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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZANFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURAEscuela Acadmico Profesional De Arquitectura

TEMA: FLEXION SIMPLE.

DOCENTE: ING. MARCO ARGANDOA MENDOZA RESPONSABLE: POSTILLO ALANIA

FLEXIN

Rafael MorenoC.I: 20377503QU ES FLEXIN?En ingeniera se denomina flexin al tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una direccin perpendicular a su eje longitudinal. El trmino "alargado" se aplica cuando una dimensin es dominante frente a las otras. Un caso tpico son las vigas, las que estn diseadas para trabajar, principalmente, por flexin. Igualmente, el concepto de flexin se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o lminas.

El rasgo ms destacado es que un objeto sometido a flexin presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no vara con respecto al valor antes de la deformacin. El esfuerzo que provoca la flexin se denomina momento flector.

Cuando un slido est sujeto por uno de sus extremos y por el otro est sometido a una fuerza P que acta perpendicularmente a su eje, se dice que est sometido a un esfuerzo de flexin.

Tambin surge un esfuerzo de flexin en un cuerpo cuando est sujeto por sus dos extremos y se aplica una carga sobre l.

Momento flectorSe denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribucin de tensiones sobre una seccin transversal de un prisma mecnico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexin.Es una solicitacin tpica en vigas y pilares y tambin en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexin. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la accin un momento (torque) o tambin de fuerzas puntuales o distribuidas.Para elementos lineales, el momento flector Mf(x) se define como una funcin a lo largo del eje Bari cntrico del elemento, donde "x" representa la longitud a lo largo de dicho eje. El momento flector as definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccin en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector.

DONDE.y(x)= es el desplazamiento vertical o desplazamiento de la curva elstica.E= Es el modulo de Young del material de la vigaIf =Es el segundo momento de rea de la seccin transversal de la vigaLasvigasoarcosson elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexin. Geomtricamente sonprismas mecnicoscuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la seccin transversal de las vigas. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de vigas y arcos:

LAHIPTESIS DE NAVIER-EULER-BERNOUILLI: En ella las secciones transversales aleje Bari cntricose consideran en primera aproximacin indeformables y se mantienen perpendiculares al mismo (que se curva) tras la deformacin.

LAHIPTESIS DE TIMOSHENKO: En esta hiptesis se admite que las secciones transversales perpendiculares al eje Bari cntrico pasen a formar un ngulo con ese eje Bari cntrico por efecto delesfuerzo cortante.Flexin en vigas y arcos

LA FLEXION SIMPLEPOUTRE SIMPLE

LA FLEXION SIMPLE

Flexin Simple Se dice que la Flexin es Simple cuando la deformada del eje de la barra es una curva contenida en el plano de las solicitaciones.

Si el plano de las solicitaciones pasa por uno de los ejes principales de inercia de la seccin transversal, entonces la Flexin se denomina Simple Plana

HIPTESIS FUNDAMENTALES DE LA TEORA DE LA FLEXIN i. Durante la Flexin de las barras las secciones permanecen planas (Bernoulli). ii. En la Flexin Pura se identifica un Eje Neutro, es decir, una fibra longitudinal que permanece sin deformarse. iii. Las Tensiones de Corte en direccin x e y son despreciables. iv. No hay Tensiones Normales en la direccin y.

En la superficie de la viga del ejemplo anterior se ha trazado una cuadrcula sobre su superficie para apreciar las deformaciones que producen las solicitaciones. Se resaltan dos secciones (a y b), para destacar las deformaciones que se producen por las cargas aplicadas.

ECUACIONES BSICAS

La ecuacin (1) representa el Giro Relativo entre dos secciones

Determinaremos la deformacin unitaria de una fibra a una distancia y con respecto al Eje Neutro.

Considerando un material en rango lineal elstico (Ley de Hooke) el Mdulo de Elasticidad del material es constante y su radio de curvatura, tambin lo es, se puede sealar que:

FLEXIONFLEXION EN VIGA DE EJE RECTO Supongamos una viga de eje recto, de seccin constante, con determinadas condiciones de vnculo, sometido a un estado de cargas genrico:

Consideramos una seccin m- m definida por la traza del plano , y aislamos la porcin de la izquierda. Para restablecer el equilibrio, trasladamos al baricentro de m- m el efecto de las acciones actuantes a la derecha.

