PORTAFOLIO MATEMÁTICA II · 2019-08-14 · que llamamos Portafolio de la Asignatura. El portafolio...

PORTAFOLIO

DE

MATEMÁTICA II

2019-II

1

INTRODUCCION

El proceso de enseñanza – aprendizaje dentro de la variedad de tipos de

evaluación que tiene destaca la llamada Evaluación Continua o Formativa que

implica evaluar gradualmente al estudiante en la realización de tareas periódicas

que denominamos subproductos cuya acumulación da lugar al producto final que

evidencia el desarrollo formativo del estudiante en el semestre.

Todos los subproductos realizados a lo largo del semestre luego de ser

evaluados y calificados van formando parte de un producto final que da lugar a lo

que llamamos Portafolio de la Asignatura.

El portafolio de la asignatura de Matemáticas II, es la colección ordenada y

sistemática de las actividades que serán seleccionadas y realizadas por los

estudiantes durante el semestre 2019–I, y debe mostrar aspectos relativos al

aprendizaje personal o grupal de los estudiantes, incluyendo sus reflexiones,

crecimiento, desarrollo y logros al estudiar los conceptos fundamentales de la

asignatura.

Permite comprobar el logro del aprendizaje de cada uno de los estudiantes

y a la vez se permite utilizar como referente de estudio, y que a su vez se debe tener

la seguridad que será empleado con responsabilidad y puntualidad según el

cronograma establecido.

Así mismo, le permite al docente examinar las fortalezas y debilidades del

estudiante en las diferentes habilidades y capacidades formuladas en el plan

curricular de la asignatura y así proponer acciones correctivas para mejorar el

proceso enseñanza – aprendizaje con miras a fortalecer la formación académica del

estudiante.

2

OBJETIVOS

Efectivizar los procesos de evaluación auténtica en el desarrollo de la enseñanza

– aprendizaje de la asignatura.

Monitorear, orientar y corregir los procesos cognitivos según la necesidad de los

estudiantes en el desarrollo de las competencias programadas.

Facilitar al estudiante a través de una secuencia lógica de actividades, la

interpretación, comprensión, análisis, síntesis y juicio crítico en pro de la solución

de problemas matemáticos, ayudándolos a razonar y utilizar los procedimientos

para que los resultados sean efectivos.

ACTIVIDAD PREVIA

CONFORMACIÓN DEL GRUPO

Recomendaciones:

El grupo debe estar formado por 4 o 5 estudiantes como máximo.

Los integrantes de un grupo se escogen por afinidad, que no tengan domicilios

muy distantes ya que podría generar poca factibilidad al momento de reunirse.

El acto de formar un grupo responde al compromiso de que a partir de la fecha

las acciones que realicen pueden perjudicar o favorecer a los demás integrantes

del equipo.

INTEGRANTES

APELLIDOS Y NOMBRES TELEFONO e-mail

1

2

3

4

5

3

MATRIZ DE PRODUCTOS ENTREGABLES Y CRONOGRAMA

CONTENIDO CONCEPTUAL

PROCEDIMIENTOS

ACTIVIDADES PROGRAMADAS

PRODUCTOS EN EL PORTAFOLIO

FECHA DE ENTREGA

Investigación Formativa

Selecciona el tema a investigar.

Estructura un plan de trabajo.

Presentación del tema y el plan de trabajo.

4ta. semana

MATRICES Y DETERMINANTES

Identifica y Aplica el método de Polya en la resolución de problemas.

Resuelve problemas de las fichas de trabajo correspondientes a la Unidad 1

Las Fichas que corresponde a la Unidad 1

4ta. semana

Dilema Ético

Emiten juicio de valor en torno a un caso específico.

Estudio de Caso proporcionado.

Presentación de un Informe con las reflexiones del estudiante.

6ta. semana


Entrega del primer informe.

El informe debe contener el 50 % de avance.

Presentación del avance del informe.

7ma. semana

LÍMITES Y CONTINUIDAD.

DERIVADAS



Las Fichas que corresponde a la Unidad 2.

8va. semana


Entrega del segundo informe.

El informe debe contener el 75 % de avance.

Presentación del avance del informe.

12ava. semana

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS




12ava. semana


Entrega del informe final.

Entrega del Informe final y exposición

Presentación del informe final. 15ava. semana

INTEGRALES Y SU APLICACION




15ava. semana

4

ANEXO 01

ASPECTOS PRELIMINARES

Considere las siguientes reglas básicas para la resolución de problemas de enunciado

verbal:

Lectura y compresión del enunciado del problema

Antes de iniciar la resolución de un problema, es necesario que hayamos interpretado y

comprendido bien su enunciado. Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea

necesario, para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y cómo se relaciona la

información dada.

Transformación del enunciado literal del problema en términos numéricos

Todo problema en la asignatura de matemática antes de ser resuelto pasa por una

metamorfosis en la que de una expresión netamente literal (palabras) se pasa a una

expresión de símbolos matemáticos (números) que siguen un procedimiento establecido

hasta llegar a la solución del mismo.

