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FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICA PERIODO 2015-I OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS III
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FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICA
PERIODO 2015-I
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS III
JOSE EDUARDO TORRES VEGA
Coronel EP ( R )
Diplomado en Ciencia y Tecnología
Ingeniero Electrónico CIP
Maestro en Administración
Experto en Logística
Diplomado en Seguridad y Salud Ocupacional
Docente Universitario a nivel pre grado y post grado
Consultor en Servicios de Telecomunicaciones
Estudios Teóricos de Radiaciones No Ionizantes
PRESENTADO POR:
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICA
SEMANA 1
El problema de transporte. Solución básica inicial: Método de la Esquina Nor-oeste,
Método de costo mínimo, Método de Vogel. Desarrollo del modelo.
SEMANA 2
Solución óptima del problema de transporte. Prueba de Optimalidad: Método de
distribución Modificada (MODI). Desarrollo de problemas.
SEMANA 3
Casos especiales. Problema de maximización y degeneración. Desarrollo de problemas.
SEMANA 4
El problema de transbordo. Desarrollo de la solución. PRÁCTICA CALIFICADA 1
SEMANA 5
El problema de asignación. El Método Húngaro. Desarrollo de problemas.
SEMANA 6
Teoría de redes: Definiciones. Problema de flujo máximo: Algoritmo de Ford y Fulkerson.
Teorema de Mínimo corte-Máximo flujo. Desarrollo de problemas.
SEMANA 7
Problema del camino más corto. Algoritmo Dijkstra. Problema de conexión mínima.
Algoritmo de Krustral. Desarrollo de problemas. PRÁCTICA CALIFICADA 2
SEMANA 8
Problema de Flujo máximo a costo mínimo. Algoritmo de Busacker y Gowen. Desarrollo de
problemas.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
SEMANA 9
Programación de proyectos. Desarrollo de PERT/CPM: conceptos, actividad y evento.
Presentación gráfica. Construcción de la red. problemas. PRÁCTICA CALIFICADA 3
SEMANA 10
Ruta crítica - Caso determinístico: Cálculo del tiempo más próximo y más lejano.
Tiempos de holgura, Ruta crítica. Control: Presentación del proceso PERT/CPM. Ruta
crítica - Caso probabilístico. Cálculos de sensibilidad. Diagrama de tiempo, Diagrama de
nivelación de recursos. Desarrollo de problemas.
SEMANA 11
Optimización de programas. Desarrollo de problemas.
SEMANA 12
Software MS Project. PRÁCTICA CALIFICADA 4
SEMANA 13
Programación dinámica: Conceptos, Elementos, Principio de Optimalidad.
SEMANA 14
Formulación de modelos con programación dinámica.
Problemas de Programación Dinámica: Ruta más corta, problema de reemplazo,
asignación de recursos, producción, inventarios. Desarrollo de problemas.
SEMANA 15
EXAMEN FINAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
SUMARIO
BIBLIOGRAFÍA
1. TEORÍA DE REDES: DEFINICIONES.
2. PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO: ALGORITMO DE FORD YFULKERSON.
3. TEOREMA DE MÍNIMO CORTE-MÁXIMO FLUJO.
4. DESARROLLO DE PROBLEMAS
TEORIA DE REDES
WINSTON, WAYNE Investigación de operaciones. Editorial: THOMSON.
HANDY TAHA. Investigación de operaciones. Ediciones Alfa Omega, (1991).
HILLER – LIEBERMAN. Introducción a la investigación de Operaciones. Mc Graw
Hill, (1990).
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICA
LA MODELACIÓN DE REDES PERMITE LA RESOLUCIÓN DEMÚLTIPLES PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓNMATEMÁTICA MEDIANTE LA IMPLEMENTACIÓN DEALGORITMOS ESPECIALES CREADOS PARA TAL FIN,CONOCIDOS COMO ALGORITMOS DE OPTIMIZACIÓN DEREDES. DENTRO DE LOS PROBLEMAS MÁSCOMÚNMENTE RESUELTOS MEDIANTE LA MODELACIÓNDE REDES SE ENCUENTRAN LOS YA VISTOS MODELOS DETRANSPORTE, TRANSBORDO ADEMÁS DE LOS MUYCONOCIDOS MODELOS DE DETERMINACIÓN DECRONOGRAMA DE ACTIVIDADES PARA PROYECTOS COMOLO SON EL PERT Y EL CPM.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Gráfica:
Es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por
unas líneas llamadas ramales o arcos.
Red:
Una red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus
ramales. En las redes se usa una simbología específica para
denotar su tamaño y elementos que la constituyen, dicha
notación es la (N, A) donde N representa el número de nodos
que contiene la red y A representa el número de arcos o
ramales.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Cadena:
Corresponde a una serie de elementos ramales que van de un nodo a otro.
