Plano de Vertedero

“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

HUANCAVELICA

CATEDRÁTICO : Ing. Judith, MARTINEZ QUISPE.

CÁTEDRA : Mecánica de Suelos II.

ESTUDIANTES : BEDOYA ESPINOZA, Jorge Luis

CONDORI DUEÑAS, Edison

CCOYLLAR URRUCHI, Engels Vladimir

MERINO ORTIZ, Rodrigo

TELLO LAURA, Ciro Robinson

CICLO : VI

SECCIÓN : “B”

Huancavelica – Perú 2013

DESARROLLO DEL CALCULO DE COEFICIENTE DE

CONSOLIDACION, DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE TAYLOR

FACULTAD De CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA

TEMA:

Universidad Nacional de Huancavelica - Ing. Civil-Hvca

Aditivos Para el Concreto Página 2

A nuestros padres por su apoyo incondicional.



ÍNDICE RESUMEN ................................................................................................................................ 4

INTRODUCCION ...................................................................................................................... 5

DESARROLLO DE CALCULO DE COEFICIENTE DE CONSOLIDACION ........................................ 6

I. Conceptos previos: ..................................................................................................... 6

Analogía mecánica de Terzaghi: ...................................................................................... 6

1. Ecuación diferencial de la consolidación unidimensional .................................. 8

2. Solución de la ecuación de la consolidación unidimensional ........................... 15

3. Factores que influyen en el tiempo de consolidación ....................................... 28

4. Comparación entre la curva de consolidación teórica y las reales obtenidas en

el laboratorio ................................................................................................................ 31

5. Determinación del coeficiente de permeabilidad a partir de los datos de una

prueba de consolidación ............................................................................................. 34

6. Asentamiento total primario de un estrato arcilloso sujeto a consolidación y

evolución del mismo .................................................................................................... 35

DESCRIPCION EN DETALLE DEL METODO DE TAYLOR .......................................................... 41

CONCLUSIÓN ........................................................................................................................ 44

REFERENCIAS ........................................................................................................................ 45



RESUMEN TITULO: DESARROLLO DEL CALCULO DE COEFICIENTE DE CONSOLIDACION, DESCRIPCIÓN

DEL MÉTODO DE TAYLOR

CONTENIDO: El problema de la consolidación es esencialmente un problema de flujo de agua

no establecido a través de una masa porosa. Una hipótesis del análisis que sigue es que tanto

el agua como las partículas del suelo son totalmente incomprensibles .y también se aceptara

que el agua llena totalmente los vacíos del suelo; que el suelo está totalmente saturado por

tanto teniendo estas hipótesis estudiaremos y desarrollaremos el cálculo de coeficiente de

consolidación teniendo en cuenta el método de Taylor.

Taylor propuso un método para obtener el tiempo de consolidación para un porcentaje de

consolidación del 90% a partir de la curva de deformación-√ correspondiente al escalón de

carga que representa la situación in situ.

PALABRAS CLAVES: consolidación, flujo, incomprensibles, saturado, in situ.



INTRODUCCION El proceso de reducción de volumen de un suelo saturado por efecto de la aplicación de una

carga constante es lo que se conoce como Consolidación, es considerada como una

deformación plástica en función del tiempo y del exceso de presión de poros. La importancia

de este concepto radica en que las deformaciones de la mayoría de los suelos bajo cargas de

diferentes magnitudes son mucho mayores que la de otros materiales estructurales, por esto

se recurre a la reproducción del fenómeno en el laboratorio mediante equipos conocidos

como consolidó metros o edómetros

En una situación real donde es preciso resolver un problema de consolidación de suelo, es

necesario determinar no solo el tiempo en la cual se produce la consolidación sino también el

coeficiente de consolidación que tendrá lugar debido a la deformación del suelo. Para esto se

realiza la prueba de consolidación, o también llamada prueba de compresión confinada, la

cual consiste en someter a un esfuerzo de compresión axial a una muestra inalterada del suelo

en estudio. La muestra deberá ser inalterada, porque como ya se mencionó, la consolidación

depende de la estructura del suelo.

El objetivo del presente trabajo es demostrar las formulas del coeficiente de consolidación

mediante el método de Taylor y así saber para qué sirve y donde aplicar dicho coeficiente.

Los cuales permiten calcular la magnitud de los asentamientos y estimar el tiempo de

ocurrencia. Para la obtención de estos se requiere de una serie de procedimientos gráficos,

matemáticos las cuales más adelante pasaremos a detallar.



DESARROLLO DE CALCULO DE COEFICIENTE DE CONSOLIDACION I. Conceptos previos:

Analogía mecánica de Terzaghi:

Para comprender mejor el proceso de consolidación, Terzaghi propuso un modelo

mecánico. Éste consiste en un cilindro de sección A con un pistón sin fricción el cual posee una pequeña perforación. Dicho pistón se encuentra unido a un resorte y el cilindro en su interior está lleno de un fluido incompresible, tal como se muestra en la Figura 4. El proceso comienza con la aplicación de una carga de valor P sobre el pistón. En este primer instante el orificio se encuentra cerrado y el resorte no tiene posibilidad de deformarse, en consecuencia no ejerce fuerza alguna. Es así que la fuerza P es soportada en su totalidad por el fluido. En una segunda instancia se abre el orificio y se genera un gradiente de presiones P/A (A: área del pistón) entre el interior y el exterior del cilindro lo que ocasiona el flujo del líquido hacia el exterior, y a medida que el fluido sale, el resorte comienza a deformarse y por lo tanto comenzará a tomar una porción de la carga P. La velocidad a la cual se transfiere la carga desde el fluido al resorte depende del tamaño del orifico y de la viscosidad del fluido. Finalmente, la posición de equilibrio se da cuando la presión en el fluido iguala la presión exterior y el resorte ha tomado la totalidad de la fuerza P.

En analogía con el caso del suelo, la estructura de partículas sólidas es representada por el resorte; el agua intersticial por el fluido incompresible; y, por último, las redes de capilares continuos (vacíos) son representadas por el orificio. Para entender mejor como varían las presiones dentro de un estrato de suelo saturado ante la aplicación de una carga durante el proceso de consolidación, se analiza una batería de cilindros comunicados, de acuerdo al esquema de la Figura 5.



