Problema 10.1

Determine la ganancia en tensión del par diferencial representado en el

circuito de la figura 10.1.1. Nota: β≈180.

figura 10.1.1

El circuito en cuestión se puede tratar desde dos puntos de vista: como un par diferencial con una de sus entradas a cero o bien, como el de la figura 10.1.2, con dos etapas, CC-BC, en cascada acopladas directamente.

figura 10.1.2

Analicemos en primer lugar el circuito según el primer caso, es decir, según una etapa

diferencial. La señal de entrada (pequeña señal o alterna) atacaría a la base del transistor Q1 directamente, sin condensador de acoplo. Si seguimos usando la metodología

general que hemos venido empleando hasta el momento, aplicaremos el principio de superposición y analizaremos el circuito en dos casos: sólo para pequeña señal (alterna)

y sólo para continua.

Empezando analizando este último caso (gran señal) se tendrá que considerar que la base de Q1 está a tierra (se puentearía el generador de señal), es decir, VB1=0, y

puesto que VB2=0, se tendrá:

21 BEBEVV = (10.1.1)

En virtud de este último resultado y teniendo en cuenta las ecuaciones de Ebers-Moll se podrá afirmar entonces que:

CCCIII =≈

21 (10.1.2)

Por otro lado, como la entrada de Q2 está a tierra se puede afirmar que el terminal común de emisor estará a:

VE = -VBE2 ≈ -0.7V

Entonces, como por la rama de REE circula tanto IE1 como IE2 y además son iguales (ver ecuac.(10.1.2)), se puede plantear la siguiente ecuación:

EE

EEE

C

EE

EEE

ER

VVI

R

VVI

−=

+⇒

−=

β1

12 2 (10.1.3)

y en consecuencia:

mA

KR

VVI

EE

EEE

C71.0

10180

112

)15(7.0

112

=

+

−−−=

+

−=

β

(10.1.4)

Finalmente, en nuestro análisis en gran señal, sólo nos resta comprobar que ambos

transistores están en activa (esta fue la suposición que, implícitamente, se aplicó en la

ecuación (10.1.3) al afirmar que IC=βIB). Para ello habrá que analizar la tensión colector-emisor de ambos transistores:

VKmVRIVIVEEEECEEEE

8.0)15(1071.0222 −=−+∗∗=+≈+= (10.1.5)

VVVVECCCE

8.15)8.0(151

=−−=−= (10.1.6)

VKmVRIVVECCCCCE

7.8)8.0(1071.02152

=−−∗∗−=−−= (10.1.7)

como en ambos casos VCE>0.2V puede afirmarse que, efectivamente, Q1 y Q2 están en activa.

Analicemos a continuación el caso de pequeña señal. Las entradas del par

diferencial serán:

vi1=vi vi2=0

y la tensión en modo común y en modo diferencial vendrán dadas respectivamente por:

2

21 ii

c

vv

v

+= (10.1.8)

21 iidvvv −= (10.1.9)

Entonces, la salida vendrá dada por:

ccddovAvAv += (10.1.10)

siendo Ad y Ac la ganancia en modo diferencial y en modo común, respectivamente y

v0=v01-v02, la tensión diferencial de salida . Teniendo en cuenta que, en este caso, vi2=0 y vi1=vi, las ecuaciones (10.1.8), (10.1.9) y (10.1.10) se transforman en:

2

i

c

v

v = (10.1.11)

idvv = (10.1.12)

i

c

dov

AAv

+=2

(10.1.13)

y finalmente, de esta última ecuación, se obtiene el valor de la ganancia buscada:

+==2

0 c

d

i

v

AA

v

vA (10.1.14)

La ganancia en modo común, AC, se obtiene haciendo vd=0. En este caso, resolviendo el sistema de ecuaciones (10.1.8) y (10.1.9) se obtiene:

vc=vi1=vi2

Aplicando el teorema de Barttlet, el par diferencial se puede dividir en dos partes

(doblando el valor de la resistencia de emisor) tal y como se muestra en la figura 10.1.3. En este caso la ganancia en modo común vendrá dada por:

EEo

Co

c

oc

cRr

R

v

vA

2)1( ββ

π ++−= (10.1.15)

2Ree

20K

figura 10.1.3

El lector, a estas alturas, no debería tener ningún problema para obtener la ganancia del circuito de la figura 10.1.3, representada por la ecuación (10.1.15). Ésta se deriva fácilmente de su circuito equivalente en pequeña señal representado en la figura 10.1. 4.

rπ

ibβoib

figura 10.1. 4

Substituyendo valores en (10.1.15) se obtiene el valor de la ganancia en modo común:

50.0102)1801(6.6

10180 −=∗++

∗−=KK

KAc

(10.1.16)

El valor de rπ se obtiene analíticamente[1], de forma aproximada, a partir de la ecuación:

[1] Si se conociese el tipo de transistor utilizado, se podría haber determinado rπ directamente por

inspección de la gráfica hie=f(IC), presente en las hojas de características del dispositivo (recuérdese que

rπ =hie)

Ω=∗≈≈ Km

m

I

Vr

C

T6.6

71.0

261800β

π (10.1.17)

Calculemos ahora la ganancia en modo diferencial, es decir, ahora vc=0.

Resolviendo una vez más el sistema (10.1.8) y (10.1.9) se obtiene ahora que:

212

ii

dvv

v

−==

En este caso ib1=-ib2 y entonces por REE circularía una corriente de:

02211=+++=

bobbobeiiiii ββ (10.1. 18)

es decir, VE=0. En consecuencia el circuito equivalente y su correspondiente en pequeña

señal serían como los que se muestran en la figura 10.1. 5. La ganancia obtenida a partir del circuito de pequeña señal es:

π

βr

R

v

vC

d

d 00

2

−=−

(10.1.19)

Obsérvese que en la salida del semicircuito de pequeña señal, relativo al ramal derecho (es donde se encuentra la salida), se considera -v0d porque vod=v01-v02 y, en este caso

v01=0 dada la asimetría del circuito (la rama de la izquierda no tiene resitencia de colector). Finalmente, de (10.1.19) se obtiene fácilmente la ganancia en modo

diferencial:

36.1366.62

10180

2=

∗∗===

K

K

r

R

v

vA

Co

d

od

d

π

β (10.1.20)

rπ

ibβoib

vd/2

vd/2

figura 10.1. 5

Calculada la ganancia en modo diferencial y en modo común sólo nos queda substituir en (10.1.14) para obtener el valor de la ganancia buscada:

11.1362

50.036.136 =−==

i

o

v

v

v

A (10.1.21)

Aplicando ahora el principio de superposición a partir de los dos análisis realizados (pequeña y gran señal) la salida, v0(t), puede expresarse como:

ivovAVtv +=

0)( (10.1.22)

donde

VKmRIVVCCCC

9.71071.0150

=∗−=−= (10.1.23)

y Av viene dada por (10.1.21). Finalmente, resulta:

( )io

vtv ∗+= 11.1369.7)( (10.1.24)

El circuito fue simulado con Pspice (ver figura 10.1.6) aplicando a la entrada una señal sinusoidal de 1mV. La salida se visualiza en la figura 10.1.7 en donde se puede observar

la componente de continua más la señal sinusoidal amplificada. Los resultados de la simulación están muy cercanos a los obtenidos analíticamente.

figura 10.1.6

figura 10.1.7

Se deja para el alumno el ejercicio de realizar el cálculo de la ganancia analizando el circuito como dos etapas acopladas en cascada, es decir, calculando la ganancia total

como producto de ambas. El resultado tiene que ser el mismo.