ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

Facultad de Ingenieria Mecanica y Ciencias de la Produccion F.I.M.C.P.

LABORATORIO DE MECANICA DE SOLIDOS II

PRACTICA N 1

ENSAYO DE FLEXION

Perteneciente a:

Andres Santiago Flores Chaluis

Matricula:

200715738

Revisado por:

Ing. Alfredo Torres

Fecha de Realizacion de la Práctica:

Viernes 29 de Noviembre del 2013 Grupo 8:30-9:30

Fecha de entrega:

Viernes 12 de Diciembre del 2013

II TERMINO 2013-2014

TABLA DE CONTENIDO:

RESUMEN:.........................................................................................................2

JUSTIFICACION:................................................................................................3

INTRODUCCION:...............................................................................................3

EQUIPOS E INSTRUMENTACION:...................................................................3

PROCEDIMIENTOS REALIZADOS:..................................................................4

RESULTADOS:..................................................................................................4

ANALISIS DE RESULTADOS:...........................................................................4

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:.....................................................4

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:..................................................................4

APENDICE:.........................................................................................................4

RESUMEN:

En esta práctica tratamos principalmente la flexión de vigas, tomamos dos probetas de madera de diferente clase y las sometimos a una carga que gradualmente fue aumentando en la maquina utilizada para esta práctica, a medida que aumentamos la carga observamos cómo se comporta el material, vemos su resistencia máxima de falla, y analizaremos por cuál de los esfuerzos falló. Así mismo sabemos que la flexión se caracteriza por presentar esfuerzos de: corte, tensión y compresión. Para esta práctica nos hemos propuesto como objetivos usar los equipos en forma correcta, observar el comportamiento de la probeta sometido a una carga puntual, realizar las gráficas de comportamiento Momento vs. Radio de giro y analizar el material utilizado.

Palabras Clave: Tensión, Compresión, Cortante, Análisis, Comportamiento.

JUSTIFICACION:

La práctica de flexión es muy usada para determinar las propiedades de los materiales como son flexibilidad y técnicamente en aceros su ductilidad. Tendremos un módulo de elasticidad y una resistencia a la flexión. El ensayo de flexión se basa en la aplicación de una fuerza puntual y simplemente apoyada, para determinar la resistencia del material hacia una carga estática o aplicada lentamente. Normalmente se usa para materiales tenaces, y los más importante nos ayuda a determinar la magnitud de la fuerza a la cual el material fallara.

INTRODUCCION:

Flexión.- Las vigas al formar parte de sistemas estructurales como son los pórticos, los puentes y otros, se encuentran sometidas a cargas externas que producen en ellas solicitaciones de flexión, cortante y en algunos casos torsión. Ver fig. 1Un caso típico son las vigas, las que están diseñas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. El esfuerzo de flexión puro o simple se obtiene cuando se aplican sobre un cuerpo pares de fuerza perpendiculares a su eje longitudinal, de modo que provoquen el giro de las secciones transversales con respecto a los inmediatos. El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector.

Esfuerzos y deformaciones por flexión

Los momentos flectores son causados por la aplicación de cargas normales al eje longitudinal del elemento haciendo que el miembro se flexione. Dependiendo del plano sobre el que actúen las fuerzas, de su inclinación con respecto al eje longitudinal y de su ubicación con respecto al centro de cortante de la sección transversal del elemento, se puede producir sobre  este flexión simple, flexión pura, flexión biaxial o flexión asimétrica.

Flexión Pura

La flexión pura se refiere a la flexión de un elemento bajo la acción de un momento flexionante constante. Cuando un elemento se encuentra sometido a flexión pura, los esfuerzos cortantes sobre él son cero. Un ejemplo de un elemento sometido a flexión pura lo constituye la parte de la viga entre las dos cargas puntuales P.

 El diagrama de cortantes (V) ilustra que en la parte central de la viga no existen fuerzas cortantes ya que está sometida únicamente a un momento constante igual a P.d . Las partes de longitud d no se encuentran en flexión pura puesto que el momento no es constante y existen fuerzas cortantes.