Designación de la(s) incógnita(s) del problema

Para designar la(s) incógnita(s) debemos prestar atención a la pregunta que se formula en

el problema. Sin embargo, es conveniente también tener presente las relaciones existentes

entre los datos y la incógnita, pues ello puede permitir diseñar un adecuado procedimiento

y con la ayuda de la respectiva teoría llegar a la solución del problema.

Generalmente las incógnitas se representan con letras minúsculas del alfabeto español y

el ejercicio o problema a resolver con esta/as incógnitas pueden dar lugar a:

- Un sistema de ecuaciones que se pueden resolver utilizando cualquier método matricial.

- Una función que se puede resolver utilizando límites básicos o propiedades de límites

- Una función que se puede resolver utilizando la definición de derivadas o reglas de

derivación.

- Una función que se puede resolver utilizando fórmulas de integración para la integral

indefinida o el teorema fundamental del cálculo para la integral definida, según sea el

caso.

En la asignatura de matemática siempre se va a dar el caso de resolver un ejercicio o un

problema; para el caso del ejercicio el desarrollo es rutinario y para el caso de un problema

es preciso realizar una serie de pasos antes de llegar a la respuesta, es por ello que entre

los variados procesos propuestos por eminentes personajes para resolver un problema

escogeremos el de George Pólya.

5

MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS (GEORGE POLYA)

CUADERNOS DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

2006, Año 1, Número 1. Cristian Alfaro Escuela de Matemática Universidad Nacional.

Este texto es parte de una trascripción editada de una conferencia impartida por el Máster

Cristian Alfaro, el 25 de marzo del 2006 en un Seminario Teórico.

POLYA plantea en su primer libro llamado “El Método de los Cuatro Pasos”, para resolver

cualquier tipo de problema, se debe:

• Comprender el problema

• Concebir un plan

• Ejecutar el plan y

• Examinar la solución.

Para cada una de estas etapas él plantea una serie de preguntas y sugerencias.

1. Comprender el Problema

Para esta etapa se siguen las siguientes preguntas:

• ¿Cuál es la incógnita?

• ¿Cuáles son los datos?

• ¿Cuál es la condición?

• ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?

• ¿Es insuficiente?

• ¿Es redundante?

• ¿Es contradictoria?

Es decir, esta es la etapa para determinar la incógnita, los datos, las condiciones, y decidir

si esas condiciones son suficientes, no redundantes ni contradictorias.

Una vez que se comprende el problema se debe:

2. Concebir un Plan

Para Pólya en esta etapa del plan el problema debe relacionarse con problemas

semejantes. También debe relacionarse con resultados útiles, y se debe determinar si se

pueden usar problemas similares o sus resultados (aquí se subraya la importancia de los

problemas análogos). Algunas interrogantes útiles en esta etapa son:

• ¿Se ha encontrado con un problema semejante?

• ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

• ¿Conoce un problema relacionado?

• ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil?

• ¿Podría enunciar el problema en otra forma?

• ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las definiciones.

Una vez que se concibe el plan naturalmente viene la:

6

3. Ejecución del Plan

Durante esta etapa es primordial examinar todos los detalles y es parte importante recalcar

la diferencia entre percibir que un paso es correcto y, por otro lado, demostrar que un paso

es correcto. Es decir, es la diferencia que hay entre un problema por resolver y un problema

por demostrar. Por esta razón, se plantean aquí los siguientes cuestionamientos:

• ¿Puede ver claramente que el paso es correcto?

• ¿Puede demostrarlo?

Él plantea que se debe hacer un uso intensivo de esta serie de preguntas en cada momento.

Estas preguntas van dirigidas sobre todo a lo que él llama problema por resolver y no tanto

los problemas por demostrar. Cuando se tienen problemas por demostrar, entonces,

cambia un poco el sentido. Esto es así porque ya no se habla de datos sino, más bien, de

hipótesis. En realidad, el trabajo de Pólya es fundamentalmente orientado hacia los

problemas por resolver.

En síntesis: al ejecutar el plan de solución debe comprobarse cada uno de los pasos y

verificar que estén correctos.

4. Examinar la Solución

También denominada la etapa de la visión retrospectiva, en esta fase del proceso es muy

importante detenerse a observar qué fue lo que se hizo; se necesita verificar el resultado y

el razonamiento seguido de preguntarse:

• ¿Puede verificar el resultado?

• ¿Puede verificar el razonamiento?

• ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?

• ¿Puede verlo de golpe?

• ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?

Estas cuestiones dan una retroalimentación muy interesante para resolver otros problemas

futuros: Pólya plantea que cuando se resuelve un problema (que es en sí el objetivo

inmediato), también, se están creando habilidades posteriores para resolver cualquier tipo

de problema. En otras palabras, cuando se hace la visión retrospectiva del problema que

se resuelve, se puede utilizar tanto la solución que se encuentra como el método de

solución; este último podrá convertirse en una nueva herramienta a la hora de enfrentar otro

problema cualquiera.