En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el nodo 1 hasta el
nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].
Ruta:
Corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en el siguiente caso
[1, 4, 7].
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Ciclo:
Corresponde a la cadena que une a un nodo consigo mismo. Ejemplo:
cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].
Ramal orientado:
Es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que posee un nodo
fuente y un nodo destino.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Gráfica orientada:
Es aquella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.
Árbol:
Es una gráfica en la cual no existen ciclos.
Árbol de expansión:
Es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la red, de igual manera
no permite la existencia de ciclos.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Nodo fuente:
Es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia
afuera.
Nodo destino:
Es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia
él.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Es un modelo de optimización de redes que consiste enenlazar todos los nodos de la red de forma directa y/oindirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcoso ramales sea mínima (entiéndase por longitud del arco unacantidad variable según el contexto operacional deminimización, y que puede bien representar una distancia ounidad de medida).
EL ALGORITMO DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con
la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las
afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se
encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el
acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las
necesidades de servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de
los proyectos de vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre,
el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada
proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un
ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto
municipal al ver la situación del plan parcial debe de realizar las obras
correspondientes a la instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos
del plan con el nodo Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y
que no pertenece al plan parcial de vivienda, además es el más cercano al
mismo), la instalación de los ductos implica obras de excavación, mano de obra y
costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces
es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes
a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a
continuación. Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que
suficiente para satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos enteoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total deductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.PASO 0:Se definen los conjuntos iniciales C0 = {ø} que corresponde al conjunto de nodosenlazados de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č0 = {N =1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar demanera permanente en la iteración indicada en el subíndice.PASO 1:Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č0, eneste caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente serepresenta con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C1 ={i} = {1} y Č0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora será igual a 2.PASO 2:Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del paso1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado conuno de los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo seencuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arcode menor longitud enlazado al nodo 1).
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazanel conjunto ČK-1(es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en estepaso es igual a 2, por ende ČK-1= Č1) con los nodos de enlace permanentedel conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por endeahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arcocuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.
Al actualizar los conjuntos quedan así:C2 = {1,2} y Č2 = {3,4,5,6,7,8}
Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguienteiteración. Ahora se seleccionará un nuevo nodo j del conjunto Č2quepresente el enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que seencuentran en el conjunto C2.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Los arcos de color naranja
representan los enlaces
posibles y dado que existe
empate entre las menores
longitudes se elige de
manera arbitraria, en este
caso se representa nuestra
elección con un arco de
color verde, enlazando de
forma permanente ahora el
nodo 4.
Al actualizar los conjuntos
quedan así:
C3 = {1,2,4} y Č3 = {3,5,6,7,8}
Ahora se procede a
actualizar k ya que se
procede a efectuar la
siguiente iteración.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Lo que representan los arcos
naranja y verde es ya
conocido, ahora la línea azul
interrumpida irá trazando
nuestro árbol de expansión
final. Dado a que el arco
menor es el de longitud 3,
ahora se enlazará de manera
permanente el nodo 5.
Al actualizar los conjuntos
quedan así:
C4 = {1,2,4,5} y Č4 = {3,6,7,8}
Ahora se procede a
actualizar k ya que se procede
a efectuar la siguiente
iteración.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
hora se enlazará de manera
permanente el nodo 7.
Al actualizar los conjuntos
quedan así:
C5 = {1,2,4,5,7} y Č5 = {3,6,8}
Ahora se procede a
actualizar k ya que se
procede a efectuar la
siguiente iteración.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Ahora se enlazará de manera
permanente el nodo 6.
Al actualizar los conjuntos
quedan así:
C6 = {1,2,4,5,7,6} y Č6 = {3,8}
Ahora se procede a
actualizar k ya que se
procede a efectuar la
siguiente iteración.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Se rompen los empates de
forma arbitraria, ahora se
enlazará de manera
permanente el nodo 3.
Al actualizar los conjuntos
quedan así:
C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y Č7 = {8}
Ahora se procede a
actualizar k ya que se procede
a efectuar la última iteración.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Ahora se enlazará de manera
permanente el nodo 8.
Al actualizar los conjuntos quedan así:
C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y Č8 = {ø}
Por ende se ha llegado al árbol de
expansión mínima
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Los dígrafos se pueden usar para representar flujo en redes.
Permiten modelar todo tipo de red, en particular las de transporte ydistribución: flujo de fluidos en tuberías, piezas en una línea de ensamblaje,corriente en circuitos eléctricos, información en redes de comunicación, etc.
Problema: Maximizar la cantidad de flujo desde un vértice fuente a otrosumidero, sin superar las restricciones de capacidad.
