Probabilidad y Estadística Autoevaluación UT1 · 2014-11-05 · 8. Una escala nominal consiste en...

Probabilidad y Estadística Facultad Regional Mendoza http://web.frm.utn.edu.ar/estadistica

Autoevaluación UT1

Estadística descriptiva y análisis de datos 1

Unidad Temática 1 Estadística descriptiva y análisis de datos

Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.

1. Definiciones preliminares, tipos de datos y variables

1. Desde el punto de vista estadístico, las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. 2. Si se ha recopilado la información deseada para los elementos de un subconjunto

que representa a una población objeto de estudio, se está en presencia de un censo. 3. Si el Ministro de Educación está interesado en el rendimiento de los estudiantes

argentinos, medido por el promedio de calificaciones, las unidad de análisis son los establecimientos educativos del país.

4. La rama de la estadística que se ocupa de utilizar datos de una muestra para hacer inferencias acerca de la población en estudio, se conoce con el nombre de estadística descriptiva.

5. El nivel de estudios o escolaridad de los empleados de una empresa es una variable cuantitativa.

6. El número de hijos de los trabajadores de una fábrica es una variable cuantitativa continua.

7. El color de ojos de las personas es una variable cualitativa que se mide en una escala nominal.

8. Una escala nominal consiste en categorías mutuamente excluyentes que no implican un orden jerárquico entre ellas.

9. El cargo que ocupa un empleado en la empresa, es una variable cualitativa y se mide en escala ordinal.

10. La antigüedad de un empleado en una institución pública es una variable numérica que se mide en una escala nominal.

11. La escala de intervalo es una forma de medida más completa que la escala ordinal, ya que permite discernir no sólo qué valor observado es el más grande, sino también por cuánto.

12. Los datos primarios son siempre de mejor calidad que los datos secundarios. 13. Los censos, en general, resultan muy costosos, difíciles de realizar e incluso en

algunos casos pueden resultar imposibles de llevar a cabo. 14. El número del piso desde el que es llamado un ascensor de un edificio en altura, es

una variable numérica continua. 15. El promedio de los resultados obtenidos al lanzar dos dados, es una variable

numérica continua. 16. Cuando el conjunto de valores que puede tomar una variable es finito, es decir, se

puede contar, se dice que la variable es discreta.


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17. Las variables continuas son aquellas en que los datos resultantes de las mediciones, pueden tomar cualquiera de los valores de una escala continua, en el rango para el cual está definida la variable. De otro modo, pueden tomar el continuo de valores entre el mínimo y el máximo observado.

18. Las gráficas circulares y gráficas de barras, son herramientas útiles para descripción gráfica de conjuntos de datos cuantitativos.

19. Las gráficas circulares también se las conoce con el nombre de gráficas de pastel, gráficas de torta o gráficas de sectores.

20. Las gráficas de barras pueden representarse tanto con barras verticales como horizontales.

21. En el diagrama de Pareto, las categorías de la variable cualitativa deben disponerse en orden decreciente por altura (o frecuencia) y se muestra una poligonal acumulativa superpuesta a las barras.

22. Para representar las gráficas de barras o las circulares, se pueden emplear tanto frecuencias absolutas como relativas.

23. La representaciones de las gráficas de barras y gráficas circulares en escala relativa (proporción o porcentaje), tienen la ventaja de independizarse del tamaño de la muestra a partir de la cual se obtuvo la información.

24. Las gráficas de sectores resultan más apropiadas, es decir, más cómodas de leer, cuando se tiene variables cualitativas con una gran cantidad de categorías, por ejemplo 26.

25. Cuando se tiene una variable cualitativa, las categorías en que se agrupan los datos para representarlos mediante una gráfica de barras, son mutuamente excluyentes.

26. En las gráficas de barras, las barras no deben pegarse una a otras. 27. Si la población estudiantil de una Universidad es de 12.000 alumnos, para

representar gráficamente el turno en que cursan los estudiantes (mañana, tarde o noche), se puede utilizar tanto una gráfica de sectores como una gráfica de barras.

28. La gráfica de puntos encuentra su mejor aplicación en el caso de conjuntos de datos pequeños.

29. Las distribuciones de frecuencias sacrifican algunos detalles, pero ofrecen información acerca del patrón de comportamiento de los datos.

30. El histograma es una representación gráfica que se utiliza para representar variables numéricas; no se utiliza para variables cualitativas.

31. Al agrupar los datos en tablas de frecuencias, un dato particular del conjunto de datos, debe pertenecer a una y sólo una clase o categoría, por lo que se dice que las clases son completamente inclusivas.

32. La organización de los datos por categorías o clases permite identificar patrones de comportamientos evidentes de los mismos.

33. A partir de una distribución de frecuencias, se puede reconstruir una lista con la totalidad de los datos observados a partir de la cual se construyó dicha tabla.


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34. Una distribución de frecuencias es una tabla en la que organizamos los datos en clases y se muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases.

35. Las clases en que se agrupan los datos en una tabla de frecuencias, deben ser completamente inclusivas, esto significa que, los datos que más se repiten deben incluirse en una misma clase.

36. Las clases de una distribución de frecuencias deben ser mutuamente excluyentes y completamente inclusivas.

37. De ser posible, conviene que todas las clases de una distribución de frecuencias tengan el mismo ancho; de lo contrario, tendríamos una distribución mucho más difícil de interpretar.

38. Para construir las distribuciones de frecuencias, como regla general, los estadísticos aconsejan utilizar entre 20 y 25 clases.

39. El número de clases que se utiliza para construir la distribución de frecuencias es independiente de la cantidad de datos disponibles.

40. La fórmula de Sturges, da el número de clases de una distribución de frecuencias y puede utilizarse para iniciar la exploración a partir de la misma: k = 1 + 3,3 log n.

41. Sea cual sea el conjunto de datos que se desea representar gráficamente, para determinar el número de clases, es indistinto emplear la fórmula de Sturges o la fórmula √n.

42. Las gráficas de distribuciones de frecuencias simples y de distribuciones de frecuencias relativas resaltan y aclaran los patrones que no se pueden distinguir fácilmente en las tablas.

43. Los histogramas se pueden construir utilizando tanto las frecuencias absolutas como las frecuencias relativas.

44. La frecuencia relativa simple de cualquier clase particular, se obtiene calculando el cociente entre el número de observaciones que entran en la clase y el número total de observaciones realizadas.

45. En una distribución de frecuencias, la suma de todas las frecuencias relativas de todas las clases, es igual al número total de observaciones realizadas.

46. Cuando el histograma se construye utilizando frecuencias relativas, resulta fácil comparar los datos de muestras de tamaños diferentes.

47. La marca de clase de una distribución de frecuencias se calcula haciendo la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la clase correspondiente.

48. Los polígonos de frecuencias sólo se pueden utilizar para representar las distribuciones de frecuencias relativas.

49. El polígono de frecuencias construido con las frecuencias simples absolutas, tiene la misma forma que el polígono de frecuencias simples relativas construido a partir del mismo conjunto de datos, pero con una escala diferente en los valores del eje vertical.

50. La representación gráfica de la distribución de frecuencias acumuladas mediante una poligonal, se conoce con el nombre de ojiva.


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51. La ojiva es una representación gráfica que se puede construir utilizando frecuencias acumuladas absolutas o relativas, indistintamente.

52. La ojiva se construye uniendo los puntos dados por los pares ordenados (punto medio de clase; frecuencias acumuladas de clase), con trazos rectos que dan lugar a una poligonal.

53. En una distribución de frecuencias, la notación Fri se refiere a las frecuencias de clase relativas acumuladas.

54. Dada la representación gráfica de una ojiva, a partir de la misma es posible reconstruir los datos originales exactos con los que se construyó la misma.

55. Si la lectura de la ojiva para la variable en estudio en la clase (12 ; 14] de una tabla de frecuencias arroja el valor 30%, debe interpretarse que el 30% de los datos están comprendidos en el intervalo (12 y 14].

56. Si la lectura de la ojiva para la variable en estudio en la clase (2,5 ; 3,5] de una tabla de frecuencias arroja el valor 60%, debe interpretarse que el 40% de los datos son mayores que 3,5.

57. Para describir en palabras el patrón de comportamiento de los datos, se puede hacer referencia a la simetría o asimetría de la distribución, a la presencia o no de modas en la distribución, así como al lugar en que tienden a agruparse los datos en la escala de la variable.

En la Tabla 1 se presenta la distribución de frecuencias para el peso, en gramos, de 35 monedas de diez centavos. Tabla 1. Distribución de frecuencias para el peso de 35 monedas de diez centavos.

Límites de Clase Punto Frecuencias Simples Frecuencias Acumuladas Clase (Inferior Superior] Medio Absoluta Relativa Absoluta Relativa ............................................................................................................................................................... 1 (2,13 2,16] 2,145 2 0,0571 2 0,0571 2 (2,16 2,19] 2,175 3 0,0857 5 0,1429 3 (2,19 2,22] 2,205 5 0,1429 10 0,2857 4 (2,22 2,25] 2,235 15 0,4286 25 0,7143 5 (2,25 2,28] 2,265 8 0,2286 33 0,9429 6 (2,28 2,31] 2,295 1 0,0286 34 0,9714 7 (2,31 2,34] 2,325 1 0,0286 35 1,0000

58. El 14,29% de las monedas de la muestra pesó más de 2,19 gramos, pero no superó

los 2,22. 59. El 71,43% de las monedas de la muestra tiene un peso que no pasa de 2,25 gramos. 60. Hay 10 monedas en la muestra cuyo peso está por encima de los 2,25 gramos. 61. Ocho monedas de la muestra tienen un peso que en la distribución de frecuencias

queda representado por el valor 2,265 gramos. 62. Las frecuencias de clase simples relativas de la Tabla 1 están expresadas en

porcentaje.


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63. De acuerdo a la información de la Tabla 1, la moneda más liviana de la muestra pesa 2,13 gramos.

64. El número de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuesto por la fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 log n.

65. El número de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuesto por la fórmula √n.

66. Uno de los puntos de la representación gráfica de la ojiva correspondería al par ordenado (x ; F ): (2,25 ; 33).

67. En la muestra se observaron 8 monedas con un peso igual a 2,265 gramos.

2. Descripción de un conjunto de datos: Métodos numéricos.

68. La media aritmética de un conjunto de datos siempre coincide con alguno de los

valores centrales del conjunto de valores observados. 69. La media aritmética siempre está comprendida entre los valores máximo y mínimo

observados. 70. La media aritmética resulta siempre la mejor medida de tendencia central de un

conjunto de datos numéricos. 71. En todo conjunto de datos numéricos, la media es un valor mayor o igual que cero. 72. La media aritmética es la mejor medida de tendencia central de un conjunto de

datos categóricos. 73. Si la media o promedio de las calificaciones de un examen de Estadística, en la

escala del cero al diez, resulta exactamente igual a diez puntos, el rango de tales calificaciones debe ser igual a cero.

74. Doce alumnos rinden un examen de Estadística, son calificados en la escala del cero al diez y la mediana de las calificaciones es igual a seis. En tales condiciones, podría ocurrir que más de cinco alumnos obtuvieran una calificación de siete puntos o más.

75. La suma de las desviaciones respecto de la media aritmética es siempre igual a cero. 76. Dado un conjunto numérico de datos de tamaño n > 1, la mediana puede o no

existir. 77. La mediana es una medida de tendencia central sensible a los datos apartados de la

muestra. 78. La mediana del siguiente conjunto de datos {2, 5, 7, 1, 3} es igual a 7. 79. La moda puede no existir y cuando existe no necesariamente es única. 80. Dado un conjunto de mediciones resultantes de un experimento, la moda puede no

coincidir con alguno de los valores observados. 81. La moda del siguiente conjunto de datos {3, 3, 3, 3, 3} es igual a 3. 82. El valor de la media aritmética de un conjunto de datos categóricos es siempre

menor que la moda de los mismos.


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83. En todo conjunto de datos numéricos, la moda es un valor mayor o igual que cero. 84. Si un conjunto de datos no tiene moda, debe interpretarse que el valor numérico de

la moda es igual a cero. 85. La moda es una medida de tendencia central que puede calcularse tanto para datos

numéricos como para datos categóricos. 86. Si se tiene un conjunto de datos resultantes de medir la temperatura en el Parque

General San Martín a la hora 8, podría suceder que se observe más de una moda. 87. La mediana es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos numéricos. 88. La media aritmética es la medida que mejor describe la posición central del

siguiente conjunto de datos {1; 2; 3; 3; 1; 2; 2; 1; 312}. 89. En el siguiente conjunto de datos{–2, –1, 0, 1, x}, x podría asumir un valor tal que

la media sea menor que la mediana. 90. Es suficiente calcular las medidas de tendencia central de una muestra, para

proporcionar un resumen apropiado y acabado del conjunto de datos del cual proviene.