De hecho, es muy válido verificar si se puede obtener el resultado de otra manera; si bien

es cierto que no hay una única forma o estrategia de resolver un problema pueden haber

otras alternativas. Precisamente, esta visión retrospectiva tiene por objetivo que veamos

esta amplia gama de posibles caminos para resolver algún tipo de problema.

EVALUACIÓN DE LA TAREA

Estará en función de la Rubrica que se plantea para cada ficha de trabajo en la unidad

correspondiente.

7

ANEXO 02

USO DEL SISTEMA POLYA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

UNIDAD _____ __________________________

CAPACIDAD:

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD:

FICHA N° _____:

PROBLEMA:

ACCION PASOS POSIBLES PREGUNTAS QUE AYUDAN

Identifica

Entender el problema

¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Es redundante? ¿Es contradictoria?

Relaciona

Configurar un plan

Resolver un problema similar más simple. Enunciar el problema en forma diferente Usar un razonamiento directo o indirecto Hacer una figura, diagrama, esquema o tabla. Usar un modelo o método. Identificar sub metas.

Resuelve

Ejecutar el plan

¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo?

Reflexiona

Examinar la solución

¿Puede verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro

problema?

8

ANEXO 03

MODELOS DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS UTILIZANDO LA

METODOLOGIA DE G. POLYA

UNIDAD 1 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CAPACIDAD: Aplica el cálculo matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas específicos de su formación profesional.

EJERCICIO RESUELTO N°1: Luego de ordenar los datos proporcionados por un grupo de trabajo, los estudiantes

construyeron la siguiente matriz antisimétrica :

( )

3 1

aa m n m n

M p b m n

c

, se pide

calcular E ma nb p c

ACCION PASOS DESARROLLO

IDENTIFICA

Entiendo el ejercicio

a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del ejercicio? Son: a, b, c y m. n. p

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del ejercicio? En una matriz antisimétrica se cumple : AT = -A además Los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.

c) Identifica las condiciones (verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del ejercicio?

CALCULAR el valor de E, Si se cumple que :

a = b = c = 0

p = -(m+n) a

m - n = -3

m + n = 1

RELACIONA

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. ¿Redactar cómo vas a resolver el ejercicio? Conozco los valores de a, b y c que es igual a cero. Debo resolver el sistema de ecuaciones de primer grado con

dos incógnitas para hallar m y n. Con los valores de a, m, y n calculo el valor de p Finalmente calculo el valor de E

9

¿Qué operación matemática debes hacer? Formar las ecuaciones: a = b = c = 0 m - n = -3 p = -(m+n) a

m + n = 1

RESUELVE

Ejecuto el plan

Operaciones: a = b = c = 0 m - n = -3 Reemplazando en:

m + n = 1 m – n = - 3 2m = -2 -1 – n = - 3

m = - 1 - n = - 2 n = 2

Calculando el valor de p: p = -(m+n) a

p = -(-1+2)0

p = -1

Calculamos el valor de:

E = ma + nb + p + c

E = -1(0) + 2(0) +(-1) + 0

E = - 1

REFLEXIONA

Examino la solución

Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado m - n = -3 m + n = 1 p = -(m+n) a -1 – 2 = -3 - 1 + 2 = 1 -1 = - (-1+2)0 -3 = -3 1 = 1 -1 = -1 ¿Puedes emplear este método en la resolución de otro ejercicio? Si en ejercicios similares. Respuesta: El valor de E es igual a -1

10

PROBLEMA RESUELTO N° 2: Miriam es gerente de una fábrica que elabora dos productos M y N. Sabe que por cada

unidad que vende de M la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de N la

ganancia es de $11. De su experiencia ha encontrado que puede vender 25% más de

M que de N. Para el año siguiente Miriam desea una obtener una ganancia total de

$42000. Miriam ha calculado que debe vender 2 000 unidades del producto N. Ayúdala

tú calculando ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender?

Utiliza el método de la matriz inversa e indica si es correcto lo que calculó Miriam.


IDENTIFICA

Entiendo el problema

a) Identifica la/las incógnitas

¿Cuál es la/las incógnitas del problema?

El número de productos M y N elaborados

b) Identifica los datos

¿Cuáles son los datos del problema?

Por cada unidad M la ganancia es $ 8

Por cada unidad N la ganancia es $ 11

Se desea obtener una ganancia de $ 42 000 el próximo año

c) Identifica las condiciones(verbos)

¿Cuál es la condición o condiciones del problema?

CUANTAS unidades del producto M y N se debe fabricar.

Si se debe vender 25% más del producto M que de N.

RELACIONA

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita ¿Podrías redactar el problema en forma diferente? Por cada producto M ganó $8 y por cada producto N ganó $11, en total la ganancia para el próximo año debe ser $ 42 000, pero vendiendo 25% más de M que de N. ¿Qué operación matemática debes hacer? 1° Formar las ecuaciones: 8 M + 11 N = 42 0008 M + 11 N = 42 000 M = ¼ N + N 4 M – 5 N = 0 2° Cuántos métodos para resolverlo conoces: Algebraico. Método de Cramer Método de la Matriz Reducida Método de la Matriz Inversa

3° Lo resolveré por el método de la matriz inversa solicitado.

