Principio de Inducción MatemáticaPrincipio de Inducción Matemática

Supóngase que tenemos la sucesión de números naturales con la propiedad de que dichos números son de color rojo.

1,2,3,4,5,6,7...

Supongamos que:

• El primer natural es de color rojo (1).

• Si todos los naturales que preceden al (n+1)-ésimo son de color rojo, entonces el (n+1)-ésimo número es de color rojo (2).

Para demostrar que el número 8 es de color rojo, se observa que todos los que preceden al 7 y, por (2) el número 7 también es de color rojo.

Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción Matemática

Inducción Matemática

Ejemplo:

Denótese por Sn=1+2+3+4+...+n (1)

Consideremos que se afirma que:

Sn=n(n+1)/2 para n=1,2,... (2)

Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber

S1=1(2)/2=1

S2=2(3)/2=3

S3=3(4)/2=6

Supóngase que cada ecuación verdadera está marcada con una “X”. Dado que la primera ecuación es verdadera,

S1=1(2)/2 X

S2=2(3)/2 X

S3=3(4)/2 X

Sn-1=(n-1)n/2 X

Sn=n(n+1)/2 X

Sn+1=(n+1)(n+2)/2 ?

Supóngase ahora que puede demostrarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también lo está.Debe probarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima son verdaderas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también es verdadera.

Sn+1=1+2+3+...+n+(n+1)

=Sn+(n+1)=n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2

Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que

Paso Básico:

S(1) es verdadera

Paso Inductivo:

si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.

Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica).

1+a1+a2+...+an=(an+1-1)/(a-1) (1)Paso Básico: Se obtiene cuando n=0,1=(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero.Paso Inductivo:Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora1+a1+a2+...+an+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+an+1

=(an+1-1)/(a-1)+(an+1(a-1))/(a-1)=(an+2-1)/(a-1)

Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...

Grafo Normal

Grafo Ciencias de la Computación

Definición

Un grafo es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E,tal que

Así E, es simplemente una relación binaria en el conjunto V.

Relaciones y Grafos

Propiedades de Relación

Representación de Matriz Booleana

Operaciones sobre la Matriz Booleana

Composición Usando Matrices

DefiniciónUn grafo simple es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E, donde cada arco es una par no ordenado de distintos vértices a y b.

El grado de un vértice es el número de arcos que se conectan a el.

Ejercicio: Dibuje un grafo con 3 vértices de grado 2,2 y 1.

Un grafo Imposible

Problema:Localización de galpones para aeronaves.

Horario de Aerolíneas

Dado un conjunto de vuelos que llegan a distintos horarios, ¿Cuántos galpones necesitamos para poder acomodar dichos aviones?

Solución: Coloreo de Grafo

Se colorea cada vértice de manera que no queden dos vértices adyacentes con el mismo color.

Asignación de Galpones (o colores)

Fuente de Problemas• ¿Cómo podemos programar los exámenes finales

con el objetivo de que no se tomen dos al mismo tiempo?.

• ¿cuántos habitad diferente necesito para que algunas especies animales puedan coexitir con otras especies?.

Número Cromático

• Pregunta: ¿Cuál es la cantidad mínima de colores que necesito para resolver el problema?

• ¿Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?

Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que

Paso Básico:

S(1) es verdadera

Paso Inductivo:

si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.