91. El rango del conjunto de datos siguiente {–6, –2, 0, 2, 6} es igual a cero. 92. El rango de un conjunto de datos, siempre y sin restricción alguna, es un valor

mayor o igual que cero. 93. Si el rango del conjunto de datos siguiente {1, 2, 3, x, 3, 2, 1} es igual a tres, el

valor de x sólo podría asumir el valor cero. 94. El rango es una medida pobre de la variabilidad, en particular si el tamaño de la

muestra es grande; considera sólo los valores extremos y no nos dice nada acerca de la distribución de los valores intermedios.

95. La varianza del siguiente conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1} es igual a 12. 96. Cuando la desviación estándar de un conjunto de datos numérico es menor que

cero, debe interpretarse que todos los datos son menores que la media aritmética. 97. La desviación estándar de un conjunto de datos, nunca puede resultar mayor que la

media del mismo conjunto de datos. 98. Si la desviación estándar de la estatura de los alumnos de la Universidad es igual a

9 centímetros y la desviación estándar del promedio de calificaciones de los mismos alumnos es de 3 puntos, se debe concluir que la dispersión de las calificaciones es menor que la dispersión de las estaturas.

99. Si el rendimiento de un grupo de alumnos que es evaluado en Estadística resulta óptimo, digamos que todos obtienen por lo menos ocho puntos sobre diez, nada impide que la desviación estándar de las calificaciones resulte igual a 4 puntos.

100. Si la unidad de medida de la desviación estándar de una variable se expresa en metros, la varianza lo estará en metros cuadrados.

101. El coeficiente de variación permite comparar la dispersión o variabilidad de conjuntos de datos diferentes, incluso medidos en unidades diferentes.

102. El coeficiente de variación de cualquier conjunto de datos numéricos, expresado en porcentaje, está comprendido entre cero y cien.


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103. Si la desviación estándar del caudal del Río X es de 45 m³/s y la desviación estándar del caudal del Río Y es de 240 m³/s, se debe concluir que los caudales del Río Y están más dispersos que los del Río X.

104. Si una distribución tiene sesgo positivo, es asimétrica a derecha. 105. En cualquier conjunto de datos numéricos distribuidos simétricamente, media,

mediana y moda son coincidentes. 106. Si una distribución de frecuencias de clase relativas resulta simétrica, la distribución

de frecuencias acumuladas también lo será. 107. Si el tercer cuartil de un conjunto de datos observados es igual a 35, el 25% de los

datos del conjunto es mayor que 35. 108. Si el valor del sexto decil de un conjunto de datos es igual a 8, significa que la sexta

parte de los datos son iguales o inferiores a 8. 109. El percentil cincuenta de un conjunto de datos siempre coincide con el segundo

cuartil. 110. Dado el conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 5, 5, 5} se cumple que el segundo

decil es menor que el tercer cuartil. 111. Si se sabe que el percentil diez de un conjunto de datos es igual a 10, el primer decil

será igual a 1. 112. En algunos conjuntos de datos, podría encontrarse que el percentil 22 resulte mayor

que el cuartil inferior. 113. Si un fabricante de puertas para viviendas debe decidir qué altura darle a las mismas

para una producción estándar, se le debe sugerir que adopte para las puertas, una altura igual a la estatura media de las personas adultas del mercado en el que se venderán dichas puertas.

114. Las estadísticas obtenidas de las muestras nos proporcionan información acerca de la tendencia central de los datos y de su dispersión, mientras que la presentación gráfica de los datos agrega información adicional en términos de imagen.

115. El gráfico de caja y extensión es una representación que muestra, para muestras razonablemente grandes, el centro de la localización, la variabilidad y el grado de asimetría de los datos.

116. Los gráficos de caja y extensión no permiten realizar comparaciones visuales entre muestras.

117. Los datos apartados (valores extremos) se deben identificar específicamente tanto en los gráficos de caja y extensión como los histogramas de frecuencias.

118. Tres de los datos necesarios para construir un gráfico de caja y extensión son: el primer cuartil, la mediana y el percentil setenta y cinco.

119. Datos apartados son aquellos que se encuentran por encima del tercer cuartil y por debajo del primer cuartil, más allá de 1,5 veces el rango intercuartil.

120. Los gráficos de caja y extensión NO proporcionan información sobre la variabilidad de los datos.


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121. El gráfico de caja múltiple se puede utilizar para comparar la misma variable en muestras distintas.

122. Si el gráfico de caja es perfectamente simétrico, la varianza del conjunto de datos con que se construyó es igual a cero.

123. En el gráfico de caja, la caja siempre encierra exactamente el 50% de las observaciones.

124. Si se tiene un conjunto de cuarenta datos numéricos, el diagrama de tallos y hojas ofrece una información más detallada que el histograma de frecuencias.

125. Si se tiene un conjunto de cuarenta mil datos numéricos, el diagrama de tronco y hojas resultaría una representación más apropiada que el histograma de frecuencias, ya que da una información más detallada.

126. El valor Z debe estar comprendido entre –1 y +1. 127. Si el valor Z que le corresponde a una observación particular de la muestra, x, es

negativo, debe interpretarse que el valor de x es menor que cero. 128. Si Pedro rindió una prueba de Estadística y obtuvo una calificación tal que el valor

Z correspondiente es igual a 2, debe interpretarse que Pedro aprobó el examen. 129. Pedro y Juan son estudiantes de la clase de Estadística. Pedro tiene una estatura que

coincide con la estatura promedio del grupo, mientras que a la estatura de Juan le corresponde un valor Z igual a –2,95. Debe interpretarse entonces que Juan tiene una estatura apenas por debajo de la de Pedro.

130. La media de los valores Z de un conjunto de datos numéricos es siempre igual a 0. 131. La desviación estándar de los valores Z de un conjunto de datos numéricos, puede

arrojar un valor comprendido entre 0 y 1.

3. Aspectos éticos

132. Debe distinguirse entre una mala presentación de los datos y una presentación que

carece de ética. 133. La conducta NO ÉTICA se da cuando el analista oculta hechos a propósito y/o

distorsiona tablas o gráficos; también, cuando no incluye los hallazgos pertinentes. 134. No entregar un trabajo en término por estar enfermo, es una conducta NO ÉTICA.


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Probabilidad 9

Unidad Temática 2 Probabilidad

Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. El experimento que consiste en lanzar un dado legal y observar el resultado obtenido,

es un experimento estadístico. 2. El experimento que consiste en seleccionar al azar una semana cualquiera del año

calendario y observar el día de la semana que sigue al día lunes, es un experimento estadístico.

3. Se denomina espacio muestral, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico.

4. Dado un experimento estadístico, sólo es posible definir un evento o suceso de interés en el mismo.

5. Dados los resultados de un experimento estadístico, es posible definir un subconjunto del espacio muestral, φ, denominado conjunto vacío y que no contiene elemento alguno.

6. El conjunto vacío, φ , sólo es posible definirlo para algunos experimentos estadísticos.

7. La intersección de dos eventos G y H da por resultado un evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a G, que pertenecen a H, o que pertenecen a ambos.

8. Un evento o suceso, está formado por una colección de puntos muestrales, que constituye un subconjunto del espacio muestral.

9. Dados dos eventos no excluyentes e independientes, A y B, si P(A) = 0,15 y P(B) = 0,40, entonces se cumplirá que P(A∩B) = 0,55.

10. Dados dos eventos complementarios, D y E, se cumple siempre que P(D) + P(E) = 1. 11. Si después de lanzar un dado legal diez veces se obtienen los siguientes resultados:

{2, 3, 5, 1, 5, 4, 1, 3, 4, 2}, se puede afirmar que la probabilidad de que el resultado de un nuevo lanzamiento sea el 6, es igual a 1/6.

12. Si se cumple que: P(M) + P(N) = 1, se debe concluir entonces que los eventos M y N son complementarios.

13. No se puede calcular probabilidades de eventos que consideren datos categóricos. 14. La probabilidad de que al lanzar una moneda legal dos veces se obtenga una cara, es

igual a 0,5. 15. La probabilidad de que al lanzar una moneda legal tres veces se obtenga una cara, es

igual a la probabilidad de que al lanzarla tres veces, se obtengan dos caras. 16. En determinadas situaciones particulares, por ejemplo, cuando al realizar un

experimento estadístico la ocurrencia de un evento dado es físicamente imposible, el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de tal evento, puede arrojar valores menores que cero.


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Probabilidad 10

17. El teorema de la probabilidad total exige que el espacio muestral esté constituido por una partición de subconjuntos mutuamente excluyentes.

18. Se sabe que la probabilidad de que llueva el primer lunes de junio en Mendoza es igual a 0,03. También se sabe que la probabilidad de que promocionen el curso de Estadística más de la mitad de los alumnos inscriptos, es igual a 0,20. Dado que llueve el primer lunes de junio en Mendoza, la probabilidad de que más de la mitad de los alumnos inscriptos promocionen el curso de Estadística, es igual a 0,006.

19. Dado un experimento estadístico en el que pueden ocurrir los eventos H y K, se puede verificar que: P(K∩H) = P(K).P(K|H).

20. Se sabe que una moneda está cargada y que la P(CARA) = 2/3 y la P(CRUZ) = 1/3. Se puede afirmar entonces que, la probabilidad de que al lanzarla dos veces se obtengan dos caras, es igual a 4/9.

21. Si arrojamos un dado legal dos veces, el espacio muestral es finito y está compuesto por 36 eventos simples.

22. La probabilidad de que la suma de los resultados obtenidos al lanzar dos dados legales sea igual a dos, es igual a 2/36.

23. Si dos eventos V y L son complementarios, se cumplirá siempre que P(V∩L) = 0. 24. Dados dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, si P(A|B) = 2/3 y

P(A’) = 1/3, entonces los eventos A y B son independientes. 25. Si A y B son dos eventos cualesquiera, definidos en el mismo espacio muestral,

entonces se cumple siempre que P(A∪B) = P(A) + P(B). 26. Se dice que dos eventos definidos en el mismo espacio muestral, A y B, son

independientes, si se cumple la siguiente igualdad: P(A∩B) = P(A) + P(B). 27. Si dos eventos J y K definidos en el mismo espacio muestral son independientes, se

cumple que: P (J|K) = P(J) . P(K). 28. Una regla multiplicativa importante está dada por el teorema que dice que si en un

experimento aleatorio pueden ocurrir los eventos M y N, entonces se cumple que: P(M∩N) = P(M|N) . P(N).

29. Si una moneda es insesgada, la probabilidad de que al realizar un lanzamiento se obtenga cara, es igual a la probabilidad de que al realizar un lanzamiento se obtenga una cruz, y vale 0,25.

30. Para calcular la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado legal, se debe recurrir a la definición de probabilidad frecuencial.

31. Dados dos eventos A y B no excluyentes e independientes, con probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos P(A) = 0,45 y P(B) = 0,35, entonces se cumple que la P(A|B) = 0,45.

32. Dados dos eventos definidos en el mismo espacio muestral, J y K, mutuamente excluyentes, con P(J) = 0,20 y P(K) = 0,10, se cumple que la P(J∪K) = 0,02.

33. Dados tres eventos mutuamente excluyentes, A, B y C, definidos en un mismo espacio muestral, se cumple que: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C).


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Probabilidad 11

34. Dados dos sucesos disjuntos A y B, de un mismo espacio muestral, con P(A) = 0,30 y P(B) = 0,20, entonces se cumplirá que: P(A∩B) = 0,60.

35. La probabilidad de ocurrencia de un evento cualquiera A varía entre –∞ y +∞.

Opción Múltiple

Seleccione con una X la opción que considere correcta. Tenga en cuenta que cada ítem ha sido construido de modo tal que sólo una de las cuatro opciones es correcta. No obstante, podría ocurrir que las tres primeras opciones sean correctas y que la cuarta opción indique Todas las anteriores; en tal caso, debe seleccionar sólo la cuarta opción.

36. ¿Cuál de las siguientes opciones es una afirmación correcta?

a) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, se dice también que son incompatibles.

b) Si dos eventos son independientes, son también incompatibles. c) Si dos eventos son disjuntos, se dice también que son compatibles. d) Si dos eventos son NO mutuamente excluyentes, se dice también que son

disjuntos. 37. Si la probabilidad de ocurrencia de un evento A no se ve afectada por la ocurrencia de

otro evento B, se dice que los eventos A y B son:

a) Dependientes. b) Independientes. c) Mutuamente excluyentes. d) Complementarios.

