Derivando el momento lineal ~P y usando la segunda ley de Newton, deducimosque

d~Pdt

= m1d~v1

dt+m2

d~v2

dt= m1~a1 +m2~a2 = ~F12 + ~F21 = 0,

ya que ~F12 = − ~F21. Por tanto, es claro que ~P = C, donde C es un cierto vectorconstante.

Así, por (1.4), podemos asegurar que el centro de masas se moverá a velo-cidad constante. Este hecho nos permite elegir un sistema de referencia inercialtomando el centro de masas como origen y que supondremos en reposo.

Veamos ahora cómo expresar el Lagrangiano en términos de las nuevas coor-denadas ~r y ~R. Resulta sencillo comprobar que

~r1 = m1 ~r1 +m2 ~r2 −m2 ~r2 +m2 ~r1

M

= m1 ~r1 +m2 ~r2

M+ m2

M(~r1 −~r2) = ~R + m2

M~r

y, de manera análoga,

~r2 = ~R − m1

M~r.


Por lo tanto, para la energía cinética se tiene que

T = 12

(m1 |~v1|2 +m2 |~v2|2

)= 1

2

m1

∣∣∣∣∣d~Rdt + m2

M

d~rdt

∣∣∣∣∣2

+m2

∣∣∣∣∣d~Rdt − m1

M

d~rdt

∣∣∣∣∣2

= 12m1

∣∣∣∣∣d~Rdt∣∣∣∣∣2

+ 2m2

M

⟨d~Rdt,d~rdt

⟩+ m2

2M2

∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2

+ 12m2

∣∣∣∣∣d~Rdt∣∣∣∣∣2

− 2m1

M

⟨d~Rdt,d~rdt

⟩+ m2

1M2

∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2

= 12

M ∣∣∣∣∣d~Rdt∣∣∣∣∣2

+∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2(m1m

22 +m2m

21

M2

)= 1

2

M ∣∣∣∣∣d~Rdt∣∣∣∣∣2

+∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2 m1m2

M

= 1

2

M ∣∣∣∣∣d~Rdt∣∣∣∣∣2

+ u

∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2 ,

donde, para simplificar, usamos el parámetro u

u = m1m2

M= m1m2

m1 +m2,

que llamaremos masa reducida.7

Luego, en las coordenadas ~r y ~R el Lagrangiano tiene la forma

L = T − U = 12

M ∣∣∣∣∣d~Rdt∣∣∣∣∣2

+ u

∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2− U(~r).

Las ecuaciones de Euler-Lagrange de nuestro Lagrangiano relativas a ~R implicande manera obvia la relación

0 = Md2 ~Rdt2

.

De esta ecuación resulta evidente que d~R/dt = C, lo que nos da otra prueba deque el momento lineal ~P del sistema es constante.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas con ~r dan lugar a

ud2~rdt2

= −∇U(~r). (1.5)

7Es fácil comprobar que u es siempre más pequeña que m1 y m2 dado que

m1m2 < m1(m1 +m2) y m1m2 < m2(m1 +m2).


Por tanto, obtener el movimiento relativo ~r de los cuerpos es equivalente aestudiar, usando la segunda ley de Newton, el movimiento de una partícula demasa u y posición ~r sometida a un potencial U(~r). Está claro que el Lagrangianoasociado con esta partícula está dado por

Lrel = u

2

∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2 − U(~r). (1.6)

C2

Centro de masas en O

C1

v1

r×

1

r×

2

v2

Figura 1.3: En un sistema de referencia con origen en el centro de masas, lasposiciones ~r1 y ~r2 de C1 y C2, respectivamente, vienen dadas por (1.7).

1.3.1. Conservación del momento angular

El momento angular ~L de un cuerpo con respecto a un origen de coordenadases el producto vectorial del vector posición ~r del cuerpo con respecto al origeny el momento lineal ~P, es decir

~L = ~r× ~P.

En el caso que nos ocupa, tomando como origen de coordenadas el centro de lafigura, ver figura 1.3, tenemos que las posiciones de las partículas son

~r1 = m2

M~r y ~r2 = −m1

M~r, (1.7)

luego

~L = ~r1 × ~P1 +~r2 × ~P2 = m1

(~r1 ×

~r1

dt

)+m2

(~r2 ×

~r2

dt

)= m1m

22 +m2

1m2

M2

(~r× d~r

dt

)= u

(~r× d~r

dt

);

es decir, el momento angular coincide con el de una única partícula de posición~r y masa u.


Además,

d~Ldt

= d~rdt× ud~r

dt+~r× ud

2~rdt2

= ~r× ud2~rdt2

,

ya que d~r/dt y u(d~r/dt) son vectores paralelos. Si ahora suponemos que

U(~r) = U(r),

donde r = |~r|, usando (1.5) tenemos que

d2~rdt2

= −∇U(~r) = −dUdr

~r|~r|

y, así,d~Ldt

= 0.

Este hecho implica que el momento angular es una magnitud constante y, portanto, ~r× d~r

dt también lo es. De este modo podemos deducir que el movimientorelativo tiene lugar en un plano constante a lo largo del tiempo.

