Olimpiada Rápida

Olimpiada Rapida

OMPR

Universidad de Puerto Rico - Recinto de Mayaguez

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3 minutos

1 ¿Cuanto vale 20092 − 20082 + 20072 − · · ·+ 32 − 22 + 12?


Solucion

Agrupando

(20092 − 20082) + (20072 − 20062) + · · ·+ (32 − 22) + 12

y factorizando cada diferencia de cuadrados obtenemos:

2009 + 2008 + 2007 + · · ·+ 3 + 2 + 1

Por suma de Gauss esto es igual a 2019045.


3 minutos

2 ¿Cuantos numeros de tres dıgitos tienen al menos un 2 o almenos un 3?


Solucion

Hay 9 · 10 · 10 = 900 numeros de tres dıgitos. Sabemos quede estos hay 7 · 8 · 8 = 448 que no tienen 2 ni 3 como una desus cifras. Por tanto hay 900− 448 = 452 numeros de tresdıgitos’que tienen al menos un 2 o al menos un 3.


4 minutos

3 Una persona quiere vender su caballo y el comprador lepide precio. El amo del caballo dice: El caballo tiene cuatroherraduras y cada herradura cuatro clavos. Me has de pagaruna moneda por el primer clavo, dos por el segundo, cuatropor el tercero, ocho por el cuarto y ası hasta los 16 clavosde las herraduras del caballo. ¿Cuantas monedas vale elcaballo?


Solucion

Llamemos C al costo del caballo, ası¿12

C esta dado por

C = 20 + 21 + · · ·+ 215

Para calcular la suma multiplicamos por 2,

2C = 21 + 22 + · · ·+ 216

y al restar miembro a miembro obtenemos que

C = 216 − 20 = 65535


4 minutos

4 Si tienes el conjunto

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Descartando un entero y con los restantes formando dosconjuntos, la suma de los enteros de un conjunto debe serigual a la suma del otro y el producto igual. ¿Cual es elentero que hay que descartar, cual es la suma y el productode cada conjunto?


Solucion

El numero que sacamos es el 7, la suma da 24 y el productoes 720. Esto debido a que los conjuntos son

A1 = {2, 5, 8, 9}

yA2 = {1, 3, 4, 6, 10}


3 minutos

5 Considere las 27 fichas de domino que quedan quitando lablanca-blanca. Tomando en cuenta los puntos que hay enuna ficha, a cada ficha le corresponde un numero racionalmenor o igual que uno. ¿Cual es la suma de todos estosnumeros?


Solucion

Los que tienen a 6 como denominador, su suma es 21/6.Los que tienen a 5 como denominador, 15/5, los que tienena 4, 10/4, los que tienen a 3, 6/3, los de tienen a 2, 3/2 ylos que tienen a 1, 1. En total la suma es 27/2.


4 minutos

6 Las paginas de un libro estan numeradas a partir de la 1.Sabiendo que la maquina que las ha enumerado indica quese han utilizado en total 402 dıgitos, ¿cuantas paginas tieneel libro y cual es el dıgito mas utilizado?


Solucion

Para enumerar las paginas del 1 al 9, se usan 9 dıgitos.Para enumerar las paginas del 10 al 99, se usan90× 2 = 180 dıgitos.Por tanto llevamos 189 de los 402 dıgitos utilizados. Nosrestan 213 dıgitos que al dividirlos por 3, nos da 71 paginasmas. Por tanto el libro tiene 170 paginas y el dıgito masutilizado es el 1.


3 minutos

7 Encontrar el menor numero que dividido entre 2 de resto 1,dividido entre 3 de resto 2, dividido entre 4 de resto 3,dividido entre 5 de resto 4, dividido entre 6 de resto 5,dividido entre 7 de resto 6 y dividido entre 9 de resto 8.


Solucion

Este es el mınimo comun multiplo de los numeros del 2 al9, sin incluir el 8, restandole 1. Es decir,

1260− 1 = 1259


4 minutos

8 Hallar la suma de todos los numeros que son permutacionesde los dıgitos 1, 2, 3, 4 y 5. Esto es

12345 + 12354 + ... + 54321


Solucion

Son 120 numeros y adicionandolos de la maneratradicional, en cada columna cada dıgito aparece 24 veces.Por tanto la suma es 3999960.


4 minutos

9 Conociendo que el lado del triangulo equilatero es 3. ¿Cuales el area de la region sombreada?


Solucion

La altura de un triangulo equilatero de lado l mide h =√

3l2

.Como el centro de un triangulo equilatero inscrito en uncırculo coincide con el baricentro del triangulo, entonces elradio del cırculo grande mide h

3y el radio de cada cırculo

pequeno mide h9. Por tanto el area sombreada es

π

(√3l

6

)2

+ 3π

(√3l

18

)2

=πl2

9

Por tanto el area sombreada es π.OMPR Olimpiada Rapida

4 minutos

10 Cada lado de un rectangulo se divide en tres segmentos dela misma longitud. Los puntos obtenidos se unen definiendoun punto en el centro como se indica en la figura. ¿Cuantoes el cociente del area de la parte blanca entre el area de laparte gris?


Solucion

Trazando las diagonales del rectangulo encontramos 12triangulos. Cada lado del rectangulo contiene la base de 3triangulos, uno blanco y dos grises, que tienen la mismaarea pues sus bases y sus alturas son iguales.Ası, la razon de las areas es de 1 a 2.