Para poder determinar los esfuerzos producidos en un elemento sometido a flexión, es necesario realizar primero un estudio de las deformaciones normales producidas sobre la sección transversal del elemento.

Flexión Simple

En la vida práctica son pocos los elementos que se encuentran sometidos a flexión pura. Por lo general los miembros se encuentran en flexión no uniforme lo que indica que se presentan de forma simultánea momentos flectores y fuerzas cortantes. Por lo tanto se hace necesario saber que sucede con los esfuerzos y las deformaciones cuando se encuentran en esta situación. Para ello se deben conocer las fuerzas internas que actúan sobre los elementos determinándolas para la obtención de los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes que actúan sobre un elemento dado. 

 Flexión Biaxial

La flexión biaxial se presenta cuando un elemento es sometido a cargas que actúan sobre direcciones que son oblicuas a los ejes de simetría de su sección transversal. Un ejemplo lo constituye la viga en voladizo de la siguiente figura sometida a la acción de una carga P, cuya dirección es oblicua a los ejes de simetría.

Sobre esta,  se presentan además de los momentos flectores, fuerzas cortantes.

Para  analizar los esfuerzos causados por flexión  se descompone  la fuerza P en cada uno de los ejes de simetría de la sección transversal para realizar un análisis de flexión por separado para cada dirección y luego superponerlos para determinar los esfuerzos y deflexiones totales.

Flexión Asimétrica Pura

Para el análisis de esta se debe estudiar  el comportamiento de miembros sometidos a flexión pura de sección transversal asimétrica, considerando que "cuando una viga asimétrica se encuentra sometida a flexión pura, el plano del momento flexionante es perpendicular a la superficie neutra sólo si los ejes centroidales de la sección transversal son los ejes principales de la misma".

Los ejes principales son aquellos con respecto a los cuales la sección transversal presenta sus momentos de inercia máximo y mínimo, siendo, El producto de inercia para estos es cero.

Por tanto si un momento flexionante actúa en uno de los planos principales, este plano será el plano de flexión y se podrá aplicar la teoría de flexión vista anteriormente (s=Mc/I).

EQUIPOS E INSTRUMENTACION:

En esta práctica para realizar los respectivos ensayos de flexión utilizamos los siguientes materiales y equipos mencionados.

Máquina Universal de Ensayos Instrom 8001 Modelo 1128

Regla Lápiz Dos probetas de madera, una de Guayacán Blanco y otra de Samán de 40cm de

longitud y de 5 x 5 cm. de lado Equipo de adquisición de datos y software.

a las respectivas probetas, se utilizó la Maquina Universal de Ensayos marca INSTRON, la cual estaba programada para obtener los respectivos valores de la fuerza aplicada cada 0,5 segundos y con una velocidad de avance de 10mm/seg. En resumen estas máquinas cuentan con modalidades de control para ensayos bajo carga de ensayo constante, velocidad constante, mantenimiento de la carga, mantenimiento del desplazamiento, etc. En la pantalla se muestran los datos y curva del ensayo. Los datos se almacenan y administran como base de datos, para luego ser enviados a cada estudiante para la respectiva elaboración del reporte.

PROCEDIMIENTOS REALIZADOS:

Para la práctica primero encender la máquina y debemos normalizar la máquina, es decir configurar las unidades, el tiempo y velocidad con la que vamos a trabajar y aumentar la carga de aplicación.Una vez encendida y normalizada dejamos por lo menos un tiempo de 30 minutos encendida y sin manipular, para que esta se caliente y bombee aceite hacia el cabezal superior de la Maquina Universal. Medimos la longitud y área transversal de la probeta, calculamos área e inercia de antemano, ya que utilizaremos más adelante.Programamos la maquina a 0,5 segundos el aumento de carga y con una velocidad constante de avance programada de 100 mm/seg. Colocamos la carga uniformemente, esta estará ubicada en el centro de la probeta a una distancia media entre los apoyos. Ver fig. 2Aumentamos la carga hasta que la probeta se fracture, se debe cerrar la válvula de carga, y se debe registrar la cara máxima indicada por la máquina.Finalmente medimos el ángulo del plano en el que fallo la probeta. Repetimos los pasos anteriores para la segunda probeta.