Ejecuto el plan

Operaciones:

Construyo la matriz aumentada A : 8 11

4 5

1 0

0 1

A I

11

RESUELVE

Obtengo la matriz inversa

Aplicando operaciones elementales sobre filas:

8 11

4 5

1 0

0 1

1 11/ 8 1/ 8 0

4 5 0 1

1 11/ 8 1/ 8 0

0 21/ 2 1/ 2 1

1 0 5 / 84 11/ 84

0 1 1/ 21 2 / 21

1 I A

Por lo tanto: 1 5 111

4 884A

es la matriz inversa de A .

Como: 1X A B

5 11 42 000 2 5001

84 4 8 0 2 000

M

N

Por lo tanto: 2500M ; 2000N

REFLEXIONA


Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado 8 M + 11 N = 42 000 M = ¼ N + N 8 (2500) + 11 (2000) = 42 000 M = ¼ (2000) + 2000 42 000 = 42 000M = 2 500 ¿Puedes emplear este método en la resolución de otro problema? Si en otros problemas similares Respuesta: Se deben vender 2500 unidades del producto M y 2000 unidades del producto N Emite tu juicio de valor: Estoy de acuerdo con la Gerente Miriam porque su cálculo es correcto, se debe vender 2 000 unidades del producto N.

11/8 F1 4F1 + F2

2/21 F1

12

UNIDAD 2 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

CAPACIDAD: Calcula el límite de una función de variable real y determina su continuidad.

EJERCICIO RESUELTO N°3:

Calcula el siguiente límite: 2 2b x b a

x a

x → alim


IDENTIFICA


a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del ejercicio? El valor del Límite (que es un número real)

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del ejercicio? x tiende (se acerca o aproxima )a a.

c) Identifica las condiciones(verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del ejercicio? Calcular el límite de la función dada.

RELACIONA

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. ¿Redactar cómo vas a resolver el ejercicio? 1. Debo aplicar límites básicos y resolver. 2. Si sale forma indeterminada, debo “eliminar” la indeterminación por

factorización o racionalización. 3. Calcular el límite. ¿Qué operación matemática debes hacer? 1. Reemplazar el valor de x por a 2. Si queda (0/0) factorizar o racionalizar. 3. Simplificar y calcular el límite.

RESUELVE

Ejecuto el plan

Operaciones: Aplicando límites básicos.

2 2

2 2 0( . .)

0

b x b a

x a

b a b aF I

a a

x → a

x → a

lim

lim

Eliminando la indeterminación:

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( )

( )

b x b a b x b a

x a b x b a

b x b a

x a b x b a

b x b a

x a b x b a

x → a

x → a

x → a

lim

lim

lim

13

2 2 2 2

2 2

2

( ) 1

( )

1

2

x a

x a b x b a b a b a

b x b a

x a b a

x → a

x → a

lim

lim

¿Es correcto el desarrollo? ¿Puedes demostrarlo? Si, para demostrarlo daremos valores a=2 y b=2 entonces:

2

2 2 1 1

2 22

b x b a

x a b a

x → alim

REFLEXIONA


Revisamos la solución obtenida: Verificar el resultado

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( )

( )

x a x a

x a x a

x a

x a x a

x a

x a x a

x → 2

x → 2

x → 2

lim

lim

lim

2 2 2 2

2 2

2 2

( ) 1

( ) 2 2

1

2 2

x a

x a b x b a

b x b a

x a

x → 2

x → 2

lim

lim

¿Puedes emplear este método en la resolución de otro ejercicio? Si, en ejercicios similares. Respuesta:

2

2 2 1

2

b x b a

x a b a

x → alim

14

UNIDAD 2 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

CAPACIDAD: Calcula el límite de una función de variable real y determina su continuidad.

EERCICIO RESUELTO N° 4:

Halle el valor de m y n si existen 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x m si x

f x mx n si x

x si x


IDENTIFICA


a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del ejercicio?

Son: El valor de m yn

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del ejercicio?

Los límites de la función, 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

existen.

c) Identifica las condiciones(verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del ejercicio?

Hallar los valores de m y n

Existen los 2

( )limx

f x

y 1

( )limx

f x

,

RELACIONA

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. ¿Redactar cómo vas a resolver el ejercicio? Si existe

2( )lim

xf x

entonces sus límites laterales existen y son iguales,

al hacerlo obtengo una ecuación con dos incógnitas. Lo mismo hago con el

1( )lim

xf x

y obtengo la segunda ecuación con dos incógnitas.

Resuelvo el sistema de ecuaciones para hallar las incógnitas. ¿Qué operación matemática debes hacer? 1° Aplicar limites laterales para obtener dos ecuaciones con dos incógnitas.

