Plataforma computacional para el análisis probabilístico de

modelos óseos basados en TAC

M Ciaccia1,2

, C Müller-Karger1, E Casanova

1 y T San Antonio

1,2

1Grupo de Biomecánica, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela.

2Centro de Investigaciones en Mecánica (CIMEC), Facultad de Ingeniería,

Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela.

Correo: mciaccia@uc.edu.ve

Resumen. Los modelos óseos personalizados que se construyen a partir de tomografías axiales

computarizadas se emplean para evaluar las distribuciones de esfuerzos y deformaciones, el

comportamiento de implantes y el riesgo de fractura, entre otros. Las tomografías permiten

obtener la distribución de densidades con la cual se calculan propiedades mecánicas utilizando

ecuaciones experimentales. Sin embargo, la dispersión inherente a las ecuaciones puede afectar

de forma significativa el comportamiento de los modelos óseos. El objetivo de esta

investigación es desarrollar programas que permitan el muestreo de las variables

probabilísticas de entrada y el análisis de las variables probabilísticas de salida. Los resultados

de este trabajo predicen un 16.9% de probabilidad de que ocurra una falla. La comparación de

estos resultados con los de otros trabajos publicados permite concluir que los programas

desarrollados para la generación y asignación de propiedades mecánicas al modelo óseo, así

como el utilizado para procesar los resultados finales funcionan adecuadamente. Esto significa

que se ha logrado integrar los programas comerciales y los desarrollados para este estudio en

una plataforma que permite el análisis probabilístico de modelos óseos con incertidumbre en

las propiedades mecánicas, de manera semi automatizada, sencilla y efectiva.

1. Introducción

Los métodos de análisis probabilístico permiten estudiar las incertidumbres y variaciones propias de

cualquier fenómeno simulado numéricamente. Si bien este tipo de análisis ha sido ampliamente

utilizado en la industria automotriz y aeronáutica, sólo en los últimos años ha comenzado a aplicarse a

variables involucradas en estructuras biológicas, tales como la reconstrucción geométrica y la

asignación de propiedades mecánicas a modelos personalizados de huesos.

Los modelos óseos personalizados que se construyen a partir de tomografías axiales

computarizadas (TAC) se emplean para evaluar las distribuciones de esfuerzos y deformaciones, el

comportamiento de implantes y el riesgo de fractura, entre otros. A partir de las TAC se puede obtener

la distribución de densidades con la cual se calculan propiedades mecánicas, tales como el módulo de

elasticidad y la resistencia a la fractura, utilizando correlaciones determinadas experimentalmente [1,

2, 4, 8, 9]. Sin embargo, la dispersión inherente a las correlaciones experimentales puede afectar

significativamente los resultados y conclusiones referentes al comportamiento de los modelos óseos

[7,10].

Esta investigación representa los primeros pasos en la creación de una plataforma computacional

para el análisis probabilístico de modelos óseos con materiales complejos. El objetivo de esta etapa es

desarrollar los programas que permitan el muestreo de las variables probabilísticas de entrada y el

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análisis de las variables probabilísticas de salida. Con el fin de validar la metodología desarrollada en

este trabajo se incorporarán al modelo las condiciones de contorno utilizadas por Laz et al. [7], de

forma que los resultados sean comparables.

2. Metodología

2.1. Construcción del modelo heterogéneo de fémur

Se utilizaron TAC de un fémur perteneciente a un paciente masculino de 38 años de edad, 1.77 m de

estatura y 95 kg de peso en aparente buen estado de salud. El procedimiento para generar el modelo de

154 mm de longitud se puede resumir en tres etapas: (1) se reconstruyó la superficie utilizando las

TAC mediante un proceso de segmentación para generar los contornos en el programa SurfDriver, (2)

se importaron los contornos al programa ANSYS para suavizarlos y generar un volumen a partir de

éstos, (3) se construyeron mallas de elementos finitos a partir del volumen creado, utilizando

tetraedros de 10 nodos. El tamaño de la arista del elemento se varió de 7 a 2.5 mm (17403 a 231819

elementos) a fin de obtener la convergencia. Se seleccionó la malla 4 con 99614 elementos con una

longitud de arista de 3.4 mm.