Análogamente a la situación de un cilindro individual, en un instante inicial ninguno de los resortes ha sido deformado por lo que la carga aplicada P, es soportada por el fluido con una sobrepresión neutra . Luego de transcurrido un tiempo, se abre el orificio y comienza el flujo del líquido hacia el exterior. Como éste sólo puede hacerlo por la parte superior del modelo, el resorte del cilindro superior comenzará a deformarse y la sobrepresión del líquido comenzará a transferirse desde el fluido hacia el resorte. Al reducirse la presión del fluido en el primer cilindro se genera un gradiente de presiones entre este cilindro y el contiguo a éste, por lo cual se inicia nuevamente el proceso de transferencias de presiones. En los cilindros inferiores las condiciones no han variado significativamente por lo que en ellos la carga aplicada aún es soportada por el fluido. A medida que pasa el tiempo y se completan los procesos de transferencia de presiones en todos los cilindros la carga será soportada por el conjunto de resortes y el flujo hacia el exterior se detendrá. Considerando que los cilindros tienen un volumen diferencial, se tiene un modelo de cómo se comporta un estrato de suelo, de altura h en condiciones en las que el flujo de agua se realice por la parte superior (esto ocurre, por ejemplo, cuando por debajo del mismo yace un estrato impermeable). Queda como ejercicio para el alumno trazar las gráficas esquemática de presiones totales, neutras y efectivas para distintos tiempos ( ) cuando se aplica una carga externa a un estrato de suelo compuesto por suelos finos arcillosos saturados.



1. Ecuación diferencial de la consolidación unidimensional

Se vio que en un proceso de consolidación unidimensional, con flujo vertical, si tiene:

Figura 1.1. Distribución de presiones en un estrato un superficial del suelo homo genio y

compresible, con NAF en la frontera superior.

Se trata ahora de obtener dicha función; en otras palabras, de establecer

matemáticamente el fenómeno físico estudiado.

Considérese un elemento de volumen de extracto mostrado en la Fig. 1.2. El espesor

de elemento es . Por simplicidad se considera que las fronteras a superior e inferior del

elemento cubren un área unitaria.

Sea la presión del agua en exceso de la hidrostática; en la situación indicada por el

punto 1 ( ):

(1-0)

El punto 2 representa la presión en el mismo tiempo, pero a una profundidad ; por lo

tanto:

(1-1)

El punto 3 representa la presión a la misma profundidad que 1, pero a tiempo :



(1-2)

Finalmente, el punto 4 representa una presión que varía en un tiempo y en una

profundidad , respecto a la presión en 1.

*

+

(1-3)

El problema de la consolidación es esencialmente un problema de flujo de agua no

establecido través de una masa porosa. Una hipótesis y análisis que siguen es que tanto el

agua como las partículas de suelo son totalmente incompresibles. También se acepta que el

agua llena totalmente los vacíos de suelo; es decir, que el suelo está totalmente saturado. La

primera de las anteriores hipótesis puede considerarse muy cercana a la realidad, dentro del

orden de presiones que las estructuras ingenieriles comunican al suelo. La segunda tampoco

debe verse como una hipótesis demasiado apartado de la situación prevaleciente en la

mayoría de los suelos arcillosos (a los que, como se verá, se aplica sobre todo la teoría de la

consolidación unidimensional), propios de depósitos sedimentarias en zonas planas, con nivel

freático muy superficial y, por lo tanto, en condición por lo menos muy cercana a la saturación

total.

Como las anteriores hipótesis debe tenerse que la diferencia entre la cantidad de agua

que sale por la cara I del elemento de suelo del elemento de suelo mostrado en la Fig. 1.2 y la

que entra por la cara II del mismo en el tiempo , debe ser igual a los cambios de volumen

(compresión o expansión) del elemento en el mismo tiempo.

Estas cantidades de agua dependen de los gradientes hidráulicos actuantes en ambas

caras , los cuales son proporcionales a la pendiente de la gráfica de distribución de presión en

los puntos señalados en la



Figura. 1.2. En distribución de presiones de los tiempos en un elemento de volumen

sujeto a consolidación.

(1-4)

La anotación con derivada parcial obedece a que ahora es función tanto de como

de , pero sólo su variación respecto a interesa para defender el gradiente hidráulico. El

coeficiente

Se utiliza para transformar la presión a carga hidráulica expresada como

altura del agua. El gradiente Es representativo para toda la cara superior de elemento en la

Fig. 1.2 en tiempo .

Análogamente, el gradiente hidráulica en 2, representativa existente en la cara

inferior del elemento en tiempo t, será:

(

) (1-5)



Aplicando la ley de Darcy, supuesta valida, la cantidad de agua, en unidades de

volumen, que sale del elemento por la cara I en el tiempo , será:

(1-6)

Similarmente, la cantidad que entra por la cara II en el mismo tiempo será:

(

) (1-7)

La cantidad neta que sale estará dada por:

(

)

(1-8)

A primera vista pudiera juzgarse del signo de la expresión (1-8) que el volumen de

agua que entra al elemento fuera mayor que el volumen que sale. Debe tenerse presente sin

embargo, que la curva u –z (fig. 1.2) presenta, en un proceso de consolidación, una curvatura

tal que la segunda derivada de u respecto a z es negativa, resultando en definitiva la expresión

(1-8) positiva. En un proceso de expansión por el contrario, la curvatura de la fig. 1.2 se

invierte y la expresión (1-8) si resulta negativa.

La expresión (1-8) es estrictamente correcta para el comienzo del intervalo . Al final

de dicho intervalo, con los datos de los puntos 3 y 4, de la curva correspondiente al tiempo

de la Fig. 1.2, se obtiene con un procedimiento análogo al antes usado:

(

)

.

/

Y



.

/

Resultado:

(1-8)

Así pues, si se desprecian las magnitudes de orden superior se llega con los puntos 3 y

4 al mismo resultado que con los 1 y 2. Por lo tanto, la ecuación (1-8) representa el cambio de

volumen de elemento de espesor en el tiempo .