2° Resolver el sistema de ecuaciones y hallar los valores de m y n

RESUELVE

Ejecuto el plan

Operaciones: Aplicando límites laterales:

En x = -22

( )limx

f x

=2

( )limx

f x

2 3 = 5

2( 2) 3 = 5 ( 2)

4 3 10

13 4 . . . . (1)

x m mx n

m m n

m m n

m n

15

En x = 1 1

( )limx

f x

=1

( )limx

f x

5 32

5 (1) 32(1)

5 32 . . (2)

mx n x

m n

m n

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

13 4 . . . (1)

5 32 . . . (2)

18 36

2

m n

m n

m

m

5 32 . . . . (2)

5(2) 32

10 32

22

m n

n

n

n

REFLEXIONA


Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado

En x=-2

2 2

( ) ( )

2 3 = 5

2( 2) 3(2) = 5(2)( 2) ( 22)

4 6 20 22

2 2

lim limx x

f x f x

x m mx n

En x = 1

1 1

( ) ( )

5 32

5(2)(1) ( 22) 32(1)

10 22 32

32 32

lim limx x

f x f x

mx n x

¿Puedes emplear este método en la resolución de otro ejercicio? Si en ejercicios similares Respuesta:

El valor de 2 22m y n

16

UNIDAD 3 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

CAPACIDAD: Aplica el cálculo diferencial en el desarrollo y resolución de problemas relacionados con su especialidad.

PROBLEMA RESUELTO N° 5:

Un fabricante ha determinado que el costo promedio es de $303,5 cuando se producen

200 unidades. Si la función de costo marginal es 20.03 1.2 6.5dc

q qdq

y el costo fijo

es de $3400, donde q es el número de unidades producidas. Encuentre el costo promedio

cuando se producen 200 unidades, Luego emita su opinión defendiendo o criticando el cálculo del fabricante.

CRITERIO PASOS DESARROLLO

IDENTIFICA


a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema? El valor del costo promedio cuando se producen 200 unidades.

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del problema?

La ecuación del Costo Marginal ( )dc

f qdq

, el costo fijo.

c) Identifica las condiciones(verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del problema? CALCULAR el costo promedio cuando el número de unidades producidas es 200.

RELACIONA

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. ¿Podrías redactar el problema en forma diferente? Me dan la ecuación del Costo Marginal, piden obtener el Costo total y el Costo promedio cuando se producen 200 unidades y comparar los resultados. ¿Qué operación matemática debes hacer?

1° Formar la función Costo Total :

2 20,03 1, 2 6,5 (0,030 1, 2 6,5)dC

q q dC q q dqdq

Integrando:

2° Cuántos métodos para resolverlo conoces: Uno: Aplicaciones de la Integral Indefinida.

3° Lo resolveré por ese método

Ejecuto el plan

Operaciones:

2 3 2 (0,03 1, 2 6,5) 0,01 0,6 6,5 C q q dq C q q q k

2 (0,03 1, 2 6,5) dC q q dq

17

RESUELVE

Hallando la constante de integración

De CT CV CF si no hay producción ( 0q ) , entonces el

costo total es igual al costo fijo, luego:

3 2 3400 0,01(0) 0,6(0) 6,5(0)C CF k

3400k

La función de costo total es: 3 2 0,01 0,6 6,5 3400C q q q

Hallando el costo promedio: 2 3400 0, 01 0, 6 6,5

CC q q

q q

Evaluando en 200:

(200)C 2 3400 0, 01(200) 0, 6(200) 6,5 303,5

200

REFLEXIONA


Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado En la función costo promedio ponemos el valor de 303,5 y observamos que

esto se presenta siempre que 20q

¿Puedes emplear este método en la resolución de otro problema? Si en otros problemas similares.

Respuesta:

Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 303,50.

Emite tu juicio de valor: Estoy de acuerdo con el fabricante porque su cálculo es correcto, se debe tener un costo promedio de $303,5 cuando se producen 200 unidades.

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UNIDAD I MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente el método de Cramer, con el propósito de plantear, modelar y solucionar problemas específicos de su formación profesional.

FICHA N° 1: Resolver el siguiente problema utilizando la metodología de G. POLYA Un economista está estudiando varios proyectos que pueden ayudar en el aumento de los clientes de su empresa. Él considera que puede vender a S/.100 cada unidad del modelo A y a S/. 150 cada unidad del modelo B, teniendo como ingreso total S/. 4 000, si en total vendió 30 unidades entre ambos modelos. Resuelve utilizando el método de Cramer. Compruebe y responda si es correcto o no, justificando tu respuesta, que: a) La relación existe entre las cantidades del modelo A con el modelo B es de 3 a 1 b) El modelo que se vendió más fue el A. ¿por qué cree que esto sucedió? PASOS DESARROLLO


a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema?


c) Identifica las condiciones(verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del problema?

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. Redacta los pasos a seguir para resolver el problema ¿Qué operación matemática debes hacer?

20

Ejecuto el plan

Operaciones:


Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado Respuesta: Emite tu juicio de valor.

