SOLUCIÓN DE UNO DE LOS TEMAS DEL PARCIAL 2. LAS ANOTACIONES IMPORTANTES DE CADA PUNTO ESTÁN EN ROJO

Responda las preguntas 1 a 11 con base en la siguiente información.

La compañía farmacéutica GlaxoSmithKline (GSK) ® se dedica a producir y distribuir medicamentos a nivel mundial. En la planta de Clifton (New Jersey), GSK produce Amoxal (antibiótico), Tylenol (analgésico) y Nicorette (goma de mascar con nicotina). La producción de estos medicamentos se realiza en lotes de 100.000 unidades, que se despachan cada

mes. Los insumos con los que GSK fabrica los medicamentos son principio activo, edulcorante y solución aglutinante. El principio activo se encarga de producir el efecto del medicamento; el edulcorante de darle sabor agradable a las cápsulas, y la solución aglutinante de compactar los compuestos químicos dentro de las cápsulas. Cada mes, a la planta llegan 48 kilogramos de principio activo, 20 kilogramos de edulcorante, y 80 litros de solución aglutinante, que se utilizan para fabricar los tres medicamentos. El departamento de control de calidad ha informado que para producir un lote de Amoxal se requieren 4 kilogramos de principio activo, un kilogramo de edulcorante y 4 litros de solución aglutinante, que para hacer un lote de Tylenol se requieren 2 kilogramos de principio activo, un kilogramo de edulcorante y 3 litros de solución aglutinante, y que para fabricar un lote de Nicorette se necesitan 3 kilogramos de principio activo, un kilogramo de edulcorante y 5 litros de solución aglutinante. GSK vende los lotes de medicamentos a las distribuidoras nacionales. Cada lote de Amoxal lo vende a $1000; cada lote de Tylenol, a $5000, y cada lote de Nicorette, a $7000. El gerente de la planta de GSK de Clifton ha decidido implementar un modelo de Programación Lineal para optimizar la producción de los medicamentos y la distribución de los recursos, de modo que se maximicen las ganancias por ventas. El siguiente es el problema de optimización que el gerente de GSK desea resolver:

Variables de decisión: Xi: lotes de medicamento i que se producirán (1: Amoxal, 2: Tylenol, 3: Nicorette)Función objetivo: Max Z = X1 + 5X2 + 6X3 [$, en miles]Restricciones:4X1 + 2X2 + 3X3 ≤ 48 (principio activo) X1 + X2 + X3 ≤ 20 (edulcorante)4X1 + 3X2 + 5X3 ≤ 80 (solución aglutinante)X1, X2, X3 ≥ 0

1. (5%) Escriba la forma aumentada del problema.

Únicamente se debían añadir las variables de holgura, convertir las restricciones con <= en restricciones de con =, y declarar las variables de holgura como no negativas. La forma aumentada del problema sería:

Max Z = X1 + 5X2 + 6X3 S.A4X1 + 2X2 + 3X3 + X4 = 48 X1 + X2 + X3 +X5 = 20 4X1 + 3X2 + 5X3 +X6 = 80 X1, X2, X3 X4, X5, X6 ≥ 0

A continuación se muestra parte del tablero óptimo del problema:

VB Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ 1 6 0 0 1 3 0 108

X6 0 -3 0 0 -2 1 1 4X2 0 -1 1 0 -1 3 0 12X3 0 2 0 1 1 -2 0 8

Datos para solucionar los puntos 2 a 6

Matrices y vectores constantes:

A=[4 2 31 1 14 3 5 ]

C=[1 5 6 ]

b=[482080 ]Matrices y vectores de esta iteración:

B−1=[−2 1 1−1 3 01 −2 0 ]

y por lo tanto

B−1 A=[−2 1 1−1 3 01 −2 0 ] [4 2 3

1 1 14 3 5 ]=[−3 0 0

−1 1 02 0 1 ]

El tablero óptimo sería de la forma

VB Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ 1

0 -3 0 0 -2 1 10 -1 1 0 -1 3 00 2 0 1 1 -2 0

2. (5%) Las variables básicas del tablero óptimo son, en su orden:

Se puede ver que las columnas de la matriz identidad (que identifican las VB) están debajo de X6, X2 y X3, respectivamente. De modo que ese el orden de las VB.

