ProbabilidadMétodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

Facultad de Ciencias del Trabajo

Francisco Álvarez GonzálezNoviembre 2006

EXPERIMENTO ALEATORIO

e1

e2

e3

e4

EA todo experimento aleatorio ,

queda asociado un espaciomuestral E (conjunto de

posibles ocurrencias de ).

Lanzar dosmonedas

Sucesos elementales

UNIÓN: Par o múltiplo de 3

AB = { }

INTERSECCIÓN: Par y múltiplo de 3

AB = { } Compatibles

INTERSECCIÓN: Par y múltiplo de 5

AC = { } = Incompatibles

CONTRARIO: No ser múltiplo de 3

B’ = E-B = { }

SUCESOS. OPERACIONES

E = { }Lanzar un dado

A = { }Par

B = { }Múltiplo de 3

C = { }Múltiplo de 5

LEY DEL AZAR

Cuando el número de experiencias crece indefinidamente,la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarsehacia un número fijo (su probabilidad).

Cuando el número de experiencias crece indefinidamente,la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarsehacia un número fijo (su probabilidad).

Cara

Cruz

n r

1

0

1

0

N = 1

7

3

0’7

0’3

N = 10

17

23

0’425

0’575

N = 40

49

51

0’49

0’51

N = 100

504

496

0’504

0’496

N = 1000

N r 0’5 (Probabilidad)N r 0’5 (Probabilidad)

REGLA DE LAPLACE

La probabilidad de que ocurra un suceso es el cociente entreel número de situaciones en las que puede ocurrir y el núme-ro total de situaciones posibles (¿frecuencia relativa?).

La probabilidad de que ocurra un suceso es el cociente entreel número de situaciones en las que puede ocurrir y el núme-ro total de situaciones posibles (¿frecuencia relativa?).

LANZAMOS UN DADO: Probabilidad de no ser múltiplo de 3

{ }

{ } 6

4Pr

6

4Pr

CONCEPTOS TEÓRICOS

AA

BB

Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B)Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B)

Pr(E) = 1Pr(E) = 1 Pr() = 0Pr() = 0

A

A’

Pr(A’) = 1 - Pr(A)Pr(A’) = 1 - Pr(A)

Probabilidad delsuceso contrario

CONCEPTOS TEÓRICOS

A - (A B)A - (A B)

B - (A B)B - (A B)

A B

Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B)Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B)

Teorema de probabilidadescompuestas

A

B

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Probabilidad condicionada (sabiendo que ...)

Teorema de probabilidades compuestas:Pr(A B) = P(A) . P(B / A)

Generalización:

Pr(A B C) = P(A) . P(B / A) . P(C / A B)

(A)Pr

B)(APrB/APr

(A)Pr

B)(APrB/APr

A BB

APr (B/A) =

EJEMPLOS

EJEMPLOS

Ser de espadas o de bastosSer de espadas o de bastos

EJEMPLOS

Ser de espadas o figuraSer de espadas o figura

EJEMPLOS

Ser de espadas sabiendo que es figuraSer de espadas sabiendo que es figura

EJEMPLOS

Ser figura sabiendo que es de espadasSer figura sabiendo que es de espadas

EJEMPLOS

Ser de bastosSer de bastos o figura

19/4019/4019/4019/40

AA

Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.

Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.

EJEMPLOS

19/4019/4019/4019/4010/40 + 12/40 - 3/40

BB

Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.

Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.

EJEMPLOS

Es de bastosEs de bastos

3/103/103/103/10

AA Es figura de bastosEs figura de bastos

Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.

Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.

EJEMPLOSAl extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.

Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.

3/103/103/103/10(3/40) / (10/40)

BB

EJEMPLOS

Al extraer sucesivamente y sin reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.

Al extraer sucesivamente y sin reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.

39

9.

40

10/Pr.PrPr 12121 OOOOO

Al extraer sucesivamente y con reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.

Al extraer sucesivamente y con reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.

40

10.

40

10/Pr.PrPr 12121 OOOOO

EJEMPLOS

Extracción simultánea yextracción sucesiva.

SIMULTÁNEAUna azul

SUCESIVAUna azul

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

5

EJEMPLOS

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

5Extracción simultánea de 4 bolas.

Análisis de sucesos.

Al menos una azul(Alguna azul)

CONTRARIO

EJEMPLOS

Alguna azul

3

12

3

5

1

7

2

5

2

7

1

5

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

5

3 bolas simultáneamente3 bolas simultáneamente

EJEMPLOS

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

5

3 bolas sucesivamente3 bolas sucesivamente

Todas azules

12

5

12

5

12

5

10

3

11

4

12

5Sin reposición

Con reposición

Dos de ellas azules

12

5

12

5

12

7

12

5

12

7

12

5

12

7

12

5

12

5

Con reposición

Dos de ellas azules

10

4

11

5

12

7

10

4

11

7

12

5

10

7

11

4

12

5

Sin reposición

49 blancas50 negras

75'01

1

2

1

99

49

2

1salvarPr

1 blancaA B50 blancas50 negras

5'0100

50salvarPr

En el lejano reino de Falandia, a los condenados a muerte, el Rey les concedía la posibilidad de salvarla vida, si sacaban una bola blanca de un jarrón con 50 bolas blancas y 50 negras.

En cierta ocasión, un condenado a muerte pidió alRey una gracia especial, que consistía en distribuirlas bolas en dos jarrones:• uno con 49 bolas blancas y 50 negras.• el otro con la bola blanca que quedaba 1 B49 B

50 N50 B50 N +

El reo astuto

EJEMPLOS

EJEMPLOS

28

12Prob.

28

12Prob.

Tomamos una ficha del dominó. ProbabilidadDe que contenga un número impar de puntos

EJEMPLOS

Sume un número de puntos que sea múltiplo de tres.

Lanzamiento de dos dados.

66

12Prob.

66

12Prob.

Probabilidad de que, en tres desplazamientos, la tortuga alcance la lechuga.

1

2

3

4

5

6

EJEMPLOS

7

2.

4

2.

3

2

7

2.

6

3.

3

1

3

1.

6

2.

3

1

3

1.

6

2.

3

1

3

13

16

2

7

2.

6

3.

3

1

3

1

7

2

6

3

7

2.

4

2.

3

2

7

2

3

24

2

Grupo H M

A 10 20 30 B 20 12 32 C 11 10 21 D 15 15 30 E 17 10 27

73 67 140

E

D

CBA

EJEMPLOSUn alumno nuevo en el Centro entra al azar en un aula.Probabilidad de que entre en la de su grupo.

5

1

Sabemos que un avión hace blanco en el objetivo en el 85% de las ocasiones.Si cinco aviones disparan sobre el objetivo, calcular la probabilidad de quesea alcanzado.

Probabilidad de ser alcanzado = = Probabilidad de que algún avión dé en el blanco == Probabilidad de hacerlo 1, 2, 3, 4 o los 5 aviones =

= 1- Probabilidad de que no dé ninguno

999924'015'015'015'015'015'01

Si el número de situacionescontempladas es muy elevado,

abordamos el problemamediante el suceso contrario

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