XXVII olimpiada

Olimpiada Thales

Problema 1: LOS CARROS DEL SUPERMERCADO

Problema 2: CUBOS (Cubos Geogebra)

Problema 3: SUPERVENTAS

Problema 4: TRIÁNGULOS FRACTALES

Problema 5: OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS

Problema 6: ¿DÓNDE SE ENCUENTRA EL 2011?

XXVII Olimpiada Thales

SoluciónSolución

Los carros del supermercado:

Alex, María y Elena están en el supermercado con sus padres respectivos. Mientras esperan en la cola de la caja deciden jugar a ver quién adivina cuánto dinero hay juntando las tres monedas que han metido sus padres en los carros.Tienen genes matemáticos, por eso no responden al tun tun, sino que hacen cálculos sabiendo que los carros aceptan monedas de 50 céntimos, 1 euro y 2 euros. • ¿Por qué nadie dice 5’5 euros? • ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar?Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad es exacta o decimal. • En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar? • ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar?Razona las respuestas.

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Solución:

• ¿Por qué nadie dice 5,5 euros?

Los números con los que podemos jugar son 2, 1 y 0'50.Si ordenamos de mayor a menor las cantidades, la mayor será:

MenúMenúEnunciadoEnunciado

•¿Por qué nadie dice 5,5 euros?

Y la siguiente:

Por lo tanto, no puede estar la cantidad de 5,5 euros

Solución:


•¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar?

Alex María Elena Cantidad Total

0'50 0'50 0'50 1'50

0'50 0'50 1 2

0'50 0'50 2 3

0'50 1 0'50 2

0'50 1 1 2'50

0'50 1 2 3'50

0'50 2 0'50 3

0'50 2 1 3'50

0'50 2 2 4'50

Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados


1 0'50 0'50 2

1 0'50 1 2'50

1 0'50 2 3'50

1 1 0'50 2'50

1 1 1 3

1 1 2 4

1 2 0'50 3'50

1 2 1 4

1 2 2 5

Solución:



Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados


2 0'50 0'50 3

2 0'50 1 3'50

2 0'50 2 4'50

2 1 0'50 3'50

2 1 1 4

2 1 2 5

2 2 0'50 4'50

2 2 1 5

2 2 2 6

Solución:



Ahora hacemos una tabla con las cantidades y las veces que hansalido (frecuencia)

Cantidad Total Frecuencia

1'50 1

2 3

2'50 3

3 4

3'50 6

4 3

4'50 3

5 3

5'50 0

6 1

Solución:


Está claro que la cantidad que van a decir es 3'50 euros, porque tienen genes matemáticos y saben de probabilidad.


Solución:


Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad es exacta o decimal. • En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar? • ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar?

Habría que elegir exacta, pues al realizar el recuento hay 13 cantidades cuya expresión es decimal y las 14 restantes son exactas.

Y puestos a apostar gominolas, apostaremos a decimal o exacto, puesto que la probabilidad de acertar es aproximadamente del 51% (14 casos de 27 = 0’5185), mientras que la de acertar la cantidad 3'50 es aproximadamente del 22 % (6 casos de 27 = 0’222)

Solución:

EnunciadoEnunciado MenúMenú

SoluciónSolución

CUBOS:

El profesor D. Anacleto Enseñalotodo va paseando con sus alumnos y alumnas por un museo y al encontrarse con los siguientes cubos de 1 metro de arista apilados sobre el suelo les plantea las siguientes cuestiones: · ¿Cuál es el volumen de la figura formada por los cubos? · Si pintáramos de rojo las caras que se pueden ver. ¿Cuántos cubos tienen exactamente una, dos, tres, cuatro y cinco caras coloreadas?Razona las respuestas.

MenúMenú

Solución:

Vamos a comenzar descomponiendo la estructura en los diferentes cubos que la forman.

A continuación trasladamos los datos a la siguiente tabla:

Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1

Cubo 2

Cubo 3

Cubo 4

Cubo 5

Cubo 6

Cubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14

Es bastante sencillo observar que el volumen de la figura es 14 m3.