1.3.2. Reducción a coordenadas polares

Para resolver el problema bidimensional de las ecuaciones del movimientorelativo dado por Lrel en (1.6), tomamos unas coordenadas polares (r, θ) conorigen el cuerpo C1. Además, consideramos los vectores

~er = cos θ~i + sen θ~j y ~eθ = − sen θ~i + cos θ~j,

mostrados en la figura 1.4, resulta evidente que ~r = r~er con r = |~r|.

O

v

r×

erΘ

eΘ

x

y

Figura 1.4: En este gráfico vemos las coordenadas r y θ que utilizaremos paraobtener las ecuaciones del movimiento.

Teniendo en cuenta que

d~erdθ

= − sen θ~i + cos θ~j = ~eθ y d~eθdθ

= − cos θ~i− sen θ~j = −~er,


podemos comprobar fácilmente que

~v = d~rdt

= dr

dt~er + r

d~erdt

= dr

dt~er + r~eθ

dθ

dt, (1.8)

ya qued~erdt

= d~erdθ

dθ

dt= ~eθ

dθ

dt. (1.9)

De este modo∣∣∣∣d~rdt∣∣∣∣2 =

⟨d~rdt,d~rdt

⟩=⟨dr

dt~er + r~eθ

dθ

dt,dr

dt~er + r~eθ

dθ

dt

⟩=⟨dr

dt~er,

dr

dt~er⟩

+ 2⟨dr

dt~er, r~eθ

dθ

dt

⟩+⟨r~eθ

dθ

dt, r~eθ

dθ

dt

⟩y, como ~eθ y ~er son vectores perpendiculares,∣∣∣∣d~rdt

∣∣∣∣2 = r2(dθ

dt

)2〈~eθ,~eθ〉+

(dr

dt

)2〈~er,~er〉 = r2

(dθ

dt

)2+(dr

dt

)2.

Por lo tanto, suponiendo que U(~r) = U(r), se verifica que

Lrel = u

2

(r2(dθ

dt

)2+(dr

dt

)2)− U(r).

Una vez hecho el cambio de coordenadas escribiremos las ecuaciones del mo-vimiento de nuestro problema de dos cuerpos usando las ecuaciones de Euler-Lagrange. La asociada con θ da lugar a la relación

0 = ud

dt

(r2 dθ

dt

), (1.10)

que implicaur2 dθ

dt= `, (1.11)

donde ` es una constante.

Nota 1. Este hecho nos da otra demostración de que el momento angular esconstante. En efecto, como

~r× ~P = r~er × u(rdr

dt~er + r~eθ

dθ

dt

)= ur

dr

dt~er × ~er + ur2 dθ

dt~er × ~eθ

= ur2 dθ

dt~k = ` ~k,

puesto que ~er×~er = ~0 y ~er×~eθ = ~k (pensados como vectores tridimensionales).

La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada r es

ur

(dθ

dt

)2− dU(r)

dr= u

d2r

dt2,


que puede reescribirse como

−dU(r)dr

= u

(d2r

dt2− r

(dθ

dt

)2). (1.12)

Determinando r y θ a partir de (1.10) y (1.12) obtendremos las ecuaciones delmovimiento relativo.

De (1.11) deducimos quedθ

dt= `

ur2 ,

que al sustituirla en (1.12) da

ud2r

dt2= −dU

dr+ `2

ur3 .

Denotando Fcf (r) = `2/(2ur3), la ecuación anterior se convierte en

ud2r

dt2= −dU

dr+ Fcf ,

que tiene la forma de la segunda ley de Newton para una partícula en unadimensión con masa u y posición r, sujeto a una fuerza −dU/dr y a una fuerzacentrífuga exterior ficticia.8

Tomando Ucf (r) = `2/(2ur2) es claro que

ud2r

dt2= − d

drUeff (r). (1.13)

dondeUeff (r) = U(r) + Ucf (r) = U(r) + `2

2ur2 . (1.14)

Comentario 1. Una sencilla reflexión sobre el comportamiento de laenergía potencial Ueff de un planeta que se encuentra en el campo gra-vitatorio del Sol puede darnos cierta información sobre su trayectoria.

Recordemos que la energía potencial debida a la atracción entre elSol y el planeta está dada por

U(r) = −Gm1m2

r= −Gu

Mr.

Por lo tanto sustituyendo en (1.14) tenemos que

Ueff (r) = −Gm1m2

r+ `2

2ur2 . (1.15)

8La fuerza Fcf es una fuerza centrífuga ya que por (1.11)

Fcf =u

r

(`

ur

)2=u

r

(rdθ

dt

)2=u

rv2θ ,

donde vθ = r dθdt

es la componente en ~eθ de la velocidad ~v = d~r/dt.


Ucf

Ueff =Uï

+Ucf

Uï

r

Energía

Figura 1.5: Representación gráfica de la energía potencial efectiva dadaen (1.15)

Podemos observar claramente que para distancias pequeñas, r pró-ximo a cero, el comportamiento de Ueff está dominado por el término`2/(2ur2) por lo que Ueff es positiva y con pendiente decreciente. Deeste modo de (1.13) deducimos que d2r/dt2 es positiva por lo que elplaneta eventualmente se irá alejando del Sol.

Para valores de r grandes el término `2/(2ur2) es despreciable com-parado con −Gm1m2/r, por lo que Ueff es negativa y con pendientecreciente. De (1.13) deducimos que d2r/dt2 es negativa por lo que elplaneta eventualmente se irá acercando al Sol.