R: Fuerza resultanteM: Momento resultante

ARQUITECTURACONCRETO ARMADOUNHEVAL

La fuerza y el momento resultante admiten componentes segn la direccin del eje de la pieza, y componentes en el plano de la seccin.

Consideramos ahora una viga de eje recto, de seccin constante, sometida a un estado de cargas que no produce momento torsor:

0,0 : ejes principales de inerciaf : eje de carga O traza del plano demomento en el plano de la seccin.

Veamos los diferentes casos de efectos de flexin que se pueden presentar, segn los esfuerzos existentes en la seccin genrica y la ubicacin del plano de cargas respecto de los ejes principales de inercia.

6. 2. MOMENTO DE INERCIAEl contenido temtico de este punto es dictado en la materia Estabilidad I6. 3. FLEXION PURA RECTA O NORMAL6.3.1. Conceptos generales Diagrama de tensionesTomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una porcin de viga aledaa a la seccin m - m .El estado de cargas es simtrico y produce los diagramas de esfuerzos que se indican. La traza del plano de Momento sobre la secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejesprincipales de inercia.

Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un elemento genrico en la seccin m m .

Para establecer una relacin entre las tensiones y las solicitaciones exteriores, deben plantearse condiciones de deformacin. Al cargar la viga esta se deforma; el eje z, originalmente recto, experimenta una ligera curvatura, conocindose a esta ltima con el nombre de elstica. Los puntos sobre el eje representativo de las secciones, experimentan translaciones pequeas. Dichos desplazamientos pueden considerrselos verticales, lo cual significa que la viga no modifica su longitud.Para el comn de las vigas podemos suponer una relacin l/h 10. Para esta situacin es vlido lo siguiente: tomar en el tramo central dos secciones prximas entre si, alejadas de los puntos de aplicacin de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas, dibujamos en los costados dos lneas rectas individualizadoras de las secciones, antes de aplicar las cargas.-

A medida que se carga la viga, las lneas pintadas continan siendo rectas, pero ya no paralelas entre s; tendrn un giro relativo. Que significa ello: que las secciones originalmente planas y normales al eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pas de su posicin recta original a la forma curva de la elstica.

a) Despus de la deformacin, cada seccin transversal se conserva plana y normal al eje deformado.( Hiptesis de Bernoulli- Navier).b) En la deformacin, unas fibras del slido se acortan y otras se alargan, existiendo entre ambas una capa de fibras que no sufren variacin. Dicha capa se conoce como zona o capa de fibras neutras.c) Las deformaciones que se producen en las fibras estn comprendidas dentro del campo de validez de la Ley de Hooke.Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse distorsiones en los elementos de la misma, y en consecuencia, por ser , no existen tensiones tangenciales.- Para encontrar una relacin entre tensiones normales y el Momento, analizamos el comportamiento de una fibra genrica de la porcin definida por las secciones 1-1 y 2-2. Llamamos:

De acuerdo a esta ltima expresin, la variacin de la tensin normal ser lineal y directamente proporcional a la distancia a las fibras neutras, determinado en la seccin por el eje neutro (n- n).Las deformaciones axiales z , se acompaan por deformaciones transversales x debidas al efecto de Poisson. Las deformaciones de alargamiento z por debajo del eje neutro tienen x de acortamiento. Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformacin transversal es despreciable y no se tiene en cuenta al calcular el momento de inercia de la seccin.-- Determinacin de la posicin y direccin del eje neutro:

A la zona comprimida le asignamos tensiones de signo (-); a las fibras traccionadas signo (+).