111

Figura 1.3. Esquema de un elemento de suelo sujeto a consolidación unidimensional.

Por otra parte, es posible obtener una liga entre el cambio de la relación de vacíos y los

cambios de volumen de un elemento del suelo sujeto a la prueba (Fig. 1.3)

(1-9)

Nótese que, puesto que el área del elemento es unitaria, el cambio de volumen del

elemento resulta medido por el cambio de altura.

Se define ahora el coeficiente de compresibilidad , como la relación:

(1-10)



En el sentido matemático de este concepto resulta claro si se tiene presente la curva

de compresibilidad, ya analizada: el coeficiente de compresibilidad representa, el módulo, la

pendiente de la curva de compresibilidad, en escala natural, en el punto de que se trate. El

Valor de Depende de la presión actuante sobre el suelo y no es una constante el mismo.

Físicamente, el coeficiente de compresibilidad mide la razón de variación de la relación de

vacíos con la presión; un alto caracterizar a un sujeto muy compresible, mientras que el

uno bajo el propio de un suelo no susceptible de grandes cambios de volumen, cuando

aumenta la presión:

De la ecuación (1-10) se deduce:

Y sustituyendo este valor en ecuación (1-9) si tiene:

(1-11)

Representa el cambio en presión sobre la estructura del suelo a una profundidad constante

z, que haya tenido lugar en el tiempo dt.

En la cara superior del elemento de suelo de espesor dz, entre los tiempos t y t+dt

(puntos 1 y 3), existe una diferencia de presiones u que vale (ecuaciones 1-0y 1-2):

La ecuación fundamental de la destitución de presiones en la consolidación

unidimensional, ya vista, expresa que la presión total es igual en cualquier punto y en todo

tiempo, a la presión efectiva mas la presión neutral.

Si se diferencian ambos miembros, teniendo en cuenta que , la presión total actuante,

es constante:

Pero: y como para una profundidad dada, se tiene: .

De donde, teniendo en cuenta la diferencia de presión entre 1 y 3:



(1-12)

Valor que da el cambio de presión efectiva en el elemento, en el tiempo .

Si se considera (puntos 2 y 4) la variación en el tiempo en la cara inferior del

elemento,se obtiene (ecuaciones 1-1y 1-3):

.

/

Y despreciando los términos del orden superior se observa que en el tiempo , el

incremento de presión en la cara superior del elemento de espesor es el mismo que en la

inferior.

Llevando la expresión (1-12) a la (1-11) puede escribirse:

(1-13)

Teniendo en cuenta las hipótesis de incomprensibilidad de agua y partículas sólidas y

de total saturación del mismo; se sigue que las ecuaciones (1-9) y (1-13) pueden igualarse; es

decir a la pérdida de volumen de su masa.

Igualando:

De donde:

(1 -14)

La anterior ecuación establece la relación entre la presión en exceso la hidrostática, u,

la profundidad y el tiempo. Este ecuación permite conocer la distribución de presiones en el

suelo durante un proceso de consolidación unidimensional, con flujo vertical. La ecuación (1 -

14) se conoce con el nombre de ecuación diferencial del proceso de consolidación

unidimensional con flujo vertical y ha de ser resulta para llegar a expresiones manejables en

la práctica.

La ecuación (1-14) suele escribirse en formas ligeramente diferentes. Al valor:



(1-15)

Se le define como coeficiente de variación volumétrica y físicamente expresa la

compresibilidad del suelo, relacionándola con su volumen inicial. En forma s ligeramente

diferentes.

En términos del coeficiente de variación volumétrica, la ecuación (1 -14) puede

escribirse:

(1 -16)

Finalmente, la expresión coeficiente de consolidación ( ), se define como:

(1 -17)

En términos de este coeficiente, la ecuación diferencial queda:

(1-18)

2. Solución de la ecuación de la consolidación unidimensional

Para resolver la ecuación diferencial de la consolidación unidimensional con flujo vertical

(ecuación 1-14) es necesario. Ante todo, determinar las condiciones de frontera adecuadas.

Para lograr tal fin, considérese un estrato arcilloso de espesor 2H en el cual l agua pueda

drenarse por sus caras superior e inferior (Fig. 1.4).



Figura 1.4. Determinación de las condiciones de frontera para resolver la ecuación diferencial

de la consolidación.

Resulta evidente que no ocurre ningún flujo a través del plano de simetría a la

profundidad H. el agua situada a menor profundidad se drena por la cara superior y la situada

a profundidad mayor, por la inferior. Por lo tanto, dicho plano de simetría y la situada a

profundidad mayor, por la inferior. Por lo tanto, dicho plano de simetría puede considerarse

como una superficie impermeable.

Las condiciones de frontera que deben satisfacerse son:

(Para todo tiempo ).

Además debe satisfacerse la condición inicial.

Solución de la ecuación diferencial de la consolidación unidimensional:

Se trata de resolver la ecuación diferencial:

De modo que satisfagan las condiciones de frontera siguientes.



Y la condición inicial:

Para ello se considera la función como producto de dos funciones, una dependiente

de y la otra de .

Al sustituir esta función en la ecuación diferencial propuesta, se tiene:

Donde se usa la notación con índices primas para indicar las diferentes derivadas.

Entonces:

El primer miembro es solo función de z, mientras que el segundo lo es solo de t; por

tanto, ambas relaciones, puesto que son iguales, deben ser constantes. es, pues constante.

Puede escribirse:

Se tiene así dos ecuaciones diferenciales lineales, homogéneas, con derivadas totales,

que pueden resolverse con el procedimiento usual de la ecuación auxiliar

Para la ecuación (4) se tendrá como ecuación auxiliar:

Cuyas raíces son:

√

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial (4) será



(√ )

( √ )

(e, base de logaritmos naturales)

Teniendo en cuenta la ecuación (2), las condiciones de frontera del problema quedan:

De donde debe tenerse:

Sustituyendo la primera de las condiciones (7) en la ecuación (6) se obtiene:

Por lo tanto:

( (√ ) ( √ ) )

Teniendo en cuenta que:

Puede anotarse. A partir de (8)

(√ )

La segunda condición (7) llevada a la ecuación (9) conduce a:

( √ )

De donde:

( √ )



La expresión se cumple si

En efecto.

