Optimización Multiobjetivo

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Antonio H. Escobar ZuluagaAntonio H. Escobar Zuluaga

Universidad Tecnológica de Pereira - ColombiaUniversidad Tecnológica de Pereira - Colombia

20142014

Optimización Multiobjetivo: Forma general

Optimización Multiobjetivo: vector de objetivos

• Las funciones objetivo son una representación matemática de los criterios usados para determinar la calidad de una solución.

• Pueden representarse matemáticamente a través de un vector de objetivos:

Optimización Multiobjetivo: vector solución y vector de objetivos

• Al evaluar una solución particular en las k funciones objetivo se tienen dos vectores:

Optimización Multiobjetivo: Espacio de objetivos

• Las imágenes de las soluciones definen al denominado espacio de objetivos. Por lo tanto, existe un espacio de soluciones y un espacio de objetivos.

Optimización Multiobjetivo: Concepto de dominancia

Concepto de dominancia para problema Min-Min

Minimizar f1

Min

imiz

ar f2

Dominancia y frotera Pareto-Optima para dos funciones objetivo

Optimización Multiobjetivo: concepto de trade-off

• Existe una dificultad inherente para varios objetivos en conflicto: La imposibilidad de encontrar una solución que sea simultáneamente buena para todos los objetivos.

• El concepto de Trade-off se asocia al hecho de que al seleccionar una solución en lugar de otra se obtiene una mejora de unos aspectos y el empeoramiento de otros.

Optimización Multiobjetivo: concepto de trade-off

• La práctica señala que el usuario solo requiere una solución. Cual seleccionar?

• Se requiere información adicional más especializada.

• Si a cada objetivo le corresponde un nivel de importancia conocido (ponderación) se selecciona la solución de la frontera Pareto-Optima que más se aproxima a esta preferencia.

• Un decisor (decision maker) toma la decisión.

Metas de la optimización Multiobjetivo

• Minimizar la distancia entre cada objetivo individual y su valor óptimo mono-objetivo (suponiendo que conocemos su ubicación ).

• Maximizar la uniformidad de la distribución de las soluciones no dominadas (que expresen diferentes compromisos: trade-off).

• Maximizar la cantidad de soluciones de la frontera Pareto-Optima.

• Maximizar la eficiencia computacional.

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo

• En la práctica deben usarse diferentes métricas para evaluar los distintos aspectos del desempeño del algoritmo.

• Se mide en función de los aspectos que se desean:

1. cercanía a las soluciones mono-objetivo,

2. uniformidad,

3. cantidad de soluciones.

4. Eficiencia computacional

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo

z*

problema min-min

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo

• La mayor parte de las métricas proponen comparar la frontera Pareto-Optima obtenida por el algoritmo con la denominada PF-true o Verdadera Frontera Pareto Optima.

• Las medidas de error resultantes de esta comparación indican la efectividad del algoritmo analizado.

Eficiencia de un algoritmo Multiobjetivo

algoritmo A algoritmo B

problema min-min

Métrica de la Tasa de Error:

• Indica el porcentaje de soluciones de la frontera Pareto-Optima encontrada que no pertenecen a PF-true.

• Donde n es el número de soluciones de la frontera Pareto-Optima encontrada, ei = 0 si la solución i pertenece a PF-true y ei = 1 si no pertenece.

• Un algoritmo ideal debe tener un E = 0.

Métrica de Distancia Generacional:

• Indica la distancia que hay entre la frontera Pareto-Optima encontrada y la PF-true:

• GD es la distancia estimada, n es el número de soluciones de la frontera Pareto-Optima encontrada, di es la distancia euclidiana en el espacio de objetivos entre cada solución y el componente mas cercano de PF-true.

Niched Pareto Genetic Algorithm (NPGA)

A no domina a B

A se prefiere sobre B

problema min-min

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo No Elitistas

Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA)

problema min-min

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo No Elitistas

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Elitistas

• Los operadores de ELITE favorecen las mejores soluciones de una población dándole mayor oportunidad de pasar a la próxima generación.

• Cuando se comparan configuraciones se incluyen padres y descendientes para determinar quien pasa a la próxima generación.

• Los padres élite compiten con sus propios hijos para determinar quien sobrevive.

Distance-Based Pareto Genetic Algorithm (DPGA)

•Calcula distancia euclidiana de cada componente de la población Pt a la población élite Et :

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Elitistas

Pt

Et

Distance-Based Pareto Genetic Algorithm (DPGA)

•Determina la distancia euclidiana mínima de cada componente de la población Pt a la población élite Et :

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo Elitistas

Pt

Et

A

B C

D

E

h

dmin

DPGA

A

B C

D

E

h

dmin

A

B C

D

E

h

dmin

F(h) = K - dmin

a

F(a) = K + dmin

Para soluciones dominadas: Para soluciones no dominadas:

• Las soluciones con valores mayores que K entran a la población élite y eliminan a las soluciones élite que dominan.

• Las soluciones con valores menores que K son preservadas en la población Pt pero no entran a la población élite Et.

• A las soluciones de la población Pt se les aplica selección, recombinación y mutación y se crea la población de la siguiente generación.

• Las soluciones son mayor función de adaptación son Pareto-Optimas y son las más aisladas.

DPGA

Frente Pareto-Optimo, frentes no óptimos y diversidad:

NSGA-II

problema min-min

NSGA-II

• En la iteración t (ciclo generacional t) se tiene un conjunto de soluciones que conforman la población Pt.

• La población Pt se denomina población de padres.

NSGA-II

• A la población de padres Pt se le aplica selección, recombinación y mutación y se genera una población Qt de descendientes del mismo tamaño.

• Rt = Pt + Qt

NSGA-II

La población Rt se separa a través de frentes de dominancia Fi y se ordenan las soluciones de cada frente aplicando distancia de apilamiento.

NSGA-II

Se seleccionan las soluciones de los frentes de dominancia Fi menores y con mayor distancia de apilamiento para la nueva población P(t+1).

NSGA-II

Nueva población

NSGA-II

Distancia de apilamiento:

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo

Conceptos aplicados en otras técnicas MO:

Hipermalla: Permite controlar la uniformidad respecto a todas las funciones objetivo.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo

Conceptos aplicados en otras técnicas MO:

Malla asimétrica: Permite controlar la uniformidad respecto a una o un subgrupo de funciones objetivo.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo

Conceptos aplicados en otras técnicas MO:

Clustering: Permite controlar tamaño de la frontera Pareto-Optima manteniendo diversidad.

separaren clusters

hallarcentroides

Eliminarsoluciones

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo

Conceptos aplicados en otras técnicas MO:

Dominación guiada: Permite evaluar una subregión de la frontera Pareto-Optima.

• Define una nueva función que pondera las funciones objetivo.

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo

Conceptos aplicados en otras técnicas MO:

Dominación guiada:

región dominada tradicional nueva región

dominada

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo

Conceptos aplicados en otras técnicas MO:

Paralelismo: Permite mejorar la eficiencia computacional.

Procesador maestro

Procesador esclavo Procesador esclavo

variables de decisión

funciones objetivo

Esquema Maestro-Esclavo

Técnicas Metaheurísticas Multiobjetivo

Conceptos aplicados en otras técnicas MO:

Paralelismo: Permite mejorar la eficiencia computacional.

subpoblación 2

migración

Esquema subpoblaciones con migración controlada

subpoblación 1

subpoblación 3 subpoblación 4

migración

migración

migración