PRACTICA DIRIGIDA.- Aplicaciones de la derivada

I. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas .Fundamentar su respuesta en cada caso.1) Si f es una función continua definida sobre un intervalo [a , b ] , el valor mínimo

relativo de f es el valor más pequeño que asume f sobre ese intervalo .2) Si f ´ ( c ) = 0 o no existe f ´ ( c ) entonces f ( c ) es un extremo de f3) Si f está definida en u intervalo abierto que contiene al punto c y si f (c ) es un

extremo de f, entonces la gráfica de f tiene una tangente horizontal o vertical en ( c , f ( c ) ) .

4) La función no tiene extremos II. Hallar los números críticos de la función dada

1) f (x ) = 2x ² - x4

2) f (x ) = 3 x4 – 4x3 – 12x3) f (x ) = 3x 5 + 20 x3

4) f (x ) = 5) f (x ) = xe3x

6) f (x ) = x - SenxIII. Hallar los valores máximos y mínimos absolutos alcanzados por la función en el intervalo

cerrado que se indica .

1) f (x ) = 3x ² - 12x + 5 [ 0 , 3 ] 2) f (x ) = x3 – 3x ² - 9x [ - 2 , 5 ]

3) f ( x ) = [ - 2 , 2 ]4) f (x ) = - x4 + 4x3 – 4x + 1 [ - ¾ , 3 ]5) f ( x ) = x2/3 ( 3 – x ) [ - 2 , 2 ]

6) f ( x ) = [ - 1 , 3 ]7) f ( x ) = x – 2 Cos x [ - , ]8) f ( x ) = 4x – 4 ln x [ 2 , 5 ]9) f ( x ) = 2x + e-2x [ - 2 , 3 ]

10) f ( x ) =

IV. Demostrar:

1) El teorema del valor extremo2) El teorema de Fermat suponiendo que f ( c ) es un valor máximo3) Si f tiene un mínimo en c entonces ( – f ) tiene un valor máximo en c

V. Resolver los siguientes problemas:

1) Entre dos postes de 5 y 3 metros de alto, respectivamente, hay una separación de 150 metros. Desde un punto P, intermedio entre ambos postes, se debe tender un cable hasta la parte superior e ambos postes. a) ¿A qué distancia del poste mas alto debe ubicase P para que la longitud total del cable sea mínima? . b) Demostrar que independientemente de la altura de los postes, la longitud del cable será mínima si los ángulos que forman la horizontal y el cable son iguales.

2) ¿Cuál es la mayor área posible de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm de largo?

3) La altura máxima de un cuerpo que se mueve verticalmente está dada por

S ( t ) = . g > 0 , S en metros y t en segundos Determinar la altura máxima del cuerpo.

VI. Comprobar el teorema de Rolle para la función f en el intervalo indicado

1. ; [ 0 , 1 ] 2) ; [ - 2 , 2 ]

3. ;[ -6 , 0 ] 4) ; [ 0 , 4 ]VII. Resolver

1. Si f ( x ) = Tan (x) , f ( 0 ) = 0 = f ( ) ¿ Puede asegurarse que la gráfica de f tiene una tangente horizontal en un punto P ( c , f ( c ) ) para un número c entre 0 y ?

2. Si f ( x ) = , demostrar que f ( 0 ) = f ( 2 ) , pero no existe un número c entre 0 y 2 tal que f ´ ( c ) = 0 . ¿ Por qué esto no contradice al teorema de Rolle?

VIII. Comprobar el teorema del valor medio para la función f en el intervalo indicado

1. ; [ 0 , 2 ] 2) ; [ 0 , 1 ]

3. ; [ 0 , 2 ] 4) ; [ -1 , 8 ] IX. Resolver los siguientes problemas:

1. Hallar un punto sobre la gráfica de f donde la tangente sea paralela a la secante que pasa por los puntos extremos de la gráfica de f , si f (x) = x ² en [ 1 , 2 ]

2. Si .Determinar los valores medios en el intervalo [ 0 , 2 ]3. Demostrar que la ecuación cúbica x 3 –3x + k = 0 tiene solamente una raíz en el intervalo [ -

1 , 1 ] , cualquiera que fuese el valor de k .4. Probar que la ecuación x 4 +3x + 1= 0 tiene una sola raíz en el intervalo [ -2 , -1 ]

5. Probar que la gráfica de la función corta al eje x una sola vez.6. Demostrar que la ecuación x 5+ 10x +3 = 0 tiene una y solo una raíz real .