Solución: Comenzamos quitando el cubo 1

CUBO 1

Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo

Repetimos el mismo procedimiento con el resto de los cubos y, completamos la tabla

Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1

Cubo 2

Cubo 3

Cubo 4

Cubo 5

Cubo 6

Cubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14

X


Solución:CUBO 2 Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2

Cubo 3

Cubo 4

Cubo 5

Cubo 6

Cubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14


X


Solución: CUBO 3Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3

Cubo 4

Cubo 5

Cubo 6

Cubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14

X



Solución: CUBO 4 Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4

Cubo 5

Cubo 6

Cubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14


X


Solución:CUBO 5

Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5

Cubo 6

Cubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14


X



1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6

Cubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14


X


Solución: Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7

Cubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14

CUBO 7


X



1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8

Cubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14

Comprobamos que tiene 1 cara de color rojo

X


Solución: Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8 XCubo 9

Cubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14

CUBO 9


X



1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8 XCubo 9 XCubo 10

Cubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14


X


Solución:CUBO 11 Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8 XCubo 9 XCubo 10 XCubo 11

Cubo 12

Cubo 13

Cubo 14


X


Solución:

CUBO 12

Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8 XCubo 9 XCubo 10 XCubo 11 XCubo 12

Cubo 13

Cubo 14


X


Solución:CUBO 13

Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8 XCubo 9 XCubo 10 XCubo 11 XCubo 12 XCubo 13

Cubo 14


X


Solución:

CUBO 14Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8 XCubo 9 XCubo 10 XCubo 11 XCubo 12 XCubo 13 XCubo 14


XMenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

EnunciadoEnunciado

Cubos con 3 caras coloreadas : 2



Caras Coloreadas

1 2 3 4 5

Cubo 1 XCubo 2 XCubo 3 XCubo 4 XCubo 5 XCubo 6 XCubo 7 XCubo 8 XCubo 9 XCubo 10 XCubo 11 XCubo 12 XCubo 13 XCubo 14 X


Cubos con 1 cara coloreada : 1

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Superventas:

Últimamente todos los habitantes de Todolandia ocupan todos sus ratos libres en la lectura de todos los libros que tienen relación con las matemáticas.

D. Perfecto Leeselotodo está muy preocupado porque por haber estado de viaje fuera del país no ha podido seguir las novedades en la lista de superventas de las últimas semanas.

Observa la relación de superventas de esta semana y ayuda al Sr. Leesolotodo diciéndole qué libro o libros son nuevos en ella. Indica también, de forma razonada, qué posición ocupaba la semana pasada cada uno de los libros de la relación, si sabemos que en ningún caso la subida o bajada en la lista ha sido superior a tres puestos con respecto a la semana anterior.

1. El hombre que calculaba

2. = Cuentos con cuentas

3. ¿Matemágicas o matetrágicas?

4. El diablo de los números

5. = El teorema del loro

Nota: Los signos = , y nos indican respectivamente si el libro continúa en el mismo puesto o ha ascendido o descendido en la lista

6. El curioso incidente del perro a medianoche

7. ¡Malditas matemáticas!

8. El asesinato del profesor de matemáticas

9. =El país de las Matemáticas

10. Las matemáticas en la vida

SoluciónSolución MenúMenú

Solución:

• Hay algunos superventas que ya sabemos en qué lugares estaban la semana pasada, ¿no crees?

Bien, pues comencemos por ellos…

Clasificación de superventas de la semana pasada

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


Solución:

• Comencemos ahora por arriba…


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

¿Qué libro fue 1º la semana pasada?

Cuentos con cuentas

El teorema del loro

El país de las matemáticas

Matemágicas o Matetrágicas


Solución:

• ¿Qué libros pudieron ocupar los lugares 3º y 4º?



2. Cuentos con cuentas

3.

4.

5. El teorema del loro

6.

7.

8.

9. El país de las matemáticas

10.

• El hombre que calculaba y ¡Malditas matemáticas!, evidentemente.

• Pues situémoslos…

El hombre que calculaba

Malditas matemáticas

• Y ahora ya está claro el superventas que ocupó el 6º puesto…


Solución:

• Y solo hay ahora un libro que pudo ocupar el 7º puesto…








7.