RESULTADOS:

A continuación daremos una forma de los resultados obtenidos de unos cuantos datos, los cuales se hallaron aplicando las fórmulas de flexión, así como la tabla de datos de las probetas.

N h (cm) b (cm) A (cm2) L (cm)1 5 5 25 502 5 5 25 50

Tabla#1. Dimensiones de las probetas, siendo 1 para el guayacán blanco y 2 para el saman.

Los cálculos, gráficas y demás tablas las podremos encontrar en el apéndice de este reporte.Datos:V= 10 mm/min =0.00016 m/s constantet= 0.5 s varia hasta que la probeta falle en 0.5 s.M= F.d momento

Deflexión.

ρ= l2

48δ y

Medición 1 probeta Guayacán Blanco

F=9.8 * 3 = 29.4 N dy = 0.00016 * 0.5 = 0.00008333 m

M= 29.4 * 0.1= 2.94 N.m

ρ= 0.42

48∗0.0000833=160 m

E=7,04311

12bh3

= 7,0431

(1

12)(0,05)(0,053)

=13.5 x106N

Como vemos calculamos el módulo de Young y nos sale un aproximado con el teórico que consultando para el Guayacán Blanco.

Así continuamos con todos los datos y hacemos el mismo procedimiento para la probeta de Samán, una vez hecho la tabla para graficar debemos linealizar sacando ln al Momento y al radio de giro, graficamos y analizamos las gráficas, es decir calculamos el Módulo de Young y encontramos el esfuerzo máximo al cual se produce la rotura.

ANÁLISIS DE RESULTADOS:

Los resultados varían ya que nosotros como personas siempre cometemos un cierto numero de errores al transcurso de la practica, los valores indicados son netamente experimentales, asemas que se introducen errores sistemáticos y de medición, hemos omitido una gran parte de números decimales en ciertas parte para ahorrarnos espacio y tiempo. Para la toma de deformación por flexión se tomara poco a poco ya que el material tiene que primero establecerse para poder saber si este falla de entrada o que puede resistir una falla luego de la aplicación de las fuerzas.El análisis muestra que la madera soporta una gran carga, suficiente para trabajar con cargas moderadas, podemos ver como varia el comportamiento de la probeta a medida que aumenta la carga, se puede observar en la gráfica, luego de linealizar la curva observamos cómo se comporta linealmente y con la ecuación de la recta podemos encontrar el módulo de Young, igualando la intersección con el eje y.

Deformación:δ=hk= yd θ

Donde la deformación unitaria es:

ϵ= δL= ydθef

= ydθρdθ

= yρ

Por ley de Hooke:

σ=Eϵ=Eρy

Considerando un elemento sometido a flexión, es importante que se mantenga el equilibrio entre el momento flector en z, y el momento que los esfuerzos crean en z, entonces tenemos:

M=∫ y (σdA )= Eρ∫ y

2dA= EIρρ=f (δ y )

ρ=f (δ y )= EIM

ρ se puede determinar mediante:

ρ=k2+¿¿¿¿

L

+¿= L

2+4δ yh

¿

El momento flector se puede determinar por estática siempre en el punto medio. Para comprobar nuestros resultados aplicamos la ecuación para la deflexión, en el caso de una viga simplemente apoyada con la aplicación de una fuerza en el centro, evaluada en el centro de la viga.

