newton rhapsody

7/23/2019 newton rhapsody

1/37

Regla de Simpson

Es un mtodo para estimar el resultado de

una integral.

Es una mejor aproximacin a la reglaEs una mejor aproximacin a la reglaTrapezoidal, sin incurrir en un mayor nmero deTrapezoidal, sin incurrir en un mayor nmero de

subdivisiones.subdivisiones.

Ajusta una curva de orden superior en lugar deAjusta una curva de orden superior en lugar de

una lnea recta como en la regla trapezoidaluna lnea recta como en la regla trapezoidal


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Regla Trapezoidal

Error

a b

Polinomio de primer orde

2

!!

!

b

a dx"!x

bfafab

+=

= ancho* alturapromedio

o

o


3/37

Regla Trapezoidal

a b

Dos segmentos

o

o

o


4/37

Regla Trapezoidal

a b

Tres segmentos

o

o

o o o

o

oo


5/37

Regla de Simpson (1/3)

a b

a b

Regla trapezoidal

Aproximacin a la Regla trapezoidal.Polinomio de Segundo ord

o

o

o

[ ]!!#!$ba dx"!x 2%&

xfxfxfh

++=

= ancho* altura promedio


6/37

Regla de Simpson (3/8)

[ ]!!$!$!'

$b

adx"!x $2%& xfxfxfxf

h+++=

a b

o

o

o

o

Polinomio de tercer orden

a b

oo

o

o

Regla trapezoidal

= ancho* altura promedio


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Problemas

( Descripcin del problema 1

)e tiene un sistema magn*tico en un trans"ormador, en

donde la energa se almacena en la inductancia.+ecordemos ue la energa en este caso est- relacionada

con el enlazamiento de "lujo y sabemos ue la corriente en

"uncin de los enlazamientos de "lujo es/ i! 0 !12%&3.

4etermine la energa almacenada en la inductancia desde

02&, 5asta 0236b. Adem-s encuentre el error estimado

usando la regla de )impson.


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Problemas

( Solucin Matemtica problema 1

7a energa est- dada por la siguiente ecuacin/

)ustituyendo la ecuacin anterior en la integral/

=

0idw

++=

02345 )1002500025001258/2532/( dkw


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8tilizando el m*todo de )impson %1$, 5acemos la siguiente aproximacin/

( ) ( ))2(

6

)(4)( 210

iiiabw

++

4eterminacin de puntos/

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 6563.9732

312525

05176.31024

31259603.95.22

020

2

1

0

==

===

==

ii

ii

ii

)ustituyendo en !2

6

32

3125

1024

312540

)2025(

+

+

=w

Problema 1


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Problema 155273437.91=w

El error de truncamiento o error estimado en este ejemplo est- dado por la ecuacin/

!$( )4

5

2880

)(f

abEt

=

9acemos la siguiente aproximacin/

!#( )

( )

ab

di

i

b

a

=

)4(

)4(


11/37

Problema 14erivando la expresin/

754/15)(

750758/15)('''

50007502/758/5)(''

2500050003752/2532/5)('

1000002500025001258/2532/)(

)4(

2

123

234

2345

=

+=

+=

++=

++=

i

i

i

i

xi

)ustituyendo la ecuacin anterior en la ecuacin !# y colocando los lmites de integracin se

obtiene/

( ) 375.98

75)4( =i


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Problema 1:a obtenido el valor anterior sustituimos en la ecuacin !$ para encontrar el error.

)i derivamos de manera analtica la solucin es/ '%.$'&2&'$$$$.

)i restamos el valor real menos el aproximado obtenido con la regla de );mpson se obtiene/ .

En este caso se concluye ue el error es el mismo.

1725.10

8

75

2880

)2025( 5

=

=

Et

Et

1725.1033381.380208355273437.91 =


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Problemas


8tilice la regla de %1$ )impson para evaluar la doble integral.

7os lmites de integracin son/ a0%, b0$, c!x0 ln!x, d!x0 $ < exp!x13.

+=a

b

xd

xc

dydxyxI

)(

)(

)sin(


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Problema 2

( Solucin matemtica problema 2

+

+=exp(x/5)3

ln(x),

)sin()( dyyxixif

=3

1)( dxxifI

( ) ( )6

)(4)( 210

xfxfxfabI

++

=ara aplicar la regla de )impson puede 5acer la siguiente sustitucin/

=or lo ue se obtiene/

Aplicando la regla de )impson se obtiene/


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7os puntos son los siguientes/

>&0 %? >

%0 2 ? >

20$

=or lo tanto sustituyendo !@ en !@@. btenemos/

6

)sin()sin(4)sin(

)(

exp(x/5)3

ln(x),

exp(x/5)3

ln(x),

exp(x/5)3

ln(x),

+++

+++++

dyyxidyyxidyyxi

abI

6

)3sin()2sin(4)1sin()13(

exp(3/5)3

ln(3),

exp(2/5)3

ln(2),

exp(1/5)3

ln(1),

+++

+++++

dyydyydyyI

Problema 2


16/37

Problema 2

06458.0)1sin(

2214.4

0,

1 =+= dyyI

1086.2)2sin()2sin(

4918.4

0.6931

exp(2/5)3

ln(2),

2 =+=+=

+

dyydyyI

67454.0)3sin()3sin(

8211.4

1.0986

exp(3/5)3

ln(3)

3 =+=+= +

dyydyyI

0148.3

6

67454.0)1086.2(4064581.0)13(

++

I

I


17/37

Problemas

( Solucin en atlab problema 2


18/37

Problemas


=t

fS

f

sal VcdtVCR

V01

)0(1

El circuito de la "igura % corresponde al de un ampli"icador

operacional conectado como integrador. 7a ecuacin ue relaciona

el voltaje de salida con el voltaje de entrada es la siguiente/

)i , +%0 %&& Bo5m, C"0 #.Du

y Fc 0 2F. Calcule el voltaje

de salida en t de & a &.'

segundos.Figura 1 Ampli"icador operacional

conectado como un integrador.