8.


10.

El curioso incidente del perro a medianoche


Solución:

• ¿Pero podemos saber quiénes ocuparon los lugares 8º y 10º?









8.


10.


Solución:

• No podemos saber con seguridad los lugares que ocuparon dos de los superventas, aunque podemos afirmar que “El asesinato del profe de mates” ocupó el 10º o el 11º puesto, y “Las matemáticas para la vida” el 11º, 12º o 13º.

EnunciadoEnunciado









8.


10.

Un libro que ya no está entre los 10 superventas

El asesinato del profesor de matemáticas o un libro de los que ya no son superventas

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Solución 1Solución 1

TRIÁNGULOS FRACTALES (in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”)

Todos los estudiantes de Todolandia andan como locos intentando calcular las superficies de todos los triángulos equiláteros coloreados que se van obteniendo al ir uniendo los puntos medios de los lados de los triángulos no coloreados como se observa en las figuras.Sabiendo que el triángulo equilátero del que se parte tiene como superficie la unidad, ayúdales calculando la superficie que está coloreada después de haber realizado 2 transformaciones.¿Cuál es la superficie que se obtiene después de 4 transformaciones?¿Cómo calcularías la superficie coloreada tras realizar “n” transformaciones?

Triángulo inicial


Transformación 1ª Transformación 2ª

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Solución 1 :

Superficie del triángulo inicial: 1

Transformación 1ª

Superficie coloreada:

EnunciadoEnunciado MenúMenú

Solución 1:Transformación 2ª



Solución 1: Transformación 3ª



Solución 1: Transformación 4ª



Solución 1:Superficie coloreada para “n” transformaciones

Por tanto, la superficie coloreada para “n” transformaciones sería:


Solución 2:

EnunciadoEnunciado

También podríamos calcular la superficie coloreada para “n” transformaciones restando al triángulo unidad la parte no coloreada:

Por tanto, la superficie coloreada para “n” transformaciones sería:

Transformación 1ª

Transformación 2ª

Transformación 3ª

Transformación 4ª

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SoluciónSolución

OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS

Cada año se presentan muchos chicos y chicas a nuestras Olimpiadas Matemáticas Thales. Deduce de forma razonada cuántos olímpicos y olímpicas se presentaron en cada una de las provincias de Andalucía Occidental sabiendo que:

• El número total de participantes en estas cuatro provincias coincide con el que se obtiene al sumar los números de la fecha de hoy (día + mes + año).•El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el de chicos y esta proporción se mantuvo también en la provincia de Sevilla.

Córdoba fue la única provincia igualitaria en chicos y chicas.

En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz juntos y en Córdoba la mitad que en Sevilla.

En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro provincias.

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Solución:

Primero vamos a calcular el número de participantes.

Hoy es 26 de marzo de 2011, entonces el total es:

26+3+2011=2040

Bien, ya tenemos el total, vamos a continuar leyendo….


Solución:

El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el de chicos.

Esto nos indica que debemos de dividir entre 3 el total de participantes, y el número obtenido será el de chicas y el resto, que es el doble, el de chicos.

2040:3=680

680 x 2=1360


Solución:

En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz juntos y en Córdoba la mitad que en Sevilla.

Esto nos hace deducir que debemos de dividir el total de participantes entre 2’5, que sería uno de Sevilla otro entre Cádiz y Huelva y la mitad para Córdoba.

2040:2’5=816


Solución:

Vamos entonces a repartir a los participantes por provincias

SEVILLA: 816 Participantes

Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que en Sevilla se mantenía la proporción de doble número de chicos que de chicas.

816:3=272

272x2=544


Solución:

CÓRDOBA: 408 Participantes

Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que Córdoba fue la única provincia igualitaria en chicos y chicas.

408:2=204

204

204


Solución:

En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro provincias

CÁDIZ

Podemos calcular el total de chicas, pues es el 20 % del total que recordemos era de 680.

20% de 680=136

136 x 3 = 408


Solución: HUELVAEn el enunciado de Huelva no nos dicen nada, pero como son los únicos valores que nos faltan los podemos calcular restando del total los obtenidos.