La única excepción se presenta cuando ` = 0 que, utilizando (1.11),implica dθ/dt = 0; es decir, el planeta se está moviendo de maneraradial a lo largo de la recta constante θ = θ0 y deberá, según pase eltiempo, acabar por chocar contra el Sol.

1.3.3. Conservación de la energía

La determinación del movimiento relativo de los cuerpos la obtendremos delanálisis de la ecuación (1.13). Veamos algunas transformaciones para expresarlaen términos de la energía.

Multiplicando ambos lados de (1.13) por dr/dt tenemos que9

ud2r

dt2dr

dt= − d

dtUeff (r) dt

dr

dr

dt, (1.16)

y además, teniendo en cuenta las relaciones

d

dt

(dr

dt

)2= 2dr

dt

d2r

dt2

9Debemos notar que dr/dt es distinto de cero dado que la distancia entre los cuerpos nopermanece constante.


ydt

dr= 1dr/dt

,

se convierte end

dt

(u

2

(dr

dt

)2)

= − d

∂tUeff (r).

Por lo queu

2

(dr

dt

)2+ Ueff (r) = E, (1.17)

donde E es una constante.

Este resultado es en realidad el principio de conservación de energía. Siescribimos Ueff como U + `2/(2ur2) y reemplazamos ` por su valor dado en(1.11), vemos que

u

2d2r

dt2+ Ueff (r) = u

2

(d2r

dt2+ r2

(dθ

dt

)2)

+ U(r) = E,

donde E es la energía total del sistema, U(r) es la energía potencial y los tér-minos restantes se corresponden con las energía cinética.

Comentario 2. Como en nuestro comentario anterior consideramosun planeta que se encuentra en el campo gravitacional del Sol. Resultaevidente que el centro de masas se encuentra muy cerca del Sol dadoque su masa es mucho mayor que la del planeta. Si E es la energíatotal, podemos analizar las distancias máxima y mínima del planeta alSol para valores de E > 0 y E < 0.

Recordamos que por (1.17) tenemos que

u

2

(dr

dt

)2+ Ueff (r) = E,

donde Ueff está dado por(1.15). Como el término u(dr/dt)2/2 siemprees positivo tenemos que

Ueff (r) ≤ E.


Ueff

rmá x

rmín

E>0

E< 0

r

Energía

Figura 1.6: Gráfico donde se representa la energía como función de r.

Si suponemos que E > 0, situación marcada con una recta pun-tuada en rojo en el gráfico de la figura 1.6, el planeta puede estar acualquier distancia r del Sol siempre y cuando la energía del sistemafísico esté por encima de la curva Ueff (r) Esto implica que el planetase irá acercando al Sol hasta que llegue al punto rmín. En este puntose cumple que

Ueff (rmín) = E,

y, por (1.17), dr/dt = 0. Después se mueve alejándose y como no existeningún punto en el que dr/dt se anula se mueve hacia el infinito. Estetipo de comportamiento se corresponde con órbitas abiertas.

Cuando E < 0, situación marcada con una recta puntuada en verdeen la figura 1.6, el planeta puede estar a cualquier distancia r del Solsiempre y cuando la energía del sistema físico esté debajo de la líneade E, lo que implica que se encontrará entre rmín y rmáx.

Si el planeta se está alejando del Sol entonces continuará hastaque se encuentre con rmáx, donde dr/dt = 0, y r cambiará de signo.Ahora el planeta se moverá hacia el Sol hasta que llegue a rmín dondevolverá a cambiar de signo. Por consiguiente, el planeta oscilará entrermín y rmáx. Este tipo de comportamiento se corresponde con órbitascerradas.

Por último, si E es igual al valor mínimo de Eeff entonces rmíny rmáx coinciden y el planeta estará atrapado en un radio fijo y semoverá en una órbita circular.


1.3.4. Una última reducción de la ecuación para el movi-miento relativo

Hasta este momento las ecuaciones obtenidas determinaban la posición re-lativa en función del tiempo a través de la ecuación

udr

dt= − d

drUeff (r),

pero resultaría interesante disponer de una expresión para r como función de θ.Una de las razones es que la función r = r(θ) nos servirá para determinar lastrayectorias de una manera mucho más directa.

La ecuación radial en términos de las fuerzas es

ud2r

dt2= F (r) + `2

ur3 , (1.18)

donde F (r) está dada por F = −dU/dr y el segundo término es la fuerzacentrífuga.

Para transformar (1.18) tomaremos la nueva función v = 1/r y supondremosque v = v(θ), con θ = θ(t).

Resulta evidente que

dr

dt= d

dt

(1v

)= d

dθ

(1v

)dθ

dt= − 1

v2dv

dθ

dθ

dt. (1.19)

Además, como ` = ur2(dθ/dt) tenemos que

dθ

dt= `

ur2 = `v2

u,

y (1.19) se transforma endr

dt= − `

u

dv

dθ. (1.20)

Por tanto, usando (1.20), deducimos que

d2r

dt2= − d

dt

(`

u

dv

dθ

)= − `

u

d2v

dθ2 = `v2

u= −v2 `

2

u2d2v

dθ2

y (1.18) se convierte en

−v2 `2

u

d2v

dθ2 = F

(1v

)+ `2

uv3.

