PAVIMENTOSUniversidad Continental

Dr. Ing. Andrés Sotil ChávezClase 16

Esfuerzos en Pavimentos Flexibles

tc

TEORÍA ELÁSTICA LINEAL MULTICAPADe la grafica anterior que podemos identificar?

La carga (llanta)Al menos 3 capas (pueden ser mas)Dimensión lateral no determinada (infinito)Deflexión, δDeformación por tensión, εt Agrietamiento por

fatigaDeformación por compresión, εc Ahuellamiento

Para entender el comportamiento de esta estructura se ha asumido un comportamiento elástico:La estructura descansa en una capa elástica de

profundidad infinita SubrasanteTodas las capas del pavimento puede describirse

con el modulo de Young, E, y el coeficiente de Poisson, μ

TEORÍA ELÁSTICA LINEAL MULTICAPAAdemás, las capas son asumidas como:

Homogéneas (mismo material)Isotrópicas (comportamiento igual sin

considerar dirección)Las cargas ejercidas por las llantas asumidas

como:Carga puntualesCargas circulares con presión uniforme Con este tipo de cargas, entonces el estado de

esfuerzos es axisimétrico, o sea tiene simetría rotacional alrededor del centro de la carga

Entonces, es mas fácil describir el sistema con coordenadas radiales

TEORÍA ELÁSTICA LINEAL MULTICAPALa respuesta de los pavimentos son

calculadas de la teoría de elasticidadEsfuerzosDeformacionesDeflexiones

Las respuestas a múltiples cargas se calculan usando la superposición de esfuerzos de las llantas individuales, siguiendo el Principio de D’Alembert.

Este análisis es fundamental para el desarrollo de una teoría mecanicista, aun en crecimiento

yx

z

ANÁLISISUnidades

Esfuerzos en psi = lbs / in2 o en kg / cm2 o en kN /

m2

Deformaciones en με = microstrain = in/in x 10-6 = mm/mm

x 10-6

Deflexionesmils = in / 1000 o en milímetros, mm

Tanto para tareas como para evaluaciones, tienen que tener en claro que unidades se están usando y hacer las conversiones correspondientes

DESARROLLO DE CLASETemas

Esfuerzos en Pavimentos Flexibles. Concepto de Sistemas de Capas. Soluciones de 1 y 2 Capas. Soluciones Multicapas - Software.

Objetivo de ClaseEntenderá como se modela el análisis de

pavimentos flexibles mediante la teoría de capas

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAσz = esfuerzo normal vertical

σr = esfuerzo normal radial

σθ = esfuerzo normal tangencial

τzr = esfuerzo cortante horizontal

en dirección radial (6 en total)

εz = deformación normal vertical

εr = deformación normal radial

εθ = deformación normal tangencial

γzr = deformación cortante horizontal

en dirección radial (6 en total)

P

zsz

sr

sq

q

r

w

u

tzr

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPA

Boussinesq simplificó en 1885 el problema y calculó el esfuerzo vertical σz como se indica en la ecuación …

sq

P

zsz

sr

q

r

w

u

tzr

BOUSSINESQEl análisis se simplifica usando

tablas como la mostradaIB = Factor de Influencia Boussinesq

Bz Iz

P

zr

z

Pp

22

52

2 1 2

3

Donde están E y μ?Solucion es independiente

EC. BOUSSINESQ

EJEMPLOConsiderar una carga puntual P = 5kN.

Calcular el aumento del esfuerzo vertical a profundidades z = 0, 2m, 4m, 6m, 10m, and 20m. Asumir r = 5m

BIz

P

zrz

Pp

25.2 22 /1 2

3

r (m) z (m) r/z IB p = (P/z2)IB

5 0 ∞ 0 0 kN/m2

5 2 2.50 0.0034

0.0043

5 4 1.25 0.0424

0.0133

5 6 0.83 0.1295

0.0180

5 10 0.50 0.2733

0.0137

5 20 0.25 0.4103

0.0051

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPALa solución presentada solo provee el

esfuerzo vertical, mas no el tangencial ni el radial.