EL VALOR resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexin. En la expresin podemos apreciar que la curvatura es directamente proporcional al agente deformante e inversamente proporcional al producto E.I, que recibe el nombre de rigidez a la flexin.La rigidez a la flexin mide la resistencia que opone la pieza a dejarse deformar. Para ello impone las propiedades mecnicas del material (E) y las propiedades geomtricas de la seccin (I).-Mdulo Resistente DimensionamientoDe la frmula de Tensin podemos ver que todos los puntos de la seccin con la misma ordenada y tendrn igual tensin, siendo esta mxima y mnima en los extremos, o sea, en las fibras superiores e inferiores de la seccin. En general no suele hablarse de tensin mxima o mnima, sino de mxima tensin de traccin y mxima tensin de compresin.-

El diagrama de tensiones resulta ser un esquema espacial, pero por simplicidad y atendiendo a lo anterior, se lo representa usualmente con un plano. Las tensiones extremas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones:

A los valores W1 y W2, que resultan ser el cociente entre el momento de inercia de la seccin transversal respecto del eje x y la distancia desde dicho eje a la fibra mas alejada de la seccin, los llamaremos mdulos de los momentos resistentes. En los problemas de dimensionamiento debemos distinguir entre los materiales cuya resistencia es la misma a traccin que a la compresin, y aquellos en que ambas resistencias son distintas.

En el primer caso conviene que la seccin sea simtrica, de manera tal que W1 = W2, con lo que puede llegarse prcticamente a valores iguales a la tensin admisible tanto en las fibras superiores como en las inferiores. Si la pieza no es simtrica respecto del eje neutro, un de las dos fibras extremas no es aprovechada ntegramente.En el segundo caso vale todo lo opuesto a lo anterior. En general sera recomendable una seccin no simtrica, de manera de aprovechar las tensiones mximas, tanto en las fibras superiores como en las inferiores.

Desde el punto de vista del dimensionamiento, el parmetro geomtrico que influye es el mdulo resistente, pero desde el punto de vista econmico la pieza cuesta en funcin del rea de la seccin transversal, y no de su mdulo resistente. Por razones de economa se trata de buscar secciones que provean el mdulo resistente requerido con la menor rea posible.Para poder realizar una comparacin econmica entre las distintas secciones vamos a definir el siguiente coeficiente de rendimiento:

En la medida que este coeficiente aumenta, la seccin en ms econmica:

Brazo de palanca elstico:Definiremos como brazo de palanca elstico a la distancia que existe entre la resultante de compresin y la resultante de traccin del diagrama de tensiones.

ENERGA DE DEFORMACIN.Si aislamos de una barra una tajada elemental de ancho l, y suponemos que sobre las secciones lmites actan dos momentos M que mantienen la porcin en equilibrio, entonces obtendremos:

La energa de deformacin absorbida por toda la pieza es igual a la suma de la que absorbe cada una de las tajadas.

Si ponemos la curvatura en funcin del momento, tendremos:

A continuacin vamos a ver un ejemplo de aplicacin, calculando el giro en los apoyos de la viga de seccin constante

FLEXION RECTA EN SECCIONES DE DOS MATERIALESVamos estudiar este problema apoyndonos en el ejemplo de la figura, que trata de una viga de seccin rectangular de madera que esta reforzada inferiormente mediante un fleje de acero. El fleje esta unido a la madera de manera tal que se deforma solidariamente con sta.En base a la consideracin anterior, es posible continuar aceptando como vlida la Ley deNavier- Bernoulli, es decir que la seccin plana antes de la deformacin se mantiene plana luego de la deformacin.

Esto ltimo tal vez pueda ser apreciado mas exactamente si observamos en la fig. la fibra3. Si consideramos dos fibras ubicadas infinitamente prximas a sta, una del lado de la madera y otra del acero, ambas tienen prcticamente la misma deformacin; sin embargo, debido a la diferencia de mdulos de elasticidad las tensiones son distintas, con lo que el diagrama real de tensiones resulta discontinuo. Si en lugar de tener dos materiales hay mas, la homogeneizacin deber realizarse sobre la base de uno de ellos. En la Fig. se indica el caso de una seccin rectangular compuesta de tres materia-les distintos.