3 minutos

11 Si f(2x + 1) = 4x2 + 2x− 6, encuentre la suma de las raicesde f(x).


Solucion

f(2x + 1) = 4x2 + 4x + 1− 2x− 1− 6

= (2x + 1)2 − (2x + 1)− 6

Por lo tanto f(x) = x2 − x− 6 = (x− 3)(x + 2)Raices: 3, −2Suma: 3 + (−2) = 1


4 minutos

12 ¿Cuantas tripletas ordenadas de enteros positivos (x, y, z)satisfacen (xy)z = 64?


Solucion

(21)6 = (26)1 = (22)3 = (23)2 = (41)3 = (43)1 = (81)2

= (82)1 = (641)1 = 64

Ası la respuesta es 9.


4 minutos

13 El radio del cuarto de cırculo es 2. Los dos semicırculos sontangentes el uno al otro. Encuentre el radio del semicırculomenor


Solucion

1

1

2−x

x

x

(1 + x)2 = 12 + (2− x)2

x2 + 2x + 1 = 1 + 4− 4x + x2

2x = 4− 4x

x =4

6=

2

3


4 minutos

14 ¿Si x es un numero real y 4x + 4−x = 7 cuanto vale8x + 8−x?


Solucion

(2x + 2−x)2 = 4x + 2× 2x2−x + 4−x = 7 + 2 = 9

Por tanto 2x + 2−x = 3.Ası

8x + 8−x = (2x)3 + (2−x)3

= (2x + 2−x)(4x − 2x2−x + 4−x)

= 3(7− 1) = 18


4 minutos

15 Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 13

del contenidodel primer recipiente en el segundo, y a continuacion 1

4del

contenido del segundo en el tercero, y por ultimo 110

delcontenido del tercero en el primero, entonces cadarecipiente queda con 9 litros de agua. ¿Que cantidad deagua habıa originalmente en cada recipiente?


Solucion

Haciendo un razonamiento hacia atras podemos reconstruirlos contenidos de agua iniciales en cada recipiente. Despuesde la tercera operacion, en cada uno hay 9 litros de agua, loque significa que despues de la segunda operacion habıa 8litros en el primer recipiente, 9 en el segundo y 10 en eltercero. Ası, despues de la primera operacion habıa 8 litrosen el primer recipiente, 12 en el segundo y 7 en el tercero.Por tanto, inicialmente habıa 12 litros en el primerrecipiente, 8 en el segundo y 7 en el tercero.


4 minutos

16 Los lados del triangulo ABC miden AB = 26cm,BC = 17cm y CA = 19cm. Las bisectrices de los angulosde vertices B y C se cortan en el punto I. Por I se trazauna paralela a BC que corta a los lados AB y BC en lospuntos M y N respectivamente. Calcule el perımetro deltriangulo AMN .


Solucion

A

B C

M I N

Los triangulos BMI y CNI son isosceles. Ası queMI = MB y IN = NC. Luego:

AM + MN + AN = AM + MI + IN + AN

= AM + MB + AN + NC

= AB + AC = 26 + 19 = 45


3 minutos

17 A Julio le dieron el numero secreto de su nueva tarjeta decredito, y observo que la suma de los cuatro dıgitos delnumero es 9 y ninguno de ellos es 0; ademas el numero esmultiplo de 5 y mayor que 2009. ¿Cual es el tercer dıgito desu numero secreto?


Solucion

Por ser el numero multiplo de 5, debe terminar en 0 o 5,pero como no debe tener ceros, el numero termina en 5.Ahora hay que buscar tres numeros cuya suma sea 4 (puesla suma de todos los dıgitos del numero es 9); comoninguno debe ser cero la unica posibilidad es que sean 1,1,2y como el numero secreto debe ser mayor que 2009, debeser 2115. Por lo tanto su tercer dıgito es 1.


4 minutos

18 ¿Cuantos numeros entre 5678 y 8765 tienen la propiedad deque el producto de sus cifras es igual a 294?


Solucion

Observe que 294 = 2 · 3 · 72. Como los numeros son de 4dıgitos necesariamente dos de ellas son 7 y las otras dospueden ser 2 y 3 o 1 y 6.Con los dıgitos del conjunto {2, 3, 7, 7} se forman 6numeros.Con los dıgitos del conjunto {1, 6, 7, 7} se forman 9numeros. Por tanto hay en total 15 numeros.


4 minutos

19 En la figura, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cual es elarea de la region sombreada?

A B

CD


Solucion

El area del cırculo es π × (√

22

)2 = π2.

El area de la superficie delimitada por los segmentos AD,DC y el arco AC es 1− π

4.

El area de la region delimitada por el segmento BC y elarco BC es la cuarta parte de restarle al area del cırculo el

area del cuadrado, osea(π2−1)

4.

Por tanto, el area de la region sombreada es

1− π4

+2(π

2−1)

4= 1/2.


3 minutos

20 En un triangulo que tiene lados de longitud 10cm, 12cm y15cm, ¿Cual es la razon entre la altura mayor y la alturamenor?


Solucion

Llamamos H y h a las alturas mayor y menorrespectivamente. Dado que en un triangulo a mayor ladocorresponde menor altura. Sabemos que

A4 =10H

2=

15h

2

Por tanto,H

h=

15

10=

3

2


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