4 √

5 (

)

para todo n entero. (Téngase en cuenta que un seno hiperbólico de argumento imaginario es

el seno trigonométrico del coeficiente del argumento imaginario)

Sustituyendo el valor de dado por la expresión (11) en la ecuación (9), se tiene

finalmente:

(

)

La ecuación (5) puede resolverse de un modo totalmente análogo. La auxiliar es ahora:

Y la solución general es:

Sustituyendo el valor de ya encontrado (ecuación (11)). Se tiene:

Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial inicial, que satisfaga las condiciones

de frontera impuestas y que tenga la forma (2) será del tipo:

(

)

(

)



representa las constantes arbitrarias cuyo valor depende, en cada caso, del valor de n.

Para satisfacer la condición inicial a que se a sujetado la solución del problema, es

necesario considerar una suma infinita de funciones del tipo (15), pues claramente, ninguna

suma finita de dichas funciones puede satisfacer dicha condición.

En efecto, para t=0 el termino exponencial de (159 es la unidad, de modo que la

función tiene una ley de variación senoidal:

(

)

Para t=0, u tiene que ser constante e igual a Δp y se ve que ninguna suma finita de términos

senoidales del tipo 816) puede dar constante. Por lo tanto, u debe expresarse:

∑ (

)

La serie arriba escrita representa la solución del problema siempre y cuando los

coeficientes sean tales que se satisfaga la condición inicial. Para encontrar esos valores

puede procederse como es normal en Teoría de Series de Fourier.

Para t=0, la ecuación (179 se reduce a:

∑ (

)

Multiplicando ambos miembros por (

) e integrando entre 0 y 2h, se obtiene:

∫ (

)

∑ ∫ (

) (

)

Desdoblando para mayor claridad:

∫ (

)

[

(

)]

[ ]



[ ]

[ ]

Y la segunda i9ntegral da, para

∫ (

) (

)

6

7

20

1 3

pues n y m son enteros, y (k, entero) es siempre nulo.

Para n=m, la integral resulta:

∫ (

)

6

7

{[

] }

Volviendo con estos resultados a la ecuación (18). Tiene.

[ ]

Puesto que es único término de la serie que permanece, siendo nulos todos los

demás por ser en ellos

Despejando:

[ ]

En la expresión anterior se tiene que resulta nula para m par, y solo las con m

impar, subsisten, valiendo.

[ ]



La solución (17) queda.

∑ (

)

Sustituyendo el valor de y haciendo m=2n+1, para no tomar en cuenta los términos

pares que son nulos, se tiene finalmente.

∑

Que es la solución buscada.

La solución a que llegarse esta dada por la serie:

∑ ,

*

+

-

(1-19)

La ecuación, e es la base de los logaritmos neperianos normalmente simbolizada por e;

sin embargo, en este caso se ha juzgado prudente cambiar el símbolo a fin de evitar

confusiones con la relación de vacíos.

La ecuación (1-19) puede también escribirse, de acuerdo con la definición del

coeficiente de consolidación:

∑ ,

*

+

- (1-20)

La obtención de la ecuación (1-19), solución de la ecuación diferencial de la consolidación

con las condiciones de frontera e inicial expuestas, requiere el establecimiento de dos nuevas

hipótesis, que se enumeran a continuación:

1. La variación en espesor del estrato es lo suficientemente pequeña para que un valor

dado de la variable z pueda suponerse constante durante todo el proceso de

consolidación.

2. El coeficiente de consolidación, , es constante durante todo el proceso de

consolidación.



Por supuesto, estas dos hipótesis son solo aproximadamente aceptadas con el

propósito de facilitar la solución matemática del problema. La importancia intrínseca de

estas hipótesis sólo puede juzgarse comparando las predicciones de la teoría que las

contiene, con las observaciones reales; de hecho, los resultados de la teoría han

demostrado su excelencia para predecir el comportamiento de la mayoría de las arcillas,

dentro de una aproximación práctica. Esto se debe al hecho de que, para tales suelos, el

coeficiente de consolidación es prácticamente constante, a pesar de que las cantidades k

y Son variables; de hecho, las variables de esos conceptos parecen contrarrestarse

forma bastante satisfactoria, en casi todas las arcillas. La eque aparecen en la expresión

para es la inicial del suelo, según se desprende de los análisis anteriores y, como tal, es

constante.

La obtención de la ecuación (1-19) se parte de una presión inicial del suelo, ,

uniforme, y se admite que la presión adicional igual a la presión inicial en exceso de la

hidrostática, es uniforme en todo el estrato del suelo.

G. Gilboy demostró, sin embargo, que la misma ecuación representa un proceso de

consolidación en el cual la presión u tenga la ley de variación lineal inicialmente.

Suponiendo que el estrato este drenado por ambas caras, una cantidad Debe

tomarse, en este caso, como el promedio aritmético de las presiones extremas.

Si las condiciones de frontera de un problema de consolidación son muy diferentes de

las aquí consideradas, la solución de este problema puede facilitarse comparándolos con

un problema análogo de flujo de calor, representando genéricamente por ecuaciones de la

misma forma matemática; se puede aprovecharse para la mecánica de suelos las

investigaciones realizadas en tan importante campo de la física. La solución (1-19) es de la

forma:

(1,21)

Expresada por medio de una serie de Fourier, convergente. El factor que aparece

en el término seno, así como:



Que aparece en el exponente de en son ambas cantidades adimensionales. La última

cantidad, que es función de las constantes físicas del complejo suelo- agua que determinan

el proceso de consolidación, se denomina factor de tiempo (T).

(1-22)

Dimensión mente se tiene:

[ ] [

] [ ]

Y el factor tiempo, como se indicó, es abstracto.