FLEXION OBLICUA6.5.1. Frmula de dos trminosComo ya hemos dicho, este caso se presenta cuando la lnea de fuerzas no coincide con uno de los ejes principales de inercia. Dado que los ejes principales de inercia son perpendiculares, y el vector representativo del momento es perpendicular al eje de fuerzas, tambin podemos decir que la flexin oblicua surge cuando el vector momento no coincide con alguno de los ejes principales de inercia.Esta situacin se presenta con mucha frecuencia en los elementos estructurales que forman parte de los techos inclinados. Las cargas gravitacionales originan un eje de fuerza vertical, el cual no coincide con los ejes principales, los cuales se orientan segn el plano del techo.

Si analizamos este problema de flexin debemos decir que:

La ecuacin del eje neutro indica que este resulta baricntrico pero no coincidente con algunos de los ejes principales de inercia.Para:

FRMULA DE UN TRMINO.En virtud de considerar como vlidas las hiptesis de Navier- Bernoulli y la Ley de Hooke, podemos decir que la tensin normal que surge como consecuencia del efecto de flexin ser proporcional a la distancia al eje neutro medida desde el punto de aplicacin de la misma.

FLEXION EN VIGA DE EJE CURVOPara estudiar el efecto de la flexin en una viga de eje curvo, se considerarn solamente secciones que tengan un eje de simetra y el plano de accin del Momento Flector conteniendo a dicho eje de simetra y al eje de la pieza. Analizaremos, como en temas anteriores, solo el caso de relacin lineal entre solicitacin y deformacin y de que el mdulo de elasticidad es el mismo a traccin que a compresin.Consideremos un elemento curvo como el que se muestra en la figura. El punto O define la posicin del centro de curvatura; la pieza esta sometida nicamente a Momento.