Método de Ford-Fulkerson para resolver el problema de máximo flujo.
o Dígrafo G=(V, E)
o Los pesos de las aristas representan capacidad (c(u, v)> 0). Si no hay aristasla capacidad es cero.
o Vértices especiales:
fuente s, vértice sin aristas de entrada.
sumidero t, vértice sin aristas de salida.
El grafo es conectado: Hay un camino entre s y t por algún vértice intermediodel grafo.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Redes de flujo
Un flujo en G es una función real f : VxV que satisface las
siguientes propiedades:
Restricción de capacidad: Para todo u, v V, f (u, v) < c (u, v)
Antisimetría: Para todo u, v V, f (u, v) = f (v, u)
Conservación de flujo: Para todo u V {s, t }, = 0
Valor del flujo: | f | = =
Vv
vuf ),(
Vv
vsf ),( Vv
tvf ),(
v1 v3
v2 v4
s t
12 / 12
11 / 16
1 / 4
10
7 / 7
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Método de Ford-Fulkerson
Método iterativo para resolver el problema de flujo máximo.
Seudocódigo:
Método de Ford-Fulkerson (G, s, t)
Inicializar flujo f a 0
while exista un camino aumentante p {aumentar flujo f a través de p}
return f
El método depende de tres conceptos básicos:
Redes residuales.
Camino aumentante.
Cortes en redes de flujo.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Redes residuales
Para una red de flujo y un flujo, la red residual es el conjunto de aristas que pueden admitir más flujo.
Sea una red de flujo G=(V, E) con fuente s y sumidero t. Sea f un flujo en Gy un par de vértices u, v V. El flujo neto adicional desde u a v sin excederla capacidad c(u, v) es la capacidad residual de (u, v), definida por:
cf(u,v) = c(u,v) f(u,v)
La red residual de G inducida por f es Gf = (V, Ef) donde
Ef = {(u,v) VxV: cf(u, v) > 0}
1111 / 14
v1 v3
v2 v4
s t
12 / 12
1 / 4
10
7 / 7
v1 v3
v2 v4
s t
12
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3
7
G Gf
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Caminos aumentantes
Un camino aumentante p en una red de flujo G=(V, E) y flujo f, es uncamino simple de s a t en la red residual Gf.
Cada arista (u, v) del camino aumentante admite un flujo neto positivoadicional de u a v sin violar la restricción de capacidad de la arista.
Capacidad residual: es la máxima cantidad de flujo neto que se puedeenviar por las aristas de un camino aumentante. Se calcula por:
cf(p) = min{cf(u,v) (u,v) p}
11 / 14
v1 v3
v2 v4
s t
12 / 12
1 / 4
10
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G
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s t
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3
7
Gf
Cf= min{5, 4, 5} = 4
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Cortes en redes de flujo
Un corte (S, T) de una red de flujo G=(V, E) es una partición del conjunto devértices V en dos subconjuntos S y T = VS tal que s S y t T.
Si f es un flujo:
f(S, T) es el flujo neto a través del corte (S,T).
c(S, T) es la capacidad del corte (S,T).
Flujo en una red = flujo neto a través de cualquier corte de la red.
Corte = ( {s, v1, v2}, {s, v1, v2} )
f(s, t) = f(v1, v3) + f(v2, v3) + f(v2, v4) =
12 + (-4) + 11 = 19
c(s, t) = c(v1, v3) + c(v2, v4) = 12 + 14 = 26
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G
S T
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Teorema flujo-máximo mínimo-corte Si f es un flujo en una red de flujo G = (V, E) con fuente s y sumidero t,
entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
f es un flujo máximo en G.
La red residual Gf no contiene caminos aumentantes.
| f | = c(S, T) para algún corte (S, T) de G.
Algoritmo de Ford-Fulkerson
Ford-Fulkerson (G, s, t)
for cada arista (u, v) E[G] {f [u, v] = 0, f [v, u] = 0}
while exista un camino p de s a t en el grafo residual Gf {
cf(p) = min{ cf(u, v) / (u, v) p}
for cada arista (u, v) p
f [u, v] = f [u, v] + cf(p)
f [v, u] = f [u, v]
}ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
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12
4
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Grafo Residual Flujo
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0
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ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Grafo Residual Flujo
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s t
12 / 12
1 /
4
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8
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3
3
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s t311
3
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ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Grafo Residual Flujo
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12 / 12
1 / 4
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7 / 7
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v1 v3
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s t311
3
7
12
Para hallar el camino aumentante se puede usar cualquier tipo de recorrido(BPA o BPP).
La capacidad de cada arista se puede multiplicar por un factor de escalapara conseguir que sea entera.
Bajo estas condiciones el algoritmo tiene una complejidad de O(E| f * |),donde f *es el máximo flujo obtenido por el algoritmo.
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
GRACIAS POR SU ATENCIÓN
ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES
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