Física para Ciencias: Ecuaciones de Movimientoavalcarc/FIS109A/04_Ecuaciones.movimiento.pdf · 2do...

Dictado por: Profesor Aldo Valcarce

2do semestre 2014

Física para Ciencias:

Ecuaciones de Movimiento

FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Resumen clase 4 Se definieron los conceptos de:

Posición

Distancia

Desplazamiento

Trayectoria

Distancia recorrida

∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 Diferencia entre la posición final y la posición inicial.

Puede ser positiva o negativa indicando la dirección con

respecto al origen, o sea, es un vector.

Ubicación de un objeto dependiendo del sistema de

referencia usado y su respectivo origen. 𝒙(𝒕)

𝒅 Diferencia entre dos posiciones. Siempre es positiva.

∆𝒙

Unión de los puntos del espacio por donde pasa un móvil

puntual. Puede ser rectilínea (sin cambio de dirección) o

curvilínea (en 2 o 3 dimensiones).

Suma de las distancias individuales de cada trayectoria

rectilínea de un trayecto total.


Resumen clase 4 Cinemática: Movimiento en 1 dimensión:

Posición con respecto al tiempo.

Velocidad promedio ( 𝒗 ) e instantánea ( 𝒗𝒙 ).

Rapidez: escalar (no tiene signo).

Aceleración promedio ( 𝑎 ) e instantánea ( 𝑎𝑥 ).

𝒗 =𝚫𝒙

𝚫𝒕=

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

𝒂 =𝚫𝒗

𝚫𝒕=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖



Gráficos: Interpretación Matemática

Aceleración vs Tiempo

Posición vs Tiempo

Velocidad vs Tiempo

Pendiente Línea tangente a la curva

en un punto (+ o –).

La pendiente de la curva

𝒙 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor

de 𝒗(𝒕).

La pendiente de la curva

𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor

de 𝒂(𝒕).

El área bajo la curva

𝒂 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la

variación de 𝒗(𝒕).

El área bajo la curva

𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la

variación de 𝒙(𝒕).

Área Superficie formada en

un Δt con respecto al eje

de las abscisas (+ o -).


Pendiente Pendiente

Pendiente

Pendiente

Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la

diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta.

𝒗 =𝚫𝒙

𝚫𝒕=



∆𝒕

∆𝒙(𝒕)


Pendiente Pendiente

Pendiente

Pendiente

Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la

diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta.

𝒗(𝒕)

𝒗 =𝚫𝒙

𝚫𝒕=


𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 𝒂 =

𝚫𝒗

𝚫𝒕=



∆𝑥(𝑡) ∆𝑣(𝑡)

∆𝑡


Área: 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡 𝒗(𝒕)

𝒕

𝑣𝑖 𝑣𝑖: vel. inicial

∆𝑡

Área de un cuadrado:

A = largo × ancho

Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 = ∆𝒙

𝒗 =𝚫𝒙

𝚫𝒕=



Se puede interpretar usando la ecuación

de velocidad promedio: 𝑣 → 𝑣𝑖

𝒗𝒊


Área: 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡 𝒗(𝒕)

𝒕

∆𝑡


A = largo × ancho

Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 = ∆𝒙

𝒗 =𝚫𝒙

𝚫𝒕=



Se puede interpretar usando la ecuación

de velocidad promedio: 𝑣 → 𝑣𝑖

𝒗𝒊

𝒂(𝒕)

𝑣𝑖 𝒂

𝑎

𝒂 =𝚫𝒗

𝚫𝒕=



aceleración 𝑎 → 𝑎

𝒂

𝒂

𝑣𝑖: vel. inicial

= ∆𝒗

𝑎: acel. cte


Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 con 𝒂 constante ≠ 0

𝒗(𝒕)

𝑣𝑖 𝑣𝑖: vel. inicial

𝒕


A = largo × ancho

Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡

Área de un triángulo:

A = base × altura / 2

Á𝑟𝑒𝑎 2 =1

2𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 × ∆𝑡

Entonces la variación de la posición

∆𝑥 es: Á𝑟𝑒𝑎 1 + Á𝑟𝑒𝑎 2

∆𝑥 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 +1

2𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 × ∆𝑡

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =1

2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × ∆𝑡

∆𝒕

𝑣𝑓: vel. final 𝑣𝑓




2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡


2da ecuación con 𝑎 cte

Usando la ecuación de aceleración promedio

Se asume 𝑎 = 𝑎 y 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡, o sea:

𝒂 =𝚫𝒗

𝚫𝒕=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

𝒂 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑡

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡

Entonces:


3ra ecuación con 𝑎 cte


2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡


2𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 × 𝑡

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎 × 𝑡2






𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎 × 𝑡2


4ta ecuación con 𝑎 cte


2𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 × 𝑡 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡


2𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 ×

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖𝑎

2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑓2−𝑣𝑖

2

𝑡 =𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑎

𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖

2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖






𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎 × 𝑡2


2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖


Ecuaciones de Movimiento con 𝑎 = 0


2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡


𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎 × 𝑡2


2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖


𝑣𝑓 = 𝑣𝑖


Ejemplo 1:

Si el metro se traslada desde la estación Baquedano a la estación San Joaquín en 20 min

a) Calcule la velocidad promedio si las estaciones se encuentran a

8 km de distancia. b) Si un ciclista se desplaza en promedio 2 m/s ¿cuánto se

demora en recorrer esa misma distancia?


Ejemplo 2:

Un avión aterriza sobre un portaviones a 63 m/s. a) ¿Cuál es su aceleración si se detiene en 2,0 s? b) ¿Cuánta distancia recorre el avión mientras se está

deteniendo? c) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡


Ejemplo 3:

Un atleta corre desde el reposo en una línea recta. En los primeros 10s, su aceleración es 1,0 m/s² y en los próximos 6s, desacelera a 1.5 m/s²:

a) ¿Cuál es su velocidad después de los primeros 10s? b) ¿Cuál es su velocidad después de 16s? c) ¿Cuál es su velocidad promedio? d) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡


Ejemplo 4:

Un auto viaja a una rapidez constante de 45 m/s y pasa por un anuncio detrás del cual se oculta una patrulla de policía. Un segundo después de que pasa el auto la patrulla parte del anuncio para atraparlo, acelerando a 3 m/s2.

a) ¿Cuánto demora la patrulla en alcanzar al auto? b) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡


Resumen

Interpretación matemática de los gráficos:

Pendiente: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡 → 𝑣 y 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 → 𝑎

Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 → ∆𝑥 y 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 → ∆𝑣

Ecuación de movimiento sin aceleración:

Ecuaciones de movimiento con aceleración constante:



2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡


𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 +1

2𝑎 × 𝑡2


2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖


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