38. Dados dos eventos definidos en un mismo espacio muestral, A y B, con P(A) > 0 y P(B) > 0, si la P(A∪B) = 1, puede suceder que:

a) A y B sean mutuamente excluyentes. b) Las áreas en el diagrama de Venn se solapen. c) P(A) = P(B) d) Todas las anteriores.

39. La probabilidad de que un valor escogido al azar de una población determinada sea mayor o igual que la mediana de la población es igual a:

a) 0,25 b) 0,50 c) 1,0 d) No se puede responder con la información disponible.

40. Los eventos resultantes de lanzar al aire una moneda insesgada son mutuamente excluyentes porque:

a) El resultado de cualquier lanzamiento no se ve afectado por los resultados de los lanzamientos que le anteceden.

b) La probabilidad de obtener cara es igual a la probabilidad de obtener cruz. c) No se pueden presentar cara y cruz como resultado del mismo lanzamiento. d) Ninguna las anteriores.


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Probabilidad 12

41. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes y se representan en un diagrama de Venn:

a) Las regiones de A y de B quedan solapadas. b) Las áreas encerradas por las regiones de A y de B son siempre iguales. c) La región de B debe quedar incluida en la región de A. d) Ninguna de las anteriores.

42. Suponga que se lanza un dado legal una vez. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) La probabilidad de obtener un número mayor que uno, es igual a: [ 1 – P(obtener uno) ].

b) La probabilidad de obtener un tres es igual a [ 1 – P(obtener uno, o dos, o cuatro, o cinco o seis) ].

c) La probabilidad de obtener un cinco o un seis es igual a la probabilidad de obtener un tres o un cuatro.

d) Todas las anteriores.

43. Si A y B son eventos no mutuamente excluyentes, la P(A∪B) se obtiene de la siguiente manera:

a) Calculando P(A) + P(B). b) Restando P(A∩B) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ]. c) Calculando la diferencia: {1 – [ P(A) + P(B) ]} d) Sumando P(A∩B) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ].

44. Se lanza un dado no cargado dos veces consecutivas y usted debe trazar el diagrama de árbol de probabilidades que muestre todos los resultados posibles de los dos lanzamientos. ¿Cuántas ramas tendrá su árbol? Tenga en cuenta a todas las ramas del árbol.

a) 6 b) 12 c) 36 d) 42 e) 48

45. Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradas de 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. ¿Cuál es la probabilidad de que una esfera seleccionada al azar de dicha urna sea azul?

a) 0,1 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,8

46. Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradas de 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones resulta verdadera?

a) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) = 0,1 b) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) < 0,1 c) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) > 0,1 d) P(la esfera seleccionada sea verde / se saca la esfera #2) = 0,4


Autoevaluación UT2

Probabilidad 13

47. Simbólicamente, una probabilidad condicional es:

a) P(A∩B) b) P(A∪B) c) P(A|B) d) P(AxB)

48. ¿Cuáles de las siguientes condiciones de aplicación corresponden al teorema o regla de Bayes?

a) Independencia. b) Un evento observado A ocurre con cualquiera de k eventos mutuamente

excluyentes y exhaustivos. c) Hay k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos que tienen idéntica

probabilidad de ocurrencia. d) Todos los anteriores.

49. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes se cumple que:

a) A∩B = Ø b) P(A∩B) = 0 c) P(A∪B) = P(A) + P(B) d) Todas las anteriores.

50. Dado un evento A y su complemento A’, entonces se cumple que:

a) 0 < [ P(A) + P(A’) ] < 1 b) P(A) = P(A’) c) P(A’) se puede calcular a partir de la P(A) d) Todas las anteriores.

51. ¿Cuál de las condiciones siguientes se debe dar para calcular una probabilidad frecuencial?

a) Es suficiente realizar una vez el experimento aleatorio. b) No es necesario realizar previamente el experimento aleatorio. c) Es necesario basarse en la subjetividad. d) Ninguna de las anteriores.

52. Dados dos eventos A y B independientes, con P(A) > 0 y P(B) > 0, se cumple que:

a) P(A∩B) = 0 b) P(A|B) = P(B) c) P(A∪B) = P(A) . P(B) d) P(B|A) = P(B)

53. Dados los eventos A y B, se cumple que P(A∩B) = P(A).P(B) cuando:

a) A y B son independientes. b) P(A|B) = P(A) c) P(B|A) = P(B) d) Cualquiera de las anteriores.


Autoevaluación UT2

Probabilidad 14

54. Se tiene dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral, A y B, con P(A) = 0,6 y P(B) = 0,4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

a) A y B son eventos complementarios. b) A y B son eventos compatibles. c) A y B son eventos independientes. d) No hay información suficiente para responder.

55. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Si P(A) = 1 – P(B) entonces A y B son eventos complementarios. b) Si P(A/B) = P(B) entonces A y B son eventos independientes. c) Si A y B son eventos incompatibles, entonces P(A∩B) = Ø d) Ninguna de las anteriores.


Autoevaluación UT3

Variable aleatoria 15

Unidad Temática 3 UT3-1: Variable Aleatoria

Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en

el espacio muestral de un experimento estadístico. 2. Por convención, las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula de

nuestro alfabeto, por ejemplo X, y los particulares valores de la misma, con su correspondiente letra minúscula, en este ejemplo x.

3. Sólo es posible definir una variable aleatoria para cada espacio muestral. 4. El número de valores que puede tomar una variable aleatoria discreta es contable (ya

sea finito o infinito numerable). 5. Una variable aleatoria discreta sólo puede tomar valores enteros. 6. Una variable aleatoria discreta sólo puede asumir valores positivos. 7. El volumen de nafta que se pierde por evaporación durante el llenado del tanque de

combustible, es una variable aleatoria discreta. 8. El número de moléculas raras presentes en una muestra de aire es una variable

aleatoria continua. 9. Las variables aleatorias continuas representan datos que se obtienen continuamente,

mientras que las variables aleatorias discretas representan datos que se obtienen de vez en cuando.

10. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, mientras que las variables aleatorias discretas representan datos contados.

11. El número de artículos defectuosos en una muestra de k artículos es una variable aleatoria discreta.

12. Si se toma el registro de la temperatura ambiente en una estación de mediciones de una localidad determinada en tres momentos del día, la temperatura media diaria es una variable aleatoria discreta.

13. El número de sismos que ocurren por año en un lugar determinado, es una variable aleatoria discreta.

14. El número de conexiones soldadas que no cumplen con ciertos estándares de calidad, de las 800 que tiene un circuito impreso, es una variable aleatoria discreta.

15. El tiempo que tardan los alumnos en resolver su examen final de Estadística, es una variable aleatoria continua.

16. El conjunto de pares ordenados [ x, f(x) ] se llama función de probabilidad, función masa de probabilidad, función de cuantía o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.


Autoevaluación UT3


17. Algunos autores expresan, que la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta X, es una tabla, gráfica o fórmula que da la probabilidad f(x) asociada a cada posible valor x.

18. La probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome valores menores o iguales que el particular valor x, está dada por el valor de la función masa de probabilidad f(x).

19. La función de probabilidad f(x) de una variable aleatoria discreta X, siempre y sin restricciones, asume valores iguales o mayores que cero.

20. Tanto en el caso de variables aleatorias discretas como continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria Y tome el particular valor y, está dado por el valor de f(y).

21. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, se define sólo para los valores que toma la variable aleatoria en estudio.

22. La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X, con distribución de probabilidad f(x), toma valores entre –∞ y +∞.

23. La gráfica de barras para representar una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], uniendo los puntos al eje x, ya sea con una línea punteada perpendicular al eje o con una línea sólida. Las distancias de los puntos al eje están dadas por las probabilidades f(x), medidas en el eje de ordenadas.

24. El histograma de probabilidad para representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], de modo que sus bases, de igual ancho, se centren en cada valor de x, y sus alturas sean iguales a las probabilidades, f(x).

25. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, es una función escalonada que se obtiene graficando los puntos [ x, F(x) ].

26. Dada una variable aleatoria discreta X con función de probabilidad f(x), se cumple siempre la siguiente igualdad: P (X < x ) = P (X ≤ x ).

27. Si la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X toma el valor f(3)=0,15, debe interpretarse que la probabilidad de que dicha variable exceda el valor 3 es 0,15.

28. Si la función de la distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X toma el valor F(2)=0,4, debemos interpretar que la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 2 es igual a 0,4.

29. Una de las condiciones que debe cumplir la función de masa de probabilidad, f(x), de la variable aleatoria discreta X, es que – 1 ≤ f(x) ≤ +1.

30. Si se tiene una variable aleatoria discreta X, la función de masa de probabilidad f(x1), nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome el particular valor x1.

31. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome exactamente uno de sus valores posibles es igual a cero.

32. Al igual que en el caso de variables aleatorias discretas, la forma tabular [ x, f(x) ], es una de las formas posibles de expresar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X.


Autoevaluación UT3


33. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), se cumple siempre que la P(X < x) = P(X ≤ x).

34. En la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X, las probabilidades deben leerse en el eje de ordenadas.

35. La función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X, siempre y sin restricciones, toma valores iguales o mayores que cero.

36. La función de densidad de probabilidad f(y) de una variable aleatoria continua Y, no puede tomar valores mayores que uno.

37. Cuando una variable aleatoria continua X toma el particular valor x = mediana, la función de distribución acumulada toma el valor 0,5.

38. Algunas variables aleatorias continuas, encierran un área total bajo la curva de la función de densidad de probabilidad inferior a uno.

39. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), se cumple que P(X = x) = 0. Esto debe ser interpretado como que es imposible que la variable aleatoria X asuma el particular valor x.

40. Si se tiene una variable aleatoria continua U con función de densidad de probabilidad f(u) y función de distribución acumulada F(u), siempre se cumple lo siguiente: P(u1 ≤ U < u2) = F(u2) – F(u1), donde u2 > u1 son particulares valores de la variable aleatoria U.

41. Si se tiene una variable aleatoria continua V con función de densidad de probabilidad f(v), siempre se cumple que: P(a ≤ V < b) = P(a ≤ V ≤ b), donde a y b son particulares valores de la variable aleatoria V.

42. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X siempre podrá definirse sólo para los valores positivos de la variable.

43. Si se tiene una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), en la representación gráfica de f(x) en función de x, la probabilidad de que la variable tome el particular valor x1 se lee en el eje de ordenadas para el particular valor x1.

44. La función de la distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X no toma valores menores que cero.

45. Dada una variable aleatoria discreta X, si F(7) = F(5), entonces f(7) = f(5). 46. Si X es una variable aleatoria continua que toma valores sólo en el intervalo [2; 4],

entonces la función f(x) = 0,5 puede ser la función de densidad de probabilidad de la variable X.

47. El polígono de frecuencias, construido a partir del histograma de frecuencias relativas de una variable aleatoria continua X, resulta muy útil para ajustar una estimación de la función de densidad de probabilidad f(x).

48. La mediana de una variable aleatoria continua X, se puede obtener a partir de la función de distribución acumulada, para el valor particular de x = 0,5.

49. La variable aleatoria X, definida como el promedio de los resultados obtenidos al lanzar dos dados legales, es una variable aleatoria discreta.

50. Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad f(x)


Autoevaluación UT3


definida en el intervalo [3; 6], se cumplirá siempre que la P(X ≥ 3) = 1.

1. Clasificar las variables aleatorias en discretas o continuas

Para responder los siguientes ítems escriba, a la izquierda del número del ítem, la letra D si considera que se trata de una variable aleatoria discreta o la letra C si considera que es continua. 51. Resistencia a tracción de las barras de acero del tipo ADM-420 (N), en MN/m². 52. Número de vehículos controlados por día, en el acceso a Mendoza por Desaguadero. 53. Producción diaria de agua potable en la planta de tratamiento Alto Godoy, Mendoza,

en miles de m³/día. 54. La sección de una viga de madera puede formarse abulonando dos escuadrías. Se

dispone de secciones individuales de (3"x 2"); (3"x 3") y (3"x 4"). Sea X la variable a clasificar, definida como la altura total de la sección obtenida, de base igual a 3".