21

RUBRICA PARA LA UNIDAD 1 FICHA Nº 1

CRITERIO ACCION NULO INICIO PROCESO LOGRADO DESTACADO PUNTAJE

COMPRENSIÓN

Entiende, Identifica.

No identifica nada

Identifica las incógnitas, datos y condiciones erróneamente

Identifica una de las incógnitas y datos correctamente

Identifica una de las incógnitas, datos y condiciones correctamente

Identifica todas las incógnitas, datos y condiciones correctamente

0 1 2 4 5

CONCEPCIÓN Relaciona, Redacta, Plantea

No relaciona nada

Relaciona el problema con otros anteriores, pero no lo redacta con sus propias palabras.

Relaciona el problema con otros anteriores y lo redacta con sus propias palabras.

Relaciona el problema con otros anteriores, lo redacta con sus propias palabras y plantea las ecuaciones parcialmente

Relaciona el problema con otros anteriores, lo redacta con sus propias palabras y plantea las ecuaciones correctamente.

0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve, Obtiene

No resuelve nada

Resuelve pero no aplica el algoritmo del método de Cramer.

Aplica el algoritmo del método de Cramer incorrectamente

Aplica el algoritmo de del método de Cramer parcialmente.

Aplica el algoritmo del método de Cramer completamente.

0 2 2 4 5

VISION RETROSPECTIVA

Comprueba, Evalúa,

Defiende o Critica

No comprueba nada.

Comprueba la solución incorrectamente

Comprueba la solución correctamente.

Comprueba la solución correctamente, da su respuesta pero no emite juicio de valor.

Comprueba la solución correctamente, da su respuesta y expresa su juicio de valor

0 1 2 4 5

22

UNIDAD I MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente los conceptos y el método de la matriz inversa, con el propósito de plantear, modelar y solucionar problemas específicos de su formación profesional.

FICHA N° 2: Resolver el siguiente problema utilizando la metodología de G. POLYA Una diseñadora de modas que confecciona trajes de noche, tarda 3 horas en cortar y 2 horas en coser un vestido de fiesta. Para confeccionar un terno tarda 3 horas en cortar y 3 horas en coser. En una semana de trabajo la diseñadora dispone de 30 horas para el corte y 24 horas para el cosido. La diseñadora calcula que el número de trajes de noche de cada tipo que puede producir en una semana, teniendo en cuenta que trabaja aprovechando toda su capacidad es el mismo para ambos. Defienda o critique lo calculado por la diseñadora justificando su respuesta. Resuelva utilizando el método de la matriz inversa.


IDENTIFICA


a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema? Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del problema?

b) Identifica las condiciones(verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del problema?

RELACIONA

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. Redacta como vas a resolver el problema.

23

¿Qué operación matemática debes hacer?

RESUELVE

Ejecuto el plan

Operaciones: Construye la matriz aumentada Obteniendo la matriz inversa

REFLEXIONA


Revisamos la solución obtenida: Verificar el resultado ¿Puedes emplear este método en la resolución de otro problema? _________________________________________________________ Respuesta: Emite tu juicio de valor

24



COMPRENSIÓN


No identifica

Identifica las incógnitas, datos y condiciones erróneamente




0 1 2 4 5


No relaciona

Relaciona el problema con otros anteriores, pero no lo redacta con sus propias palabras.

Relaciona el problema con otros anteriores y lo redacta con sus propias palabras.

Relaciona el problema con otros anteriores, lo redacta con sus propias palabras y plantea las ecuaciones parcialmente

Relaciona el problema con otros anteriores, lo redacta con sus propias palabras y plantea las ecuaciones correctamente.

0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve, Obtiene

No resuelve

Resuelve pero no aplica el algoritmo de la matriz inversa.

Aplica el algoritmo de la matriz inversa incorrectamente

Aplica el algoritmo de la matriz inversa parcialmente.

Aplica el algoritmo de la matriz inversa completamente.

0 1 2 4 5


Comprueba, Defiende o

Critica

No comprueba

Comprueba la solución incorrectamente

Comprueba la solución correctamente.

Comprueba la solución correctamente, da su respuesta pero no emite juicio de valor.

Comprueba la solución correctamente, da su respuesta y expresa su juicio de valor.

0 1 2 4 5

26

UNIDAD 2 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CAPACIDAD: Calcula el límite de una función de variable real y determina su continuidad.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente el concepto de continuidad de funciones y analiza la continuidad de una función por tramos.

FICHA N° 1: Resolver el siguiente problema utilizando la metodología de G. POLYA Oscar estudiante del curso de Mat II de la USMP, afirma que esta función por tramos es continua en el punto x=4 y discontinua evitable en el punto x=5, ¿Cuál es su opinión con respecto a esta afirmación? Justifica tu respuesta.

4 2; 0

3 1( ) ; 0 5

4

4 ; 5

x si x

x

xf x si x

x si x


IDENTIFICA


a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema? b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del problema?

Identifica las condiciones(verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del problema?

RELACIONA

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. Redacta cómo vas a resolver el problema ¿Qué operación matemática debes hacer?