A fin de crear un modelo heterogéneo se asignó un valor de densidad aparente a cada elemento.

Esto se realizó con el programa doméstico GVDensity, el cual lee las unidades Hounsdfield (UH) de las

imágenes tomográficas para cuatro puntos de Gauss y calcula la densidad aparente por medio de la

ecuación de calibración del tomógrafo (1), la cual se estableció como determinística para este estudio.

= 0.0007625*UH+0.7808 (g/cm3) (1)

Finalmente, la densidad asignada al centroide de cada elemento ( e ) se calculó como un promedio

ponderado de la densidad aparente () en cada punto de Gauss utilizando la ecuación (2):

e

4

1e 4

e

1

, , d ( , , )det ( , , )

det ( , , )

J

J

i i i i i i iV i

i i i ii

x y z V w

Vw

(2)

Donde Ve es el volumen del elemento e, (x,y,z) son las coordenadas en el sistema de referencia de

las TAC, ( , , ) i i i son las coordenadas locales del punto de Gauss en el sistema de referencia del

elemento, wi es la función de ponderación de la integración numérica de Gauss, y J representa el

jacobiano de la transformación.

2.2. Condiciones de borde

Con la intención de validar la metodología se aplicaron condiciones de borde (CB) similares a las

presentadas por Laz et al. [7]. Así, se aplicó una carga de 10 kN en la cabeza del fémur a un ángulo de

20 del eje longitudinal en el plano frontal. Dicha carga está basada en la fase de apoyo del ciclo de

marcha (ver figura 1). La fuerza se aplicó en la cabeza del fémur y se distribuyó uniformemente entre

los nodos ubicados aproximadamente a 1.5 cm del punto de aplicación. Adicionalmente se

restringieron todos los desplazamientos en los nodos del extremo distal del modelo.

2.3. Análisis probabilístico

Como método probabilístico se utilizó la simulación de Monte Carlo, por su facilidad de

implementación y la precisión de sus resultados.

En la tabla 1 se presentan las variables probabilísticas de entrada que se utilizaron en este estudio

para construir un modelo heterogéneo con un material lineal, frágil e isotrópico. El módulo de

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elasticidad (E) y la resistencia a la ruptura (S) son funciones de la densidad y de las variables

probabilísticas de entrada, las cuales tienen una distribución normal. Las medias de las cuatro

variables (a, b, c, d) y las desviaciones estándar para los exponentes están basadas en los datos

obtenidos por Keller [3] a partir de sus ensayos con 297 especímenes. Los valores de las desviaciones

estándar de los coeficientes se fijaron de forma que un análisis de Monte Carlo de 1000 muestras

realizado con variabilidad en todos los parámetros contuviera ajustadamente la dispersión observada

en los datos, tanto del módulo de elasticidad como de la resistencia [7].

Se establecieron como variables probabilísticas de salida el esfuerzo máximo de von Mises (vm) y

el riesgo de fractura (RF), el cual se define mediante la ecuación (3):

RF = vmS-1

(3)

Se utilizó el esfuerzo máximo de von Mises como variable de salida ya que éste permite evaluar el

desempeño de la plataforma computacional desarrollada. Por otra parte, el riesgo de fractura se

selecciona debido a su importancia en diversas aplicaciones clínicas.

2.4. Plataforma computacional

La plataforma computacional elaborada se muestra gráficamente en la figura 2, donde en cada paso,

numerado en la esquina superior izquierda de los cuadros, se indica el nombre del programa

desarrollado y la herramienta de programación utilizada.

A continuación se describen los tres pasos que conforman la plataforma para realizar el análisis

probabilístico de un modelo de fémur. Esta requiere como entradas: la malla del modelo, las

condiciones de borde y la densidad aparente de cada elemento () calculada a partir de las TAC.