1360-544-204-408=204

680-272-204-136 = 68


Solución:

EnunciadoEnunciado

Cádiz Córdoba Huelva Sevilla Totales

1360

680

Totales 2040

544

272

816

204

204

408

408

136

544

204

68

272

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Thalevago ha contado a su compañera Calculina que su profesora de mates, Eulerina, ha propuesto hoy en clase la siguiente serie de números:

A B C D E1 4

13 10 716 19

28 25 2231 …

Y les ha pedido que averigüen en qué columna y en qué fila aparecerá en dicha serie el número que corresponde al año actual.Para que practiquen les ha dicho que investiguen buscando primero la posición del número 73.Ambos se encuentran un poco despistados, ayúdales a encontrar de forma razonada las respuestas.

Thalevago ha contado a su compañera Calculina que su profesora de mates, Eulerina, ha propuesto hoy en clase la siguiente serie de números:

A B C D E1 4

13 10 716 19

28 25 2231 …

Y les ha pedido que averigüen en qué columna y en qué fila aparecerá en dicha serie el número que corresponde al año actual.Para que practiquen les ha dicho que investiguen buscando primero la posición del número 73.Ambos se encuentran un poco despistados, ayúdales a encontrar de forma razonada las respuestas.

¿Dónde se encuentra el 2011?

Solución 2Solución 2 MenúMenú

Solución 1:

Vamos a calcular el término general de la serie:

Ordenamos en sentido creciente los números:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, …

an = a1 + (n-1)d

d = +3

an = 1 + (n-1) (+3)= 1 + 3n – 3 = 3n - 2

an = 3n - 2


Solución 1:

A B C D E

Para averiguar la columna situamos los números en la tabla siguiente :

Vemos que la diferencia entre dos términos de una misma columna es 15

73 : 15 = 4 Resto = 13

Comenzamos con el número 73

Por tanto se encontrará en la columna A

1 4

71013

16 19

222528

31

15 15

15

1515 15


Solución 1:

A continuación necesitamos conocer la fila en que se encuentra el número 73

Recurrimos al término general cuyo valor en este caso es 73

an = 3n - 2 73 = 3n - 2 75 = 3n n = 75 : 3 n= 25

El número 73 ocupa el término de lugar 25

Podemos hacer grupos de 5 (A, B, C, D y E) 25 : 5 = 5

5 grupos de 5, a cada grupo de 5 le corresponden 2 filas,

por tanto 5 X 2 = 10

El término 25 ( número 73) se encuentra en la fila 10


Solución 1:

Vamos a probar con el número 103

Fila:

103 = 3n - 2 105 = 3n n = 105 : 3 n= 35

35 : 5 = 7 por tanto 7 X 2 = 14

El número 103 se encuentra en la fila 14

Columna:

103 : 15 = 6 Resto = 13

Por tanto se encontrará en la columna A


Solución 1:

Vamos por fin con el número 2011

Fila:

2011 = 3n - 2 2013 = 3n n = 2013 : 3 n= 671

671 : 5 = 134’2

Por tanto 134 ‘2X 2 = 268’4


Columna:

2011: 15 = 134 Resto = 1

Por tanto se encontrará en la columna B

134 grupos completos + 1 grupo incompleto

268 + 1 = 269


Solución 2:

A B C D E

1 4

13 15 10 15 7

15 16 15 19 15

28 15 25 22

31 34

43 40 37

46 49

58 55 52

Si completásemos la tabla podríamos ver que hay una regularidad en la distribución de los términos de la serie


Solución 2:

73: 15 = 4 Resto = 13

Resto = 13 Implica que se encontrará en la columna A

Cociente = 4 Resto = 13

Nos indica 5 grupos de 2 filas

por tanto 5 X 2 = 10


(aunque la última fila se encontraría incompleta – columna A)

Número 73


Solución 2:

2011: 15 = 134 Resto = 1

Resto = 1 Implica que se encontrará en la columna B

Cociente = 134 Resto = 1

Nos indica 134 grupos completos y 1 fila incompleta

por tanto 134 X 2 = 268

268 + 1 = 269


Número 2011


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