δ y=M l2

48 EI

ρ= l2

48δ y

La deformación producida por flexión donde la relación anterior se cumpla, podría considerarse como la zona elástica del material, entonces se puede calcular la carga máxima admisible en la cual se puede decir que la deformación se puede recuperarse al quitar la carga. Al continuar con el ensayo llegaremos al punto en el que deberemos determinar el esfuerzo máximo de rotura, conocido como la resistencia de rotura, este es uno de los parámetros más importantes que nos arroja este tipo de ensayos, deberá realizarse un análisis del esfuerzo máximo en las condiciones que la carga máxima deje a la probeta ensayada.

Se calculó la carga crítica para la columna, el valor máximo de carga que esta puede soportar.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:

Al finalizar la práctica se pudo concluir de forma exitosa, ya que logramos determinar el módulo de Young del material, además observamos cómo se comporta la viga sometida a una carga puntual simétrica a su longitud y simplemente apoyada, utilizamos en forma adecuada los instrumentos de medición y seguimos las normas de seguridad señaladas para la correcta realización de la práctica.

Si P disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M, vuelve a disminuir, etc., y la columna termina por enderezarse por completo. Así, pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada.

Se recomienda no aplicar una carga grande al comienzo de la toma de datos ya que la probeta puede fallar y no se percata cual fue el proceso que ésta puedo tener, si se agregasen cargas pequeñas y luego las mayores.

Se recomienda no utilizar las probetas con grasa, llevar el equipo adecuado y de seguridad.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

http://www.fing.edu.uy/iet.old/areas/estructuras/resist_mat_2n/teorico/pandeo.pdf Resistencia de materiales, SINGER Y PYTEL 4ta EDICION Mecánica de Solidos, IGOR POPOV http://www.dessci.com/en/products/mathtype/?utm

APÉNDICE:

Demostración de ρ en función de δ y

σ=Eϵ=Eρy

M=∫ y (σdA )= Eρ∫ y

2dA= EIρρ=f (δ y )

ρ=f (δ y )= EIM

ρ=k2+¿¿¿¿

L

+¿= L

2+4δ yh

¿

δ y=M l2

48 EI

ρ= l2

48δ y

Fig. 1

Fig. 2 fig. 2

TABLA DE DATOS PARA LA PROBETA 1 GUAYACÁN BLANCO

V(m/s) F(N) t(s) M(N.m) ρ(m) δy(m) Ln(M) Ln(ρ)0,0001666

6 29,4 0,5 2,94 160,0064 0,00008333 1,078409581 5,075213820,0001666

6 568,4 1 56,84 80,0032001 0,00016666 4,040240303 4,382066640,0001666

6 1136,8 1,5 113,68 53,3354668 0,00024999 4,733387484 3,976601530,0001666

6 1097,6 2 109,76 40,0016001 0,00033332 4,698296164 3,688919450,0001666

6 1068,2 2,5 106,82 32,0012801 0,00041665 4,671145175 3,46577590,0001666

6 1068,2 3 106,82 26,6677334 0,00049998 4,671145175 3,283454350,0001666

6 1068,2 3,5 106,82 22,8580572 0,00058331 4,671145175 3,129303670,0001666

6 1127 4 112,7 20,0008 0,00066664 4,724729421 2,995772270,0001666

6 1244,6 4,5 124,46 17,7784889 0,00074997 4,823984379 2,877989240,0001666

6 1352,4 5 135,24 16,00064 0,0008333 4,907050978 2,772628720,0001666

6 1460,2 5,5 146,02 14,5460364 0,00091663 4,983743599 2,677318540,0001666

6 1548,4 6 154,84 13,3338667 0,00099996 5,042392326 2,590307170,0001666

6 1656,2 6,5 165,62 12,3081846 0,00108329 5,109696008 2,510264460,0001666

6 1744,4 7 174,44 11,4290286 0,00116662 5,161580843 2,436156490,0001666

6 1822,8 7,5 182,28 10,6670934 0,00124995 5,205543966 2,367163610,0001666 1920,8 8 192,08 10,0004 0,00133328 5,257911952 2,30262509

60,0001666

6 2028,6 8,5 202,86 9,41214119 0,00141661 5,312516086 2,242000470,0001666

6 2126,6 9 212,66 8,88924446 0,00149994 5,359694646 2,18484206

Tabla#2. Tabla de datos correspondientes a la probeta #1 (Guayacán Blanco)

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.50

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.5

f(x) = − 0.749958923023648 x + 7.04014332280413

M(N.m) vs ρ(m)

Rdio de giro ρ(m)

MO

MEN

TO (N

.m)

Figura#1. Grafica M vs ρ para la probeta de Guayacán Blanco.

