Libro guía:

Beer F., et al., Mecánica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012.

Notas de clase realizadas por:

J. Walt Oler Texas Tech University

Traducidas y modificadas por:

M. Ing. Jónatan Pozo PalaciosUniversidad Politécnica Salesiana

Análisis y diseño de vigas para flexión

Introducción

5 - 2

ITCSoftware, Automotive System Analysis, Recuperado el 28 de abril del 2014,

http://www.itcsoftware.com/general_finite-eg-automotive.htm

Constellium, Other vehicle safety components, Recuperado el 28 de abril del

2014, http://www.constellium.com/aluminium-products/automotive-structures/automotive-system-solutions/other-vehicle-safety-components

Introducción

5 - 3

• Vigas.- elementos que soportan cargas transversales en uno o varios puntos.

• Objetivo.- análisis y diseño de vigas.

• Las cargas transversales de vigas se clasifican como concentradas y distribuidas.

• Las cargas aplicadas resultan en fuerzas internas que consisten en una fuerza cortante y un momento flexionante.

• El esfuerzo normal es generalmente el criterio de diseño critico.

S

M

I

cM

I

Mymx

Se requiere la determinación de la ubicación y la magnitud del momento flexionante máximo.

Introducción

5 - 4

Clasificación de soportes de vigas

Diagramas de cortante y momento flexionante

5 - 5

• La determinación del esfuerzo normal y cortante máximos requiere de la identificación del cortante máximo y del momento flexionante máximo.

• La fuerza cortante y el momento flexionante en un punto se determinan al pasar una sección transversal en la viga y aplicar un análisis de equilibrio en el tramo izquierdo o derecho.

• La convención de signos para las fuerzas cortantes V y V’ y los momentos flexionantes M and M’ es la siguiente:

Problema de muestra 5.1

5 - 6

Para la viga de madera y la carga mostrada, dibujar el diagrama de cortante y momento flexionante.

Determinar el esfuerzo normal máximo debido a flexión.

Solución:

• Tratando a la viga como un cuerpo rígido, determinar las fuerzas de reacción.

• Identificar el cortante y el momento flexionante máximo a partir de las gráficas de su distribución.

• Aplicar las formulas elásticas de flexión para determinar el correspondiente esfuerzo normal.

• Cortar la viga en puntos cercanos a los soportes y a lugares de aplicación de cargas. Aplicar un análisis de equilibrio en los diagramas de cuerpo libre resultantes para determinar las fuerzas cortantes internas y los momentos flexionantes.

Problema de muestra 5.1

5 - 7

Solución:

• Tratando a toda la viga como un cuerpo rígido, determinar las fuerzas de reacción:

kN14kN46:0 DBBy RRMF

• Cortar la viga y aplicar un análisis de equilibrio en cada uno de los tramos:

00m0kN200

kN200kN200

111

11

MMM

VVFy

mkN500m5.2kN200

kN200kN200

222

22

MMM

VVFy

0kN14

mkN28kN14

mkN28kN26

mkN50kN26

66

55

44

33

MV

MV

MV

MV

Problema de muestra 5.1

5 - 8

• Identificar el cortante y el momento flexionante máximos en las gráficas.

mkN50kN26 Bmm MMV

• Aplicar las fórmulas de flexión elástica para determinar el esfuerzo normal máximo.

36

3

36

2612

61

m1033.833

mN1050

m1033.833

m250.0m080.0

S

M

hbS

Bm

Pa100.60 6m

Trabajo en clase

5 - 9

Para la viga de madera y la carga mostrada, dibujar el diagrama de cortante y momento flexionante.

Problema de muestra 5.2

5 - 10

La estructura mostrada está construida con vigas de acero rolado tipo W10x112. (a) Dibujar los diagramas de cortante y momento flexionante para la viga y la carga dadas. (b) Determinar el esfuerzo normal en la viga justo a la izquierda y a la derecha del punto D.

Solución:

• Reemplazar la carga de 10 kip con un sistema equivalente de fuerzas y momentos en el punto D. Encontrar las reacciones en B al considerar a la viga como un cuerpo rígido.

• Cortar la viga cerca de los soportes y de los puntos de aplicación de las cargas. Aplicar un análisis de equilibrio en cada tramo de la viga para determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes internos.