Figura 1. Recta de acción de la fuerza.

Tabla 1. Ecuaciones para las propiedades del material [7].

Ecuación Coeficiente Exponente

E (GPa)= ab a (= 1.99; = 0,30) b (= 3.46; = 0.12)

S (MPa)= cd c (= 26.9; = 2,69) d (= 3.05; = 0.09)

, : media y desviación estándar de la distribución normal.

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Paso 1. GVProb

Para realizar el análisis probabilístico se requiere muestrear repetidamente las propiedades del

material. El programa GVProb, desarrollado en el lenguaje C++, está diseñado para ser llamado desde

ANSYS y generar en cada llamado el módulo de elasticidad y la resistencia a la ruptura para cada

elemento de la malla a partir de las densidades. Para determinar las propiedades mecánicas (E, S),

GVProb calcula en cada iteración las variables probabilísticas (a, b, c, d) como muestras de

distribuciones normales que cumplen con la media () y desviación estándar () descritas en la tabla 1.

Paso 2. FemProb

Esta subrutina para ANSYS lee la malla y las condiciones de borde para crear el modelo,

posteriormente y de forma iterativa interactúa con el programa GVProb, para obtener un juego de

propiedades E y S que se asigna a cada elemento de la malla. Luego se efectúa la simulación y con el

esfuerzo de von Mises y la resistencia se calcula el riesgo de fractura almacenando los resultados de

forma que puedan utilizarse para ser analizados, en el caso de este estudio, mediante funciones de

distribución acumulativa (FDA) y funciones de densidad de probabilidad (FDP).

Paso 3. CDF

Finalmente, se escribió una subrutina para MATLAB que toma los resultados de las 1000

simulaciones de ANSYS y grafica las FDA y las FDP para las variables aleatorias riesgo de fractura y

esfuerzo máximo de von Mises. Esta subrutina permite especificar límites porcentuales inferior y

superior para la salida gráfica de los datos.

3. Resultados

3.1. Validación de la curva de calibración del tomógrafo

Utilizando la ecuación (1) se obtiene para las TAC del modelo de este estudio los valores mínimos,

máximos y medios para la densidad aparente, el módulo de elasticidad y la resistencia a la fractura, los

cuales están reportados en la tabla 2. Estos valores corresponden a la ecuación de Keller [3], utilizada

de forma determinística para obtener el módulo de elasticidad a partir de la densidad aparente. Los

valores reportados en la tabla 2 están en concordancia con los esperados para un fémur humano.

Tabla 2. Propiedades del material para el modelo de fémur

utilizando la curva de calibración del tomógrafo.

Propiedad Mínima Media Máxima

(g/cm3) 0.691 1.15 1.96

E (GPa) 0.523 3.48 14.5

S (MPa) 9.49 53.9 209

3.2. Análisis probabilístico

Se efectuaron 1000 iteraciones, las cuales tomaron un tiempo computacional de 14.2 horas, con un

promedio de 51.3 segundos por corrida en un computador con un procesador de doble núcleo a

2.66 GHz, sistema operativo de 64 bits y 6 GB de memoria. En la figura 3 se muestran las

distribuciones del esfuerzo de von Mises, resistencia a la fractura y riesgo de fractura para una de las

FDA

Histograma

TAC CDF

(MATLAB)

E, S , RF GVProb

(C++)

FemProb

(ANSYS)

Malla y CB

1 2 3

Análisis

Figura 2. Plataforma computacional para análisis probabilístico.

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corridas. Se puede observar que las distribuciones de esfuerzo y de riesgo de fractura son coherentes

entre sí, siendo la zona de mayor riesgo de fractura más amplia que la región de mayor esfuerzo, y

estando ambas ubicadas en la parte inferior del cuello del fémur. En la figura 4 se presentan las

funciones de distribución acumulativa y las funciones de densidad de probabilidad correspondientes al

esfuerzo máximo de von Mises y el riesgo de fractura.