Tomamos como longitud total L=40cm. para encontrar el módulo de Young debemos dividir el intersecto con el eje y de la recta para la inercia de la viga, en este caso de la sección transversal. Podemos observar con atención que en la ecuación de la recta el término libre es 7.0431, este seria el intersecto y dividimos.

E=7,04311

12bh3

= 7,0431

(1

12)(0,05)(0,053)

=13.5 x106N

Ahora para calcula el máximo esfuerzo, es decir el esfuerzo al que falla el material, tomamos la carga mas alta, que para este caso es:

0,00016666 9437,4 69,5 943,74

1,15112518

0,01158287

6,849850704

0,14073988

Pa esfuerzo máximo al que se produce la rotura.

TABLA DE DATOS PARA EL SAMÁN.

V(m/s) F(N) t(s) M(N.m) ρ(m) δy(m) Ln(M) Ln(ρ)0,00016666 274,4 0,5 27,44 160,0064 0,000083330,00016666 617,4 1 61,74 80,0032001 0,000166660,00016666 715,4 1,5 71,54 53,3354668 0,000249990,00016666 686 2 68,6 40,0016001 0,000333320,00016666 656,6 2,5 65,66 32,0012801 0,000416650,00016666 686 3 68,6 26,6677334 0,00049998 4,22829253 3,283454350,00016666 774,2 3,5 77,42 22,8580572 0,00058331 4,34924515 3,129303670,00016666 872,2 4 87,22 20,0008 0,00066664 4,46843366 2,995772270,00016666 950,6 4,5 95,06 17,7784889 0,00074997 4,55450827 2,877989240,00016666 1038,8 5 103,88 16,00064 0,0008333 4,64323639 2,772628720,00016666 1117,2 5,5 111,72 14,5460364 0,00091663 4,71599574 2,677318540,00016666 1195,6 6 119,56 13,3338667 0,00099996 4,78381834 2,590307170,00016666 1323 6,5 132,3 12,3081846 0,00108329 4,88507207 2,510264460,00016666 1401,4 7 140,14 11,4290286 0,00116662 4,94264192 2,436156490,00016666 1479,8 7,5 147,98 10,6670934 0,00124995 4,99707713 2,367163610,00016666 1558,2 8 155,82 10,0004 0,00133328 5,04870149 2,302625090,00016666 1646,4 8,5 164,64 9,41214119 0,00141661 5,10376127 2,242000470,00016666 1744,4 9 174,44 8,88924446 0,00149994 5,16158084 2,184842060,00016666 1852,2 9,5 185,22 8,42138949 0,00158327 5,22154431 2,130774840,00016666 1950,2 10 195,02 8,00032001 0,0016666 5,27310212 2,079481540,00016666 2048,2 10,5 204,82 7,61935239 0,00174993 5,32213154 2,030691380,00016666 2136,4 11 213,64 7,27301819 0,00183326 5,36429236 1,984171360,00016666 2234,4 11,5 223,44 6,95680001 0,00191659 5,40914292 1,93971960,00016666 2342,2 12 234,22 6,66693334 0,00199992 5,45626084 1,897159990,00016666 2459,8 12,5 245,98 6,40025601 0,00208325 5,50525023 1,856337990,00016666 2548 13 254,8 6,15409232 0,00216658 5,54047892 1,817117280,00016666 2646 13,5 264,6 5,92616297 0,00224991 5,57821925 1,779376950,00016666 2744 14 274,4 5,71451429 0,00233324 5,6145869 1,743009310,00016666 2851,8 14,5 285,18 5,51746208 0,00241657 5,65312056 1,707917990,00016666 2979,2 15 297,92 5,33354668 0,0024999 5,69682499 1,674016430,00016666 3087 15,5 308,7 5,16149678 0,00258323 5,73236993 1,641226610,00016666 3185 16 318,5 5,00020001 0,00266656 5,76362248 1,609477910,00016666 3283 16,5 328,3 4,8486788 0,00274989 5,79392782 1,57870625

