lgebra2010

Plan de nivelacin Mdulo N 4Introduccin a la geometra

Para resolver ejercicios de geometra tipo PSU, es necesario recordar algunos conceptos bsicos, los que facilitarn la comprensin y resolucin de dichos ejercicios.

En esta gua de nivelacin, definiremos conceptos bsicos como y los smbolos que se utilizan para referirse a ellos. Tambin encontrars aquellas frmulas para clculos de reas y permetros de polgonos, reas y volmenes de cuerpos geomtricos, como cilindros, cubos, conos, etc.

Cabe recordar que sta es una nivelacin y que queda mucho por aprender y reforzar. Estoes slo una invitacin para continuar estudiando junto a tu profesor.Introduccin

APRENDIZAJES ESPERADOS Definir conceptos geomtricos bsicos.

Aplicar frmulas de reas y permetros, tanto de polgonos como de algunos cuerpos geomtricos, en ejercicios propuestos.

Descubrir formas didcticas para calcular reas y volmenes de cuerpos geomtricos como prismas y cilindros.

I. Geometra Plana - Generalidades ContenidosII. Polgonos Definicin y Clasificacin

rea y Permetro

ngulos, relaciones angulares y clasificacin

ngulos entre paralelas

III. Circunferencia y CrculoIV. Cuerpos Geomtricos Definicin

Radio y dimetro

rea y permetro

Caras, aristas y vrtices

reas y Volmenes

I. Geometra Plana - GeneralidadesMdulo N4, pgina 6 ngulo:

Es la regin del plano comprendida entre dos rayos con origen comn, llamado vrtice.Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( a, b, g) o nmeros (1, 2, 3, 4) en el interior del ngulo. Su lectura es en sentido antihorario.

Relaciones angulares:

Dos ngulos son suplementarios si suman 180.ngulos Suplementarios:Mdulo N4, pgina 7100 y 8046 y 13420 y 160Ejemplos:

ngulos Opuestos por el vrtice: Tienen igual medida.ngulos Complementarios:Dos ngulos son complementarios si suman 90. Mdulo N4, pgina 748 y 4260 y 3020 y 70Ejemplos:

ngulos entre paralelas

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ngulos de los cuales algunos son congruentes (poseen igual medida).Si L1 // L2 y L3 una transversal, entonces se forman ocho ngulos, que corresponden a un ngulo y su suplemento que se repiten.Mdulo N4, pgina 9

II. Polgonos reas y Permetros

En la siguiente tabla se resumen las frmulas para calcular las reas y permetros de los polgonos ms comunes: tringulo, cuadrado y rectngulo (ms adelante estudiaremos otros polgonos, como rombos, trapecios, pentgonos, hexgonos, etc.)Mdulo N4, pgina 10

A = Mdulo N4, pgina 11Ejercicios propuestos en el Mdulo 4 de matemtica, pgina 19.

FIGURAREAPERMETROP = a+b+cA = a2P = 4aP = 2a + 2b

919.bin

921.bin

922.bin

III. Circunferencia y CrculoCircunferencia:Lnea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de un puntofijo llamado centro. Definicin

Crculo:Es la porcin del plano limitado por una circunferencia.Mdulo N4, pgina 13

Dimetro (d): Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasandopor el centro. Radio y dimetro

Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.Mdulo N4, pgina 13

rea y Permetro:

rea = pr2Permetro = 2prEjemplo:Si el dimetro de una circunferencia mide 10,6 cm, entonces, cul es su rea y permetro? Permetro = 2p(5,3)Solucin:Si el dimetro de la circunferencia mide 10,6 cm, entonces el radio mide 5,3 cm. Luego:rea = p(5,3)2rea = p(28,09) cm2Permetro = 10,6p cmMdulo N4, pgina 13

IV. Cuerpos GeomtricosEl rea o superficie de un cuerpo geomtrico se obtiene sumando las reas de su(s) base(s) y las reas de sus caras laterales.Ejemplo:El rea del prisma de base cuadrada de la figura, es: reas y volmenes de algunos cuerpos geomtricos

Mdulo N4, pgina 15

El rea o superficie del prisma se obtiene sumando las reas de sus 2 bases cuadradras de lado 8 cm, ms sus 4 caras laterales (rectngulos).A = 2(82) + 4(820)A = 2(64) + 4(160)A =128 + 640A = 768 cm2

El lado de la base cuadrada de la pirmide mide 3 cm. Sus caras laterales son tringulos de altura 5 cm. Cul ser su rea total?Ejercicio propuesto:Mdulo N4, pgina 15

El rea o superficie de la pirmide se obtiene sumando el rea de su base (cuadrada), con sus 4 caras laterales.A = 39 cm2

Los cilindros estn formados por dos bases circulares y una cara lateral, que al extenderla corresponde a un rectngulo de ancho igual al permetro de la circunferencia basal (2pr).Cmo se calcula el rea de un cilindro?Luego, el rea de un cilindro se expresa como:A = 2(pr2) + 2prhMdulo N4, pgina 16

Cul es el rea del cilindro cuya base circular tiene un radio de 10 cm y altura 15 cm?Ejercicio propuesto:A = 2(pr2) + 2prhA = 2(p102) + 2p1015A = 2(p100) + 2p150A = 200p + 300pMdulo N4, pgina 16A = 500 cm2

Cul es el volumen del cilindro anterior?Para calcular el volumen de un cilindro, se multiplica el rea de la base circular (pr2), por su altura (h).Vcilindro = pr2hVcilindro = p10015Vcilindro = 1500p cm3Mdulo N4, pginas 16 y 17

Ejercicios propuestos:Mdulo N4, pgina 181. Cul es la capacidad (volumen) de una caja cuyas aristas estn en razn 2 : 3 : 6, si la arista mayor mide 12 cm?Solucin:Si el alto, ancho y largo de la caja estn en razn 2:3:6, entonces:alto = 2k,ancho = 3k ylargo = 6k

Luego,alto = 4,ancho = 6 ylargo = 12Por lo tanto, el volumen de la caja es:V= 1264V= 288 cm3Mdulo N4, pgina 18

2. Si las bases triangulares del prisma de la figura tienen rea igual a 12 cm2 y su altura h, mide 15 cm, entonces, cul es su volumen?Solucin:V= 1215 cm3V= 180 cm3Mdulo N4, pgina 18V= rea basal altura

Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos en el Mdulo 4 de matemtica, desde la pgina 19. (Solucionario en pgina 25)

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