Esta última ecuación es equivalente a

d2v

dθ2 = − u

`2v2F

(1v

)− v, (1.21)

que nos permitirá conocer el radio como función del ángulo.

Capítulo 2

Las Leyes de Kepler

2.1. Primera Ley de Kepler

Primera ley de Kepler. La órbita de cada planeta del sistemasolar es una elipse con el Sol en uno de sus focos.

Para probar la primera ley de Kepler vamos a partir de (1.21) considerando

F (r) = κ

r2 ,

donde supondremos κ > 0 y r la distancia del Sol a un planeta, que se corres-ponde con la fuerza gravitacional .

De esta formaF

(1v

)= −κv2,

y la ecuación (1.21) se convierte en

d2v

dθ2 = κv2 u

`2v2 − v = −v + κu

`2 . (2.1)

Tomando la nueva función,

w(θ) = v(θ)− κu

`2 ,

(2.1) se transforma enw′′(θ) = −w(θ),

que es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes.Como su polinomio característico es λ2 + 1 = 0, se tiene que

w(θ) = p sen θ + q cos θ,

donde p y q son dos constantes cualquiera.

23

24 CAPÍTULO 2. LAS LEYES DE KEPLER

Considerando tanϕ = p/q, tenemos que

senϕ = tanϕ√1 + tan2 ϕ

= p√p2 + q2

y cosϕ = 1√1 + tan2 ϕ

= q√p2 + q2

,

y, por lo tanto,

w(θ) = p sen θ + q cos θ =√p2 + q2

(p√

p2 + q2sen θ + q√

p2 + q2cos θ

)=√p2 + q2(senϕ sen θ + cosϕ cos θ)

=√p2 + q2 cos(θ − ϕ),

luegow(θ) = A cos(θ − ϕ)

donde A es una constante positiva. Con una elección apropiada de la direcciónθ = 0 podemos suponer que ϕ = 0. Así, la solución general de (2.1) será de laforma

v(θ) = κu

`2 +A cos θ = κu

`2 (1 + ε cos θ),

donde ε es una constante positiva con valor A`2/κu. De esta forma, tomandoε = Ac con

c = `2

κu, (2.2)

y, teniendo en cuenta que r = 1/v, tenemos que

r(θ) = c

1 + ε cos θ . (2.3)

La función r(θ) dada en (2.3) es la solución de (1.21) y describe las trayec-torias del movimiento relativo de dos cuerpos sujetos a la fuerza gravitacional.Veamos como son estas trayectorias, que denominaremos órbitas, en función delparámetro ε, que es el que controla su comportamiento

A simple vista podemos observar que el comportamiento de las órbitas difieremucho cuando tomamos ε < 1 o ε ≥ 1. En el caso ε < 1 el denominador nuncase anula por lo que r(θ) se mantiene acotado para todos los valores de θ, por lotanto, como r(θ) es una función periódica, estaremos ante trayectorias cerradas.

En el caso ε ≥ 1 el denominador se anula en algunos valores de θ y r(θ) seacerca al infinito cuando θ se aproxima a esos valores y esto dará lugar a órbitasabiertas. Los casos ε > 1 y ε = 1 serán analizados separadamente.

Es evidente que los planetas no describen órbitas abiertas pero la fuerzagravitacional se puede considerar para otro tipo de objetos que si puede seguirtrayectorias de este tipo. Como veremos a continuación la primera ley de Keplerse corresponde con el caso ε < 1.

Caso ε < 1. Es evidente que r(θ) oscilará entre los valores

rmín = c

1 + εy rmáx = c

1− ε .

2.1. PRIMERA LEY DE KEPLER 25

El valor rmín que llamaremos perihelio, se corresponde con θ = 0 y el valor rmáxque llamaremos afelio, está dado por θ = π.

Como ya hemos comentado, r(θ) es periódica de periodo 2π y no existensingularidades entonces la órbita será cerrada. Veamos que dicha órbita se co-rresponde con una elipse de excentricidad ε y que uno de sus focos está en elSol.

Tomando en (2.3) x = r cos θ e y = r sen θ, como r2 = x2 + y2 y cos θ =x/√x2 + y2, tenemos la ecuación cartesiana√

x2 + y2 = c− εx,

que tras algunas manipulaciones algebraicas elementales se convierte en(x+ cε

1−e2

)2

c2

(1−ε2)2

+ y2

c2

1−ε2

= 1.

Nuestra órbita es una elipse de la forma

(x+ d)2

a2 + y2

b2 = 1, (2.4)

dondea = c

1− ε2 , b = c√1− ε2

y d = aε. (2.5)

Es decir, se trata de una elipse de semiejes a y b centrada en el punto (−d, 0),tal y como se muestra en la figura 2.1.

OPerihelioCax

y

b

Afelio Θ

Figura 2.1: En este gráfico vemos una órbita cerrada con forma de elipse dadapor la ecuación (2.3).

De la relaciónb

a=√

1− ε2


podemos deducir que ε es la denominada excentricidad de la elipse. Si ε estápróximo a cero los valores a y b serán similares y nuestra elipse será práctica-mente una circunferencia. Cuando ε se aproxima a uno el semieje b tenderá acero y la elipse se degenerará en un segmento.