19/37

Problema !

a )olucin del problema en "orma analtica/

2)2(5)107.4(100000

1 8.0

0

6

= dttsenVsal

573.2)2(5

8.0

0

=

dttsen

47447.7=salV


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Problema !

b A continuacin se muestra la solucin del problema utilizando la +egla de )impson/

4eterminacin de los puntos

0)02(5)0( == senf

1,94709171)2.02(5)2.0( == senf

3,58678045)4.02(5)4.0( == senf

4,66019543)6.02(5)6.0( == senf

4,99786802)8.02(5)8.0( == senf


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Problema !)i n 0 #, para obtener la integral se utiliza la regla de )impson %1$, aplicacin mltiple.

7a primera sumatoria va de i0%,$,3 a n% y la segunda de j02,#,G a n2

n

xfxfxfxfabI

nji

3

)()(2)(4)()( 0 +++=

43

)58678045.3(2)66019543.494709171.1(40)08.0(

+++

=I

57337183.2=I

=or lo tanto el voltaje de salida es/

212766.2 = IVsal

47526,7=salV


22/37

Problema !El error exacto es/

%01.010047447.7

)47526.7(47447.7=

=tE

El error estimado se calcula como/

5)4( )(90

1hfEt =

)2(80)4( xsenf =Como

46.5108.0

)2(80)(

)(

8.0

0

)4(

)4( =

=

=

dxxsenab

dxxf

f

b

a


23/37

Problema !

As/

005855.04.046.5190

1 5

==tE


24/37

Problemas

( Solucin en atlab problema !


25/37

"egla de Simpson !#$

Por c%lculos

Programado


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Problema & 1

( Para los datos dem%'imo punto del

(olumen en untan)ue tabuladosen una +%brica de

,ugos - medidos

por un sensor cadacierto tiempo

Datos tabuladosDatos tabuladostt f(t)f(t)

11 /0!/0!

1$1$ 00

22 3!$3!$2222 2020

2/2/ 112!112!

22 1!//1!//

2$2$ 1//01//0!! 22

!2!2 2/0!!2/0!!

!/!/ 2/2/


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ntegrar !on trape!io de segmentosm"ltiples

( n41

( 5 = 6b4a7829 +6'i7 : +6'n7;#2n

i=1( 5 = 6!/417 /0!:2*61$10

:2/7

2*1$( 5 = 200/3


28/37


29/37

Problema & 2 >hapra

( >on la regla deSimpson de !#$

integre la +uncin+6'7= 2:20'42'2:30'!4'/:/'0.

Desde a = hastab= $.


30/37

"esolucin del problema

( n = ! ? h = $4 = 23 entonces

!

+67 = 2 +6237= 1/!!

+60!!!7 = !/$3 +6$7 = 2!2

( 5 =$*2:!61/!232/:!/$3133:2!2

$

( 5 = 10113.


31/37

@rrores en el problema

( @rror de truncamientoA

( @t = 1./0!! 10113 =121!!

( @t = 3/B

( Para un error estimado deA

(@a= 46$72*642/7 /$

( @a = 121!!.


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Problema &! 4 programado

#in!lude $iostream%&'#in!lude $iostream%&'#in!lude $stdlib%&'#in!lude $stdlib%&'#in!lude $stdio%&'#in!lude $!onio%&'

#in!lude $mat&%&'

int eeDatos(*oid)+

int ,seg+ -oat a.b+ double i+ -oat 01+ -oat 401+

int main 6(oid7C int i Eoat Fase double


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@ncabeKados

print+6LMnDatos Tabulados.......L7

print+6LMn4444444444444444444444444L7 print+6LMnN i N Ji N OuncionL7

print+6LMn4444444444444444444444444L7

print+6LMnN N B.2+ NB./l+LaO'8;7


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5nicia Proceso 6>alculo de Sumatorias7

+or 6 i=1 iIseg i::7C Ji := Fase i+ 6 i == 6i#!7*! 7

Sumulti := 2*O'8i; else

Sum"esto := !*O'8i; print+6LMnN B2d N B.2+ N B./l+LiJiO'8i;7

Q print+6LMnN B2d N B.2+ N B./l+LIsegbO'8i;7


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*int GeeHDatos6(oid7

C

print+6LMn Iumero de Segmentos 6ultiplo

de !7 =L7scan+6LBdLIseg7

print+6LMn alor de a =RL7

scan+6LB+La7print+6LMn alor de b =RL7

scan+6LB+Lb7


37/37

>ambiar (alores a)ui

J8; = O '8;=

J81; = 2 O '81;= /

J82; = / O '82;= 1J8!; = O '8!;= !

J8/; = $ O '8/;= /

J80; = 1 O '80;= 1J8; = 12 O '8;= 1//

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