27

RESUELVE

Ejecuto el plan

Operaciones: Analizando la función por tramos en cada punto:

REFLEXIONA


Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado Respuesta: Juicio de valor: Emite tu opinión

28



COMPRENSIÓN


No identifica

Identifica las incógnitas, datos y condiciones erróneamente.




0 1 2 4 5


No relaciona

Relaciona la incógnita del problema con la condición, pero no redacta como lo va a resolver.

Relaciona la incógnita del problema con la condición y redacta como lo va a resolver

Relaciona la incógnita del problema con la condición y redacta como lo va a resolver e indica las operaciones matemáticas que va a realizar parcialmente

Relaciona la incógnita del problema con la condición, redacta como lo va a resolver e indica las operaciones matemáticas que va a realizar correctamente.

0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve.

No resuelve Resuelve pero no aplica el algoritmo para analizar la continuidad correctamente.

Aplica el algoritmo para analizar la continuidad correctamente solo en un punto. Pero no indica si es continua o discontinua.

Aplica el algoritmo para analizar la continuidad en ambos puntos parcialmente. Pero no indica si es continua o discontinua.

Aplica el algoritmo para analizar la continuidad correctamente en ambos puntos.

0 1 2 4 5


Comprueba, Evalúa,

Responde.

No comprueba

Comprueba las condiciones de continuidad incorrectamente

Comprueba las condiciones de la continuidad solo en un punto. Indica el tipo de discontinuidad.

Comprueba las condiciones de la continuidad en los dos puntos, indica el tipo de discontinuidad y da su respuesta.

Comprueba las condiciones de la continuidad en ambos puntos e indica si la función es continua o el tipo de discontinuidad. Da su respuesta y emite su opinión.

0 1 2 4 5

29

UNIDAD 2 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CAPACIDAD: Aplica el concepto de límite y la noción geométrica para calcular la derivada de una función.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente el concepto de límite para calcular la derivada de una función utilizando la definición.

FICHA N° 2: Resolver el siguiente problema utilizando la metodología de G. POLYA A la señorita Miriam, estudiante de USMP se le pide hallar la ecuación general de la recta tangente

y de la recta normal a la parábola: 34 5 6y x x en el punto (1, 5)P , utilizando la definición

de la derivada.


IDENTIFICA


a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema?


c) Identifica las condiciones(verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del problema?

RELACIONA

Concibo un plan


30

RESUELVE

Ejecuto el plan

Operaciones:

La ecuación general de la recta tangente es:

La ecuación general de la recta normal es:

REFLEXIONA


Revisamos la solución obtenida: Indica cómo verificar el resultado ¿Puedes emplear este método en la resolución de otro problema? Respuesta:

31



COMPRENSIÓN


No identifica





0 1 2 4 5


No relaciona





0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve.

No resuelve Resuelve pero no aplica el algoritmo de la derivada y la ecuación de la recta.

Aplica el algoritmo de la derivada y calcula la pendiente.

Aplica el algoritmo de la derivada, calcula la pendiente y halla la ecuación de la recta tangente.

Aplica el algoritmo de la derivada, calcula la pendiente y halla la ecuación de la recta tangente y normal.

0 1 2 4 5


Comprueba, Evalúa,

Responde.

No comprueba

Comprueba el problema incorrectamente.

Indica cómo se comprueba la derivada, pero no las ecuaciones.

Indica cómo se comprueba la derivada, y la ecuación de la recta tangente.

Indica cómo se comprueba la derivada, y las ecuaciones de la recta tangente y normal, y da su respuesta.

0 1 2 4 5

33

UNIDAD 3 APLICACIÓN DE LA DERIVADA


CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente la definición y las reglas y/o fórmulas de derivación para hallar la derivada de una función.

FICHA N° 1: Resolver el siguiente ejercicio utilizando la metodología de G. POLYA

Suponga que el ingreso obtenido al vender “ q ” lavadoras es 1

20000 1rq

expresado en

dólares. a) Determine el ingreso marginal cuando se venden 100 lavadoras.

b) Use la función ´r para estimar el incremento en el ingreso como resultado del aumento en la venta de 100 a 101 lavadoras a la semana.

c) Interprete el resultado. PASOS DESARROLLO

Entiendo el

problema

Identifica la/las incógnitas

Identifica los datos

Identifica las condiciones (verbos)

Concibo un plan

Relaciona la condición con la incógnita. Redacta el problema en forma diferente ¿Qué operación matemática debes hacer?

34

Ejecuto el plan

Operaciones:

Examino la

solución

Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado ¿Puedes emplear este método en la resolución de otro problema? Respuesta: Emite tu juicio de valor:

35



COMPRENSIÓN


No identifica nada





0 1 2 4 5


No relaciona nada





0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve, Obtiene

No resuelve nada

Resuelve pero no aplica el algoritmo adecuado para derivar correctamente.

Aplica el algoritmo adecuado y deriva parcialmente la función.