3. (5%) El vector CB de este tablero es

Se busca el coeficiente de X6, X2 y X3 en la FO y se tiene que son 0, 5 y 6. Así que CB= [0 5 6 ]

4. (5%) La matriz B-1A de este tablero es:

Según cálculos anteriores se tiene que

B−1 A=[−3 0 0−1 1 02 0 1 ]

5. (5%) La matriz B de este tablero es:

Se buscan los coeficientes de X6, X2 y X3 en las restricciones y se ponen en su respectivo orden. ¡¡No hay que invertir a B-1 para obtener a B!!

B=[0 2 30 1 11 3 5 ]

6. (5%) El vector B-1b de este tablero es:

Multiplicando B.1, que ya se tenía, con el vector b, que estaba dado, se llega a

B−1b=[ 4128 ]Completando el tablero símplex se tiene:

CBB−1 A−C=. ..=[6 0 0 ]

CBB−1=. ..=[1 3 0 ]

CBB−1 b=. ..=108

Así que el tablero símplex óptimo compelto tiene la forma siguiente:

VB Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ 1 6 0 0 1 3 0 108X6 0 -3 0 0 -2 1 1 4X2 0 -1 1 0 -1 3 0 12X3 0 2 0 1 1 -2 0 8

Se ve que X1 = 0 ; X2 = 12 ; X3 = 8 ; X4 = 0 ; X5 = 0 ; X6 = 4 con Z = 108 es la solución óptima del problema.

7. (10%) Complete los siguientes espacios en blanco: la solución óptima de este problema indica que se deben producir 0 lotes de Amoxal, 12 lotes de Tylenol y 8 lotes de Nicorette para obtener una ganancia de $108 (en miles)

Se interpretan los resultados del tablero óptimo en el contexto del problema.

8. (10%) En la siguiente tabla, al frente de cada recurso ponga una letra C si la solución óptima indica que debe utilizarse por completo, o una letra O si la solución óptima indica que queda recurso ocioso. En caso de que haya recurso ocioso, especifique qué cantidad queda en la columna “recurso ocioso” (si el recurso se gasta por completo, escriba un 0).

Recurso C / O

Recurso ocioso

Principio activo C 0Edulcorante C 0

Solución aglutinante O 4

Como X4 = 0 y X5 = 0, se puede deducir que la cantidad no usada de principio activo y de edulcorante fue 0, es decir, que se gastó por completo. Como X6 = 4, quiere decir que la solución aglutinante no se gastó toda (es decir, quedó recurso ocioso), y que sobraron 4 litros.

9. (15%) Debido a una sobreproducción en la empresa Chemidrugs, que le vende el principio activo a la planta de GSK de Clifton, al gerente de GSK le ofrecieron proveerle este mes 10 kilogramos adicionales de principio activo con un descuento que acordaría con el presidente de Chemidrugs. Si se desea mantener la factibilidad de la solución actual, ¿debería el gerente aceptar esa propuesta? En caso de que sí, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por los 10 kilogramos adicionales?

Se sebe hacer un A.S sobre b1 (el principio activo)

b1=48+Δ . Entonces

b=[48+Δ2080 ]

. Se debe garantizar que B−1b no dañe la factibilidad de la

solución, es decir, que sea >0 (también se tomaron correctas desigualdades de la forma >=0)

Surgen las desigualdades {4−2Δ>0 ¿ {12−Δ>0 ¿ ¿¿¿

lo cual implica que {2>Δ ¿ {12>Δ ¿ ¿¿¿

, es decir −8< Δ<2 . Ese es el intervalo de factibilidad.

Como se está proponiendo Δ=10 , se ve que ese valor de Δ no pertenece al intervalo de factibilidad y que por lo tanto aceptar la propuesta de Chemidrugs dañaría la factibilidad de la solución actual.