Para el modelo de fémur proximal analizado se obtuvo que la media del módulo de elasticidad

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4. Resultados, (a) FDA del esfuerzo de von Mises, (b) FDP del esfuerzo de von Mises,

(c) FDA del riesgo de fractura, (d) FDP del riesgo de fractura.

(a) (b) (c)

Bajo Alto

Figura 3. Distribuciones, (a) esfuerzo de von Mises, (b) resistencia a la fractura, (c) riesgo de fractura.

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promedio fue de 4428 MPa y los valores límites (1% y 99%) de 2794 y 6207 MPa respectivamente. El

esfuerzo máximo medio fue de 118 MPa y sus valores límites (1% y 99%) de 113 y 123 MPa

respectivamente. La media del riesgo de fractura fue de 0.909 y con unos valores límites (1% y 99%) de

0.730 y 1.22 respectivamente.

4. Discusión

Los parámetros probabilísticos utilizados producen valores de propiedades mecánicas en los rangos

correctos para el fémur humano [7], siendo la variabilidad del módulo de elasticidad promedio de

77.1% y la del esfuerzo máximo de 8.5%.

Las distribuciones del esfuerzo y del riesgo de fractura que se muestran en la figura 3 son

consistentes con la carga aplicada. En dicha figura también se puede observar que la distribución de la

resistencia a la fractura es más elevada en la epífisis del hueso, coincidiendo con la distribución

fisiológica de densidades. Los resultados indican que el riesgo de fractura se concentra en el cuello del

fémur, con un 16.9% de probabilidades de que ocurra dicha falla (figura 4c), en concordancia con la

evidencia experimental [4, 5, 6] y a diferencia del trabajo de Laz et al. [7], en el cual se predice que la

probabilidad de que ocurra la fractura es cero.

La figura 4 muestra cómo el sistema transforma las variables de entrada, con distribución normal,

para producir las variables de salida. La FDP para el esfuerzo de von Mises exhibe una asimetría de

0.0111 y una curtosis de -0.11, lo cual implica que tiene una distribución similar a la normal. En

contraste, la FDP del riesgo de falla se puede considerar log-normal, ya que al tomar el logaritmo

natural de este resultado se obtiene una asimetría de 0.348 y una curtosis de 0.29.

Con base en la afinidad que existe entre los resultados obtenidos en este trabajo y trabajos previos

[7], se puede concluir que los programas desarrollados para la generación y asignación de propiedades

mecánicas al modelo de EF, así como el utilizado para la creación de las FDA y FDP con los

resultados finales, funcionan adecuadamente. En consecuencia, se ha logrado integrar los programas

comerciales y los desarrollados en esta investigación en una plataforma que permite el análisis

probabilístico de modelos óseos con incertidumbre en las propiedades mecánicas, de manera semi

automatizada, sencilla y efectiva.

Referencias

[1] Carter D R y Hayes W C 1977 Journal of Bone and Joint Surgery 59-A 954–62.

[2] Hernandez C J, Beaupre G S, Keller T y Carter D R 2001 Bone 29 74–78.

[3] Keller T S 1994 Journal of Biomechanics 27 1159–68.

[4] Keyak J H 2000. Journal of Biomechanics 33 499–502.

[5] Keyak J H y Falkinstein Y. 2003 Medical Engineering & Physics 25 781–87.

[6] Keyak J H, Rossi S A, Jones K A, Les C M y Skinner H B 2001 Medical Engineering &

Physics 23 657–64.

[7] Laz P, Stowe J, Baldwin M, Petrella A y Rullkoetter P 2007. Journal of Biomechanics 40

2831-36.

[8] Morgan E F, Bayraktar H H y Keaveny T M 2003 Journal of Biomechanics 36 897–904.

[9] Rho J Y, Hobatho M C y Ashman R B 1995 Medical Engineering & Physics 17 347–55.

[10] Taddei F, Martelli S, Reggiani B, Cristofolini L y Viceconti M 2006 IEEE Transactions on

Biomedical Engineering 53 2194–2200.

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