55. Tiempo de secado de una pintura de secado rápido, observado en el panel de ensayo. 56. Número de permisos de construcción de edificios, por año, otorgados por la

municipalidad de Godoy Cruz, en la provincia de Mendoza. 57. Superficie implantada con frutales en la provincia de Mendoza, en Ha, declarada

cada año. 58. Consumo de energía eléctrica por tipo de actividad productiva en la provincia de

Mendoza, en MWh / año. 59. Cantidad de líneas telefónicas instaladas, por año, en la provincia de Mendoza. 60. Superficie construida por año, en la ciudad Capital de Mendoza, en m² / año. 61. Número de accidentes de tránsito por año, en rutas argentinas. 62. Volumen anual de efluentes cloacales tratados por la planta depuradora de Campo

Espejo, en hm³ / año, en la provincia de Mendoza. 63. Número de instalaciones eléctricas inspeccionadas anualmente por la municipalidad

de Guaymallén. 64. Gas entregado anualmente en la provincia de Mendoza, por tipo de usuario, en miles

de m³ / año. 65. Una empresa comercializa entablonados de madera en espesores de 1/8, 1/4 o 3/8 de

pulgada. La variable aleatoria es el espesor del entablonado solicitado en dos pedidos recibidos.


Autoevaluación UT3


2. Esperanza, varianza y combinaciones lineales de variables aleatorias

Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 66. Es común entre los estadísticos, referirse a la media como la esperanza matemática o

el valor esperado de la variable aleatoria X y denotarla como E(X). 67. La fórmula para calcular el valor esperado de variables aleatorias continuas, es la

misma que se utiliza para calcular el valor esperado de las variables aleatorias discretas.

68. El valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5. 69. Si el valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5, debe

interpretarse que los resultados que más se repiten son el 3 y el 4. 70. El valor esperado de una variable aleatoria, describe cómo se distribuye la función de

probabilidad en su rango. 71. El valor esperado de la variable aleatoria Y = 2X – 1, es igual al doble del valor

esperado de la variable aleatoria X. 72. La media o valor esperado de una variable aleatoria X resulta de especial importancia

en estadística, pues describe el lugar donde se centra la distribución de probabilidad. 73. Si el valor esperado de una variable aleatoria asume un valor menor que cero, debe

interpretarse que, físicamente, es imposible que la variable tome ese particular valor. 74. Si una variable aleatoria tiene una varianza pequeña, esperaríamos que la mayor parte

de las observaciones se agrupen cerca y alrededor de la media. 75. La varianza de la variable aleatoria Y = 2X – 1, es cuatro veces mayor que la varianza

de la variable aleatoria X. 76. Sea X la variable aleatoria definida como las calificaciones de los estudiantes de

Ingeniería en Estadística; y sea Y la misma variable en Álgebra. Si se cumple que E(X) = E(Y) y que la V(X) > V(Y), dado el valor de la media de X y un intervalo alrededor de la misma, se cumplirá que la probabilidad de que la variable Y tome valores dentro de dicho intervalo, es mayor.

77. Si se tiene un histograma simétrico de una distribución discreta de probabilidad, se debe concluir que la variabilidad en la distribución es nula.

78. La varianza de una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), es el valor esperado del cuadrado de las desviaciones respecto de su media.

79. Una forma de obtener la varianza de una variable aleatoria X es, haciendo la diferencia entre el valor esperado del cuadrado de la variable, y el valor esperado de la variable elevado al cuadrado.

80. El valor esperado de una constante es siempre igual a cero. 81. El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual

al producto de la constante por el valor esperado de la variable aleatoria. 82. El valor esperado de la suma algebraica de dos variables aleatorias, es siempre igual

a la suma de los valores esperados de las mismas.


Autoevaluación UT3


83. El valor esperado del producto de dos variables aleatorias, es igual al producto de los valores esperados de las mismas, siempre y sin excepción.

84. La varianza de una constante es siempre igual a la constante elevada al cuadrado. 85. La varianza de una constante por una variable aleatoria, es igual al cuadrado de la

constante multiplicado por la varianza de la variable aleatoria.

3. Teorema de Chebyshev

86. La proporción de valores que toma una variable aleatoria entre dos valores simétricos

alrededor de la media, está relacionada con la desviación estándar de la variable aleatoria.

87. El teorema de Chebyshev, proporciona una estimación conservadora de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de k desviaciones estándar de su media, para cualquier número real k.

88. El teorema de Chebyshev encuentra su más plena aplicación, cuando la variable en estudio se distribuye normalmente.

89. Según el teorema de Chebyshev, la probabilidad de que una variable aleatoria cualquiera, tome un valor dentro de k desviaciones estándar de la media, es exactamente igual a: 1 – 1/k².

90. Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad f(x) es conocida y se desea saber la probabilidad de que la variable asuma valores en el intervalo μ ± 2σ, es el caso más apropiado para utilizar el teorema de Chebyshev.


Autoevaluación UT3-2

Distribuciones de variables aleatorias discretas 21

Unidad Temática 3 UT3-2: Distribuciones de probabilidad de variables

aleatorias discretas Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.

1. Distribución uniforme discreta

1. En la distribución de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada

uno de sus valores con idéntica probabilidad. 2. El parámetro de la distribución de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la

inversa de la cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria. 3. La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas al lanzar dos

monedas legales sigue una distribución de probabilidad uniforme. 4. La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), siempre coincide con

uno de los valores para los cuales está definida la variable. 5. La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), NO está relacionada

con el número de valores que puede tomar la variable.

2. Distribución binomial

6. En la distribución binomial las pruebas que se repiten pueden ser dependientes o

independientes. 7. El número X de éxitos obtenidos en n experimentos de Bernoulli se denomina

variable aleatoria binomial. 8. La media de la distribución binomial de parámetros n y p, viene dada por el producto

np. 9. El rango de valores de una variable aleatoria binomial va de cero a p. 10. Los resultados del experimento que da lugar a la generación de una variable aleatoria

binomial, son independientes. 11. La varianza de la distribución binomial puede calcularse en función de la

probabilidad con que ocurre cada éxito y del número de veces que se realiza la prueba en el experimento.

12. El espacio muestral de un experimento Bernoulli puede representarse de manera genérica, como {éxito, fracaso}.

13. Dado un valor de n pequeño, para valores pequeños del parámetro p, digamos menores de 0,05 por ejemplo, la distribución binomial será sesgada a la izquierda.

14. Cuando la probabilidad de éxito en un proceso Bernoulli es de 0,20, la gráfica de la distribución binomial resultante al realizar el experimento cinco veces es simétrica.




15. El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces, sigue una distribución binomial.

16. Se tiene un examen de opción múltiple que contiene diez preguntas; cada pregunta tiene cuatro opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el número de respuestas correctas sigue una distribución binomial.

17. Los valores que puede tomar una variable aleatoria que sigue una distribución binomial, siempre están comprendidos entre cero y uno, inclusive.

18. Las distribuciones binomiales para valores del parámetro p = 0,5 tienen una representación gráfica simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media de la distribución.

19. Para un valor fijo de n, la distribución se vuelve más simétrica a medida que el parámetro p aumenta desde 0 hasta 0,5, o disminuye desde 1 hasta 0,5.

20. Para un valor fijo de p, la distribución binomial se vuelve más simétrica a medida que n aumenta.

21. La media y la varianza de una variable aleatoria binomial, dependen sólo de los parámetros n y p.

22. Si X ~ binomial (x; n, p), para n = 10 y p = 0,98, la representación gráfica de la función masa de probabilidad, resultará sesgada a la izquierda.

23. Si p = 0,4 en un proceso Bernoulli, entonces el cálculo de: 7C3 . (0,4)3 . (0,6)4 da la probabilidad de obtener tres o más éxitos en 7 ensayos.

24. Una variable aleatoria binomial asume valores entre el –∞ y el +∞. 25. El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces sigue una

distribución binomial y la representación gráfica de la distribución es simétrica respecto del valor x = 1.

26. Si una máquina que tiene la herramienta desgastada produce 1% de piezas defectuosas, el número de piezas defectuosas en las siguientes 25 que produzca, sigue una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 100 y p = 0,25.

27. Un examen de opción múltiple está formado por 10 preguntas; cada pregunta tiene 5 opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el número de respuestas correctas sigue una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 50 y p = 0,10.

3. Distribución hipergeométrica

28. La distribución hipergeométrica es de suma utilidad en aplicaciones en el campo del

control de calidad, donde el muestreo de aceptación se realiza con ensayos destructivos.

29. La variable aleatoria hipergeométrica NO asume valores negativos. 30. El modo en que se realiza el muestreo (con o sin reposición), genera diferencias entre

la distribución binomial y la distribución hipergeométrica. 31. Tanto en la distribución binomial como en la hipergeométrica, se debe repetir el




experimento hasta encontrar el primer éxito. 32. Tanto en la distribución binomial como en la hipergeométrica, las pruebas son

independientes. 33. En un experimento hipergeométrico, se selecciona, con reemplazo, una muestra

aleatoria de tamaño n de un lote de N artículos, donde k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y (N – k) se pueden clasificar como fracasos.

34. El número de éxitos (elementos defectuosos) de un experimento hipergeométrico, en el que se selecciona una muestra aleatoria de tamaño tres, de un lote de tamaño veinte que tiene cinco elementos defectuosos, varía entre cero y cinco.

35. En un experimento hipergeométrico, la probabilidad de no encontrar éxitos en una muestra aleatoria, es siempre igual a cero.

36. Cuando el tamaño de la muestra, n, es suficientemente pequeño en relación al tamaño del lote, N, la distribución binomial permite calcular, de manera aceptable, probabilidades de la distribución hipergeométrica.

37. La expresión (N – n) / (N – 1) se conoce como factor de corrección de población finita.

38. Para calcular probabilidades de la distribución hipergeométrica, se puede utilizar la distribución binomial, si el factor de corrección para poblaciones finitas (N – n) / (N – 1) es cercano a cero.

39. El muestreo con reemplazo es equivalente al muestreo de una población infinita, en la que se acepta que la proporción de éxitos permanece constante para cualquier ensayo del experimento.

4. Distribución geométrica

40. Los parámetros de la distribución geométrica son n y p. 41. Los valores que puede asumir una variable geométrica van de cero a n. 42. El parámetro de la distribución geométrica está dado por la probabilidad de obtener

un éxito en una prueba cualquiera del experimento, valor que permanece constante en cada prueba.

43. En la distribución geométrica las pruebas son independientes. 44. La media de una variable aleatoria que sigue una distribución geométrica está dada

por la inversa del parámetro de la misma. 45. Si se define a la variable aleatoria X como el número de lanzamientos que se deben

hacer con un dado legal hasta que salga el seis, E(X) = 6. 46. Se sabe que una persona tiene una probabilidad de dar en el blanco de 0,90. En tal

condición, la probabilidad de que en los próximos diez disparos que realice, recién dé en el blanco en el cuarto, es igual a 0,0009.




5. Distribución de Poisson

47. La representación gráfica de la distribución de Poisson siempre tiene forma simétrica. 48. Dada una variable con distribución binomial de parámetros n y p, para valores

suficientemente grandes de n y pequeños de p, las condiciones se aproximan a las del proceso de Poisson, con parámetro igual al producto np.

49. Una de las propiedades del proceso de Poisson, es que la probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo es independiente de la longitud del intervalo.

50. En el proceso de Poisson, el número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica, es independiente del número de ocurrencias que se producen en los intervalos o regiones adyacentes al considerado.

51. La media de una distribución de Poisson es igual a su desviación estándar. 52. La variable aleatoria de Poisson sólo puede tomar valores comprendidos en el

intervalo [0 ; λ], siendo λ su parámetro. 53. La variable aleatoria de Poisson puede tomar valores menores que cero, sólo cuando

la tasa de ocurrencia sea menor que uno. 54. Si X ~ Poisson (x; λ), para valores suficientemente grandes del parámetro, la

distribución tiende a ser simétrica.

6. La distribución de Poisson como forma limitante de la binomial

55. Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad b(x; n, p).

Siempre y en cualquier caso es posible utilizar la distribución de Poisson como forma limitante de la distribución binomial, es decir, b(x; n, p) → p(x; μ).

56. Para una distribución binomial dada, con n suficientemente grande y p pequeña, las condiciones se aproximan a las del proceso de Poisson, con parámetro igual a la constante np.

57. Cuando p sea un valor cercano a la unidad, de ninguna manera será posible utilizar la distribución de Poisson para aproximar probabilidades binomiales.




7. Opción Múltiple

Seleccione con una X la opción que considere correcta. Tenga en cuenta que cada ítem ha sido construido de modo tal que sólo una de las cuatro opciones es correcta. No obstante, podría ocurrir que las tres primeras opciones sean correctas y que la cuarta opción indique Todas las anteriores; en tal caso, debe seleccionar sólo la cuarta opción.