De (2.4) sabemos que la distancia desde el centro C al Sol es d = aε y esacantidad se corresponde con la distancia desde el centro a cualquiera de focosde la elipse; luego lo que acabamos de probar es la primera ley de Kepler.

Aunque ya hemos concluido el objetivo de esta sección, estudiaremos lastrayectorias dadas por (2.3) en los casos restantes: ε = 1 y ε > 1

Caso ε = 1. En esta situación la trayectoria se va al infinito si θ = ±π y secorresponde con una parábola. Veamos que efectivamente es así. En este caso(2.3) se convierte en

r + r cos θ = c

que, tomando coordenadas cartesianas, se escribe como√x2 + y2 + x = c

y es equivalente ay2 = c2 − 2xc = c(c− 2x).

Por lo tanto las trayectorias son parábolas con foco en (0, 0), es decir, en el Sol,tal y como podemos observar en la figura 2.2.

c=0.25

c=0.5c=0.75

c=1

Ox

y

Figura 2.2: En este gráfico observamos la forma de las órbitas en el caso ε = 1,que como hemos probado corresponde a una parábola.

Caso ε > 1. En este caso del parámetro ε, el denominador se anula para los

2.1. PRIMERA LEY DE KEPLER 27

valores θmáx determinados por la ecuación

ε cos(θmáx) = −1

y θ está confinada al rango de valores (−θmáx, θmáx). Tomando coordenadascartesianas, la órbita está dada por la ecuación(

x+ cε1−ε2

)2

c2

(1−ε2)2

+ y2

c2

1−ε2

= 1. (2.6)

Como 1− ε2 < 0 podemos reescribir (2.6) como

(x− δ)2

α2 − y2

β2 = 1,

dondeα = c

ε2 − 1 , β = c√ε2 − 1

y δ = αε.

Por lo que la trayectoria es una hipérbola. Las asíntotas de esta hipérbola sony = β

αx e y = −βα x y su centro es (δ, 0). Los focos de la hipérbola se encontraran

en la posición (0, δ+p) y (0, δ−p) donde p =√α2 + β2. En particular, (0, δ−p) =

(0, 0) y es, de nuevo, la posición ocupada por el Sol. Algunas trayectorias de estetipo se muestran en la figura 2.3.

Ε =2

Ε =3

Ε =4

Ox

y

Figura 2.3: En este gráfico vemos algunas hipérbolas para distintos valores deε > 1.

En la figura 2.4 hemos incluido una representación gráfica de las distintastrayectorias según los valores de ε > 1.


Ε =0.25

Ε =0.5

Ε =1

Ε =1.4

Ε =2.8

Ox

y

Figura 2.4: Representación de los tres tipos de órbitas dependiendo del valor dela excentricidad ε.

2.2. Segunda ley de Kepler

Segunda ley de Kepler. El radiovector que forman el Sol y unplaneta barre áreas iguales en tiempos iguales.

En la figura 2.5 hemos representado dos regiones en las que los radiovectoresque lo definen están separados por un mismo periodo de tiempo 4t y, por tanto,según la segunda ley de Kepler deben tener la misma área.

Siguiendo la notación de la figura 2.6, sean ~r y ~r+4~r la posición del planetarespecto al Sol en los instantes de tiempo t y t +4t, respectivamente. El áreabarrida por el radiovector en el intervalo 4t viene dada aproximadamente por

4A ≈ 12 |~r×4~r|,

luego

24A4t≈∣∣∣∣~r× 4~r4t

∣∣∣∣y, por tanto, tomando límites podemos suponer que

2dAdt

=∣∣∣∣~r× d~r

dt

∣∣∣∣ = |~r× ~v| .

2.2. SEGUNDA LEY DE KEPLER 29

Figura 2.5: Una representación visual de la segunda ley de Kepler.

Como ~r = r~eθ y ~v está dado por (1.8), considerando ~eθ y ~er como vectores enR3,

2dAdt

= r2 dθ

dt|~er × ~eθ| = r2 dθ

dt= `

u,

donde en el último paso hemos usado (1.11) y hemos concluido la demostraciónde la segunda ley de Kepler.

r×

+Dr× Dr

×

r×

Figura 2.6: Esquema para la demostración de la segunda ley de Kepler.


2.3. Tercera ley de Kepler

Tercera ley de Kepler. El cuadrado del periodo de la órbita de unplaneta alrededor del Sol es proporcional al cubo del semieje mayorde su órbita elíptica.

Utilizando la segunda ley de Kepler sabemos que

dA

dt= `

2u,

donde A es área es el área que barre el radiovector formado por el Sol y unode los planetas. Si τ denota el periodo de cualquier planeta, está claro que severifica la identidad

τdA

dt= A,

donde A es el área total encerrada por la órbita.

Dado que el área total de una elipse es πab, donde a y b son los semiejes dela elipse dados en (2.5), entonces tenemos que

τ = AdA/dt

= 2πabu`

. (2.7)

Si hacemos el cuadrado a ambos lados y utilizamos la relación

b

a=√

1− ε2,

llegamos a la identidad

τ2 = 4π2u2 a4(1− ε2)`2 = 4π2u2 a

3c

`2 ,

donde c = a(1− ε2). Además, como ya vimos en (2.2) que

c = `2

κu,

queda que el periodo puede escribirse como

τ2 = 4π2ua3

κ.

