ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II

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NIVEL: SECUNDARIA tercero de secundaria

Ecuaciones de Segundo Grado II

Ecuaciones de Segundo Grado II

Naturaleza de RaícesNaturaleza de Raíces

= b2 - 4ac

Discriminante

= b2 - 4ac

Discriminante

si

> 0

Raíces reales diferentes

> 0

Raíces reales diferentes

= 0

Raíces iguales

= 0

Raíces iguales

< 0

Raíces complejas y conjugadas

< 0

Raíces complejas y conjugadas

> 0

Raíces reales

> 0

Raíces reales

x1 x2x1 x2 x1 = x2

x1 = x2 x1 = m + ni

x2 = m – ni

m; n Rademás:

x1 = m + ni

x2 = m – ni

m; n Rademás:

depende

a

bxx 21

Propiedades de las Raíces

Propiedades de las Raíces

suma

a

cx.x 21

producto

|a|xx 21

Diferencia

Suma = SSuma = S

Formación de la Ecuación

Formación de la Ecuación

se debe tener

Producto = P

Producto = P

donde

x2 – Sx + P = 0x2 – Sx + P = 0

Una raíz es: x1 = m, la

otra es: x2 = -m

Una raíz es: x1 = m, la

otra es: x2 = -m

ObservacionesObservaciones

Raíces Recíprocas o Inversas

Raíces Recíprocas o Inversas

Raíces Simétricas u Opuestas

Raíces Simétricas u Opuestas

Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes

Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes

sisi

Una raíz es: x1 = m, la otra es:

Una raíz es: x1 = m, la otra es:

sisi

ax2 + bx + c = 0 ; a 0

mx2 + nx + p = 0 ; m 0

ax2 + bx + c = 0 ; a 0

mx2 + nx + p = 0 ; m 0

si las ecuaciones

si las ecuaciones

x1 + x2 = 0x1 + x2 = 0

se cumplese cumple

x1x2 = 1x1x2 = 1

se cumple

se cumple

Las mismas raíces o

soluciones

Las mismas raíces o

soluciones

tienentienen

p

c

n

b

m

a

se cumple

se cumple

Ejercicios Resueltos

1. Ejemplo: En la ecuación x2 + 6x + 5

= 0

Calculemos el DISCRIMINANTE:

= b2 – 4ac

= (6)2 – 4(1)(5)

= 16, es decir > 0

Por la fórmula General:

De donde:

es

decir C.S. = {-1; -5} ¡raíces reales y diferentes!.

2. Ejemplo: En la ecuación x2 – 14x + 49

= 0

Calculamos el DISCRIMINANTE:

= b2 – 4ac

= (-14)2 – 4(1)(49)

= 196 – 196

= 0, entonces las raíces son reales e

iguales.

Comprobemos:

La ecuación dada también se escribe así:

(x - 7)2 = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0

Igualando cada factor a CERO:

x – 7 = 0 x1 = 7

x – 7 = 0 x2 = 7

entonces: C.S. = {7; 7}

3. Ejemplo: En la ecuación x2 – 6x + 25

= 0

Los coeficientes son: a = 1; b = -6; c = 25

El DISCRIMINANTE es: = b2 – 4ac

= (-6)2 – 4(1)(25)

= -64, es decir < 0

Lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS.

4. Ejemplo: Indicar la suma y producto

de raíces de: x2 + 5x + 3 = 0

Solución:Identificamos: a = 1; b = 5; c = 3

Entonces:

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5. Ejemplo: Formar la ecuación de

segundo grado si se tienen las raíces x1 =

2; x2 = -3.

Solución:Sabemos:

S = x1 + x2 = 2 – 3 = -1

P = x1x2 = (2)(-3) = -6

entonces de la ecuación:

x2 – Sx + P = 0

x2 – (-1)x + (-6) = 0

x2 + x – 6 = 0 Ecuación de 2º Grado

6. Ejemplo: Hallar las raíces de la

ecuación e indicar que tipo de raíces tiene:

x2 – 100 = 0

Solución:

(x + 10) (x - 10) = 0

x = -10 x = 10

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EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIOS DE APLICACIÓN

Factorizando

Son simétricos

1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

a) x2 + 2x + 1 = 0b) x2 + x + 1 = 0c) 5x2 + 2x + 3 = 0d) 7x2 + 2x – 1 = 0e) 3x2 – 2x + 5 = 0f) x2 + 8x + 9 = 0

2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

a) x2 + 2x + 1 = 0

Rpta.: _______________

b) x2 + 1 = 0

Rpta.: _______________

c) x2 + 5x + 2 = 0

Rpta.: _______________

d) x2 – 1 = 0

Rpta.: _______________

e) x2 – x + 1 = 0

Rpta.: _______________

f) 5x2 + 3x + 1 = 0

Rpta.: _______________

g) 7x2 + 4x – 2 = 0

Rpta.: _______________

h) 2x2 + 3x – 3 = 0

Rpta.: _______________

3. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación:

x2 + 5x + 1 = 0Indicar el valor de:

E = (x1 + x2)2 – 2x1x2

a) 20 b) 21 c) 23d) 24 e) 25

4. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.

(m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0

a) 25 b) 25/9 c) 9/25d) 1/4 e) N.A.

5. Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0

con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”.

Si: 3(x1x2)k-4 = 1

a) 9/2 b) 7/2 c) 5/2d) 4 e) 9

6. En la ecuación 3x2 + 2ax + a2 – 6 = 0, ¿para qué valor de “a” las raíces serán iguales? (Raíz doble)

a) ±1 b) ±2 c) ±3d) ±4 e) N.A.

7. Si una de las raíces de la ecuación:x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la otra raíz es:

a) -2 b) -1 c) -3d) -4 e) N.A.

8. Si la ecuación:(b + 5)x2 + 3bx + b = 0

presenta raíces iguales. Hallar: “b”

a) 0 b) -2 c) 4d) 8 e) 6

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