Descripción del problema: Los componentes de un sistema se envían a destino en lotes de 8 unidades. El control de calidad del producto establece que se seleccionen aleatoriamente dos unidades de cada lote y se acepte el lote si no se encuentran unidades defectuosas en la muestra. Suponga que el lote tiene 3 unidades defectuosas. 58. El número de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución:

e) Binomial f) Hipergeométrica g) Poisson h) Geométrica

59. Los parámetros de la distribución son:

a) n, p b) N, n, k c) λt d) p

60. Los valores que puede asumir la variable aleatoria en estudio son:

a) x = 0, 1, …, n b) x = 0, 1, …, k c) x = 0, 1, …, λt d) x = 1, 2, …

61. De acuerdo a la información disponible, la variable aleatoria en estudio:

a) Sigue una distribución hipergeométrica que se aproxima a la binomial. b) Sigue una distribución binomial que se aproxima a la de Poisson. c) Sigue una distribución hipergeométrica que se aproxima a la de Poisson. d) Ninguna de las anteriores.

62. Si X es el número de unidades defectuosas en la muestra, el planteo para calcular la probabilidad de que el lote sea aceptado, es:

a) P( X < 3) b) P( X < 2) c) P( X = 0) d) Ninguna de las anteriores.

63. La probabilidad de que el lote sea aceptado, es:

a) 0,642857 b) 0,375000 c) 0,357143 d) Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: .



Distribuciones de variables aleatorias continuas 26

Unidad Temática 3 3-3: Distribuciones de probabilidad de variables

aleatorias continuas

¡Atención! Para responder los ítems que comienzan con un asterisco (*) debe utilizar las tablas estadísticas. Para responder los otros ítems debe pensar en las propiedades de la distribución y responderlos sin utilizar tablas. En el caso particular de la distribución normal, antes de responder la autoevaluación debe memorizar las áreas que encierra la curva alrededor de: µ ± σ ; µ ± 2σ ; µ ± 3σ. Es suficiente recordar hasta el tercer decimal.


1. Distribución uniforme continua

1. Si una variable aleatoria continua X está distribuida uniformemente en el intervalo

[A; B], la probabilidad de que tome valores en intervalos de igual longitud dentro de su rango, es la misma.

2. Dado que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniforme continua X en el intervalo [A; B] es constante, tiene varianza nula.

3. El valor esperado de una variable aleatoria continua, distribuida uniformemente en el intervalo [–1; 3], es igual a 1.

4. La función de densidad de una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [A; B], es simétrica respecto de un eje vertical que pase por la media.

5. Si X es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente, cuartil inferior y cuartil superior son coincidentes.

2. Distribución normal

6. Los parámetros de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria normal

son su media y la desviación estándar (o su varianza). 7. Siempre y sin restricción alguna, la curva de la función de densidad de probabilidad

de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media.

8. Para algunos valores particulares de los parámetros de la distribución normal, la curva de la función de densidad de probabilidad puede presentar más de una moda.




9. Si X ∼ N (x; μ, σ), media, mediana y moda son coincidentes. 10. La curva de la distribución normal tiene sus puntos de inflexión en correspondencia

con los valores de la variable ubicados alrededor de la media, a una distancia de ± una vez la desviación estándar.

11. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con media μ y varianza σ², tome valores entre μ ± 3σ, es igual a 0,997.



14. La función de distribución acumulada F(x), de cualquier variable aleatoria X distribuida normalmente, es igual a 0,5 para el valor de x igual a la media.

15. Una variable aleatoria X distribuida normalmente está definida sólo para valores positivos de la misma.

16. Si graficamos dos curvas normales con la misma desviación estándar y medias diferentes, las curvas tendrán la misma forma, pero estarán centradas en posiciones diferentes a lo largo del eje de la variable.

17. La función de densidad de una variable aleatoria normal es más chata y se extiende más sobre el eje de la variable (horizontal), mientras mayor sea su varianza.

18. La probabilidad de que una variable aleatoria normal tome el particular valor x1, se puede leer en el eje de ordenadas, en f(x1).

19. La probabilidad de que una variable aleatoria X ∼ N (x; μ, σ), tome valores entre los particulares valores x = x1 y x = x2, está representada por el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad comprendida entre x1 y x2.

20. No cualquier variable aleatoria X ∼ N (x; μ, σ) se puede transformar en otra variable aleatoria Z ∼ N (z; 0, 1).

21. La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza uno, se llama distribución normal estándar.

22. La probabilidad de que una variable aleatoria X ∼ N (x; μ = 4, σ = 2) tome valores entre 4,5 y 5,5 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar tome valores entre 0,25 y 0,75.

23. La probabilidad de que una variable aleatoria normal, con media seis y desviación estándar igual a dos, tome valores menores que seis, es igual a la probabilidad de que la misma variable tome valores menores o iguales que seis.

24. La curva de la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media.

25. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, siempre y sin restricción alguna, toma el valor 0,5 para el valor particular de la variable igual a la media de la distribución.

26. * El percentil sesenta y siete de la una variable normal estándar es igual a 0,44. 27. El quinto decil de una variable normal estándar es igual a 0,5.




28. El percentil treinta y tres de cualquier variable aleatoria normal es igual a –0,44. 29. La probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome valores mayores

que uno, es igual a 0,841. 30. Cuando se mantiene constante el valor de la media, a medida que la desviación

estándar aumenta, la curva de la distribución normal va perdiendo simetría.

3. Aproximación normal a la distribución binomial a la normal

31. Dado que la distribución binomial siempre resulta simétrica, siempre se pueden

obtener buenos resultados, calculando probabilidades binomiales utilizando la distribución normal.

32. Algunas veces, cuando la distribución binomial adquiere forma de campana simétrica, la distribución normal es una buena aproximación de la binomial.

33. La distribución binomial se aproxima bien por la normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

34. La aproximación normal es excelente para evaluar probabilidades binomiales cuando n es suficientemente grande, y muy buena, para valores pequeños de n, si p es razonablemente cercano a 0,5.

35. En la práctica, si se cumple que np ≥ 5 y nq ≥ 5, la aproximación normal para evaluar probabilidades binomiales será aceptable.

36. Si X ∼ binomial (x; n = 15, p = 0,4) y se dan las condiciones para aproximar el cálculo de probabilidades utilizando la distribución normal, entonces se puede verificar que P(4 ≤ X < 8) = P(-1,318< Z <+0,791).

37. Para efectuar la aproximación normal a la binomial, es necesario efectuar la corrección por continuidad de la variable.

4. Distribución gamma y exponencial

38. La media y la varianza de la distribución gamma son αβ y αβ² respectivamente. 39. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma. 40. La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua X que

tiene una distribución exponencial con parámetro β, es igual a uno para todo x < 0. 41. La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua X que

tiene una distribución exponencial, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media.

42. La media y la varianza de la distribución exponencial son, respectivamente, β y β². 43. La función de densidad de probabilidad f(x) = λ.e-λx es la función de densidad de

probabilidad de la distribución exponencial con λ = 1/β. 44. Para β = 1, a medida que aumenta α, la distribución gamma tiende a cambiar su




forma: de sesgada a la derecha tiende a la simetría. 45. Para cualquier β = constante y α positivo, la distribución gamma resulta sesgada a la

derecha.

5. Distribución Ji Cuadrada

46. La distribución ji-cuadrada se genera sumando variables aleatorias independientes

distribuidas uniformemente. 47. La distribución ji-cuadrada es un caso particular de la distribución gamma. 48. La media y la desviación estándar de la distribución ji-cuadrada son ν y 2ν,

respectivamente, siendo ν el número de g.d.l.. 49. Si graficamos dos funciones de densidad de probabilidad de variables aleatorias con

distribución ji-cuadrada, donde la media de la primera es menor que la media de la segunda, la curva de la segunda será más baja y se extenderá más lejos.

50. La distribución ji-cuadrada tiene un papel importante en la metodología y en la teoría de la inferencia estadística.

51. Los parámetros de la distribución ji-cuadrada son dos: el tamaño de la muestra, n, y el número de g.d.l., ν.

52. La distribución ji-cuadrada está definida, con valores distintos de cero, para valores de la variable aleatoria comprendidos entre – ∞ y + ∞.

53. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de parámetro igual a 30, tome valores menores que (–13,787), es igual a 0,995.

54. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de parámetro igual a 25, tome valores mayores que (–2), es igual a uno.

55. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de parámetro igual a 10, tome valores menores o iguales que la media, es igual a 0,5.

56. La suma de n variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, genera una variable aleatoria con distribución ji cuadrada de parámetro igual a n.

6. Distribución logarítmica normal

57. La distribución logarítmica normal se aplica en casos donde una transformación de

logaritmo natural tiene como resultado una distribución normal. 58. La variable aleatoria continua X tiene una distribución logarítmica normal si la

variable Y = ln (X) tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ.

7. Distribución de Weibull




59. Los parámetros de la distribución de Weibull son su media y su varianza. 60. La confiabilidad de un componente o producto, se define como la probabilidad de

que funcione apropiadamente por lo menos un tiempo específico, bajo condiciones experimentales específicas.

61. Una de las distribuciones de aplicación en problemas de confiabilidad de componentes que forman los sistemas, es la distribución de Weibull.

62. La función de densidad de una variable aleatoria con distribución de Weibull, es siempre simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media.

8. Distribución t

Abrev. g.d.l.: grados de libertad 63. Sea Z una variable aleatoria normal estándar y sea V una variable aleatoria que sigue

una distribución ji cuadrada con ν g.d.l. Si Z y V son independientes, entonces la distribución de la variable aleatoria T se conoce como la distribución t, con ν g.d.l.,

donde

νVZT = .

64. Una variable aleatoria con distribución t se define como el cociente entre una variable aleatoria normal estándar y la raíz cuadrada del cociente entre una variable aleatoria con distribución ji cuadrada y su número de g.d.l., siendo las variables independientes.

65. La distribución de una variable aleatoria T, con distribución t, difiere de la distribución de una variable normal estándar Z, en que la varianza de T depende del tamaño de la muestra n y siempre es mayor que uno. Sólo cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (n → ∞) las dos distribuciones coincidirán.

66. Si bien la distribución de T y la distribución de Z tiene forma de campana, la distribución de t es más variable que la de Z, debido al hecho de que los valores de T dependen de las fluctuaciones de dos cantidades, X y S², mientras que los valores de Z dependen sólo de los cambios de X de una muestra a otra.

67. Si graficamos dos variables aleatorias con distribución t, donde ν1 es el número de g.d.l. de la primera y ν2 el de la segunda, y ν1 < ν2, entonces la primera se extenderá más sobre el eje horizontal.

68. * El valor de t con ν = 10 g.d.l. que deja a su izquierda y debajo de la curva un área igual a 0,975 y a su derecha un área igual a 0,025 es igual a 2,228.

69. Cuando n → ∞, las distribución t y la distribución normal estándar coincidirán. 70. El uso de la distribución t de Student NO tiene restricciones respecto de la

distribución de la población muestreada.




9. Distribución F

Abrev. g.d.l.: grados de libertad 71. La estadística F se define como el cociente entre dos variables aleatorias ji cuadradas

independientes, divididas, cada una, por su número de g.d.l.. 72. Si U y V son variables aleatorias normalmente distribuidas, con ν1 y ν2 g.d.l.,

respectivamente, entonces la estadística F = [(U/ν1) / (V/ν2)] tiene una distribución F, con ν1 g.d.l. en el numerador y ν2 g.d.l. en el denominador.

73. Para graficar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria F se necesita conocer el número de g.d.l. del numerador, ν1, y el número de g.d.l. del denominador, ν2.

74. * Utilizando la notación ( f α; ν1; ν2 ), donde f es un valor particular de una variable aleatoria que sigue una distribución F, con ν1 g.d.l. en el numerador y ν2 g.d.l. en el denominador, que deja a su derecha un área bajo la curva igual a α, se puede verificar que f0,05; 15; 10 = 2,85.



77. Algunas aplicaciones de la distribución F tienen que ver con la comparación de varianzas muestrales y con la inferencia acerca de las varianzas poblacionales.

78. La estadística F se define como la suma del cuadrado de variables normales estándar independientes.

79. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución F que tiene 5 g.d.l. en el numerador y siete en el denominador, tome valores menores que –3, es igual a uno.

80. * La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución F con ν1 = 10 y ν2 = 8 tome exactamente el valor 3,35 es igual a 0,05.



Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta 32

11. Combinaciones lineales de variables aleatorias

Abrev. g.d.l.: grados de libertad 81. La distribución normal posee la propiedad reproductiva, esto es, la suma de variables

aleatorias independientes distribuidas normalmente, es una variable aleatoria normal. 82. Si X1, X2, X3, … , Xi, … , Xn, son variables aleatorias independientes que tienen,

respectivamente, distribuciones ji cuadrada con ν1, ν2, ν3, …, νi, …, νn, g.d.l., entonces la variable aleatoria que resulta de la suma de las variables independientes: W = X1 + X2 + X3 + … + Xi + … + Xn , tiene una distribución normal con media igual a la suma de las medias de las variables y varianza igual a la suma de las varianzas de las variables Xi.