Estos esfuerzos son importantes para el análisis continuo de los pavimentos, en especial para analizar la influencia de una o mas llantas

Taylor en 1963 adaptó la ecuación de Boussinesq para que tenga la siguiente forma:

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPA

2/522

33

2 zr

zPz

(7-2a)

22222/522

2 213

2 zrzzrzr

zrPr

(7-2b)

22222/322

121

2 zrzzrzr

zP

(7-2c)

2/522

23

2 zr

zrPzr

(7-2d) (-) compresión

(+) tensión

EC. TAYLOR

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPADe la Ley de Hooke

Erz

z

Ezr

r

E

zr

GEzrzr

zr

)1(2

Donde G = Modulo de Corte

Estas cuatro ecuaciones se pueden reescribir de manera matricial

EC. HOOKE

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEsfuerzos (Taylor) vs. Deformaciones (Hooke)

Al reemplazar la matriz con los valores en base a P, r, z, μ se pueden calcular las deflexiones horizontales (u) y verticales (w)

zr

r

z

zr

r

z

E

2

21000

01

01

01

211

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPADeflexiones Verticales (w) y Horizontales (u)

sq

P

zsz

sr

q

r

w

u

tzr

For z=0

2/12222/3222 1212

zrzrz

E

Pw

2/32222/122

21

11

2

211zrzrzrz

ErPu

rE

Pw

21

EC. TAYLOR

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Puntual

Calcular los esfuerzos y deformaciones resultantes de una carga puntual de 40 kN aplicada a un espacio elástico semi-infinito. El punto de interés es a una profundidad de 10 cm y a un distancia radial de 20 cm. Usar como datos E = 140 MPa y μ = 0.4

-119.06 kPa

-6.21 kPa

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Puntual

De la Ec. de Hooke se calculan

68.36 kPa

De la Ec. de Taylor se calculan -34.16 kPa

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPACarga Circular aplicando esfuerzo vertical uniforme

Las formulas mostradas anteriormente (derecha) son

integradas con respecto a “r” y “z”

Por ejemplo, cuando r = 0 (debajo del centro de la llanta con carga circular), se pueden dar las siguientes expresiones de esfuerzos y de deflexión vertical

2/522

33

2 zr

zPz

(7-2a)

22222/522

2 213

2 zrzzrzr

zrPr

(7-2b)

22222/322

121

2 zrzzrzr

zP

(7-2c)

2/522

23

2 zr

zrPzr

(7-2d)

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPACarga Circular aplicando esfuerzo vertical

uniforme para r = 0

donde p = presión de la carga

a = radio de la llanta

E, μ = prop. elásticas

pa

Ew

za

z

za

zp

za

zp

zr

r

z

2

2/322

3

22

2/322

3

12

0

1221

2

1

EC. TIMOSHENKO Y GOODIER (1987)

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Circular

Calcular los esfuerzos de una llanta inflada a 600 kPa, que sobrelleva una carga de 30 kN descansando en un espacio elástico semi-infinito.La ubicación deseada es a una profundidad de 0.1 m y debajo del centro de la carga (r=0), También calcule la deflexión superficial (cuando z = 0) debajo de la llantaDatos

E = 140 MPa μ = 0.40

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAEjemplo Aplicativo – Carga Circular

Los esfuerzos se calculan sustituyendo los datos en la ecuación de Timoshenko y Goodier

La deflexión vertical superficial se calcula del mismo grupo de ecuaciones de Timoshenko y Goodier y resulta

El radio de la huella de la llanta se asume circular y se calcula

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPASin embargo, esta solución es para un caso

especial.

Foster y Ahlvin (1954) presentaron una solución para cargas circulares cuando se asume que μ = 0.50

Con su solución grafica, se puede calcular: Esfuerzo normal verticalEsfuerzo normal radialEsfuerzo normal tangencialEsfuerzo cortanteDeformación vertical elástica

Esfuerzos verticales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)

Números en las curvas indican r/a

z/a

(%)100xqz

Donde:z = profundidadr = distancia radial de interesa = radio de cargaq = presion o carga

Esfuerzos radiales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)

Números en las curvas indican r/a

z/a

(%)100xqr

Esfuerzos tangenciales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)

Números en las curvas indican r/a

z/a

(%)100xq

Deflexiones verticales debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)

Números en las curvas indican r/a

z/a

FE

aqw

F

Esfuerzos de Corte debido a cargas circulares (Foster y Ahlvin, 1954)

Números en las curvas indican r/az/

a(%)100x

qrz

SOLUCIÓN ELÁSTICA PARA UNA CAPAPara 1962, Ahlvin y Ulery pudieron proveer

una solución mas extensa y completa, en la que el coeficiente de Poisson, μ, es una variable

Yoder y Witczak (1975) lo incluyeron en su libro Principles of Pavement Design del cual se extraen las tablas y ecuaciones en las siguientes diapositivas

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