7. Demostrar que la ecuación 2x – Cos ² x + = 0 tiene una sola raíz8. Probar que la ecuación x ² = x Sen (x) + Cos (x) , tiene dos raíces reales .

9. Si f ( 5 ) = 3 y si en [ 0 , 6] ¿ Cuál es el menor valor que puede alcanzar f(6) ?10. Si f ´ ( x ) = 3 , para cualquier valor de x , y si f ( -1 ) = 7 . Hallar f ( x ) 11. Si f ´ ( x ) = 4x ² , para todo valor real de x , y si f ( 1 ) = 3 . Hallar f ( 5 )

12. Si Sen (x) X. En relación con las funciones cuyas derivadas se dan a continuación , responder a las

siguientes interrogantes :a) ¿Cuáles son los números críticos de f?b) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente?c) ¿En qué puntos f alcanza sus valores máximos y mínimos relativos?

1) f ´ ( x ) = x ( x – 2 ) 2) f ´ ( x ) = ( x+ 3 ) ( x² – 4 ) 3)f ´ ( x ) = ( x – 5 ) ( x – 2 )² ( x ² - 9 ) 4)f ´ ( x ) = x –1/3 ( x + 1 )

5) 6) XI. Para cada una de las siguientes funciones

a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento b) Hallar los números críticos c) Determinar los máximos y mínimos de la función utilizando tanto el criterio de la

primera derivada como el de la segunda derivada ( cuando es posible )d) Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la curva.

1) f ( x ) = x 3 -3x 2 2) f ( x ) = 3x 4 – 4x 3– 12 x ² 3)

4) 5) 6) f (x) = x + Cos x

a. 8) XII. Esbozar la gráfica de la función que satisfice las siguientes condiciones

1) f ( -2) = 8 , f ( 0 ) = 4 , f ( 2 ) = 0 , f ´( x) > 0 si x > 2 x < - 2 , f ´ (2) = f ´(- 2) = 0 , f ´ (x) < 0 si – 2 < x < 2 , f ´´ (x) < 0 si x < 0 , f ´´ (x) > 0 si x > 0 .

2) f ( - 3 ) = 2 , f ( 2 ) = - 4 , f ´ ( x ) > 0 y f ´´ ( x ) > 0 para 2 < x < 5 x < - 3, f ´´ (2 ) = 0 , f ´ ( x) < 0 y f ´´ ( x ) < 0 para – 3 < x < 2

XIII. Resolver los siguientes problemas:

1) Si , hallar los números reales a y b si f tiene un mínimo relativo en el número x = 2 además f ( 2 ) = 12.

2) Determinar los números reales a , b , c y d si la gráfica de la función

sea tangente al eje x en ( 2 , 0 ) y tenga un punto de inflexión en ( 0 , 4 )

XIV. Determinar los valores de k de tal manera que las rectas normales en los puntos de inflexión de la curva definida por f (x) = k ( x ² - 3 ) ² pasen por el origen de coordenadas .

I. Calcular los siguientes límites

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 8) 10)

11) 12) 13) 14)

15) 16) 15)

16)

XV. Bosquejar la gráfica de una función f que tenga las siguientes propiedades

1. a) f es continua en R

b) f (2 ) = - 3 , f ( 6 ) = 2

c) f ´ ( 2 )= 0 , f ´ ( 6 ) = 3 , f ´ ( x ) > 0 para x 2

d) f ´´ ( 6 ) = 0 , f ´´ ( x ) > 0 en 2 < x < 6 , f ´´ ( x ) < 0 para x > 6

2. a) Creciente y cóncava hacia abajo si x < - 3 y en ] –1 , 2 [

b) Decreciente y cóncava hacia arriba en – 3< x < -1 y en ] 5 , [

c) presenta máximos relativos en ( -3 , 1 ) y en ( 2, 2 )

d) presenta mínimos relativos en ( -1 , 0 ) , ( 4 , 1 ) y ( , 1 )

e) Decreciente y cóncava hacia abajo en ] 2 , 4 [

f) Creciente y cóncava hacia arriba en ] 4 , 5 [ y en ] , + [

g) L1 : x = 5 es asíntota vertical de la gráfica de f y L 2 : y = 2x – 10 es una asíntota oblicua a la derecha de la gráfica de f .