83. La suma del cuadrado de variables aleatorias normales estándar independientes, tiene una distribución ji cuadrada, con parámetro igual al número de variables normales estándar cuyos cuadrados se suman.

84. Dada la variable aleatoria X distribuida normalmente con media igual a 50 y desviación estándar igual a 2, y la variable aleatoria Y distribuida normalmente con media igual a 20 y desviación estándar igual a 4, siendo X e Y variables aleatorias independientes, entonces la variable W = X – Y tendrá una distribución normal con media igual a 30 y desviación estándar igual a 6.

85. Dada la variable aleatoria X que tiene una distribución ji cuadrada con 3 g.d.l. y la variable aleatoria Y que tiene una distribución ji cuadrada con 5 g.d.l., siendo X e Y variables aleatorias independientes, entonces la variable W = X + Y tendrá una distribución ji cuadrada con media igual a 8 y varianza igual a 16.

12. Distribuciones de probabilidad conjunta

Abrev. g.d.l.: grados de libertad 86. Los resultados de un experimento estadístico pueden dar lugar al estudio de una o

más variables aleatorias. 87. Para el caso de dos variables aleatorias discretas, X e Y, la función de probabilidad

conjunta f(x,y), da la probabilidad de que ocurran los valores x e y al mismo tiempo. 88. Sea Y la variable aleatoria que da el número de licencias por enfermedad solicitadas

por los empleados de una empresa en un mes cualquiera del año, y Z el mes del año en que la solicitan, expresado en números del uno al doce. Si la función de probabilidad conjunta de Y y Z toma el valor f(5,12) = 0,45, debe interpretarse que la probabilidad de que cinco empleados soliciten licencia por enfermedad en el mes de diciembre, es por lo menos igual a 0,45.

89. Cualquier función f(x,y) que cumpla la condición de que x≥0 y que y≥0, es función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y Y.

90. Si las variables Y y Z son variables aleatorias continuas, con función de densidad conjunta f(y,z), la representación gráfica de la misma dará una superficie sobre el plano yz, y se puede medir la P[(Y, Z)∈ A], donde A es cualquier región en el plano yz, en la escala graduada de un eje perpendicular al plano yz.



Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta 33

91. Las variables aleatorias continuas Y y Z, con función de densidad conjunta f(y,z), no pueden tomar valores menores que cero.

92. Dada la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y Y, es posible obtener las distribuciones marginales de X y Y, a partir de f(x,y).

93. Sean Y y Z variables aleatorias discretas con función de probabilidad conjunta f(y,z). Siempre se cumple que la suma de los valores de la distribución marginal de cualquiera de las variables sobre todos los valores de la misma, es igual a uno.

94. Las distribuciones marginales de las variables aleatorias continuas Y y Z, son en realidad las distribuciones de probabilidad de las variables individuales Y y Z solas.

Independencia estadística 95. La simbología f(x, y) debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoria X tome el

particular valor x y que la variable aleatoria Y tome el particular valor y. 96. La simbología f (x⏐y) debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoria X tome el

particular valor x, dado que la variable aleatoria Y toma el particular valor y. 97. Cuando f (y⏐z) depende de z, la distribución condicional de la variable aleatoria Y

dado que Z = z, es igual a la distribución marginal de la variable aleatoria Y. 98. Si f (x⏐y) no depende de y, se cumple que f (x⏐y) = g(x) y f(x, y) = g(x) . h(y). 99. Las variables aleatorias discretas Y y Z son estadísticamente independientes, si y sólo

si, la función de distribución de probabilidad conjunta de las mismas es igual al producto de las distribuciones marginales, para toda (y, z) dentro de sus rangos.

100. Si se verifica algún punto (y, z) para el que f(y,z) ≠ g(y).h(z), las variables aleatorias discretas Y y Z no son estadísticamente independientes.

101. Si se cumple que f(x, y) = P(X=x , Y=y), para todo (x, y), entonces las variables aleatorias discretas X, Y, son estadísticamente independientes.

102. Dadas las variables aleatorias discretas Y y Z, con f(2,1) = 7/5; g(2)=4/5 y h(1)=3/5, se puede afirmar que las variables aleatorias discretas Y y Z son estadísticamente independientes.


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Distribuciones fundamentales del muestreo 34

Unidad Temática 4 Distribuciones fundamentales del muestreo


1. Muestreo aleatorio

1. En Estadística, el término población se usa para referirnos al conjunto de personas

que constituyen el grupo en estudio. 2. Siempre será posible y no habrá dificultades en disponer del conjunto de todas las

observaciones que constituyen la población estudiada. 3. Cualquier subconjunto de una población, constituye una muestra representativa de la

población en estudio. 4. Cualquier procedimiento de muestreo que produzca inferencias que sobreestimen o

subestimen de forma consistente alguna característica de la población, se dice que está sesgado.

5. En un muestreo aleatorio, las observaciones se obtienen de manera independiente y al azar.

6. Cualquier conjunto de datos seleccionados de una población, permite hacer inferencias confiables acerca de los parámetros de la población de la cual proviene.

7. La distribución de probabilidad de una estadística se llama distribución muestral. 8. La distribución de probabilidad de una estadística depende del tamaño de la

población y es independiente del tamaño de las muestras. 9. La distribución muestral de X , es la distribución que resulta cuando un experimento

se lleva a cabo una y otra vez, probando siempre con muestras de distintos tamaños.

2. Distribuciones muestrales de medias y diferencia de medias

10. Si tomamos muestras de una población normal con media μ y varianza σ² conocida,

la distribución muestral de X será normal con media μ y varianza σ²/n, donde n es el tamaño de la muestra, sin importar qué tan pequeño sea el tamaño de las muestras.

11. Si tomamos muestras de una población no normal o desconocida, con media μ y varianza σ² conocida, la distribución muestral de X será normal, con media μ y varianza σ²/n, donde n es el tamaño de la muestra, siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.

12. La aproximación normal para la distribución de la media muestral, en general será buena si n ≥ 30, sin importar la distribución de la población.


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Distribuciones fundamentales del muestreo 35

13. El teorema del límite central afirma que la forma límite de la distribución de la media muestral de una población cualquiera, con media μ y varianza σ², es la normal, con media μ y varianza σ²/n, cuando el tamaño de la muestra n tiende a infinito.

14. Las aplicaciones de teorema del límite central giran alrededor de las inferencias sobre la media de una población o de la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

15. Si X es una variable de una población que sigue una distribución exponencial, la media muestral de dicha variable, se distribuye normalmente cuando el tamaño de las muestras seleccionadas es suficientemente grande.

16. Si se extraen al azar muestras independientes de tamaño n1 y n2 de dos poblaciones cualesquiera, sean discretas o continuas, con medias μ1 y μ2 y varianzas σ1² y σ2², respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las medias ( 21 XX − ), está distribuida normalmente con media (μ1 – μ2) y varianza (σ1²/n1 + σ2²/n2), sin condición alguna.

17. La distribución muestral de las diferencias de las medias es útil cuando se comparan las medias desconocidas de dos poblaciones.

3. Distribución muestral de la varianza de una muestra: S²

18. Si S² es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, que se extrae de una

población cualquiera que tiene varianza σ², entonces la estadística χ² = (n –1) S²/σ², sigue una distribución ji cuadrada con ν = n – 1 grados de libertad.

19. Si X es la media muestral de n variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con la misma media, μ, e idéntica varianza, σ², entonces la variable

aleatoria nS

XT ⋅−= μ , tiene una distribución t con ν = n – 1 g.d.l., donde S es la

desviación estándar de la muestra, sin condicionamientos para el tamaño de la muestra.

20. La distribución t se utiliza ampliamente en problemas que tienen que ver con la inferencia acerca de la varianza de una población o en problemas que implican comparaciones de las varianzas de dos muestras.

21. El uso de la distribución t y la consideración del tamaño de la muestra no se relacionan con el teorema de límite central. El uso de la distribución normal estándar Z en lugar de T para n ≥ 30 sólo implica que S es un estimador suficientemente bueno de σ.


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Estimación de parámetros 36

Unidad Temática 5 Estimación de parámetros: medias, varianzas y

proporciones Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.

1. Estimación. Estimadores. Propiedades.

1. La teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos mediante los

cuales se realizan inferencias o generalizaciones acerca de una población, a partir de la información de una muestra aleatoria extraída de dicha población.

2. En el método clásico de estimación de un parámetro de la población, las inferencias se basan de manera estricta, en la experiencia personal y subjetiva que una persona tiene sobre la población que se estudia.

3. La estadística inferencial que veremos en nuestro curso, se refiere a dos áreas importantes: estimación de parámetros y pruebas de hipótesis.

4. Genéricamente, Θ es un estimador cuyo valor θ es una estimación puntual de algún parámetro poblacional desconocido θ.

5. Casi siempre, el valor numérico de una estimación puntual coincide exactamente con el valor numérico del parámetro a estimar.

6. En general, se espera que las estimaciones del parámetro poblacional obtenidas mediante un buen estimador, estén muy alejadas del valor real del parámetro.

7. Nunca debe utilizarse la mediana de la muestra de una población para estimar el verdadero valor de la media de dicha población.

8. El estimador varianza muestral, siempre producirá estimaciones puntuales más cercanas a la media de la población de la cual proviene la muestra, que las estimaciones puntuales del estimador media muestral.

9. Una de las propiedades deseables que debe reunir un estimador, es que sea insesgado.

10. Se dice que un estimador es insesgado cuando proviene de una población cuya función de densidad de probabilidad es simétrica.

11. Una estadística Θ es un estimador insesgado del parámetro poblacional θ , si el valor esperado de la estadística es igual al parámetro estimado.

12. La varianza muestral es un estimador sesgado de la varianza poblacional. 13. Todas las estadísticas son estimadores insesgados del parámetro poblacional. 14. La desviación estándar muestral es un estimador sesgado de la desviación estándar

poblacional, aunque el sesgo es insignificante en muestras grandes. 15. Se puede demostrar que E(S²) = σ².


Autoevaluación UT5


16. Dividimos por (n – 1) en lugar de n cuando se estima la varianza de una población, porque en esta condición la varianza muestral es un estimador insesgado del parámetro estimado.

17. De los todos los posibles estimadores de algún parámetro poblacional θ, se denomina estimador más eficiente de θ , al de menor varianza.

18. El estimador más eficiente de un parámetro poblacional θ es el que cumple la condición de tener varianza nula.

19. Si consideramos a la media muestral y la mediana muestral como estimadores de la media poblacional, μ, es posible demostrar que la mediana muestral es un estimador más eficiente que la media muestral.

20. En poblaciones normales, la media muestral y la mediana muestral son estimadores insesgados de la media de la población μ; además, tienen la misma varianza.

21. Para obtener el estimador más eficiente de algún parámetro poblacional θ, es suficiente seleccionar aquel que tenga menor varianza.

22. Las estimaciones puntuales que se obtienen con un estimador insesgado, resultan iguales y coinciden con el valor numérico del parámetro estimado.

23. Cuando se estima un parámetro poblacional con el estimador insesgado más eficiente, se espera que la estimación puntual coincida con el valor del parámetro a estimar.

2. Estimación por intervalos de confianza

24. Dado que es poco probable que el estimador insesgado más eficiente estime al

parámetro poblacional con exactitud, es preferible determinar un intervalo y esperar, con una confianza dada, que contenga al verdadero valor del parámetro.

25. Al construir un intervalo de confianza para estimar la media de una población, se debe tener en cuenta la distribución de la población (si es normal, no normal o desconocida).

26. Una estimación por intervalo de un parámetro poblacional θ, es un intervalo de la forma ˆ ˆ

Inf Supθ θ θ< < , donde Infθ y Supθ dependen del valor de la estadística Θ y

también de la distribución del muestreo de Θ . 27. Una vez definido el parámetro poblacional a estimar θ, los valores numéricos de los

límites inferior y superior del intervalo de confianza, Infθ y Supθ , respectivamente, se mantienen constantes, sea cual sea la muestra y la estimación por intervalo que se haga a partir de la misma.

28. Al escribir ˆ ˆ( ) 1Inf SupP θ αΘ < < Θ = − , debemos interpretar que, la probabilidad de seleccionar una variable aleatoria que produzca un intervalo que contenga al verdadero valor del parámetro poblacional θ, es (1−α).

29. Al estimar la media poblacional mediante un intervalo de confianza, sólo algunas


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veces esta estimación depende del tamaño de la muestra seleccionada. 30. Al construir un intervalo con un nivel de confianza del 95%, por ejemplo, es posible

conseguir mayor precisión en la estimación, aumentando el tamaño de la muestra seleccionada.

