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  • 7/25/2019 PARTE 1 SEMANA 7.doc

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    7.1 DERIVADAS PARCIALES

    7.1.1 DEFINICIN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE DOS

    VARIABLES

    Si z = f(x,y), la !"i#$"a %$"i&a%a !a"'ial$ %$ f ' "$!$'* a x y y

    la f+'i$ fx y fy %$fii%a !"

    Pa"a alla" fx $ 'i%$"a y '*a*$ y $ %$"i&a ' "$!$'* a x. D$#a$"a i#ila", !a"a 'al'+la" fy, $ 'i%$"a x '*a*$ y $ %$"i&a '"$!$'* a y.

    7.1.- DEFINICIN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIN DE RESVARIABLES

    Si / = f(x,y,z), la !"i#$"a %$"i&a%a !a"'ial$ %$ f ' "$!$'* a x, y y z

    la f+'i$ fx, fy y fz %$fii%a !"

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    Pa"a alla" la %$"i&a%a !a"'ial ' "$!$'* a +a %$ la &a"ia0l$, $#a*i$$ '*a*$ la *"a &a"ia0l$ y $ %$"i&a ' "$!$'* a la &a"ia0l$%a%a.

    E i#!"*a*$ *$$" !"$$*$ +$ la %$"i&a%a !a"'ial$ %$ +a f+'i2 %$% &a"ia0l$, z =f(x,y) *i$$ +a i*$"!"$*a'i2 3$#4*"i'a 5*il. If"#al#$*$,

    l &al"$ y $ + !+* (x6,y6,z6) %$*a la !$%i$*$ %$ la+!$"fi'i$ $ la %i"$''i$ %$ x y y, "$!$'*i&a#$*$. V$" la i3+i$*$fi3+"a

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    7.2 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

    La %$"i&a%a %$ la %$"i&a%a %$ +a f+'i2 $ ''$ '# $3+%a %$"i&a%a%$ la f+'i2, $ %$'i", i f(x) $ +a f+'i2 y $xi*$ + !"i#$"a %$"i&a%a f8(x),$ $l 'a %$ +$ $ !+$%a 0*$$", la %$"i&a%a %$ la f+'i2 0*$i%a %$a!li'a" la %$"i&a%a $ l$ lla#a $3+%a %$"i&a%a

    C# +'$%$ $ la %$"i&a%a "%ia"ia, $ !i0l$ alla" la $3+%a,*$"'$"a, $*'. D$"i&a%a !a"'ial$ %$ +a f+'i2 %$ &a"ia &a"ia0l$. P"$9$#!l

    1) D$"i&a" % &$'$ ' "$!$'* a x

    -) D$"i&a" % &$'$ ' "$!$'* a y

    :) D$"i&a" !"i#$" ' "$!$'* a x y l+$3 ' "$!$'* a y

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    ;) D$"i&a" !"i#$" ' "$!$'* a y y l+$3 ' "$!$'* a x

    L 'a *$"'$" y '+a"* $ lla#a %$"i&a%a !a"'ial$ #ix*a.

    7.3 IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS

    Si f $ +a f+'i2 %$ x y y y *al +$ fxy y fyx '*i+a, $*'$,!a"a *% (x,y)

    fxy(x,y) = fyx(x,y)

    E9$#!l 1

    A!li+$ la %$fii'i2 %$ %$"i&a%a !a"'ial !a"a 'al'+la" fx(x,y) y fy(x,y) i

    f(x,y) = :x- < -xy y-

    Sl+'i2

    =

    =

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    E9$#!l -

    >alla" la %$"i&a%a !a"'ial$ fx y fy %$ la f+'i2 f(x,y) = :x ? x-y- -x:y.

    Sl+'i2

    f(x,y) = :x ? x-y- -x:y

    fx(x,y) = : ? -xy- @x-y

    f(x,y) = :x ? x-y- -x:y

    fy(x,y) = ?-x-y -x:

    7.4 REGLA DE LA CADENA

    7.;.1 RELA DE LA CADENA UNA VARIABLE INDEPENDIENE

    S$a / = f(x,y), %%$ f $ +a f+'i2 %$"i&a0l$ %$ x y y. Si x = 3(*) y

    y = (*), %%$ 3 y f+'i$ %$"i&a0l$ %$ *, $*'$ / $ +a

    f+'i2 %if$"$'ia0l$ %$ *, y

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    /

    x y

    * *

    R$3la %$ la 'a%$a +a &a"ia0l$ %$!$%i$*$ /, $ f+'i2 %$ x y y, la+$ a+ &$z f+'i$ %$ *. E*$ %ia3"a#a "$!"$$*a la %$"i&a%a %$ / '"$!$'* a *.