h) ( -1 , 0 ) y ( 4 , 1 ) son puntos de inflexión de la curva

XVI. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones, determinando el dominio, las intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, asíntotas, intervalos de monotonía, extremos relativos, intervalos de concavidad, puntos de inflexión y una pequeña tabulación

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

XVII. Resolver los siguientes problemas:

1. Si tres lados de un trapecio miden 10 cm cada uno .¿ Cuánto debe medir el cuarto lado para que el área sea máxima? .

2. Determinar las dimensiones r y h del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto de radio R y altura H.

3. Determinar el radio r y la altura h del cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en

una esfera de radio R . En la gráfica se formará un triángulo rectángulo con r y como sus

catetos y R como la hipotenusa. Mostar que la razón entre la altura del cilindro y su radio es

y que la razón entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro máximo es .4. Si un rectángulo de 36 cm de perímetro gira en torno a uno de sus lados, se forma un cilindro

circular recto. ¿ Cuál es el volumen máximo posible del cilindro? .5. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados tiene un vértice en el origen, uno

en el eje X positivo, uno en el eje Y positivo y su cuarto vértice en el primer cuadrante sobre la recta cuya ecuación es 2x + y = 100 ¿ Cuál es el área máxima posible de dicho rectángulo?

6. Determinar las dimensiones del rectángulo, con lados paralelos a los ejes coordenados , cuya

área sea máxima y que puede ser inscrito en la elipse .7. Considerar un arco circular de longitud S con extremos en el eje X . Mostrar que el área

acotada por este arco y el eje X es máxima cuando el arco circular tiene la forma de un semicírculo.

8. Hallar el área del mayor rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados que puede inscribirse en la región del plano limitada por las parábolas P1 : 3y = 12 – x ², P2 : 6y = x ² - 12 .

9. Hallar el punto de la curva 2y = x ² que se encuentra más próximo al punto (4, 1 ) .10. Demostrar que de todos los rectángulos que tienen un área dada, el cuadrado tiene el

menor perímetro.11. Un fabricante de cajas de cartón elabora cajas sin tapa a partir de piezas cuadradas de cartón

de 12 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Determinar la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán de modo que el volumen de la caja sea máximo.

12. Se va a producir una lata en forma de cilindro circular recto que contenga un litro de aceite de oliva. Encontrar las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.

13. Determinar la longitud de la varilla más larga que se puede cargar horizontalmente dando la vuelta a la esquina de un pasaje de 2 m de ancho hacia otro con un ancho de 4 m.

14. Si la resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto del ancho y el cuadrado de la altura de su sección transversal ¿Qué dimensiones debe tener una viga cortada de un tronco cilíndrico de 72 cm de radio, para tener la máxima resistencia?

15. Dos postes de 4 y 6 metros de alto se encuentran separados por una distancia de 7, 5 m . Se aseguran los postes con un cable metálico fijados en los extremos superiores de cada poste y en un punto en el suelo. ¿ A qué distancia del poste mas alto debe ubicarse el punto en el suelo para que la longitud del cable empleado sea la menor posible?.

16. Un fabricante de computadoras averigua que puede vender x equipos por semana a p nuevos soles cada uno , siendo 5x = 375 – 3 p . Si el costo de producción es dado por 500 +

15 x + x ² nuevos soles. ¿ Cuántos equipos debe vender por semana para maximizar su ganancia?

17. Un estudio de eficiencia indica que si un trabajador de cierta fábrica llega a las 8:00 am, habrá producido - x3 +6 x ² + 15 x artículos x horas más tarde. ¿En qué momento de la jornada empieza a decrecer el rendimiento del trabajador?

18. El costo de producción de x unidades de cierto artículo es c = x² + 62x + 125, y el precio

por unidad es p = 75 - x .a) ¿Qué producción diaria produce el máximo beneficio?b) ¿Qué producción diaria produce el mínimo costo?

19. Un fabricante de celulares carga 90 dólares por unidad mientras el costo medio de

producción ( ) es de 60 dólares por unidad. Para favorecer los grandes pedidos , reduce el precio en 0, 10 dólares por unidad para los pedidos que superen las 100 unidades ( por ejemplo si el pedido es de 150 celulares el costo unitario sería de 85 dólares cada uno) .¿ Cuál es el mayor tamaño del pedido que permite un máximo beneficio para el fabricante?.