-INTEGRALES DE LNEA INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA -TEOREMA DE GREEN

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE-INTEGRALES DE LNEA INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA -TEOREMA DE GREENPRIMER AVANCE

[Escribir el nombre del autor]Cajamarca, septiembre de 2014

RESUMEN

El presente trabajo de investigacin consiste en el desarrollo de los temas de integrales independientes de una trayectoria y los teoremas fundamentales de las integrales de lnea. Teorema de Green.Dentro de estos dos temas presentamos las definiciones y principales propiedades, as como los teoremas con los cuales se trabajan para lograr un buen desarrollo de los ejercicios.Dentro de los teoremas fundamentales de las integrales de lnea nos enfocaremos en el teorema de Green, ya que por medio de esto nos facilitara solucionar con facilidad los ejercicios. De aplicacin.

INTEGRALES DE LNEA INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA

INTRODUCCIN:

Fueron inventadas a principios del siglo XIX, para poder solucionar problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo.Las integrales de lnea o tambin conocidas como integrales curvilneas, son similares a las integrales simple, con la diferencia de que no integramos un intervalo [a, b] sino la curva C.La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de lnea de un campo escalar.

DEFINICIN:

Cuando el valor de una integral sobre una trayectoria contina por tramos que conecta dos puntos de una regin R depende solamente de los puntos extremos, se dice que la integral es independiente de la trayectoria.

Considrese la integral de lnea , sobre la trayectoria de un campo vectorial que se obtiene del gradiente de un campo escalar, . Se dice que es un campo conservativo. En tal caso:

Y por lo tanto:

Es decir, la integral de lnea es independiente de la trayectoria. Otra manera de expresar este resultado es: la integral.

Es independiente de la trayectoria si y slo si existe (x, y) tal que

De aqu se obtiene:

De forma grfica, las integrales de lnea del campo conservativo F desde el punto A al punto B sobre las trayectorias y son iguales: , cuando es conservativo.

Tambin es posible realizar la integral pero ahora sobre la trayectoria cerrada compuesta por los segmentos AB sobre y BA sobre , este ultimo en el sentido contrario al indicado en la figura anterior:

Es decir, la integral de lnea de un campo conservativo sobre una trayectoria cerrada es igual a cero.

Este mismo anlisis tambin es aplicable al caso de campos vectoriales conservativos en ,

En resumen, es conservativo cuando:

es independiente de la trayectoria.

= 0

x =

TEOREMA DE GREEN

INTRODUCCIN:

George Green: matemticobritnico, su trabajo influenci notablemente el desarrollo de importantes conceptos enfsica. Entre sus obras ms famosas se cita: "Un anlisis de las aplicaciones del anlisis matemtico a las teoras de la electricidad y el magnetismo" publicado en1828. En este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de potencial utilizados comnmente en la formulacin matemtica de la fsica. Tambin aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes delteorema de Green.El teorema de Greenda la relacin entre unaintegral de lneaalrededor de una curva cerrada simpleCy unaintegral doblesobre la regin planaDlimitada porC. El teorema de Green se llama as por el cientfico britnicoGeorge Green, y resulta ser un caso especial del ms generalteorema de Stokes.

DEFINICIN:El teorema de Green proporciona la correspondencia entre una integral de lnea alrededor de una curva simple cerrada C y una integral doble sobre la regin plana D limitada por C. En el planteamiento del teorema de Green se usa la convencin de que la orientacin positiva de una curva simple cerrada C se refiere a un recorrido sencillo de C en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por lo tanto si C est definida por la funcin vectorial r(t), a t b, entonces la regin D est siempre a la izquierda cuando el punto r(t) recorre C

a) Orientacin positiva b) Orientacin negativaTEOREMA DE GREEN: Sea C una curva simple, cerrada por segmentos con orientacin positiva en el plano y sea D la regin que delimita C. si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que contiene a D, tenemos:

Algunas veces, la notacin

Se usa para sealar que la integral de lnea se calcula usando la orientacin positiva de la curva cerrada C. Otra notacin para la curva limite o frontera con orientacin positiva de c es , de modo que la ecuacin en el teorema de Green se puede escribir como

El teorema de Green se considera como el teorema fundamental del clculo para las integrales dobles. DEMOSTRACIN DEL TEOREMA DE GREEN PARA EL CASO EN EL CUAL D ES UNA REGIN SIMPLEEste teorema no es fcil de demostrar pero se puede dar la demostracin del caso especial donde la regin es simple.El teorema de Green quedar demostrado si se prueba que:

Para demostrar la ecuacin 1 expresamos D como una regin tipo I

Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuacin 1 descomponiendo C como la unin de las cuatro curvas C1, C2,C3 y C4 como se muestra en la figura C1 tomamos x como parmetro y escribimos las ecuaciones paramtricas como:

Entonces:

Observe que C3 va de derecha a izuiera, pero C3 va de izquierda a derecha, se modo que podemos escribir las ecuaciones paramtricas de C3 como x x y

Por lo tanto:

Se cumple que aun para regin S que tengan uno o ms hoyos, siempre que cada parte de la frontera este orientada de modo que S quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su direccin positiva. Basta con descomponer en regiones ordinarias.

APLICACIN DEL TEOREMA DE GREEN:

Es muy til porque relaciona una integral de lnea a lo largo de la frontera de una regin con una integral de rea sobre el interior de la regin o viceversa:

Podemos usar el teorema para obtener una frmula para calcular el rea de una regin acotada por una curva cerrada simple. Esto es:

SiP(x , y) = -yQ(x , y) = x, entonces:

CONSIDERACIONES:

El teorema de Green no es aplicable a todas las integrales de lnea. Entre otras restricciones especificadas en el teorema, la curva C ha de ser cerrada y simple.