    E9$#!l :

    >alla" %/%* '+a% * = 6, a!li'a% la "$3la %$ la 'a%$a, %a%a / = x-y < y-,%%$ x = $* y y = $*.

    Sl+'i2

    /

    x y

    * *

    =

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    =

    C+a% * = 6

    7.;.- RELA DE LA CADENA DOS VARIABLES INDEPENDIENES

    S$a / = f(x,y), f $ +a f+'i2 %if$"$'ia0l$ %$ x y y. Si x = 3(,*) y

    y = (,*), *al$ +$ la %$"i&a%a !a"'ial$ %$ !"i#$" "%$

    y , $xi*$, $*'$ y $xi*$ y $* %a%a !"

    /

    x y

    * *

    R$3la %$ la 'a%$a +a &a"ia0l$ %$!$%i$*$ /, $ f+'i2 %$ x y y la +$ a+ &$z f+'i$ %$ y *. E*$ %ia3"a#a "$!"$$*a la %$"i&a%a %$ / '

    "$!$'* a * y .

    E9$#!l ;

    E'+$*"$ , %a%a / = -xy, x = - *- y y = *

    Sl+'i2

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    /

    x y

    * *

    =

    La "$3la %$ la 'a%$a !+$%$ $x*$%$"$ a '+al+i$" +#$" %$ &a"ia0l$.

    E9$#!l

    Da%a / = xy yz xz, x = .'*, y = .$* y z = *, !a"a =1 y *=- . >alla"

    Sl+'i2

    /

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    x y z

    * * *

    E*'$, !a"a =1 y *=-, *$$# +$

    =

    = - -

    7.;.: RELA DE LA CADENA DERIVACIN IPLICIA

    Si la $'+a'i2 F(x,y) = 6 %$fi$ a y i#!lG'i*a#$*$ '# f+'i2 %$"i&a0l$

    %$ x, $*'$

    Si la $'+a'i2 F(x,y,z) = 6 %$fi$ a z i#!lG'i*a#$*$ '# +a f+'i2 %if$?

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    "$'ia0l$ %$ x y y, $*'$

    E9$#!l @

    Da%a la $'+a'i2 :x-z < x-y- -z: :yz < = 6, alla" .

    Sl+'i2

    D$fii$% F(x,y,z) = :x-z < x-y- -z: :yz <

    7.4 APLICACIONES DE LA DERIVADA PARCIAL EN ECONOMIA

    El 09$* f"#al %$ la i3$i$"Ga $ la #$9"a %$ la 'ali%a% %$ &i%a %$ la+#ai%a%, + 09$* #a*$"ial $ la a*+"al$za. El *4"#i a*+"al$za $ #+ya#!li, + !"i#$" a'$"'a#i$* a + i3ifi'a% l $'*"a# $ $l "%$$#*i' +$ l %i''ia"i $x!li'a '# $l H'9+* %$ $"$ y 'a+$ f"#a $l +i&$" y $ l +$ a i*$"&$i% $l #0"$.

    E9$#!l 7

    Ua '#!aJGa !la$a 3a*a" 16.666 %2la"$ $ !+0li'i%a%. C+$*a :.666%2la"$ + #i+* %$ !+0li'i%a% $ la *$l$&ii2 y 1.666 %2la"$ + #i+* %$!+0li'i%a% $ la "a%i. Si la $#!"$a '#!"a x #i+* %$ '#$"'ial$ $ la*$l$&ii2 $ y #i+* %$ '#$"'ial$ $ la "a%i, + i3"$ $ #il$ %$%2la"$, $* %a% !"

    KC2# !+$%$ la $#!"$a #axi#iza" + i3"$

    Sl+'i2

    S$ *i$$ $l !"3"a#a li$al i3+i$*$

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    AG, la $#!"$a *$%"Ga +$ '#!"a" #i+* %$ *i$#! $ *$l$&ii2 y

    #i+* %$ *i$#! $ la "a%i. Ma +$ l = , $l 3a* %$ + D $x*"a ($ #il$)(!a"a + D !$+$J) a+#$*a"Ga l i3"$ %$ la $#!"$a $

    a!"xi#a%a#$*$ 6.- D %2la"$ ($ #il$).

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