• Aplicar las formulas de flexión elástica para determinar el esfuerzo máximo normal a la izquierda y a la derecha del punto D.

Problema de muestra 5.2

5 - 11

Solución:

• Reemplazar la carga de 10kip con un sistema de cargas y momentos en el punto D. Encontrar las reacciones en B.

• Cortar la viga y aplicar un análisis de equilibrio en cada tramo.

ftkip5.1030

kips3030

:

221

1

xMMxxM

xVVxF

CtoADe

y

ftkip249604240

kips240240

:

2

xMMxM

VVF

DtoCDe

y

ftkip34226kips34

:

xMV

BtoDDe

Problema de muestra 5.2

5 - 12

• Aplicar las formulas de flexión elástica para determinar el esfuerzo normal a la izquierda y a la derecha del punto D.

De la apéndice C para el perfil W10x112, S = 126in3 en el eje X-X.

3

3

in126

inkip1776

:

in126

inkip2016

:

S

M

DdederechalaA

S

M

DdeizquierdalaA

m

m

ksi0.16m

ksi1.14m

Problema de muestra 5.3

5 - 13

Dibujar el diagrama de cortante y de momento flexionante para la viga y la carga mostradas.

Solución:

• Tomando toda la viga como un cuerpo libre determinar las reacciones en A y D.

• Aplicar la relación entre carga y cortante para desarrollar el diagrama de cortante.

• Aplicar la relación entre momento flexionante y cortante para desarrollar el diagrama de momento flexionante.

Problema de muestra 5.3

5 - 14

Solución:

• Tomando en cuenta a toda la viga como un cuerpo libre, determinar las reacciones en A y D.

kips18

kips12kips26kips12kips200

0F

kips26

ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240

0

y

y

y

A

A

A

D

D

M

• Aplicar la relación entre cortante y carga para desarrollar el diagrama de cortante.

dxwdVwdx

dV

- Pendiente cero entre cargas concentradas.

- Variación lineal sobre un segmento con carga distribuida.

Ejercicio

5 - 15

Ejercicio

5 - 16

Diseño de vigas prismáticas para flexión

5 - 17

• Entre las diferentes secciones transversales disponibles que tienen un módulo de sección aceptable, aquella que tiene el menor peso por unidad de longitud o menor área transversal es la mejor elección.

• El esfuerzo normal máximo se encuentra en la superficie donde el momento máximo ocurre.

S

M

I

cMm

maxmax

• Un diseño seguro requiere que el esfuerzo normal máximo sea menor al esfuerzo permisible para el material usado. Este criterio nos lleva a la determinación del módulo de sección mínimo aceptable.

all

allm

MS

maxmin

Problema de muestra 5.8

5 - 18

Una viga de acero simplemente apoyada soporta la carga distribuida y la carga puntual mostrada. Sabiendo que el esfuerzo permisible para el acero utilizado es de 160 MPa, seleccionar la viga de patín ancho que debe ser utilizada.

Solución:

• Considerar toda la viga como un cuerpo libre, determinar las reacciones en A y D.

• Desarrollar el diagrama de cortante para la viga y la distribución de cargas mostrada. Del diagrama, determinar el momento flexionante máximo.

• Determinar el módulo de sección mínimo. Escoger la mejor viga estándar que cumpla este criterio.

Problema de muestra 5.8

5 - 19

• Considerando a toda la viga como un cuerpo libre, determinar las reacciones en A y D.

kN0.52

kN50kN60kN0.580

kN0.58

m4kN50m5.1kN60m50

y

yy

A

A

AF

D

DM

• Desarrollar el diagrama de cortante y determinar el momento máximo de flexión.

kN8

kN60

kN0.52

B

AB

yA

V

VV

AV

• El momento flexionante máximo ocurre enV = 0 or x = 2.6 m.

kN6.67max

M

Problema de muestra 5.8

5 - 20

• Determinar el módulo de sección mínimo aceptable para la viga.

3336

maxmin

mm105.422m105.422

MPa160

mkN6.67

all

MS

• Escoger la mejor sección estándar que cumple con este criterio.

4481.46W200

5358.44W250

5497.38W310

4749.32W360

63738.8W410

mm, 3

SForma

9.32360W