31. Si el nivel de confianza elegido es del 99%, podemos estar seguros de que el intervalo que construyamos a partir de la muestra, contendrá al verdadero valor del parámetro poblacional estimado.

32. Al estimar un parámetro mediante un intervalo de confianza, a mayor precisión, menor será la amplitud del intervalo.

3. Estimación de la media y diferencia de medias

Abrev. g.d.l.: grados de libertad 33. La distribución de probabilidad de la media muestral, está centrada en el valor de la

media de la población de la cual proviene la muestra, y en la mayoría de las aplicaciones, la varianza de la media muestral es más pequeña que la de cualquier otro estimador de la media poblacional.

34. El tamaño de la muestra seleccionada para estimar la media de una población rara vez influye en la estimación realizada.

35. Al estimar la media de una población, siempre se dará que, para un nivel de confianza dado, muestras diferentes de igual tamaño seleccionadas aleatoriamente de una misma población, producirán intervalos de igual amplitud.

36. Para un nivel de confianza elegido y un tamaño de muestra dado, todos los intervalos que se construyan para la media de una población de varianza conocida σ², a partir de muestras diferentes, tendrán la misma amplitud.

37. Al estimar la media de una población por intervalos de confianza, la estimación puntual ocupa el punto medio de la amplitud del intervalo.

38. El tamaño de la muestra seleccionada para estimar la media de una población mediante un intervalo de confianza, depende del error de estimación especificado.

39. Al calcular las estimaciones mediante intervalos de confianza para la media de una población, se debe hacer una distinción entre los casos de desviación estándar de la población conocida y desconocida.

40. Para estimar la media de una población cualquiera con desviación estándar desconocida, hacemos uso de la distribución muestral de la variable aleatoria T, con distribución t de Student.

41. El parámetro de la distribución t de Student, utilizada para estimar la media de una población mediante un intervalo de confianza, está relacionado con el tamaño de la muestra seleccionada.

42. En Estadística, se dice que trabajamos con muestras grandes cuando el tamaño de las mismas es por lo menos igual a 30.

43. Cuando se trabaja con muestras grandes, la varianza muestral es un buen estimador


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puntual de la media de dicha población. 44. Al realizar una estimación por intervalos de la media de una población con

desviación estándar conocida, a partir de muestras distintas pero de tamaño fijo, el máximo error de estimación para un nivel de confianza dado, tiene siempre el mismo valor numérico.

45. Cuando se desconoce la varianza de una población normal y se desea efectuar una estimación por intervalos de la media a partir de una muestra pequeña de tamaño n, se debe utilizar la distribución t, con (n – 1) g.d.l.

46. Se denomina error de estimación, al valor absoluto de la diferencia entre la estimación puntual y el verdadero valor del parámetro a estimar.

47. El máximo error de estimación de la media de una población, depende solamente del nivel de confianza elegido para realizar la estimación.

48. A la desviación estándar de un estimador, se la conoce con el nombre de error estándar del estimador. Por ejemplo, el error estándar de la media muestral viene dado por el cociente σ/√ n.

49. Dado el siguiente resultado de una estimación por intervalos de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones: ( +3,43 < μ1 – μ2 < +8,57 ), se debe interpretar, con un nivel de confianza dado, que la media μ2 es mayor que la media μ1.

50. Si los dos límites de confianza obtenidos al calcular un intervalos de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones resultan negativos, debe descartarse el resultado y pensar que se ha cometido un error de cálculo.

51. En la construcción de intervalos de confianza para estimar la diferencia entre dos medias poblacionales, de acuerdo a la información disponible, se puede utilizar la distribución normal estándar o la distribución t.

4. Estimación de la proporción y diferencia de proporciones

52. Un estimador puntual de la proporción p en un experimento binomial está dado por la

estadística nXP /ˆ = , donde X representa el número de éxitos en n pruebas. 53. Cuando el tamaño n de la muestra es pequeño y la proporción desconocida p es

cercana al valor cero o al valor uno, el procedimiento de cálculo que permite la construcción del intervalo de confianza visto en nuestro curso, no es confiable y por lo tanto no se debe utilizar.

54. Si necesitamos conocer el tamaño de muestra necesario para que el error de estimación no supere una cantidad específica e, con un nivel de confianza dado, siempre se deberá tomar una muestra preliminar que nos permita tener una estimación previa del parámetro a estimar p.

55. Para obtener una estimación por intervalos de confianza de la diferencia entre dos proporciones poblacionales, cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se debe utilizar la distribución t de Student.


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56. Cuando el tamaño de las muestras seleccionadas de dos poblaciones es pequeño, la construcción de un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos proporciones poblacionales, requiere la utilización de la distribución ji cuadrada.

57. Al estimar un intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones poblacionales, las muestras aleatorias independientes seleccionadas de cada población, siempre deben tener el mismo tamaño.

5. Estimación de la varianza y del cociente de varianzas

58. Para establecer una estimación por intervalos de la varianza poblacional σ², se utiliza

una estadística que tiene distribución t. 59. Al construir una estimación por intervalos de la varianza poblacional σ², no tiene

mayor importancia la distribución de la población estudiada. 60. La amplitud del intervalo de confianza para estimar la varianza de una población,

depende del tamaño de la muestra aleatoria seleccionada. 61. Cuando se tiene una muestra aleatoria pequeña, para construir un intervalo de

confianza que estime la varianza de una población, se debe emplear la distribución t. 62. Al igual que en el caso de medias, los intervalos de confianza que se construyen para

estimar la varianza de una población, resultan simétricos respecto de la estimación puntual.

63. Para la estimación por intervalos del cociente de las varianzas de dos poblaciones cualesquiera, σ1²/σ2², se utiliza una estadística que tiene distribución F.

64. Cuando el intervalo de confianza obtenido al estimar el cociente de las varianzas de dos poblaciones normales incluye al valor cero, se debe aceptar, para el nivel de confianza seleccionado, la igualdad de varianzas, esto es, σ1² = σ2².

65. Al realizar la estimación por intervalos del cociente de varianzas de dos poblaciones, las muestras aleatorias deben extraerse de poblaciones normales y ser independientes.


Autoevaluación UT5


6. Aplicaciones

66. Se lleva a cabo un estudio para determinar si cierto tratamiento metálico tiene algún

efecto sobre la cantidad de metal que se elimina en una operación de decapado. Se sumerge una muestra aleatoria de 100 piezas en un baño por 24 horas sin el tratamiento, lo que da un promedio de 12,2 milímetros eliminados de metal y una desviación estándar de 1,1 milímetros. Una segunda muestra de 200 piezas se somete al tratamiento, seguido de 24 horas de inmersión en el baño, lo que da como resultado una eliminación promedio de 9,1 milímetros de metal con una desviación estándar de 0,9 milímetros. Se desea ahora verificar si el tratamiento reduce el promedio de metal eliminado. Para ello se puede plantear un intervalo de confianza para la media de dos poblaciones, utilizando la distribución F con 99 grados de libertad en el numerador y 199 grados de libertad en el denominador.

67. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra aleatoria de las piezas y los diámetros medidos son 1,01; 0,97; 1,03; 1,04; 0,99; 0,98; 0,99; 1,01 y 1,03 centímetros. Si se sabe que el diámetro de las piezas de esta máquina está distribuido normalmente, para construir un intervalo de confianza del 99% para la varianza poblacional de las piezas, se utiliza la distribución ji cuadrada con 8 grados de libertad.

68. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de prueba de dureza de las cabezas de las agujas por el método Rockwell. Los valores medidos son 48,0; 49,0; 49,0; 50,0; 51,0; 45,0; 47,0; 48,5; 48,0; 50,0; 48,5 y 48,0. Se sabe también que la dureza de las agujas estudiadas tiene una distribución normal. Para construir un intervalo de confianza del 95% para la media de la población de las agujas se utiliza la distribución t de Student con 11 grados de libertad.

69. Se considera cierto cambio en el número de artículos defectuosos en un proceso de fabricación de partes componentes. A los efectos de determinar si el nuevo tratamiento tiene como resultado una mejoría, se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo. Se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son. Con los datos disponibles, se puede comparar el número de artículos defectuosos de ambos procedimientos, existente y nuevo, construyendo un intervalo de confianza para el cociente de varianzas de las poblaciones, utilizando una estadística con distribución F.


Autoevaluación UT6

Prueba de hipótesis 42

Unidad Temática 6 Pruebas de hipótesis


1. Conceptos generales y diseño de la prueba de hipótesis

1. Una hipótesis estadística es una aseveración sobre los parámetros de una o más poblaciones.

2. Para probar una hipótesis estadística es necesario extraer una muestra aleatoria de la población en estudio y utilizar los datos de la muestra para proporcionar evidencia que apoye o no la hipótesis que se desea probar.

3. Al establecer una prueba de hipótesis correctamente diseñada, estamos seguros de que siempre tomaremos una decisión correcta.

4. Las hipótesis son siempre proposiciones referidas a la muestra de la población o distribución en estudio.

5. Una hipótesis nula apropiada para probar que la media de una población es igual a 40, sería la siguiente: H0: X = 40.

6. El diseño de un proceso de decisión lleva consigo la idea de la probabilidad de tomar una decisión errónea.

7. La aceptación de una hipótesis nula, simplemente implica que los datos no dan suficiente evidencia para rechazarla.

8. Si el ingeniero está interesado en apoyar con fuerza una opinión acerca de un parámetro de la población en estudio, planteará la estructura de la prueba de modo tal que llegue a la opinión de interés, en la forma de rechazo de una hipótesis.

9. El término hipótesis nula se refiere a cualquier hipótesis que deseamos probar y se denota con H0.

10. La decisión de rechazar una hipótesis nula lleva implícita la aceptación de una hipótesis alternativa, que se denota con H1.

11. Aunque se establezca la hipótesis nula con un signo igual, se entiende que incluye cualquier valor no especificado por la hipótesis alternativa.

12. La estructura de la hipótesis nula se plantea de modo que se especifique un valor exacto del parámetro (o contenga la igualdad), mientras que la hipótesis alternativa permite la posibilidad de varios valores.

13. La prueba de hipótesis involucra la selección de una muestra aleatoria, el cálculo de un estadístico de prueba a partir de los datos muestrales y luego el uso de este estadístico para tomar una decisión sobre la hipótesis nula.

14. Una vez planteada la estructura de la prueba de hipótesis, el rango del estadístico de prueba queda dividido en dos regiones, denominadas región crítica y región de aceptación. Las fronteras entre las regiones críticas y de aceptación reciben el nombre de valores críticos.


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15. El error de tipo I se define como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando ésta es verdadera.

16. El error de tipo II se define como la aceptación de la hipótesis nula, cuando ésta es falsa.

17. Se denomina nivel de significancia a la probabilidad de cometer un error de tipo I y se denota con la letra griega α.

18. Al nivel de significancia también suele llamársele tamaño de la región crítica. 19. Para calcular la probabilidad de cometer un error de tipo II, no es necesario plantear

una hipótesis alternativa específica. 20. Idealmente, deberíamos utilizar un procedimiento de prueba en el que la probabilidad

de cometer errores de tipo I y de tipo II, sea pequeña. 21. Si el nivel de significancia de una prueba de hipótesis es α = 0,01, significa que, si la

hipótesis nula es cierta, existe una probabilidad igual a 0,01 de rechazarla. 22. Si la hipótesis nula de una prueba es cierta, la probabilidad de cometer un error de

tipo II es nula. 23. La probabilidad de cometer simultáneamente los errores de tipo I y II en una prueba

de hipótesis, está dado por el producto α.β, puesto que los errores son independientes. 24. Para calcular la probabilidad de cometer un error de tipo II, que se denota con la letra

griega β, es necesario tener una hipótesis alternativa específica, esto es, debe proponerse un valor específico del parámetro que se prueba.

25. El tamaño de la región crítica viene dado por la probabilidad de cometer un error de tipo II.

26. Al probar la hipótesis nula H0: μ = 70, frente a la hipótesis alternativa H1: μ > 70, para un tamaño de muestra fijo, una disminución en la probabilidad de cometer error de tipo I, da como resultado un aumento en la probabilidad de cometer un error del tipo II.

27. Establecidos el o los valores críticos, en general, un aumento del tamaño de la muestra, aumenta tanto a α como a β.

28. Cuando la hipótesis nula es falsa, β aumenta a medida que el valor verdadero del parámetro se acerca al valor hipotético propuesto por la hipótesis nula. Mientras mayor sea la diferencia entre el valor real del parámetro y el hipotético, β será menor.