Por lo tanto, la solución (1-21) puede expresarse como:

(

) (1-23)

Considérese ahora un estrato de arcilla de espesor , drenado por ambas caras y en

él una curva de distribución de presiones efectivas y neutrales correspondientes a un

tiempo , al cual, a su vez, corazón humano o sea dijo de factor tiempo T (Fig.-1.5). La

forma de la curva, según se deduce de las condiciones de frontera establecidas, desde el

tipo mostrado.



Figura 1.5. Distribución de presiones efectiva y neutral en un estrato de arcilla sujeto a

consolidación, drenado por ambas caras, en el tiempo .

Se define como grado de consolidación o porcentaje de consolidación del suelo a una

profundidad en un instante que, a la relación entre la consolidación que ya ha tenido

lugar a esa profundidad y la consolidación total que ha de producirse bajo el incremento

de carga impuesto.

Se presenta por .

La curva de la Fig. X-15 muestra la distribución de presiones entre la fase sólida y

líquida A todas las profundidades. A una profundidad particular, z el esfuerzo de la

estructura del suelo está representado por segmento el esfuerzo neutral

representa la presión que en el instante inicial actuó sobre el agua, en exceso de la presión

hidrostática. Entonces a la profundidad será un:

(

) (1-24)

El criterio análogo puede definirse ahora el grado o porcentaje medio de consolidación

para el estrato completo considerado en el instante , como la relación entre la

consolidación que ha tenido lugar en ese tiempo y la total que haya de producirse. Se

representa por . En la Fig. 1.5 la zona rayada representa al área de presiones que ya

ha tomado la estructura del suelo, mientras que el área total es el area que ha de

llegar actuar sobre dicha estructura. En consecuencia:

∫

(1-25)

De la anterior fórmula, puede escribirse:

*

∫

+ (1-26)

Donde se da por la expresión (10-39) que es una serie convergente, por lo que

puede integrarse terminó a término. La interacción se efectúa a continuación:



∫ ∫ { ∑

[

]

}

Lo cual puede escribirse:

∫ ∑ 8

∫ [

]

9



Figura 1.6. Curvas teóricas de consolidación

a) Trazado aritmético

b) Trazado semilogarítmico

Integrando

∫ ⁄

∑ 2

[

(

)]

3

Por lo tanto se tiene

∫ ⁄

∑ 2

[ (

)]

3

Ahora, teniendo en cuenta que:

[ (

)]

.

/



Se obtiene finalmente:

∫ ⁄

∑ 2

3

Sustituyendo la expresión (10-46) en la (10-45), se obtiene:

[ ∑ 2

3

]

Se presenta entonces el hecho afortunado de que el grado de consolidación del estrato

es solo función del factor tiempo , que es una cantidad sin dimensiones físicas. La relación

(10-47) puede ser resuelta para diferentes valores de , obteniendo los correspondientes de

, de una vez por todas.La relación obtenida aparece en la tabla 10-1.

En la figura 1.6 (a y b) aparecen las relaciones anteriores dibujadas en escala aritmética y

semilogaritmica, usando la escala logarítmica para el factor tiempo. Estas curvas se conocen

con el nombre de curvas teóricas de consolidación.

3. Factores que influyen en el tiempo de consolidación

Se vio que el factor tiempo se defina como:



TABLA X-1

Relación teórica U(%) - T

U(%) T

0 0

10 0.008

15 0.018

20 0.031

25 0.049

30 0.071

35 0.096

40 0.126

45 0.159

50 0.197

55 0.238

60 0.287

65 0.342

70 0.405

75 0.477

80 0.565

85 0.684

90 0.848

95 1.127

100 ∞

Esta ecuación puede escribirse

De la expresión anterior puede deducirse algunos hechos de significación:

a) Si todos los demás factores permanecen constantes, el tiempo necesario para alcanzar

un cierto grado de consolidación, correspondiente a un factor tiempo dado, varía en

forma directamente proporcional al cuadrado del espesor efectivo del estrato. En

realidad, este punto merece una digresión. El espesor del estrato que gobierna la

evolución de un proceso de consolidación unidimensional con flujo de agua vertical es

la trayectoria física real que el agua tiene que recorrer para abandonar el estrato. Si el



estrato tiene una frontera impermeable, dicha trayectoria, llamada espesor efectivo,

coincide con el espesor real del estrato (fig. 1.7.a). Si el estrato esta drenado por

ambas caras superior e inferior, la máxima trayectoria del agua al drenaje es el

semiespesor real del estrato de suelo o sea el espesor efectivo es la mitad del real (Fig

1.7b.). En las formulas de la Teoría de Consolidación

Figura 1.7. Esquemas que liberan el concepto espesor efectivo que gobierna el tiempo de

consolidación

Unidimensional la que figura es siempre el espesor efectivo en lo referente al tiempo de

consolidación.

Si dos estratos del mismo material tienen diferentes espesores efectivos y , Los

periodos de tiempos y necesarios para que cada estrato alcance un cierto grado de

consolidación, están relacionados como sigue:

b) Si todos los demás factores permanecen constantes, el tiempo , necesario para que un

suelo alcance un cierto grado de consolidación es inversamente proporcional al

coeficiente de permeabilidad . Por lotanto, si dos estratos del mismo espesor efectivo

tienen permeabilidades diferentes, y , respectivamente, los tiempos necesarios

para que cada estrato alcance un cierto grado de consolidación, se relacionan.



c) Si todos los demás factores permanecen constantes, el tiempo necesario para que un

suelo alcance un cierto grado de consolidación es directamente proporcional al

coeficiente de compresibilidad . Por lo tanto, si se consideran dos estratos del

mismo espesor efectivo, pero de coeficientes de comprensibilidad diferentes, y

, los tiempos , y , necesarios para que cada estrato alcance el mismo grado de

consolidación están relacionadas como sigue:

4. Comparación entre la curva de consolidación teórica y las reales obtenidas en el

laboratorio

Al hacer a una muestra de suelo una prueba de consolidación se obtienen curvas de

consolidación para cada uno de los incrementos de carga aplicados. Ya se vio que estas

curvas relacionan las lecturas realizadas en un micrómetro con los correspondientes

tiempos.