0,00016666 3381 17 338,1 4,7060706 0,00283322 5,82334171 1,548853290,00016666 3537,8 17,5 353,78 4,57161144 0,00291655 5,86867525 1,519865750,00016666 3645,6 18 364,56 4,44462223 0,00299988 5,89869115 1,491694880,00016666 3743,6 18,5 374,36 4,3244973 0,00308321 5,9252179 1,46429590,00016666 3851,4 19 385,14 4,21069474 0,00316654 5,9536069 1,437627660,00016666 3949,4 19,5 394,94 4,10272821 0,00324987 5,97873385 1,411652170,00016666 4067 20 406,7 4,00016001 0,0033332 6,00807581 1,386334360,00016666 4204,2 20,5 420,42 3,90259513 0,00341653 6,04125421 1,361641750,00016666 4312 21 431,2 3,8096762 0,00349986 6,06657202 1,3375442

GRAFICA DEL COMPORTAMIENTO DEL SAMÁN.

-1.5-1.25 -1

-0.75-0.5

-0.25 00.25 0.5

0.75 11.25 1.5

1.75 22.25 2.5

2.75 33.25 3.5

3.750

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

5.56

6.57

7.58

f(x) = − 0.356254171207996 ln(x) + 6.21681783658842R² = 0.498795497207504f(x) = − 0.562158723843912 x + 6.87757474041533

M(N.m) vs ρ(m)

radio de giro ρ(m)

Mom

ento

(N.m

)

De igual manera tomamos el punto de intersección con el eje y para calcular el módulo de Young de la segunda probeta.

E=6.87761

12b h3

= 6.8776

(1

12)(0,05)(0,053)

=13.2x 106N

Ahora para calcula el máximo esfuerzo, es decir el esfuerzo al que falla el material, tomamos la carga mas alta, que para este caso es:

0,00016666 13808,2 234 1380,82 0,34189402 0,03899844 7,2304328-

1,07325448

Pa Esfuerzo máximo al que se produce la rotura.

1. CUESTIONARIO.

La pregunta 6, vale 50% del cuestionario.1. ¿A qué se le denomina flexión pura?

La flexión pura se refiere a la flexión de un elemento bajo la acción de un momento flexionante constante.

2. ¿Cree que es posible obtener flexión pura en una estructura de la vida real?No, ni aun en el caso de un ejemplo ideal dado en clase se puede obtener una flexion pura, esto es un poste sometido a un momento externo debido al peso del letrero.

3. Demuestre la fórmula:

δ y=M l2

48 EI

Condiciones.

Ymax ocurre en L/2 Por lo tanto:

4. Analice las hipótesis que se toman para su deducción, porque el resultado varía tanto de la encontrada por geometría.

Las hipótesis tomadas son de una viga sometida a carga puntual y simétrica, de las condiciones de borde dadas y con doble integración obtenemos el resultado, ya que la máxima deflexión ocurre en l/2

5. ¿Qué sucede en un metal si es sometido a flexión, como sería su falla, que pasaría con su microestructura?Los metales generalmente fallan por tensión, su microestructura colapsa y se ro,pe en planos inclinados.

NOMBRE: Máquina Universal de EnsayosMODELO: 1128SERIE: 8001MARCA DEL EQUIPO: Instrom CÓDIGO DE INVENTARIO: 1418