29. Si la hipótesis nula es falsa, β es máximo cuando el valor real de un parámetro coincide con el valor hipotético.

30. Si graficamos las probabilidades de aceptación de H0 que corresponden a diversas alternativas para µ, incluido el valor especificado por H0, y unimos todos los puntos mediante una curva suave, obtenemos la curva de operación característica del criterio de prueba, o simplemente curva CO.

31. La probabilidad de aceptación de Ho cuando es verdadera es simplemente (1 – α). 32. La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando

alguna alternativa específica es verdadera. 33. La potencia de una prueba se puede calcular como (1 – β).


Autoevaluación UT6


34. La potencia de una prueba puede interpretarse como la probabilidad de rechazar, de manera correcta, una hipótesis nula falsa.

35. La potencia puede asumir valores comprendidos entre –1 y +1. 36. Por definición, error de tipo II, es la probabilidad de aceptar una hipótesis nula

cuando ésta es falsa. 37. El error de tipo I consiste en rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa. 38. El error de tipo II consiste en aceptar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera. 39. El nivel de significancia debe ser un valor comprendido entre 0,01 y 0,05. 40. El nivel de significancia en una prueba de hipótesis es insensible al tamaño de la

muestra. 41. Las pruebas de hipótesis sólo son aplicables a poblaciones normales. 42. Al probar la media de una población con σ conocida, para un tamaño de muestra

dado, al pasar de un nivel de significancia de 0,01 a 0,05 aumentamos el riesgo de cometer un error de tipo I y disminuimos el riesgo de cometer un error de tipo II.

43. Cuando el ingeniero utiliza un nivel de significancia igual a 0,01 en sus experimentos en inferencia estadística, significa que el 1% de las veces rechazará la hipótesis nula.

44. Si se acepta la hipótesis nula al nivel de significancia de 0,05, la probabilidad de cometer un error de tipo II siempre será igual a 0,95.

45. Un nivel de significancia de 0,01 significa que, en promedio, una de cada cien veces que la hipótesis nula sea cierta, la rechazaremos.

46. Al diseñar una prueba de hipótesis, el investigador sólo puede controlar el error de tipo I o el error de tipo II, pero no hay modo de controlar los dos simultáneamente.

47. Las pruebas de hipótesis sólo pueden ser utilizadas para hacer inferencias sobre las medias de las poblaciones.

48. La potencia de una prueba de hipótesis es independiente de la probabilidad de cometer un error de tipo II.

49. Cuando el ingeniero utiliza un nivel de significancia igual a 0,05 en sus experimentos en inferencia estadística, significa que habrá rechazado indebidamente la hipótesis nula sólo el 5% de las veces.

2. Pruebas de una y dos colas

50. A veces, la región crítica para la hipótesis alternativa θ > θ0 se encuentra en la cola

derecha de la distribución de la estadística de prueba. 51. En pruebas de una cola, una regla práctica consiste en observar el símbolo de la

desigualdad de la hipótesis alternativa y verificar que apunte hacia la región crítica. 52. Una prueba con hipótesis alternativa bilateral del tipo θ ≠ θ0, se llama prueba de dos

colas, pues la región crítica se divide en dos partes, las tienen probabilidades iguales que se colocan en cada cola de la distribución de la estadística de prueba.


Autoevaluación UT6


53. La ubicación de la región crítica se puede determinar sólo después de establecer la hipótesis alternativa.

54. Para determinar cuál hipótesis se establecerá como H0 y cuál como H1, si la afirmación sugiere una sola dirección como mayor que, menor que, superior a, inferior a, entonces H1 se debe establecer con el uso del símbolo de desigualdad que corresponda a la dirección sugerida (< o >).

55. Para determinar cuál hipótesis se establecerá como H0 y cuál como H1, si la afirmación no sugiere ninguna, entonces H1 se establece con el signo de diferente (≠).

3. Uso del valor P en la toma de decisiones

56. Si no se tiene en mente un nivel de significancia α preseleccionado, es imposible

sacar conclusiones en una prueba de hipótesis. 57. La preselección de un nivel de significancia α tiene sus raíces en la filosofía de que se

debe controlar el riesgo máximo de cometer un error de tipo I. 58. La decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula propuesta, se puede tomar en

función del valor P y sin haber establecido previamente un nivel de significancia. 59. Según algunos autores, un valor P es el nivel de significancia más bajo en el que el

valor observado de la estadística de prueba es significativo. 60. El valor P de una prueba de hipótesis se puede calcular independientemente del nivel

de significancia elegido. 61. El valor P de una prueba de hipótesis nunca debe resultar mayor que el nivel de

significancia. 62. El valor P se puede calcular una vez establecidas las hipótesis nula y alternativa y sin

necesidad de haber seleccionado la muestra. 63. El nivel de significancia es un valor numérico que varía ente –1 y +1. 64. El nivel de significancia puede establecerse con antelación a la selección de la

muestra.


Rtas. Autoevaluaciones

Respuestas Autoevaluaciones 46

¡No debe consultar la respuesta antes de contestar los ítems de las

Autoevaluaciones! Primero debe leer detenidamente cada ítem. Luego debe pensar, razonar y calcular si es necesario. Recién entonces responda. Una vez que haya respondido el ítem de la autoevaluación, debe contrastar su respuesta con la que se propone como correcta. Si después de responder, su respuesta no coincide con la propuesta, debe reconsiderar su razonamiento sobre la afirmación. Finalmente, si después de tal reconsideración no está de acuerdo con la respuesta propuesta, no dude en consultar. Juntos consideraremos la solución. ¡No trate de memorizar respuestas! Piense y razone siempre antes de contestar. Una vez que haya contestado, practique justificar su respuesta. No debe enviar la justificación de las respuestas de las Autoevaluaciones, excepto que se solicite explícitamente la justificación de algunos ítems en particular.

Unidad Temática 1: Estadística descriptiva y análisis de datos 1. V 2. F 3. F 4. F 5. F 6. F 7. V 8. V 9. V 10. F 11. V 12. F 13. V 14. F 15. F 16. V 17. V 18. F 19. V 20. V 21. V 22. V 23. V 24. F 25. V 26. V 27. V

28. V 29. V 30. V 31. F 32. V 33. F 34. V 35. F 36. V 37. V 38. F 39. F 40. V 41. F 42. V 43. V 44. V 45. F 46. V 47. F 48. F 49. V 50. V 51. V 52. F 53. V 54. F 55. F 56. V 57. V 58. V 59. V

60. V 61. V 62. F 63. F 64. F 65. F 66. F 67. F 68. F 69. V 70. F 71. F 72. F 73. V 74. F 75. V 76. F 77. F 78. F 79. V 80. F 81. V 82. F 83. F 84. F 85. V 86. V 87. F 88. F 89. V 90. F 91. F 92. V

93. F 94. V 95. F 96. F 97. F 98. F 99. F 100. V 101. V 102. F 103. F 104. V 105. F 106. F 107. F 108. F 109. V 110. V 111. F 112. F 113. F 114. V 115. V 116. F 117. F 118. V 119. V 120. F 121. V 122. F 123. F 124. V 125. F 126. F

127. F 128. F 129. F 130. V 131. F

Aspectos éticos 132. V 133. V 134. F Unidad Temática 2: Probabilidad 1. V 2. F 3. V 4. F 5. V 6. F 7. F 8. V 9. F 10. V 11. V 12. F 13. F 14. V 15. V 16. F 17. V 18. F




19. F 20. V 21. V 22. F 23. V 24. V 25. F 26. F 27. F 28. V 29. F 30. F 31. V 32. F 33. V 34. F 35. F

OM 36. a 37. b 38. d 39. b 40. c 41. d 42. d 43. b 44. d 45. c 46. c 47. c 48. b 49. d 50. c 51. d 52. d 53. d 54. d 55. d Unidad Temática 3. 3-1: Variable aleatoria 1. V 2. V 3. F 4. V 5. F 6. F 7. F 8. F 9. F 10. V 11. V 12. F 13. V 14. V

15. V 16. V 17. V 18. F 19. V 20. F 21. F 22. F 23. V 24. V 25. V 26. F 27. F 28. F 29. F 30. V 31. V 32. F 33. V 34. F 35. V 36. F 37. V 38. F 39. F 40. V 41. V 42. F 43. F 44. V 45. F 46. V 47. V 48. F 49. V 50. V

Discretas (D) ; Continuas (C)

51. C 52. D 53. C 54. D 55. C 56. D 57. C 58. C 59. D 60. C 61. D 62. C 63. D 64. C 65. D

Esperanza y Varianza

66. V 67. F 68. V

69. F 70. F 71. F 72. V 73. F 74. V 75. V 76. V 77. F 78. F 79. V 80. F 81. V 82. F 83. F 84. F 85. V

Teorema de Chebyshev

86. V 87. V 88. F 89. F 90. F 3-2: Distribuciones discretas

Uniforme

1. V 2. V 3. F 4. F 5. F

Binomial

6. F 7. V 8. V 9. F 10. V 11. V 12. V 13. F 14. F 15. V 16. V 17. F 18. V 19. V 20. V 21. V 22. V 23. F 24. F 25. F 26. F 27. F

Hipergeomé-trica

28. V 29. V 30. V 31. F 32. F 33. F 34. F 35. F 36. V 37. V 38. F 39. V

Geométrica

40. F 41. F 42. V 43. V 44. V 45. V 46. V

Poisson

47. F 48. V 49. F 50. V 51. F 52. F 53. F 54. V

Aproximación binomial a Poisson

55. F 56. V 57. F

Problemas OM

58. b 59. b 60. a 61. d 62. c 63. c 3-3: Distribuciones continuas

Uniforme

1. V 2. F 3. V 4. V 5. F

Normal

6. V 7. V 8. F 9. V 10. V 11. V 12. V 13. V 14. V 15. F 16. V 17. V 18. F 19. V 20. F 21. V 22. V 23. V 24. F 25. V 26. V 27. F 28. F 29. F 30. F

Aproximación normal a la binomial

31. F 32. V 33. V 34. V 35. V 36. V 37. V

Gamma y exponencial

38. V 39. V 40. F 41. F 42. V 43. V 44. V 45. F

Ji Cuadrada

46. F 47. V 48. F 49. V 50. V 51. F 52. F 53. F 54. V 55. F




56. F

Log Normal

57. V 58. V

Weibull

59. F 60. V 61. F 62. F

Distribución t

63. V 64. V 65. V 66. V 67. F 68. V 69. V 70. F

Distribución F

71. V 72. F 73. V 74. V 75. V 76. F 77. V 78. F 79. F 80. F

Combinaciones lineales

81. V 82. F 83. V 84. F 85. V

Distribuciones Probabilidad Conjunta

86. V 87. V 88. F 89. F 90. F 91. F 92. V 93. V 94. V 95. V 96. V 97. F 98. V 99. V 100. V

101. F 102. F Unidad Temática 4: Distribuciones fundamentales del muestreo 1. F 2. F 3. F 4. V 5. V 6. F 7. V 8. F 9. F 10. V 11. V 12. V 13. V 14. V 15. V 16. F 17. V 18. F 19. V 20. F 21. V Unidad Temática 5: Estimación de parámetros 1. V 2. F 3. V 4. V 5. F 6. F 7. F 8. F 9. V 10. F 11. V 12. F 13. F 14. V 15. V 16. V 17. F 18. F 19. F 20. F 21. F 22. F 23. F

24. V 25. V 26. V 27. F 28. V 29. F 30. V 31. F 32. V 33. V 34. F 35. F 36. V 37. V 38. V 39. V 40. F 41. V 42. V 43. F 44. V 45. V 46. V 47. F 48. V 49. F 50. F 51. V 52. V 53. V 54. F 55. F 56. F 57. F 58. F 59. F 60. V 61. F 62. F 63. F 64. F 65. V 66. F 67. V 68. V 69. F Unidad Temática 6: Pruebas de hipótesis 1. V 2. V 3. F 4. F 5. F 6. V 7. V 8. V

9. V 10. V 11. V 12. V 13. V 14. V 15. F 16. V 17. V 18. V 19. F 20. V 21. V 22. V 23. F 24. V 25. F 26. V 27. F 28. V 29. V 30. V 31. V 32. V 33. V 34. V 35. F 36. F 37. F 38. F 39. F 40. F 41. F 42. V 43. F 44. F 45. V 46. F 47. F 48. F 49. V 50. F 51. V 52. V 53. V 54. V 55. V 56. F 57. V 58. V 59. V 60. V 61. F 62. F 63. F 64. V

Probabilidad y Estadística Autoevaluación UT1 · 2014-11-05 · 8. Una escala nominal consiste en...

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