Por otra parte, como resultado de una aplicación estricta de la Teoría de Terzagui, se

ha obtenido una curva teoría – en donde es el factor tiempo, que involucra a

todas las variables que afectan el progreso del proceso de consolidación.

Desde luego y son directamente proporcionales para una muestra dada en una

cierta condición de carga.

Si se imagina, además, que el suelo sigue rigurosamente los requerimientos de la

teoría, el grado de consolidación y las lecturas micrométricas estarían también

relacionados por una ley lineal de proporcionalidad, puesto que, en tales condiciones

a un 50% de consolidación, por ejemplo, está asociada la mitad de la deformación del

suelo. Así pues, si un suelo sigue la teoría de Terzagui. La curva teórica y las

curvas de consolidación de laboratorio deberían ser semejantes, difiriendo únicamente en

el módulo de las escalas empleadas. Incidentalmente, lo que las curvas de consolidación se

aparten de la forma teórica ofrece una medida simple para calificar lo que ese suelo se

aparta de un comportamiento estrictamente apegado a la Teoría de Terzagui.



Por lo tanto, si el suelo se apega a la teoría será posible lograr que los dos curvas

coincidan totalmente, a condición de modificar la escala de las curvas prácticas en la

proporción conveniente.

En realidad, ningún suelo sigue estrictamente la curva teórica y para comparar una

curva observada con la teórica, debe, en su primer lugar, definirse en qué punto de la

curva la consolidación se supondrá el 0% y el 100% de consolidación, para ajustar la

escala con la de lecturas micrométricas.

Si el suelo contiene algo de aire o si la muestra no te ajusta perfectamente al anillo,

existirá una deformación rápida inmediatamente después de la aplicación del incremento

de carga. Observando las lecturas del micrómetro no puede definirse si las primeras

deformaciones se deben a esos ajustes rápidos o representan ya el inicio del fenómeno de

consolidación. Afortunadamente, la curva de consolidación para la primera mitad del

proceso es prácticamente una parábola, puede determinarse un 0% “teórico” por la

aplicación de una propiedad simple de tales curvas.

Más difícil es la determinación del punto teóricamente correspondiente al 100% de

consolidación primaria. De los varias métodos propuestos para ello se menciona a

continuación uno debido al doctor A. Casagrande, que requiere el trazo de la curva de

consolidación en forma semilogaritmica (Fig. 1.8)

La curva de consolidación en trazado semilogaritmico presenta la ventaja de que en

ella se define por un tramo recto muy preciso generalmente: la parte en donde la

consolidación secundaria ya se hace notable. Esto permite, por simple inspección, definir

la zona en que la consolidación primaria se completa; prácticamente hablando, esta zona

es la correspondiente a la transición entre la parte inclinada de amplia curvatura



Figura 1.8. Determinación del 0% y del 100% de consolidación primaria en una curva de

consolidación.

y el tramo recto final (véase la Fig. – 1.8), empíricamente se ha observado (A. Casagrande)

que un punto (A) obtenido como la intersección del tramo recto de compresión

secundaria y de la tangente a la parte curva en su punto de inflexión, representa

tolerablemente la línea practica divisoria entre la consolidación primaria y la secundaria,

es decir, el 100% de consolidación primaria.

Como el efecto secundario se presenta desde el principio de la prueba, no es posible

realmente fijar un punto específico en el cual el efecto primerio termine y aquel empiece.

Por lo tanto, hasta cierto punto, la definición anterior del 100% de consolidación es

arbitraria. En la primera parte del desarrollo de la curva de consolidación, el efecto

secundario no es aún muy notorio y, por esta razón, se encuentra que la relación

parabólica, ya mencionada, es correcta dentro de una aproximación razonable. La línea del

0% de consolidación puede ahora encontrarse como sigue (Fig. 1.8)

Escójase un tiempo arbitrario, tal que el punto correspondiente, B, en la curva

observada este situado antes del 50% de consolidación, de un modo notorio. Obténgase el



punto C, correspondiente a un tiempo y determinarse la diferencia de ordenadas, ,

de los dos puntos.

Puesto que entre esos dos puntos hay una relación de abscisas de 4 y puesto que se

advierte que son puntos de una parábola, se sigue que su relación de ordenadas ha de ser de

√ . Es decir, el origen de la parábola estará a una distancia a arriba de C. Es aconsejable

repetir esta construcción simple varias veces, partiendo de puntos diferentes y situar el 0% de

consolidación a una elevación promedio de las obtenidas la Fig. 1.8 puede verse en la parte

derecha la escala trazada a parir de los límites encontrados. Es así evidente el modo de

encontrar el tiempo necesario para que la muestra de suelo alcance, por ejemplo, el 50% de

consolidación (Este valor del tiempo, , juega un papel de interés en cálculos que se

detallaran posteriormente)

5. Determinación del coeficiente de permeabilidad a partir de los datos de una prueba

de consolidación

El coeficiente de permeabilidad medio que gobierna el flujo del agua durante el intervalo

de compresión con un cierto incremento de carga, representado por una curva de

consolidación, puede calcularse a partir de la expresión para el factor tiempo .

Para este objeto puede escogerse cualquier punto de la curva de consolidación. Al

punto escogido corresponde un cierto tiempo, , y un cierto valor del factor tiempo, ,

correspondiente elgrado de consolidación del punto considerado. Con estos datos y los demás

que aparecen en la expresión (1-22), también conocidos, puede despejarse a . Es deseable,

sin embargo, escoger un punto suficientemente alejado del 0% y 100% de consolidación, por

los errores en que incurrirse, originados por los procedimientos con que se encontraron esos

límites. Si se escoge el punto correspondiente al 50% de consolidación, además de estar

igualmente alejado de ambas fuentes de error, se tiene la ventaja de que el valor de se

recuerda fácilmente, siendo . (Exactamente ). Por lo tanto, el

coeficiente de permeabilidad puede calcularse de la formula siuiente, en donde todas las

cantidades deben expresarse en sistema c.g.s. de unidades.