La constante κ es la que aparece en la fuerza gravitacional y es κ = Gm1m2 =GuM donde M = m1 +m2. Como m2 es la masa del Sol, que denotaremos porMs, y es mucho mayor que la masa de cualquier planeta, podemos considerarque

κ = Gm1Ms ≈ GuMs

y, por lo tanto,

τ2 = 4π2

GMsa3,

que es precisamente la tercera ley de Kepler.

2.3. TERCERA LEY DE KEPLER 31

Comentario 3. Retomando el ejemplo de los comentarios del capítuloanterior, relacionaremos la excentricidad ε de la órbita con la energíaE del cuerpo que orbita en ella. La manera más fácil de hacer estoes recordar que en su distancia mínima rmín la energía del cometa esigual a la energía potencial efectiva Ueff ; es decir,

E = Ueff (rmín) = − κ

rmín+ `2

2ur2mín

= 12rmín

(`2

κrmín− 2κ

). (2.8)

Como sabemos que rmín = c/(1 + ε) y, por definición, c = `2/κutendremos que

rmín = `2

κu(1 + ε) ,

y, sustituyendo en (2.8),

E = κu(1 + ε)2`2 (κ(1 + ε)− 2κ)

= κ2u

2`2

((1 + ε)2 − 2(1 + ε)

)= κ2u

2`2 (ε2 − 1). (2.9)

Esta expresión para la energía implica que para órbitas cerradas (ε < 1)la energía es negativa y que en el caso de órbitas abiertas (ε > 1) espositiva.

La fórmula (2.9) relaciona la energía E y el momento angular ` conla excentricidad ε. Por ejemplo, para un valor cualquiera del momentoangular, la órbita con menos energía posible es la órbita circular conexcentricidad ε = 0.

Capítulo 3

La ecuación de Kepler

3.1. Deducción de la ecuación de Kepler

En el capítulo anterior hemos deducido que el movimiento relativo de unplaneta con respecto al sol viene dado por la ecuación

r(θ) = c

1 + ε cos θ .

Hemos visto que si 0 < ε < 1 la órbita es una elipse de excentricidad ε con elSol en uno de sus focos. Además si el semieje mayor es a, el periodo de rotaciónτ está dado en términos de dicho semieje (tercera ley de Kepler).

Si denotamos por A al perihelio de la órbita, ver figura 3.1, y denotamospor P la posición del planeta en un instante de tiempo t, nos gustaría conocerlas coordenadas (r, θ) relativas al Sol de dicho punto como función del tiempo.Este resultado puede obtenerse mediante la denominada ecuación de Kepler quededuciremos a continuación.

Consideremos un sistema de coordenadas centrado en el centro de la elipse ycon el eje OX en la dirección del semieje mayor. Tracemos una circunferencia decentro el origen y de radio a, la longitud del semieje mayor. Esta circunferenciasuele llamarse excéntrica.

La recta perpendicular al semieje mayor pasando por la posición del planetaP , corta a la circunferencia excéntrica en un punto Q y al semieje mayor enR. El ángulo E = ∠QOS se conoce como anomalía excéntrica del planeta en elinstante t, por contraposición el ángulo θ = ∠ASP recibe el nombre de anomalíaverdadera. Es evidente que

PR = b

aQR,

donde b es el otro semieje de la elipse.

De manera sencilla podemos obtener (r, θ) en función de E. Si P = (x, y) setiene

x = a cosE e y = b senE.

33

34 CAPÍTULO 3. LA ECUACIÓN DE KEPLER

E

A

P

Q

SO

Θ

x

y

Figura 3.1: En la figura A es el perihelio, O es el centro de la órbita y S laposición del sol.

De la figura 3.1 deducimos que

cosE = ε+ r

acos θ y senE = r sen θ

a(1− ε2)1/2 = r

bsen θ (3.1)

y, teniendo en cuenta que x = r cos θ e y = r sen θ, llegamos a la relaciones

x = a (cosE − ε) e y = b senE. (3.2)

De (2.5) obtenemosb = a

√1− ε2,

y con la expresión para r en (2.3) llegamos a la relación

r = a(1− ε cosE). (3.3)

Ahora usando (3.1) y (3.3) se tiene que

tan θ2 =√

1− cos θ1 + cos θ =

√1 + ε

1− ε

√1− cosE1 + cosE =

√1 + ε

1− ε tan E2 . (3.4)

La ecuación de Kepler, que deduciremos a continuación, nos permitirá es-tablecer una relación entre la anomalía excéntrica y el concepto de anomalíamedia, que será dependiente del tiempo. De este modo podemos escribir r y θcomo funciones del tiempo usando (3.3) y (3.4).

3.2. LAS FUNCIONES DE BESSEL 35

La velocidad angular media se conoce en astronomía como el movimientomedio y está dada por

n = 2πτ,

que coincide con la velocidad angular que tendría un planeta siguiendo una ór-bita circular de radio a. El ángulo que habría recorrido ese planeta desde elperihelio moviéndose con velocidad angular constante n se conoce como anoma-lía media y vale

M = n(t− T ), (3.5)

donde T es el tiempo de paso por el perihelio.

Proposición 2. Si E y M son, respectivamente, la anomalía excéntrica y laanomalía media, entonces se verifica la ecuación de Kepler

M = E − ε senE.

