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PAU - SEPTIEMBRE 2009 MATEMÁTICAS II - OPCIÓN A
Resuelto por: Ana Isabel Aparicio Cervantes, Araceli Arjona Muñoz y Carmen de la Llave Peral http://ticmatec.blogspot.com/
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. O PCIÓN A
EJERCICIO 1: (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una carpintería vende paneles de contrachapado de d os tipos A y B. Cada m 2 de panel
del tipo A requiere 0,3 horas de trabajo para su fa bricación y 0,2 horas para su
barnizado, proporcionando su venta un beneficio de 4 euros. Cada m 2 de panel del
tipo B requiere 0,2 horas de trabajo para su fabric ación y 0,2 horas para su barnizado,
proporcionando su venta un beneficio de 3 euros. Sa biendo que en una semana se
trabaja un máximo de 240 horas en el taller de fabr icación y de 200 horas en el taller
de barnizado, calcular los m 2 de cada tipo de panel que debe vender semanalmente la
carpintería para obtener el máximo beneficio. Calcu lar dicho beneficio máximo.
Este ejercicio hace referencia al tema de programación lineal, los pasos a seguir para
resolver este tipo de problemas son los siguientes:
PASO 1: Recogemos los datos del enunciado en una tabla.
TIPO A TIPO B
Horas de fabricación 0,3 0,2
Horas de barnizado 0,2 0,2
PASO 2: Definimos las variables que vamos a utilizar.
Sea:
� x: número de m2 de panel de tipo A
� y: número de m2 de panel de tipo B
PASO 3: Definimos la función objetivo.
���, �� � 4� 3�
PASO 4: Escribimos las restricciones.
≥≥
≤+≤+
0
0
2002,02,0
2402,03,0
y
x
y
yx
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PASO 5: Dibujamos la región factible.
PASO 6: Calculamos los vértices del área factible.
)1000,0(A
)0,800(B
)0,0(C
)600,400(D
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PASO 7: El máximo y el mínimo de la función beneficio, se alcanzaran en los vértices de la
área factible. Sustituimos los puntos hallados en el paso anterior en la función beneficio.
� 3000)1000,0( =F
� 3200)0,800( =F
� 0)0,0( =F
� 3400)600,400( =F
Solución: El máximo beneficio se alcanzará para 400 paneles del tipo A y 600 paneles
del tipo B. Siendo el beneficio obtenido de 3400 eu ros.
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EJERCICIO 2: (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera la función real de variable real defin ida por:
>+−≤<−+
−≤+=
215
239
3242
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf
a) Represéntese gráficamente la función f .
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b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfi ca de f en el punto de
abscisa 1=x .
La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 0x es:
))(()( 00
'
0 xxxfxfy −=−
Vamos a hallar lo que nos hace falta para completar la ecuación:
� 9)( 2 += xxf
� 10)1( =f
� xxf 2)(' =
� 2)1(' =f
Sustituyendo en la fórmula obtenemos: 82)1(210 +=⇒−=− xyxy
Solución: � � � �
c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitad o por la gráfica de f y el eje
OX.
Para calcular el área debemos plantear las integrales de cada tramo de la función
definiendo lo límites de integración con anterioridad.
[ ]15
2
22
3
33
12
2
3
15
2
3
12
22 152
93
24)15()9()242(
+−+
+++=+−++++=
−
−
− −−∫ ∫ ∫ x
xx
xxxdxxdxxdxxA
Solución: � � ����� ���, �����
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EJERCICIO 3: (Puntuación máxima: 2 puntos)
En un cierto banco el 30% de los créditos concedido s son para vivienda, el 50% se
destinan a empresas y el 20% son para consumo. Se s abe además que de los
créditos concedidos a vivienda, el 10% resultan imp agados, de los créditos
concedidos a empresas son impagados el 20% y de los créditos concedidos para
consumo resultan impagados el 10%.
Antes de comenzar a resolver este ejercicio es recomendable hacer un diagrama de
árbol:
Vivienda (V)
Empresa (E)
Consumo (C)
Impagado (I)
Pagado (P)
Impagado (I)
Impagado (I)
Pagado (P)
Pagado (P)
0,3
0,1
0,5
0,2
0,9
0,2
0,8
0,1
0,9
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a) Calcúlese la probabilidad de que un crédito elegido al azar sea pagado.
Utilizamos la fórmula de la probabilidad total:
( ) ( ) ( ) 9,0·2,08,0·5,09,0·3,0)·()·()·()( ++=++=CPPCP
EPPEP
VPPVPPP
Solución: ���� � �, ��
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se hay destinado
a consumo, sabiendo que se ha pagado?
Para responder a esta pregunta hay que utilizar el teorema de Bayes:
( ) ( )85,0
9,0·2,0
)(
)·(==
PP
CPPCP
PCP
Solución: ��� �� � � �, ���
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EJERCICIO 4: (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se supone que el tiempo de una conversación en un t eléfono móvil se puede
aproximar por una variable aleatoria con distribuci ón normal de desviación
típica igual a 1,32 minutos. Se desea estimar la me dia de tiempo de las
conversaciones mantenidas con un error inferior o i gual en valor absoluto a 0,5
minutos y con un grado de confianza del 95%.
a) Calcúlese el tamaño mínimo de la muestra que es nec esario observar
para llevar a cabo dicha estimación mediante la med ia muestral.
En este problema hay que utilizar la fórmula que relaciona el error, el intervalo de
confianza y el tamaño de la muestra.
2
22
=⇒=E
znn
zEσσ
αα
Nuestros datos son los siguientes:
� 5,0=E
� 32,1=σ
� 96,12
=αz , este número lo averiguamos teniendo en cuenta el
intervalo de confianza del 95%:
� 025,02
95,01 =⇒=− αα
� Buscamos en la tabla de la normal a que Z le corresponde
96,1975,0025,01 ⇒=−
Sustituimos en la fórmula y resolvemos:
⇒=
= 77,265,0
32,196,1
2
n El tamaño de la muestra será 27
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b) Si se supone que la media del tiempo de las convers aciones es de 4,36
minutos y se elige una muestra aleatoria simple de 16 usuarios, ¿cuál es
la probabilidad de que el tiempo medio de las conve rsaciones de la
muestra esté comprendido entre 4 y 5 minutos?
Lo primero que hay que hacer en este ejercicio es averiguar a que distribución
normal se asemejan las características de nuestro problema:
),( σµN donde µ es la media dada en el enunciado (4,36) y σ es la desviación
típica que tenemos que hallar para una muestra de 16.
34,016
32,1 ===n
cialMuestraIniσσ
Nuestra distribución normal será: )34'0,36'4(N
La probabilidad que queremos calcular es: ( )54 ≤≤ XP pero para poder mirar en
las tablas que se adjuntan en el examen primero tenemos que tipificar las
variables.
( )
[ ] 8253,08554,019699,0)06,1(1)88,1(
)06,1()88,1(88,106.134,0
36,45
34,0
36,44
=+−=−−=
=−−=≤≤−=
−≤≤−
FF
FFZPZP
Siendo )1,0(NZ =
Solución: ��� � � � �� � �, ����