6. Asentamiento total primario de un estrato arcilloso sujeto a consolidación y

evolución del mismo

El asentamiento total primario de un estrato de arcillas de espesor H, debido a un proceso

de consolidación unidimensional, con un flujo vertical inducido por una sobrecarga ,

actuante en la superficie del mismo puede determinarse a partir de los datos de la prueba de

consolidación y del esquema de la Fig. 1.9

Figura 1.9. Esquema que ilustra la obtención del asentamiento total de un estrato de un suelo.

Evidentemente, si representa la siminución de espesor de una muestra de suelo, de

espesor total , podrá escribirse, para un estrato de espesor , asimilado a esa muestra

es la disminución de espesor total del estrato de espesor H. Ahora H es siempre el espesor

total del estrato, independientemente de las condiciones de drenaje.

La fórmula anterior puede presentarse de otra forma muy común; en efecto, se sabe que:

Por lo tanto:



Debe tenerse en cuenta que y y de la ubicación de este en la

escala de presiones, es decir, de

En realidad, el , en lugar del que se

definió anteriormente por medio de la ecuación (1-10). Este nuevo representa al

promedio de todos los en el tramo de la curva de compresibilidad cubierto por

el

Si se supone (y esta hipótesis de admite en lo que sigue) que ste tramo de la curva es recto, es

decir que la variación de respecto a es lineal en dicho tramo. En ese caso, las

deformaciones micrométricas podrán considerarse proporcionales a las presiones efectivas

que haya tomado la estructura de suelo. En otras palabras, las deformaciones de la muestra

registradas por el micrómetro, podrán considerarse proporcionales al grado de

consolidación. Ténganse en cuenta para comprender lo anterior, en primer lugar, que las

lecturas micrométricas son proporcionales a los decrementos en relación de vacíos durante la

consolidación y, en segundo lugar, que según la correspondiente definición, las presiones

efectivas que haya tomado la muestra definen su grado de consolidación. Esta hipótesis es la

que se hace en la práctica para la realización del cálculo de asentamientos y justifica la

construcción de la escala en las curvas de consolidación, tal como se ha presentado en el

párrafo x-10 de este capítulo, utilizando simplemente una escala aritmética una vez que se

han determinado el 0% y 100% de consolidación primaria.

Obsérvese que si se admite , automáticamente en la ecuación (1-35) resulta

constante, puesto que la e que figura en la expresión de este último término es la inicial del

suelo, antes de la aplicación del incremento de carga .

Se admite, según ya se mencionó, que las constantes de consolidación obtenidas en la prueba

son las mismas que rigen el proceso de un estrato de suelo. Por lo tanto,. El calculado con

los datos de la prueba puede aplicarse a la formula (1-35).

En el estrato real del suelo también se admite que las deformaciones son proporcionales al

grado de consolidación de tal estrato. Así, si representa EL ASENTAMIENTO ocurrido en un

tiempo t, podrá escribirse:

Donde es el asentamiento primario total

Por lo tanto:

[

] [

]



O sea, el asentamiento en cada tiempo es igual al total que ha de producirse, por el grado de

consolidación que el estrato ha alcanzado en es tiempo.

El cálculo de la evolución de con el tiempo, fundamental en muchos problemas de la

ingeniería práctica, requiere la determinación previa del coeficiente de Consolidación del

suelo , pues en lña ecuación (1-37) U(%) es función del factor tiempo , el que a su vez

está dado por la expresión.

Esta ecuación puede aplicarse a la muestra de la prueba de consolidación, considerando los

datos correspondientes al 50% de consolidación de dicha muestra. En efecto: ,

según se deduce la curva de consolidación teórica; puede encontrarse una vez establecida

la escala U(%) en la curva de consolidación ( Fig 1.8) y H el espesor efectivo del espécimen

usado en el momento en que alcanzo el 50% de

Consolidación bajo el incremento de carga; si como es usual , la muestra esta drenada por

ambas caras, deberá usarse el semiespesor del espécimen, calculado como un promedio de los

semiespesores inicial y final de la muestra es ese incremento de carga.

Entonces:

Nótese sin embargo, que para cada incremento de carga aplicado en la prueba de

consolidación se puede usar la ecuación (1-38). Así pues se tiene un valor de , para cada

incremento de carga. Es así posible dibujar una gráfica de contra la presión media aplicada

en ese incremento, obtenida como media aritmética de las presiones inicial y final. Para un

estrato real, sujeto a una sobrecarga , se tomara como el valor medio de los

correspondientes a la zona de la curva cubierta por ese .

Obtenido el del suelo, la ecuación (1-22) puede aplicarse en la forma:

Ahora, es el espesor efectivo del estrato de suelo, calculado según las condiciones de

drenaje en la forma ya expuesta; es el coeficiente de consolidación del suelo, recién

calculado, dentro del intervalo de presiones que representa la sobrecarga aplicada al estrato.

Asi, dando valores a , por ejemplo los que figuran en la tabla (10-1), pueden tenerse y



tabularse los valores del tiempo en que le estrato alcanza los grados de consolidación

correspondientes a esos factores tiempo. Como según la ecuación (1-37), el asentamiento va

siendo proporcional al grado de consolidación, pueden en definitiva tabularse los valores del

asentamiento que corresponden a distintos tiempos, según evoluciona el fenómeno de

consolidación.

Esta última tabla obtenida puede dibujarse en escala aritmética o en trazo

semilogaritmico, con el tiempo en escala logarítmica, como abscisa. Se tiene así una curva de

asentamiento previsto y su evolución con el tiempo.

Nótese que toda la construcción anterior depende, en principio, de que puede situarse

la escala en las diferentes curvas de consolidación, o sea de poder determinar en estas

el 0% y el 100% de consolidación, o sea de poder determinar en estas el 0% y el 100% de

consolidación primaria. Esto, a su vez, depende de que la forma de la curva de consolidación

se apegue a la curva teórica, de modo que se definan los quiebres y las inflexiones necesarias.