Demostración. Sea SASP el área limitada por los segmentos AS, SP y el arco dela elipse comprendido entre ellos y sea SASQ el área encerrada por los segmentosAS, SQ y el arco AQ de la circunferencia excéntrica limitada por ellos.

Por la relación existente entre la elipse y la circunferencia excéntrica se tieneque

SASP = b

aSASQ.

Además, SASQ es el área del sector circular AOQ menos el área el triánguloOSQ. Por tanto,

SASQ = a2

2 E −ea2

2 senE.

De (2.7) deducimos que `/u = nab, por lo que usando la segunda ley de Keplery (3.1), tenemos que

t− T = 2u`SASP = 2

nab

b

aSASQ = 2

na2

(a2

2 E −a2

2 ε senE),

de donde se llega aM = n(t− T ) = E − ε senE,

que es la ecuación de Kepler.

3.2. Las funciones de Bessel

Antes de iniciar la resolución de la ecuación de Kepler debemos hacer unapequeña introducción a las funciones de Bessel puesto que estarán involucradasen la misma.

Estas funciones suelen presentarse como la solución de la ecuación diferencialde Bessel

t2x′′ + tx′ + (t2 − ν2)x = 0, (3.6)

donde ν es un parámetro real positivo.


En la forma normal, las funciones coeficientes de x′ y x son

1t

y t2 − ν2

t2,

que evidentemente no son desarrollables en potencias de t pero, sin embargo, elpunto t = 0 es un punto singular regular. Es por esto que podemos resolver laecuación diferencial (3.6) aplicando el método de Fröbenius (ver [1])

La ecuación indicial viene dada en este caso por

m2 − ν2 = 0,

cuyas raíces son m1 = ν y m2 = −ν. El método de Fröbenius nos asegura laexistencia de una solución en forma de serie de Fröbenius para m1 = ν.

Probando con soluciones de la forma

x(t) =∞∑k=0

aktk+m,

obtendremos la relación de recurrencia

ak+2 = − ak(k +m+ 2 + ν)(k +m+ 2− ν) .

Para m1 = ν, teniendo en cuenta que a0 6= 0 llegamos a que

a2k = (−1)k Γ(ν + 1)a0

22kk ! Γ(ν + k + 1) ,

luego

x1(t) = tν∞∑k=0

(−1)k Γ(ν + 1)a0

k ! Γ(ν + k + 1)

(t

2

)2k,

es una solución de la ecuación de Bessel. Los coeficientes a2k+1 dan lugar a otrotipo de función de Bessel de la que no nos ocuparemos.

Eligiendo a0 = 1/(2ν Γ(ν + 1)) llegamos a lo que se define como función deBessel de primera especie de orden ν, que está dada por

Jν(t) =∞∑k=0

(−1)k

k ! Γ(ν + k + 1)

(t

2

)2k+ν.

Tomando n ∈ N, la función Jn(t) es la única solución del problema de valoresiniciales

(Pn){t2x′′ + tx′ + (t2 − n2)x = 0x(0) = 0, x′(0) = δ1n,

donde δnm es la delta de Kronecker definida como

δnm ={

1, si n = m,

0, si n 6= m.

Este hecho será fundamental para probar la representación integral para Jn(t)que daremos en el siguiente lema, que es la pieza clave de la solución de laecuación de Kepler. En la figura 3.2 mostramos algunas funciones Jn(t).

3.2. LAS FUNCIONES DE BESSEL 37

J3

J1

J2

2 4 6 8 10 12x

-0.2

0.2

0.4

0.6

y

Figura 3.2: Representación de algunas funciones de Bessel de primera especie.

Lema 2. Sean n ∈ N y t ∈ R, entonces

Jn(t) = 1π

∫ π

0cos(nE − t senE) dE. (3.7)

Demostración. Veamos que la función

x(t) = 1π

∫ π

0cos(nE − t senE) dE, (3.8)

es solución del problema de valores iniciales Pn y, por la unicidad, tendremosprobado (3.7).

Es claro que

x′(t) = 1π

∫ π

0sen(nE − t senE)(− senE) dE,

y, aplicando integración por partes tomando u = sen(nE − t senE) y dv =(− senE) dE, obtenemos que

x′(t) = 1π

∫ π

0cos(nE − t senE)(n− t cosE) cosE dE

= n

π

∫ π

0cos(nE − t senE) cosE dE − t

π

∫ π

0cos(nE − t senE) cos2 E dE.

La derivada segunda es

x′′(t) = − 1π

∫ π

0cos(nE − t senE) sen2 E dE

= − 1π

∫ π

0cos(nE − t senE) dE + 1

π

∫ π

0cos(nE − t senE) cos2 E dE.


Sustituyendo en (3.6) y simplificando deducimos que

t2x′′ + tx′ + (t2 − n2)x = nt

π

∫ π

0cos(nE − t senE) dE

− n2

π

∫ π

0cos(nE − t senE) dE

= −nπ

∫ π

0(−t cosE + n) cos(nE − t senE) dE

= 0,

y, por tanto, x(t) cumple la ecuación diferencial en Pn. Comprobemos que tam-bién cumple las condiciones iniciales.