3.4.4.FlexinpuraFLEXIN PURA:en toda seccin recta:- resultante nula de fuerzas- momento contenido en plano de la seccinFLEXIN PURA ASIMTRICA: MF componentes segn dos ejes principalesde inercia de la seccin FLEXIN PURA SIMTRICA: MF segn un eje principal de inercia3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMFLEXIN PURA SIMTRICA:TRAMOS AB DE LAS SIGUIENTES VIGAS: 3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMN = x dTy = xy dTz = xz d = x yd( xz y xy z)dM T =M z x zd=MyFLEXIN PURA SIMTRICA:x dydz = 0xy dydz = 0xz dydz = 0( x zdydz = 0 x ydydz = M z = M Fy xy z)dydz = 0xz 3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMDESCRIPCIN DEL PRISMA:3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMFIBRAS COMPRIMIDAS FIBRA NEUTRA:- ninguna tensin- contiene G de las seccionesFIBRAS ALARGADASHIPTESIS SIMPLIFICATIVAS (comprobacin experimental):1.Lmites de elasticidad proporcional2.H. de Bernoulli: las secciones transversales se mantienen planasDE LA SEGUNDA HIPTESIS:Secciones planas: no se producen deformaciones angulares = G = 0 = = 0xyxz3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM x : LEY DE NAVIERMTODO GEOMTRICO( xy , xz , x )MTODO GEOMTRICO:AB: fibra neutra: radio de curvaturaDE CF: dos secciones rectas MN: acortamiento fibra encimade fibra neutra HF: alargamiento fibra debajode fibra neutra Deformacin para fibra situada a distancia y de la fibra neutra:dxdxdxMNABHFAB ===3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMMTODO GEOMTRICO:TRINGULOS SEMEJANTES: MNB - ABOABAOdxdxdxMNABHFAB=== y =LEY DE HOOKE: x x yE = x = =yEELEY DE NAVIER3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMMN = MB = yMTODO GEOMTRICO: LEY DE NAVIERE = yE =y3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMMTODO GEOMTRICO:dF = d = 0FFLEXIN PURA:EF = d=yd = 0yd = 0E =yLa fibra neutra contiene G de todaslas secciones 3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMMTODO GEOMTRICO:EEdF = d2ydF = yd =M F =y d =I zE =yI z : momento de inercia respecto eje ZM F M F E ==yI zI zLEY DE NAVIER3.4.4. Flexin pura Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM3.4.5.Flexin simpleFLEXIN SIMPLE:en toda seccin recta:- resultante cortante de fuerzas- momento flectorN = x dydz = 0 xy dydz = Ty xz dydz = TzM T = ( xz y xy z)dydz = 0 x zdydz = M x ydydz = M zy 3.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMFuerza cortante: tensiones cortantes y deformaciones angulares xy dydz = Ty xz dydz = TzAlabeo de las secciones transversales:3.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMEs vlida la LEY DE NAVIER en flexin simple?1) se admite alabeo: tensiones cortantes2) se desprecia alabeo relativo: AoBo AB~AB- Si tensin cortante constante en seccin: resultado exacto- Si tensin cortante vara: error despreciable si dimensionestransversales pequeas comparadas con longitud F =y3.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMMI zEJEMPLOS: Viga simplemente apoyada2P2M =R x =xx1AP2T =R =x1A2P=R A P = =RBTx 2 2RA + RB P = 0lP= R A x P( x 2 ) =(l M x 2x) l lP2 R= 0 R = R =R2ABAB223.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM l x l :0 x l :TENSIONES CORTANTES:T ( x)S ( x)En general, tensiones cortantes no constante:- Dos secciones: (x, x+dx)- Momentos flectores: (M, M+dM)- Equilibrio de la parte cortada a una distancia y dela fibra neutra3.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM I zTensiones normales parte izquierda:MMmN = d =m = y1dy1d =I zI zTensiones normales parte derecha:(M + dM )mN + dN =I z3.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMdN = dMmI z = M F yTeorema de CauchydMmI zdMmI z dN == yzzyTdxmI zbdx ==TEOREMA DE COLIGNONbI z3.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM = TmbI zPuntos superior e inferior de la seccin:m = 0 = 0m =y1d- Punto superior: rea nula- Punto inferior: coordenada Y del CM 3.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM = TmDistribucin de tensiones tangenciales:a) Seccin rectangularh / 2h / 2y22by b ( h y 2 )m =y d =ybdy ==1 2 2 4yh / 2h / 2033by 2 bh y 2 dy 2 bdy =I == 2=z1 3 1203.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM = TmbI zDistribucin de tensiones tangenciales:a) Seccin rectangularb22T (h 4 y )8 3 T (h 2 4 y 2 )T (h 2 4 y 2 )TmbI z32 ====bh 3bh3h 22b123.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMDistribucin de tensiones tangenciales:b) Seccin circularbI zRRyRy2 [2 3 / 2 ]222222 3 / 2 m = y1 d =ybdy = y )dy = (R3 y )= (R y )3y(2 R yh / 20R 4= y 2 dy 2 bdy == 2Iz143.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM = TmDistribucin de tensiones tangenciales:b) Seccin circular222 3 / 2T ( R y ) 3 R 2 y 2 Tm43T ===R 4R 2bI zR 2y 2 243.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMTensiones principales:M z x=yI z= = 0yzTm=yzbIz xy= xz = 03.4.5. Flexin simple Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAM3.4.6. Flexin:deformacionesDos magnitudesdefinen la deformacin: A : ngulo girado por seccin transversaly A :desplazamiento perpendicular al eje de la viga del centro de gravedad(desplazamiento despreciable en eje X) 3.4.6. Flexin: deformaciones Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMELSTICA DE LA VIGAExtremo de la vigaLnea media de la vigaPequeas deformaciones: 2d y M z =d 2 xEI zECUACIN DIFERENCIALAPROXIMADA DE LA ELSTICA 3.4.6. Flexin: deformaciones Fsica y Mecnica de las ConstruccionesETSAMECUACIN DIFERENCIAL APROXIMADA DE LA ELSTICAd y M z =DOBLE INTEGRACIN: dos constantes de condiciones de contornoFlecha:Ymax,deformacin mximaVALIDEZ:- flexin pura- flexin simple:- T(x) constante- T(x) no constante: dimensiones transversal