Desgraciadamente esto no siempre sucede en la práctica y muchas veces la forma de las

curvas obtenidas en el laboratorio es totalmente inapropiada para efectuar las debidas

construcciones. D. W. Taylor ha desarrollado un método alternativo para el cálculo de los

coeficientes de consolidación que da bien resultado en muchos casos en que falta el

anteriormente descrito.



Figura 2.0. Metodo de Taylor para el calculo de los valores de .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.5 1 1.5

GR

AD

O D

E C

ON

SOLI

DA

CIÓ

N U

(%)

T^(1/2)

RELACIÓN U(%) - T^(1/2)



El método exige el trazado de la curva teórica en unos ejes en los que usan como

coordenadas los valores de y como abscisas los valores de √ (Fig. 2.0.a).

La curva teórica resulta una recta hasta un punto cercano al 60% de consolidación,

como debe suceder teniendo en cuenta que es aproximadamente parabólica en ese intervalo.

De la tabla de valores ya obtenida, , puede determinarse que la abscisa de la

curva es 1.15 veces la correspondiente a la prolongación del tramo recto, para una ordenada

de 90% de consolidación. Esta característica se usa en la curva de consolidación obtenida en

el laboratorio, para encontrar el 90% de consolidación. En la Fig. -20b se muestra una forma

típica de curva real en representación lecturas micrométricas –√ . Prolongando el tramo

recto puede tenerse una línea trazada con suficiente precisión. A continuación trácese otra

recta con sus abscisas 1.15 veces corridas hacia la derecha, respecto a la anterior. Esta

segunda línea corta a la curva de consolidación en un punto al que corresponde el 90% de

consolidación primaria. Nótese que la prolongación del tramo recto de la curva de laboratorio,

corta el origen de ordenadas en un punto que debe considerarse como el 0% de consolidación

primaria y de este punto debe partir la segunda recta mencionada.

Usando esta construcción, conviene calcular el con la expresión:

(1 – 40)



DESCRIPCION EN DETALLE DEL METODO DE TAYLOR Taylor propuso un método para obtener el tiempo de consolidación, para un

porcentaje de consolidación del 90% a partir de la Deformación- √ figura 1, correspondiente

al escalón de carga que represente la situación insitu .Determinado ese tiempo de

consolidación puede luego estimarse el coeficiente de consolidación, utilizando la ecuación

Fig. 1 Curva Grado de consolidación- √

Para determinar el tiempo correspondiente al 90% en la consolidación A partir tener de la

deformación del vs √ se procede de la siguiente manera:

1. Dibujar la línea recta que mejor se ajusta a la curva extendiéndose hasta intersecar

ambos ejes, despreciando los primeros puntos que corresponden al acomodamiento

de la probeta y del sistema de aplicación de la carga. Llamamos A al punto de



intersección con el eje de las deformaciones, es decir representa el 0% de la

consolidación, y B al punto de intersección con el eje de √ . (Figura 2)

Fig. 2 Paso 1 – Método Taylor

2. Denominando x a la distancia sobre el eje de la raíz del tiempo, entre el origen y el

punto B, buscamos el punto C, de abscisa igual a 1.15 veces X (Figura 3)



3. Trazar la recta AC. El punto donde AC interseca a la curva de consolidación, tiene

como abscisa la raíz del tiempo al cual ocurre el 90% de la consolidación (t90).

(Figura 4)

Fig. 3 Paso 2 – Método Taylor

4. con t90 calculado y el factor tiempo T90 obtenido de las curvas teóricas, según el drenaje de

la muestra en laboratorio para un grado de consolidación del 90%, se obtiene el coeficiente de

consolidación cv como:

La altura , es la máxima distancia que recorre el agua en el ensayo. De la muestra de

manera de acelerar los tiempos de consolidación, por lo que En general, el ensayo se realiza

permitiendo el drenaje por ambas caras es la mitad de la altura de la muestra en ese

escalón de carga.



CONCLUSIÓN

La ecuación del Coeficiente de Consolidación (Cv) se determinó considerando

diferentes hipótesis: suelos homogéneo, isótropo y de espesor constante; estrato

saturado, el agua y los granos incompresibles; masas infinitas; compresión

unidimensionales en dirección normal a la capa de suelo; validez de la ley de Darcy;

deformación lenta que permite despreciar las fuerzas de inercia; etc.

El “Cv” se obtiene por procesos infinitesimales (derivadas e integrales).

Método de Taylor: a partir de la curva (Deformación – t1/2 ) se puede obtener el tiempo

de consolidación para un porcentaje de consolidación del 90%, para luego obtener

con ese tiempo el coeficiente de consolidación con la ecuación:

Método de Casagrande: a partir de las expresiones obtenidas al resolver la ecuación

diferencial, se determina la gráfica del grado de consolidación en función del factor

tiempo en escala logarítmica. Esta curva se denomina curva teórica de consolidación;

esta se aproxima a una parábola.

La expresión obtenida “Cv”, por el método de Taylor, se debe poner en práctica

haciendo ensayos de diferentes tipos de suelos en el laboratorio para así poder

comprenderlo mejor asemejándolo al campo real.

En los ensayos de laboratorio se debe hacer uso correcto de los pasos a realizarse con

un estrato de suelo inalterado y luego saturarlo para después obtener resultados del

suelos que se está estudiando (tiempo de asentamientos, tiempo de consolidación,

resistencia del suelo, coeficiente de consolidación y otras variables de consolidación).



REFERENCIAS Mecánica de suelos. Tomo I “Fundamentos de la mecánica de suelos”. Eulalio Juárez

Badillo – Alfonso Rico Rodríguez (1980). Capitulo X.

Fundamentos de ingeniería geotécnica. Braja M. Das. Capítulo 6.

Mecánica de suelos en la ingeniería práctica. Karl Terzaghi – Ralph B. Peck.

Mecánica de suelos. T. William Lambe, Robert Whitman.

Consolidación de suelos. Silva Angeone.

Principios fundamentales de Mecánica de Suelos. Donald W. Taylor.

Mecánica de suelos. P. Berry – D. Reid.

WWW. Geología y geotecnia – consolidación. Com

WWW. Consolidación /Augusto José Leoni. Com

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