Es claro que

x(0) = 1π

∫ π

0cos(nE) dE = 0, n ≥ 1,

y, además,

x′(0) = 12π

∫ π

0sen(nE) senE dE

= 12π

(∫ π

0cos((n− 1)E) dE −

∫ π

0cos((n+ 1)E) dE

)={

0, si n ≥ 2,1/2, si n = 1.

Por tanto, x(t) es solución de Pn como queríamos ver.

3.3. Resolución de la ecuación de Kepler

Para concluir este capítulo daremos una expresión para la solución de laecuación de Kepler en forma de serie de Fourier de senos, es decir

E = M +∞∑n=1

bn(ε) sennM,

donde los coeficientes bn(ε) están relacionados con las funciones de Bessel. De-bemos señalar que Bessel introdujo las funciones que llevan su nombre precisa-mente para obtener esta solución de la ecuación de Kepler, ver [2].

En primer lugar debemos observar que para cada M ∈ R, la ecuación deKepler admite una única solución que denotaremos por Eε(M). Aplicando elteorema de la función implícita a la función

F (M,E) = E − ε senE −M.

(notar que ∂F/∂E = 1− ε cosE 6= 0, puesto que 0 < ε < 1) podemos asegurarque existe una única función

Eε : R −→ RM −→ Eε(M).

3.3. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE KEPLER 39

Además, la función Eε ∈ C∞(R) dado que F (M,E) ∈ C∞(R2).

Veamos el siguiente resultado que relaciona la solución de la ecuación deKepler con las funciones de Bessel.

Teorema 2. Sea 0 < ε < 1 y M ∈ R, entonces

Eε(M) = M +∞∑n=1

2nJn(nε) sen(nM).

Demostración. Para probar el resultado consideramos la función

gε(M) = Eε(M)−M.

Es evidente que gε ∈ C∞(R), es impar, gε(0) = 0 y gε(π) = π. Veamos queademás gε es una función 2π−periodica. Para ello basta comprobar que

Eε(M + 2π) = Eε(M) + 2π.

Como Eε(M + 2π) es solución de la ecuación

M + 2π = E − ε senE, (3.9)

por unicidad, es suficiente ver que Eε(M)+2π es solución de la misma ecuación.Pero como Eε(M) es solución de la ecuaciónM = E−ε senE, que es equivalentea la ecuación M + 2π = E + 2π − ε sen(E + 2π), se deduce que Eε(M) + 2π essolución de (3.9).

Por todo lo anterior podemos asegurar que gε admite un desarrollo de Fourieren términos de senos en el intervalo [0, π] convergente en cada punto; es decir

gε(M) =∞∑n=1

bn(ε) sen(nM).

Procedamos a determinar los coeficientes bn(ε) para completar la prueba. Esconocido que

bn(ε) = 2π

∫ π

0gε(M) sen(nM) dM.

Aplicando integración por partes, con u = gε(M) y dv = sennM dM , tenemosque

bn(ε) = 2nπ

∫ π

0g′ε(M) cosnM dM = 2

nπ

∫ π

0E′ε(M) cos(nM) dM.

Como M = E − ε senE = Eε(M) − ε sen(Eε(M)), con el cambio de variableE = Eε(M) deducimos que

bn(ε) = 2nπ

∫ π

0cos(nE − x senE) dE.

Así, usando el Lema 2, concluimos que

bn(ε) = 2πJn(nε)

y la prueba está completa.

Conclusiones

Durante el desarrollo de esta memoria se ha estudiado de manera riguro-sa el problema de los dos cuerpos. Utilizando el Lagrangiano hemos obtenidouna solución en forma de ecuación diferencial para una fuerza genérica dada.Posteriormente hemos demostrado las tres leyes de Kepler sustituyendo en lasolución la fuerza genérica por la fuerza de la gravitación universal y ademáshemos analizado las órbitas solución en función de la excentricidad. Por últi-mo hemos dado una solución a la ecuación de Kepler utilizando desarrollos deFourier y funciones de Bessel de primera especie.

En el transcurso de la elaboración de esta memoria he tenido que consultarlibros y artículos sobre el problema de dos cuerpos y sobre las leyes de Kepler,este hecho me ha ayudado a profundizar mis conocimientos de física y mate-máticas. Aunque inicialmente el trabajo fue duro, pues la terminología física esmuy diferente a la matemática, el esfuerzo ha merecido la pena ya que me hapermitido ver la influencia mutua existente entre ambas ciencias. En conclusión,pienso que este trabajo me ha permitido ampliar mi visión del mundo de lasmatemáticas.

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Bibliografía

[1] Óscar Ciaurri Ramírez, Instantáneas diferenciales, Universidad de La Rio-ja, 2013, disponible en https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=528070.

[2] Peter Colwell, Bessel functions and Kepler’s equation, Amer. Math.Monthly 99 (1992), 45–48.

[3] Manuel A. Diloné Alvarado, Métodos iterativos aplicados a la ecuación deKepler, Universidad de La Rioja, 2013, disponible en https://dialnet.unirioja.es/servlet/tesis?codigo=37843.

[4] Arthur Mattuck, Kepler’s second law, disponible en http://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes02/k.pdf.

[5] David Morin, Introduction to Classical Mechanics, Cambridge UniversityPress, 2008.

[6] Antonio Rañada, Dinámica clásica, Alianza, Madrid, 1994.

[7] John R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2005.

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