Aplica el algoritmo adecuado y deriva completamente la función. No evalúa.

Aplica el algoritmo adecuado, deriva y evalúa completamente la función y obtiene el resultado.

0 1 2 4 5


Comprueba, Evalúa,

Responde.

No comprueba nada.

Comprueba el resultado obtenido incorrectamente

Comprueba el resultado obtenido parcialmente.

Comprueba el resultado obtenido correctamente y da su respuesta.

Comprueba el resultado obtenido correctamente, da su respuesta y emite su juicio de valor

0 1 2 4 5

36

UNIDAD 3 APLICACIÓN DE LA DERIVADA


CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente la definición y las reglas y/o fórmulas de derivación para hallar la derivada de una función.

FICHA N° 2: Resolver el siguiente problema utilizando la metodología de G. POLYA

La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende pantalones, está dada por:

25350, 6 60C q

q , donde C está en dólares y q es el número de unidades producidas.

Determine:

a) El nivel de producción que minimiza el costo promedio.

b) El costo promedio mínimo.

PASOS DESARROLLO


Identifica la/las incógnitas

Identifica los datos

Identifica las condiciones (verbos)

Concibo un plan


37

Ejecuto el plan

Operaciones:


Revisamos la solución obtenida: Indica como verificar el resultado ¿Puedes emplear este método en la resolución de otro ejercicio? Respuesta: Emite tu juicio de valor

38



COMPRENSIÓN


No identifica nada





0 1 2 4 5


No relaciona nada





0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve, Obtiene

No resuelve nada

Resuelve pero no aplica el algoritmo adecuado para derivar correctamente.

Aplica el algoritmo adecuado y deriva parcialmente la función.

Aplica el algoritmo adecuado y deriva completamente la función.

Aplica el algoritmo adecuado, deriva completamente la función y obtiene el resultado.

0 1 2 4 5


Comprueba, Evalúa,

Responde.

No comprueba nada.



Comprueba el resultado obtenido correctamente y responde correctamente.

Comprueba el resultado obtenido, responde correctamente y emite su juicio de valor

0 1 2 4 5

40

UNIDAD 4 INTEGRALES

CAPACIDAD: Aplica el cálculo integral en el desarrollo y resolución de problemas relacionados con su especialidad

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente la definición de la integral y las reglas y/o fórmulas de integración en una función.


La función de ingreso marginal de una empresa dedicado a la fabricación de pantalones Jeans

es, 29 200dr

q qdq

donde q es el número de unidades producidas. El gerente decide

fabricar y vender un lote de 50 unidades; porque indica que el ingreso para 50 unidades es mayor a S/. 13 000. Esta Ud. de acuerdo con la apreciación del gerente. PASOS DESARROLLO

Entiendo el

problema

Concibo un plan

41

Ejecuto el plan

Examino la

solución

42



COMPRENSIÓN


No identifica nada





0 1 2 4 5


No relaciona nada





0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve, Obtiene

No resuelve nada

Resuelve pero no aplica el algoritmo adecuado para integrar correctamente.

Aplica el algoritmo adecuado e integra parcialmente la función.

Aplica el algoritmo adecuado e integra completamente la función.

Aplica el algoritmo adecuado, integra completamente la función y obtiene el resultado.

0 1 2 4 5


Comprueba, Evalúa,

Responde.

No comprueba nada.



Comprueba el resultado obtenido y responde correctamente.

Comprueba el resultado obtenido, responde correctamente y emite su juicio de valor

0 1 2 4 5

43

UNIDAD 4 INTEGRALES

CAPACIDAD: Aplica el cálculo integral en el desarrollo y resolución de problemas relacionados con su especialidad

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica acertadamente la definición de la integral y las reglas y/o fórmulas de integración en una función.


Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de

21 ( ) 100R x x miles de dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

de 2 ( ) 230 2R x x miles de dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?

b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por el plan más rentable, durante el periodo obtenido en la parte a)?

Un inversionista afirma que el segundo plan será rentable por más de 12 años y que las ganancias netas superan los 20 000 dólares. ¿Qué opinas respecto a esta afirmación? PASOS DESARROLLO

Entiendo el

problema

Concibo un plan

44

Ejecuto el plan

Examino la

solución

45



COMPRENSIÓN


No identifica nada





0 1 2 4 5


No relaciona nada





0 1 2 4 5

EJECUCIÓN Aplica,

Resuelve, Obtiene

No resuelve nada

Resuelve pero no aplica el algoritmo adecuado para integrar correctamente.

Aplica el algoritmo adecuado e integra parcialmente la función.

Aplica el algoritmo adecuado e integra completamente la función.

Aplica el algoritmo adecuado, integra completamente la función y obtiene el resultado.

0 1 2 4 5


Comprueba, Evalúa,

Responde.

No comprueba nada.


Comprueba el resultado obtenido y responde parcialmente.

Comprueba el resultado obtenido y responde correctamente.

Comprueba el resultado obtenido y responde correctamente, emite su juicio de valor.

0 1 2 4 5

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