En el caso en el que se hubiera propuesto un valor de Δ que perteneciera al intervalo de factibilidad, se podría aceptar la propuesta de Chemidrugs, pagando por cada tonelada de principio activo un valor de 1 por cada tonelada. Ese 1 corresponde al precio sombra del recurso “principio activo”. Se puede leer directamente de la tabla símplex, o se puede calcular con el cajón 4.

10. (15%) Debido a la gran cantidad de campañas publicitarias que invitan a la población a dejar de fumar, la oficina de marketing de GSK ha notado que en los últimos meses las ventas de Nicorette han aumentado, de modo que el gerente de GSK está pensando en aumentar su precio de venta. ¿Hasta qué precio final puede el gerente llevar cada lote de Nicorette sin que se afecte la optimalidad de la solución actual?

Se sebe hacer un A.S sobre c3 (costo de Nicorette)

c3=6+Δ . Entonces c= [1 5 6+Δ ] y c B=[0 5 6+Δ ] . Se cambian estos dos vectores porque X3 es actualmente una VB. Con estos cambios, se alteran los cajones 2, 3 y 4. Se debe garantizar que los cajones 2 y 3 sean >=0 para que no se dañe la optimalidad de la solución actual.

Haciendo el análisis de CBB−1≥0 y CBB

−1 A−C≥0 Surgen las desigualdades {1+Δ≥0 ¿ {3−2 Δ≥0 ¿ ¿¿ ¿

lo

cual implica que

{Δ≥−1Δ≤1 .5Δ≥−3 , es decir −1≤Δ≤1.5 . Ese es el intervalo de optimalidad.

Como el aumento máximo que se le puede hacer a Nicorette para que la solución siga siendo óptima es de 1.5, el precio máximo final que puede tener este producto es de 7.5 (en miles). A los 6 que ya vale se le añade el máximo aumento.

11. (10%) El gerente de GSK desea producir lotes de Amoxal para satisfacer la demanda de este antibiótico por parte de las clínicas pediátricas del Noreste de Estados Unidos. Si fija el precio de venta de cada lote de Amoxal en $4500, ¿se conserva la optimalidad de la solución actual?

Del tablero símplex, en el cajón 2 se observan los costos reducidos o marginales de cada uno de los tres productos. En particular, el costo reducido de X1 (amoxal) es de 6 (miles). Esto significa que para que sea atractivo para GSK producir amoxal, su utilidad debe incrementarse COMO MÍNIMO en 6 (miles). Al incrementar el precio del Amoxal en un valor menor o igual a 6000, la optimalidad de la solución se mantiene, porque a pesar del incremento, no es atractivo para producirlo. Si, en cambio, el aumento es mayor a 6000, el tablero actual dejará de ser óptimo y deberá volverse a iterar, porque X1 va a entrar a la base.

12. (10%) Se tiene el siguiente tablero símplex. Explique si hay algún caso especial en dicho tablero. X1 y X2 son las variables originales y X3 y X4 son las variables de holgura.

X1 X2 X3 X4 LD-3 -1 0 0 01 1 1 0 42 0 0 1 8

Este tablero presenta degeneración, ya que cuando se realiza la prueba del cociente mínimo para ver qué variable sale de la base (X1 es la variable que entra ya que tiene el coeficiente “más negativo”), se obtiene un empate en la prueba del cociente mínimo. Esto significa que cuando se decida qué variable sacar de la base (ya sea X3 o X4), la otra quedará dentro de la base con valor 0, lo cual constituye la degeneración. Esta situación es la que se apreciaría en el siguiente tablero, porque en los LD aparecería un 0.

NOTA: En el otro tema se presentaba un tablero con múltiples soluciones óptimas. Esto se podía identificar porque en el renglón 0 (que tenía todos los coeficientes >= a 0, presentaba un cero debajo de una VNB (X4). Esto significa que al entrar a esa VNB a la base, el valor de Z no cambia.